СД.Ф.9. Математическая логика

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Мурманский государственный гуманитарный университет»
(МГГУ)
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС
СД.9 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
ОСНОВНАЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ПРОГРАММА ПОДГОТОВКИ СПЕЦИАЛИСТА ПО
СПЕЦИАЛЬНОСТИ
050201.00 Математика с дополнительной специальностью
Утверждено на заседании
кафедры математики и методики
обучения математике
ФФМОИиП
(протокол № 5 от 27 января 2011 г.)
Зав. кафедрой
Мартынов О.М.
Раздел 1. Программа учебной дисциплины.
Структура программы учебной дисциплины
1. 1 Автор программы: Беляев В.Я., к.ф.-м.н., доцент
1.2 Рецензенты: к.ф.-м.н., доцент МГТУ Зубова Ю.В., к.п.н., доцент кафедры МиМОМ
МГГУ Иванчук Н.В.
1.3 Пояснительная записка:
Цели: выполнение государственного стандарта по курсу математической логики
для студентов отделения математика-информатика, физика-информатика физикоматематического факультета. Математическая логика занимает важное место в курсе
общей системы подготовки специалистов по специальностям
Математикаинформатика. Данный курс изучается в пятом семестре, когда студенты уже изучили
большое количество различных математических теорий (математический анализ,
теория чисел, элементы элементарной математики и т.д.) и могут разобрать основы
построения данных теорий. Так же важна математическая логика для построения и
упрощения различных схем и систем, используемых в работе современной техники.
Задачи:
1. Познакомить студентов с материалом по курсу математической логики.
2. Показать необходимость и значимость математической логики при построении
различных математических теорий, ее практическое применение при построении
различных электронных схем.
3. Разобрать основные типы логических задач для школьников.
4. Развитие логического мышления.
Требования к уровню освоения содержания дисциплины (должны знать, должны
уметь):
должны знать: понятия и утверждения, входящие в содержание дисциплины,
доказательства теорем.
должны уметь: решать задачи по разделам курса, применять теоретический материал,
творчески подходить к решению профессиональных задач, ориентироваться в
нестандартных условиях и ситуациях, анализировать возникающие проблемы.
1.4 Извлечение из ГОС ВПО
1.5 Объем дисциплины и виды учебной работы
(для всех специальностей, на которых читается данная дисциплина):
№
п/п
Шифр и
наименование
специальности
Курс
032100 Математика с
дополнительной
специальностью
5
Семестр
Трудоемкость
10
Виды учебной работы в часах
Всего
ЛК
ПР/
ЛБ
аудит.
СМ
90
54
30
24
Сам.
работа
-
36
Вид
итогового
контроля
(форма
отчетности)
Экзамен
1.6 Содержание дисциплины.
1.6.1. Разделы дисциплины и виды занятий (в часах). Примерное распределение
учебного времени:
№
Наименование раздела темы
Количество часов
Всего
117,55
Глава 1. Алгебра высказываний. (Алгебра логики).
§1. Высказывания. Математические операции
высказываниями. Равносильные преобразования.
§2. Функции алгебры логики.
над
Л.
30
12
Форма
отчета
Пр. К.р.
С.р. Кол.
24 14,9
10
36
14
Зач.
Экз.
-
6,65
§3. Формулы. Реализация функций формулами. Законы
алгебры логики. Принцип двойственности.
§4. Разложения булевых функций по переменным.
Совершенная
дизъюнктивная
(конъюнктивная)
нормальная форма.
§5. Полнота и замкнутость.
§6. Важнейшие замкнутые классы. Теорема о полноте.
Представление о результатах Поста.
Глава 2. Алгебра предикатов.
§1. Предикаты.
§2. Операции над предикатами. Квантор общности и
квантор существования.
§3. Формулы логики предикатов.
§4. Равносильные формулы логики предикатов.
§5. Модели. Язык теории моделей.
§6. Разрешимость алгебры логики.
§7. Выводимость из гипотез.
Глава
3.
Построение
формальных
теорий.
Исчисление высказываний и исчисление предикатов.
§1. Формализованный язык.
§2. Язык исчисления высказываний, аксиомы, правила
вывода.
§3. Метатеория исчисления высказываний.
§4. Исчисление предикатов.
§5. Метатеория исчисления предикатов.
12
10
12
6
4
10
1.6.2. Содержание разделов дисциплины.
Глава 1. Алгебра высказываний. (Алгебра логики).
§1. Высказывания. Математические операции над высказываниями. Равносильные
преобразования.
