Министерство образования и науки Российской Федерации Владивостокский государственный университет экономики и сервиса Г.И. Шуман Н.Ю. Голодная О.А. Волгина АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Учебное пособие Владивосток Издательство ВГУЭС 2015 ББК АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ: учебное пособие сост. Г.И. Шуман, О.А. Волгина, Н.Ю. Голодная. Учебное пособие предназначено для студентов – бакалавров I курса всех направлений и форм обучения. По каждой теме приводится необходимая теоретическая часть, в которой рассматриваются основные понятия и формулы, необходимые для решения задач, рассмотрены решения типовых задач. В пособии содержится большое количество задач для самостоятельной работы студентов, контрольные работы и индивидуальные домашние задания. © Издательство Владивостокский государственный университет экономики и сервиса, 2015 ВВЕДЕНИЕ Дисциплина «Алгебры и геометрии» является основой экономического образования. Знания, приобретаемые студентами в результате изучения этой дисциплины, играют важную роль в процессе их обучения в университете. Они необходимы для успешного усвоения общетеоретических и специальных дисциплин, предусмотренных учебными планами направлений.. В пособии предлагаемого объема невозможно полностью осветить весь изучаемый теоретический материал, поэтому в каждом разделе приведены лишь необходимые теоретические сведения и формулы, отражающие количественную сторону или пространственные свойства реальных объектов и процессов, которые сопровождаются подробными решениями типовых задач, без чего невозможно успешное изучение математики. Достоинство пособия состоит в том, что при наличии такого количества задач оно может быть использовано как задачник, как раздаточный материал для выполнения контрольных работ по соответствующему разделу дисциплины «Алгебры и геометрии», а так же содержит 30 различных вариантов индивидуальных домашних заданий по всем разделам. 3 1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ 1.1.Определители 1.1.1 Определители второго порядка Определение. Определителем второго порядка, соответствующим a12 a , называется число квадратной таблице элементов 11 a 21 a 22 a11 a 22 a 21 a12 . Таким образом, a11 a12 a11 a 22 a 21 a12 . a 21 a 22 (1) Числа a11 , a12 , a21 , a22 называются элементами определителя. Определитель второго порядка имеет две строки и два столбца. Индексы, стоящие внизу соответствующего элемента, означают номер строки и номер столбца определителя, на пересечении которых стоит указанный элемент. Например, a 21 стоит во второй строке и первом столбце определителя и читается «а два один». Элементы a11 , a 22 называют элементами главной диагонали определителя, а элементы a12 , a 21 - соответственно элементами побочной диагонали. Пример 1. Вычислим определитель 1 3 1 7 2 (3) 7 6 13 2 7 Пример 2. Вычислим определитель. 3 0 3 (7) (6) 0 21 0 21 6 7 Пример 3. Вычислим определитель. 3 2 3 4 6 2 12 12 0 . 6 4 1.1.2. Определители третьего порядка Определение. Определителем третьего порядка, соответствующим квадратной таблице элементов 4 a11 a12 a13 a 21 a 22 a 23 , a 31 a32 a33 называется число, определяемое равенством a11 a12 a13 a a 23 a a 23 a 21 a 22 a 23 a11 22 a12 21 a 32 a 33 a 31 a 33 a 31 a 32 a 33 a13 a 21 a 22 a 31 a 32 (2) Пример 4. Вычислить определитель 1 3 2 4 1 1 5 Решение. 1 3 4 1 3 5 1 1 3. 1 По определению 3 4 1 2 1 (1 15) 3 (4 3) 1 1 5 получим: 2 (20 1) 1 (16 ) 3 1 2 21 16 3 42 23 Если в формуле (2) раскрыть определители второго порядка и собрать слагаемые с одинаковыми знаками, то получим: a11 a 22 a 33 a 21 a 32 a13 a12 a 23 a 31 a11 a 23 a 32 (3) a12 a 21 a 33 a13 a 22 a 31 Этот способ вычисления определителя третьего порядка называется правилом треугольника. Первые три слагаемых для вычисления определителя есть сумма произведений элементов главной диагонали и элементов, расположенных в вершинах треугольников, как они показаны линиями на первом рисунке; оставшиеся слагаемые есть сумма произведений, взятых со знаком минус, элементов побочной диагонали и элементов, расположенных в вершинах треугольников, как они показаны линиями на втором рисунке. 5 2 1 3 Пример 5. Вычислить определитель 0 3 4 по правилу 1 2 1 треугольника. Решение. Перемножим элементы главной диагонали определителя 2 (3) 1 , затем – элементы, лежащие на параллелях к этой диагонали, и элементы из противоположного угла определителя согласно правилу треугольника 0 2 3 , (1) 4 1 . Элементы, входящие в формулу (3) со знаком минус, вычисляем аналогично, но относительно побочной диагонали: 1 (3) 3 , 0 (1) 1 , 2 2 4 . Таким образом 2 (3) 1 0 2 3 (1) 4 1 1 (3) 3 0 (1) 1 2 2 4 6 0 4 9 0 16 17 Определение. Определитель, в котором под главной диагональю (над главной диагональю) стоят нули, называется определителем треугольного вида. Определитель треугольного вида равен произведению элементов главной диагонали. 2 3 1 Пример 6. Вычислить определитель 0 5 6 . 0 0 8 Решение. По условию дан определитель треугольного вида, т.к. под главной диагональю этого определителя стоят нули, значит значение данного определителя равно произведению элементов главной диагонали, то есть 2 5 8 80 . Определение. Минором элемента определителя третьего порядка называется определитель второго порядка, полученный из данного определителя путем вычеркивания строки и столба, на пересечении которых стоит данный элемент. Минор элемента a ij , стоящего на пересечении i-ой строки и j-го столбца определителя, обозначают M ij . Например, для определителя 2 5 3 1 7 11 4 2 8 6 1 7 5 3 2 28 26 , M 21 40 6 46 . 4 2 2 8 Определение. Алгебраическим дополнением данного элемента определителя 3-го порядка называется минор этого элемента , умноженный на (1) k , где k равно сумме номера строки и номера столбца, на пересечении которых находится этот элемент. Алгебраическое дополнение элемента обозначают Aij . a ij миноры M 13 Согласно определению Aij (1) k M ij , k i j . Для определителя третьего порядка знак, который при этом приписывается минору соответствующего определителя, определяется следующей таблицей: . Из определения определителя третьего порядка следует, что a11 A11 a12 A12 a13 A13 . Верна общая теорема разложения: определитель третьего порядка равен сумме произведений элементов любой его строки или столбца на соответствующие этим элементам алгебраические дополнения. Таким образом, имеют место шесть разложений: a11 A11 a12 A12 a13 A13 , a 21 A21 a 22 A22 a 23 A23 , a 31 A31 a 32 A32 a 33 A33 , (5) a11 A11 a 21 A21 a 31 A31 , a12 A12 a 22 A22 a 32 A32 , a13 A13 a 23 A23 a 33 A33 . Отметим, что сумма произведений элементов какого-либо ряда (строки или столбца) на алгебраические дополнения элементов параллельного ряда равна нулю. 5 3 2 Пример 7. Вычислить определитель 1 2 4 , 7 3 6 разлагая его по элементам третьего столбца. Решение. Согласно теореме разложения имеем: 7 2 A13 4 A23 6 A33 2 (1)1 3 6 133 5 3 1 2 1 2 5 3 4 (1) 2 3 7 3 7 3 2(1) 4 (( 1) 3 7 2) 4(1) 5 (5 3 7 3) 6(1) 6 (5 2 (1) 3) 2 (3 14 ) 4(15 21) 6(10 3) 34 24 78 68 . 