1. Прикладная алгебра
реклама
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Мурманский государственный гуманитарный университет»
(ФГБОУ ВПО «МГГУ»)
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС
ДИСЦИПЛИНЫ
ОПД. Р.1 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА
ОСНОВНАЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ПРОГРАММА ПОДГОТОВКИ
СПЕЦИАЛИСТА ПО СПЕЦИАЛЬНОСТИ (специальностям)
010501 ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА
(код и наименование специальности/тей)
Утверждено на заседании кафедры
математики и математических методов
в экономике факультета
физико-математического образования,
информатики и программирования
1
(протокол № 6 от 27 февраля 2013 г.)
Зав. кафедрой _________О.М. Мартынов
2
Структура учебно-методического комплекса дисциплины «Дополнительные главы алгебры»
РАЗДЕЛ 1. Программа учебной дисциплины.
Структура программы учебной дисциплины
1.1 Авторы программы: доктор физико-математических наук, профессор,
Маренич Е.Е., кандидаты физико-математических наук, доцент Маренич В.Е., доцент Маренич А.С.
1.2 Рецензенты: кандидат ф.-м. н. Верещагин Б.М., кафедра АГ и ПМ.
1.3. Пояснительная записка:
Цель: Заложить фундаментальные знания, необходимые для применения математических методов. Развивать профессиональную компетентность, определяемую как совокупность теоретических и практических навыков, способность осуществлять профессиональные функции.
В ходе изучения курса осуществляется математическая подготовка
студентов на уровне, необходимом и достаточном для:
усвоения материала специальных дисциплин;
развития точного научного мышления, повышения математической
культуры;
практической работы по специальности;
формирования умения исследовать математические модели, обрабатывать и анализировать экспериментальные данные.
Задачами преподавания курса являются:
формирование математической культуры и развитие логического
мышления;
формирование практических навыков решения задач по алгебре ,
включая решение олимпиадных задач.
решение прикладных задач математическими методами;
формирование базы математического образования, позволяющей в
дальнейшем продолжить математическое образование (самообразование);
формирование умения ставить математические задачи, формулировать задания по реализации их решения.
3
Данная программа составлена в соответствии с Примерным учебным
планом. Целесообразное соотношение между теоретической и практической составляющими содержания образования – 1:1.
Курс "Прикладная алгебра" входит в раздел ОПД «Общепрофессиональные дисциплины», как региональный компонент. В профессиональной
подготовке математика данная дисциплина даёт научное обоснование некоторых фундаментальных и прикладных разделов математики. Для усвоения
курса необходимым условием является прочное усвоение курса элементарной математики, предусмотренного школьной программой, дисциплины
«Алгебра и геометрия» данной образовательной программы.
Предлагаемый курс имеет естественные межпредметные связи с курсами
теории чисел, математической логики, дискретной математики, элементарной
математики, информационных технологий в математике, геометрии, математического анализа, информатики.
требования к уровню освоения содержания дисциплины.
В результате изучения курса студенты
должны знать:
понятия и утверждения, входящие в содержание дисциплины, доказательства
теорем.
должны уметь:
решать задачи по разделам курса, применять теоретический материал, творчески подходить к решению профессиональных задач, ориентироваться в нестандартных условиях и ситуациях, анализировать возникающие проблемы.
Ссылки на авторов и программы, которые использовались в подготовке.
При подготовке программы использовались учебники Кострикина А.И., Куроша А.Г.
Программа составлена на основе государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по специальности 010501
Прикладная математика и информатика, утверждённого 23.03.2000 г.
1.4 Извлечение из ГОС ВПО. Учебная дисциплина "Прикладная алгебра"
входит в раздел ОПД «Общепрофессиональные дисциплины», как региональный компонент.
1.5 Объем дисциплины и виды учебной работы (для всех специальностей,
на которых читается данная дисциплина):
4
№ Шифр и
п наименова/ ние специп
альности
Кур Се
с
ме
ст
р
Виды учебной работы в часах
Тру- Всего
доем- аудит.
кость
1 010501
Прикладная
математика
и информатика
2 010501
Прикладная
математика
и информатика
Итого
ЛК
ПР/С
М
ЛБ
Вид
итогового
конСам. троля
ра- (форма
бота отчетности)
54
Э
3
6
114
60
30
30
4
7
116
62
32
30
54
230
122
62
60
108
З
1.6 Содержание дисциплины.
1.6.1 Разделы дисциплины и виды занятий (в часах). Примерное распределение учебного времени.
5
самостоятельная работа
контрольные работы
практические занятия
количество часов
лекции
Наименование раздела темы
всего
№
6 семестр
Глава 1. Теория колец.
§1. Кольца. Идеалы кольца. Фактор кольцо.
§2. Поле частных области целостности.
§3. Кольца главных идеалов.
§4. Наибольший общий делитель и
наименьшее общее кратное в области целостности.
Глава 2. Кольцо многочленов от одной
переменной.
§1. Кольцо многочленов.
§2. Многочлены над полем.
§3. Формальная производная. Неприводимые кратные множители. Кратные
корни.
§4. Многочлены от многих переменных.
§5. Симметрические многочлены.
§6. Результант двух многочленов и исключение переменных.
7 семестр
Глава 3. Многочлены над полями комплексных и действительных чисел.
§1. Алгебраическая замкнутость поля
комплексных чисел.
§2. Многочлены над полем действительных чисел.
§3. Решение уравнений 3-й и 4-й степени.
Глава 4. Многочлены над полем рациональных чисел. Алгебраические числа.
§1. Целые и рациональные корни многочлена.
§2. Простое алгебраическое расширение поля.
§3. Составное алгебраическое расширение поля.
6
12
12
1
26
18
18
1
28
16
16
1
28
16
14
1
26
1.6.2 Содержание разделов дисциплины.
Глава 1. Теория колец.
§1. Кольца. Идеалы кольца. Фактор - кольцо.
Примеры колец. Кольцо целых гауссовых чисел, норма целого гауссового
числа, свойства нормы.
Идеалы кольца. Главные идеалы. Идеал порождённый элементами.
Операции над идеалами: пересечение идеалов; сумма идеалов.
Сравнения и классы вычетов по идеалу. Свойства отношения сравнимости
по идеалу. Свойства сравнений.
Фактор - кольцо. Примеры фактор - колец. Свойства фактор - колец.
Ядро гомоморфизма колец. Свойства ядра гомоморфизма. Теорема о гомоморфизмах колец.
Характеристика кольца. Характеристикой области целостности является
либо 0, либо простое число.
Наименьшее подкольцо кольца. Теорема характеризующая наименьшее
подкольцо кольца. Теорема об условии того, что наименьшее подкольцо есть
поле.
§2. Поле частных области целостности.
Теорема о существовании поля частных для любой области целостности.
§3. Кольца главных идеалов.
Отношение делимости в области целостности и его простейшие свойства.
Обратимые элементы кольца. Ассоциированные элементы кольца.
Простые и составные элементы области целостности. Простые и обратимые
элементы в кольце целых гауссовых чисел.
Кольца главных идеалов. Свойства простых элементов в кольце главных
идеалов. Конечность возрастающей последовательности идеалов в кольце
главных идеалов.
Факториальные кольца. Каноническое разложение на простые множители.
Теорема о факториальности кольца главных идеалов.
Евклидовы кольца. Примеры евклидовых колец. Теорема о факториальности кольца главных идеалов.
Пример не факториального кольца.
§4. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное в области
целостности.
Наибольший общий делитель и его простейшие свойства.
Наибольший общий делитель в кольцах главных идеалов и его свойства.
Наименьшее общее кратное и его простейшие свойства.
Наименьшее общее кратное в кольцах главных идеалов и его свойства.
Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное в факториальных кольцах.
Наибольший общий делитель в евклидовых кольцах. Алгоритм Евклида.
7
Глава 2. Кольцо многочленов от одной переменной.
§1. Кольцо многочленов.
Простое трансцендентное расширение кольца. Теорема о существовании
простого трансцендентного расширения коммутативного кольца.
Многочлены от одной переменной. Действия с многочленами. Интерполяционная формула Ньютона.
p
p
Равенство ( x 1) x 1 в кольце многочленов Z p [x ]. Теорема Лукаса о
сравнениях для биномиальных коэффициентов. Условия, при которых биномиальный коэффициент сравним с нулём по простому модулю.
Степень многочлена. Свойства степени.
Значение многочлена. Свойства значений многочлена. Теорема Безу. Деление многочлена на двучлен. Корни многочлена.
Теорема о наибольшем возможном числе корней многочлена в области целостности. Интерполяционная формула Лагранжа.
Алгебраическое и функциональное равенство многочленов.
§2. Многочлены над полем.
Теорема о делении с остатком. Кольцо многочленов над полем евклидово,
кольцо главных идеалов, факториально.
Неприводимые над данным полем многочлены. Условие неприводимость
многочленов первой, второй и третьей степени. Свойства неприводимых
многочленов.
2
Теорема об изоморфизме фактор - кольца R[x ]/ ( x 1) полю комплексных
чисел.
Вычисление наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного в кольце многочленов над полем. Свойства наибольшего общего делителя
и наименьшего общего кратного.
Взаимно простые многочлены и их свойства.
§3. Формальная производная. Неприводимые кратные множители. Кратные
корни.
Формальная производная и её свойства.
Схема Горнера.
Разложение многочлена по степеням x c . Формула Тейлора. Вычисление
значений производных с помощью схемы Горнера.
Кратность неприводимых множителей. Теорема о кратности неприводимого множителя в производной. Критерий существования кратных неприводимых множителей.
Кратность корня многочлена. Теорема о кратности корня в производной.
Критерий существования кратного корня. Определение кратности корня с
помощью схемы Горнера.
Простейшие дроби. Теорема о единственности разложения рациональной
дроби в сумму простейших дробей.
§4. Многочлены от многих переменных.
8
Кольцо многочленов от многих переменных. Свойства многочленов от
многих переменных.
Степень многочлена от многих переменных. Свойства степени.
§5. Симметрические многочлены.
Лексикографическое упорядочение членов многочлена. Высший член многочлена.
Лемма о высшем члене произведения многочленов.
Симметрические многочлены. Элементарные симметрические многочлены.
Формулы Виетта.
Лемма о высшем члене симметрического многочлена и следствие из неё.
Отношение высоты на множестве многочленов. Лемма о конечности убывающей последовательности симметрических многочленов.
Основная теорема о симметрических многочленах (включая существование
и единственность). Теорема о значении симметрического многочлена от корней многочлена.
Степенные суммы. Формулы Ньютона.
Дискриминант многочлена. Необходимое и достаточное условие существования кратных корней, и дискриминант.
§6. Результант двух многочленов и исключение переменных.
Необходимое и достаточное условие наличие общего корня у двух многочленов. Результант. Основная теорема о результанте.
Исключение переменных из системы двух алгебраических уравнений с
двумя переменными.
Глава 3. Многочлены над полями комплексных и действительных
чисел.
§1. Алгебраическая замкнутость поля комплексных чисел.
Теорема о возрастании модуля многочлена.
Теорема о непрерывности модуля многочлена.
Теорема о наименьшем значении модуля многочлена.
Лемма Даламбера.
Теорема об алгебраической замкнутости поля комплексных чисел. Неприводимые над полем комплексных чисел многочлены. Теорема о числе комплексных корней многочлена с комплексными коэффициентами степени n.
§2. Многочлены над полем действительных чисел.
Сопряжённость мнимых корней многочлена с действительными коэффициентами.
Неприводимые над полем действительных чисел многочлены. Теорема о
совпадении чётности числа действительных корней многочлена с действительными коэффициентами с чётностью степени многочлена.
Система многочленов Штурма и её свойства. Отделение действительных
корней многочлена с действительными коэффициентами.
§3. Решение уравнений 3-й и 4-й степени.
9
Решение уравнений 3-й степени. Формулы Кардано.
Исследование корней уравнения третьей степени с действительными коэффициентами.
Решение уравнений 4-й степени методом Феррари.
Глава 4. Многочлены над полем рациональных чисел. Алгебраические числа.
§1. Целые и рациональные корни многочлена.
Рациональные корни многочлена с целыми коэффициентами.
Критерий неприводимости Эйзенштейна.
§2. Простое алгебраическое расширение поля.
Алгебраические и трансцендентные числа. Простое расширение поля.
Минимальный многочлен алгебраического элемента. Теоремы о свойствах
минимального многочлена.
Алгебраическое расширение поля. Теорема о строении простого алгебраического элемента.
Освобождение от алгебраической иррациональности в знаменателе дроби.
§3. Составное алгебраическое расширение поля.
Конечное расширение поля. Теорема о том, что каждое конечное расширение поля является алгебраическим расширением.
Составное расширение поля. Теорема о том, что конечное расширение конечного расширения является конечным расширением. Теорема о том, что
составное алгебраическое расширение является алгебраическим. Теорема о
конечности расширения P(1,, n ) над полем P , где 1 ,, n - алгебраические над P элементы.