Дедуктивный характер математики. Важность дедуктивных рассуждений. Предмет
математической логики, ее зарождение и быстрое развитие. Роль математической
логики в вопросах обоснования математики. Использование метода формализации при
изучении различных теорий.Высказывания. Основные операции над высказываниями:
конъюнкция, дизъюнкция, отрицание, импликация и эквиваленция. Представление о
формулах алгебры логики. Построение таблиц истинности. Произведение
равносильных преобразований, сокращение записи формул, приоритетность операций.
Определение тождественно истинных, тождественно ложных и выполнимых формул.
§2. Функции алгебры логики.
Функции алгебры логики. Алгоритм определения фиктивной и существенной
переменной. Равные функции. Построение таблиц истинности для функций алгебры
логики. Примеры функций алгебры логики от одной и двух переменных. Штрих
Шеффера и сложение Жегалкина.
§3. Формулы. Реализация функций формулами. Законы алгебры логики. Принцип
двойственности.
Формулы. Схема формул. Законы алгебры логики: исключения третьего, тождества,
контрапозиции, поглощения, де Моргана и др. Свойства ассоциативности и
коммутативности для конъюнкции, дизъюнкции и сложения Жегалкина. Законы
дистрибутивности для конъюнкции и дизъюнкции. Операция суперпозиции и способы
ее выполнения. Понятие двойственной функции. Принцип двойственности.
§4. Разложения булевых функций по переменным. Совершенная дизъюнктивная
(конъюнктивная) нормальная форма.
Теорема о разложении функций по переменным. Разложение по одной и всем
переменным. Понятие о совершенной дизъюнктивной нормальной форме (СДНФ) и
совершенной конъюнктивная нормальной форме (СКНФ). Алгоритм нахождения
СДНФ и СКНФ по таблице истинности формулы.
§5. Полнота и замкнутость.
Полные системы функций. Доказательство полноты системы функций с помощью
функций полной системы. Представление функций алгебры логики в виде полиномов
Жегалкина. Еще один способ нахождения фиктивных переменных. Представление о
замкнутых классах.
§6. Важнейшие замкнутые классы. Теорема о полноте. Представление о результатах
Поста.
Класс функций, сохраняющий константу ноль, класс функций, сохраняющий константу
единица, класс монотонных функций, класс самодвойственных функций и класс
линейных функций. Построение таблиц Поста. Базис системы функций.
Глава 2. Алгебра предикатов.
§1. Предикаты.
Предикаты. Область определения и область истинных значений. Совпадение области
истинных значений и области определения предиката. Пример. Область истинных
значений – пустое множество, все множество значений. Пример. Понятие
-арного
предиката для n  0,1,2,3,... .
§2. Операции над предикатами. Квантор общности и квантор существования.
Основные операции над одноместными предикатами: конъюнкция, дизъюнкция,
отрицание, импликация. Построение области истинных значений при помощи
диаграмм Венна. Кванторы. Операция навешивания квантора в общем случае.
Свободные и связные переменные. Запись математических выражений на языке
алгебры предикатов.
§3. Формулы логики предикатов.
Алфавит логики предикатов. Понятие формулы логики предикатов. Ранг формулы.
Истинностные значения формул в логике предикатов. Примеры.
§4. Равносильные формулы логики предикатов.
Примеры важнейших равносильностей. Двойственность кванторов всеобщности и
существования. Равносильные преобразования. Понятие приведенных формул. Связь
между равносильностями логики высказываний и логики предикатов. Представление
формул алгебры логики в виде предваренной нормальной форме. Примеры применение
языка логики предикатов для записи математических предложений, определений,
построение отрицаний предложений.
§5. Модели. Язык теории моделей.
Понятие языка первого уровня. Понятие модели. Тип модели. Модель арифметики
натуральных чисел. Модель алгебры предикатов сигнатуры
. Формулы сигнатуры
. Сокращение записи формул. Интерпретация языка теории. Истинностные значения
формул в интерпретации. Термы и формулы. Допустима модель. Сигнатурное
отображение. Понятие общезначимой формулы. Интерпретация языка теории в логики
предикатов.
§6. Разрешимость алгебры логики.
Тезис Черча. Конечная модель. Пример выполнимости формулы на конечной модели.
Пример формулы выполнимой на бесконечной модели, и не выполнимой ни на какой
конечной модели. Проблема разрешимости для формул, содержащих только унарные
предикаты.
n


§7. Выводимость из гипотез.
Понятие выводимости из гипотез. Правила вывода: повторение посылки, введение и
удаления дизъюнкции и конъюнкции, силлогизма, введение и удаление кванторов и др.