1.1.3. Свойства определителей Следующие свойства справедливы для определителей любого порядка, позволяют упростить вычисления определителей. Свойство 1. Определитель не меняет своего значения, если его строки заменить столбцами с теми же номерами, а столбцы строками, то есть a11 a12 a13 a11 a 21 a 31 a 21 a 22 a 23 a12 a 22 a 32 . a 31 a 32 a 33 a13 a 23 a 33 Введенное действие называется транспонированием строк и столбцов. Свойство 2. Если переставить две строки (столбца) определителя, то знак значения определителя изменится на противоположный: a11 a12 a13 a 21 a 22 a 23 a 21 a 22 a 23 a11 a12 a13 . a 31 a 32 a 33 a 31 a 32 a 33 Свойство 3. Если определитель имеет две одинаковых строки или два одинаковых столбца, то он равен нулю: a11 a12 a13 a 21 a 22 a 23 0 . a11 a12 a13 Свойство 4. Общий множитель элементов какого-либо ряда определителя можно выносить за знак определителя: k a11 a12 a13 a11 a12 a13 k a 21 a 22 a 23 k a 21 a 22 a 23 . k a 31 a 32 a 33 a 31 a 32 a 33 Свойство 5. Если все элементы какого-либо ряда определителя равны нулю, то определитель равен нулю: 8 a11 a12 0 a 21 a 22 0 0 . a 31 a 32 0 Свойство 6. Если две строки (столбца) определителя пропорциональны, то определитель равен нулю: a11 a12 k a11 a 21 a 22 k a 21 0 . a 31 a 32 k a 31 Свойство 7. Если элементы какого-либо ряда определителя представляют собой сумму двух слагаемых, то определитель можно представить в виде суммы двух определителей, у которых все ряды, кроме данного, прежние, а в данном ряду в первом определителе стоят первые слагаемые, а во втором определителе – вторые: a11 b11 a12 a13 a11 a 21 a 31 b11 a12 a13 a 21 b21 a 22 a 23 a12 a 22 a 32 b21 a 22 a 23 . a 31 b31 a 32 a 33 a13 a 23 a 33 b31 a 32 a 33 Свойство 8. Величина определителя не изменится, если к элементам какой-либо строки (столбца) определителя прибавить элементы параллельной строки (столбца), умноженные на одно и то же число: a11 a12 a13 a11 k a13 a12 a13 a 21 a 22 a 23 a 21 k a 23 a 22 a 23 . a 31 a 32 a 33 a 31 k a 33 a 32 a 33 Пример 8. Вычислить определитель `1 2 4 3 6 1 , используя свойства определителей. 1 2 5 Решение. Элементы первого и второго столбцов данного 1 3 1 1 определителя пропорциональны , поэтому, согласно 2 6 2 2 свойству 6, данный определитель равен нулю, то есть 0 . Пример 9. Вычислить определитель `1 1 2 1 3 1 , используя свойства определителей. 4 0 1 9 Решение. Используя свойство 8, приведем данный определитель к треугольному виду. Для этого элементы первой строки умножим на (-1) и прибавим к элементам второй строки: `1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 3 1 1 (1) 3 (1) 1 (2) 0 2 1 . 4 0 1 4 0 1 4 0 1 Элементы первой строки умножим на (-4) и прибавим к элементам третьей строки: `1 1 2 1 1 2 0 2 1 0 2 1 . 4 (4) 0 (4) 1 (8) 0 4 7 Элементы второй строки умножим на 2 и прибавим к элементам третьей строки: `1 1 2 1 1 2 0 2 1 0 2 1 . 0 4 (4) 2 (7) 0 0 9 Получили определитель треугольного вида (под главной диагональю определителя все элементы равны нулю), и поэтому значение определителя будет равно произведению элементов главной диагонали преобразованного определителя: 1 1 2 1 1 2 1 3 1 0 2 1 1 2 (9) 18 . 4 0 1 0 0 9 Пример 10. Вычислить определитель `1 1 1 3 2 1 , используя свойства определителей. 4 2 4 Решение. `1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 2 . 4 2 4 4 2 4 4 2 4 10 Воспользовались свойством 7, а так как в первом полученном определителе первые две строки одинаковые, то по свойству 3 этот определитель равен нулю, поэтому `1 1 1 2 1 2 . 4 2 4 Элементы третьей строки содержат общий множитель 2, который, согласно свойства 4, можно вынести за знак определителя: `1 1 1 2 2 1 2 . 2 1 2 Полученный определитель содержит две одинаковые строки вторую и третью, поэтому по свойству 3 этот определитель, а значит и данный, равен нулю: `1 1 1 2 1 2 20 0 . 4 2 4 1.1.4. Определители четвертого порядка. Методы их вычисления Определение. Выражение a11 a12 a13 a14 a 22 a 21 a 22 a 23 a 24 a11 a 32 a 31 a 32 a 33 a 34 a 42 a 41 a 42 a 43 a 44 a 21 a13 a 31 a 41 a 22 a 32 a 42 a 24 a 21 a 34 a14 a 31 a 44 a 41 a 23 a 33 a 43 a 22 a 32 a 42 a 24 a 21 a 34 a12 a 31 a 44 a 41 a 23 a 33 a 43 a 24 a 34 a 44 a 23 a 33 a 43 называется определителем четвертого порядка. Этот определитель можно записать в виде: (6) a11 A11 a12 A12 a13 A13 a14 A14 , где Aij (1) i j M ij , i 1,2,3,4, j 1,2,3,4, M ij - минор элемента, стоящего на пересечении i-ой строки и j-го столбца, Aij -алгебраическое дополнение этого элемента. 11 Формулу (6) можно записать с помощью значка суммирования : 4 a ij Aij , (7) j 1 где i=1,2,3,4. Формула (7) называется разложением определителя по элементам i-ой строки. Можно записать и разложение определителя по элементам j-го столбца: 4 a ij Aij , (8) i 1 где j=1,2,3,4. Метод понижения порядка определителя основан на обращении всех, кроме одного, элементов строки или столбца определителя в нуль с помощью свойств определителей. Пример 11. Вычислить определитель 1 5 2 2 1 7 3 4 . 2 9 5 7 1 6 4 2 Решение. Прибавим элементы первой строки к элементам второй строки: 1 5 2 2 0 2 1 6 . 2 9 5 7 1 6 4 2 Элементы первой строки умножим на (-2) и прибавим к элементам третьей строки: 1 5 2 2 0 2 1 6 . 0 1 1 3 1 6 4 2 Элементы первой строки умножим на (-1) и прибавим к элементам четвертой строки: 12 1 5 2 2 0 2 1 6 . 0 1 1 3 0 1 2 0 Разложим полученный определитель по элементам первого столбца 2 1 6 5 2 2 5 2 2 5 2 2 1 1 1 2 1 2 1 3 0 1 2 0 1 3 0 2 1 2 0 1 1 6 0 2 1 6 2 1 0 1 3 1 6 1 3. 2 0 Переставим первые две строки, при этом знак определителя изменится на противоположный, одновременно вынесем общий множитель 3 элементов третьего столбца за знак определителя: 1 1 1 3 2 1 2 . 1 2 0 Умножим элементы первой строки на (-2) и прибавим к элементам второй строки: 1 1 1 3 0 3 0 . 1 2 0 Полученный определитель разложим по элементам второй строки 1 1 1 1 1 1 1 1 3 (3) 3 0 (3) 0 2 0 1 0 1 2 1 0 9 1 0 (1) 1 9(0 1) 9 2 1 0 3 1 1 2 0 Пример 12. Вычислить определитель . 3 3 2 3 2 3 1 2 Решение. Поменяем местами первую и вторую строки, при этом по свойству 2 знак определителя изменится на противоположный: 13 1 2 3 2 1 1 3 3 2 0 2 1 0 3 . 3 2 Сначала элементы первой строки умножим на (-2) и прибавим к элементам второй и четвертой строк, а затем элементы первой строки умножим на (-3) и прибавим к элементам третьей строки, получим: 1 1 2 0 0 1 4 3 . 0 0 4 3 0 1 0 2 Элементы второй строки прибавим к элементам четвертой строки: 1 1 2 0 0 1 4 3 . 0 0 4 3 0 0 4 5 Элементы третьей строки умножим на (-1) и прибавим к элементам четвертой строки: 1 1 2 0 0 1 4 3 . 0 0 4 3 0 0 0 2 Получим определитель треугольного вида, значение которого равно произведению элементов главной диагонали 1 (1) (4) 2 8 . Пример 13. Вычислить определитель 2 3 4 5 3 7 10 13 . 5 11 16 21 4 5 3 10 Решение. Разложим определитель по элементам третьей строки 14 5 (1) 16 (1) 31 3 3 3 4 5 2 4 5 3 2 7 10 13 11 (1) 3 10 13 5 3 10 4 3 10 2 3 5 2 3 4 3 4 5 3 4 3 7 13 21 (1) 3 7 10 5 7 10 13 4 5 10 4 5 3 5 3 10 2 4 5 2 3 5 2 3 4 11 3 10 13 16 3 7 13 21 3 7 10 . 4 3 10 4 5 10 4 5 3 Полученные определители третьего порядка вычислим по правилу треугольника 5 (3 10 10 7 3 5 4 13 5 5 10 5 7 4 10 3 13 3) 11(2 10 10 3 3 5 4 13 4 4 10 5 3 13 2 3 4 10 ) 16 (2 7 10 3 5 5 3 13 4 4 7 5 5 13 2 3 3 10 ) 21(2 7 3 3 5 4 3 10 4 4 7 4 5 10 2 3 3 3) 5(300 105 260 250 280 117 ) 11(200 45 208 200 78 120 ) 16 (140 75 156 140 130 90 ) 21(42 60 120 112 100 27 ) 5 18 11 55 16 11 21 (17 ) 90 605 176 357 18 . 1.4.5. Задания для самостоятельного решения. 1.Вычислить определители: a) 2 5 5 7 4 8 3 6 2 4 ; б) ; в) ; г) ; д) . 3 4 3 1 5 10 5 10 3 9 2. Решить уравнения: x3 1 0; б ) 4 3x a) 2 1 г) 4 sin x 1 0. 