Теорема о простоте составного алгебраического элемента.
Условия разрешимости уравнений 3- й степени в квадратных радикалах.
Приложение к задачам на построение с помощью циркуля и линейки. Задача о трисекции угла. Задачи о построении правильных многоугольников.
1.6.3 Темы для самостоятельного изучения.
№
Наименование раздела дисциплины.
Тема.
Форма самостоятельной
работы
6 семестр
Количество
часов
Форма контроля выполнения
самостоятельной работы
54
1.
Глава 1. Теория колец.
Домашние 26
§1. Кольца. Идеалы кольца. задания, подготовка к
Фактор - кольцо.
§2. Поле частных области це- коллоквиуму
№1, подго10
Проверка
домашних
заданий,
проверка
контроль-
2.
3.
4.
лостности.
товка к кон§3. Кольца главных идеалов.
трольной работе №1,
§4. Наибольший общий делитель и наименьшее общее крат- контрольная
работа №1
ное в области целостности.
Домашние 28
задания, сдача коллоквиума №1, подготовка к
коллоквиуму
№2, подготовка к контрольной работе №2,
контрольная
работа №2,
Сдача коллоквиума №2
54
7 семестр
Глава 3. Многочлены над Сдача колло- 28
полями комплексных и действи- квиума №3,
контрольная
тельных чисел.
§1.Алгебраическая замкнутость работа №3
поля комплексных чисел.
§2.Многочлены над полем дей- Домашние
задания
ствительных чисел.
§3. Решение уравнений 3-й и 4й степени.
Домашние
Глава 4. Многочлены над задания, под- 26
готовка к
полем рациональных чисел. Алконтрольной
гебраические числа.
§1. Целые и рациональные работе №4,
контрольная
корни многочлена.
§2. Простое алгебраическое работа №4,
подготовка к
расширение поля.
§3. Составное алгебраическое коллоквиуму
№4,
расширение поля.
Сдача коллоквиума №4
Глава 2. Кольцо многочленов от одной переменной.
§1. Кольцо многочленов.
§2. Многочлены над полем.
§3.Формальная производная.
Неприводимые кратные множители. Кратные корни.
§4. Многочлены от многих переменных.
§5. Симметрические многочлены.
§6. Результант двух многочленов и исключение переменных.
11
ной работы
№1
Прием коллоквиума
№1, проверка домашних заданий
Прием коллоквиума
№2, проверка контрольной
работы №2
Проверка
домашних
заданий
Прием коллоквиума
№3, проверка контрольной
работы №2
Проверка
домашних
заданий
Прием коллоквиума
№4, проверка контрольной
работы №3
Проверка
домашних
заданий
1.7 Методические рекомендации по организации изучения дисциплины.
1.7.1 Планы последовательного проведения практических занятий (ПР).
ПР по главе 1. Теория колец. – 12 часов
ПР по §1. Кольца. Идеалы кольца. Фактор - кольцо. – 4 часа
1. Примеры колец. Кольцо целых гауссовых чисел, норма целого гауссового числа, свойства нормы.
Идеалы кольца. Главные идеалы. Идеал порождённый элементами.
Операции над идеалами: пересечение идеалов; сумма идеалов.
Сравнения и классы вычетов по идеалу. Свойства отношения сравнимости
по идеалу. Свойства сравнений.
2. Фактор - кольцо. Примеры фактор - колец. Свойства фактор - колец.
Ядро гомоморфизма колец. Свойства ядра гомоморфизма. Теорема о гомоморфизмах колец.
Характеристика кольца. Характеристикой области целостности является
либо 0, либо простое число.
3. Наименьшее подкольцо кольца. Теорема характеризующая наименьшее
подкольцо кольца. Теорема об условии того, что наименьшее подкольцо есть
поле.
Литература.
1. Кострикин А.И. Введение в алгебру. - М.: Наука, 1977.
2. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. - М.: Высшая школа, 1979.
3. Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории
чисел. - М.: Просвещение, 1993.
4. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. - М.: Высшая школа, 1974.
5. Сборник задач по алгебре. Под редакцией Кострикина А.И. - Факториал, 1995.
6. Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. М.: Наука, 1977.
ПР по §2. Поле частных области целостности. – 1 час
Теорема о существовании поля частных для любой области целостности.
Литература.
1. Кострикин А.И. Введение в алгебру. - М.: Наука, 1977.
2. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. - М.: Высшая школа, 1979.
12
3. Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории
чисел. - М.: Просвещение, 1993.
4. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. - М.: Высшая школа, 1974.
5. Сборник задач по алгебре. Под редакцией Кострикина А.И. - Факториал, 1995.
6. Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. М.: Наука, 1977.
ПР по §3. Кольца главных идеалов. – 4 часа
1. Отношение делимости в области целостности и его простейшие свойства.
Обратимые элементы кольца. Ассоциированные элементы кольца.
Простые и составные элементы области целостности. Простые и обратимые
элементы в кольце целых гауссовых чисел.
2. Кольца главных идеалов. Свойства простых элементов в кольце главных
идеалов. Конечность возрастающей последовательности идеалов в кольце
главных идеалов.
Факториальные кольца. Каноническое разложение на простые множители.
Теорема о факториальности кольца главных идеалов.
3. Евклидовы кольца. Примеры евклидовых колец. Теорема о факториальности кольца главных идеалов.
Пример не факториального кольца.
Литература.
1. Кострикин А.И. Введение в алгебру. - М.: Наука, 1977.
2. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. - М.: Высшая школа, 1979.
3. Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории
чисел. - М.: Просвещение, 1993.
4. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. - М.: Высшая школа, 1974.
5. Сборник задач по алгебре. Под редакцией Кострикина А.И. - Факториал, 1995.
6. Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. М.: Наука, 1977.
ПР по §4. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное в области целостности. – 3 часа
1. Наибольший общий делитель и его простейшие свойства.
Наибольший общий делитель в кольцах главных идеалов и его свойства.
Наименьшее общее кратное и его простейшие свойства.
2. Наименьшее общее кратное в кольцах главных идеалов и его свойства.
Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное в факториальных кольцах.
Наибольший общий делитель в евклидовых кольцах. Алгоритм Евклида.
13
Литература.
1. Кострикин А.И. Введение в алгебру. - М.: Наука, 1977.
2. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. - М.: Высшая школа, 1979.
3. Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории чисел. - М.: Просвещение, 1993.
4. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. - М.: Высшая
школа, 1974.
5. Сборник задач по алгебре. Под редакцией Кострикина А.И. - Факториал, 1995.
6. Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. М.: Наука, 1977.
Контрольная работа по главе VII – 1 час
ПР по главе 2. Кольцо многочленов от одной переменной. – 18 часов
ПР по §1. Кольцо многочленов – 4 часа.
Простое трансцендентное расширение кольца. Теорема о существовании
простого трансцендентного расширения коммутативного кольца.
Многочлены от одной переменной. Действия с многочленами. Интерполяционная формула Ньютона.
p
p
Равенство ( x 1) x 1 в кольце многочленов Z p [x ]. Теорема Лукаса о
сравнениях для биномиальных коэффициентов. Условия, при которых биномиальный коэффициент сравним с нулём по простому модулю.
Степень многочлена. Свойства степени.
Значение многочлена. Свойства значений многочлена. Теорема Безу. Деление многочлена на двучлен. Корни многочлена.
Теорема о наибольшем возможном числе корней многочлена в области целостности. Интерполяционная формула Лагранжа.
Алгебраическое и функциональное равенство многочленов.
Литература.
1. Кострикин А.И. Введение в алгебру. - М.: Наука, 1977.
2. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. - М.: Высшая школа, 1979.
3. Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории
чисел. - М.: Просвещение, 1993.
4. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. - М.: Высшая школа, 1974.
5. Сборник задач по алгебре. Под редакцией Кострикина А.И. - Факториал, 1995.
6. Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. М.: Наука, 1977.
ПР по §2. Многочлены над полем. – 2 часа
14
Теорема о делении с остатком. Кольцо многочленов над полем евклидово,
кольцо главных идеалов, факториально.
Неприводимые над данным полем многочлены. Условие неприводимость
многочленов первой, второй и третьей степени. Свойства неприводимых
многочленов.
2
Теорема об изоморфизме фактор - кольца R[x ]/ ( x 1) полю комплексных
чисел.
Вычисление наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного в кольце многочленов над полем. Свойства наибольшего общего делителя
и наименьшего общего кратного.
Взаимно простые многочлены и их свойства.
Литература.
1. Кострикин А.И. Введение в алгебру. - М.: Наука, 1977.
2. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. - М.: Высшая школа, 1979.
3. Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории чисел. - М.: Просвещение, 1993.
4. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. - М.: Высшая
школа, 1974.
5. Сборник задач по алгебре. Под редакцией Кострикина А.И. - Факториал, 1995.
6. Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. М.: Наука, 1977.
ПР по §3. Формальная производная. Неприводимые кратные множители.
Кратные корни. - 2 часа
Формальная производная и её свойства.
Схема Горнера.
Разложение многочлена по степеням x c . Формула Тейлора. Вычисление
значений производных с помощью схемы Горнера.
Кратность неприводимых множителей. Теорема о кратности неприводимого множителя в производной. Критерий существования кратных неприводимых множителей.
Кратность корня многочлена. Теорема о кратности корня в производной.
Критерий существования кратного корня. Определение кратности корня с
помощью схемы Горнера.
Простейшие дроби. Теорема о единственности разложения рациональной
дроби в сумму простейших дробей.
Литература.
1. Кострикин А.И. Введение в алгебру. - М.: Наука, 1977.
2. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. - М.: Высшая школа, 1979.
3. Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории
чисел. - М.: Просвещение, 1993.
15
4. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. - М.: Высшая школа, 1974.
5. Сборник задач по алгебре. Под редакцией Кострикина А.И. - Факториал, 1995.
6. Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. М.: Наука, 1977.
ПР по §4. Многочлены от многих переменных. – 2 часа
Кольцо многочленов от многих переменных. Свойства многочленов от
многих переменных.
Степень многочлена от многих переменных. Свойства степени.
Литература.
1. Кострикин А.И. Введение в алгебру. - М.: Наука, 1977.
2. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. - М.: Высшая школа, 1979.
3. Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории чисел. - М.: Просвещение, 1993.
4. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. - М.: Высшая
школа, 1974.
5. Сборник задач по алгебре. Под редакцией Кострикина А.И. - Факториал, 1995.
6. Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. М.: Наука, 1977.
ПР по §5. Симметрические многочлены. – 6 часов
1. Лексикографическое упорядочение членов многочлена. Высший член
многочлена.
Лемма о высшем члене произведения многочленов.
2. Симметрические многочлены. Элементарные симметрические многочлены. Формулы Виетта.
Лемма о высшем члене симметрического многочлена и следствие из неё.
Отношение высоты на множестве многочленов. Лемма о конечности убывающей последовательности симметрических многочленов.
Основная теорема о симметрических многочленах (включая существование
и единственность). Теорема о значении симметрического многочлена от корней многочлена. 3. Степенные суммы. Формулы Ньютона.
Дискриминант многочлена. Необходимое и достаточное условие существования кратных корней, и дискриминант.
Литература.
1. Кострикин А.И. Введение в алгебру. - М.: Наука, 1977.
2. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. - М.: Высшая школа, 1979.
3. Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории чисел. - М.: Просвещение, 1993.
16
4. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. - М.: Высшая
школа, 1974.
5. Сборник задач по алгебре. Под редакцией Кострикина А.И. - Факториал, 1995.
6. Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. М.: Наука, 1977.
ПР по §6. Результант двух многочленов и исключение переменных. – 2 часа
1. Необходимое и достаточное условие наличие общего корня у двух многочленов. Результант. Основная теорема о результанте.
2. Исключение переменных из системы двух алгебраических уравнений с
двумя переменными.
Литература.
1. Кострикин А.И. Введение в алгебру. - М.: Наука, 1977.
2. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. - М.: Высшая школа, 1979.
3. Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории
чисел. - М.: Просвещение, 1993.
4. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. - М.: Высшая школа, 1974.
5. Сборник задач по алгебре. Под редакцией Кострикина А.И. - Факториал, 1995.
6. Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. М.: Наука, 1977.
7 семестр
ПР по Глава 3. Многочлены над полями комплексных и действительных
чисел. – 16 часов
ПР по §1. Алгебраическая замкнутость поля комплексных чисел. – 4 часа
1. Теорема о возрастании модуля многочлена.
Теорема о непрерывности модуля многочлена.
Теорема о наименьшем значении модуля многочлена.
Лемма Даламбера.
2. Теорема об алгебраической замкнутости поля комплексных чисел. Неприводимые над полем комплексных чисел многочлены. Теорема о числе
комплексных корней многочлена с комплексными коэффициентами степени
n.
Литература.
1. Кострикин А.И. Введение в алгебру. - М.: Наука, 1977.
2. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. - М.: Высшая школа, 1979.
3. Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории
чисел. - М.: Просвещение, 1993.
4. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. - М.: Высшая школа, 1974.
17
5. Сборник задач по алгебре. Под редакцией Кострикина А.И. - Факториал, 1995.
6. Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. М.: Наука, 1977.
ПР по §2. Многочлены над полем действительных чисел. –2часа
1. Сопряжённость мнимых корней многочлена с действительными коэффициентами.
Неприводимые над полем действительных чисел многочлены. Теорема о
совпадении чётности числа действительных корней многочлена с действительными коэффициентами с чётностью степени многочлена.
2. Система многочленов Штурма и её свойства. Отделение действительных
корней многочлена с действительными коэффициентами.
Литература.
1. Кострикин А.И. Введение в алгебру. - М.: Наука, 1977.
2. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. - М.: Высшая школа, 1979.
3. Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории
чисел. - М.: Просвещение, 1993.
4. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. - М.: Высшая школа, 1974.
5. Сборник задач по алгебре. Под редакцией Кострикина А.И. - Факториал, 1995.
6. Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. М.: Наука, 1977.
ПР по §3. Решение уравнений 3-й и 4-й степени. – 4 часа
1. Решение уравнений 3-й степени. Формулы Кардано.
Исследование корней уравнения третьей степени с действительными коэффициентами. 2. Решение уравнений 4-й степени методом Феррари.
Литература.
1. Кострикин А.И. Введение в алгебру. - М.: Наука, 1977.
2. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. - М.: Высшая школа, 1979.
3. Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории
чисел. - М.: Просвещение, 1993.
4. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. - М.: Высшая школа, 1974.
5. Сборник задач по алгебре. Под редакцией Кострикина А.И. - Факториал, 1995.
6. Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. М.: Наука, 1977.
Контрольная работа по главам 2 – 3 – 1 час
ПР по главе 4. Многочлены над полем рациональных чисел. Алгебраические числа. – 14 часов
18
ПР по §1. Целые и рациональные корни многочлена. – 4 часа
Рациональные корни многочлена с целыми коэффициентами.
Критерий неприводимости Эйзенштейна.
Литература.
1. Кострикин А.И. Введение в алгебру. - М.: Наука, 1977.
2. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. - М.: Высшая школа, 1979.
3. Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории
чисел. - М.: Просвещение, 1993.
4. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. - М.: Высшая школа, 1974.
5. Сборник задач по алгебре. Под редакцией Кострикина А.И. - Факториал, 1995.
6. Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. М.: Наука, 1977.
ПР по §2. Простое алгебраическое расширение поля. – 6 часа
1. Алгебраические и трансцендентные числа. Простое расширение поля.
Минимальный многочлен алгебраического элемента. Теоремы о свойствах
минимального многочлена.
2. Алгебраическое расширение поля. Теорема о строении простого алгебраического элемента.
Освобождение от алгебраической иррациональности в знаменателе дроби.
Литература.
1. Кострикин А.И. Введение в алгебру. - М.: Наука, 1977.
2. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. - М.: Высшая школа, 1979.
3. Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории
чисел. - М.: Просвещение, 1993.
4. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. - М.: Высшая школа, 1974.
5. Сборник задач по алгебре. Под редакцией Кострикина А.И. - Факториал, 1995.
6. Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. М.: Наука, 1977.
ПР по §3. Составное алгебраическое расширение поля. – 4 часа
1. Конечное расширение поля. Теорема о том, что каждое конечное расширение поля является алгебраическим расширением.
Составное расширение поля. Теорема о том, что конечное расширение конечного расширения является конечным расширением. Теорема о том, что
составное алгебраическое расширение является алгебраическим. Теорема о
конечности расширения P(1,, n ) над полем P , где 1 ,, n - алгебраические над P элементы.
2. Теорема о простоте составного алгебраического элемента.
19
Условия разрешимости уравнений 3- й степени в квадратных радикалах.
Приложение к задачам на построение с помощью циркуля и линейки. Задача о трисекции угла. Задачи о построении правильных многоугольников.
Литература.
1. Кострикин А.И. Введение в алгебру. - М.: Наука, 1977.
2. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. - М.: Высшая школа, 1979.
3. Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории
чисел. - М.: Просвещение, 1993.
4. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. - М.: Высшая школа, 1974.
5. Сборник задач по алгебре. Под редакцией Кострикина А.И. - Факториал, 1995.
6. Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. М.: Наука, 1977.
1.8 Учебно-методическое обеспечение дисциплины.
1.8.1 Рекомендуемая литература.
Литература основная.
1. Кострикин А.И. Введение в алгебру. - М.: Наука, 1977.
2. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. - М.: Высшая школа, 1979.
3. Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории чисел.
- М.: Просвещение, 1993.
4. Курош А.Г, Курс высшей алгебры. - М.: Наука, 1971.
5. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. - М.: Высшая школа, 1974.
6. Сборник задач по алгебре. Под редакцией Кострикина А.И. - Факториал,
1995.
7. Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. - М.: Наука, 1984.
8. Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. - М.:
Наука, 1977.
Литература дополнительная.
Кострикин А.И. Введение в алгебру, ч.1. Основы алгебры. – М.: Физ.-мат.
литература, 2000.
Кострикин А.И. Введение в алгебру, ч. 2. Линейная алгебра. – М.: Физ.-мат.
литература, 2000.
Кострикин А.И. Введение в алгебру, ч. 3. Основные структуры алгебры. – М.:
Физ.-мат. литература, 2000.
Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. - М.: 1986.
Ильин В., Позняк Э. Линейная алгебра: Учеб. для вузов по спец. “Физика”,
“Прикл. математика”. - М., 1978.
Мальцев А.И. Основы линейной алгебры. - М., 1970.
20
Постников М. Линейная алгебра: Учеб. пособие для студентов вузов, обуч.
по спец. “Математика”. - М., 1986.
Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории чисел. –
М.: Просвещение, 1993.
Ляпин Е.С., Евсеев А.Е. Алгебра и теория чисел. - М., Просвещение, 1974 г.
1.9 Материально-техническое обеспечение дисциплины.
Компьютерные лаборатории «Вычислительной математики»_№313, №314.
Компьютерные программы: Mathematicа 5.0; Maple и другие.
Электронная библиотека компьютерных лабораторий «Вычислительной
математики»_№313, №314.
1.10. Примерные зачетные тестовые задания.
Проверочный тест (аттестационные работы).
6 семестр
№1
Составить таблицу сложения и умножения в кольце классов вычетов кольца
Z по идеалу I=(n). Является ли это кольцо областью целостности, полем?
I вариант n=6;
II вариант n=5.
№2.
Найти необходимое и достаточное условия делимости многочлена
I вариант x3 + px + q на x2 + 1;
II вариант x3 + px + q на x2 + ax + 1;
III в. x4 + px2 + q на x2 + ax + 1.
№3.
Найти НОД многочленов:
I вариант f (x) = x5 + x4 - х3 - 2х - 1, g(x) = 3x4 + 2x3 + х2 + 2х – 2;
II вариант f (x) = x4 + х3 - 3х2 - 4x - 1, g(x) = x3 + х2 - х – 1;
III вариант f (x) = x6 - 7x4 + 8х3 - 7х + 7, g(x) = 3x5 - 7x3 + 3х2 - 7.
№4. Пользуясь схемой Горнера, разложить многочлены по степеням х-х0:
I вариант f (x) = x4 + 2x3 - 3х2 - 4х + 1, х0 = -1;
II вариант f (x) = x4 - 8x3 + 24х2 - 50х + 90, х0 = 2;
III вариант f (x) = х5 + 9x4 + 7x3 - 2х2 - 11х + 7, х0 = - 4.
№5. Выразить через элементарные симметрические многочлены:
I вариант x13 + x23 + x33 - 3х1х2х3;
II вариант x12 x22 + x12 x32 + x22 x32;
III вариант (х1 + х2) (х1 + х3) (х2 + х3).
7 семестр
21
№1. Решить кубическое уравнение:
I вариант z3 - 6z + 9 = 0;
II вариант z3 + 12z + 63 = 0;
III вариант z3 + 9z2 + 18z + 28 = 0.
№2. Решить уравнение четвертой степени:
I вариант z4 – 2 z3 + 2 z2 + 4 z - 8 = 0;
II вариант z4 + 2 z3 – 2 z2 + 6 z - 15 = 0
III вариант z4 - z3 - z2 + 2 z - 2 = 0
№3.Избавиться от иррациональности в знаменателе дроби:
I вариант
1
;
1 2 3
II вариант
1
1 3 2 2 3 4
;
III вариант
1
1 4 2 2
.
Коллоквиум №1, 6 семестр
Примеры колец. Кольцо целых гауссовых чисел, норма целого гауссова числа, свойства нормы.
Идеалы кольца. Главные идеалы. Идеал порождённый элементами.
Операции над идеалами: пересечение идеалов; сумма идеалов.
Сравнения и классы вычетов по идеалу. Свойства отношения сравнимости по
идеалу. Свойства сравнений.
Фактор - кольцо. Примеры фактор - колец. Свойства фактор - колец.
Ядро гомоморфизма колец. Свойства ядра гомоморфизма. Теорема о гомоморфизмах колец.
Характеристика кольца. Характеристикой области целостности является либо
0, либо простое число.
Наименьшее подкольцо кольца. Теорема характеризующая наименьшее подкольцо кольца. Теорема об условии того, что наименьшее подкольцо есть поле.
Теорема о существовании поля частных для любой области целостности.
Отношение делимости в области целостности и его простейшие свойства.
Обратимые элементы кольца. Ассоциированные элементы кольца.
Простые и составные элементы области целостности. Простые и обратимые
элементы в кольце целых гауссовых чисел.
22
Кольца главных идеалов. Свойства простых элементов в кольце главных идеалов. Конечность возрастающей последовательности идеалов в кольце главных идеалов.
Факториальные кольца. Каноническое разложение на простые множители.
Теорема о факториальности кольца главных идеалов.
Евклидовы кольца. Примеры евклидовых колец. Теорема о факториальности
кольца главных идеалов.
Пример не факториального кольца.
Наибольший общий делитель и его простейшие свойства.
Наибольший общий делитель в кольцах главных идеалов и его свойства.
Наименьшее общее кратное и его простейшие свойства.
Наименьшее общее кратное в кольцах главных идеалов и его свойства.
Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное в факториальных
кольцах.
Наибольший общий делитель в евклидовых кольцах. Алгоритм Евклида.
Коллоквиум №2, 6 семестр.
Простое трансцендентное расширение кольца. Теорема о существовании
простого трансцендентного расширения коммутативного кольца.
Многочлены от одной переменной. Действия с многочленами. Интерполяционная формула Ньютона.
p
p
Равенство ( x 1) x 1 в кольце многочленов Z p [x ]. Теорема Лукаса о
сравнениях для биномиальных коэффициентов. Условия, при которых биномиальный коэффициент сравним с нулём по простому модулю.
Степень многочлена. Свойства степени.
Значение многочлена. Свойства значений многочлена. Теорема Безу. Деление многочлена на двучлен. Корни многочлена.
Теорема о наибольшем возможном числе корней многочлена в области целостности. Интерполяционная формула Лагранжа.
Алгебраическое и функциональное равенство многочленов.
Теорема о делении с остатком. Кольцо многочленов над полем евклидово,
кольцо главных идеалов, факториально.
Неприводимые над данным полем многочлены. Условие неприводимость
многочленов первой, второй и третьей степени. Свойства неприводимых
многочленов.
2
Теорема об изоморфизме фактор - кольца R[x ]/ ( x 1) полю комплексных
чисел.
Вычисление наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного
в кольце многочленов над полем. Свойства наибольшего общего делителя и
наименьшего общего кратного.
Взаимно простые многочлены и их свойства.
Формальная производная и её свойства.
23
Схема Горнера.
Разложение многочлена по степеням x c . Формула Тейлора. Вычисление
значений производных с помощью схемы Горнера.
Кратность неприводимых множителей. Теорема о кратности неприводимого
множителя в производной. Критерий существования кратных неприводимых
множителей.
Кратность корня многочлена. Теорема о кратности корня в производной.
Критерий существования кратного корня. Определение кратности корня с
помощью схемы Горнера.
Простейшие дроби. Теорема о единственности разложения рациональной
дроби в сумму простейших дробей.
Кольцо многочленов от многих переменных. Свойства многочленов от многих переменных.
Степень многочлена от многих переменных. Свойства степени.
Коллоквиум №1, 7 семестр.
Лексикографическое упорядочение членов многочлена. Высший член многочлена.
Лемма о высшем члене произведения многочленов.
Симметрические многочлены. Элементарные симметрические многочлены.
Формулы Виетта.
Лемма о высшем члене симметрического многочлена и следствие из неё. Отношение высоты на множестве многочленов. Лемма о конечности убывающей последовательности симметрических многочленов.
