«Алгебра логики»

Ислентьев Алексей Борисович
учитель информатики высшей квалификационной категории
МБОУ «Гимназия № 127»
г. Снежинск.
Комплексная работа по информатике.
Тема: «Логика». 8 класс.
Прочитайте следующий текст, ответьте на вопросы и выполните задания после него.
«Алгебра логики».
Алгеброй логики называется аппарат, который позволяет выполнять действия над
высказываниями.
Высказывание – это предложение, относительно которого имеет смысл говорить истинно
оно или ложно.
В естественных языках высказывания выражаются повествовательными предложениями.
Высказывания могут быть представлены с помощью математических, химических и прочих знаков.
Следующие предложения являются высказываниями.
Все кошки серы
Париж – столица Франции
5  5 = 25
H + O = H2O
(ложь)
(истина)
(истина)
(ложь)
Но не все выражения можно назвать высказываниями.
Выражение
5x + 8 = 4
Она красива
Существуют внеземные цивилизации
Почему не высказывание
Не указано, для какого х определяется истинность
Не указано, о каком человеке идёт речь
Истинность ещё не установлена
Алгебру логики также называют булевой алгеброй, по имени английского математика Джорджа
Буля, разработавшего её основные положения. В булевой алгебре высказывания принято обозначать
латинскими буквами: A, B, X, Y. В алгебре Буля введены три основные логические операции с
высказываниями: сложение, умножение, отрицание. Действия, которые производятся над
высказываниями, записываются в виде логических выражений.
Алгебра логики рассматривает высказывания не с точки зрения их содержания, а с точки зрения
их истинности или ложности. И в этом смысле можно сказать, что высказывание может принимать
только два значения – ИСТИНА (обозначается 1) и ЛОЖЬ (обозначается 0).
Логические выражения могут быть простыми и сложными.
Простое логическое выражение состоит из одного высказывания и не содержит логические
операции. Сложное логическое выражение содержит высказывания, объединённые логическими
операциями.
В качестве основных логических операции в сложных выражениях используются следующие:
 НЕ (логическое отрицание, инверсия);
 И (логическое умножение, конъюнкция);
 ИЛИ (логическое сложение, дизъюнкция).
Все операции алгебры логики определяются таблицами истинности значений. Таблица
истинности определяет результат выполнения операции для всех возможных логических значений
исходных высказываний. Количество вариантов будет зависеть от количества высказываний в
логическом выражении, например:
 для одноместной операции таблица истинности состоит из двух строк (0 и 1);
 для двуместной логической операции: 4 различных сочетания значений аргументов – 00, 01,
10, 11;
Логическое отрицание (инверсия).
Отрицание применяется к одному аргументу, и меняет значение истинности высказывания на
противоположное. Для инверсии приняты следующие обозначения: А, A , not A, не А. Результат
определяется следующей таблицей истинности:
A
0 (ложь)
1 (истина)
A
1 (истина)
0 (ложь)
Логическое умножение (конъюнкция)
Операция И объединяет два высказывания. Результатом операции конъюнкция является
выражение, которое будет истинным тогда и только тогда, когда истинны оба исходных выражения.
Для логического умножения приняты следующие обозначения: А и В, A & B, A and B, A  B . Результат
определяется следующей таблицей истинности:
А
0
0
1
1
В
0
1
0
1
AB
0
0
0
1
Логическое сложение (дизъюнкция)
Операция ИЛИ объединяет два высказывания. Результатом операции дизъюнкция является
выражение, которое будет ложным тогда и только тогда, когда ложны оба исходных выражения. Для
логического сложения приняты следующие обозначения: А или В, A or B, A  B . Результат
определяется следующей таблицей истинности:
А
0
0
1
1
В
0
1
0
1
AB
0
1
1
1
Как и в алгебре, в логических выражениях скобки ставятся тогда, когда нужно изменить
приоритет действий. Приоритет выполнения логических операций следующий: операции в скобках,
инверсия, конъюнкция, дизъюнкция.
Вопросы и задания.
1. Какие из предложений являются высказываниями? Определите их истинность:
а. Бурные воды Ганга омывают Париж.
б. Киев – столица Польши.
в. Чему равно расстояние от Москвы до Лондона?
г. Земная кора имеет наибольшую толщину в Гималаях.
д. Россия имеет сухопутную границу с Монголией.
е. Все реки впадают в моря.
ж. Нидерланды находятся в Европе.
з. Крайняя южная точка России расположена в Краснодарском крае.
