ТЕОРИЯ ГРУПП

ТЕОРИЯ ГРУПП
Кафедра теоретической физики
Факультет физико-математических и естественных наук
Курс по выбору для студентов 3 – го и 4 - го курсов
Объем учебной нагрузки: 64 час. – лекции
Цель курса
Излагаются основы теории групп в применении к задачам, возникающим в
квантовой механике и физике элементарных частиц.
Тема 1. Предмет и значение теории групп для физики
Принципы симметрии в физике и геометрии: воспроизводимость результатов
измерений и групповые преобразования, принцип симметрии П. Кюри,
принцип относительности Галилея – Эйнштейна, Эрлангенская программа Ф.
Клейна (геометрия пространства как следствие инвариантности объектов
относительно группы симметрии). Принцип калибровочной инвариантности
Г. Вейля (локализация групп) и калибровочные поля.
Тема 2. Абстрактная теория групп
Определение группы. Размерность и порядок (мощность) группы. Конечные
и бесконечные группы.
Группы Ли, функция композиции. Абелевы
(коммутативные) и неабелевы группы. Компактные и некомпактные группы.
Примеры групп: группа перестановок, группа трансляций, группа вращений,
матричные группы, группа унитарных матриц, симплектическая группа,
группа
псевдоортогональных
матриц
(группа
Лоренца),
группа
унитреугольных матриц. Четверная группа Ф. Клейна как группа отражений
пространства – времени.
Разложение группы по смежным классам. Индекс подгруппы. Инвариантная
(нормальная) подгруппа. Фактор – группа. Центр группы. Деление на центр.
Прямое и полупрямое произведения групп. Группа автоморфизмов.
Тема 3. Основные понятия теории представлений групп
Гомоморфизм групп. Ядро гомоморфизма. Основная теорема о
гомоморфизме
(деление
на
ядро).
Изоморфизм
групп.
Представления групп: точные, неточные, многозначные, проективные,
приводимые, неприводимые. Инвариантные пространства.
Тема 4. Лемма Шура
Эквивалентность представлений. Сплетающий оператор. Лемма Шура о
свойствах сплетающего оператора (критерий неприводимости представления
и критерий неэквивалентности двух неприводимых представлений).
Одномерность неприводимых представлений абелевых групп.
Тема 5. Усреднение по группе
Операция усреднения по группе (А. Гурвиц и Г. Вейль). Лево- и правоинвариантные меры на группе, мера Хаара. Инвариантная мера на группе
вращений. Построение сплетающего оператора с помощью усреднения по
группе.
Соотношение ортогональности для матриц и для характеров неприводимых
представлений. Теорема Г. Вейля о полной приводимости и унитарности
представлений
компактной
группы.
Комплексификация компактной группы и унитарный трюк Г. Вейля.
Изоморфизм группы Лоренца и комплексной группы трехмерных вращений.
Кратность представления, её вычисление с помощью характеров. Классы
сопряженных элементов.
Тема 6. Основная задача теории представлений и её применения
Сопряженные представления. Теорема Е. Вигнера
о классификации
унитарных неприводимых представлений: целые и полуцелые представления.
Задача Клебша – Гордана о приведении прямого произведения двух
неприводимых представлений. Ряд Клебша – Гордана и коэффициенты
Клебша – Гордана. Просто приводимые группы и лемма Вигнера для них. 3jсимволы Вигнера, их преобразования при унитарных поворотах и их
вычисление при помощи усреднения по группе.
Неприводимые тензорные операторы. Теорема Вигнера – Эккарта и её
применение для вычисления бранчингов (относительных вероятностей
различных каналов в реакциях с элементарными частицами). Зарядовая
независимость
ядерных
сил
и
правило
И. Шмушкевича о среднем выходе числа пионов как её следствие. Формула
Гелл-Манна
–
Нишиджимы
и
согласование
правила
И. Шмушкевича с теоремой Вигнера – Эккарта путём введения понятия
изотопического спина и группы изотопических вращений.
Тема 7. Основы теории представлений конечных групп
Формула для проектора на базисный вектор в инвариантном пространстве и
первая теорема Бернсайда о размерности регулярного представления.
Центральные функции на группе, полнота системы неприводимых
характеров и совпадение числа неэквивалентных неприводимых
представлений и числа классов сопряженных элементов (вторая теорема
Бернсайда).
Применение теорем Бернсайда для нахождения размерностей неприводимых
представлений простейших групп. Примеры: неприводимые представления
алгебр Клиффорда C 3 и C 4 (матрицы Паули и Дирака). Соотношение
полноты для примарных характеров и его применение для их вычисления.
