ДО 1 семестр Алгебра и геометрия Календарный план АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ

ДО 1 семестр Алгебра и геометрия
Календарный план
АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ
1 СЕМЕСТР
Контрольные мероприятия: 3 контрольные работы (5 зачетных тем), типовой расчет, экзамен
ЛЕКЦИИ
1. Алгебра матриц.
1.1 Прямоугольные и квадратные матрицы. Треугольные и диагональные матрицы. Транспонирование матриц.
1.2 Сложение матриц, умножение матрицы на число, умножение матриц. Основные свойства этих операций.
1.3 Определители 2-го и 3-го порядков.
2. Определители.
2.1 Миноры и алгебраические дополнения. Рекуррентное определение определителя n-го порядка. Соответствие между общим определением и правилом Саррюса при n = 3.
2.2 Основные свойства определителей. Определитель произведения квадратных матриц.
2.3 Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера.
3. Обратная матрица.
3.1 Обратная матрица, определение, основные свойства. Критерий обратимости матрицы.
3.2 Элементарные преобразования матриц. Нахождение обратной матрицы с помощью элементарных
преобразований.
3.3 Решение матричных уравнений и систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы.
4. Ранг матрицы. Системы линейных уравнений.
4.1 Понятие ранга матрицы как максимального размера ненулевых миноров.
4.2 Сохранение ранга матрицы при элементарных преобразованиях.
4.3 Основные понятия теории систем линейных уравнений (однородная и неоднородная системы, совместность
и несовместность). Запись системы линейных уравнений в матричном виде. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений.
5. Системы линейных уравнений (продолжение).
5.1 Основная и расширенная матрица системы. Критерий совместности системы (теорема КронекераКапелли,
без доказательства). Условия единственности и не единственности решения.
5.2 Однородная система линейных уравнений. Критерий существования ненулевых решений.
5.3 Общая структура решения неоднородной системы линейных уравнений.
6. Геометрические векторы.
6.1 Вектор как направленный отрезок.
6.2 Сложение векторов и умножение на числа. Свойства линейных операций.
6.3 Разложение вектора плоскости по двум неколлинеарным векторам той же плоскости.
6.4 Разложение вектора пространства по трем некомпланарным векторам.
6.5 Понятие базиса.
7. Скалярное произведение векторов.
7.1 Проекция вектора на ось. Свойства проекций.
7.2 Декартовы координаты векторов и точек. Канонический базис i, j , k .
7.3 Деление отрезка в заданном отношении.
7.4 Скалярное произведение векторов, его основные свойства, координатное выражение.
8. Векторное и смешанное произведение векторов.
8.1 Векторное произведение векторов и его основные свойства, координатное выражение.
8.2 Смешанное произведение векторов и его основные свойства, координатное выражение.
9. Прямая на плоскости.
9.1 Уравнение прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору. Общее уравнение прямой на плоскости.
9.2 Каноническое и параметрические уравнения прямой.
9.3 Уравнение прямой с угловым коэффициентом, уравнение прямой в отрезках.
9.4 Условия параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости (для различных видов уравнений).
Расстояние от точки до прямой.
1
ДО 1 семестр Алгебра и геометрия
Календарный план
10-11. Плоскость в пространстве.
10.1 Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору. Общее
уравнение плоскости.
10.2 Уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно двум неколлинеарным векторам.
10.3 Уравнение плоскости, проходящей через три точки, не лежащие на одной прямой.
10.4 Взаимное расположение двух плоскостей. Угол между плоскостями.
12-13. Прямая в пространстве.
12.1 Прямая как линия пересечения плоскостей (общие уравнения прямой).
12.2 Канонические и параметрические уравнения прямой.
12.3 Взаимное расположение двух прямых, прямой и плоскости. Угол между прямыми, между прямой и плоскостью.
12.4 Задачи на пересечение прямой и плоскости, нахождение проекций точек на прямую и плоскость и симметричных точек. Расстояние от точки до прямой, от точки до плоскости.