1 cos x 4 x 2 4 1 0; в) 0; x 22 x2 x2 3. Решить неравенства: 3x 3 2 1 x5 2x 2 1 x 3x a) 0; б ) 0; в ) 5; г ) 14 . x 1 2 x 7x 2 4 2x 15 4. Вычислить определители: 2 1 3 3 0 3 3 2 5 4 2 1 a) 1 2 1 ; б ) 2 3 2 ; в) 1 3 0 ; г ) 0 3 6 ; 5 4 1 0 6 1 1 4 2 8 8 2 3 2 1 д) 2 5 3 ; 1 4 2 1 1 1 е) 1 2 3 ; 1 3 6 4 2 1 ж) 5 3 2 ; 3 2 1 2 2 1 з) 0 5 0 ; 7 3 2 2 1 7 4 2 3 3 4 0 3 9 5 2 1 1 2 и) ; к) ; 0 0 1 8 6 2 1 0 0 0 0 5 2 3 0 5 2 1 1 0 6 5 0 1 2 1 9 7 л) ; м) 3 1 2 3 7 5 3 1 6 1 4 8 8 4 7 3 2 5 2 8 9 4 ; н) 3 7 7 2 7 8 3 5 3 3 6 9 . 3 4 Ответы: 1. а)7; б)26; в)0; г)0; д)30. 2. а)5; б)2; в)2; n , n z. 3. а) (3;); б) 10; ; в) (;3]; г)[-1;7]. г) (1) n 12 2 4. а)-24; б)-40; в)-9; г)57; д)-5; е)1; ж)1; з)55; и)30; к)48; л)0; м)-1004; н)150. 1.2. Матрицы 1.2.1 Основные понятия Определение. Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк одинаковой длины и n столбцов одинаковой длины, которая записывается в виде a11 a12 ... a1n a 21 a 22 ... a 2 n A (9) ... ... ... ... a m1 a m 2 ... a mn 16 или, сокращенно, A (aij ) , где i 1, m , (т.е. i 1,2,..., m ) – номер строки, j 1, n (т.е. j 1,2,...,n ) – номер столбца, числа a ij называются элементами матрицы. Матрицу A называют матрицей 3 2 5 7 , A24 . размера m n и пишут Amn . Например. A 6 1 0 8 Определение. Две матрицы A (aij ) и B (bij ) равны между собой, если их размеры совпадают, а их соответствующие элементы равны, т.е. A B , если a ij bij , где i 1, m, j 1, n . 3 1 4 3 1 4 , A23 , B , B 23 . Так A как 2 5 7 2 5 7 размеры матриц совпадают (2 3) и соответствующие элементы равны, поэтому матрицы A и B равны, т.е. A B Определение. Матрица, у которой число строк равно числу столбцов, называется квадратной. Квадратную матрицу размера n n называют матрицей n-го порядка. 2 7 , A22 , т.е. дана матрица второго порядка. Например. A 0 4 Определение. Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме элементов главной диагонали, равны нулю, называются диагональной. 3 0 0 Матрица A 0 1 0 - диагональная. 0 0 7 Определение. Диагональная матрица, у которой каждый элемент главной диагонали равен единице, называется единичной. Обозначается буквой E . 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 E 33 0 1 0 или E 44 . 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Определение. Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, расположенные над главной диагональю (или под главной диагональю), равны нулю. Например. 17 1 2 7 4 0 0 A33 0 3 5 или A33 3 1 0 - треугольные матрицы. 0 0 8 8 5 0 Важной характеристикой квадратной матрицы порядка n является ее определитель (или детерминант), который обозначается det A или A . det E 1. . Определение. Квадратная матрица, у которой определитель отличен от нуля, т.е. A 0 , называется невырожденной. В противном случае матрица называется вырожденной. 2 3 2 3 , A 12 12 0. Например, A 4 6 4 6 Матрица А – вырожденная. 3 1 3 1 , B B 21 4 25 0. 4 7 4 7 Матрица В – невырожденная. Определение. Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и обозначается буквой О. 0 0 ... 0 0 0 ... 0 O . ... ... ... ... 0 0 ... 0 В матричном исчисление матрицы О и Е играют роль чисел 0 и 1 в арифметике. Определение. Матрица, содержащая одну строку, называется матрицей-строкой A (a1 a 2 ...a n ). Матрица, содержащая один столбец, называется матрицейстолбцом a1 a A 2 . ... a m Матрица размера 11 , состоящая из отождествляется с этим числом, т.е. (3)11 есть 3. 18 одного числа, Определение. Матрица, полученная из данной заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером, называется матрицей транспонированной к данной. Обозначается AT . 2 3 2 1 1 , то A T , если A 1 2 , то A T . Если A 1 4 3 4 2 Транспонированная матрица обладает следующим свойством: A T T A. 1.2.2. Действия над матрицами Определение. Суммой двух матриц Amn aij одинаковых размеров называется матрица того же размера такая, что cij aij bij : C mn cij и Bmn bij С A B a ij bij , i 1, m, j 1, n. (10) Пример 14. Найти сумму матриц A и B , если 1 4 5 8 0 2 3 1 , B . A 2 3 6 7 1 9 1 7 1 0 4 2 5 3 8 1 1 6 2 9 . Решение. A B 2 1 3 9 6 1 7 7 1 12 7 14 Для любых матриц A, B и C одинакового размера справедливы следующие свойства: 1. A B B A; 2. A ( B C ) ( A B) C ( A C ) B; 3. A 0 A. . Определение. Произведением матрицы A aij на число называется матрица B bij такая, что bij aij : B A a ij , i 1, m, j 1, n. 1 4 0 Пример 15. A 2 3 1 , 2 . Найти B A . 5 7 8 19 (11) 0 1 4 0 2 8 Решение. B 2 2 3 1 4 6 2 . 5 7 8 10 14 16 Матрица A (1) A называется противоположной матрице A . Для любых матриц A и B одинакового размера и любых действительных чисел и справедливы следующие свойства: 1. A A 0; 2. 1 A A; 3. A B A B; 4. A A B; 5. A A . Операция умножения двух матриц вводится только для случая, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы. Оределение. Произведением матрицы Amn aij на матрицу Bn p b jk называется матрица C m p cik такая, что cik ai1 b1k ai 2 b2k ... ain bnk , (12) где i 1, m , k 1, p . Формулу (12) для нахождения элемента c ik полезно помнить в виде правила: в матрице A выделяем i - ю строку, в матрице B выделяем k -й столбец. , . Тогда для того, чтобы получить элемент c ik матрицы C , расположенный на пересечении i-й строки и k-го столбца, надо каждый элемент i-й строки матрицы A умножить на соответствующий элемент k-го столбца матрицы B и все полученные произведения сложить. 20 Если матрицы A и B квадратные одного размера, то произведения AB и BA всегда существуют. Пример 16. Найти произведение матриц A и B , если 2 0 1 4 7 , B . A 1 3 5 3 2 Решение. Для получения первой строки новой матрицы фиксируем в матрице A первую строку (2 0), а в матрице B выделяем поочередно 1 4 7 первый, второй и третий столбцы: , , . 5 3 2 Элемент c11 находим как сумму произведений элементов первой строки матрицы A на соответствующие элементы первого столбца матрицы B по правилу: «произведение первого элемента строки на первый элемент столбца плюс произведение второго элемента строки на второй элемент столбца». 1 Пользуясь этим правилом, находим: c11 (2 0) 2 1 0 5 2, 5 4 7 c12 2 0 2 4 0 (3) 8, c13 2 0 2 7 0 2 14 . 3 2 Для вычисления элементов c 21 , c 22 , c 23 фиксируем вторую строку матрицы A (-1 3) и умножаем её поочередно на первый, второй и третий столбцы матрицы B : 1 c 21 (1 3) (1) 1 3 5 1 15 14, 5 4 c 22 1 3 (1) 4 3 (3) 4 9 13, 3 7 c 23 - 1 3 (1) 7 3 2 7 6 1. 2 2 0 1 4 7 C AB 1 3 5 3 2 2 4 0 (3) 27 02 2 8 14 2 1 0 5 . ( 1 ) 1 3 5 ( 1 ) 4 3 ( 3 ) ( 1 ) 7 3 2 14 13 1 Пример 17. Даны матрицы 1 2 1 1 3 , B 22 . Найти AB и BA . A23 3 1 0 1 2 21 Решение. Произведение AB не определено, так как число столбцов матрицы A (3) не совпадает с числом строк матрицы B (2). Произведение BA определено, так как число столбцов матрицы B (2) совпадает с числом строк матрицы A (2). Используя правило, рассмотренное в предыдущем примере, найдем произведение BA : 1 3 1 2 1 1 1 3 3 1 2 3 1 1 1 3 0 10 5 1 . B A 1 2 3 1 0 1 1 2 3 1 2 2 1 1 1 2 0 7 4 1 Матрицы A и B называются перестановочными, если AB BA . Умножение матриц обладает следующими свойствами: 1. A (B C) (A B) C; 2. AB C AB AC; 3. A B C AC BC; 4. ( AB) (A) B A(B); 5. det( AB) det A det B, если указанные суммы и произведения матриц имеют смысл. 6. Если A квадратная матрица n-го порядка, Е-единичная матрица того же порядка, то AE EA A . 7. Для операции транспонирования верны следующие равенства: ( A B) T AT B T , ( AB ) T B T AT . 