Теорема Лагранжа. Нормализаторы. Мощность класса сопряженных
элементов как индекс нормализатора. Делимость порядка группы и индекса
центра на размерности неприводимых представлений.
Тема 7. Представления симметрической группы
Теорема Кэли об изоморфизме группы и её правильных перестановок.
Левые и правые регулярные представления. Разбиение перестановок на
циклы. Схемы А. Юнга как идентификаторы неприводимых представлений.
Проекционные операторы А. Юнга. Симметризатор и антисимметризатор
как проекторы на одномерные представления. Построение базисных тензоров
в инвариантном пространстве с помощью таблиц Юнга. Символы Т.
Яманучи. Угловые расстояния и угловой граф Дж. Робинсона. Формула
«крюков» Дж. Робинсона.
Прямое произведение неприводимых представлений симметрической группы
и правило Д. Литтлвуда.
Тема 8. Непрерывные группы
Группы Ли. Связность группы. Многосвязные группы и нарушение для них
условий ортогональности для неприводимых представлений в силу
возможной
многозначности
последних.
Накрывающие
группы.
Универсальная накрывающая группа, её односвязность.
Однопараметрические подгруппы групп Ли и их изоморфность группе
трансляций. Генераторы и структурные постоянные. Общий вид элемента
группы (экспоненциальное отображение). Вычисление генераторов для групп
трансляций (сдвигов) и дилатаций (растяжений), их применение для
доказательства теоремы Джинса – Бэкингема о структуре размерности
физической величины.
Перестановочное соотношение для группы и представления. Алгебра Ли, её
неассоциативность. Восстановление односвязной группы Ли по её алгебре
Ли: три теоремы С. Ли. Векторные поля на группе и структурные уравнения
Маурера – Картана. Присоединенное представление алгебры Ли и группы Ли
и его применение для дифференцирования матричной экспоненты.
Инфинитезимальный метод построения неприводимых представлений групп
Ли. Операторы Казимира. Ранг группы как размерность картановской
(абелевой) подалгебры.
Тема 8. Группа вращений
Двусвязность группы вращений SO(3) и наличие двузначных представлений.
Алгебра Ли группы вращений, порождаемая операторами момента
количества движения, квадрат момент как оператор Казимира. Построение
базисных векторов в инвариантном пространстве. Повышающие и
понижающие операторы. Размерность неприводимого представления. Целый
и полуцелый веса представлений.
Построение матрицы конечного поворота методом Фейнмана распутывания
операторов. D-функция Вигнера. Простота группы SO(3). Коэффициенты
векторного сложения (Клебша - Гордана) для группы SO(3) и 3j-символы
Вигнера. Функция композиции для группы SO(3). Связь D-функции Вигнера
со сферическими функциями в случае целого веса. Теоремы сложения и
умножения сферических функций.
Вычисление характера неприводимого представления для группы SO(3) и
доказательство простоты её приводимости по Вигнеру. Ряд Клебша –
Гордана для группы SO(3).
Учёт пространственных отражений, оператор чётности (полного отражения),
его собственные значения в зависимости от веса. Двузначные (спинорные)
представления и классификация представлений по чётности по Янгу –
Тиомно. Внутренняя (дополнительная) чётность и ряд Клебша – Гордана для
полной группы вращений O(3). Тензорные (псевдотензорные) и
спинтензорные (псевдоспинтензорные) представления группы O(3).
Тема 9. Группа SU(2)
Локальный изоморфизм групп SU(2) и SO(3). Точный изоморфизм
многообразий SU(2) и S 3 (трёхмерной сферы). Группа SU(2) как двукратная
универсальная
накрывающая
группы
SO(3)
=
SU(2)/Z 2 .
Теорема о представлении всякого вращения как произведения двух
отражений, отображение Картана. Спиноры как векторы в C 2 . Связь
спиноров групп SU(2) и SO(3). Отраженные спиноры как векторы в C 2 *
(пунктирные спиноры).
Инвариантная квадратичная форма в
C2 .
Инвариантность антисимметричного тензора   как метрики в спинорном
пространстве. Эквивалентность
C 2 и C 2 * относительно вращений.
Построение неприводимых представлений группы
SU(2) как
симметризованных произведений спиноров (симметричных тензоров).
Реализация представлений группы
SU(2) в пространстве однородных
полиномов (голоморфное представление) с гауссовским весом. Операторы
момента J i как дифференциальные операторы в C 2 .
