Алгебра - Учебно-методические комплексы

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Институт математики и компьютерных наук
Кафедра алгебры и математической логики
Иванов Д.И.
АЛГЕБРА
Учебно-методический комплекс. Рабочая программа
для студентов специальности 10.05.01 «Компьютерная безопасность»,
специализация «Безопасность распределенных компьютерных систем»
Форма обучения - очная
Тюменский государственный университет
2014
2
Иванов Д.И. Алгебра. Учебно-методический комплекс. Рабочая программа для студентов
специальности 10.05.01 «Компьютерная безопасность», специализация «Безопасность
распределенных компьютерных систем», форма обучения – очная. Тюмень, 2014,
51 стр.
Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО с учетом рекомендаций и ПрООП ВПО по специальности.
Рабочая программа дисциплины (модуля) опубликована на сайте ТюмГУ: «Алгебра»
[электронный ресурс] / Режим доступа: http://www.umk3.utmn.ru, раздел «Образовательная
деятельность», свободный.
Рекомендовано к изданию кафедрой алгебры и математической логики. Утверждено директором Института математики и компьютерных наук.
ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР: Кутрунов В.Н., д.ф.-м.н., профессор
© Тюменский государственный университет, 2014.
3
© Иванов Д.И., 2014.
4
1. Пояснительная записка
Цели и задачи дисциплины (модуля)
Предметом изучения дисциплины являются основные понятия и методы общей и
линейной алгебры. Работа над материалом учебной дисциплины «Алгебра» позволяет реализовать следующие цели и задачи:
Цели преподавания учебной дисциплины «Алгебра» можно сформулировать следующим образом:
Обеспечение базовой математической подготовки специалистов в соответствии с требованиями государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования и учебному плану по специальности 10.05.01 «Компьютерная безопасность», специализация «Безопасность распределенных компьютерных систем».
 Обучение студентов фундаментальным понятиям и основным методам общей и
линейной алгебры;
 Формирование теоретических знаний и практических навыков решения задач, необходимых в дальнейшей учебной и последующей профессиональной деятельности;
 Формирование и развитие логического и аналитического мышления, опыта творческой и исследовательской деятельности, необходимого для решения научных задач
теоретического и прикладного характера;
 Повышение интеллектуального уровня;
 Формирование научного мировоззрения, математического мышления, представлений о значимости математики как части современной человеческой культуры, в
развитии цивилизации, о математике как форме описания и методе познания действительности.
Основными задачами изучения дисциплины являются:
 Изучить материал учебной дисциплины;
 Усвоить основные понятия и методы, изучаемые в процессе освоения материала
учебной дисциплины;
 Приобрести навыки самостоятельного решения теоретических и практических задач различных видов и уровней сложности;
 Выработать умение проводить анализ полученных в процессе решения фактов и
результатов;
 Освоить средства приобретения, накопления и преобразование знаний, широкому
их использованию в практической и будущей профессиональной деятельности.
 Обобщить и систематизировать полученные знания, умения и навыки;
1.1.
1.2.Место дисциплины в структуре образовательной программы
Дисциплина «Алгебра» входит в цикл математических и естественнонаучных дисциплин в базовой части. Для ее успешного изучения достаточно знаний и умений, приобретенных в средней школе.
Знания, умения и навыки, полученные студентами в результате усвоения материала
учебной дисциплины «Алгебра», могут быть использованы для успешного освоения дальнейших базовых курсов – дискретной математики, математического анализа, теории информации, математической логики и теории алгоритмов. Приобретенные знания, умения и
навыки также могут помочь в научно-исследовательской работе.
5
Таблица 1.
Разделы дисциплины и междисциплинарные связи с обеспечиваемыми (последующими) дисциплинами
2. Математический анализ
+
+
3. Теория информации
+
+
4. Математическая логика и
теория алгоритмов
+
+
+
+
+
2.3.2
2.3.1
2.2.2
2.2.1
+
2.1.2
+
2.1.1
+
1.3.2
1.2.2
+
1.3.1
1.2.1
1. Дискретная
математика
Темы дисциплины необходимые для изучения обеспечиваемых
(последующих) дисциплин
2 семестр
3 семестр
1.1.2
п/
п
Наименование обеспечиваемых (последующих)
дисциплин
1.1.1
№
+
+
+
+
+
+
+
+
+
1.3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения данной образовательной программы.
В результате освоения ОП выпускник должен обладать следующими компетенциями:
способностью выявлять естественнонаучную сущность проблем, возникающих в ходе
профессиональной деятельности, и применять соответствующий физико-математический
аппарат для их формализации, анализа и выработки решения (ПК-1);
способностью применять методологию научных исследований в профессиональной деятельности, в том числе в работе над междисциплинарными и инновационными проектами
(ПК-4).
1.4. Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине (модулю):
В результате освоения материала учебной дисциплины «Алгебра» студент должен
знать:

сущность основных понятий и результатов, изучаемых в дисциплине;

основные формулировки понятий и результатов, изучаемых в дисциплине;

основные методы решения задач алгебры и теории чисел, целые и комплексные
числа, многочлены над произвольным полем, вычисление корней многочлена, алгебраические уравнения, определители, общую теорию систем линейных уравнений, действия
над матрицами, квадратичные формы, дробно-рациональные функции, основы теории
групп, векторные пространства, линейные отображения и операторы, евклидовы и унитарные пространства, алгебры.
6
уметь:

самостоятельно использовать теоретические и практические знания для решения
задач различных типов и различных уровней сложности, как в рамках изучаемой дисциплины, так и в других дисциплинах, использующих материалы данной дисциплины;

анализировать полученные результаты.
владеть:

символикой изучаемой дисциплины;

терминологией изучаемой дисциплины;

навыками практического использования математического аппарата дисциплины
для решения различных задач, возникающих в дальнейшей учебной и профессиональной
деятельности;

