ФТФ ОЗО 1 семестр

Алгебра и геометрия. ФТФ, ОЗО, 1 семестр.
Преподаватель: Маничева Светлана Владимировна.
Линейная алгебра
Матрицы. Основные понятия и действия над матрицами.
Определители второго и третьего порядков. Определения, свойства и правила вычисления.
Обратная матрица. Определение, условие существования и правило вычисления обратной матрицы.
Системы линейных уравнений. Основные понятия. Теорема Кронекера-Капелли.
Матричное решение систем линейных уравнений.
Решение невырожденных линейных систем уравнений. Формулы Крамера.
Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.
Векторная алгебра
8. Векторы. Основные понятия. Линейные операции над векторами.
9. Линейная зависимость векторов. Базис.
10. Проекция вектора на ось. Координаты вектора. Направляющие косинусы.
11. Скалярное произведение векторов. Определение, свойства и вычисление в координатной форме.
12. Векторное произведение векторов. Определение, свойства и вычисление в координатной форме.
13. Смешанное произведение векторов. Определение, свойства и вычисление в координатной форме.
Аналитическая геометрия на плоскости
14. Прямоугольная и полярная системы координат на плоскости. Связь между прямоугольными и
полярными координатами точки.
15. Приложения метода координат на плоскости: расстояние между двумя точками, деление отрезка в
данном отношении, площадь треугольника.
16. Линии на плоскости. Основные понятия. Способы задания линии на плоскости (на плоскости Oxy, в
полярной системе координат, параметрическими уравнениями, векторным уравнением). Примеры:
лемниската Бернулли, трехлепестковая роза, улитка Паскаля, астроида, кардиоида, циклоида, спираль
Архимеда.
17. Уравнения прямой на плоскости (с угловым коэффициентом; через точку и угловой коэффициент; через
две точки; общее уравнение; уравнение «в отрезках»).
18. Угол между прямыми на плоскости, условия параллельности и перпендикулярности прямых на
плоскости, расстояние от точки до прямой на плоскости.
19. Линии второго порядка на плоскости: окружность, эллипс, гипербола, парабола.
Аналитическая геометрия в пространстве
20. Уравнения поверхности и линии в пространстве. Основные понятия.
21. Уравнения плоскости в пространстве (через точку и нормальный вектор; общее уравнение; «в отрезках»;
через три точки).
22. Угол между плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей. Расстояние от
точки до плоскости.
23. Уравнения прямой в пространстве (общее уравнение; канонические уравнения; параметрические
уравнения; через две точки).
24. Угол между прямыми в пространстве. Условия параллельности и перпендикулярности прямых в
пространстве. Расстояние от точки до прямой в пространстве.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Алгебра и геометрия. ФТФ. ОЗО. 1 семестр. Контрольная работа №1.
Преподаватель: Маничева Светлана Владимировна.
 p1
1. Даны две матрицы A  
 p2
1) матрицу C  4 A  B
2) определитель det B
2.
3.
4.
5.
6.
1
  2 3
 и B  
 . Вычислите:
p3 
 0 5
3) транспонированную матрицу A T
4) обратную матрицу B 1
 x1  x 2  3x3  8

Тремя способами (матричным, Крамера, Гаусса) решите систему уравнений:  x1  2 x 2  3x3  6 .

2 x1  5 x 2  4 x3  4



Даны три вектора: a ( p1, p 2, p3) , b (2,1,3) , c (0,3,4) . Вычислите:

 

1) координаты и длину вектора d  3a  2(b  c )
 
2) угол между векторами (a , b )
  
3) смешанное произведение (a , b , c ) (двумя способами: определение и координатная форма)
Составьте уравнение прямой:
1) отсекающей на оси Oy отрезок b  p1 и образующей с осью Ox угол   
4

2) проходящей через точку A( p1, p 2) и образующей с осью Ox угол  
6
3) проходящей через две точки A( p1, p 2) и B( p3, p 2)
Постройте:
x2
y2
x2
y2
1) эллипс
2)
гиперболу
3) параболу y 2  p3  x