2 3 1 0 , B . Пример 18. Даны матрицы A 5 4 3 2 Проверить справедливость равенства 5. Решение. Найдем произведение AB : 2 3 1 0 2 (1) 3 3 2 0 3 2 7 6 , A B 5 4 3 2 5 (1) 4 3 5 0 4 2 7 8 det( AB ) 7 6 7 8 7 8 7 6 56 42 14 . det A 2 3 2 4 5 3 8 15 7, 5 4 det B 1 0 (1) 2 3 0 2. 3 2 det A det B (7)( 2) 14. 22 Таким образом, det( AB) det A det B 14. 1 1 1 0 , B . Пример 19. Даны матрицы A 0 0 1 1 Показать, что ( AB) T B T AT . Решение. Найдем произведение матриц АВ: 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 2 1 . A B 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 2 0 . ( AB ) T 1 0 1 1 T 1 0 , A . B T 0 1 1 0 1 11 0 1 1 1 1 1 0 1 0 2 0 . Найдем B T A T 0 11 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 2 0 . Получим ( AB ) T B T A T 1 0 0 1 1 1 , B31 5 . Пример 20. Даны две матрицы A23 3 2 1 3 Найти АВ. Решение. 0 1 1 1 1 0 1 5 1 3 2 5 . A B 3 2 1 3 3 0 2 5 1 3 13 21 Пример 21. Найти значение матричного многочлена 1 2 1 2 2 A 3 A 5 E , если A 1 3 1 , Е - единичная матрица третьего 4 1 1 порядка. Решение. A 2 A A . Найдем A 2 : 23 1 2 1 1 A 1 3 1 1 4 1 1 4 7 9 4 = 8 12 5 , 2 A 2 9 12 6 2 2 1 11 2 1 1 4 3 1 11 3 1 1 4 1 1 4 1 11 1 4 7 9 4 14 2 8 12 5 16 9 12 6 18 1 2 2 3 11 11 2 1 11 1 2 3 3 1 1 1 1 3 1 1 1 4 2 1 3 11 4 1 11 11 18 8 24 10 , 24 12 1 2 1 3 6 3 1 0 0 5 0 0 3 A 3 1 3 1 3 9 3 , 5 E 5 0 1 0 0 5 0 , 4 1 1 12 3 3 0 0 1 0 0 5 14 18 8 3 6 3 17 24 11 2 A 3 A 16 24 10 3 9 3 19 33 13 , 18 24 12 12 3 3 30 27 10 2 17 24 11 5 0 0 12 24 11 2 A 3 A 5E 19 33 13 0 5 0 19 28 13 . 30 27 15 0 0 5 30 27 10 2 Пример 22. Найти произведение матриц A B C , если оно 6 2 3 4 , B 1 , C 3 2 1 8. определено, где A 1 5 0 7 Решение. Рассмотрим матрицы A и В. Размер матрицы A 2 3 , размер матрицы B 31 . Так как число столбцов матрицы A (3) равно числу строк матрицы B (3), то произведение A B определено, в результате получим матрицу размера 21 . Число столбцов матрицы A B (1) совпадает с числом строк матрицы C (1), таким образом, произведение A B C определено, получаемая матрица будет размера 2 4 . Найдем произведение A B : 6 2 3 4 2 6 3 1 4 7 43 1 . A B 1 5 0 7 1 6 5 1 0 7 1 21 Найдем произведение A B C : 24 43 (2) 43 1 43 8 43 43 3 A B C 3 2 1 8 1 ( 1 ) 3 ( 1 ) ( 2 ) ( 1 ) 1 ( 1) 8 129 86 43 344 . 2 1 8 24 3 1.2.3. Обратная матрица Пусть А-квадратная матрица n-го порядка a11 a12 ... a1n a 21 a 22 ... a 2 n . A ... ... ... ... a n1 a n 2 ... a nn Определение. Матрица A11 A21 ... An1 A12 A22 ... An 2 A , ... ... ... ... A 1n A2 n ... Ann составленная из алгебраических дополнений к элементам матрицы А, называется присоединенной к матрице А. Алгебраические дополнения к элементам квадратной матрицы находятся так же, как к элементам ее определителя. В присоединенной матрице алгебраические дополнения элементов строки стоят в столбце с таким же номером. Пример 23. Дана матрица 2 0 1 A 3 1 4 . 5 8 6 Найти матрицу, присоединенную к матрице А. Решение. Найдем алгебраические дополнения к элементам матрицы А: 1 4 A11 (1)11 (1) 6 8 4 6 32 38, 8 6 A12 (1)1 2 3 4 (3 6 5 4) (48 20 ) 2, 5 6 25 A13 (1)13 3 1 (3 8 5 (1)) 24 5 29 , 5 8 A21 (1) 2 1 0 1 (0 6 8 1) 8, 8 6 A22 (1) 2 2 2 1 2 6 5 1 12 5 7, 5 6 A23 (1) 2 3 2 0 (2 8 5 0) 16 , 5 8 A31 (1) 31 0 1 0 4 (1) 1 1, 1 4 A32 (1) 3 2 2 1 (2 4 3 1) (8 3) 5, 3 4 A33 (1) 33 2 0 2 (1) 3 0 2. 3 1 ~ Составим матрицу A , присоединенную к матрице А 1 38 8 ~ A 2 7 5 . 29 16 2 Определение. Матрица A 1 называется обратной матрице А, если выполняется условие (14) A A1 A1 A E , где E – единичная матрица того же порядка, что и матрица A . Матрица A 1 имеет те же размеры, что и матрица A . Теорема. Для того, чтобы матрица A имела обратную матрицу, необходимо и достаточно, чтобы det A 0, то есть чтобы матрица была невырожденной. Обратная матрица находится по формуле: A11 1 A A12 det A A13 для матрицы А третьего порядка. Свойства обратной матрицы: 1 A21 A22 A23 26 A31 A32 A33 (15) 1. det( A 1 ) 1 ; det A 2. ( A B) 1 B 1 A 1 ; 3. ( A1 ) T ( AT ) 1 . 3 5 . Пример 24. Найти A 1 , если A 1 8 Решение. Проверим, является ли данная матрица невырожденной. Вычислим определитель, соответствующий матрице A : det A 3 5 3 8 1 5 24 5 19 0, следовательно, матрица A 1 8 невырожденная и для нее существует обратная матрица A 1 . Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы A : A11 (1)11 8 8, A12 (1)12 1 1, A21 (1) 21 5 5, A22 (1) 22 3 3. Составим матрицу A 1 по формуле (15) A 1 8 1 8 5 19 19 1 3 1 19 5 19 . 3 19 Проверка: A A 1 24 5 19 88 19 8 3 5 19 1 8 1 19 5 3 8 5 1 3 5 5 3 19 19 19 19 19 3 8 3 1 5 1 8 1 8 19 19 19 19 19 15 15 19 19 19 5 24 0 19 0 1 0 E. 19 0 1 19 Следовательно, обратная матрица A 1 найдена верно. 27 Пример 25. Показать, что матрица A является обратной для B , если 1 1 1 3 3 1 A 1 2 3 , B 3 5 2 . 1 3 6 1 2 1 Решение. Найдем произведение матриц A и B : 1 1 1 3 A B 1 2 3 3 1 3 6 1 1 3 1 ( 3 ) 1 1 1 3 2 (3) 3 1 1 3 3 (3) 6 1 3 1 5 2 2 1 1 (3) 1 5 1 (2) 1 1 1 (2) 1 1 1 (3) 2 5 3 (2) 1 1 2 (2) 3 1 1 (3) 3 5 6 (2) 1 1 3 (2) 6 1 1 0 0 0 1 0 E. 0 0 1 Следовательно, матрица A является обратной для матрицы B . Пример 26. Найти матрицу, обратную для матрицы 3 1 4 A 5 2 5 . 2 3 1 Решение. Найдем определитель матрицы A : 3 1 4 A 5 2 5 3 2 1 5 3 4 (1) 5 2 2 2 4 5 (1) 1 2 3 1 3 5 3 6 60 10 16 5 45 0. Матрица A – вырожденная, значит обратная для нее матрица не существует. Пример 27. Найти матрицу, обратную для данной матрицы 28 2 1 3 A 1 0 4 . 3 1 2 Решение. Найдем определитель матрицы A : 2 1 3 A 1 0 4 2 0 2 (1) 1 3 1 4 3 3 0 3 (1) 1 2 3 1 2 1 4 2 0 3 12 0 2 8 3 0, значит матрица A невырожденная и для нее существует обратная матрица A 1 . Вычислим алгебраические дополнения элементов матрицы A : 0 4 A11 (1)11 0 2 1 4 4, 1 2 A12 (1)1 2 1 4 (( 1) 2 3 4) (2 12 ) 14 , 3 2 A13 (1)13 1 0 (1) 1 3 0 1, 3 1 A21 (1) 21 1 3 (1 2 1 3) (2 3) 1, 1 2 A22 (1) 2 2 2 3 2 2 3 3 4 9 5, 3 2 A23 (1) 2 3 2 1 (2 1 3 1) (2 3) 1, 3 1 A31 (1) 31 1 3 1 4 0 3 4 0 4, 0 4 A32 (1) 3 2 2 3 (2 4 (1) 3) (8 3) 11, 1 4 A33 (1) 33 2 1 2 0 (1) 1 0 1 1. 1 0 Используя формулу (15), составим матрицу A 1 : 29 A 1 4 4 3 4 1 1 14 14 5 11 3 3 1 1 1 1 3 4 3 11 . 3 1 3 1 3 5 3 1 3 Проверка: 4 4 1 3 2 1 3 3 3 14 5 11 A1 A 1 0 4 3 3 3 1 1 1 3 1 2 3 3 3 4 1 4 4 1 4 4 1 4 1 0 1 3 4 2 2 ( 1) 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 14 5 11 14 5 11 14 5 11 2 ( 1) 3 1 0 1 3 4 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 3 1 0 1 3 4 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 8 1 12 4 0 4 3 3 28 5 33 14 0 11 3 3 2 1 3 1 0 1 3 3 12 4 8 3 1 0 0 42 20 22 0 1 0 E. 3 3 4 2 0 0 1 3 Значит обратная матрица A 1 найдена верно. 1.2.4. Ранг матрицы Рассмотрим матрицу A размера m n a11 a A 21 ... a m1 a12 a 22 ... a m2 30 ... a1n ... a 2 n . ... ... ... a mn Выделим в ней k строк и k столбцов (k min( m; n)) . Из элементов, стоящих на пересечении выделенных строк и столбцов, составим определитель k-го порядка. Все такие определители называются минорами этой матрицы. Определение. Рангом матрицы A называется наибольший из порядков миноров данной матрицы, отличных от нуля. Обозначают ранг матрицы rA , r ( A) или rangA . Пример 28. Найти ранг матрицы: 2 0 3 0 A 4 0 5 0 . 1 0 7 0 Решение. Дана матрица размера 3 4 . Возможный ранг матрицы равен трем, т.к. (k min( 3;4)) . Но матрица содержит два нулевых столбца, поэтому все определители третьего порядка, составленные из элементов данной матрицы равны нулю: 2 0 3 2 0 0 0 3 0 4 0 5 0, 4 0 0 0, 0 5 0 0. 1 0 7 1 0 0 0 7 0 Составим минор второго порядка, например 2 3 2 5 4 3 10 12 2 0 . Значит, r ( A) 2. 