Примерный тест и программа вступительного испытания по

Программа вступительных испытаний по математике
ОСНОВНЫЕ УМЕНИЯ И НАВЫКИ
Экзаменующийся должен уметь:
- производить арифметические действия над числами, заданными в виде
обыкновенных и десятичных дробей; с требуемой точностью округлять данные числа и
результаты вычислений; пользоваться калькуляторами или таблицами для произведения
вычислений;
- производить тождественные преобразования многочленов, дробей, содержащих
переменные, выражений содержащих степенные, показательные, логарифмические и
тригонометрические функции;
- строить графики линейной, квадратичной, степенной, логарифмической и
тригонометрических функций;
- решать уравнения и неравенства первой и второй степени; уравнения и
неравенства, приводящиеся к ним; решать системы уравнений и неравенств первой и
второй степени и приводящиеся к ним;
- решать задачи на составление уравнений и систем уравнений;
- изображать геометрические фигуры на чертеже и производить простейшие
построения на плоскости;
- использовать геометрические представления при решении алгебраических задач, а
методы алгебры и тригонометрии  при решении алгебраических и тригонометрических
задач;
- производить на плоскости операции над векторами (сложение и вычитание
векторов, умножение вектора на число) и пользоваться свойствами этих операций;
- пользоваться понятием производной при исследовании функций на возрастание
(убывание), на экстремумы и при построении графиков функций.
Общие указания
Настоящая программа состоит из двух разделов.
В первом разделе перечислены основные математические понятия, которыми
должен владеть поступающий на экзамене.
Во втором разделе указано, какие навыки и умения требуются от поступающего на
экзамене.
Объем знаний и степень владения материалом, описанным в программе,
соответствуют курсу математики средней школы. Для решения экзаменационных задач
достаточно уверенного владения теми понятиями и их свойствами, которые перечислены
в настоящей программе.
Арифметика
Натуральные числа и действия над ними. Признаки делимости на 2, 3, 5, 10.
Простые и составные числа. Разложение числа на множители. Делитель, кратное.
Наибольший общий делитель, наименьшее общее кратное.
Обыкновенная дробь. Сокращение дробей. Приведение дробей к общему
знаменателю. Действия с обыкновенными дробями.
Десятичная дробь. Сравнение десятичных дробей.
Обращение обыкновенной дроби в десятичную. Действия с десятичными дробями.
Проценты. Основные задачи на проценты.
Положительные и отрицательные числа. Модуль числа, его геометрический смысл.
Сравнение чисел. Целые числа. Рациональные числа.
Законы арифметических действий.
Иррациональные числа. Действительные числа, изображение чисел на прямой.
Координата точки.
Алгебра
Буквенное выражение, его числовое значение. Преобразование буквенных
выражений.
Многочлен. Действия над многочленами. Разложение многочлена на множители.
Квадратный трехчлен. Разложение квадратного трехчлена на множители.
Формулы сокращенного умножения;
Алгебраическая дробь. Сокращение алгебраических дробей. Сложение, вычитание,
умножение и деление алгебраических дробей.
Тождественные преобразования рациональных выражений. Арифметический корень, его
свойства.Основные тригонометрические тождества. Формулы приведения.