навыками научного творчества.
2. Структура и трудоемкость дисциплины.
Семестры – второй и третий. Форма промежуточной аттестации:
зачет - второй семестр, экзамен – третий семестр. Общая трудоемкость дисциплины составляет 10 зачетных единиц, 360 академических часов, из них 151,25 часа, выделенных
на контактную работу с преподавателем, 208,75 часа, выделенных на самостоятельную
работу.
Таблица 2.
Вид учебной работы
Контактная работа со студентами
Аудиторные занятия (всего)
В том числе:
Лекции
Практические занятия (ПЗ)
Семинары (С)
Лабораторные работы (ЛР)
Иные виды работ
Самостоятельная работа (всего)
Вид промежуточной аттестации (зачет, экзамен)
Общая трудоемкость
час
зач. ед.
Всего
часов
151,25
144
2
74,6
72
72
72
36
36
36
36
7,25
208,75
2,6
69,4
зачет
144
4
4,65
139,35
экзамен
216
6
360
10
Семестры
3
76,65
72
7
3. Тематический план
2 семестр
Таблица 3.
1.1
1.2
2.1
2.2
Итого количество
баллов
Семинарские (практические) занятия
1
Ито Из
го
ни
ча- х в
сов ин
по тер
теме актив
но
й
фо
рм
е
Лекции
недели семестра
Тема
Самостоятельная работа*
Виды учебной работы
и самостоятельная работа, в час.
Лабораторные работы
№
3
4
5
7
8
9
10
1–5
10
10
8
28
2
0 – 20
6–7
4
4
6
14
14
14
14
42
8–9
4
4
12
20
10-11
4
4
12
20
2
0 – 20
8
8
24
40
2
0 – 30
12 – 15
8
8
18
34
2
0 – 15
16 – 18
6
6
16
28
Всего*
14
14
34
62
2
0 – 35
Итого (часов,
баллов)*
36
36
72
144
6
0 – 100
Из них часов
в интерактивной форме
2
4
2
Модуль 1
Матрицы и
определители.
Системы линейных уравнений и неравенств.
Всего*
Модуль 2
Основные алгебраические
структуры.
Кольцо целых
чисел. Кольца
вычетов.
Всего*
Модуль 3
3.1 Поле комплексных чисел.
3.2 Кольцо многочленов.
0 – 15
2
0 – 35
0 – 10
0 – 20
6
* - с учетом иных видов работ
8
3 семестр
Таблица 4.
Виды учебной работы
и самостоятельная работа, в час.
2
3
Модуль 1
1.1 Евклидовы и
1–5
унитарные
пространства.
1.2 Линейные
6–7
операторы.
Всего*
Модуль 2
2.1 Жорданова
8–9
нормальная
форма матрицы.
2.2 Линейные
10-11
операторы в
пространствах.
Всего*
Модуль 3
3.1 Квадратичные 12 – 15
формы.
3.2 Группы.
16 – 18
Кольца. Поля.
Всего
Итого (часов,
баллов)*
Из них часов
в интерактивной форме
Итого по дисциплине*
* - с учетом иных видов работ
Итого количество
баллов
4
5
7
8
9
10
4
4
22
30
2
0 – 10
10
10
28
48
2
0 – 10
14
14
50
78
4
0 – 20
4
4
22
30
2
0 – 10
4
4
22
30
2
0 – 10
8
8
44
60
4
0 – 20
8
8
24
40
2
0 – 10
6
6
26
38
2
0 – 50
14
36
14
36
50
144
78
216
4
12
0 – 60
0 – 100
4
8
72
72
Самостоятельная работа*
Семинарские (практические) занятия
1
Ито Из
го
ни
ча- х в
сов ин
по тер
теме актив
но
й
фо
рм
е
Лекции
недели семестра
Тема
Лабораторные работы
№
12
216
360
18
9
4. Виды и формы оценочных средств в период текущего контроля
Таблица 5.
2 семестр
Итого количество баллов
0-5
0-5
0-10
0-10
0-20
-
0-10
0-10
0 – 15
0 – 20
0 – 35
0-5
0-5
0-10
0-10
0-10
0-20
-
-
0 – 15
0 – 15
0 – 30
0-2
0-2
0-17
0-10
0-10
0-20
0-60
-
0-13
0-13
0-23
0 – 23
0 – 12
0 – 35
0 – 100
ответ на
семинаре
реферат
Модуль 1
1.1.
1.2.
Всего
Модуль 2
2.1.
2.2.
Всего
Модуль 3
3.1.
3.2.
Всего
Итого
Письменные работы
контрольная работа
Устный опрос
собеседование
№ темы
Таблица 6.
3 семестр
Итого количество баллов
0-5
0-5
0-5
0-5
0-10
-
0-5
0-5
0 – 10
0 – 10
0 – 20
0-5
0-5
0-10
0-5
0-5
0-10
-
-
0 – 10
0 – 10
0 – 20
0-2
0-2
0-17
0-4
0-5
0-9
0-29
0-45
0-45
0-45
0-4
0-4
0-9
0 – 10
0 – 50
0 – 60
0 – 100
ответ на
семинаре
реферат
Модуль 1
1.1.
1.2.
Всего
Модуль 2
2.1.
2.2.
Всего
Модуль 3
3.1.
3.2.
Всего
Итого
Письменные работы
контрольная работа
Устный опрос
собеседование
№ темы
10
5. Содержание дисциплины.
2 семестр.
Модуль 1.
Тема 1.1. Матрицы и определители.
Размещения, перестановки, сочетания. Связи между ними. Основной комбинаторный
принцип. Выборки с возвращением. Выборки без возвращения. Выборки элементов, некоторые из которых повторяются. Множество. Пустое множество. Подмножество. Собственные и несобственные подмножества множества. Равенство множеств. Внутренние
бинарные операции на множестве. Объединение множеств. Пересечение множеств. Дополнение одного множества до другого. Декартово произведение множеств. Матрица размера m  n. Квадратная матрица порядка n. Диагональная матрица. Единичная матрица
порядка n. Нулевая матрица размера m  n. Вектор-строка. Вектор-столбец. Равенство
матриц. Операции над матрицами. Сложение матриц одинакового размера. Умножение
матрицы на число. Транспонирование матрицы. Произведение матриц. Свойства операций
над матрицами. Элементарные преобразования матриц. Определитель квадратной матрицы. Миноры и алгебраические дополнения. Теорема Лапласа. Разложение определителя
по строке. Свойства определителя. Вырожденные и невырожденные матрицы. Определитель квазитреугольной матрицы. Обратная матрица. Свойства обратной матрицы.
Тема 1.2. Системы линейных уравнений и неравенств.
Линейное пространство. Примеры линейных пространств: пространство геометрических векторов, арифметическое пространство Rn. Подпространство линейного пространства. Линейная оболочка. Сумма подпространств. Пересечение подпространств. Изоморфизм линейных пространств. Линейная зависимость векторов и ее геометрический смысл.
Базис линейного пространства. Размерность линейного пространства. Координаты вектора. Ранг матрицы над полем. Ранг матрицы и линейная зависимость. Инвариантность ранга матрицы относительно ее элементарных преобразований. Вычисление ранга. Эквивалентные матрицы. Переход к новому базису. Матрица перехода к новому базису. Преобразование координат вектора при переходе к новому базису. Система линейных уравнений над полем. Определение решения системы линейных уравнений. Эквивалентность систем линейных уравнений. Совместность системы линейных уравнений. Теорема Кронекера — Капелли. Однородная система линейных уравнений. Неоднородная система линейных уравнений. Система линейных уравнений с квадратной невырожденной матрицей.
Правило Крамера. Исследование и решение системы линейных уравнений методом Жордана — Гаусса. Частные решения системы линейных уравнений. Элементарные преобразования системы линейных уравнений. Геометрические свойства решений системы линейных уравнений: фундаментальная система решений однородной системы линейных
уравнений, линейное подпространство решений однородной системы линейных уравнений. Поиск неотрицательных базисных решений системы линейных уравнений. Симплексные преобразования. Системы линейных алгебраических неравенств.
Модуль 2.
Тема 2.1. Основные алгебраические структуры.
Полугруппы, группы, кольца, поля и их простейшие свойства.
Тема 2.2. Кольцо целых чисел. Кольца вычетов.
Делимость и деление с остатком в кольце целых чисел. Основная теорема арифметики. Уравнения в кольце вычетов и сравнения. Системы линейных уравнений над кольцом
вычетов.
Модуль 3.
Тема 3.1. Поле комплексных чисел.
Комплексное число. Алгебраическая форма комплексного числа. Комплексная плоскость. Тригонометрическая форма комплексного числа. Возведение комплексного числа в
натуральную степень. Формула Муавра. Извлечение корня натуральной степени из ком11
плексного числа. Геометрическая интерпретация корней. Возведение комплексного числа
в рациональную степень.
Тема 3.2. Кольцо многочленов.
Многочлен над полем. Сумма многочленов. Произведение многочленов. Кольцо
многочленов. Деление многочленов. Теорема о делении многочлена на многочлен с остатком. Теорема о наибольшем общем делителе многочленов. Корни многочлена. Теорема
Безу. Многочлены над полем комплексных чисел. Основная теорема алгебры. Каноническое разложение многочлена над полем комплексных чисел. Теорема о равенстве многочленов. Формулы Виета. Многочлены над полем вещественных чисел. Каноническое разложение многочлена над полем вещественных чисел. Возведение матрицы в натуральную
степень. Многочлен от матрицы.
3 семестр.
Модуль 1.
Тема 1.1. Евклидовы и унитарные пространства.
Линейное пространство над произвольным полем. Свойства линейного пространства
над произвольным полем. Линейная зависимость. Ранг и база системы векторов. Критерий
базы. Базис и размерность линейного пространства. Изоморфизм линейных пространств.
Критерий изоморфизма. Линейные подпространства. Линейная оболочка системы векторов. Сумма и пересечение линейных подпространств. Прямая сумма подпространств.
Критерий прямой суммы. Дополнительное подпространство. Скалярное произведение.
Неравенство Коши — Буняковского. Евклидово пространство. Унитарное пространство.
Длина вектора в евклидовом (унитарном) пространстве. Неравенства треугольника. Ортогональные векторы. Ортогональный базис линейного пространства. Ортонормированный
базис линейного пространства. Процесс ортогонализации Грама — Шмидта. Матрица
Грама. Определитель Грама. Эрмитова матрица. Симметричная матрица. Свойства матрицы Грама и определителя Грама. Ортогональное дополнение. Задача о перпендикуляре.
Теорема Пифагора. Линейные многообразия в евклидовом (унитарном) пространстве. Расстояние от вектора до линейного подпространства.
Тема 1.2. Линейные операторы.
Линейный оператор. Примеры линейных операторов: оператор проектирования, оператор отражения, нулевой оператор, единичный оператор. Свойства линейного оператора.
Матрица линейного оператора. Граф линейного оператора. Координаты вектора и его образа. Матрицы оператора в различных базисах. Подобные матрицы. Линейное пространство операторов. Образ и ядро линейного оператора. Ранг и дефект линейного оператора.
Теорема о ранге матрицы линейного оператора в произвольном базисе. Теорема о ранге и
дефекте линейного оператора. Инвариантное подпространство относительно линейного
оператора. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора. Линейная
независимость собственных векторов, отвечающих различным собственным значениям.
Собственные значения и собственные векторы матрицы. Характеристический многочлен
матрицы. Характеристический многочлен линейного оператора. Способ определения собственных векторов.
Модуль 2.
Тема 2.1. Жорданова нормальная форма матрицы.
Жорданова клетка. Треугольная форма матрицы линейного оператора. Нильпотентный оператор. Индекс нильпотентности. Прямая сумма операторов. Теорема о разложении
произвольного линейного оператора в прямую сумму нильпотентного и невырожденного
линейных операторов. Теорема о расщеплении линейного оператора. Корневые векторы.
Корневые подпространства. Канонический базис корневого подпространства. Матрица
линейного оператора в каноническом базисе. Жорданова форма матрицы линейного оператора в комплексном пространстве. Теорема Гамильтона — Кэли.
Тема 2.2. Линейные операторы в пространствах.
12
Сопряженный оператор. Нормальный оператор. Теорема Шура. Критерий нормальности. Унитарно подобные матрицы. Унитарный (ортогональный) оператор. Критерий унитарности. Спектральная характеристика унитарного оператора. Каноническая форма матрицы ортогонального оператора. Самосопряженный оператор. Знакоопределенные операторы. Идемпотентный оператор. Разложения линейного оператора.
Модуль 3.
Тема 3.1. Квадратичные формы.
Билинейная форма. Квадратичная форма и ее канонический вид. Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом Лагранжа. Критерий Сильвестра положительной определенности квадратичной формы. Квадратичные формы в вещественном
пространстве. Закон инерции квадратичных форм. Знакоопределенные квадратичные
формы. Квадратичные формы в комплексном пространстве. Полуторалинейные и эрмитовы формы. Квадратичные формы в евклидовом (унитарном) пространстве.
Тема 3.2. Группы. Кольца. Поля.
Свойства элементов группы. Подгруппы группы. Гомоморфизм групп. Циклические
группы. Теорема Кэли. Разложение группы в смежные классы и классы сопряжённых элементов. Критерий равенства смежных классов. Произведение подгрупп. Нормальные делители группы. Конечные абелевы группы. Теорема Прюфера. Группа подстановок. Свойства групп подстановок, связанные с транзитивностью. Основные свойства элементов
кольца. Подкольца и идеалы кольца. Простые и главные идеалы. Евклидовы кольца. Прямые суммы колец и идеалов. Кольца многочленов. Симметрические многочлены. Классификация расширений полей. Простые поля. Теорема о простых полях. Теорема о степенях.
Поле разложения многочлена. Конечные и совершенные поля. Многочлены над конечными полями. Линейные рекуррентные последовательности над полем.
6. Планы семинарских занятий.
2 семестр
Модуль 1.
Тема 1.1. Матрицы и определители. Занятия 1-5. Размещения, перестановки, сочетания. Выборки с возвращением. Выборки без возвращения. Выборки элементов, некоторые
из которых повторяются. Матрица размера m  n. Квадратная матрица порядка n. Диагональная матрица. Единичная матрица порядка n. Нулевая матрица размера m  n. Векторстрока. Вектор-столбец. Равенство матриц. Операции над матрицами. Сложение матриц
одинакового размера. Умножение матрицы на число. Транспонирование матрицы. Произведение матриц. Элементарные преобразования матриц. Определитель квадратной матрицы. Миноры и алгебраические дополнения. Теорема Лапласа. Разложение определителя
по строке. Свойства определителя. Вырожденные и невырожденные матрицы. Определитель квазитреугольной матрицы. Обратная матрица. Свойства обратной матрицы.
Тема 1.2. Системы линейных уравнений и неравенств. Занятия 6-7. Пространство
геометрических векторов, арифметическое пространство Rn. Подпространство линейного
пространства. Линейная оболочка. Сумма подпространств. Пересечение подпространств.
Изоморфизм линейных пространств. Линейная зависимость векторов и ее геометрический
смысл. Базис линейного пространства. Размерность линейного пространства. Координаты
вектора. Ранг матрицы над полем. Ранг матрицы и линейная зависимость. Вычисление
ранга. Эквивалентные матрицы. Переход к новому базису. Матрица перехода к новому
базису. Преобразование координат вектора при переходе к новому базису. Система линейных уравнений над полем. Определение решения системы линейных уравнений. Эквивалентность систем линейных уравнений. Совместность системы линейных уравнений.
Теорема Кронекера — Капелли. Однородная система линейных уравнений. Неоднородная
система линейных уравнений. Система линейных уравнений с квадратной невырожденной
13
матрицей. Правило Крамера. Исследование и решение системы линейных уравнений методом Жордана — Гаусса. Частные решения системы линейных уравнений. Элементарные
преобразования системы линейных уравнений. Геометрические свойства решений системы линейных уравнений: фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений, линейное подпространство решений однородной системы линейных уравнений. Поиск неотрицательных базисных решений системы линейных уравнений. Симплексные преобразования. Системы линейных алгебраических неравенств.
Модуль 2.
Тема 2.1. Основные алгебраические структуры. Занятия 8-9. Полугруппы, группы,
кольца, поля и их простейшие свойства.
Тема 2.2. Кольцо целых чисел. Кольца вычетов. Занятия 10-11. Делимость и деление с
остатком в кольце целых чисел. Уравнения в кольце вычетов и сравнения. Системы линейных уравнений над кольцом вычетов.
Модуль 3.
Тема 3.1. Поле комплексных чисел. Занятия 12-15. Алгебраическая форма комплексного числа. Комплексная плоскость. Тригонометрическая форма комплексного числа.
Возведение комплексного числа в натуральную степень. Формула Муавра. Извлечение
корня натуральной степени из комплексного числа. Геометрическая интерпретация корней. Возведение комплексного числа в рациональную степень.
Тема 3.2. Кольцо многочленов. Занятия 16-18. Сумма многочленов. Произведение
многочленов. Деление многочленов. Теорема о делении многочлена на многочлен с остатком. Теорема о наибольшем общем делителе многочленов. Корни многочлена. Теорема
Безу. Многочлены над полем комплексных чисел. Основная теорема алгебры. Каноническое разложение многочлена над полем комплексных чисел. Теорема о равенстве многочленов. Формулы Виета. Многочлены над полем вещественных чисел. Каноническое разложение многочлена над полем вещественных чисел. Возведение матрицы в натуральную
степень. Многочлен от матрицы.
3 семестр.
Модуль 1.
Тема 1.1. Евклидовы и унитарные пространства. Занятия 1-5. Линейная зависимость.
Ранг и база системы векторов. Базис и размерность линейного пространства. Изоморфизм
линейных пространств. Сумма и пересечение линейных подпространств. Прямая сумма
подпространств. Критерий прямой суммы. Дополнительное подпространство. Скалярное
произведение. Неравенство Коши — Буняковского. Евклидово пространство. Унитарное
пространство. Длина вектора в евклидовом (унитарном) пространстве. Неравенства треугольника. Ортогональные векторы. Ортогональный базис линейного пространства. Ортонормированный базис линейного пространства. Процесс ортогонализации Грама Шмидта. Матрица Грама. Определитель Грама. Эрмитова матрица. Симметричная матрица. Свойства матрицы Грама и определителя Грама. Ортогональное дополнение. Задача о
перпендикуляре. Теорема Пифагора. Линейные многообразия в евклидовом (унитарном)
пространстве. Расстояние от вектора до линейного подпространства.
Тема 1.2. Линейные операторы. Занятия 6-7. Примеры линейных операторов: оператор
проектирования, оператор отражения, нулевой оператор, единичный оператор. Матрица
линейного оператора. Граф линейного оператора. Координаты вектора и его образа. Матрицы оператора в различных базисах. Подобные матрицы. Линейное пространство операторов. Образ и ядро линейного оператора. Ранг и дефект линейного оператора. Теорема о
ранге матрицы линейного оператора в произвольном базисе. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора. Линейная независимость собственных векторов,
отвечающих различным собственным значениям. Собственные значения и собственные
векторы матрицы. Характеристический многочлен матрицы. Характеристический многочлен линейного оператора. Способ определения собственных векторов.
Модуль 2.
14
Тема 2.1. Жорданова нормальная форма матрицы. Занятия 8-9. Жорданова клетка.
Корневые векторы. Корневые подпространства. Канонический базис корневого подпространства. Матрица линейного оператора в каноническом базисе. Жорданова форма матрицы линейного оператора в комплексном пространстве. Теорема Гамильтона — Кэли.
Тема 2.2. Линейные операторы в пространствах. Занятия 10-11. Сопряженный оператор. Нормальный оператор. Критерий нормальности. Унитарно подобные матрицы. Унитарный (ортогональный) оператор. Критерий унитарности. Спектральная характеристика
унитарного оператора. Каноническая форма матрицы ортогонального оператора. Самосопряженный оператор. Знакоопределенные операторы. Идемпотентный оператор. Разложения линейного оператора.
Модуль 3.
Тема 3.1. Квадратичные формы. Занятия 12-15. Приведение квадратичной формы к
каноническому виду методом Лагранжа. Критерий Сильвестра положительной определенности квадратичной формы. Квадратичные формы в вещественном пространстве. Закон инерции квадратичных форм. Знакоопределенные квадратичные формы. Квадратичные формы в комплексном пространстве. Полуторалинейные и эрмитовы формы. Квадратичные формы в евклидовом (унитарном) пространстве.
Тема 3.2. Группы. Кольца. Поля. Занятия 16-17. Циклические группы. Теорема Кэли.
Разложение группы в смежные классы и классы сопряжённых элементов. Критерий равенства смежных классов. Произведение подгрупп. Нормальные делители группы. Конечные абелевы группы. Группа подстановок. Свойства групп подстановок, связанные с транзитивностью. Основные свойства элементов кольца. Подкольца и идеалы кольца. Простые
и главные идеалы. Евклидовы кольца. Прямые суммы колец и идеалов. Кольца многочленов. Симметрические многочлены. Классификация расширений полей. Простые поля.
Теорема о простых полях. Теорема о степенях. Поле разложения многочлена. Конечные и
совершенные поля. Многочлены над конечными полями. Линейные рекуррентные последовательности над полем.
Занятие 18. Итоговая контрольная работа.
7. Темы лабораторных работ (Лабораторный практикум).
Не предусмотрены
8. Примерная тематика курсовых работ.
Не предусмотрены
15
9. Учебно-методическое обеспечение и планирование самостоятельной
работы студентов.
2 семестр
Таблица 7.
№
Модули и темы
Модуль 1
1.1 Матрицы и определители.
Системы
линейных
уравнений и неравенств.
Всего по модулю 1*
Модуль 2
2.1 Основные алгебраические структуры.
2.2 Кольцо целых чисел.
Кольца вычетов.
1.2
Всего по модулю 2*
Модуль 3
3.1 Поле комплексных
чисел.
3.2
Кольцо многочленов.
Всего по модулю 3*
ИТОГО*
Виды СРС
обязательдополнительные
ные
Проработка
лекций, работа с литературой,
решение
типовых задач.
Проработка
лекций, работа с литературой,
решение
типовых задач.
Проработка
лекций, работа с литературой,
решение
типовых задач.
Подготовка
рефератов,
составление
задач.
Чтение дополнительной
литературы;
Знакомство с
содержанием
электронных
источников.
Решение задач повышенной сложности.
Подготовка
рефератов.
Неделя
семестра
Об Колъе
во
м балча- лов
сов
1–5
8
6–7
6
0-10
14
0-10
8–9
12
0-2
10-11
12
0-4
24
0-6
12 – 15
18
16 – 18
16
0-9
34
72
0-9
0-25
* - с учетом иных видов работ
16
3 семестр
Таблица 8.
№
Модули и темы
Модуль 1
1.1 Евклидовы и унитарные пространства.
1.2
Линейные операторы.
Всего по модулю 1*
Модуль 2
2.1 Жорданова нормальная форма матрицы.
2.2 Линейные операторы
в пространствах.
Всего по модулю 2*
Модуль 3
3.1 Квадратичные формы.
3.2
Группы. Кольца. Поля.
Всего по модулю 3*
ИТОГО*
ИТОГО по дисциплине*
Виды СРС
обязательдополнительные
ные
Проработка
лекций, работа с литературой,
решение
типовых задач.
Проработка
лекций, работа с литературой,
решение
типовых задач.
Проработка
лекций, работа с литературой,
решение
типовых задач.
Подготовка
рефератов,
составление
задач.
Чтение дополнительной
литературы;
Знакомство с
содержанием
электронных
источников.
Решение задач повышенной сложности.
Подготовка
рефератов.
Неделя
семестра
Об Колъе
во
м балча- лов
сов
1–5
22
6–7
28
0-10
50
0-10
8–9
22
0-2
10-11
22
0-4
44
0-6
12 – 15
24
16 – 18
26
0-9
50
14
4
21
6
0-9
0-25
* - с учетом иных видов работ
10.Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации
по итогам освоения дисциплины (модуля).
10.1 Перечень компетенций с указанием этапов их формирования в
процессе освоения образовательной программы (выдержка из матрицы компетенций):
17
Физика *
Математический анализ *
ПК-1
+
+
+
ПК-4
+
+
* Дисциплина относится к базовой части
** Государственная итоговая аттестация
+
Математический анализ *
Физика *
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Итоговый междисциплинарный экзамен **
Выпускная квалификационная работа **
+
Нейронные сети *
+
Теория вероятностей и мат. статистика 
4 семестр
Теория вероятностей и мат. статистика 
Философия *
3 семестр
Дискретная математика *
Аппаратные средства вычислительной техники
2 семестр
Математический анализ *
Дискретная математика *
1 семестр
Аппаратные средства вычислительной техники
Математическая логика и теория алгоритмов *
Индекс
компетенции
История криптографии
Циклы, дисциплины (модули)
учебного плана
ООП бакалавра
Информатика *
Геометрия
Таблица 9.
С.1 – С3. Дисциплины (модули)
С.6. ИГА
6
семес
тр
7
семес
тр
9
семес
тр
+
+
+
+
+
+
+
+
19
ПК-1
Код компетенции
10.2 Описание показателей и критериев оценивания компетенций на различных этапах их формирования, описание шкал оценивания:
Таблица 10.
Карта критериев оценивания компетенций
Критерии в соответствии с уровнем освоения ОП
Виды заОценочнятий
ные сред(лекции,
ства (тепороговый
базовый (хор.)
повышенный
семинар
сты,
(удовл.)
76-90 баллов
(отл.)
ские,
творче61-75 баллов
91-100 баллов
практиче- ские рабоские, латы, пробораторекты и
ные)
др.)
Знает: основные Знает:
основные Знает: основные Лекции,
Контрольпонятия
и понятия и утвер- понятия
и практиченые рабоутверждения.
ждения, а также ме- утверждения, а ские заня- ты,
дотоды
доказатель- также
методы тия.
машние
ства стандартных доказательства
задания.
утверждений.
утверждений.
Умеет: решать Умеет:
решать Умеет: решать
простейшие за- стандартные зада- задачи вычислидачи вычисли- чи вычислительно- тельного и теотельного и тео- го и теоретического ретического харетического ха- характера по алгеб- рактера по алрактера по ал- ре,
доказывать гебре, доказыгебре.
стандартные
вать утверждеутверждения.
ния.
ПК-4
Владеет: математическим аппаратом алгебры, простейшими
вычислительными навыками.
Знает: простейшие утверждения алгебры.
Умеет: доказывать простейшие
утверждения.
Владеет: математическим аппаратом
алгебры, методами
исследования
алгебраических объектов в стандартных случаях.
Знает:
основные
утверждения алгебры.
Умеет: сформулировать
результат,
доказывать основные утверждения
алгебры, получать
следствия из них.
Владеет: математическим аппаратом алгебры,
методами
исследования
алгебраических
объектов.
Знает: теоремы Лекции,
алгебры.
практические заняУмеет: сформу- тия.
лировать результат, доказывать
утверждения алгебры, получать
следствия
из
них.
Владеет: мето- Владеет: методами Владеет: методами
доказа- доказательств стан- дами
доказательств
про- дартных утвержде- тельств
утверстейших утвер- ний.
ждений.
ждений.
Контрольные работы,
домашние
задания.
10.3 Типовые контрольные задания или иные материалы, необходимые для оценки
знаний, умений, навыков и (или) опыта деятельности, характеризующей этапы формирования компетенций в процессе освоения образовательной программы.
Итоговая контрольная работа (примерный вариант):
1. Вычислить определитель:
1
4
 1 
1