4 5 Ранг матрицы удобно вычислять, используя элементарные преобразования над матрицей. К элементарным относятся следующие преобразования: 1) перестановка местами двух параллельных рядов матрицы; 2) умножение всех элементов ряда матрицы на число, отличное от нуля; 3) прибавление ко всем элементам ряда матрицы соответствующих элементов параллельного ряда, умноженных на одно и то же число. Определение. Две матрицы A и B называются эквивалентными, если одна из них получается из другой с помощью элементарных преобразований. Записывается A ~В. Свойства ранга матрицы: 1. При транспонировании матрицы ее ранг не меняется. 2. Ранг матрицы не изменится, если вычеркнуть из матрицы нулевой ряд. 31 3. При элементарных преобразованиях изменяется, т.е. если A ~В, то r ( A) r ( B). Пример 29. Найти ранг матрицы ранг матрицы не 2 3 1 2 A 0 2 1 1 . 4 0 5 1 Решение. Умножим элементы первой элементам третьей строки 2 3 1 2 2 A 0 2 1 1 ~ 0 4 0 5 1 0 строки на (-2) и прибавим к 3 1 2 2 1 1 . 6 3 3 Элементы второй строки умножим на 3 и прибавим к элементам третьей строки 1 2 2 3 1 2 2 3 0 2 1 1 ~ 0 2 1 1 . 0 6 3 3 0 0 0 0 Вычеркнем третью строку полученной матрицы, т.к. все ее элементы равны нулю: 2 3 1 2 2 3 1 2 . 0 2 1 1 ~ 0 0 0 0 0 2 1 1 Составим минор второго порядка: 2 3 2 2 03 4 0 . 0 2 Таким образом, r ( A) 2. В преобразованной матрице получилось две ненулевые строки. Пример 30. Найти ранг матрицы 1 2 3 6 1 A 2 3 1 6 1 . 3 1 2 6 0 35 Решение. Умножим элементы первой строки на (-2) и прибавим к элементам второй строки данной матрицы: 32 1 2 3 6 1 1 A 2 3 1 6 1 ~ 0 3 1 2 6 0 3 Умножим элементы первой строки третьей строки: 2 3 6 1 1 5 6 3 . 1 2 6 0 на (-3) и прибавим к элементам 3 6 1 1 2 3 6 1 1 2 0 1 5 6 3 ~ 0 1 5 6 3 . 3 1 2 6 0 0 5 7 12 3 Элементы второй строки полученной матрицы умножим на (-5) и прибавим к элементам третьей строки: 3 6 1 1 2 3 6 1 1 2 0 1 5 6 3 ~ 0 1 5 6 3 . 0 5 7 12 3 0 0 18 18 12 Из элементов полученной матрицы составим определитель третьего порядка. Для этого возьмем первые три столбца: 1 2 3 0 1 5 . 0 0 18 Получили определитель треугольного вида, значение которого равно произведению элементов главной диагонали 1 (1) 18 18 0 . Ранг последней матрицы равен 3, следовательно, ранг данной матрицы тоже равен 3. В последней матрице содержится три ненулевые строки. Можно сделать следующий вывод: ранг матрицы равен количеству ненулевых строк преобразованной к треугольному виду матрицы. 1.2.5. Задания для самостоятельного решения. 1. Даны матрицы A23 , B31 , C 33 . Существуют ли а) AB , б) BA , в) AC , г) CA , д) ABC , е) ACB , ж) CB , з) CBA ? 2. Найдите m и n , если известно, что а) A34 B45 C mn ; б) A23 Bmn C 26 ; в) A2m Bn3 C 23 . 33 2 1 2 4 , B . 3. Даны матрицы: A 3 4 5 6 Найдите а) A B ; б) B A ; в) 2 A 3B ; г) A B AT BT ; д) A B ; е) B A ; ж) A 1 ; з) B 1 . 1 2 1 0 1 3 0 1 , B 3 4. Даны матрицы: A 1 , C 3 1 2 . 2 1 2 0 2 0 1 1 Найдите а) AB ; б) BA ; в) AC ; г) CB ; д) 2C BA ; е) C 1 ; ж) CC 1 ; з) 3C 2E ; и) CE ; к) AE . 5. Найти: 2 1 1 2 1 0 , B ; a) 3A+2B, если A 0 1 4 3 2 2 3 2 3 4 ; в) б) 5 4 2 5 2 3 9 6 ; г) 4 6 6 4 93 7 3 4 3 28 ; 7 5 38 126 2 1 6 5 8 4 3 2 5 5 0 2 3 2 д) 6 9 5 4 1 3 ; е) 4 1 5 3 ; 3 1 1 2 7 4 7 3 9 6 5 4 3 0 0 1 1 1 ж) 4 0 2 3 1 1 ; з) 2 2 5 3 3 2 1 1 1 3 4 2 1 2 2 2 ; и) 3 4 ; 3 1 1 1 4 n 1 1 . к) 0 1 6. Найти значение многочлена f (A) , если: 34 2 1 ; а) f ( X ) 3X 2 4 , где A 0 3 1 б) f ( X ) X 2 3 X 1 , где A 1 1 2 в) f ( X ) 3 X 2 X 5 , где A 2 3 2 ; 3 2 3 4 1 . 5 2 7. Найти матрицы, обратные для данных и сделать проверку: 1 2 ; б) а) 3 4 7 2 5 3 4 ; в) 6 3 4 ; г) 5 7 5 2 3 3 4 5 2 3 1 . 3 5 1 8. Найти ранг матрицы: 2 1 3 2 4 1 2 3 6 а) 4 2 5 1 7 ; б) 2 3 1 6 ; 2 1 1 8 2 3 1 2 6 1 2 1 3 4 г) 3 4 2 6 8 ; 1 2 1 3 4 1 2 5 1 д) 2 4 10 2 ; 3 6 15 3 0 2 0 0 в) 1 0 0 4 ; 0 0 3 0 3 2 1 4 е) . 7 10 5 6 Ответы: 1. а), в), е), ж) да; б), г), д), з) нет. 2. а) 3;5, б) 3;6, в) m n — любые натуральные числа. 3 2 1 6 , б) , 3. а) 2 10 8 2 0 4 16 6 12 , г) , д) в) 21 10 0 20 26 4 2 6 4 , з) . ж) 1 3 5 2 2 3 1 3 8 , б) 11 1 5 , в) 4. а) 1 9 4 2 4 16 , е) 36 14 20 , 23 34 1 5 3 1 2 , г) 0 11 , 5 1 2 3 3 35 1 1 1 1 2 1 1 д) 5 1 1 , е) 3 1 1 , ж) E, з) 2 4 4 6 3 1 1 2 5.а) 6 56 е) 69 ; 17 1 0 3 9 1 6 , и) C, к) A. 0 3 5 11 22 29 5 3 5 2 0 0 2 0 ; б) ; в) ; г) ; д) 9 27 32 ; 7 8 7 0 0 0 0 3 13 17 26 5 13 14 1 n 15 ; к) . ж) 3 1 ; з) ; и) 21 22 0 1 25 35 21 23 15 3 2 ; в) 13 34 10 . 1 1 9 22 25 1 1 1 2 1 7 4 1 ; б) ; в) 38 41 34 ; 7. а) 3 5 3 27 29 24 2 2 8 29 11 г) 5 18 7 . 1 3 1 8 15 ; б) 6. а) 0 23 8. а)2; б)3; в)3; г)2; д)1; е)2. 1.3. Системы линейных уравнений 1.3.1. Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений, содержащей m уравнений и n неизвестных, называется система вида: a11 x1 a12 x 2 ... a1n x n b1 , a 21 x1 a 22 x 2 ... a 2 n x n b2 , .......... .......... .......... .......... .......... ... a m1 x1 a m 2 x 2 ... a mn x n bm 36 (1.16) где числа a ij , i 1, m, j 1, n называются коэффициентами системы, числа b i - свободными членами. Матрица, составленная из коэффициентов системы, называется основной матрицей и обозначается: a11 a A 21 ... a m1 a12 a 22 ... a m2 ... a1n ... a 2 n . ... ... ... a mn (1.17) Расширенной матрицей системы называется матрица A , полученная из основной матрицы A , дополненная столбцом свободных членов: a11 a A 21 ... a m1 a12 a 22 ... a m2 ... a1n ... a 2 n ... ... ... a mn b1 b2 . ... bm (1.18) Решение системы (1.16) называется n значений неизвестных x1 c1 , x 2 c 2 ,..., x n c n , при подстановке которых все уравнения системы обращаются в верные равенства. Всякое решение системы можно записать в виде матрицы-столбца c1 c C 2. ... c n Определение. Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения. Определение. Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения. В последнем случае каждое ее решение называется частным решением системы. Совокупность всех частных решений называется общим решением. Решить систему – это значит выяснить, совместна она или несовместна. Если система совместна, найти ее общее решение. 37 Две системы называются эквивалентными (равносильными), если каждое решение одной из них является решением другой, и наоборот. Эквивалентные системы получаются, в частности, при элементарных преобразованиях системы при условии, что преобразования выполняются лишь над строками матрицы. Система линейных уравнений (1.16) называется однородной, если все свободные члены равны нулю. a11 x1 a12 x 2 ... a1n x n 0, a 21 x1 a 22 x 2 ... a 2 n x n 0, .......... .......... .......... .......... .......... ... a m1 x1 a m 2 x 2 ... a mn x n 0. (1.19) Однородная система всегда совместна, так как x1 x 2 ... x n 0 является решением системы. Это решение называется нулевым или тривиальным. 1.3.2. Теорема Кронекера-Капелли Система линейных алгебраических уравнений (1.16) совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы (1.18) равен рангу основной матрицы (1.17), то есть r ( A ) r ( A) . Если система (1.16) совместна и 1) ранг системы равен числу неизвестных (r(A)=n), то система имеет единственное решение; 2) ранг системы меньше числа неизвестных (r(A)<n), то система имеет бесчисленное множество решений. Рассмотрим второй случай. Пусть r(A)=r<n.Возьмем первые r уравнений системы (1.16) и оставим в левых частях этих уравнений первые r неизвестных, а остальные неизвестные перенесем вправо: a11 x1 a12 x 2 ... a1r x r b1 a1r 1 x r 1 ... a1n x n , a 21 x1 a 22 x 2 ... a 2 r x r b2 a 2 r 1 x r 1 ... a 2 n x n , .