14. Кривые второго порядка.
14.1 Кривые второго порядка на плоскости и вывод их уравнений исходя из их геометрических свойств.
15-16. Поверхности второго порядка.
15.1 Обзор поверхностей второго порядка в пространстве. Определение формы поверхности методом сечения
координатными плоскостями.
17-18. Обзорные лекции.
Литература
1. Краснов М.Л., Киселев А.И. и др., Вся высшая математика, ч.1. М: Эдиториал УРСС, 2001
2. Бугров Я.С., Никольский С.М., Высшая математика. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. М: Наука, 1988.
3. Ильин В. А., Ким Г. Д. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. М.: МГУ, 1998.
4. Курош А.Г., Курс высшей алгебры.
5. Гельфанд И.М., Лекции по линейной алгебре.
6. Ильин В.А., Поздняк Э.Г., Аналитическая геометрия.
2
ДО 1 семестр Алгебра и геометрия
Календарный план
АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ
1 СЕМЕСТР
ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ
1. Алгебра матриц. Задачи на алгебраические действия с матрицами (сложение, умножение на число, произведение матриц, матричный многочлен). Непосредственное вычисление определителей 2-го и 3-го порядков.
2. Определители. Вычисление определителей n - го порядка ( n  3 ) разложением по строке и столбцу (с
использованием свойств определителей). Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера.
3. Обратная матрица. Вычисление обратной матрицы. Решение матричных уравнений и систем линейных
уравнений с помощью обратной матрицы.
4-5. Решение систем линейных уравнений. Задачи на нахождение ранга матрицы. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса, нахождение общего решения системы. Построение фундаментальной системы
решений для однородной системы уравнений. Нахождение общего решения неоднородной системы линейных
уравнений.
6. Контрольная работа по темам «Алгебра матриц. Определители» и «Решение систем линейных
уравнений»
7. Геометрические векторы. Задачи на линейные действия с векторами. Разложение вектора по неколлинеарным векторам на плоскости и по некомпланарным векторам в пространстве. Вычисление скалярного произведения, нахождение с его помощью проекций вектора на ось, длин и углов. Деление отрезка в заданном отношении, нахождение середины отрезка.
8. Векторное и смешанное произведение. Вычисление векторного и смешанного произведения. Нахождение площадей параллелограммов и треугольников, объемов параллелепипедов и тетраэдров.
9. Прямая на плоскости. Уравнения прямой на плоскости (общее уравнение прямой, каноническое и параметрические уравнения, уравнение с угловым коэффициентом). Условия параллельности и перпендикулярности
прямых на плоскости. Расстояние от точки до прямой, расстояние между двумя прямыми.
10. Плоскость в пространстве. Общее уравнение плоскости. Уравнения плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору, через точку параллельно двум неколлинеарным векторам,
через три точки, не лежащие на одной прямой. Взаимное расположение двух плоскостей. Угол между плоскостями.
11-12. Прямая в пространстве. Канонические и параметрические уравнения прямой. Прямая как линия пересечения плоскостей (общие уравнения прямой). Взаимное расположение двух прямых, прямой и плоскости.
Угол между прямыми, между прямой и плоскостью. Задачи на пересечение прямой и плоскости, нахождение
проекций точек на прямую и плоскость и симметричных точек. Задачи на нахождение расстояния от точки до
плоскости и от точки до прямой.
13. Контрольная работа по темам «Скалярное, векторное, смешанное произведения» и «Уравнения
прямой и плоскости».
14. Кривые второго порядка на плоскости. Эллипс, гипербола и парабола, их геометрические свойства и
канонические уравнения.
15-16. Поверхности второго порядка. Обзор поверхностей второго порядка, их построение. Пересечение
прямой и плоскости с поверхностью второго порядка.
17. Контрольная работа по теме «Кривые и поверхности 2-го порядка».
18. Зачетное занятие.
Литература
1. Сборник задач по математике для втузов. Линейная алгебра и основы математического анализа. Под редакцией А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича. М: Наука, 1993.
3