1

1
p12 p 2 2
p12 p 2 2
Найдите угол между плоскостями x  2 y  z  p1  0 и 3 x  y  2 z  p 2  0 .
Математический анализ. ФТФ, ОЗО, 1 семестр.
Преподаватель: Маничева Светлана Владимировна.
1. Множество действительных чисел. Числовые промежутки. Модуль числа. Окрестность точки.
2. Функция. Основные понятия и характеристики функции.
3. Основные элементарные функции и их графики (показательная, степенная, логарифмическая,
тригонометрические, обратные тригонометрические).
4. Числовые последовательности. Предел последовательности. Число e. Натуральные логарифмы.
5. Предел функции в точке. Односторонние пределы. Предел функции при x   .
6. Бесконечно малые функции и их свойства.
7. Понятие непрерывности функции. Точки разрыва функции и их классификация.
8. Производная функции, ее геометрический и механический смысл.
9. Правила дифференцирования функций. Производные основных элементарных функций.
10. Дифференцирование
неявных
и
параметрически
заданных
функций.
Логарифмическое
дифференцирование.
11. Дифференциал функции. Применение дифференциала к приближенным вычислениям.
12. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши и их геометрический смысл.
13. Правило Лопиталя.
14. Формула Тейлора.
15. Возрастание и убывание функции. Точки экстремума.
16. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
17. Выпуклость графика функции. Точки перегиба.
18. Асимптоты графика функции
19. Общая схема исследования функции и построения графика.
Математический анализ. ФТФ ОЗО 1 семестр. Контрольная работа №1.
Преподаватель: Маничева Светлана Владимировна.
1. Вычислите пределы функций:
p1x 3  p 2 x 2
1) lim
x  p 3 x 3  2 x 2  4 x
x 2  2x  8
2) lim
x  2
x3  4x
sin( p1x)
3) lim
x 0
p2 x
p1 

4) lim 1  
x 
x 

p2x
e x  e  x  p2 x 2
2. Двумя способами (правило Лопиталя и формула Тейлора) вычислите предел: lim
.
x 0
sin x  x
3. Найдите производные функций:
1) y  p1x 4  p 2 x 3  p3 x  7 x  9
2) y  e x cos( p1x  p 2)
3x 2  p1
4) y  ln 5 5 x  p 2
2x  1
Тело массой 3 кг движется прямолинейно по закону S (t )  1  p1t  p 2t 2 , S (t ) выражено в м, t - в сек.
Определите кинетическую энергию тела через 5 секунд после начала движения.
Найдите наибольшее и наименьшее значения функции y  x 5 e x  p1 на отрезке  1;1 .
Методами дифференциального исчисления исследуйте функцию y  p1x 4  p 2 x 2 и постройте ее график.
С помощью дифференциала вычислите приближенное значение выражения 2,001 p1 .
Исследуйте функцию на непрерывность и установите характер точек разрыва
ln x при x  0