Теорема Левенгейма-Сколема. Локальная теорема Мальцева.
Глава 3. Построение формальных теорий. Исчисление высказываний и
исчисление предикатов.
§1. Формализованный язык.
Понятие исчисления. Понятие алфавита. Слова. Композиция слов. Подслова.
Метасимволы. Вхождения слов друг в друга. Пример.
§2. Язык исчисления высказываний, аксиомы, правила вывода.
Алфавит исчисления высказываний. Формулы. Аксиомы. Основные правила вывода:
модус поненс и подстановки. Правила естественного вывода. Теорема дедукции.
§3. Метатеория исчисления высказываний.
Непротиворечивы и противоречивые исчисления. Теорема о связи исчисления
высказываний с алгеброй высказываний. Непротиворечивость исчисления
высказываний. Понятие полноты в узком и широком смысле. Теорема о полноте
исчисления высказываний относительно алгебры высказываний. Разрешимость
исчисления высказываний. Независимость аксиом исчисления высказываний.
§4. Исчисление предикатов.
Язык исчисления предикатов: алфавит, теоремы, основные правила вывода. Понятие
теоремы. Доказательства в теории. Теорема дедукции. Дополнительные правила
вывода, например, переименования свободных переменных.
§5. Метатеория исчисления предикатов.
Непротиворечивость исчисления предикатов. Полнота исчисления предикатов.
Полнота исчисления предикатов относительно алгебры предикатов. Отсутствие
полноты в узком смысле в исчислении предикатов. Проблема разрешимости и
независимости аксиом исчисления предикатов.
1.6.3. Темы для самостоятельного изучения.
№
п/п
Наименование раздела
дисциплины.
Тема.
Глава 1. Алгебра высказываний. (Алгебра
логики).
§1. Высказывания. Математические операции
над
высказываниями.
Равносильные
преобразования.
§2. Функции алгебры логики.
§3.
Формулы.
Реализация
функций
формулами. Законы алгебры логики. Принцип
двойственности.
§4. Разложения булевых функций по
переменным. Совершенная дизъюнктивная
(конъюнктивная) нормальная форма.
§5. Полнота и замкнутость.
§6. Важнейшие замкнутые классы. Теорема о
полноте. Представление о результатах Поста.
Глава 2. Алгебра предикатов.
§1. Предикаты.
§2. Операции над предикатами. Квантор
общности и квантор существования.
§3. Формулы логики предикатов.
§4.
Равносильные
формулы
логики
Форма
самостоятельной
работы
вопросы
для
самостоятельного
изучения,
- домашние работы
- контрольная работа
Колво
часов
36
Форма контроля выполнения
самостоятельной работы
- проверка домашних работ,
- проверка контрольной
работы,
- доп. вопросы на зачете
предикатов.
§5. Модели. Язык теории моделей.
§6. Разрешимость алгебры логики.
§7. Выводимость из гипотез.
Глава
3.
Построение
формальных
теорий.
Исчисление высказываний и
исчисление предикатов.
§1. Формализованный язык.
§2. Язык исчисления высказываний, аксиомы,
правила вывода.
§3. Метатеория исчисления высказываний.
§4. Исчисление предикатов.
§5. Метатеория исчисления предикатов.
1.7. Методические рекомендации по организации изучения дисциплины.
1.7.1. Тематика и планы аудиторной работы студентов по изученному материалу:
Практические занятия.
Контрольная работа (2 часа)
1.9. Материально-техническое обеспечение дисциплины.
1.9.1. Перечень используемых технических средств
1.9.2. Перечень используемых пособий
1.9.3.Перечень видео- и аудиоматериалов программного обеспечения.
1.10 Примерные зачетные тестовые задания.
1.11 Примерный перечень вопросов к зачету (экзамену).
1.12 Комплект экзаменационных билетов.
1.13 Примерная тематика рефератов.
1.15 Примерная тематика квалификационных (дипломных) работ.
Литература основная:
1. Ершов,Ю.Л.Математическая логика : учеб. пособие / Ю. Л. Ершов, Е. А.
Палютин. - Изд. 4-е., стер. - СПб. : Лань, 2005.
2. ИгошинВ.И. Математическая логика и теория алгоритмов : учеб. пособие
для студ. вузов, обуч. по спец. 050201 "Математика" / В. И. Игошин. - 2-е
изд., стер. - М. : Академия, 2008. Гриф
3. ИгошинВ.И. Задачи и упражнения по математической логике и теории
алгоритмов : учеб. пособие для студ. вузов, обуч. по спец. 032100
"Математика" / В. И. Игошин. - 3-е изд., стер. - М. : Академия, 2007. .гриф
Дополнительная литература:
1. Байиф Ж.-К. Логические задачи: Пер. с франц./ Перевод Сударева Ю.Н.; Под
редакцией и с послесл. И.М. Яглома. – М.: Мир, 1983.