Основная теорема о симметрических многочленах (включая существование и
единственность). Теорема о значении симметрического многочлена от корней многочлена.
Степенные суммы. Формулы Ньютона.
Дискриминант многочлена. Необходимое и достаточное условие существования кратных корней, и дискриминант.
Необходимое и достаточное условие наличие общего корня у двух многочленов. Результант. Основная теорема о результанте.
Исключение переменных из системы двух алгебраических уравнений с двумя
переменными.
Теорема о возрастании модуля многочлена.
Теорема о непрерывности модуля многочлена.
Теорема о наименьшем значении модуля многочлена.
Лемма Даламбера.
Теорема об алгебраической замкнутости поля комплексных чисел. Неприводимые над полем комплексных чисел многочлены. Теорема о числе комплексных корней многочлена с комплексными коэффициентами степени n.
Сопряжённость мнимых корней многочлена с действительными коэффициентами.
24
Неприводимые над полем действительных чисел многочлены. Теорема о
совпадении чётности числа действительных корней многочлена с действительными коэффициентами с чётностью степени многочлена.
Система многочленов Штурма и её свойства. Отделение действительных
корней многочлена с действительными коэффициентами.
Решение уравнений 3-й степени. Формулы Кардано.
Исследование корней уравнения третьей степени с действительными коэффициентами.
Решение уравнений 4-й степени методом Феррари.
Коллоквиум №2, 7 семестр.
Рациональные корни многочлена с целыми коэффициентами.
Критерий неприводимости Эйзенштейна.
Алгебраические и трансцендентные числа. Простое расширение поля.
Минимальный многочлен алгебраического элемента. Теоремы о свойствах
минимального многочлена.
Алгебраическое расширение поля. Теорема о строении простого алгебраического элемента.
Освобождение от алгебраической иррациональности в знаменателе дроби.
Конечное расширение поля. Теорема о том, что каждое конечное расширение
поля является алгебраическим расширением.
Составное расширение поля. Теорема о том, что конечное расширение конечного расширения является конечным расширением. Теорема о том, что
составное алгебраическое расширение является алгебраическим. Теорема о
конечности расширения P(1,, n ) над полем P , где 1 ,, n - алгебраические над P элементы.
Теорема о простоте составного алгебраического элемента.
Условия разрешимости уравнений 3- й степени в квадратных радикалах.
Приложение к задачам на построение с помощью циркуля и линейки. Задача
о трисекции угла. Задачи о построении правильных многоугольников.
1.11 Примерный перечень вопросов к зачету (экзамену).
6 семестр.
Примеры колец. Кольцо целых гауссовых чисел, норма целого гауссового
числа, свойства нормы.
Идеалы кольца. Главные идеалы. Идеал порождённый элементами.
Операции над идеалами: пересечение идеалов; сумма идеалов.
Сравнения и классы вычетов по идеалу. Свойства отношения сравнимости по
идеалу. Свойства сравнений.
Фактор - кольцо. Примеры фактор - колец. Свойства фактор - колец.
Ядро гомоморфизма колец. Свойства ядра гомоморфизма. Теорема о гомоморфизмах колец.
25
Характеристика кольца. Характеристикой области целостности является либо
0, либо простое число.
Наименьшее подкольцо кольца. Теорема характеризующая наименьшее подкольцо кольца. Теорема об условии того, что наименьшее подкольцо есть поле.
Теорема о существовании поля частных для любой области целостности.
Отношение делимости в области целостности и его простейшие свойства.
Обратимые элементы кольца. Ассоциированные элементы кольца.
Простые и составные элементы области целостности. Простые и обратимые
элементы в кольце целых гауссовых чисел.
Кольца главных идеалов. Свойства простых элементов в кольце главных идеалов. Конечность возрастающей последовательности идеалов в кольце главных идеалов.
Факториальные кольца. Каноническое разложение на простые множители.
Теорема о факториальности кольца главных идеалов.
Евклидовы кольца. Примеры евклидовых колец. Теорема о факториальности
кольца главных идеалов.
Пример не факториального кольца.
Наибольший общий делитель и его простейшие свойства.
Наибольший общий делитель в кольцах главных идеалов и его свойства.
Наименьшее общее кратное и его простейшие свойства.
Наименьшее общее кратное в кольцах главных идеалов и его свойства.
Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное в факториальных
кольцах.
Наибольший общий делитель в евклидовых кольцах. Алгоритм Евклида.
Простое трансцендентное расширение кольца. Теорема о существовании
простого трансцендентного расширения коммутативного кольца.
Многочлены от одной переменной. Действия с многочленами. Интерполяционная формула Ньютона.
p
p
Равенство ( x 1) x 1 в кольце многочленов Z p [x ]. Теорема Лукаса о
сравнениях для биномиальных коэффициентов. Условия, при которых биномиальный коэффициент сравним с нулём по простому модулю.
Степень многочлена. Свойства степени.
Значение многочлена. Свойства значений многочлена. Теорема Безу. Деление многочлена на двучлен. Корни многочлена.
Теорема о наибольшем возможном числе корней многочлена в области целостности. Интерполяционная формула Лагранжа.
Алгебраическое и функциональное равенство многочленов.
Теорема о делении с остатком. Кольцо многочленов над полем - евклидово,
кольцо главных идеалов, факториально.
26
Неприводимые над данным полем многочлены. Условие неприводимость
многочленов первой, второй и третьей степени. Свойства неприводимых
многочленов.
2
Теорема об изоморфизме фактор - кольца R[x ]/ ( x 1) полю комплексных
чисел.
Вычисление наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного
в кольце многочленов над полем. Свойства наибольшего общего делителя и
наименьшего общего кратного.
Взаимно простые многочлены и их свойства.
Формальная производная и её свойства.
Схема Горнера.
Разложение многочлена по степеням x c . Формула Тейлора. Вычисление
значений производных с помощью схемы Горнера.
Кратность неприводимых множителей. Теорема о кратности неприводимого
множителя в производной. Критерий существования кратных неприводимых
множителей.
Кратность корня многочлена. Теорема о кратности корня в производной.
Критерий существования кратного корня. Определение кратности корня с
помощью схемы Горнера.
Простейшие дроби. Теорема о единственности разложения рациональной
дроби в сумму простейших дробей.
Кольцо многочленов от многих переменных. Свойства многочленов от многих переменных.
Степень многочлена от многих переменных. Свойства степени.
7 семестр.
Лексикографическое упорядочение членов многочлена. Высший член многочлена.
Лемма о высшем члене произведения многочленов.
Симметрические многочлены. Элементарные симметрические многочлены.
Формулы Виетта.
Лемма о высшем члене симметрического многочлена и следствие из неё. Отношение высоты на множестве многочленов. Лемма о конечности убывающей последовательности симметрических многочленов.
Основная теорема о симметрических многочленах (включая существование и
единственность). Теорема о значении симметрического многочлена от корней многочлена.
Степенные суммы. Формулы Ньютона.
Дискриминант многочлена. Необходимое и достаточное условие существования кратных корней, и дискриминант.
27
Необходимое и достаточное условие наличие общего корня у двух многочленов. Результант. Основная теорема о результанте.
Исключение переменных из системы двух алгебраических уравнений с двумя
переменными.
Теорема о возрастании модуля многочлена.
Теорема о непрерывности модуля многочлена.
Теорема о наименьшем значении модуля многочлена.
Лемма Даламбера.
Теорема об алгебраической замкнутости поля комплексных чисел. Неприводимые над полем комплексных чисел многочлены. Теорема о числе комплексных корней многочлена с комплексными коэффициентами степени n.
Сопряжённость мнимых корней многочлена с действительными коэффициентами.
Неприводимые над полем действительных чисел многочлены. Теорема о
совпадении чётности числа действительных корней многочлена с действительными коэффициентами с чётностью степени многочлена.
Система многочленов Штурма и её свойства. Отделение действительных
корней многочлена с действительными коэффициентами.
Решение уравнений 3-й степени. Формулы Кардано.
Исследование корней уравнения третьей степени с действительными коэффициентами.
Решение уравнений 4-й степени методом Феррари.
Рациональные корни многочлена с целыми коэффициентами.
Критерий неприводимости Эйзенштейна.
Алгебраические и трансцендентные числа. Простое расширение поля.
Минимальный многочлен алгебраического элемента. Теоремы о свойствах
минимального многочлена.
Алгебраическое расширение поля. Теорема о строении простого алгебраического элемента.
Освобождение от алгебраической иррациональности в знаменателе дроби.
Конечное расширение поля. Теорема о том, что каждое конечное расширение
поля является алгебраическим расширением.
Составное расширение поля. Теорема о том, что конечное расширение конечного расширения является конечным расширением. Теорема о том, что
составное алгебраическое расширение является алгебраическим. Теорема о
конечности расширения P(1,, n ) над полем P , где 1 ,, n - алгебраические над P элементы.
Теорема о простоте составного алгебраического элемента.
Условия разрешимости уравнений 3- й степени в квадратных радикалах.
Приложение к задачам на построение с помощью циркуля и линейки. Задача
о трисекции угла. Задачи о построении правильных многоугольников.
28
1.12 Комплект экзаменационных билетов.
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального
образования «Мурманский государственный педагогический университет»
(МГПУ)
Кафедра: алгебры, геометрии и прикладной математики
Наименование дисциплины: Прикладная алгебра, 3 курс, ПМИ, 2 семестр
Экзаменационный билет №1
Вопрос №1 Евклидовы кольца. Примеры евклидовых колец. Теорема о фактори-
альности кольца главных идеалов.
Вопрос №2 Значение многочлена. Свойства значений многочлена. Теорема Безу.
Деление многочлена на двучлен. Корни многочлена.
Зав. кафедрой АГ и ПМ
Декан ФПМПЭ
Утверждено на заседании кафедры.
Протокол № 9 от 30.05.2007 г.
Е.Е. Маренич
Е.Е. Маренич
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального
образования «Мурманский государственный педагогический университет»
(МГПУ)
Кафедра: алгебры, геометрии и прикладной математики
Наименование дисциплины: Прикладная алгебра, 3 курс, ПМИ, 2 семестр
Экзаменационный билет №2
Вопрос №1 Идеалы кольца. Главные идеалы. Идеал порождённый элементами.
x c . Формула Тейлора. Вычисление значений производных с помощью схемы Горнера.
Вопрос №2 Разложение многочлена по степеням
Зав. кафедрой АГ и ПМ
Декан ФПМПЭ
Утверждено на заседании кафедры.
Протокол № 9 от 30.05.2007 г.
Е.Е. Маренич
Е.Е. Маренич
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального
образования «Мурманский государственный педагогический университет»
(МГПУ)
29
Кафедра: алгебры, геометрии и прикладной математики
Наименование дисциплины: Прикладная алгебра, 3 курс, ПМИ, 2 семестр
Экзаменационный билет №3
Вопрос №1 Сравнения и классы вычетов по идеалу. Свойства отношения сравни-
мости по идеалу. Свойства сравнений.
Вопрос №2 Кольцо многочленов от многих переменных. Свойства многочленов от
многих переменных. Степень многочлена от многих переменных. Свойства степени.
Зав. кафедрой АГ и ПМ
Декан ФПМПЭ
Утверждено на заседании кафедры.
Протокол № 9 от 30.05.2007 г.
Е.Е. Маренич
Е.Е. Маренич
.
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального
образования «Мурманский государственный педагогический университет»
(МГПУ)
Кафедра: алгебры, геометрии и прикладной математики
Наименование дисциплины: Прикладная алгебра, 3 курс, ПМИ, 2 семестр
Экзаменационный билет №4
Вопрос №1 Фактор - кольцо. Примеры фактор - колец. Свойства фактор - колец.
Вопрос №2 Неприводимые над данным полем многочлены. Условие неприводи-
мость многочленов первой, второй и третьей степени. Свойства неприводимых
многочленов.
Зав. кафедрой АГ и ПМ
Декан ФПМПЭ
Утверждено на заседании кафедры.
Протокол № 9 от 30.05.2007 г.
Е.Е. Маренич
Е.Е. Маренич
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального
образования «Мурманский государственный педагогический университет»
(МГПУ)
Кафедра: алгебры, геометрии и прикладной математики
Наименование дисциплины: Прикладная алгебра, 3 курс, ПМИ, 2 семестр
Экзаменационный билет №5
Вопрос №1 Ядро гомоморфизма колец. Свойства ядра гомоморфизма. Теорема о
30
гомоморфизмах колец.
Вопрос №2 Теорема о делении с остатком для многочленов.
Зав. кафедрой АГ и ПМ
Декан ФПМПЭ
Утверждено на заседании кафедры.
Протокол № 9 от 30.05.2007 г.
Е.Е. Маренич
Е.Е. Маренич
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального
образования «Мурманский государственный педагогический университет»
(МГПУ)
Кафедра: алгебры, геометрии и прикладной математики
Наименование дисциплины: Прикладная алгебра, 3 курс, ПМИ, 2 семестр
Экзаменационный билет №6
Вопрос №1 Наименьшее подкольцо кольца. Теорема характеризующая наименьшее
подкольцо кольца.