2
2
3
2
1
3
2
1
2
4  5
1  11

2  9
 
1  11
5
9
8
9
4
4
3
4
6
5 
6

7
2. Решить систему уравнений методом Крамера:
 x1  2 x2  3x3  6

 x1  4 x2  3x3  8
2 x  6 x  9 x  17
2
3
 1
3. Решить матричное уравнение:
 2 1 2
 1 1 1  1 1 1 
 3 2 4   X   3 2 2   1 1 2 



 

5 3 7
 6 3 4  1 2 3 



 

4. Вычислить ранг матрицы:
 7 4
 2 0

 3 4

 8 8
 15 12

12 11
21 9
30 7
63 5
75 6
2
16
34
36
38
4 
15 
26 

21 
17 
5. Решить систему линейных уравнений:
 2 x1  x2  3 x3  7 x4  5
 6 x  3x  x  4 x  7

1
2
3
4

 4 x1  2 x2  2 x3  3 x4  2
4 x1  2 x2  14 x3  31x4  18
6. Решить систему линейных однородных уравнений:
 2 x1  x2  3 x3  5 x4  0
 x  2x  2x  x  0
 1
2
3
4

 3 x2  7 x3  7 x4  0
 x1  4 x2  12 x3  13 x4  0
21
a  1, 2,  3, 2  в базисе  e1, e2 , e3 , e4  . Найти
e  e2  e3  e4 , e1  e2  e3 , e1  e2 , e1  .
координаты этого вектора в базисе  1
7. Известны координаты вектора
8. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора, заданного в некотором базисе матрицей:
 1 3 1
 3 5 1