x
при 0  x  1

f ( x)  
при 1  x  2
x 2

при 2  x  
 p1
3) y 
4.
5.
6.
7.
8.
Литература
1. Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. Учебник для Вузов. М.:
Физматлит, 2009. - 309 с.
http://www.biblioclub.ru/83040_Kurs_analiticheskoi_geometrii_i_lineinoi_algebry_Uchebnik_dlya_Vuzov.htm
l
2. Высшая математика. Под редакцией: Розанова С. А. М.: Физматлит, 2009. - 165 с.
http://www.biblioclub.ru/68379_Vysshaya_matematika.html
3. Ильин В. А. , Позняк Э. Г. Основы математического анализа. В 2-х частях. Часть I. Учебник для вузов.
7-е изд., стер. - М.: Физматлит, 2009. - 324 с.
http://www.biblioclub.ru/76686_Osnovy_matematicheskogo_analiza_V_2_kh_chastyakh_Chast_I_Uchebnik_d
lya_vuzov.html
4. Ильин В. А. , Позняк Э. Г. Основы математического анализа. В 2-х частях. Часть II. Учебник для вузов.
5-е изд. - М.: Физматлит, 2009. - 246 с.
http://www.biblioclub.ru/83225_Osnovy_matematicheskogo_analiza_V_2_kh_chastyakh_Chast_II_Uchebnik_
dlya_vuzov.html
5. Кадомцев С. Б. Аналитическая геометрия и линейная алгебра. М.: Физматлит, 2011. - 168 с.
http://www.biblioclub.ru/69319_Analiticheskaya_geometriya_i_lineinaya_algebra.html
6. Кудрявцев Л. Д. Краткий курс математического анализа. Т. 1. Дифференциальное и интегральное
исчисления функций одной переменной. Ряды. 3-е изд., перераб. (2-е изд. — 1998 г.) - М.: Физматлит,
2008. - 401 с.
http://www.biblioclub.ru/82814_Kratkii_kurs_matematicheskogo_analiza_T_1_Differentsialnoe_i_integralnoe_
ischisleniya_funktsii_odnoi_peremennoi_Ryady_Uchebnik.html
7. Кудрявцев Л. Д. , Кутасов А. Д. , Чехлов В. И. , Шабунин М. И. Сборник задач по математическому
анализу. В 3 т. Т. 2. Интегралы. Ряды 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Физматлит, 2009. - 503 с.
http://www.biblioclub.ru/82820_Sbornik_zadach_po_matematicheskomu_analizu_V_3_t_T_2_Integraly_Ryad
y.html
8. Кудрявцев Л. Д. , Кутасов А. Д. , Чехлов В. И. , Шабунин М. И. Сборник задач по математическому
анализу. В 3 т. Т. 3. Функции нескольких переменных. Учебное пособие. - 235 с.
http://www.biblioclub.ru/83191_Sbornik_zadach_po_matematicheskomu_analizu_V_3_t_T_3_Funktsii_neskol
kikh_peremennykh_Uchebnoe_posobie.html
9. Черненко В. Д. Высшая математика в примерах и задачах. В 3-х т. Том 1. Учебное пособие. 2-е изд.,
перераб. и доп. - СПб: "Политехника", 2011. - 713 с.
http://www.biblioclub.ru/129578_Vysshaya_matematika_v_primerakh_i_zadachakh_V_3_kh_t_Tom_1_Ucheb
noe_posobie.html
10. Черненко В. Д. Высшая математика в примерах и задачах. В 3-х т. Том 2. Учебное пособие. 2-е изд.,
перераб. и доп. - СПб: "Политехника", 2011. - 572 с.
http://www.biblioclub.ru/129579_Vysshaya_matematika_v_primerakh_i_zadachakh_V_3_kh_t_Tom_2_Ucheb
noe_posobie.html
11. Черненко В. Д. Высшая математика в примерах и задачах. В 3-х т. Том 3. Учебное пособие. 2-е изд.,
перераб. и доп. - СПб: "Политехника", 2011. - 510 с.
http://www.biblioclub.ru/129581_Vysshaya_matematika_v_primerakh_i_zadachakh_V_3_kh_t_Tom_3_Ucheb
noe_posobie.html
Правила подготовки.
1. В отдельных тетрадях составляется конспект с ответами на предложенные вопросы. Своими
конспектами можно будет пользоваться на зачете и экзамене.
2. Контрольные работы выполняются в тонких тетрадях. В контрольных работах фигурируют параметры
p1, p 2, p3 , вместо них вы должны вставлять свои следующие числа: p1 - это число, равное количеству
букв в вашей фамилии, p 2 - это число, равное количеству букв в вашем имени, p 3 - это число, равное
количеству букв в вашем отчестве. На титульном листе прописать четко фамилию, имя, отчество.
3. Все работы сдаются в начале зимней сессии преподавателю лично.