2. Гжегорчик А. Популярная логика. – М.: Наука, 1979.
3. Гиндикин. С.Г. Алгебра логики в задачах. – М.: Наука, 1972.
4. Депман И.Я. Первое знакомство с математической логикой. – Ленинград:
Знание, 1965.
5. Колмагоров А.Н., Драгалин А.Г. Введение в математическую логику. – М.: Издво Моск. ун-та, 1982.
6. Лакатос И. Доказательство и опровержение. – М.: Наука, 1983.
7. Мендельсон Э. Введение в математическую логику. - М.: Наука, 1984
8. Мощенский В.А. Лекции по математической логике. – Минск: БГУим. В.И.
Ленина, 1973.
9. Столяр А.А. Как математика ум в порядок приводит. – Минск: Высшая школа,
1991.
10. Столяр А.А. Элементарное введение в математическую логику: Пособие для
учителей. – М:, Просвещение, 1965.
11. Успенский В.А. Теорема Генделя о полноте. – М.: Наука, 1982.
12. Успенский В.А., Верещагин Н.К., Плиско В.Е. Вводный курс математической
логики. – М.: Изд-во МГУ,1997.
1.16 Методика(и) исследования (если есть).
1.17 Бально-рейтинговая система, используемая преподавателем для оценивания
знаний студентов по данной дисциплине.
Каждый раздел дисциплины может быть сдан отдельно. За контрольную работу
ставится оценка, ведется работа над ошибками.
Раздел 2. Методические указания по изучению дисциплины (или ее разделов) и
контрольные задания для студентов заочной формы обучения.
Раздел 3. Содержательный компонент теоретического материала.
Лекция №1. Высказывания. Математические операции над высказываниями.
Равносильные преобразования.
Дедуктивный характер математики. Важность дедуктивных рассуждений. Предмет
математической логики, ее зарождение и быстрое развитие. Роль математической
логики в вопросах обоснования математики. Использование метода формализации при
изучении различных теорий.Высказывания. Основные операции над высказываниями:
конъюнкция, дизъюнкция, отрицание, импликация и эквиваленция. Представление о
формулах алгебры логики. Построение таблиц истинности. Произведение
равносильных преобразований, сокращение записи формул, приоритетность операций.
Определение тождественно истинных, тождественно ложных и выполнимых формул.
Лекция №2. Функции алгебры логики.
Функции алгебры логики. Алгоритм определения фиктивной и существенной
переменной. Равные функции. Построение таблиц истинности для функций алгебры
логики. Примеры функций алгебры логики от одной и двух переменных. Штрих
Шеффера и сложение Жегалкина.
Лекция №3. Формулы. Реализация функций формулами. Законы алгебры логики.
Принцип двойственности.
Формулы. Схема формул. Законы алгебры логики: исключения третьего, тождества,
контрапозиции, поглощения, де Моргана и др. Свойства ассоциативности и
коммутативности для конъюнкции, дизъюнкции и сложения Жегалкина. Законы
дистрибутивности для конъюнкции и дизъюнкции. Операция суперпозиции и способы
ее выполнения. Понятие двойственной функции. Принцип двойственности.
Лекция №4. Разложения булевых функций по переменным. Совершенная
дизъюнктивная (конъюнктивная) нормальная форма.
Теорема о разложении функций по переменным. Разложение по одной и всем
переменным. Понятие о совершенной дизъюнктивной нормальной форме (СДНФ) и
совершенной конъюнктивная нормальной форме (СКНФ). Алгоритм нахождения
СДНФ и СКНФ по таблице истинности формулы.
Лекция №5. Полнота и замкнутость.
Полные системы функций. Доказательство полноты системы функций с помощью
функций полной системы. Представление функций алгебры логики в виде полиномов
Жегалкина. Еще один способ нахождения фиктивных переменных. Представление о
замкнутых классах.
Лекция №6. Важнейшие замкнутые классы. Теорема о полноте. Представление о
результатах Поста.
Класс функций, сохраняющий константу ноль, класс функций, сохраняющий константу
единица, класс монотонных функций, класс самодвойственных функций и класс
линейных функций. Построение таблиц Поста. Базис системы функций.
Лекция №7. Предикаты.