 3 3 1 


9. Вычислить в поле комплексных чисел:
4 64
10. Найти наибольший общий делитель многочленов:
x5  2 x 4  2 x 3  3 x  2 и x 4  2 x 3  3 x 2  2 x  4 .
Вопросы к зачёту (коллоквиуму):
1. Перестановки, размещения и сочетания.
2. Множества и операции над ними. Мощность множеств.
3. Матрицы и операции над ними
4. Определители. Теорема Лапласа.
5. Теорема о произведении определителей.
6. Теорема об обратной матрице.
7. Правило Крамера.
8. Арифметическое линейное пространство.
9. Ранг матриц. Теорема о ранге.
10. Системы линейных уравнений. Теорема Кронекера  Капелли.
11. Системы линейных однородных уравнений. Теорема о фундаментальных системах.
12. Системы линейных алгебраических неравенств.
13. Основные алгебраические структуры.
14. Кольцо целых чисел.
15. Кольцо вычетов.
16. Комплексные числа. Тригонометрическая форма.
17. Корни из комплексных чисел.
18. Кольцо многочленов. Алгоритм Евклида.
19. Неприводимые многочлены над полями R и C.
Вопросы к экзамену:
20. Линейные пространства, подпространства. Сумма и пересечение подпространств.
21. Евклидовы пространства.
22. Унитарные пространства.
23. Линейные операторы.
24. Ранг и дефект линейного оператора.
25. Собственные значения и векторы линейного оператора.
26. Жорданова форма матрицы.
27. Теорема Гамильтона  Кэли.
28. Сопряжённый оператор.
22
29. Нормальный оператор. Критерий нормальности.
30. Ортогональный оператор. Критерий ортогональности.
31. Самосопряжённый оператор.
32. Квадратичная форма и её канонический вид.
33. Критерий Сильвестра.
34. Закон инерции квадратичных форм.
35. Группы и гомоморфизмы.
36. Критерий равенства смежных классов.
37. Конечные абелевы группы.
38. Кольца и идеалы.
39. Кольца многочленов.
40. Теорема о полях частных.
41. Теорема о рациональных дробях.
42. Теорема о симметрических многочленах.
43. Теорема о простых расширениях.
44. Теоремы о степенях и конечных расширениях.
45. Теорема о нормальных расширениях.
46. Конечные и совершенные поля.
10.4 Методические материалы, определяющие процедуры оценивания знаний,
умений, навыков и (или) опыта деятельности характеризующих этапы формирования компетенций.
Текущая аттестация:
В каждом семестре проводятся проверочные работы (на семинарах), в конце третьего семестра – итоговая контрольная работаю
Промежуточная аттестация:
Зачет, экзамен (письменно-устная форма). Экзамены оцениваются по системе: неудовлетворительно, удовлетворительно, хорошо, отлично.
Текущий и промежуточный контроль освоения и усвоения материала дисциплины
осуществляется в рамках рейтинговой (100-балльной) и традиционной (4-балльной) систем оценок.
Экзаменационная оценка студента в рамках рейтинговой системы оценок является
интегрированной оценкой выполнения студентом заданий во время практических занятий,
индивидуальных домашних заданий, проверочных работ и итоговой контрольной работы.
Эта оценка характеризует уровень сформированности практических умений и навыков,
приобретенных студентом в ходе изучения дисциплины. Соответствующие умения и
навыки, а также критерии их оценивания приведены в таблице 10.
Экзаменационная оценка студента в рамках традиционной системы оценок выставляется на основе ответа студента на теоретические вопросы, перечень которых представлен в п. 10.3, а также решения задач, примерный уровень которых соответствует уровню
задач, приведенных в п.10.3. Эта оценка характеризует уровень знаний, приобретенных
студентом в ходе изучения дисциплины. Соответствующие знания и критерии их оценивания приведены в таблице 10.
23
11. Образовательные технологии.
При организации самостоятельной работы применяются технологии проблемного
обучения, проблемно-исследовательского обучения (в частности, при самостоятельном
изучении теоретического материала), дифференцированного обучения, репродуктивного
обучения, проектная технология, а также современные информационные технологии обучения.
В процессе проведения аудиторных занятий используются следующие активные и
интерактивные методы и формы обучения: проблемное практическое занятие, работа в
малых группах, дискуссия, самостоятельная работа с учебными материалами, представленными в электронной форме, защита проектов.
12. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
(модуля).
12.1 Основная литература:
1. Ильин В.А. Линейная алгебра: учеб. для студентов физ. спец. и спец. "Прикл. мат."/
В. А. Ильин, Э. Г. Позняк; Моск. гос. ун-т им. М. В. Ломоносова. - 6-е изд., стер.. Москва: Физматлит, 2007. - 280 с.
2. Курош А.Г. Курс высшей алгебры: учеб. для студ. вузов, обуч. по спец. "Математика", "Прикладная математика"/ А. Г. Курош. - 17-е изд., стер.. - Санкт-Петербург: Лань,
2008. - 432 с.
12.2 Дополнительная литература:
1. Воеводин, В.В. Линейная алгебра: учеб. пособие/ В. В. Воеводин. - 4-е изд., стер.. Санкт-Петербург: Лань, 2008. - 416 с.
2. Беклемишев, Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры: учеб. для
студ. вузов/ Д. В. Беклемишев. - 12-е изд., испр.. - Москва: Физматлит, 2008. - 312 с.
3. Дегтев А.Н. Алгебра и логика: учеб. пособие по спец. "Математика"/ А. Н. Дегтев. 3-е изд.. - Тюмень: Изд-во ТюмГУ, 2008. - 88 с.
4. Дегтев А.Н. Алгебра. Математическая логика и теория алгоритмов: учеб.-метод.
комплекс : сб. индивид. контр. заданий для студ. спец. "Математика"/ А. Н. Дегтев;
Тюм. гос. ун-т. - Тюмень: Изд-во ТюмГУ, 2010. - 38 с.
5. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре: учеб. пособие/ И. В. Проскуряков. - 12-е изд., стер.. - Санкт-Петербург: Лань, 2008. - 480 с.
24
6. Фаддеев Д.К. Задачи по высшей алгебре: учеб. пособие для студ. вузов, обуч. по мат.
спец./ Д. К. Фадеев, И. С. Соминский. - 16-е изд., стер.. - Санкт-Петербург: Лань, 2007.
- 288 с.
7. Шипачев, В.С. Задачник по высшей математике: учебное пособие для студентов вузов/ В. С. Шипачев. - 9-е изд., стер.. - Москва: Высшая школа, 2009. - 304 с.
12.3 Интернет-ресурсы:
1. Электронная библиотека Попечительского совета механико-математического факультета Московского государственного университета http://lib.mexmat.ru
2. eLIBRARY – Научная электронная библиотека (Москва) http://elibrary.ru
13. Перечень информационных технологий, используемых при осуществлении образовательного процесса по дисциплине (модулю), включая перечень программного обеспечения и информационных справочных систем (при необходимости).
При выполнении практических работ в качестве информационных технологий используется следующее программное обеспечение:
1. Microsoft Word.
2. Microsoft Excel.
3. Microsoft PowerPoint.
14. Технические средства и материально-техническое обеспечение дисциплины (модуля).
Учебные аудитории для проведения лекционных и практических занятий, в частности,
оснащенные интерактивной доской и/или проектором.
15. Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины
(модуля).
Для более эффективного освоения и усвоения материала рекомендуется ознакомиться с теоретическим материалом по той или иной теме до проведения семинарского
занятия. Работу с теоретическим материалом по теме с использованием учебника или конспекта лекций можно проводить по следующей схеме:
- название темы;
- цели и задачи изучения темы;
- основные вопросы темы;
- характеристика основных понятий и определений, необходимых для усвоения
данной темы;
- список рекомендуемой литературы;
25
- наиболее важные фрагменты текстов рекомендуемых источников, в том числе
таблицы, рисунки, схемы и т.п.;
- краткие выводы, ориентирующие на определенную совокупность сведений, основных идей, ключевых положений, систему доказательств, которые необходимо усвоить.
В ходе работы над теоретическим материалом достигается
- понимание понятийного аппарата рассматриваемой темы;
- воспроизведение фактического материала;
- раскрытие причинно-следственных, временных и других связей;
- обобщение и систематизация знаний по теме.
При подготовке к экзамену рекомендуется проработать вопросы, рассмотренные на
лекционных и практических занятиях. и представленные в рабочей программе, используя
основную литературу, дополнительную литературу и интернет-ресурсы.
Ниже следует краткое изложение материала, которое позволит учащимся систематизировать знания, полученные на лекциях, восполнить возможные «пробелы» в изучении
предмета, а так же приведены примеры решений некоторых типовых задач для подготовки к контрольным работам.
ГЛАВА I.
МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ.
§1.1. Матрицы и операции над ними.
Прямоугольная таблица элементов некоторого множества K , состоящая из m
строк и n столбцов, называется матрицей порядка m на n ( m  n ). Матрицы будем
обозначать буквами A, B, ..., а их элементы, находящиеся на пересечении i  ой строки
и j  ого столбца через aij , bij и т.д. Если m  n , то матрица называется квадратной
порядка n . В общем виде матрица m  n записывается следующим образом:
 a11

a
A   21
...

 am1
1 . Суммой двух матриц A  aij
 
a12 ... a1n 

a22 ... a2n 
... ... ... 

am 2 ... amn 
и B  bij одного и того же порядка m  n
 
 


называется матрица C  cij порядка m  n , где cij  aij  bij i  1.. m ; j  1.. n .
Пример 1.
 2 1 4 5 6 2  2  5 1  6

 
 
1
3
2

3
4
1

 
  1 3 3  4
 3 4 5 5 1 2  3  5 4  1

 
 
2 . Произведением матрицы A  aij на число
4  2  7 7 6
 

2  1    4 7 3 .
5  2   8 5 7 
 называется матрица, у которой
каждый элемент равен произведению соответствующего элемента матрицы A на число 
 
:
A   aij   aij  i  1..m, j  1..n .
Пример 2.
1 2   2 1  2  2   2  4
  
  
.
3
4

2

3

2

4

6

8

 
 

 2
26
 
3 . Произведением матрицы A  aij , имеющей m строк и k столбцов, на матрицу
 
B  bij ,
 
имеющую
k
строк
и
n
столбцов,
называется
матрица
C  cij , имеющая m строк и n столбцов, у которой элемент cij равен сумме произведений элементов i  ой строки матрицы A и j  ого столбца матрицы B , т. е.
cij  ai1b1 j  ai 2b2 j    aik bkj i  1..m, j  1..n .
При этом число k столбцов матрицы A должно быть равно числу строк матрицы B . В


противном случае произведение не определено.
Пример 3.
 3 2
 1  3  2  5  3  0 1  2  2  4  3  1 13 13 
1 2 3  
  
 .