Вопрос №2 Простейшие дроби. Теорема о единственности разложения рациональной дроби в сумму простейших дробей.
Зав. кафедрой АГ и ПМ
Декан ФПМПЭ
Утверждено на заседании кафедры.
Протокол № 9 от 30.05.2007 г.
Е.Е. Маренич
Е.Е. Маренич
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального
образования «Мурманский государственный педагогический университет»
(МГПУ)
Кафедра: алгебры, геометрии и прикладной математики
Наименование дисциплины: Прикладная алгебра, 3 курс, ПМИ, 2 семестр
Экзаменационный билет №7
Вопрос №1 Простые и составные элементы области целостности. Простые и обра-
тимые элементы в кольце целых гауссовых чисел.
Вопрос №2 Разложение многочлена по степеням x c . Формула Тейлора. Вычис-
ление значений производных с помощью схемы Горнера.
Зав. кафедрой АГ и ПМ
Декан ФПМПЭ
Утверждено на заседании кафедры.
Протокол № 9 от 30.05.2007 г.
Е.Е. Маренич
Е.Е. Маренич
31
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального
образования «Мурманский государственный педагогический университет»
(МГПУ)
Кафедра: алгебры, геометрии и прикладной математики
Наименование дисциплины: Прикладная алгебра, 3 курс, ПМИ, 2 семестр
Экзаменационный билет №8
Вопрос №1 Евклидовы кольца. Примеры евклидовых колец. Теорема о фактори-
альности кольца главных идеалов.
Вопрос №2 Формальная производная и её свойства.
Зав. кафедрой АГ и ПМ
Декан ФПМПЭ
Утверждено на заседании кафедры.
Протокол № 9 от 30.05.2007 г.
Е.Е. Маренич
Е.Е. Маренич
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального
образования «Мурманский государственный педагогический университет»
(МГПУ)
Кафедра: алгебры, геометрии и прикладной математики
Наименование дисциплины: Прикладная алгебра, 3 курс, ПМИ, 2 семестр
Экзаменационный билет №9
Вопрос №1 Наименьшее подкольцо кольца. Теорема характеризующая наименьшее
подкольцо кольца.
Вопрос №2 Простейшие дроби. Теорема о единственности разложения рациональной дроби в сумму простейших дробей.
Зав. кафедрой АГ и ПМ
Декан ФПМПЭ
Утверждено на заседании кафедры.
Протокол № 9 от 30.05.2007 г.
Е.Е. Маренич
Е.Е. Маренич
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального
образования «Мурманский государственный педагогический университет»
(МГПУ)
Кафедра: алгебры, геометрии и прикладной математики
Наименование дисциплины: Прикладная алгебра, 3 курс, ПМИ, 2 семестр
32
Экзаменационный билет №10
Вопрос №1 Простые и составные элементы области целостности. Простые и обра-
тимые элементы в кольце целых гауссовых чисел.
Вопрос №2 Теорема о делении с остатком.
Зав. кафедрой АГ и ПМ
Декан ФПМПЭ
Утверждено на заседании кафедры.
Протокол № 9 от 30.05.2007 г.
Е.Е. Маренич
Е.Е. Маренич
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального
образования «Мурманский государственный педагогический университет»
(МГПУ)
Кафедра: алгебры, геометрии и прикладной математики
Наименование дисциплины: Прикладная алгебра, 3 курс, ПМИ, 2 семестр
Экзаменационный билет №12
Вопрос №1 Ядро гомоморфизма колец. Свойства ядра гомоморфизма. Теорема о
гомоморфизмах колец.
Вопрос №2 Неприводимые над данным полем многочлены. Условие неприводи-
мость многочленов первой, второй и третьей степени. Свойства неприводимых
многочленов.
Зав. кафедрой АГ и ПМ
Декан ФПМПЭ
Утверждено на заседании кафедры.
Протокол № 9 от 30.05.2007 г.
Е.Е. Маренич
Е.Е. Маренич
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального
образования «Мурманский государственный педагогический университет»
(МГПУ)
Кафедра: алгебры, геометрии и прикладной математики
Наименование дисциплины: Прикладная алгебра, 3 курс, ПМИ, 2 семестр
Экзаменационный билет №13
Вопрос №1 Фактор - кольцо. Примеры фактор - колец. Свойства фактор - колец.
Вопрос №2 Кольцо многочленов от многих переменных. Свойства многочленов от
многих переменных. Степень многочлена от многих переменных. Свойства степени.
33
Зав. кафедрой АГ и ПМ
Декан ФПМПЭ
Утверждено на заседании кафедры.
Протокол № 9 от 30.05.2007 г.
Е.Е. Маренич
Е.Е. Маренич
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального
образования «Мурманский государственный педагогический университет»
(МГПУ)
Кафедра: алгебры, геометрии и прикладной математики
Наименование дисциплины: Прикладная алгебра, 3 курс, ПМИ, 2 семестр
Экзаменационный билет №14
Вопрос №1 Сравнения и классы вычетов по идеалу. Свойства отношения сравни-
мости по идеалу. Свойства сравнений.
Вопрос №2 Значение многочлена. Свойства значений многочлена. Теорема Безу.
Деление многочлена на двучлен. Корни многочлена.
Зав. кафедрой АГ и ПМ
Декан ФПМПЭ
Утверждено на заседании кафедры.
Протокол № 9 от 30.05.2007 г.
Е.Е. Маренич
Е.Е. Маренич
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального
образования «Мурманский государственный педагогический университет»
(МГПУ)
Кафедра: алгебры, геометрии и прикладной математики
Наименование дисциплины: Прикладная алгебра, 3 курс, ПМИ, 2 семестр
Экзаменационный билет №15
Вопрос №1 Идеалы кольца. Главные идеалы. Идеал порождённый элементами.
x c . Формула Тейлора. Вычисление значений производных с помощью схемы Горнера.
Вопрос №2 Разложение многочлена по степеням
Зав. кафедрой АГ и ПМ
Декан ФПМПЭ
Утверждено на заседании кафедры.
Протокол № 9 от 30.05.2007 г.
Е.Е. Маренич
Е.Е. Маренич
34
1.13 Примерная тематика рефератов.
Многочлены и их применение.
Интерполяционные формулы. Интерполяционная формула Ньютона. Интерполяционная формула Лагранжа.
Теорема Лукаса о сравнениях для биномиальных коэффициентов. Условия,
при которых биномиальный коэффициент сравним с нулём по простому модулю.
Кольцо многочленов над полем евклидово, кольцо главных идеалов, факториально.
Неприводимые над данным полем многочлены. Условия неприводимость
многочленов. Свойства неприводимых многочленов.
Вычисление наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного в кольце многочленов над полем. Свойства наибольшего общего делителя
и наименьшего общего кратного.
Формальная производная и её применения.
Кратность корня многочлена.
Простейшие дроби. Теорема о единственности разложения рациональной
дроби в сумму простейших дробей.
Кольцо многочленов от многих переменных. Свойства многочленов от
многих переменных.
Симметрические многочлены. Элементарные симметрические многочлены.
Формулы Виетта.
Степенные суммы. Формулы Ньютона.
Дискриминант многочлена.
Результант.
Теоремы о числе комплексных корней многочлена с комплексными коэффициентами степени n.
«Нестандартные» методы решения алгебраических уравнений. «Нестандартные» методы решения задач с параметрами.
Неприводимые над полем действительных чисел многочлены.
Система многочленов Штурма и её свойства. Отделение действительных
корней многочлена с действительными коэффициентами.
Литература
1. Б.Л. ван дер Варден. Алгебра. - М.: Наука, 1976.
2. Кострикин А.И. Введение в алгебру. - М.: Наука, 1977.
3. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. - М.: Высшая школа, 1979.
4. Курош А.Г, Курс высшей алгебры. - М.: Наука, 1971.
5. С. Ленг. Алгебра. Алгебра. - М.: Мир, 1968.
6. Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. - М.: Наука, 1984.
7. С. Ленг. Алгебра. Алгебра. - М.: Мир, 1968.
1.14 Примерная тематика курсовых работ.
Алгебры и алгебраические системы.
35
Бинарные и n-местные операции и их применение.
Композиция бинарных отношений, полугруппа бинарных отношений относительно композиции. Операторы замыкания. Соответствия Галуа.
Группы и их применение.
Свойства симметрических групп.
Кольца и их применение.
Поля и их применение. Конечные поля.
Комплексные числа и их применение.
Теорема о мультисекции многочленов.
Применение комплексных чисел в геометрии.
Литература
1. Б.Л. ван дер Варден. Алгебра. - М.: Наука, 1976.
2. Кострикин А.И. Введение в алгебру. - М.: Наука, 1977.
3. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. - М.: Высшая школа, 1979.
4. Курош А.Г, Курс высшей алгебры. - М.: Наука, 1971.
5. С. Ленг. Алгебра. Алгебра. - М.: Мир, 1968.
6. Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. - М.: Наука, 1984.
Линейная алгебра.
Вычисление определителей.
Миноры и алгебраические дополнения.
Дополнение по Шуру.
Симметрические функции и их применение.
Степенные суммы и числа Бернулли.
Двойственное пространство. Ортогональное дополнение.
Ядро и образ оператора. Фактор пространство.
Базисы. Линейная независимость.
Ранг матрицы.
Подпространства. Ортогонализация.
Унитарные пространства.
След и собственные значения оператора.
Жорданова нормальная форма.
Минимальный многочлен и характеристический многочлен.
Каноническая форма Фробениуса.
Нормальная форма Смита. Элементарные делители матриц.
Тензоры. Операции над тензорами. Симметрические и кососимметрические
тензоры.
Перестановочные матрицы.
Коммутаторы. Кватернионы и числа Кэли. Алгебры Клиффорда.
Теорема Витта.
Обобщённая обратная матрица. Скелетное разложение. Матричные уравнения.
Функции от матриц. Дифференцирование матриц.
36
Матрицы с предписанными собственными значениями.
Литература
1. Беллман Р. Введение в теорию матриц. - М.: Наука, 1969.
2. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. - М.: Наука, 1988.
3. Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. - М.: Наука, 1966.
4. Кострикин А.И., Манин Ю.И. - Линейная алгебра и геометрия. - М.: Наука,
1986.
5. Мальцев А.И. Основы линейной алгебры. - М.: Наука, 1975.
6. Прасолов В.В. Задачи и теоремы линейной алгебры. - - М.: Наука, 1996.
7. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. - М.: Мир, 1989.
Многочлены.
Многочлены и их применение.
Интерполяционные формулы. Интерполяционная формула Ньютона. Интерполяционная формула Лагранжа.
Теорема Лукаса о сравнениях для биномиальных коэффициентов. Условия,
при которых биномиальный коэффициент сравним с нулём по простому модулю.
Кольцо многочленов над полем евклидово, кольцо главных идеалов, факториально.
Неприводимые над данным полем многочлены. Условия неприводимость
многочленов. Свойства неприводимых многочленов.
Вычисление наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного в кольце многочленов над полем. Свойства наибольшего общего делителя
и наименьшего общего кратного.
Формальная производная и её применения.
Кратность корня многочлена.
Простейшие дроби. Теорема о единственности разложения рациональной
дроби в сумму простейших дробей.
Кольцо многочленов от многих переменных. Свойства многочленов от
многих переменных.
Симметрические многочлены. Элементарные симметрические многочлены.
Формулы Виетта.
Степенные суммы. Формулы Ньютона.
Дискриминант многочлена.
Результант.
Теоремы о числе комплексных корней многочлена с комплексными коэффициентами степени n.
«Нестандартные» методы решения алгебраических уравнений. «Нестандартные» методы решения задач с параметрами.
Неприводимые над полем действительных чисел многочлены.
Система многочленов Штурма и её свойства. Отделение действительных
корней многочлена с действительными коэффициентами.
37
Литература
1. Б.Л. ван дер Варден. Алгебра. - М.: Наука, 1976.
2. Кострикин А.И. Введение в алгебру. - М.: Наука, 1977.
3. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. - М.: Высшая школа, 1979.
4. Курош А.Г, Курс высшей алгебры. - М.: Наука, 1971.
5. С. Ленг. Алгебра. Алгебра. - М.: Мир, 1968.
6. Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. - М.: Наука, 1984.
7. С. Ленг. Алгебра. Алгебра. - М.: Мир, 1968.
Теория чисел.
Делимость и её применение.
Простые числа и их применение.
Дзета-функция Римана. Асимптотический закон распределения простых
чисел. Элементарное доказательство асимптотического закона.
Теорема Дирихле о простых числах в арифметических прогрессиях.
Разложение действительных чисел в цепные дроби.
Разложение числа e в цепную дробь.
Разложение квадратических иррациональностей в цепные дроби.