Тема 10. Группа Лоренца
Группа Лоренца как совокупность линейных преобразований в пространстве
Минковского, оставляющих инвариантным квадрат интервала. Четыре
связных компонента группы Лоренца. Собственная, ортохронная и изохорная
подгруппы группы Лоренца. Построение перестановочных соотношений
группы Лоренца инфинитезимальным методом: генераторы как бесконечномалые четырехмерные повороты. Разбиение шести генераторов на
трехмерные генераторы пространственных вращений и генераторы бустов
(собственных
преобразований
Лоренца).
Прецессия
Томаса.
Переход к операторам трехмерных комплексных вращений и разбиение
алгебры Ли группы Лоренца на прямую сумму двух алгебр группы SO(3).
Операторы Казимира группы Лоренца. Конечномерные неприводимые
представления D ( j , j ') группы
Лоренца как группы второго ранга
(некомпактность группы порождает неунитарность этих представлений).
Неэквивалентность пунктирных и обычных спиноров относительно бустов.
Однозначные тензорные представления в случае целой суммы весов и
неоднозначные спинтензорные (ундорные) представления в случае
полуцелой суммы весов j и j’. Теорема Клебша – Гордана для группы
Лоренца.
Учет пространственных отражений путём введения внутренней чётности.
Удвоение размерности неприводимого представления полной группы
Лоренца в случае различных весов: j  j’.
Универсальная накрывающая SL(2,C) группы Лоренца. Построение её
неприводимых представлений с помощью отображения Картана как
симметричных тензоров по обычным и пунктирным индексам. Структура Dфункции Вигнера для группы SL(2,C). Унитарные бесконечномерные
неприводимые представления группы SL(2,C) в голоморфной реализации.
Основная и дополнительная серии (формулы Гельфанда – Наймарка для
операторов буста).
Тема 11. Группа Пуанкаре
Группа Пуанкаре как полупрямое произведение группы четырехмерных
трансляций и группы Лоренца. Инвариантность подгруппы трансляций.
Алгебра Ли группы Пуанкаре. Вектор Паули – Баргманна – Любанского –
Широкова как ковариантный спин частицы и генератор 4-сдвига как 4импульс частицы. Квадраты спина и массы частицы как операторы Казимира.
Четыре класса представлений по Вигнеру: физические массивные частицы,
физические безмассовые
частицы, тахионы и вакуум. Массивные
неприводимые
представления
группы
Пуанкаре
(каноническая реализация), метод индуцированных представлений. Группа
вращений как малая группа. Оператор Вигнера и теорема Томаса. Мера
Лобачевского и структура инвариантного скалярного произведения в
гильбертовом пространстве состояний.
Безмассовые представления группы Пуанкаре. Группа движений E(2)
в импульсном пространстве как малая группа. Спиральность как оператор
Казимира. Одномерность физического неприводимого представления.
Структура оператора Вигнера. Левый и правый фотоны.
Тема 12. Различные реализации неприводимых представлений группы
Пуанкаре
Спинорная реализация представлений группы Пуанкаре (схема Баргманна –
Вигнера в массивном случае). Метод проекционных операторов для
построения базисных спиноров. Уравнения Баргманна – Вигнера для
произвольного спина. Теория слияния де Бройля. Операции отражения
пространства – времени и зарядового сопряжения.
Реализация Рариты – Швингера неприводимых представлений группы
Пуанкаре. Уравнение Фирца – Паули (спин 3/2).
Алгебраическая реализация Хариш-Чандры массивных
представлений
группы Пуанкаре. Теорема Умедзавы – Висконти о структуре дивизора для
произвольного спина. Алгебра Хариш-Чандры – Бабы (1947). Алгебра Петио
– Дуффина – Кеммера. Тернарные алгебры. Структура дивизора для
уравнения
Фирца
–
Паули.
Структура спинорной амплитуды для процессов 2  2 и 1  2.
Переменные Мандельстама. Учет законов сохранения энергии – импульса,
момента количества движения и четности в сильных процессах. Примеры:
амплитуды процессов рассеяния пионов на нуклонах, нуклонов на нуклонах,
фото - рождения пионов на нуклонах.
Тема 13. Алгебры Ли
Кольца, тела, поля. Алгебры как обобщения колец. Ассоциативные алгебры и
их матричные представления. Идеал, центр алгебры. Фактор – алгебры по
двустороннему идеалу. Примеры алгебр: алгебра Клиффорда, кватернионы,
алгебра
Грассмана,
полная
матричная
алгебра.