   5 4   
1

3

3

5

2

0
1

2

3

4

2

1
18
16
1
3
2
 


 0 1 


§1.2. Определители. Теорема Лапласа.
Перестановкой из n чисел называется всякое расположение чисел от 1 до n в каком либо порядке. В общем виде она записывается так
i1, i2 , ..., in .
(1)
Говорят, что в перестановке (1) числа i s и it образуют инверсию, если s  t , но is  it .
Перестановку называют чётной (нечётной), если количество всех её инверсий есть число
чётное (соответственно нечётное). Оно обычно подсчитывается так: берём число i1 и
находим количество чисел, лежащих правее и меньших i1 , т.е. число инверсий, которое
образует i1 с остальными. Затем поступаем аналогично с числами i2 , ..., in 1. Сумма этих
чисел и будет количеством всех её инверсий. Например, в перестановке 5, 3, 1, 4, 2 число
инверсий равно 7 и поэтому она нечётная.
Определителем квадратной матрицы называется сумма всех её правильных произведений, причём каждое из них в этой сумме берётся со знаком «плюс», если соответствующая ему перестановка чётная, и со знаком «минус» – в противном случае.
Определитель матрицы A порядка n записывается так:
a11 a12 ... a1n
a
a 22 ... a 2n
A  21
...
... ... ...
a n1 a n 2 ... ann
Если в матрице зафиксировать k различных строк и столбцов, то на их пересечении
элементы составят матрицу порядка k , определитель которой называется минором
k  ого порядка этой матрицы. Если же исходная матрица квадратная и в ней вычеркнуть
k различных строк и столбцов с номерами i1 ,..., ik и j1 ,..., jk , то определитель, составленный из элементов оставшихся n  k строк и столбцов, умноженный на число
(1)i1 ... ik  j1 ... jk называется алгебраическим дополнением исходного минора
k  ого порядка.
ТЕОРЕМА ЛАПЛАСА. Зафиксируем в определителе k строк. Тогда сумма произведений всех миноров k  ого порядка, лежащих в этих фиксированных строках, на их
алгебраические дополнения равна исходному определителю.
27
СЛЕДСТВИЕ. Сумма произведений всех элементов фиксированной строки определителя
на
их
алгебраические
дополнения
равна
определителю,
т.е.
n
A  ai1  Ai1  ai 2  Ai 2  ...  ain  Ain   aij  Aij , при любом фиксированном
j 1
i, 1  i  n. □
Матрица A называется треугольной, если все элементы над или под главной диагональю равны нулю. Непосредственно из определения определителя следует, что определитель треугольной матрицы равен произведению элементов его главной диагонали.
Наконец, полезно запомнить правила вычислений определителей второго и третьего порядка. Именно,
a11
a21
a12
 a11a22  a12 a21.
a22
Пример 4.
2 3
 2  5  3  4  2 .
4 5
a11a12 a13
a21a22 a23  a11a22 a33  a12 a23a31  a13a21a32 
a31a32 a33
 a13a22 a31  a11a23a32  a12 a21a33 .
Чтобы запомнить, какие произведения в правой части равенства берутся со знаком
‹‹+››, а какие со знаком ‹‹-›› полезно использовать следующее правило треугольников:
Пример 5.
3  2 1
2 3
1  3  3   2   2  1  4   1  2  0   1  3  4   2   2   2 
4 0 2
 3  1  0  18  8  12  8  22.
Для вычисления определителей более высоких порядков пользуются следующим
алгоритмом: с помощью свойства 9 определителей добиваются того, чтобы в одной строке
(или в одном столбце) все элементы за исключением одного равнялись нулю, затем по
следствию 1 из теоремы Лапласа расписывают определитель по этой строке (столбцу).
Тем самым вычисление определителя n  ого сводят к вычислению определителя
n 1  ого порядка. При необходимости процедуру повторяют.
28
Пример 6. Вычислить определитель
1 2 3 2
2 0
1 3
.
D
1 2
3
2
2 2 1
3
Решение. Домножив первую строку на (-2), (-1), (-2) и добавляя её соответственно
ко второй, третьей и четвёртой строке, получим
1 2 3 2
0 4 7 7
D
.
0 0
6
0
0  6 7 1
Распишем определитель по первому столбцу:
4 7 7
D  1   111  0 6 0 .
 6 7 1
Расписывая полученный определитель третьего порядка по второй строке, получим
D  6   12  2 
4 7
 228.
 6 1
§1.3. Теоремы о произведении определителей и обратной матрице. Правило
Крамера.
ТЕОРЕМА (о произведении определителей). Определитель произведения двух
квадратных матриц A и B одного и того же порядка равен произведению их определителей, т.е. A  B  A  B .
Пусть A и B  матрицы порядка n . Матрица B называется обратной для матрицы A , если AB  BA  E . Матрица A называется невырожденной, если A  0 .
ЛЕММА (к теореме об обратной матрице).
(а) если A имеет обратную матрицу B , то A - невырожденная;
(б) если обратная матрица для A существует, то она единственна.
ТЕОРЕМА (об обратной матрице). Если матрица A - невырожденная матрица, то
1
она имеет обратную матрицу A , где
 A11 An1 
...


A
A 
 A11 ... An1 


1 
A1   ...............     .............. 

 A
 A ... A 
 A1n Ann 
nn 
 1n
...
 A

A 

Иными словами, ij  ый элемент A
1
равен алгебраическому дополнению
(4)
ji  го эле-
мента A , деленному на A .
29
Пример 7.
 3  1 0


Дана матрица A    2
1 1  . Её определитель A  5 , поэтому обратная
 2  1 4


A1 существует. Найдём алгебраические дополнения элементов матрицы A :
1 1
2 1
A11   111 
 5; A12   11 2 
 10 ;
1 4
2 4
2 1
1 0
A13   11 3 
 0; A21   12 1 
 4;
2 1
1 4
3 0
3 1
A22   12  2 
 12; A23   12  3 
1;
2 4
2 1
1 0
3 0
A31   131 
 1; A32   13 2 
 3 ;
1 1
2 1
3 1
A33   13 3 
 1.
2 1
 A11 A21 A31 
 5 4  1




1
1
1
Тогда A    A12 A22 A32   10 12  3 .
5 
 5 0 1
A
A
A
1 
23
33 
 13

матрица
Линейным уравнением от n неизвестных x1 ,..., x n называется уравнением вида
a1 x  a 2 x 2  ...  a n x n  b .
Поэтому системой линейных уравнений (СЛУ) называется система вида
a11 x1  a12 x2  ...  a1n xn  b1
a x  a x  ...  a x  b
 21 1
22 2
2n n
2
(5)

..........
..........
..........
.........



am1 x1  am 2 x2  ...  amn xn  bn
Эта СЛУ состоит из m уравнений от n неизвестных. Матрица A  aij , составленная из
 
коэффициентов при неизвестных, называется основной, а если к ней приписать столбец из
b1 ,..., bm - свободных членов СЛУ (5), то полученную матрицу называют расширенной.
СЛУ (5) можно записать и в матричном виде
 x1   b1 
   
 x  b 
A 2    2 


   
 x  b 
 n  n
(6)
СЛУ (5) называется крамеровской, если число уравнений в ней равно числу неизвестных m  n  и основная матрица ее невырожденная.
30
ПРАВИЛО КРАМЕРА. Крамеровская СЛУ имеет единственное решение
x1,..., xn , которое находится по формулам



x1  1 , x2  2 ,..., xn  n ,



где   определитель основной матрицы СЛУ, а  i получается из  в результате замены в  i  го столбца на столбец из свободных членов.
Пример 8. Решить систему уравнений
 x  2y  z 1

2 x  y  z  1
 x  3 y  z  2.

1 2 1
Решение.   2 1 1  1;
1 3 1
1 2 1
1
1   1 1 1  1;  2  2
2 3 1
1


1
т. о. x  1 
 1; y  2

1

1 1
1 2 1
 1 1  1;  3  2 1  1  0,
2 1
1 3 2

1
0
  1; z  3   0.
1
 1
ГЛАВА II. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.
n
§2.1. Арифметическое линейное пространство R .
n
Рассмотрим множество R всех n  ок (строк из n элементов) действительных
чисел 1 ,..., n  . Введем на этом множестве умножение числа на n  ку и сложение
n  ок так:
 1 ,..., n   1 ,...,  n ,
1 ,..., n   1 ,...,  n   1  1 ,..., n   n .
Ниже n  ки будем называть векторами, и обозначать латинскими буквами
a,b,..., возможно с нижними индексами. Исключение составит нулевой вектор
  0,...,0 . Числа из R будем обозначать греческими буквами  ,  ,...
n
Множество R , вместе со сложением векторов и умножение числа на вектор образуют арифметическое линейное пространство или n - мерным векторным пространством.
Вектор вида 1a1  ...   m a m называется линейной комбинацией векторов
a1 ,  , a m (с коэффициентами 1 ,..., m ). Говорят, что система векторов a1 ,  , a m
является линейно независимой, если для любых чисел 1 ,..., m равенство
1a1  ...   n a n   влечет, что 1  ...   n  0 . В противном случае система векторов a1 ,  , a m называться линейно зависимой. Равносильно, система векторов
a1 ,  , a m линейно зависима, если найдутся числа 1 ,..., m , не все из которых равны 0
, но 1a1  ...   m a m   . Равенство 1a1  ...   m a m   можно выразить слова31
ми: линейная комбинация векторов a1 ,  , a m с коэффициентами
вому вектору.
1 ,..., m равна нуле-
n
Линейно независимая система порождающих называется базисом R .
3
Нетрудно понять, что следующая система векторов будет базисом в R :
e1  1, 0, 0; e2  0, 1, 0; e3  0, 0, 1.
§2.2. Ранг матриц.
Наивысший порядок минора матрицы, неравного нулю, называется минорным рангом матрицы.
Будем смотреть на столбцы, впрочем, как и на строки, матрицы m  n как на векm
n
торы пространства R (соответственно, R ). Говорят, что подмножество векторов L
линейного пространства является его подпространством, если для всех a, b  L и числа
 выполнены два условия:
(а) a, b  L  a  b  L ;
(б) a  L    a  L .
Универсальным способом получения подпространств является следующий: надо
взять произвольное множество A векторов из пространства и тогда, как не трудно проверить, множество L всевозможных линейных комбинаций векторов из A образует подпространство исходного линейного пространства, о котором говорят, что оно порождено
векторами A . По теореме о базисах любая максимальная линейная независимая система
векторов из A содержит одно и то же число векторов. Поэтому корректно следующее
определение: число столбцов, образующих в матрице максимальную линейно независимую систему, называется рангом матрицы по столбцам. Аналогично определяется и ранг
матрицы по строкам.
ТЕОРЕМА (о ранге матриц). Ранг матрицы по столбцам равен ее минорному рангу.
Пример 1. Найти ранг матрицы
3

1
A
2

2
4
2
3
2
3 1 0 

2 2 1
.
3 3  1

1 1  1
Решение. Минор второго порядка, стоящий в левом верхнем углу этой матрицы отличен от нуля.
d
3 4
 2.
1 2
Минор третьего порядка
3 4 3
d /  1 2 2  1,
2 3 3
окаймляющий d , отличен от нуля, однако оба минора четвёртого порядка, окаймляющие
d / , равны нулю:
32
3
1
2
2
4
2
3
2
3 1
2 2
0;
3 3
1 1
3
1
2
2
4
2
3
2
3 0
2 1
 0,
3 1
1 1
т. е. ранг матрицы A равен трём.




Назовём элементарными следующие преобразования матриц:
перестановка строк (столбцов);
домножение строки (столбца) на число, отличное от нуля;
добавление к одной строке (столбцу) другой строки (столбца), умноженной на некоторое число;
вычёркивание нулевой строки (столбца).
УТВЕРЖДЕНИЕ 1. Элементарные преобразования не меняют ранга матрицы. □
УТВЕРЖДЕНИЕ 2. Система из k векторов
1, 2 , 3 ,, k ,, n  ;
0 ,  2 ,  3 ,,  k ,,  n  ;
0 ,0 ,  3 ,,  k ,,  n  ;

0 ,0 ,0 ,, k ,,n 
линейно независима. □
В заключении укажем ещё один алгоритм нахождения ранга матриц, основанный
на утв. 1, 2: с помощью элементарных преобразований приведём матрицу к ступенчатому
виду; количество её строк и будет рангом матрицы.
Пример 2. Найти ранг матрицы






1 2
3
4

2 2 1
0
.
3 0
4
4

1 4  3  5 
Решение. Домножим первую строку матрицы на (-2), (-3), (-1) и прибавим, соответственно, ко второй, третьей и четвёртой строкам, получим






1 2
3
4

0  6  5  8
.
0  6  5  8

0  6  6  9 
Теперь домножим вторую строку матрицы на (-1) и прибавим к третьей и четвёртой строкам. Вычеркнув нулевую строку, получим матрицу
3
4
1 2


 0  6  5  8
 0 0  1  1


ступенчатого вида, у которой три строки. Т. е. ранг матрицы равен трём.
33
§2.3. Системы линейных уравнений.
Общий вид СЛУ задается системой:
a11 x1  a12 x2  ...  a1n xn  b1
a x  a x  ...  a x  b
 21 1
22 2
2n n
2
(*)

..........
..........
..........
.........



am1 x1  am 2 x2  ...  amn xn  bn
Набор чисел x1,, xn такой, который при подстановке вместо x1 ,, xn , каж-


дое из уравнений системы обращает в тождество, называется ее частным решением.
Найти общее решение СЛУ, значит указать метод, позволяющий получить все частные ее
решения. СЛУ называется совместной, если она имеет хотя бы одно частное решение, и
несовместной– иначе.
Классической является следующая
ТЕОРЕМА КРОНЕКЕРА – КАПЕЛЛИ. Система линейных уравнений совместна
тогда и только тогда, когда ранг ее основной матрицы равен рангу расширенной.
Две СЛУ от одного и того же числа неизвестных называются равносильными, если
они обе не совместны, либо множества их частных решений равны. Нетрудно показать,
что полученная СЛУ равносильна исходной, если
 из СЛУ вычеркнуть уравнение вида 0  0 ;
 обе части какого-то уравнения СЛУ умножить на число, отличное от нуля;
 прибавить к одному из уравнений другое, умноженное на некоторое число.
Изложим один метод решения СЛУ (*), называемый методом последовательного
исключения переменных (или методом Гаусса). Будем считать, что a11  0 (этого можно
всегда добиться с помощью перестановок строк). Попытаемся теперь, умножая первое
уравнение на подходящие числа и прибавляя его к последующим, уничтожить в них сла-
 a 
гаемые, содержащие x1 . Для этого, умножаем первое уравнение на   21  и прибавля a11 
 a 
ем ко второму, и так далее, пока не умножим первое уравнение на   m1  и не приба a11 
вим к последнему. Получим равносильную СЛУ вида
 a11x1  a12 x2    a1n xn  b1