Предикаты. Область определения и область истинных значений. Совпадение области
истинных значений и области определения предиката. Пример. Область истинных
значений – пустое множество, все множество значений. Пример. Понятие
-арного
предиката для n  0,1,2,3,... .
Лекция №8. Операции над предикатами. Квантор общности и квантор
существования.
Основные операции над одноместными предикатами: конъюнкция, дизъюнкция,
отрицание, импликация. Построение области истинных значений при помощи
диаграмм Венна. Кванторы. Операция навешивания квантора в общем случае.
Свободные и связные переменные. Запись математических выражений на языке
алгебры предикатов.
Лекция №9. Формулы логики предикатов. Равносильные формулы логики
предикатов.
Алфавит логики предикатов. Понятие формулы логики предикатов. Ранг формулы.
Истинностные значения формул в логике предикатов. Примеры. Примеры важнейших
равносильностей. Двойственность кванторов всеобщности и существования.
Равносильные преобразования. Понятие приведенных формул. Связь между
равносильностями логики высказываний и логики предикатов. Представление формул
алгебры логики в виде предваренной нормальной форме. Примеры применение языка
логики предикатов для записи математических предложений, определений, построение
отрицаний предложений.
Лекция №10. Модели. Язык теории моделей.
Понятие языка первого уровня. Понятие модели. Тип модели. Модель арифметики
натуральных чисел. Модель алгебры предикатов сигнатуры
. Формулы сигнатуры
. Сокращение записи формул. Интерпретация языка теории. Истинностные значения
формул в интерпретации. Термы и формулы. Допустима модель. Сигнатурное
отображение. Понятие общезначимой формулы. Интерпретация языка теории в логики
предикатов.
Лекция №11. Разрешимость алгебры логики.
Тезис Черча. Конечная модель. Пример выполнимости формулы на конечной модели.
Пример формулы выполнимой на бесконечной модели, и не выполнимой ни на какой
конечной модели. Проблема разрешимости для формул, содержащих только унарные
предикаты.
Лекция №12. Выводимость из гипотез.
Понятие выводимости из гипотез. Правила вывода: повторение посылки, введение и
удаления дизъюнкции и конъюнкции, силлогизма, введение и удаление кванторов и др.
Теорема Левенгейма-Сколема. Локальная теорема Мальцева.
Лекция №13. Формализованный язык. Язык исчисления высказываний,
аксиомы, правила вывода.
Понятие исчисления. Понятие алфавита. Слова. Композиция слов. Подслова.
Метасимволы. Вхождения слов друг в друга. Пример. Алфавит исчисления
n


высказываний. Формулы. Аксиомы. Основные правила вывода: модус поненс и
подстановки. Правила естественного вывода. Теорема дедукции.
Лекция №14. Метатеория исчисления высказываний. Исчисление предикатов.
Непротиворечивы и противоречивые исчисления. Теорема о связи исчисления
высказываний с алгеброй высказываний. Непротиворечивость исчисления
высказываний. Понятие полноты в узком и широком смысле. Теорема о полноте
исчисления высказываний относительно алгебры высказываний. Разрешимость
исчисления высказываний. Независимость аксиом исчисления высказываний. Язык
исчисления предикатов: алфавит, теоремы, основные правила вывода. Понятие
теоремы. Доказательства в теории. Теорема дедукции. Дополнительные правила
вывода, например, переименования свободных переменных.
Лекция №15. Метатеория исчисления предикатов.
Непротиворечивость исчисления предикатов. Полнота исчисления предикатов.
Полнота исчисления предикатов относительно алгебры предикатов. Отсутствие
полноты в узком смысле в исчислении предикатов. Проблема разрешимости и
независимости аксиом исчисления предикатов.
Раздел 4. Словарь терминов (глоссарий).
Раздел 5. Практикум по решению задач по темам лекций.
Раздел 6. Изменения в рабочей программе, которые произошли после
утверждения программы.
Характер
изменений в
программе
Номер и дата протокола
заседания кафедры, на
котором было принято
данное решение
Подпись заведующего
кафедрой, утверждающего
внесенное изменение
Подпись декана факультета
(проректора по учебной
работе), утверждающего
данное изменение
Раздел 7. Учебные занятия по дисциплине ведут:
Ф.И.О., ученое звание и степень
преподавателя
Учебный год
Факультет
2010/2011
ФМОИиП
2011-2012
ФМОИиП
Беляев В.Я., к.ф.-м.н., доцент
Беляев В.Я., к.ф.-м.н., доцент
Специальность
050201.00 Математика с
дополнительной
специальностью
050201.00 Математика с
дополнительной
специальностью