Приближение действительных чисел подходящими дробями. Оценки сверху и снизу для приближения действительного числа подходящей дробью.
Теорема Туэ.
Трансцендентные числа. Трансцендентность числа e.
Сравнения в кольце целых чисел, и их применение.
Мультипликативные функции и их свойства. Функция Мёбиуса и её свойства.
Функция Эйлера.
Теорема Эйлера, теорема Ферма и их применение.
Суммы Гаусса.
Квадратичные вычеты и невычеты. Критерий Эйлера.
Символ Лежандра. Закон взаимности.
Арифметические применения теории квадратичных вычетов.
Решение диофантовых уравнений.
Литература
1. Бухштаб А.А. Теория чисел. - М.: Просвещение, 1966.
2. Галочкин А.И., Нестеренко Ю.В., Шидловский А.Б. Введение в теорию чисел. - М.: МГУ, 1995.
3. Грибанов В.У., Титов П.И. Сборник упражнений по теории чисел. - М.:
Просвещение, 1964.
4. Кудреватов Г.А. Сборник задач по теории чисел. - М.: Просвещение, 1970.
5. Постников М.М. Введение в теорию алгебраических чисел. - М.: Наука,
1982.
6. Прахар К. Распределение простых чисел. - М.: Мир, 1967.
38
7. Чандрасекхаран К. Введение в аналитическую теорию чисел. - М.: Мир,
1974.
1.15 Примерная тематика квалификационных (дипломных) работ.
Теория Галуа.
Конечные подгруппы SO(3).
Математический аппарат теории кодирования
Применение теории матроидов в прикладных задачах
Прикладные задачи дискретной математики
Алгоритмы и их применение
Практический курс алгоритмических задач
Математические методы и модели в экономике
Композиция бинарных отношений, полугруппа бинарных отношений относительно композиции. Операторы замыкания. Соответствия Галуа.
Группы и их применение.
Свойства симметрических групп.
Кольца и их применение.
Поля и их применение. Конечные поля.
Комплексные числа и их применение.
Теорема о мультисекции многочленов.
Применение комплексных чисел в геометрии.
Дополнение по Шуру.
Симметрические функции и их применение.
Степенные суммы и числа Бернулли.
Двойственное пространство. Ортогональное дополнение.
Ядро и образ оператора. Фактор пространство.
Базисы. Линейная независимость.
Подпространства. Ортогонализация.
Унитарные пространства.
След и собственные значения оператора.
Жорданова нормальная форма.
Минимальный многочлен и характеристический многочлен.
Каноническая форма Фробениуса.
Нормальная форма Смита. Элементарные делители матриц.
Тензоры. Операции над тензорами. Симметрические и кососимметрические
тензоры.
Перестановочные матрицы.
Коммутаторы. Кватернионы и числа Кэли. Алгебры Клиффорда.
Теорема Витта.
Обобщённая обратная матрица. Скелетное разложение. Матричные уравнения.
Функции от матриц. Дифференцирование матриц.
Матрицы с предписанными собственными значениями.
39
Многочлены и их применение.
Интерполяционные формулы. Интерполяционная формула Ньютона. Интерполяционная формула Лагранжа.
Теорема Лукаса о сравнениях для биномиальных коэффициентов. Условия,
при которых биномиальный коэффициент сравним с нулём по простому модулю.
Кольцо многочленов над полем евклидово, кольцо главных идеалов, факториально.
Неприводимые над данным полем многочлены. Условия неприводимость
многочленов. Свойства неприводимых многочленов.
Вычисление наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного
в кольце многочленов над полем. Свойства наибольшего общего делителя и
наименьшего общего кратного.
Формальная производная и её применения.
Кратность корня многочлена.
Простейшие дроби. Теорема о единственности разложения рациональной
дроби в сумму простейших дробей.
Кольцо многочленов от многих переменных. Свойства многочленов от многих переменных.
Симметрические многочлены. Элементарные симметрические многочлены.
Формулы Виетта.
Степенные суммы. Формулы Ньютона.
Дискриминант многочлена.
Результант.
Теоремы о числе комплексных корней многочлена с комплексными коэффициентами степени n.
«Нестандартные» методы решения алгебраических уравнений. «Нестандартные» методы решения задач с параметрами.
Неприводимые над полем действительных чисел многочлены.
Система многочленов Штурма и её свойства. Отделение действительных
корней многочлена с действительными коэффициентами.
Делимость и её применение.
Простые числа и их применение.
Дзета-функция Римана. Асимптотический закон распределения простых чисел. Элементарное доказательство асимптотического закона.
Теорема Дирихле о простых числах в арифметических прогрессиях.
Разложение действительных чисел в цепные дроби.
Разложение числа e в цепную дробь.
Разложение квадратических иррациональностей в цепные дроби.
Приближение действительных чисел подходящими дробями. Оценки сверху
и снизу для приближения действительного числа подходящей дробью.
Теорема Туэ.
Трансцендентные числа. Трансцендентность числа e.
40
Сравнения в кольце целых чисел, и их применение.
Мультипликативные функции и их свойства. Функция Мёбиуса и её свойства.
Функция Эйлера.
Теорема Эйлера, теорема Ферма и их применение.
Суммы Гаусса.
Квадратичные вычеты и невычеты. Критерий Эйлера.
Символ Лежандра. Закон взаимности.
Арифметические применения теории квадратичных вычетов.
Решение диофантовых уравнений.
Арифметические свойства комбинаторных последовательностей.
Числа Стирлинга первого и второго рода. Числа Белла.
Числа Каталана, их свойства и применение.
Число пересечений графа.
Комбинаторные свойства отношения пересечения. Теорема Эрдёша -Ко - Радо.
Теорема Шпернера для частично упорядоченных множеств.
Комбинаторика частично упорядоченных множеств.
Операторы замыкания упорядоченных множеств.
Алгебра пересечений.
Свойства решётки расширений.
Комбинаторные свойства разбиений.
Кольца формальных степенных рядов от многих переменных, их свойства и
применение.
Алгебраические свойства кольца формальных степенных рядов.
Изоморфизмы кольца формальных степенных рядов и колец последовательностей, свойства изоморфизмов.
Формула Варинга. Формула Фоа ди Бруно.
Характеризация рациональных формальных степенных рядов от одной переменной через свойства производящих последовательностей.
Комбинаторные применения формальных степенных рядов.
Комбинаторика в примерах и задачах.
Линейные рекуррентные уравнения и их применение.
Применение однородных рекуррентных линейных уравнений второго порядка к решению перечислительных задач.
Числа Фибоначчи, их свойства и применение.
Применение однородных рекуррентных линейных уравнений второго порядка к решению перечислительных задач.
Асимптотическое решение рекуррентных уравнений.
Нахождение кратчайшего пути в графе. Метод пометок.
Дерево, лес. Характеризация деревьев. Код Прюфера, формула Кэли.
Связность, рёберная связность графа. Компоненты связности графа их число.
41
Перечисление графов.
Дерево, лес. Характеризация деревьев. Код Прюфера, формула Кэли.
Эйлеровы графы, критерии эйлеровости.
Гамильтоновы графы, признаки гамильтоновости.
Паросочетания, совершенные паросочетания. Двудольные графы. Теорема
Кёнига о паросочетаниях в двудольном графе. Следствия теоремы Кёнига.
Венгерский алгоритм.
Укладка графов. Планарные графы. Плоские графы. Формула Эйлера для
полиэдров. Гомеоморфизм графов. Непланарность графов K5 и K 3,3 . Критерии планарности, теорема Понтрягина - Куратовского.
Раскраски графа. Раскрашиваемость вершин планарного графа пятью красками. Гипотеза четырёх красок.
Комбинаторика в школьном курсе математики.
Задача о числе ожерелий.
Комбинаторные свойства числовых разбиений.
Теорема Минковского - Фаркаса.
Теорема двойственности.
Симплекс - метод решения задач линейного программирования.
Транспортная задача.
Нелинейное программирование. Дискретное программирование. Динамическое программирование.
Классические неравенства.
1.16 Методика исследования (если есть).
следования.
Фундаментальные методы ис-
1.17 Для оценивания знаний студентов по дисциплине применяется предусмотренная нормативными документами система оценок: «отлично», «хорошо», «удовлетворительно», «неудовлетворительно».
РАЗДЕЛ 2. Методические указания по изучению дисциплины и контрольные задания для студентов заочной формы обучения.
По дисциплине «Прикладная алгебра» нет заочной формы обучения.
РАЗДЕЛ 3. Содержательный компонент теоретического материала.
Планы последовательного проведения лекционных занятий (ЛЗ).
Лекции по главе 1: « Теория колец». – 12 часов.
ЛЗ по §1. Кольца. Идеалы кольца. Фактор - кольцо. – 4 часа.
1. Примеры колец. Кольцо целых гауссовых чисел, норма целого гауссового числа, свойства нормы.
Идеалы кольца. Главные идеалы. Идеал порождённый элементами.
42
Операции над идеалами: пересечение идеалов; сумма идеалов.
Сравнения и классы вычетов по идеалу. Свойства отношения сравнимости
по идеалу. Свойства сравнений.
2. Фактор - кольцо. Примеры фактор - колец. Свойства фактор - колец.
Ядро гомоморфизма колец. Свойства ядра гомоморфизма. Теорема о гомоморфизмах колец.
Характеристика кольца. Характеристикой области целостности является
либо 0, либо простое число.
3. Наименьшее подкольцо кольца. Теорема характеризующая наименьшее
подкольцо кольца. Теорема об условии того, что наименьшее подкольцо есть
поле.
Литература.
7. Кострикин А.И. Введение в алгебру. - М.: Наука, 1977.
8. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. - М.: Высшая школа, 1979.
9. Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории
чисел. - М.: Просвещение, 1993.
10.Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. - М.: Высшая школа, 1974.
11.Сборник задач по алгебре. Под редакцией Кострикина А.И. - Факториал, 1995.
12.Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. М.: Наука, 1977.
ЛЗ по §2. Поле частных области целостности. – 1 час
Теорема о существовании поля частных для любой области целостности.
Литература.
7. Кострикин А.И. Введение в алгебру. - М.: Наука, 1977.
8. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. - М.: Высшая школа, 1979.
9. Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории
чисел. - М.: Просвещение, 1993.
10.Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. - М.: Высшая школа, 1974.
11.Сборник задач по алгебре. Под редакцией Кострикина А.И. - Факториал, 1995.
12.Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. М.: Наука, 1977.
ЛЗ по §3. Кольца главных идеалов. – 4 часа.
1. Отношение делимости в области целостности и его простейшие свойства.
Обратимые элементы кольца. Ассоциированные элементы кольца.
Простые и составные элементы области целостности. Простые и обратимые
элементы в кольце целых гауссовых чисел.
43
2. Кольца главных идеалов. Свойства простых элементов в кольце главных
идеалов. Конечность возрастающей последовательности идеалов в кольце
главных идеалов.
Факториальные кольца. Каноническое разложение на простые множители.
Теорема о факториальности кольца главных идеалов.
3. Евклидовы кольца. Примеры евклидовых колец. Теорема о факториальности кольца главных идеалов.
Пример не факториального кольца.
Литература.
7. Кострикин А.И. Введение в алгебру. - М.: Наука, 1977.
8. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. - М.: Высшая школа, 1979.
9. Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории
чисел. - М.: Просвещение, 1993.
10.Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. - М.: Высшая школа, 1974.
11.Сборник задач по алгебре. Под редакцией Кострикина А.И. - Факториал, 1995.
12.Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. М.: Наука, 1977.
ЛЗ по §4. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное в
области целостности. – 3 часа
1. Наибольший общий делитель и его простейшие свойства.
Наибольший общий делитель в кольцах главных идеалов и его свойства.
Наименьшее общее кратное и его простейшие свойства.
2. Наименьшее общее кратное в кольцах главных идеалов и его свойства.
Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное в факториальных кольцах.
Наибольший общий делитель в евклидовых кольцах. Алгоритм Евклида.
Литература.
7. Кострикин А.И. Введение в алгебру. - М.: Наука, 1977.
8. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. - М.: Высшая школа, 1979.
9. Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории чисел. - М.: Просвещение, 1993.
10.Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. - М.: Высшая
школа, 1974.
11.Сборник задач по алгебре. Под редакцией Кострикина А.И. - Факториал, 1995.
12.Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. М.: Наука, 1977.
Контрольная работа по главе I – 1 час
44
Лекционные занятия по главе 2: «Кольцо многочленов от одной переменной.» – 18 часов
ЛЗ по §1. Кольцо многочленов – 4 часа.
Простое трансцендентное расширение кольца. Теорема о существовании
простого трансцендентного расширения коммутативного кольца.
Многочлены от одной переменной. Действия с многочленами. Интерполяционная формула Ньютона.
p
p
Равенство ( x 1) x 1 в кольце многочленов Z p [x ]. Теорема Лукаса о
сравнениях для биномиальных коэффициентов. Условия, при которых биномиальный коэффициент сравним с нулём по простому модулю.