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ....... a r1 x1 a r 2 x 2 ... a rr x r br a rr 1 x r 1 ... a rn x n . “Свободным” неизвестным x r 1 , x r 2 ,..., x n можно придать любые значения. Тогда соответствующие значения получают неизвестные x1 , x 2 ,..., x r . Таким образом можно найти частные и общее решения исходной системы уравнений. Пример 31. Исследовать на совместность систему 38 x1 5 x 2 4 x 3 1, 2 x1 10 x 2 8 x 3 3, 3x 15 x 12 x 5. 2 3 1 Решение. Определим ранги основной матрицы системы и расширенной матрицы системы. Для этого выпишем расширенную матрицу системы 1 5 4 1 A 2 10 8 3 . 3 15 12 5 Вертикальной чертой отделим элементы основной матрицы от свободных членов системы. Умножим элементы первой строки на (-2) и прибавим к элементам второй строки 1 5 4 1 A ~ 0 0 0 1 . 3 15 12 5 Элементы первой строки, умноженные на (-3), прибавим к элементам третьей строки 1 5 4 1 A ~ 0 0 0 1 . 0 0 0 2 Умножим элементы второй строки на (-2) и прибавим к элементам третьей строки 1 5 4 1 A ~ 0 0 0 1 . 0 0 0 0 Основная матрица системы А эквивалентна матрице 1 5 4 ~ A 0 0 0 . 0 0 0 39 В полученной матрице одна ненулевая строка, значит ранг матрицы A равен 1, то есть r(A)=1. Расширенная матрица системы A 1 5 4 1 эквивалентна матрице A ~ 0 0 0 1 . 0 0 0 0 В полученной матрице две ненулевые строки, поэтому r ( A ) 2 . Так как r ( A) r ( A ) , тогда согласно теореме Кронекера-Капелли данная система уравнений несовместна. Пример 32. Исследовать на совместность систему 3 x1 2 x 2 4, x1 4 x 2 1, 7 x1 10 x 2 12 , 5 x 6 x 8, 2 1 3 x1 16 x 2 5. Решение. Выпишем расширенную матрицу системы 3 2 4 1 4 1 A 7 10 12 . 5 6 8 3 16 5 Поменяем местами первую и вторую строки 1 4 1 2 4 3 A ~ 7 10 12 . 5 6 8 3 16 5 Умножим элементы первой строки на (-3) и прибавим к элементам второй строки 40 1 4 0 14 A ~ 7 10 5 6 3 16 1 7 12 . 8 5 Элементы первой строки, умноженные на (-7), (-5), (-3) прибавим соответственно к элементам третьей, четвертой и пятой строк: 1 4 0 14 A ~ 0 38 0 26 0 4 1 7 19 . 13 2 Поменяем местами строки 1 0 A ~ 0 0 0 4 4 14 38 26 1 - 2 7 . 19 13 1 Умножим элементы второй строки на 2 1 0 A ~ 0 0 0 4 1 2 1 14 7 . 38 19 26 13 Элементы второй строки умножим на 7, 19, 13 и прибавим соответственно к элементам третьей, четвертой и пятой строк: 41 1 4 1 2 1 0 A ~ 0 0 0 . 0 0 0 0 0 0 Основная матрица системы эквивалентна матрице 1 0 A ~ 0 0 0 4 2 0 , 0 0 в которой две ненулевые строки, поэтому r(A)=2. Расширенная матрица системы эквивалентна матрице 1 4 1 2 1 0 0 0, A ~ 0 0 0 0 0 0 0 в которой также две ненулевые строки, поэтому r ( A ) 2 . Так как r ( A) r ( A ) , система совместна. В данной системе уравнений две неизвестные, то есть r n , поэтому система уравнений является определенной. Найдем единственное решение данной системы. Для этого восстановим систему по последней матрице x1 4 x 2 1, 2 x 2 1. Из второго уравнения найдем x 2 и полученное значение подставим 1 x , 2 2 в первое уравнение x 4 1 1; 1 2 x1 2 1, 1 x2 2 ; Пример 33. Исследовать систему уравнений 42 x1 1, 1 x2 2 . x1 3x 2 2 x 3 1, x1 9 x 2 6 x 3 3, x 3x 4 x 1. 2 3 1 Решение. Определим ранг основной матрицы системы и ранг расширенной матрицы данной системы. Выпишем расширенную матрицу 1 3 2 1 A 1 9 6 3 . 1 3 4 1 Умножим элементы первой строки на (-1) и прибавим сначала к элементам второй строки, а затем к элементам третьей строки. В результате получим матрицу, эквивалентную матрице A 1 3 2 1 A ~ 0 12 4 4 . 0 6 2 2 Элементы второй строки умножим на строки на 1 , а элементы третьей 4 1 2 1 3 2 1 A ~ 0 3 1 1 . 0 3 1 1 Элементы второй строки умножим на (-1) и прибавим к элементам третьей строки 1 3 2 1 A ~ 0 3 1 1 . 0 0 0 0 Отбросим третью строку, все элементы которой равны нулю 1 3 2 1 . (1.20) A ~ 0 3 1 1 43 В результате элементарных преобразований получили две ненулевые строки. Ранг основной матрицы системы равен двум r(A)=2. Ранг расширенной матрицы системы тоже равен двум r ( A ) 2 . Значит, данная система уравнений совместна, а так как число неизвестных, равное трем, больше, чем ранг, то система уравнений является неопределенной. Найдем общее решение системы уравнений. Воспользуемся матрицей (1.20) для получения системы уравнений, равносильной данной системе x1 3x 2 2 x 3 1, 3x 2 x 3 1. За базисные неизвестные примем x1 и x 2 , а x3 - свободная переменная. x1 3x 2 2 x 3 1, 3x 2 x 3 1. Выразим из этой системы x1 и x 2 через x3 : x1 1 x 3 1 2 x 3 , x1 3 x 3 , 1 1 1 1 x 2 x3 . x x ; 2 3 3 3 3 3 Пусть x3 С , где С – любое действительное число, получаем общее решение данной системы уравнений x1 3С , 1 1 x2 С, 3 3 x 3 С. Если необходимо найти какое-либо частное решение системы, то константе С придают любое значение, например: пусть С=1, тогда получим 3;0;1 . 1.3.3. Матричный метод решения систем Рассмотрим систему n линейных уравнений с n неизвестными 44 a11 x1 a12 x 2 ... a1n x n b1 , a 21 x1 a 22 x 2 ... a 2 n x n b2 , .......... .......... .......... .......... .......... ... a n1 x1 a n 2 x 2 ... a nn x n bn a11 a Основная матрица системы A 21 ... a n1 a12 a 22 ... a n2 (21) ... a1n ... a 2 n . ... ... ... a nn b1 x1 x b 2 Обозначим X , B 2 . Пусть A 0 , то есть матрица А ... ... b x 3 n невырожденная. Тогда систему (21) можно представить в виде уравнения A X B, (22) которое называется матричным уравнением. Решим матричное уравнение. Умножим обе части уравнения (22) слева на A 1 . Получим A 1 A X A 1 B , а так как A1 A E , E X X , тогда X A 1 B. (23) Равенство (23) называется решением матричного уравнения (22). Таким образом, чтобы решить систему уравнений (21) матричным методом, где A 0 , надо найти матрицу, обратную матрице А, и умножить ее на матрицу-столбец В, состоящую из свободных членов системы (21). Пример 34. Решить систему уравнений матричным методом 3x1 2 x 2 2 x 3 13, x1 3x 2 x 3 10, 5 x 3x 4 x 23 . 2 3 1 Решение. Выпишем основную матрицу системы 45 3 2 2 A 1 3 1 . 5 3 4 Проверим, является ли матрица А невырожденной: 3 2 2 A 1 3 1 3 3 4 1 3 2 2 1 5 (5 3 2 1 2 4 3 3 1) 5 3 4 36 6 10 30 8 9 5 0, значит матрица A является невырожденной, поэтому обратная матрица A 1 к матрице A существует и данную систему уравнений можно решить матричным методом. Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы A : A11 (1)11 3 1 3 4 3 1 12 3 9, 3 4 A12 (1)1 2 1 1 (1 4 5 1) (4 5) 1, 5 4 A13 (1)13 1 3 1 3 5 3 3 15 12 , 5 3 A21 (1) 21 2 2 (2 4 3 2) (8 6) 2, 3 4 A22 (1) 2 2 3 2 3 4 5 2 12 10 2, 5 4 A23 (1) 23 3 2 (3 3 2 2) (9 10 ) 1, 5 3 A31 (1) 31 2 2 2 1 3 2 2 6 4, 3 1 A32 (1) 3 2 3 2 (3 1 1 2) 1, 1 1 A33 (1) 33 2 1 3 3 1 2 9 2 7. 1 0 ~ Составим матрицу A , присоединенную к матрице А: 46 9 2 4 ~ A 1 2 1 . 12 1 7 По формуле (15) получим матрицу A 1 , обратную к матрице А: A 1 9 2 4 1 1 2 1 . 5 7 12 1 Найдем решение данной системы уравнений по формуле (23) x1 9 2 4 13 9 13 2 10 4 23 1 1 X x2 1 2 1 10 113 2 10 1 23 5 x 5 12 1 7 23 3 12 13 110 7 23 5 1 1 10 2 , то есть x1 1, x 2 2, x3 3. 5 15 3 Пример 35. Матричным методом решить систему уравнений x1 2 x 2 x 3 1, 2 x1 4 x 2 2 x 3 2, 5 x x 3x 0. 2 3 1 Решение. Запишем основную матрицу системы A : 1 2 1 A 2 4 2 5 1 3 1 2 1 и вычислим определитель этой матрицы A 2 4 2 . 5 1 3 В полученном определителе элементы первой строки пропорциональны соответствующим элементам второй строки, тогда по свойству 6 определителей A 0. 