2. Даны простые высказывания:
A = «Это утро ясное»
B = «Это утро тёплое»
Переведите на русский язык следующие формулы алгебры логики:
а) B  A
б) A  B
в) A  B
3. Установите соответствие между номерами логических операций и их названиями.
X
Y
1
2
3
ИСТИНА ИСТИНА ИСТИНА ЛОЖЬ ИСТИНА
ИСТИНА
ЛОЖЬ ИСТИНА ИСТИНА ЛОЖЬ
ЛОЖЬ
ИСТИНА ИСТИНА ЛОЖЬ
ЛОЖЬ
ЛОЖЬ
ЛОЖЬ
ЛОЖЬ ИСТИНА ЛОЖЬ
Конъюнкция Дизъюнкция Отрицание Y
4. Отметьте числами порядок выполнения операций в выражениях:
а) (НЕ А И В) ИЛИ НЕ С
б) А И (НЕ В ИЛИ А И С)
В ответе запишите числа через запятую слева направо.
5. Ниже в табличной форме представлены сведения о некоторых странах мира.
Название
Часть_света Форма_правления Население (млн. чел.)
Мальта
Европа
Республика
0,4
Греция
Европа
Республика
11,3
Турция
Азия
Республика
72,5
Таиланд
Азия
Монархия
67,4
Великобритания
Европа
Монархия
62,0
Марокко
Африка
Монархия
31,9
Египет
Африка
Республика
79,0
Куба
Америка
Республика
11,2
Мексика
Америка
Республика
108,3
Сколько строк в данном фрагменте удовлетворяет условиям:
а) (Часть_света = «Африка») ИЛИ (Население > 50,0)?
б) (Часть_света = «Европа») И (Население < 50,0)?
В ответе укажите одно число – искомое количество строк.
6. Ниже в табличной форме представлен фрагмент базы данных «Основные сведения о небесных
телах».
Название планеты
Орбитальная скорость, км/с
Средний радиус, км Наличие атмосферы
Меркурий
47,9
2440
Следы
Венера
35,0
6050
Очень плотн.
Земля
29,8
6371
Плотная
Марс
24,1
3397
Разреженная
Юпитер
13,1
69900
Очень плотн.
Сатурн
9,6
58000
Очень плотн.
Уран
6,8
25400
Очень плотн.
Нептун
5,4
24300
Очень плотн.
Плутон
4,7
1140
Очень плотн.
Сколько записей в данном фрагменте удовлетворяют условию
а) (Наличие атмосферы = «Очень плоти.») И (Средний радиус, км > 10000)?
б) (Орбитальная скорость, км/с > 20) ИЛИ (Средний радиус, км < 25000)?
В ответе укажите одно число — искомое количество записей.
7. Для какого из указанных значений числа X истинно выражение
(X > 4) И (X < 7) И (X < 6)?
1) 5
2) 6
3) 3
4) 4
8. Для какого из данных слов истинно высказывание:
НЕ (есть шипящие) И (оканчивается на гласную)?
1) любовь
2) отвращение
3) забота
4) отчуждённость
9. Для какого из приведённых имён истинно высказывание:
(вторая буква гласная) И НЕ (последняя согласная)?
1) Емеля
2) Иван
3) Михаил
4) Никита
10. Для какого слова истинно высказывание
(НЕ первая буква согласная ИЛИ вторая буква гласная) И (последняя буква в алфавите имеет
номер больше, чем третья буква слова)?
1) truck
2) table
3) window
4) duck
11. Для какого символьного выражения верно высказывание:
НЕ (Первая буква согласная) И НЕ (Вторая буква гласная)?
1) abcde
2) bcade
3) babas
4) cabab
12. Для какого из приведённых чисел истинно высказывание:
НЕ(Первая цифра чётная) И НЕ(Последняя цифра нечётная)?
1) 3561
2) 1234
3) 6843
4) 4562
13. Составьте таблицы истинности для следующих логических выражений
а) ( A  B)
б) A  ( A  B )
в) A  ( A  B )
Ключи к заданиям.