/
a22
x2    a2/ n xn  b2




/
/
/

am
2 x2    amn xn  bm .
Полагаем, что
/
a22
 0 (этого можно добиться, переставляя строки или переимено-
вывая переменные). Затем временно «забываем» про первое уравнение и продолжаем такую процедуру с оставшимися. Если в результате этой процедуры возникнет уравнение
вида 0  a и a  0 , то система несовместна, если же одно из уравнений окажется вида
0  0 , то это уравнение можно опустить. В результата придем к ступенчатой СЛУ, которая имеет вид
34
 a11x1  a12 x2    a1r xr  a1r 1xr 1    a1n xn  b1

/
a22
x2    a2/ r xr  a2/ r 1xr 1    a2n xn  b2/




/
/
/
/

arr
xr  arr
1 xr 1    arn xn  br .
Эта часть метода Гаусса часто носит название «прямого хода». Заметим, что число
r является рангом основной матрицы СЛУ и он равен рангу расширенной. Теперь для
нахождения общего решения СЛУ (*) воспользуемся «обратным ходом». Для этого из последнего уравнения системы выразим x r через x r 1 ,..., x n . Зная это выражение из предпоследнего уравнения можно выразить x r 1
Наконец получим систему
также через x r 1 ,..., x n , и так далее.
 x1  c1  d1r 1xr 1    d1n xn

 
x  c  d
r
rr 1 xr 1    d rn xn .
 r
Она равносильна исходной и называется общим решением СЛУ (*). Теперь подставляя
вместо
неизвестных
произвольные
значения
xr 1,..., xn и вычисляя
x1, x2 ,..., xr можно получить все частные решения ( x1, x2 ,..., xn ) СЛУ (*).
Пример 3. Решить систему уравнений
 x1  2 x2  5 x3  20

 x1  x2  3x3  8
3x  3x  13 x  48.
2
3
 1
Решение. Подвергнем преобразованиям расширенную матрицу этой системы:
1 2 5

1 1 3
3
3 13

20   1
 
8   0
48   0
2
5 20   1
2
5 20 
 

 3  2  12    0  3  2  12 .
 3  2  12   0
0
0
0 
Ранг основной матрицы системы равен рангу расширенной матрицы и равен двум. Приходим, следовательно, к системе уравнений, равносильной исходной
 x1  2 x2  5 x3  20
,


3
x

2
x


12
2
3

в которой одна переменная является независимой. В качестве независимой переменной
возьмём x3 , и выразим через неё остальные, получим:
11

 x1  12  3 x3
.

2
 x2  4  x3
3

Полагая, например, x3  3 , получим одно из частных решений системы:
x1  1; x2  2; x3  3.
35
Если все свободные члены СЛУ b1 ,..., bm равны 0 , то СЛУ называется системой
линейных однородных уравнений (СЛОУ). Базис этого подпространства называется фундаментальной системой решений СЛОУ.
ТЕОРЕМА (о СЛОУ). Фундаментальная система решений СЛОУ состоит из
n  r некоторых ее частных решений, где n  число неизвестных СЛОУ, а r  ранг ее
основной матрицы.
Пример 4. Решить систему
 x1  2 x2  2 x3  3 x4  0

 2 x1  3 x2  x3  5 x4  0
 x  x  3 x  8 x  0.
2
3
4
 1
Решение. Это система однородных уравнений, причём число уравнений меньше
числа неизвестных; она будет иметь множество решений. Так как все свободные члены
равны нулю, то будем подвергать преобразованиям лишь матрицу из коэффициентов системы:
3
1  2  2 3  1  2  2

 
 1  2  2
3
.
5  11  
 2  3 1  5   0 1
0
1
5

11


 1  1 3  8  0 1
5  11

 
Мы пришли к системе уравнений
 x1  2 x2  2 x3  3 x4  0

x2  5 x3  11x4  0.

В качестве независимых выберем две переменные, например x3 , x4 . Выразим остальные
переменные через независимые. Получим
 x1  8 x3  19 x4

 x2  5 x3  11x4 .
Тогда фундаментальная система будет иметь следующий вид:
x1
x2
x3
x4
-8 -5
1
0
19 11
0
1
Любое частное решение системы может быть представлено в виде линейной комбинации
фундаментальных решений, т. е. общее решение системы
x    8,5, 1, 0   19, 11, 0, 1;  ,   R.
ГЛАВА 3.
ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ.
§3.1. Матрицы линейных операторов.
Отображение  : L  L называется линейным оператором, если выполнены условия: для всех x, y  L и числа  :
 x  y    x     y 
(б)   x     x  ,
(а)
Матрицей линейного оператора
  i  1..n ; j  1..n. ,
A  aij
 в базисе e1 ,, en называется такая матрица
у которой i  ый столбец есть координаты вектора
 (ei ) в базисе e1 ,, en . Т. е.,
36
 11 12  1n 


  21  22   2n 
 (e1 )  (e2 )   (en )   e1 e2  en   
.

   






n2
nn 
 n1
/
/
Пусть e1 ,...,en  другой базис L. Матрицей перехода от одного базиса e1 ,...,en
/
/
к другому e1 ,...,en называется такая матрица T   ij
i  1..n ; j  1..n , у которой i/
ый столбец есть координаты вектора ei в базисе e1 ,...,en , т. е.
  
e1/
  11  12



e2/  en/  e1 e2  en  21 22
 

  n1  n 2
Пример 1.
/
Векторы e1  (1, 1, 1);


  1n 

  2n 
.
 

  nn 
e2/  (1, 1, 2); e3/  (1, 2, 3); x  (6, 9, 14) заданы своими ко-
/ / /
ординатами в некотором базисе e1 , e2 , e3 . Показать, что векторы e1 , e2 , e3 сами образуют базис, и найти координаты вектора x в этом базисе.
Решение. Составим матрицу перехода от базиса e1 , e2 , e3 к системе векторов
e1/ , e2/ , e3/ :
1 1 1 


T  1 1 2  ,
1 2 3 


/ / /
она невырожденная, значит векторы e1 , e2 , e3 линейно независимы и могут образовывать базис трёхмерного пространства. Тогда
T
1
1  1
 1


  1  2 1 .
1 1
0 

/ / /
Найдём координаты вектора x в базисе e1 , e2 , e3 :
 x/   1
1  1  6   1 
 1 
/
 x    1  2 1    9    2 .
 2 
0   14   3 
 x3/    1 1
 
ТЕОРЕМА (о связи матриц линейного оператора). Пусть A и B – матрицы ли/
/
нейного оператора  в базисах e1 ,...,en и e1 ,...,en соответственно и T  матрица
37
1
перехода о первого базиса ко второму. Тогда B  T  A  T (матрицы A и B называются подобными).
Пример 2. Линейный оператор  в базисе e1 , e2 , e3 имеет матрицу
1 2 1


A   3 2 1  . Найти его матрицу B в базисе
1 1 0


e1/  (1, 1,  1);
e2/  (1,  2, 1);
e3/  (0,  1, 1).
/ / /
Решение. Составим матрицу перехода от базиса e1 , e2 , e3 к базису e1 , e2 , e3 :
1
0
 1


T   1  2  1.
1 1
1 

Найдём обратную матрицу для T :
T
1
1
1
1


  0  1  1 .
1 2
3 

Тогда
1
1  1 2 1  1
1
1





B  T 1  A  T   0  1  1   3 2 1   1  2
1 2
3   1 1 0    1
1

5 2  1
1 0  8  3
 5

 
 
   4  3  1   1  2  1    6
1
 10




9
3   1
1
1  16  5

0

 1 
1
 3

2 .
 6 
§3.3. Характеристические корни и собственные значения.
Пусть A   ij  квадратная матрица порядка n с действительными элементами.
 
Пусть, с другой стороны,   некоторое неизвестное. Тогда матрица ( A  E ), где E 
единичная матрица порядка n , называется характеристической матрицей матрицы A .
Так как в матрице ( E ) по главной диагонали стоит  , все же остальные элементы равны
нулю, то
12
 11  

 22  
  21
A  E  



 n2
  n1

1n 


 2n 
.

 

  nn   
38
Многочлен n  ой степени A  E называется характеристическим многочленом матрицы A , а его корни, которые могут быть как действительными, так и комплексными, называются характеристическими корнями этой матрицы.
Пусть в линейном пространстве L задан линейный оператор  . Если вектор b ,
отличный от нуля, переводится оператором  в вектор, пропорциональный самому b ,
 (b)  0b,
(6)
0  некоторое действительное число, то вектор b называется собственным вектором оператора  , а число 0  собственным значением этого оператора, причем говорят, что собственный вектор b относится, к собственному значению 0 .
где
ТЕОРЕМА (о собственных значениях). Действительные характеристические
корни линейного оператора  , если они существуют, и только они служат собственными значениями этого оператора.
Пример 3. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора, заданного в некотором базисе матрицей
 4  5 2


A   5  7 3 .
 6  9 4


Решение: Составим характеристическое уравнение
4
5
6
5
7
9
2
3  0.
4
Раскрывая определитель, получим уравнение
 3  2  0 ,
корни которого 1  0, 2  0, 3  1 являются собственными значениями линейного
оператора  .
Найдём собственные векторы, соответствующие собственному значению
этого решим систему (10), считая
0  0.
1,2  0. Для
 4 x1  5 x2  2 x3  0

 5 x1  7 x2  3x3  0
 6 x  9 x  4 x  0.
2
3
 1
После преобразования получим:
1

 x1  3 x3
 x1  2 x2  x3  0
или 

2
3 x2  2 x3  0

 x2  x3 .
3

Фундаментальная система решений имеет вид:
x1
x2
x3
1
2
3
Собственный вектор x   0   (1, 2, 3);   0.
39
Аналогично, для
3  1 , получим систему линейных однородных уравнений
 3x1  5 x 2  2 x3  0