Элементарные функции
Функция. Область определения, множество значений функции. График функции.
Возрастание и убывание функции; четность, нечетность, периодичность. Экстремум
функции.
Определение, свойства и графики функций:
у=кх+в—
𝑘
линейной,
у = 𝑥 , показательнойу = a x ,
у=ах2+вх+с—
а>0,
квадратичной,
а 1,логарифмической
степенной
y=logаx,
у=ахп( n ϵ N ) ,
а>0,
а 1,
тригонометрических функций y=sinx, у=cosx, y=tgx.
Уравнения и неравенства
Уравнение. Корни уравнения. Равносильные уравнения. Линейные уравнения.
Квадратное уравнение, формула для корней квадратного уравнения. Теорема Виета.
Решение рациональных уравнений.
Система уравнений с двумя переменными. Решение систем.
Показательные и логарифмические уравнения, методы их решений. Решение
простейших тригонометрических уравнений:
sinjc=а,cosх=а,tgх=а.
Решение тригонометрических уравнений.
Неравенства. Решения неравенств. Понятие, о равносильных неравенствах.
Решение линейных неравенств ы п$ систем. Решение неравенств второй степени.
Решениенеравенств методом интервалов. Решение простейших показательных и
логарифмических неравенств.Решение задач методом составления уравнений и систем.
Элементы математического анализа
Последовательность. Арифметическая и геометрическая прогрессии. Формула п-го
члена и суммы первых ft-членов арифметической прогрессии. Формула п-го члена и
суммы первых и-членов геометрической прогрессии.
Производная. Таблица производных элементарных функций. Производная суммы,
произведения и частного двух функций.
Применение производной к исследованию функций.
Геометрия
Точка, отрезок, прямая, луч. Длина отрезка.
Угол. Равенство углов. Измерение углов. Смежные и вертикальные углы.
Параллельные прямые. Признаки параллельности прямых. Перпендикулярные
прямые.
Треугольник. Медианы, биссектрисы, высоты треугольника. Виды треугольников.
Признаки равенства треугольников. Соотношения между сторонами и углами
прямоугольного треугольника.
Четырехугольники: параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат, трапеция.
Окружность и круг. Центр, хорда, диаметр, радиус. Длина окружности. Радианная
мера угла. Площадь круга и площадь сектора. Центральные и вписанные углы.
Формулы площади: треугольника, прямоугольника, параллелограмма, ромба,
квадрата, трапеции.
Вектор. Координаты вектора. Угол между векторами. Сложение векторов,
умножение вектора на число. Скалярное произведение векторов.
Симметрия осевая и центральная. Поворот, параллельный перенос. Подобие фигур.
Прямые и плоскости в пространстве. Пересекающиеся, параллельные и
скрещивающиеся прямые. Параллельные и пересекающиеся плоскости. Параллельность
прямой и плоскости.
Угол между прямой и плоскостью. Двугранные углы.
Многогранники. Их вершины, ребра, грани, диагонали. Прямая и наклонная
призмы, пирамиды. Правильная призма и правильная пирамида. Параллелепипед.
Фигуры вращения: цилиндр, конус, сфера, шар, центр, диаметр, радиус сферы и
шара.
Формулы объемов: прямоугольного параллелепипеда, прямой призмы, пирамиды,
цилиндра, конуса.шара.
Формулы площади поверхностей цилиндра, конуса, призмы, пирамиды, площади
сферы.
Типовой вариант вступительного тестового задания по математике
(правильный ответ – один)
1. Выполнить действия 49