1. Какие из предложений являются высказываниями? Определите их истинность:
а. Бурные воды Ганга омывают Париж. (высказывание, ложное)
б. Киев – столица Польши. (высказывание, ложное)
в. Чему равно расстояние от Москвы до Лондона? (не высказывание)
г. Земная кора имеет наибольшую толщину в Гималаях. (высказывание, истинное)
д. Россия имеет сухопутную границу с Монголией. (высказывание, истинное)
е. Все реки впадают в моря. (высказывание, ложное)
ж. Нидерланды находятся в Европе. (высказывание, истинное)
з. Крайняя южная точка России расположена в Краснодарском крае. (высказывание,
ложное)
2. Даны простые высказывания:
A = «Это утро ясное»
B = «Это утро тёплое»
Переведите на русский язык следующие формулы алгебры логики:
а) B  A (Это утро тёплое или ясное)
б) A  B (Это утро ясное и не тёплое)
в) A  B (Это утро не ясное или не тёплое)
3. Установите соответствие между номерами логических операций и их названиями.
X
Y
1
2
3
ИСТИНА ИСТИНА ИСТИНА ЛОЖЬ ИСТИНА
ИСТИНА
ЛОЖЬ ИСТИНА ИСТИНА ЛОЖЬ
ЛОЖЬ
ИСТИНА ИСТИНА ЛОЖЬ
ЛОЖЬ
ЛОЖЬ
ЛОЖЬ
ЛОЖЬ ИСТИНА ЛОЖЬ
Конъюнкция Дизъюнкция Отрицание Y
3
1
2
4. Отметьте числами порядок выполнения операций в выражениях:
а) (НЕ А И В) ИЛИ НЕ С (1243)
б) А И (НЕ В ИЛИ А И С) (4132)
В ответе запишите числа через запятую слева направо.
5. Ниже в табличной форме представлены сведения о некоторых странах мира.
Название
Часть_света Форма_правления Население (млн. чел.)
Мальта
Европа
Республика
0,4
Греция
Европа
Республика
11,3
Турция
Азия
Республика
72,5
Таиланд
Азия
Монархия
67,4
Великобритания
Европа
Монархия
62,0
Марокко
Африка
Монархия
31,9
Египет
Африка
Республика
79,0
Куба
Америка
Республика
11,2
Мексика
Америка
Республика
108,3
Сколько строк в данном фрагменте удовлетворяет условиям:
а) (Часть_света = «Африка») ИЛИ (Население > 50,0)? (6)
б) (Часть_света = «Европа») И (Население < 50,0)? (2)
В ответе укажите одно число – искомое количество строк.
6. Ниже в представлен фрагмент базы данных «Основные сведения о небесных телах».
Название планеты
Орбитальная скорость, км/с
Средний радиус, км Наличие атмосферы
Меркурий
47,9
2440
Следы
Венера
35,0
6050
Очень плотн.
Земля
29,8
6371
Плотная
Марс
24,1
3397
Разреженная
Юпитер
13,1
69900
Очень плотн.
Сатурн
9,6
58000
Очень плотн.
Уран
6,8
25400
Очень плотн.
Нептун
5,4
24300
Очень плотн.
Плутон
4,7
1140
Очень плотн.
Сколько строк в данном фрагменте удовлетворяют условию
а) (Наличие атмосферы = «Очень плоти.») И (Средний радиус, км > 10000)? (4)
б) (Орбитальная скорость, км/с > 20) ИЛИ (Средний радиус, км < 25000)? (6)
В ответе укажите одно число — искомое количество строк.
7. Для какого значения числа X истинно выражение
(X > 4) И (X < 7) И (X < 6)? (5)
8. Для какого из данных слов истинно высказывание:
НЕ (есть шипящие) И (оканчивается на гласную)?
1) любовь
2) отвращение
3) забота
4) отчуждённость
9. Для какого из приведённых имён истинно высказывание:
(вторая буква гласная) И НЕ (последняя согласная)?
1) Емеля
2) Иван
3) Михаил
4) Никита
10. Для какого слова ложно высказывание
(НЕ первая буква согласная ИЛИ вторая буква гласная)?
1) truck
2) table
3) window
4) duck
11. Для какого символьного выражения верно высказывание:
НЕ (Первая буква согласная) И НЕ (Вторая буква гласная)?
1) abcde
2) bcade
3) babas
4) cabab
12. Для какого из приведённых чисел истинно высказывание:
НЕ(Первая цифра чётная) И НЕ(Последняя цифра нечётная)?
1) 3561
2) 1234
3) 6843
4) 4562
13. Составьте таблицы истинности для следующих логических выражений
а) ( A  B)
A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
B
1
0
1
0
( A  B)
0
0
1
0
б) A  ( A  B )
A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
A
1
1
0
0
( A  B)
0
1
0
0
A  ( A  B)
0
1
1
1
в) A  ( A  B )
A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
B
1
0
1
0
( A  B)
1
0
1
1
A
1
1
0
0
A  ( A  B)
1
0
0
0