Степень многочлена. Свойства степени.
Значение многочлена. Свойства значений многочлена. Теорема Безу. Деление многочлена на двучлен. Корни многочлена.
Теорема о наибольшем возможном числе корней многочлена в области целостности. Интерполяционная формула Лагранжа.
Алгебраическое и функциональное равенство многочленов.
Литература.
7. Кострикин А.И. Введение в алгебру. - М.: Наука, 1977.
8. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. - М.: Высшая школа, 1979.
9. Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории
чисел. - М.: Просвещение, 1993.
10.Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. - М.: Высшая школа, 1974.
11.Сборник задач по алгебре. Под редакцией Кострикина А.И. - Факториал, 1995.
12.Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. М.: Наука, 1977.
ЛЗ по §2. Многочлены над полем. – 2 часа
Теорема о делении с остатком. Кольцо многочленов над полем евклидово,
кольцо главных идеалов, факториально.
Неприводимые над данным полем многочлены. Условие неприводимость
многочленов первой, второй и третьей степени. Свойства неприводимых
многочленов.
2
Теорема об изоморфизме фактор - кольца R[x ]/ ( x 1) полю комплексных
чисел.
Вычисление наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного в кольце многочленов над полем. Свойства наибольшего общего делителя
и наименьшего общего кратного.
Взаимно простые многочлены и их свойства.
Литература.
7. Кострикин А.И. Введение в алгебру. - М.: Наука, 1977.
45
8. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. - М.: Высшая школа, 1979.
9. Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории чисел. - М.: Просвещение, 1993.
10.Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. - М.: Высшая
школа, 1974.
11.Сборник задач по алгебре. Под редакцией Кострикина А.И. - Факториал, 1995.
12.Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. М.: Наука, 1977.
ЛЗ по §3. Формальная производная. Неприводимые кратные множители.
Кратные корни. - 2 часа
Формальная производная и её свойства.
Схема Горнера.
Разложение многочлена по степеням x c . Формула Тейлора. Вычисление
значений производных с помощью схемы Горнера.
Кратность неприводимых множителей. Теорема о кратности неприводимого множителя в производной. Критерий существования кратных неприводимых множителей.
Кратность корня многочлена. Теорема о кратности корня в производной.
Критерий существования кратного корня. Определение кратности корня с
помощью схемы Горнера.
Простейшие дроби. Теорема о единственности разложения рациональной
дроби в сумму простейших дробей.
Литература.
7. Кострикин А.И. Введение в алгебру. - М.: Наука, 1977.
8. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. - М.: Высшая школа, 1979.
9. Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории
чисел. - М.: Просвещение, 1993.
10.Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. - М.: Высшая школа, 1974.
11.Сборник задач по алгебре. Под редакцией Кострикина А.И. - Факториал, 1995.
12.Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. М.: Наука, 1977.
ЛЗ по §4. Многочлены от многих переменных. – 2 часа
Кольцо многочленов от многих переменных. Свойства многочленов от
многих переменных.
Степень многочлена от многих переменных. Свойства степени.
Литература.
7. Кострикин А.И. Введение в алгебру. - М.: Наука, 1977.
8. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. - М.: Высшая школа, 1979.
46
9. Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории чисел. - М.: Просвещение, 1993.
10.Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. - М.: Высшая
школа, 1974.
11.Сборник задач по алгебре. Под редакцией Кострикина А.И. - Факториал, 1995.
12.Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. М.: Наука, 1977.
ЛЗ по §5. Симметрические многочлены. – 6 часов
1. Лексикографическое упорядочение членов многочлена. Высший член
многочлена.
Лемма о высшем члене произведения многочленов.
2. Симметрические многочлены. Элементарные симметрические многочлены. Формулы Виетта.
Лемма о высшем члене симметрического многочлена и следствие из неё.
Отношение высоты на множестве многочленов. Лемма о конечности убывающей последовательности симметрических многочленов.
Основная теорема о симметрических многочленах (включая существование
и единственность). Теорема о значении симметрического многочлена от корней многочлена. 3. Степенные суммы. Формулы Ньютона.
Дискриминант многочлена. Необходимое и достаточное условие существования кратных корней, и дискриминант.
Литература.
7. Кострикин А.И. Введение в алгебру. - М.: Наука, 1977.
8. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. - М.: Высшая школа, 1979.
9. Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории чисел. - М.: Просвещение, 1993.
10.Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. - М.: Высшая
школа, 1974.
11.Сборник задач по алгебре. Под редакцией Кострикина А.И. - Факториал, 1995.
12.Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. М.: Наука, 1977.
ЛЗ по §6. Результант двух многочленов и исключение переменных. – 2 часа
1. Необходимое и достаточное условие наличие общего корня у двух многочленов. Результант. Основная теорема о результанте.
2. Исключение переменных из системы двух алгебраических уравнений с
двумя переменными.
Литература.
7. Кострикин А.И. Введение в алгебру. - М.: Наука, 1977.
47
8. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. - М.: Высшая школа, 1979.
9. Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории
чисел. - М.: Просвещение, 1993.
10.Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. - М.: Высшая школа, 1974.
11.Сборник задач по алгебре. Под редакцией Кострикина А.И. - Факториал, 1995.
12.Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. М.: Наука, 1977.
7 семестр
Лекции по главе 3: « Многочлены над полями комплексных и действительных чисел». – 16 часов
ЛЗ по §1: «Алгебраическая замкнутость поля комплексных чисел». – 4
часа
1. Теорема о возрастании модуля многочлена.
Теорема о непрерывности модуля многочлена.
Теорема о наименьшем значении модуля многочлена.
Лемма Даламбера.
2. Теорема об алгебраической замкнутости поля комплексных чисел. Неприводимые над полем комплексных чисел многочлены. Теорема о числе
комплексных корней многочлена с комплексными коэффициентами степени
n.
Литература.
7. Кострикин А.И. Введение в алгебру. - М.: Наука, 1977.
8. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. - М.: Высшая школа, 1979.
9. Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории
чисел. - М.: Просвещение, 1993.
10.Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. - М.: Высшая школа, 1974.
11.Сборник задач по алгебре. Под редакцией Кострикина А.И. - Факториал, 1995.
12.Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. М.: Наука, 1977.
ЛЗ по §2: « Многочлены над полем действительных чисел». –2часа
1. Сопряжённость мнимых корней многочлена с действительными коэффициентами.
Неприводимые над полем действительных чисел многочлены. Теорема о
совпадении чётности числа действительных корней многочлена с действительными коэффициентами с чётностью степени многочлена.
2. Система многочленов Штурма и её свойства. Отделение действительных
корней многочлена с действительными коэффициентами.
Литература.
48
7. Кострикин А.И. Введение в алгебру. - М.: Наука, 1977.
8. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. - М.: Высшая школа, 1979.
9. Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории
чисел. - М.: Просвещение, 1993.
10.Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. - М.: Высшая школа, 1974.
11.Сборник задач по алгебре. Под редакцией Кострикина А.И. - Факториал, 1995.
12.Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. М.: Наука, 1977.
ЛЗ по §3: « Решение уравнений 3-й и 4-й степени». – 4 часа
1. Решение уравнений 3-й степени. Формулы Кардано.
Исследование корней уравнения третьей степени с действительными коэффициентами. 2. Решение уравнений 4-й степени методом Феррари.
Литература.
7. Кострикин А.И. Введение в алгебру. - М.: Наука, 1977.
8. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. - М.: Высшая школа, 1979.
9. Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории
чисел. - М.: Просвещение, 1993.
10.Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. - М.: Высшая школа, 1974.
11.Сборник задач по алгебре. Под редакцией Кострикина А.И. - Факториал, 1995.
12.Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. М.: Наука, 1977.
Контрольная работа по главам 2 – 3 – 1 час
Лекции по главе 4: « Многочлены над полем рациональных чисел. Алгебраические числа». – 14 часов
ЛЗ по §1: « Целые и рациональные корни многочлена». – 4 часа
Рациональные корни многочлена с целыми коэффициентами.
Критерий неприводимости Эйзенштейна.
Литература.
7. Кострикин А.И. Введение в алгебру. - М.: Наука, 1977.
8. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. - М.: Высшая школа, 1979.
9. Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории
чисел. - М.: Просвещение, 1993.
10.Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. - М.: Высшая школа, 1974.
11.Сборник задач по алгебре. Под редакцией Кострикина А.И. - Факториал, 1995.
12.Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. М.: Наука, 1977.
49
ЛЗ по §2: « Простое алгебраическое расширение поля». – 6 часа
1. Алгебраические и трансцендентные числа. Простое расширение поля.
Минимальный многочлен алгебраического элемента. Теоремы о свойствах
минимального многочлена.
2. Алгебраическое расширение поля. Теорема о строении простого алгебраического элемента.
Освобождение от алгебраической иррациональности в знаменателе дроби.
Литература.
7. Кострикин А.И. Введение в алгебру. - М.: Наука, 1977.
8. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. - М.: Высшая школа, 1979.
9. Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории
чисел. - М.: Просвещение, 1993.
10.Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. - М.: Высшая школа, 1974.
11.Сборник задач по алгебре. Под редакцией Кострикина А.И. - Факториал, 1995.
12.Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. М.: Наука, 1977.
ЛЗ по §3: « Составное алгебраическое расширение поля». – 4 часа
1. Конечное расширение поля. Теорема о том, что каждое конечное расширение поля является алгебраическим расширением.
Составное расширение поля. Теорема о том, что конечное расширение конечного расширения является конечным расширением. Теорема о том, что
составное алгебраическое расширение является алгебраическим. Теорема о
конечности расширения P(1,, n ) над полем P , где 1 ,, n - алгебраические над P элементы.
2. Теорема о простоте составного алгебраического элемента.
Условия разрешимости уравнений 3- й степени в квадратных радикалах.
Приложение к задачам на построение с помощью циркуля и линейки. Задача о трисекции угла. Задачи о построении правильных многоугольников.
Литература.
7. Кострикин А.И. Введение в алгебру. - М.: Наука, 1977.
8. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. - М.: Высшая школа, 1979.
9. Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории
чисел. - М.: Просвещение, 1993.
10.Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. - М.: Высшая школа, 1974.
11.Сборник задач по алгебре. Под редакцией Кострикина А.И. - Факториал, 1995.
12.Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. М.: Наука, 1977.
50
РАЗДЕЛ 4. Словарь терминов (глосарий).
(страницы указаны в соответствии с учебником: Л. Я. Куликов.