9
8
1
: 74
5
 49 4 .
а) 1 ; б) 7 ; в) 49 ; г) 1 / 7 .
a 2  4ab
2. Сократить дробь 2
.
a  8ab  16b 2
а)
1
a
a
a
;
б)
;
в)
;
г)
.
a  4b
a  4b
4
2  16b 2
3. Решить линейное уравнение 4  x 
24  x 2 x  24

.
7
3
а) x  1 ; б) x  3 ; в) x  20 ; г) x  2 .
4. Решить иррациональное уравнение
6x  7  x .
а) x  7 ; б) x  1; в) x  20 ; г) x  2 .
5. Решить логарифмическое уравнение lg 1  x   lg 20  lg x  1.
а) x  1 ; б) x  0 ; в) x  20 ; г) x  2 .
6. Решить неравенство
x
 1.
2x  1
а) x  [1 2; 1 3) ; б) x  (1 2;0] ; в) x  (;  1 2)  [1 3; ) ; г) x [1;2) .
7. Решить тригонометрическое уравнение 2sin 2 x   3 .
а) x  

n
n
 2n
n1 
n 
 n ; б) x   1


; в) x   1
; г) x   
.
6
6 2
6 2
3
2
8. Найти интервалы убывания функции: y  2 x3  3x 2  12 x  1 .
а) x   ; 1 U  2;   ; б) x   ; 2  U 1;   ; в) x   2;2  ; г) x   1;2  .
9. Найти область определения функции f  x   log 0,1  x  6   12  x 
1
.
x 8
а) x  (6;12] ; б) x [6;8) U  8;12 ; в) x   6;8 U 8;12 ; г) x   ;12  .
10. В прямоугольном треугольнике дана гипотенуза c  10 и катет a  6 .
Найти синус угла, противолежащего катету a .
а) sin   6 / 10 ; б) sin   8 / 10 ; в) sin   6 / 8 ; г) sin   8 / 6 .
Алгоритм решения.
1. 49

9
8
1
: 74
9110
7 4
5
 49 4

9
2 8
7

7

1
4

5
2 4
7

7

29
8
7

1
4
25
7 4
9 1 10
  
7 4 4 4

 70  1 .
Ответ: 1.
a 2  4ab
a(a  4b)
a


.
2. 2
a  8ab  16b 2 (a  4b) 2 a  4b
Ответ:
a
.
a  4b
3. 4  x 
24  x 2 x  24

.
7
3
21(4  x)  3(24  x)  7(2 x  24) ,
84  21x  72  3x  14 x  168 ,
21x  3x  14 x  168  84  72 ,
4 x  12 ,
Ответ: x  3 .
4.
6x  7  x .
6 x  7  x2 ,
x2  6 x  7  0 ,
D  (6) 2  4  1  (7)  36  28  64 ,
x1,2 
D  64  8 ,
68
14
2
 1.
, x1   7 , x2 
2
2
2
Проверка.
1) x1  7 ,
2) x2  1 ,
6  7  7  7 , 49  7 , 7  7 . Удовлетворяет.
6  (1)  7  1 , 1  1 , 1  1. Не удовлетворяет.
Ответ: x  7 .
5. lg 1  x   lg 20  lg x  1.
 x  0,
 x  0,
ОДЗ: 
 x  0.

1  x  0,
 x  1,
lg 1  x   lg 20  lg x  lg10 ,
lg 1  x   lg
1 x 
20
,
10 x
20
2
, 1  x  , x(1  x)  2 , x  x 2  2 , x 2  x  2  0 ,
x
10 x
D  (1)2  4  1  (2)  1  8  9 ,
x1,2 
D  9  3,
1  3
4
2
 2 – не принадлежит ОДЗ, x2   1.
, x1 
2
2
2
Ответ: x  1 .
6.
x
 1.
2x  1
1
ОДЗ: 2 x  1  0  x  .
2
x
x  2x  1
3x  1
1 0,
 0,
 0,
2x  1
2x  1
2x  1
3x  1  0  x  1/ 3 , 2 x  1  0  x  1/ 2 ,


1/ 2
Ответ: x  (;  1 2)  [1 3; ) .
7. 2sin 2 x   3 .
sin 2 x  
3
,
2
 3
2 x  (1) n arcsin  
  n ,
2


 3  n
(1) n1
x
arcsin 
 ,
2
2

 2

1 / 3
(1)n1  n
 n
.
x

 (1)n1 
2 3 2
6 2
Ответ: x   1
n1
 n

.
6 2
8. y  2 x3  3x 2  12 x  1 .
y  6 x 2  6 x  12  6( x 2  x  2) ,
y  0  x 2  x  2  0 ,
x 2  x  2  0  x1  2, x2  1.



1
2
x  (1;2) .
Ответ: x  (1;2) .
9. f  x   log 0,1  x  6   12  x 
1
.
x 8
 x  6  0,  x  6,


12  x  0,   x  12, 
 x  8  0.  x  8.


6
8
12
10. В прямоугольном треугольнике дана гипотенуза c  10 и катет a  6 .
Найти синус угла, противолежащего катету a .
sin  
a 6
  0.6.
c 10
Ответ: sin   6 / 10 .
c
a