 5 x1  8 x 2  3x3  0
 6 x  9 x  3x  0,
2
3
 1
фундаментальным решением которой будет:
x1
x2
x3
1
1
1
и x  1   (1, 1, 1);   0  собственный вектор, соответствующий собственному значению 3  1.
ГЛАВА 4.
ОСНОВНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ.
§4.1. Группы, кольца, поля.
Множество G элементов a, b, c, , в котором определён закон композиции,
называемый сложением и ставящий в соответствие каждой паре элементов a, b множества G определённый элемент c  a  b этого множества, называется аддитивной группой (обозначается G,  ), если этот закон удовлетворяет следующим требованиям:
1.
2.
a  (b  c)  (a  b)  c (ассоциативность).
Существует элемент e множества G такой, что для любого элемента a
этого множества a  e  a (существование нейтрального (нулевого) эле-
мента).
3.
Для любого элемента a множества G существует противоположный элемент  a такой, что a  (a)  e .
4.
a  b  b  a (коммутативность),
то группа G называется коммутативной или абелевой.
Отметим некоторые свойства групп (будем использовать аддитивную форму записи композиции).
Пример 1. Множество Z целых чисел образует абелеву группу относительно сложения. Действительно, сложение целых чисел ассоциативно и коммутативно, нейтральным элементом является целое число 0 , а обратным для a служит целое число  a .
Пример 2. Множество положительных вещественных чисел R образует абелеву
группу относительно умножения. Очевидно, умножение ассоциативно и коммутативно.
Нейтральный элемент 1 R , а обратным элементом для числа a  0 служит вещественное число 1 .
a
Множество K элементов a, b, c, , в котором определены законы композиции,
называемые сложением и умножением, называется кольцом (обозначается K , ,  ), если
эти законы удовлетворяют следующим требованиям:
1. K ,   коммутативная группа.
2. a  (b  c)  (a  b)  c (ассоциативность).
3. a  (b  c)  a  b  a  c и (b  c)  a  b  a  c  a (дистрибутивность
умножения относительно сложения).
Если умножение коммутативно, то кольцо называется коммутативным; если в кольце
имеется единичный элемент, то оно называется кольцом с единицей. Элементы a, b  K
40
называются делителями нуля  нейтрального элемента относительно  , если a  0 и
b  0 , но a  b  0 .
Пример 4. Множество целых чисел Z относительно сложения и умножения является коммутативным кольцом с единицей. Роль единичного элемента играет целое число
1.
Пример 5. Множество квадратных матриц n  ого порядка относительно сложения и умножения образует кольцо с единицей. Коммутативность сложения, ассоциативность сложения и умножения, дистрибутивность умножения относительно сложения для
матриц были отмечены в §. Нейтральным элементом по сложению является нулевая
квадратная матрица порядка n , нейтральным элементом по умножению  единичная матрица порядка n .
Коммутативное кольцо с единицей, в котором каждый ненулевой элемент является
1
1
обратимым, т.е. для любого a  0 существует a , такой, что aa  e , называется полем.
Пример 6. Множество рациональных чисел Q с операциями сложения и умножения образует поле. Действительно, для всякого ненулевого рационального a
ет так же рациональный обратный элемент b
a
b
, существу-
.
§4.2. Поле комплексных чисел.
В качестве материала для построения новой системы чисел возьмём точки плоскости C  ( x, y ) : x, y  R, каждая из которых однозначно определяется упорядоченной
парой действительных чисел. Введём операции сложения и умножения для таких элементов следующим образом:
(a, b)  (c, d )  (a  c, b  d );
(a, b)  (c, d )  (ac  bd , cd  bc).
Множество C с введёнными операциями сложения и умножения образует поле
комплексных чисел.
Между декартовыми и полярными координатами существует следующая связь,
справедливая при любом расположении точек на плоскости:
a  r cos , b  r sin .
 имеем:
  a  bi  r cos   r sin  i  r cos   i sin  .
Для произвольного комплексного числа
Пример 7. Найти тригонометрическую форму числа 3  i .
2
2
Решение. Здесь a  3 , b  1 . Тогда r 
3  1  2 .
 

3
cos 
2

sin    1
2.

Решая систему, получаем
 

11

6

11
 . Таким образом
6
11 
 11
3  1  2 cos   i sin  .
6
6 

Формулы Муавра:
41
r cos  i sin  n  r n cosn   i sin n .
4
Пример 8. Вычислить 1  i  .
4

 
 
Решение. 1  i    2  cos  i sin  
4
4 
 
Пример 9. Вычислить    i .
4
 2 4 cos  i sin    4.
Решение. Найдём тригонометрическую форму числа  i :
3
3
 i sin .
2
2
3
3
 2k
 2k
3
3
2
2
 i sin
 cos
 i sin
Тогда   cos
.
2
2
2
2
3
3
2
2
 i sin

i
При k  0 имеем:  0  cos
.
4
4
2
2
7
7
2
2
 i sin

i
При k  1 : 1  cos
.
4
4
2
2
Пример 10. Вычислить   3 8 .
Решение. В тригонометрической форме 8  8  cos 0  i sin 0 .
2k
2k 

  3 8cos0  i sin 0  2 cos
 i sin
.
3
3 

k  0 :  0  2cos 0  i sin 0   2 ;
2
2 

 i sin
k  1: 1  2 cos
 3 i;
3
3 

4
4 

 i sin
k  2 :  2  2 cos
   3 i.
3
3 

 i  cos
§4.4. Кольца многочленов.
Пусть P  произвольное поле. Через P x  обозначим множество многочленов от
x с коэффициентами из P . Многочлен имеет вид:
f x   a0  a1x    an 1x n 1  an x n .
Следовательно, множество C x  с введёнными таким образом операциями сложения и умножения образует коммутативное кольцо с единицей, но не поле. Это же утверждение будет справедливо для многочленов над произвольным полем.
Пример 11. Найти наибольший общий делитель многочленов:
4
3
2
3
2
f x   x  3x  x  4 x  3; g x   3x  10 x  2 x  3.
Решение. Применяя алгоритм Евклида к многочленам с целыми коэффициентами,
мы можем, чтобы избежать дробных коэффициентов, умножить делимое или сократить
делитель на любое не равное нулю число, причём, не только начиная какое-либо из последовательных делений, но и в процессе самого этого деления. Это будет приводить,
понятно, к искажению частного, но интересующие нас остатки будут приобретать лишь
некоторый множитель нулевой степени, что, как мы знаем, при разыскании наибольшего
общего делителя допускается.
42
Делим f  x  на g  x  , предварительно умножив f  x  на 3:
3
2
3x 4  9 x 3  3x 2  12 x  9 3x  10 x  2 x  3
3x 4  10 x 3  2 x 2  3x
x 1
 x3  5x 2  9 x  9
(умножаем на 3)
3x 3  15 x 2  27 x  27
3x 3  10 x 2  2 x  3
5 x 2  25 x  30
Степень остатка стала меньше степени делителя, таким образом, после сокра2
щения на 5 получим первый остаток r1  x   x  5 x  6 . Делим на него многочлен
g x  :
2
3x 3  10 x 2  2 x  3 x  5 x  6
3x 3  15 x 2  18 x
3x  5
 5 x 2  16 x  3
 5 x 2  25 x  30
9 x  27
Вторым остатком, после сокращения на 9, будет r2  x   x  3 . Очевидно, что
r1  x   r2  x  x  2, т. е. последним остатком, отличным от нуля будет r2  x   x  3 .
Он и будет искомым наибольшим делителем:
 f x , g x   x  3.
ГЛАВА I. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ЕВКЛИДОВОМ И УНИТАРНОМ
ПРОСТРАНСТВАХ.
§1.1. Евклидовы и унитарные пространства.
Будем говорить, что в n  мерном действительном линейном пространстве Ln
определено скалярное умножение, если всякой паре векторов a, b поставлено в соответ-
ствие действительное число, обозначаемое символом a, b  и называемое скалярным произведением векторов a и b , причем выполняются следующие условия (здесь a, b, c 
любые век т ор ы пространства Ln ,   любое действительное число):
I. a, b   b, a ,
III.
a  b, c   a, c   b, c ,
a, b    a, b ,
IV.
Если a   , то скалярный квадрат вектора a строго положителен,
II.
a, a   0.
43
Опишем далее так называемый процесс ортогонализации, т. е. некоторый способ перехода от любой линейно независимой системы из k векторов a1 , a2 ,, ak евклидова
пространства En к ортогональной системе, также состоящей из k ненулевых лекторов;
эти векторы будут обозначены через b1 , b2 ,, bk .
Положим b1  a1 , т. е. первый вектор системы ( a1 , a2 ,, ak ) войдёт и в строящуюся
нами ортогональную систему. Положим, далее,
b2  1b1  a2 .
Так как b1  a1 а векторы a1 и a 2 линейно независимы, то вектор b2 отличен от нуля
при любом числе 1 . Подберем это число из условии, что вектор b2 должен быть ортогонален к вектору b1 :
0  b1, b2   b1, 1b1  a2   1 b1, b1   b1, a2 ,
откуда, ввиду IV,
b , a 
1   1 2 .
b1, b1 
Пусть уже построена ортогональная система ненулевых векторов b1 , b2 ,, bl ; дополнительно предположим, что для всякого i, 1  i  l , вектор bi является линейной
комбинацией векторов a1 , a2 ,, ai . Это предположение будет выполняться тогда и для
вектора bl 1 если он будет выбран в виде
bl 1  1b1   2b2     l bl  al 1.
Вектор bl 1 будет при этом отличен от нуля, так как система ( a1 , a2 ,, ak ) линейно
независимая, а вектор al 1 не входит в записи векторов b1 , b2 ,, bl . Коэффициенты
 i , i  1, 2,, l , подберем из условия, что вектор bl 1 должен быть ортогонален ко
всем векторам bi ,
i  1, 2,, l :
0  bi , bl 1   bi , 1b1   2b2     l bl  al 1  
 1bi , b1    2 bi , b2      l bi , bl   bi , al 1 ;
отсюда, так как векторы b1 , b2 ,, bl ортогональны между собой,
 i bi , bi   bi , al 1   0,
т. е.
b , a 
 i   i l 1 , i  1, 2,, l.
bi , bi 
Продолжая этот процесс, мы построим искомую ортогональную систему
b1, b2 ,, bk .
Применяя процесс ортогонализации к произвольному базису пространства En , мы
получим ортогональную систему из n ненулевых векторов, т. е., так как эта система по
доказанному линейно независима, ортогональный базис.
44
Назовем вектор b нормированным, если его скалярный квадрат равен единице, т. е.
b, b   1.
Если a   , откуда a, a   0 , то нормированием вектора a называется переход к вектору
b
1
a.
a, a 
Вектор b будет нормированным, так как

b, b  

1
a,
a, a 
 
1
a   
a, a   
2
1 
a, a   1.
a, a  
Пример 1. Привести систему векторов
a1  2,  1, 2; a2  1, 1, 4; a3  6,  3,  3
к ортонормированному виду.
Решение. Применим к указанным
b1  a1  2,  1, 2. Вектор b2 ищем в виде
векторам
процесс
ортогонализации.
b , a  9
b2  a2  kb1, где k   1 2    1. Подставляя значения, получим
b1, b1  9
b2   1, 2, 2 .
b3  a3  1b1   2b2 .
Далее
ищем
Здесь
b , a  9
b , a   18
1   1 3    1,  2   2 3  
 2. После подстановки, имеем:
b1, b1  9
b2 , b2 
9
b3  6,  3,  3  2,  1, 2  2   1, 2, 2  2, 2,  1.
Осталось нормировать систему b1 , b2 , b3 .
1
1
2 1 2
c1 
b1  2,  1, 2   ,  , ,
3
b1, b1 
3 3 3
1
1
 1 2 2
c2 
b2   1, 2, 2    , , ,
3
b2 , b2 
 3 3 3
1
1
 2 2 1
c3 
b3  2, 2,  1   , ,  .
3
b3 , b3 
 3 3 3
Итак, c1 , c2 , c3  искомая ортонормированная система.
§1.3. Линейные функции.
Рассмотрим произвольное линейное пространство L над полем P . Отображение
 : L  P называется линейной функцией, если
  x   y     x     y  , x, y  L è  ,   P.
§1.4. Сопряжённые операторы.