47 Матрица A является вырожденной, а значит решить матричным методом данную систему невозможно. 1.3.4. Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными a11 x1 a12 x 2 ... a1n x n b1 , a 21 x1 a 22 x 2 ... a 2 n x n b2 , .......... .......... .......... .......... .......... ... a n1 x1 a n 2 x 2 ... a nn x n bn , определитель основной матрицы которой отличен от нуля, то есть система уравнений невырожденная. Обозначим A . . Определитель 1 получается из определителя путем замены элементов первого столбца столбцом из свободных членов: b1 a12 ... a1n 1 Тогда x1 b2 ... bn a 22 ... a n2 ... a 2n . ... ... ... a nn 1 . 2 , где 2 получен из путем замены элементов второго столбца столбцом из свободных членов; x 3 3 , и так далее, x n n . Формулы x i i , i 1, n (24) называются формулами Крамера. Таким образом, невырожденная система n линейных уравнений с n неизвестными имеет единственное решение, которое может быть найдено матричным методом (23) или по формулам Крамера (24). Аналогично x2 Пример 36. Решить систему уравнений по формулам Крамера 48 2 x1 3x 2 2 x 3 9, x1 2 x 2 3x 3 14, 3x 4 x x 16 . 2 3 1 Решение. Составим и вычислим определитель данной системы уравнений 2 3 2 1 2 3 2 2 1 1 4 2 3 (3) 3 (3 2 2 1 3 1 2 4 (3)) 3 4 1 4 8 27 12 3 24 6 0. Данная система является невырожденной, поэтому ее решение можно найти по формулам Крамера (24). Вычислим 1 , 2 и 3 : 9 3 2 1 14 2 3 9 2 1 14 4 2 16 (3) 3 (16 2 2 14 3 1 16 4 1 9 4 (3)) 18 112 144 64 42 108 12; 2 9 2 2 1 14 3 2 14 1 1 16 2 3 9 (3) (3 14 2 1 9 1 16 (3) 2) 3 16 1 28 32 81 84 9 96 18; 2 3 9 3 1 2 14 2 2 16 1 4 9 3 3 14 (3 2 9 1 3 16 2 4 14 ) 3 4 16 64 36 126 54 48 112 12 . 12 18 12 Значит, x1 2 , x2 3 , x3 2 . 6 6 6 1.3.5. Решение систем методом Гаусса Одним из наиболее универсальных и эффективных методов решений систем линейных уравнений является метод Гаусса, состоящий в последовательном исключении неизвестных. Пусть дана система уравнений 49 a11 x1 a12 x 2 ... a1n x n b1 , a 21 x1 a 22 x 2 ... a 2 n x n b2 , .......... .......... .......... .......... .......... ... a m1 x1 a m 2 x 2 ... a mn x n bn . (25) Процесс решения по методу Гаусса состоит из двух этапов. На первом этапе (прямой ход) система приводится к ступенчатому (треугольному или трапециевидному) виду. Для этого над строками расширенной матрицы системы A проводятся элементарные преобразования, приводящие эту матрицу к ступенчатому виду. Полученная матрица будет эквивалентной матрице A , значит и система уравнений, полученная с помощью новой матрицы будет равносильной данной системе уравнений. Если в процессе приведения системы (25) к ступенчатому виду появятся нулевые уравнения, то есть равенства вида 0=0, их отбрасывают. Если же появится уравнение вида 0 bi , а bi 0, то это говорит о том, что данная система уравнений несовместна. Второй этап (обратный ход) заключается в решении ступенчатой системы. Если в последнем уравнении новой системы содержится одно неизвестное, то исходная система имеет единственное решение. Из последнего уравнения находим x n , из предпоследнего уравнения x n 1 , далее поднимаясь по системе вверх, найдем все остальные неизвестные x n 2 , ( x n3 ,..., x 2 , x1 ) . Если в последнем уравнении преобразованной системы более чем одно неизвестное, то данная система имеет множество решений (система является неопределенной). Из последнего уравнения выражаем первое неизвестное x k через остальные неизвестные ( x k 1 ,..., x n ) . Затем подставляем значение x k в предпоследнее уравнение системы и выражаем x k 1 через ( x k 1 ,..., x n ) и так далее. Придавая свободным неизвестным ( x k 1 ,..., x n ) произвольные значения, получим бесчисленное множество решений системы. На практике удобно, чтобы коэффициент a11 был равен 1 (уравнения переставить местами, либо разделить обе части первого уравнения на a11 1 ). Пример 37. Решить систему уравнений методом Гаусса: 50 2 x1 x 2 x 3 5, x1 2 x 2 2 x 3 5, 7 x x x 10 . 2 3 1 Решение. Составим расширенную матрицу A данной системы 2 1 1 5 A 1 2 2 5 . 7 1 1 10 Так как a11 2 1 , a 21 1 , поменяем местами первую и вторую строки матрицы A местами: 1 2 2 5 A ~ 2 1 1 5 . 7 1 1 10 Сначала элементы первой строки умножим на (-2) и прибавим к соответствующим элементам второй строки, а затем элементы первой строки умножим на (-7) и прибавим к элементам третьей строки: 1 2 2 5 A ~ 0 5 5 15 . 0 15 15 45 Элементы второй строки умножим на 3 и прибавим к элементам третьей строки: 1 2 2 5 0 5 5 15 . ~ A 0 0 0 0 Восстановим систему по последней матрице x1 2 x 2 2 x 3 5 5 x 2 5 x 3 15 . Получили систему, состоящую из двух уравнений и содержащую три неизвестных, то есть с помощью элементарных преобразований данную систему уравнений привели к ступенчатому виду, в которой нет уравнений вида 0 bi , где bi 0 . Поэтому система уравнений имеет 51 бесчисленное множество решений. Выразим x 2 через x3 из второго уравнения: x1 2 x 2 2 x 3 5 x 2 x 3 3. Подставим полученное выражение x 2 в первое уравнение: x1 5 2 x 3 2(3 x 3 ), x 2 x 3 3; x1 5 2 x 3 6 2 x 3 , x1 1, x 2 x 3 3; x 2 x 3 3. Пусть x3 С , где С – любое действительное число, тогда полученное решение будет называться общим решением x1 1, x2 3 С, x С. 3 Пусть x 3 2 , тогда получаем решение, которое будет называться x1 1, частным решением системы: x 2 5, x 2 3 Пример 38. Решить систему уравнений методом Гаусса x1 2 x 2 2 x 3 5, 2 x1 x 2 x 3 9, 7 x x x 14 . 2 3 1 Решение. Составим расширенную матрицу A данной системы уравнений 1 2 2 5 A 2 1 1 9 . 7 1 1 14 Элементы первой строки умножим на (-2) и прибавим к элементам второй строки, затем элементы первой строки умножим на (-7) и прибавим к элементам третьей строки: 52 1 2 2 5 5 3 19 . 0 15 13 49 A ~ 0 Элементы второй строки умножим на (-3) и прибавим к элементам третьей строки: 1 2 2 5 A ~ 0 5 3 19 . 0 0 4 8 1 Элементы третьей строки умножим на : 4 1 2 2 5 A ~ 0 5 3 19 . 1 2 0 0 С помощью элементарных преобразований получили матрицу треугольного вида, значит, данная система уравнений имеет единственное решение. С помощью полученной преобразованной расширенной матрицы запишем соответствующую систему уравнений x1 2 x 2 2 x 3 5, 5 x 2 3x 3 19, x 3 2. Зная значение x 3 2 , из второго уравнения находим x 2 : x1 2 x 2 2 x 3 5, x1 2 x 2 2 x 3 5, 5 x 2 19 3 2, или x 2 5, x 3 2. x 3 2. Используя значения x3 2 и x 2 5 , из первого уравнения находим x1 : x1 5 2 2 2 5, x 2 5, или окончательно x 3 2. 53 x1 1, x 2 5, x 2. 3 1.3.6. Однородные системы уравнений Рассмотрим однородную систему линейных уравнений a11 x1 a12 x 2 ... a1n x n 0, a 21 x1 a 22 x 2 ... a 2 n x n 0, .......... .......... .......... .......... .......... ... a m1 x1 a m 2 x 2 ... a mn x n 0. (26) Однородная система всегда совместна ( r ( A) r ( A* ) ), она имеет нулевое (тривиальное) решение x1 x 2 ... x n 0 . Для того, чтобы однородная система линейных уравнений имела ненулевые решения необходимо и достаточно, чтобы ранг r ее основной матрицы был меньше числа n неизвестных, то есть r<n. Если число уравнений m системы совпадают с числом неизвестных n, то есть m n , основная матрица системы является квадратной, в этом случае условие r<n означает, что определитель основной матрицы системы A 0. Пример 39. Решить систему уравнений x1 2 x 2 x 3 0, 2 x1 9 x 2 3x 3 0. Решение. Составим основную матрицу системы 1 2 1 . A 2 9 3 Элементы первой строки умножим на (-2) и прибавим к элементам второй строки. 