Слабо-нильпотентные и нильпотентные алгебры. Теоремы Веддербёрна о
нильпотентных алгебрах. Радикал алгебры. Дискриминант алгебры.
Полупростые
алгебры
как
не
содержащие
радикала.
Алгебры Ли как неассоциативные алгебры. Присоединённое представление
как обёртывающая алгебра. Метрический тензор Картана для полупростых
алгебр Ли. Форма Киллинга. Подалгебра Картана. Базис Картана – Вейля для
комплексных полупростых алгебр Ли. Корневые векторы. Отражение корней,
камера Вейля. Простые корни. Схемы Е.Б. Дынкина для простых корней.
Классификация полупростых комплексных алгебр Ли. Формула Ракá.
Корневые диаграммы. Весовые векторы представления. Неприводимые
представления группы SU(3). Весовые диаграммы. Теорема Клебша –
Гордана для
SU(3). Диаграммный метод Шпейзера. Неприводимые
представления для группы
SU(n). Применение схем Юнга. Правило
Литтлвуда для перемножения представлений.
Литература
Основная
1. Хамермеш М. Теория групп и её применения к физическим проблемам.
– М.: «ИЛ», 1966..
2. Желобенко Д.П. Компактные группы Ли и их представления
– М.: «Наука», 1971.
3. Желобенко Д.П. Лекции по теории групп Ли. – Дубна.: ОИЯИ, 1965.
4. Наймарк М.А. Теория представлений групп. – М.: «Наука», 1976.
5. Барут А., Рончка Р. Теория представлений групп и её приложения. –
М.: «Мир», 1980.
6. Вигнер Е. Теория групп и её приложения к квантовомеханической
теории атомных спектров. – М.: «ИЛ», 1961.
7. Понтрягин Л.С. Непрерывные группы. – М.: «Наука», 1973.
8. Холл М. Теория групп. – М.: «ИЛ», 1962.
9. Кострикин А.И. Введение в алгебру. – М.: «Наука», 1977.
10.Сб. задач по алгебре (под ред. А.И. Кострикина). – М.: «Наука», 1987.
Дополнительная
1. Гельфанд И.М., Минлос Р.А., Шапиро З.Я. Представления группы
вращений и группы Лоренца. – М.: «Физматгиз», 1958.
2. Наймарк М.А. Представления группы Лоренца. – М.: «Физматгиз»,
1958.
3. Фёдоров Ф.И. Группа Лоренца. - М.: «Наука», 1979.
4. Мурнаган Ф. Теория представлений групп. – М.: «ИЛ», 1950.
5. Вейль Г. Классические группы, их инварианты и представления.
– М.: «ИЛ», 1947.
6. Кириллов А.А. Элементы теории представлений. - М.: «Наука», 1972.
7. Виленкин Н.Я. Специальные функции и теория представлений групп. М.: «Наука», 1965.
8. Теория групп и элементарные частицы (сб. переводов под ред. Д.
Иваненко). – М.: «Мир», 1967.
9. Вигнер Е. Этюды о симметрии. – М.: «Мир», 1971.
10. Румер Ю.Б., Фет А.И. Лекции по теории унитарной симметрии. - М.:
«Наука», 1970.
11. Herrmann R. Group Theory for Physicists. – New Dehli: Univ. of
Bangalore Press, 1994.
12. Желобенко Д.П., Штерн А.И. Представления групп Ли. . - М.:
«Наука», 1983.
13. Элиот Дж., Добер П. Симметрия в физике. Т.1, 2. – М.: «Мир», 1983.
14. Биденхарн Л., Лаук Дж. Угловой момент в квантовой физике.
Т. 1, 2. – М.: «Мир», 1984.
15. Ляховский В.Д., Болохов А.А. Группы симметрии и элементарные
частицы. – Л.: Изд-во ЛГУ, 1983.
16. Рихтмайер Р. Принципы современной математической физики. Т.2. –
М.: «Мир», 1984.
17. Голод П.И., Климык А.У. Математические основы теории
симметрий. – Ижевск: 2001.
18. Каплан И.Г. Симметрия многоэлектронных систем. - М.: «Наука»,
1969.
19. Белоногов В.А., Фомин А.Н. Матричные представления в теории
конечных групп. - М.: «Наука», 1976.
20. Джадд Б., Вайборн Б. Теория сложных атомных спектров.
– М.: «Мир», 1973.
Составитель:
Рыбаков Ю.П.
Доктор физико-математических наук, профессор
Кафедра теоретической физики
Факультет физико-математических и естественных наук