Оператор   y   a y называется сопряжённым к
 , т. е.
  x  , y    x ,    y   .
45
 задан в евклидовом пространстве в базисе из
f1  1,1, 2  , f1  1,1, 0  матрицей
Пример 1. Линейный оператор
векторов f1  1, 2,1 ,
 1 1 3
A   0 5 1  .
 2 7 3 



Найти матрицу сопряжённого оператора  в том же базисе, считая, что координаты векторов базиса даны в некотором ортонормированном базисе.
Решение. Координаты векторов f1, f 2 , f3 заданы в некотором ортонормированном базисе e1, e2 , e3 . Матрица перехода от e1, e2 , e3 к f1, f 2 , f3 будет
1 1 1
T   2 1 1  .
1 2 0


Значит, A  T
1
BT , где B  матрица того же оператора в ортонормированном
базисе. Откуда B  T A T
1
.
Находим
 2 2 0 
1
T 1   1 1 1  .
2

 3 1 1 
Тогда
 1 1 1  1 1 3   2 2 0   2 3 7 
1
 

B   2 1 1 
 0 5 1  2  1 1 1    6 4 6  .
 1 2 0  2 7 3   3 1 1   6 5 5 


 
 


Матрица сопряжённого оператора  будет по предыдущей теореме сопряжено
транспонированной, а так как оператор задан в евклидовом пространстве, то просто
транспонированной.
 2 6 6
B  B   3 4 5  .
 7 6 5



Возвращаемся к исходному базису
 2 2 0  2 6 6  1 1 1 
1
 2 1 1  
A  T 1B T   1 1 1 

3

4

5



2
 7 6 5  1 2 0 
3

1

1




 36 37 15 
  30 30 14  .
 26 27
9 

46
§1.5. Нормальные операторы.
Линейный оператор  унитарного пространства U называется нормальным, если
      ,
т. е. если он перестановочен со своим сопряжённым.
ТЕОРЕМА 3. (основная о нормальных операторах). Для каждого нормального оператора  в унитарном пространстве U найдётся ортонормированный базис, составленный из собственных векторов оператора  . Матрица  имеет в этом базисе диагональный вид.
§1.6. Унитарные операторы.
Линейный оператор  унитарного пространства U называется унитарным, если
он сохраняет скалярное произведение векторов, т. е.
x, y U  x, y     x  ,   y  .
Если линейный оператор рассматривается в евклидовом пространстве и сохраняет
1
скалярное произведение, то его матрица в некотором базисе будет такой, что A  A , т.
е. транспонированная матрица совпадает с обратной. Такой оператор называют ортогональным, а его матрицу  ортогональной.
ТЕОРЕМА 3. (основная об унитарных операторах). Матрица унитарного оператора  в подходящем ортонормированном базисе является диагональной, с диагональными элементами, равными по модулю единице.
ГЛАВА II. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ.
§2.1. Приведение квадратичной формы к каноническому виду.
Квадратичной формой f от n неизвестных x1, x2 ,..., xn называется сумма, каждое слагаемое которой является или квадратом одного из этих неизвестных, или произведением двух разных неизвестных. Квадратичная форма называется действительной или
комплексной в зависимости от того, являются ли ее коэффициенты действительными или
же могут быль любыми комплексными числами.
Пример 1. Привести к каноническому виду квадратичную форму
f  x1x2  x2 x3  x3 x1
Решение. Ввиду отсутствия в этой форме квадратов неизвестных мы выполним
сначала невырожденное линейное преобразование
x1  y1  y2 , x2  y1  y2 , x3  y3
с матрицей
 1 1 0 
A   1 1 0  ,
0 0 1


после чего получим:
f  y12  y22  2 y1 y3 .
2
Теперь коэффициент при y1 отличен от нуля, и поэтому из нашей формы можно
выделить квадрат одного неизвестного. Полагая
z1  y1  y3 , z2  y2 , z3  y3 ,
47
т. е. совершая линейное преобразование, для которого обратное будет иметь матрицу
 1 0 1 
B   0 1 0  ,
0 0 1


мы приведем f к каноническому виду
f  z12  z22  z32 .
Линейное преобразование, приводящее исходную квадратичную форму к каноническому виду, будет иметь своей матрицей произведение
 1 1 1
AB   1 1 1 .
 0 0 1


Можно и непосредственной подстановкой проверить, что невырожденное (так как
определитель равен 2 ) линейное преобразование
x1  z1  z2  z3 ,
x2  z1  z2  z3 ,
x3  z3
превращает исходную квадратичную форму к каноническому виду.
§2.2. Приведение квадратичной формы к главным осям.
ТЕОРЕМА. Каждая квадратичная форма некоторым ортогональным преобразованием может быть приведена к каноническому виду.
Пример 2. Найти ортогональное преобразование, приводящее квадратичную форму
f  x12  x22  x32  4 x1x2  4 x1x3  4 x2 x3
к каноническому виду и написать этот канонический вид.
Решение. Матрица этой формы имеет вид
1 2 2
A   2 1 2  ,
2 2 1


Найдём её характеристический многочлен:
1 
2
2
2
A  E  2 1 
2      1    5  .
2
2 1 
Таким образом, матрица A имеет двукратный корень 1 и простой корень 5 . Следовательно, канонический вид данной квадратичной формы будет
f   y12  y22  5 y32 .
Найдём ортогональное преобразование, осуществляющее это приведение. Для этого найдём собственные векторы, соответствующие найденным собственным значениям
48
1,2  1; 3  5 , т. е. решим системы линейных однородных уравнений  A   E 0
для каждого  .
При 1,2  1 имеем
 x1  x2  x3  0

 x1  x2  x3  0 .
x  x  x  0
 1 2 3
Откуда x1   x2  x3 , т. е. имеются 2 независимые переменные, и фундаментальный
набор решений будет:
b1   1,1, 0  ,
b2   1, 0,1 .
Применив к ним процесс ортогонализации, получим:
c1   1,1, 0  ,
 1 1 
c2    ,  ,1 .
 2 2 
При 3  5 имеем
4 x1  2 x2  2 x3  0

 2 x1  4 x2  2 x3  0 .
 2x  2x  4x  0
2
3
 1
Данная система эквивалентна следующей:
 x1  x2  2 x3  0
,

x

x

0
2
3

решением которой будет
c3  1,1,1 .
Остаётся нормировать систему c1, c2 , c3 :
 1 1

d1   
,
, 0 ,
2 2 

 1
1
2
d2   
,
,
,
6
6
3


 1 1 1 
d3  
,
,
.
3
3
3


Таким образом искомое преобразование имеет вид:
49
y1  
1
1
x1 
x2 ,
2
2
1
1
2
x1 
x2 
x3 ,
6
6
3
1
1
1
y3 
x1 
x2 
x3.
3
3
3
y2  
 
Для того чтобы найти матрицу преобразования Q , нужно выразить переменные
x1, x2 , x3 через y1, y2 , y3 , т. е. найти матрицу, обратную матрице преобразования    .
1
А так как Q  Q , то достаточно транспонировать матрицу преобразования    . Окончательно имеем:
1
1
1
y1 
y2 
y3 ,
2
6
3
1
1
1
x2 
y1 
y2 
y3 , .
2
6
3
x1  
x3 
2
1
y2 
y3.
3
3
ГЛАВА III. ЖОРДАНОВА НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА МАТРИЦЫ.
§3.1.   матрицы, их эквивалентность.
В этой главе займёмся изучением квадратных матриц порядка n , элементами которых служат многочлены произвольных степеней от одного неизвестного  с коэффициентами из поля P . Такие матрицы называются многочленными матрицами или полиномиальными матрицами, или, короче,   матрицами.
Будем говорить, что   матрицы A    и B    эквивалентны, и записывать
A  
B    , если от матрицы A    можно перейти к матрице B    при помощи конечного числа элементарных преобразований. Канонической   матрицей называется
  матрица, обладающая следующими тремя свойствами:
а) эта матрица диагональная, т. е. имеет вид
 e1   
0
0 


e2   
0 
 0
;
(1)




0
en    
 0
б) всякий многочлен ei    , i  2, 3, , n , нацело делится на многочлен ei 1    ;
в) старший коэффициент каждого многочлена ei    , i  1, 2, , n , равен единице,
если этот многочлен отличен от нуля.
Пример 1. Привести к каноническому виду
2
 3
  матрицу
   2 
.
A    
  2  3 2 


50
Решение. Выполняя цепочку элементарных преобразований, получаем;
A  
 3
2 1 2

  
2 


  2  3  


1 3 1 2
 2  2

  2  3


0

 
 3   2

 0
0

 
0 

.

3
2 
0





С другой стороны, можно вычислить инвариантные множители матрицы A    .
Именно, вычисляя наибольший общий делитель элементов этой матрицы, получаем:
d1     e1      .
Вычисляя же определитель матрицы A    и замечая, что его старший коэффициент равен 1 , получаем:
d 2     2 4  2 3   4  3 3   4   3 .
а поэтому
d  
e2     2
 3   2 .
d1   
§3.2. Унимодулярные  -матрицы.
Второй критерий эквивалентности.
  матрица U    называется унимодулярной, если она имеет матрицу E своим
каноническим видом, т. е. если все ее инвариантные множители равны единице.
ТЕОРЕМА 3. (второй критерий эквивалентности   матриц). Две   матрицы
A    и B    порядка n тогда и только тогда эквивалентны, когда существуют такие унимодулярные
  матрицы U    и V    того же порядка n , что
B     U    A   V   
(3)
Пример 3. Являются ли следующие матрицы подобными
 2 1 
 10 4 
, B
A

?
0
3
26
11




Решение. Их характеристические матрицы эквивалентны, так как приводятся к одному и тому же каноническому виду
0
1


 ,
2
 0     6
поэтому матрицы A и B подобны.
§ 3.5. Жорданова нормальная форма.
Будет выделен один специальный тип матриц, так называемые жордановы матрицы, и будет показано, что эти матрицы служат нормальной формой для весьма широкого
класса матриц. Именно, матрицы, все характеристические корни которых лежат в основном поле P (и только такие матрицы), подобны некоторым жордановым матрицам, т. е.,
как говорят, они приводятся к жордановой нормальной форме. В частности, если в качестве поля P взято поле комплексных чисел, что всякая матрица с комплексными элементами, приводится в поле комплексных чисел к жордановой нормальной форме.
Введем необходимые определения. Жордановой клеткой порядка k , относящейся
к числу  0 , называется матрица порядка k , 1  k  n , имеющая вид
51
0






 0
1
0
1
0 




1 

 0 
иными словами, на ее главной диагонали стоит одно и то же число
(1)
 0 из поля P ; на па-
раллели, ближайшей к главной диагонали сверху, расположены числа 1; все остальные
элементы матрицы равны нулю. Так,
0
0 , 
 0

 
1 
,
 0 
0

 0

 0

1
0
0
0 

1 

 0 
будут соответственно жордановыми клетками первого, второго и третьего порядков.
Жордановой матрицей порядка n называется матрица порядка n , имеющая вид
 J1


J 


 0

J2
0 





J s 
(2)
вдоль главной диагонали которой расположены жордановы клетки J1, J 2 , , J s некоторых порядков, не обязательно различных, относящиеся к некоторым числам из поля P ,
также не обязательно различным; все места вне этих клеток заняты нулями. При этом
s  1 , т. е. одна жорданова клетка порядка n принадлежит к числу жордановых матриц
этого порядка, и, понятно, s  n .
Пример 4. Найти инвариантные множители характеристической матрицы для следующей жордановой:
2 1 0

0 2 1
0 0 2


J 





0


2
3 1
0 3


0 



.




3 1
0 3 
Решение. Составим таблицу многочленов (7):
52
   2 3 ,   2,
   32 ,    32 .
Поэтому инвариантными множителями матрицы J будут многочлены
3
2
e8        2     3 ,
2
e7        2    3 ,
в то время как e6     ...  e1     1.
§ 3.6. Приведение матрицы к жордановой нормальной форме.
ТЕОРЕМА 1. Матрица A с элементами из поля P тогда и только тогда приводится в поле P к жордановой нормальной форме, если все характеристические корни
матрицы A лежат в самом основном поле P .
Пример 5. Найти жорданову нормальную форму матрицы
 16 17 87 108 
 8

9

42
54

A
 3 3
16  18 


6
8 
 1 1
Решение. Приводя обычным способом матрицу A   E к каноническому виду,
получим, что отличными от единицы инвариантными множителями этой матрицы будут
многочлены
2
e1        1    2  ,
e3       1.
Мы видим, что матрица A приводится к жордановой нормальной форме далее в
поле рациональных чисел. Ее элементарными делителями являются многочлены
   12 ,   1 и   2 , а поэтому жордановой нормальной формой матрицы A служит
матрица
1
0
J 
0

0
1
1
0
0
0 0
0 0 
.
1 0

0 2 
§ 3.7. Минимальный многочлен.
Пусть дана квадратная матрица A порядка n с элементами из поля P . Если
f      0 k  1 k 1  ...   k 1   k 
произвольный многочлен из кольца P  , то матрица
 
f      0 Ak  1 Ak 1  ...   k 1 A   k E
будет называться значением многочлена f    при   A .
            или f     u    v    , то
f  A    A    A и, соответственно, f  A  u  A v  A .
Нетрудно проверить, что если f
53
Если многочлен f
   аннулируется матрицей
A , т. е. f  A  0 , то матрицу A будем
называть матричным корнем многочлена f   
.
54