1 2 1 1 2 1 ~ . A 2 9 3 0 5 1 Получили матрицу ступенчатого вида, в которой две ненулевые строки, поэтому ранг матрицы A , а значит и расширенной матрицы A равен 2, то есть r ( A) r ( A* ) 2. Число неизвестных в системе уравнений равно 3, r<n, поэтому данная система имеет ненулевые решения. 54 Для составления системы, равносильной данной, воспользуемся преобразованной матрицей x1 2 x 2 x 3 0, 5 x 2 x 3 0. Из второго уравнения выразим x 2 через x3 , при этом x3 будет 1 x3 . 5 Полученную правую часть равенства подставим в первое уравнение 1 3 и выразим x1 через x3 : x1 x 3 2 x 3 , x1 x 3 . 5 5 Пусть x3 C , тогда общее решение системы можно записать в виде матрицы-столбца 3 C 5 1 X X (C ) C . (27) 5 C является свободной переменной: x 2 Пример 40. Решить систему уравнений 3x1 2 x 2 x 3 0, 2 x1 5 x 2 3x 3 0, 3x 4 x 2 x 0. 2 3 1 Решение. Выпишем основную матрицу системы 3 2 1 A 2 5 3 . 3 4 2 Элементы первой строки умножим на (-2) и прибавим к соответствующим элементам второй строки умноженным на 3: 3 2 1 3 2 1 A 2 5 3 ~ 0 11 7 . 3 4 2 3 4 2 Элементы первой строки умножим на (-1) и прибавим к элементам третьей строки 55 3 2 1 3 2 1 3 2 1 A 2 5 3 ~ 0 11 7 ~ 0 11 7 . 3 4 2 3 4 2 0 2 1 Элементы второй строки умножим на (-2) , элементы третьей строки на 11 и полученные строки сложим 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 A 2 5 3 ~ 0 11 7 ~ 0 11 7 ~ 0 2 1 . 3 4 2 3 4 2 0 2 1 0 0 3 Получили три ненулевые строки, значит ранг матрицы A равен 3, число неизвестных в системе уравнений тоже равно 3, то есть r ( A) n , значит данная система уравнений имеет единственное решение – нулевое, то есть x1 x 2 x3 0 . Пример 41. Решить систему уравнений x1 2 x 2 4 x 3 3 x 4 0, 3 x1 5 x 2 6 x 3 4 x 4 0, 4 x1 5 x 2 2 x 3 3 x 4 0, 3 x1 8 x 2 24 x 3 19 x 4 0. Решение. Выпишем основную матрицу системы 1 3 A 4 3 2 4 3 5 6 4 5 2 3 8 24 19 и найдем ранг этой матрицы. Элементы первой строки умножим на (-3) и прибавим к элементам второй и четвертой строк, затем элементы первой строки умножим на (-4) и прибавим к третьей строке: 2 4 3 1 5 0 1 6 . A ~ 0 3 18 15 0 2 12 10 56 Элементы второй строки умножим на 3 и прибавим к элементам третьей строки, затем элементы второй строки умножим на 2 и прибавим к элементам четвертой строки: 2 4 3 1 5 0 1 6 . A ~ 0 0 0 0 0 0 0 0 В преобразованной матрице ступенчатого вида получилось две ненулевые строки, поэтому ранг матрицы A равен двум, то есть r ( A) 2 , а число неизвестных в системе уравнений равно 4 ( n 4 ). Получили, что r n , поэтому данная система уравнений имеет ненулевые решения. Укороченная система имеет вид: x1 2 x 2 4 x 3 3x 4 0, x 2 6 x 3 5 x 4 0. Выразим x1 и x2 через x3 x1 3x 4 4 x 3 2(5 x 4 6 x 3 ), или x 2 5x 4 6 x3 ; x1 2 x 2 3x 4 4 x 3 , x 2 5x 4 6 x3 ; x1 8 x 3 7 x 4 , x 2 5x 4 6 x3 . и x4 : Неизвестные x1 и x 2 - базисные, а x3 и x 4 - свободные. Полагая x3 c1 , x 4 c 2 , получим общее решение системы, записанное в виде матрицы-столбца (1.27) 8c1 7c 2 5c 6c1 X X (c1 ; c 2 ) 2 . c1 c 2 (28) Назовем фундаментальной системой решений систему матрицстолбцов, полученную из общего решения при условии, что свободным неизвестным дают последовательно значения c1 1, c 2 c 3 ... c n 0, c1 0, c 2 1, c 3 ... c n 0, .......... .......... .......... .......... ......... c1 c 2 ... c n 1 0, c n 1. 57 Матрицы-столбцы, то есть фундаментальную систему решений обозначают E1 , E 2 ,...,E n . Общее решение будет представлено в виде (29) X c1 E1 c 2 E 2 ... c n E n . В примере 41 найдем фундаментальную систему решений и выразим с ее помощью общее решение этой системы. Из общего решения (28) системы найдем E1 и E 2 : 8 7 6 5 E1 X (1;0) , E 2 X (0;1) . 1 0 0 1 (30) С использованием фундаментальной системы (30) общее решение (28) может быть записано в виде (29) X (c1 ; c 2 ) c1 E1 c 2 E 2 . 1.3.7. Задания для самостоятельного решения. 1. Исследовать совместность следующих систем. 2 x1 x 2 x 3 2, а) x1 2 x 2 3x 3 1, x 3x 2 x 3; 2 3 1 x1 2 x 2 4 x 3 1, б) 2 x1 x 2 5 x 3 1, x x x 2; 2 3 1 2 x1 7 x 2 3x 3 x 4 6, в) 3x1 5 x 2 2 x 3 2 x 4 4, 9 x 4 x x 7 x 2; 2 3 4 1 3x1 2 x 2 5 x 3 x 4 3, 2 x1 3x 2 x 3 5 x 4 3, д) 4 x 4 3, x1 2 x 2 x1 x 2 4 x 3 9 x 4 22; 3x1 5 x 2 2 x 3 4 x 4 2, г) 7 x1 4 x 2 x 3 3x 4 5, 5 x 74 x 4 x 6 x 3; 2 3 4 1 x1 x 2 6 x 3 x 4 6, 3x1 x 2 6 x 3 4 x 4 2, е) 2 x1 3x 2 9x 3 2 x 4 6, 3x1 2 x 2 3x 3 8 x 4 7. 2. Решить системы уравнений матричным методом: x1 2 x 2 x 3 4, а) 3x1 5 x 2 3x 3 1, 2 x 7 x x 8; 2 3 1 3x1 2 x 2 x3 4, б) x1 x 2 x3 2, 4 x 2 x 3x 13; 2 3 1 58 x1 x 2 x 3 2, в) 4 x1 3x 2 3x 3 9, 5 x 6 x 2 x 13; 2 3 1 4 x1 3x 2 2 x 3 8, г) 2 x1 5 x 2 3x 3 11, 5 x 6 x 2 x 13; 2 3 1 x1 2 x 2 3x 3 6, д) 2 x1 3x 2 4 x 3 20, 3x 2 x 5 x 6; 2 3 1 x1 x 2 x 3 1, е) 8 x1 3x 2 6 x 3 2, 4 x x 3x 3. 1 2 3 3. Решить системы уравнений по формулам Крамера: 7 x1 2 x 2 3x 3 15, 3x1 5 x 2 13, а) б) 5 x1 3x 2 2 x 3 15, 2 x1 7 x 2 81; 10 x 11x 5 x 36; 2 3 1 5, 2 x1 x 2 3x 3 16, в) x1 5 x 2 3x 3 0; x1 x 2 2 x 3 6, г) 2 x1 3x 2 7 x 3 16, 5 x 2 x x 16; 2 3 1 5 x1 8 x 2 x 3 2, д) 3x1 2 x 2 6 x 3 7, 2 x x x 5; 2 3 1 2 x1 3x 2 x 3 7, е) x1 4 x 2 2 x 3 1, x 4x 5. 2 1 4. Исследуйте системы и в случае совместности решите их методом Гаусса или Жордана-Гаусса: 6 x1 3x2 4 x3 3, а) 3x1 x2 2 x3 5; 3x1 2 x2 3x3 5, б) x1 3x2 4 x3 1, 7 x 7 x 2 x 0; 2 3 1 3x1 2 x 2 x 3 5, в) x1 x 2 x 3 0, 4 x x 5 x 3; 2 3 1 x x x 0, 1 2 3 д) x1 x 2 x 3 4, x x x 2; 2 3 1 2 x1 3x 2 3x3 2, г) 2 x1 x 2 x 3 2, x x x 6; 2 3 1 2 x 3 x 1 2 3x 3 3, е) 2 x1 x 2 7 x 3 5, x x x 6; 2 3 1 59 3x1 2 x2 3x3 3, x1 2 x2 4 x3 9, ж) 2 x1 7 x2 x3 0, 3x1 8 x2 x3 1; 2 x1 x 2 x 3 x 4 1, x1 3x 2 x 3 x 4 0, и) 3x1 2 x 2 2 x 3 2 x 4 1, x1 x 2 x 3 x 4 2; x1 x2 2 x3 2 x4 2, 3 x1 2 x2 x3 x4 1, з) 5 x1 3 x2 4 x3 2 x4 4, 7 x1 4 x2 7 x3 5 x4 7; x1 x 2 2 x 3 x 4 3, x1 x 2 x 3 x 4 0, к) x1 x 2 x 3 x 4 6, 3 x1 x 2 2 x 3 x 4 7. 2 x1 3 x2 x3 x4 2, 7 x1 2 x2 x4 3, л) 3 x1 x2 x3 2 x4 7, 3 x1 8 x2 2 x3 x4 5; 4 x1 3 x2 x3 5, 2 x1 x2 2 x3 3, н) 3 x1 4 x2 3 x3 10 , 8 x 9 x 4 x 17 . 2 3 1 7 x1 x2 2 x3 5; 2 x1 3x2 5 x3 x4 x5 0, x1 2 x2 3x3 2 x4 2 x5 3, м) 4 x1 7 x2 x3 5 x4 3x5 1, 5 x1 9 x2 4 x3 7 x4 5 x5 8; x1 2 x2 x3 x4 x5 1, 2 x1 5 x2 6 x3 5 x4 x5 0, оо) x1 2 x2 x3 x4 x5 3, x 3 x 2 x 2 x x 1, 2 3 4 5 1 x1 4 x2 x3 x4 x5 3. 5. Найти фундаментальную систему решений и общее решение следующих систем: 3x1 2 x 2 x 3 0, а) 5 x1 4 x 2 3x 3 0, 4 x 3x 2 x 0; 2 3 1 2 x1 3x 2 x 3 0, б) x1 x 2 x 3 0, 5 x 5 x 0; 2 3 1 3x1 2 x 2 x 3 0, в) 2 x1 5 x 2 3x 3 0, 3x 4 x 2 x 0; 2 3 1 2 x1 x 2 x 3 3x 4 0, г) 5 x1 4 x 2 x 3 8 x 4 0, x x 2 x x 0; 2 3 4 1 x1 x 2 x 3 x 4 0, x 3 5 x 4 0, д) x1 x 2 x x 3x 0; 2 3 4 1 x1 3x 2 x 3 x 4 0, 7 x1 5 x 2 x 3 5 x 4 0, е) 3x1 x 2 x 3 2 x 4 0, 5 x1 7 x 2 x 3 4 x 4 0. 60 Ответы. 1.а) система несовместна; б) система совместна; в) система совместна; г) система несовместна; д) система совместна; е) система совместна. 2. а) 1;1;1 ; б) (-3;2;1); в) (3;0;1); г) (3;-2;-5); д) (8;4;2); е) (-8;-4;-13). 3. а) (16;7); б) (2;-1;1); в) (1;3;5); г) (3;1;-1); д) (-3;2;1); е) (-1;1;-2). 7 9 3 51 19 4 4. а) (с;­ ; - с); б) Ø; в) (-1;3;2); г) (2;3;1); д) (2;1;3); е) ; ; 5 5 2 11 11 11 ; ж) (1; 0; 2); з) (5с-5;7с-7;с;0); и) ( 1; x 4 1;2 x 4 2; x 4 ); к) ( 2;3 x 4 ;1; x 4 ); c c c л) Ø; м) Ø; н) (0; ­1; 2); о) ( ;1 ;0;1 ; c ). 2 2 2 1 3 5. а) ( c;2c; c ); б) (0;0;0); в) (0;0;0); г) c; c;0; c ; 4 4 5 1 д) c1 ; c 2 ; c1 c 2 ; c 2 ; е) 4 4 c 5c 2 4(c1 c 2 ) ; c1 ; c 2 ; 1 . 3 3 61