Алгебра и теория чисел.- М.: Высшая школа;1979)
А
Абсолютное значение элемента 151
Абелева группа94
Автоморфизм алгебры84
- группы 99
- кольца 107
Аддитивная группа 95, 96, 135
--векторного пространства 246
--классов вычетов 356, 400
--кольца 104
--поля 146
Аддитивный моноид натуральных чисел 123
Аксиома математической индукции 119, 120
Алгебра 82
-кватернионов 299
-линейная 298
-линейных операторов 300
-матриц 299
Алгебраическая замкнутость поля 510
-независимость элементов 487
-система 112, 113
Алгебраический элемент 528
Алгебраическое расширение поля 531, 533
-число 537
Алгоритм Евклида 379
Алфавит 117
Арифметический корень n-ой степени 154
Арифметическое векторное пространство 175
Ассоциативность 76, 347
Ассоциированные элементы 445, 446
Б
Базис векторного пространства 256
--ортогональный 271
--ортонормированный 278
51
--системы векторов 182
Бинарная операция 75
Бинарное отношение 48,49
В
Вектор нормированный 277
-собственный 307, 309
Векторное пространство 245, 246
--арифметическое 175
--действительное 276
--евклидово 276
--конечномерное 256
--со скалярным умножением 270
Взаимно-простые числа 372, 375
Включения знак 40
Вполне упорядоченное множество 73
Выпуклый конус пространства 318
Высказывания 3-5
Г
Геометрическое представление комплексных чисел 164
Главные операции алгебры 82
-элементы алгебры 83
Гомоморфизм 84
-алгебраической системы 114
-алгебры 84
-векторного пространства 283
-группы 99
-кольца 107
Граф 52
-бинарного отношения 53
График предиката 52
Группа 94
-абелева 94
-симметрическая 96, 350
-циклическая 102, 355
Д
Двучленные сравнения 418
Делимость элементов 445
Делитель 445
52
-нуля 104, 105
-общий наибольший 372, 453, 454
-собственный 447
Дефект оператора 286
Диагональная матрица 227, 313, 314
Диаграммы Эйлера-Венна 45
Дизъюнкция 6
Дистрибутивность 76, 128, 129
Доказательство косвенное 19, 20
-от противного 19, 20
-по индукции 121
Дополнение множества 45
Дополнение ортогональное 273
Е
Евклидово пространство 276
Единица группы 95
-кольца 104
Единичный идеал 430
Естественное отображение 70
Естественный гомоморфизм 92
З
Зависимость линейная 176
Закон двойного отрицания 12
-Де Моргана 45
-исключенного третьего 10
-контрапозиции 12
-сокращения 98, 125
Замкнутое подмножество 80, 87
Знак включения 40
-подстановки 224
-принадлежности 39
-числа 224
И
Идеал 430
-главный 431, 448
-единичный 430
-нулевой 430
Изоморфизм алгебры 84
--линейных операторов 301
53
-алгебраической системы 111
-векторного пространства 266, 283
-группы 99
-евклидова пространства 280
-кольца 364, 430
Изоморфные алгебры 84
-алгебраические системы 114
-векторные пространства 266
-группы 99
-евклидовы пространства 280
-кольца 107
Импликация 7
Индекс числа по модулю 417
Исключение переменных 502, 503
Истинностная таблица 6, 7, 13
К
Канонические задачи линейного программирования 328, 335
Каноническое разложение на простые множители 367, 474
Квантор общности 28
-существования 28, 29
Класс вычетов 397, 432
- смежный 352
-эквивалентности 68
Кольцо 104
-главных идеалов 448
-евклидово 451
-классов вычетов 401
-коммутативное 104
-нулевое 104
-полиномов 489
-факториальное 450, 478
-целых чисел 139-141
-числовое 163
Коммутативная группа 94
Коммутативность 76, 124, 129
Комплексные числа 161
Композиция отображений 50, 56-58
Конгруэнция 81
Конечное расширение поля 533
Конъюнкция 6
Координатная строка вектора 265
Корень из единицы 159
54
-полинома 467
--кратный 483
--простой 483
Кратность корня 483
Критерий неприводимости Эйзенштейна 527
-несовместности системы неравенств 323
-совместности системы линейных уравнений 191
Л
Лексикографическое упорядочение 72, 493
Лемма Гаусса 476
-Даламбера 509
Линейная зависимость системы векторов 176, 247
-независимость системы векторов 176, 247
Оболочка 176, 251
Линейно упорядоченное множество 72
Линейное многообразие 253
-отображение векторного пространства 283
Линейный оператор обратимый 303, 304
--пространства 283
--с простым спектром 312
-порядок 72
Логика высказываний 8
Логическое следствие 14, 26
М
Математическая индукция 121
Матрица 210
-квадратная 210
-линейного оператора 289, 290
-обратимая 215, 240
-транспонированная 213
Многообразие линейное 253
Множество 39
-вполне упорядоченное 73
-замкнутое относительно операции 80
-линейно упорядоченное 72, 150
-упорядоченное 72
-частично упорядоченное 72
Модуль комплексного числа 163
Моноид 83, 346
55
-натуральных чисел (мультипликативный) 130
Мономорфизм алгебры 84
Н
Наибольший общий делитель 327, 453, 454
Наименьшее общее кратное 376, 455
-подкольцо кольца 437
Натуральные числа 119, 120
Независимость линейная 247, 248
Неприводимый полином 472
-элемент кольца 447
Неравенство треугольника 277
-Чебышева 392
Нейтральный элемент 77
НОД 372, 453
НО К 376, 455
Норма вектора 277
Нормальный делитель группы 358
Нулевое кольцо 104
Нулевой идеал 430
-элемент 80
Нуль 120, 146
О
Область целостности 104
-значений 50, 55
-определений 50, 55
Образ линейного оператора 286
Обратимый элемент 81, 98
Обратимая матрица 215
Объединение множеств 41
Однотипные алгебры 83
Операция бинарная 75
-n-местная 75
-сложения 80
-умножения 81
-унарная 75
Определитель матрицы 227
Ортонормированная система векторов 278
Отношение 49, 52
-антирефлексивное 66
-антисимметричное 66
56
-бинарное 49
-делимости 143
-изоморфизма 86, 99
-конгруэнтности 81, 91
-линейного порядка 72
-n-местное 52
-порядка 71, 131,148
-рефлексивное 65
Отношение симметричное 66
-строгого порядка 71
-транзитивное 66
-эквивалентности 65, 67, 68
Отображение 54,55
-инъективное 59
-линейное 283
Отрицание высказывания 6
П
Пара упорядоченная 48
Первообразный корень 415, 416
Переменная свободная 22
-связанная 28,29
-предметная 33
Пересечение множеств 42
Период систематической дроби 421
Подалгебра 87
Подгруппа 100, 350
Подкольцо 109
-наименьшее 437
Подмножество 40
-замкнутое в алгебре 87, 89
Подобные матрицы 297, 313
Подполе 146
-простое 146
Подпространство векторного пространства250
Подстановка 221
-нечетная 223
-обратная 222
-четная 223
Подсистема алгебраической системы 115
Поле 146
-алгебраически замкнутое 510, 537
-алгебраических чисел 537
57
-действительных чисел 153
-классов вычетов 404
-комплексных чисел 157, 161
-простое 146
-рациональных чисел 148
-скаляров 245
Поле упорядоченное 150
-частных 148, 439
-числовое 162
Полином минимальный 529
-неприводимый 472
-нормированный 466
-от нескольких переменных 486
-приводимый 472
-примитивный 475
-симметрический 459, 498
Полная линейная группа 305
-система вычетов 399
Полугруппа 346
Порядок 71, 72
-группы 94
-классов вычетов 413
-нестрогий 71
-строгий 71
-числа по модулю 413
-элемента группы 354
Правила введения и удаления 18
Правило Крамера 241
-отделения 19
Предикат 23, 25, 26, 27
Предикатные формулы 34
Предметные переменные 33
Приведенная система вычетов 402, 403
Принадлежности знак 39
Принцип математической индукции 121
Произведение матриц 211
Производная полинома формальная 480
Простое алгебраическое расширение поля 528, 531
-поле 146
-расширение поля 459
-трансцендентное расширение кольца 459, 461
-число 365
Простой корень полинома 483
58
Простой элемент области целостности 446
Противоположный элемент 80, 95
Противоречие 10
Процесс ортогонализации 272
Прямая сумма подпространств 252
Прямое произведение множеств 48, 49
Пустое множество 41
Р
Равенство полиномов алгебраическое 468
-функциональное 468
-множеств 39
Равносильные формулы 15
-предикаты 26
-системы уравнений 186
Разбиение множества 68
Разложение на простые множители 366, 450, 473, 478
-определителя 235
Размерность векторного пространства 260
Разность множеств 42
Ранг линейного оператора 294
-матрицы 189, 199, 200
-операции 75
-системы векторов 183
Распределение простых чисел 389
Расширение поля алгебраическое 533
--конечное 533
--простое 528
--составное 533, 534
--трансцендентное 459
Рациональные числа 148
Результант 502
Рефлексивное отношение 65
Решение системы линейных неравенств 335
---уравнений 185, 206-208, 220
Решение уравнений 515, 520
Решето Эратосфена 370
С
Свободная переменная 22
Свойства группы 97
-кольца 106
59
-поля 146
Связанная переменная 28, 29
Симметрическая группа 96, 350
Симметрический полином 495
Симплекс-метод 335
Система действительных чисел 150, 153
-алгебраическая 112
-векторов ортогональная 271
-линейных неравенств 317
--уравнений 185
---однородная 192, 203
Скалярное произведение 270
Следствие систем линейных уравнений 180, 195, 196
---неравенств 318
Смежный класс 352, 433
--левый 353
--правый 352
Собственное значение 307, 309
Собственный вектор 307, 309
-делитель элемента 447
Сравнение по идеалу 432
-по модулю 397
Стандартные задачи линейного программирования 327, 328, 335
Старший коэффициент полинома 460
Степенные вычеты 419
Степень полинома 446, 492
-элемента 529
Строгий порядок 71
Ступенчатая матрица 198
--приведенная 201
Сужение функции 63
Сумма пространств 251, 252
Т
Таблица истинности 6, 7
Тавтология 10
Теорема двойственности 330, 333
-Кронекера-Копелли 193
-Кэли 351
-Лагранжа 353
-Минковского 321
-о гомоморфизмах 362
-о делении с остатком 141, 142, 469
60
-Ферма 408
-Штурма 523
-Эйлера 408
Тернарное отношение 52
Тождественно истинная формула 10
-ложная формула 10
Транзитивное отношение 66
Трансцендентное расширение кольца 459, 488
Тригонометрическая форма комплексного числа 166, 168
Трисекция угла 541
У
Удвоение куба 541
Универсальное множество 44
Упорядочение лексикографическое 493
Упорядоченное множество 72
-поле 150
Уравнения третьей степени 515
-четвертой степени 520
Условие с одной свободной переменной 23
-с несколькими свободными переменными 23
Ф
Фактор-алгебра 91
Фактор-группа 359, 360
Фактор-кольцо 433, 434
Фактор-множество 68
Формула логики высказываний 8
Формулы Крамера 242
Фундаментальная система решений 204
Функция 54, 55
-инъективная 59
-обратная 60-62
-Эйлера 406
Х
Характеристика кольца 436
Характеристическое уравнение 310, 311
Ц
Целые числа 135, 139
Циклическая группа 102, 355
61
Ч
Числа алгебраические 537
-действительные 153
-комплексные 161
-сопряженные 163
-натуральные 119, 120
-простые 365
-рациональные 148
-целые 135, 139
Э
Эквивалентности отношение 65,67,68
Эквивалентность 67
-логическая 15
Эквивалентные системы векторов 180
Эквиваленция 8
Элемент алгебраический 528
-множества 39
-нейтральный 77
-обратный по умножению 81
-противоположный по сложению 80
-симметрический 78, 79
Элементарные преобразования системы векторов 181
-симметрические полиномы 496
Эндоморфизм алгебры 84
Эпиморфизм 84
Я
Ядро гомоморфизма 361
-линейного оператора 286
РАЗДЕЛ 5. Практикум по решению задач.
Глава1. Теория колец.
Задача №1.Приведите примеры колец.
Решение.
1) Кольцо целых чисел– коммутативное кольцо c единицей 1, без делителей нуля; область целостности.
2) Кольцо целых четных чисел - коммутативное кольцо, без единицы, без делителей нуля, не является областью целостности.
62
3) Mn ,n P = M n ,n (P ), , , , 0 – это кольцо.
n 2
1 1 1 0 2
0 1 1 1
1
Кольцо Mn,n
Для
Mn,n (P ) – не коммутативно. Например,
1 1 1 1 0 1 1.
1
1 2
1 1 0 1
(P ) – это кольцо с единицей E:
кольцо
1
0
.
E=
0
1
Для n 2 кольцо Mn,n (P ) – это кольцо с делителями нуля. Напри-
мер,
10 00 00 10 00 00 , значит, 10 00 и 00 10 – делители нуля. В
кольце Mn,n (P ) существуют и другие делители нуля.
Для n 2 кольцо Mn,n (P ) – не область целостности.
4) Кольцо целых гауссовых чисел.
def
Обозначим Z i = a bi | a, b Z – множество целых гауссовых чисел. Это комплексные числа, у которых действительная и мнимая
части – целые числа. Кольцо Z i , , , , 0 – кольцо целых гауссовых
чисел. Это коммутативное кольцо с единицей 1, без делителей нуля, область целостности. Определим N ( ) – норму целого гауссового числа :
def
N ( ) = | |2 .
Если a bi , то N ( ) = N a bi a 2 b 2 . Для любого целого гауссова числа норма N ( ) есть целое число.
Свойства нормы.
1) Z i имеем N ( ) 0 ,
2) Z i имеем N ( ) = 0 0 ,
3) , Z i имеем N ( ) N ( ) N ( ) .
Действительно, N ( ) N ( ) N ( ) .
2
2
2
5) Рассмотрим кольцо 0, , , , 0 . Это коммутативное кольцо,
кольцо с единицей 0, без делителей нуля, не является областью целостности.
Задача №2. Приведите примеры идеалов кольца целых чисел, произвольного
кольца., коммутативного кольца.
Решение.
63
1) Рассмотрим кольцо целых чисел: Z , , , , 0 .
а) I 0 – идеал, который, по определению, называется нулевым
идеалом.
б) I = Z – идеал, который, по определению, называется единичным
идеалом.
в) I m m m – множество всех целых чисел, делящихся
нацело на « m », m . I – идеал.
2) K (K, +, , , 0) – произвольное кольцо.
а) I 0 – идеал, который называется нулевым идеалом.
б) I K – идеал, который называется единичным идеалом.
в) В группе (K, +, , 0) определена операция « »:
a ... a , если m ,
m раз
def
m a 0, если m 0,
(a) ... ( a), если m .
m раз
Для m
определим множество m K m k | k K .
Проверим, что множество I m K – есть идеал кольца K :
k , k1 K m k k1 m k k1 I ,
k , k1 K k1 m k m k1 k I .
Проверили
первое
условие,
определяющее
идеал.
m k m k1 m k k1 I . Проверили второе условие, определяющее
идеал. Значит, I – идеал.
3) Пусть K (K, +, , , 0) – коммутативное кольцо,
а) a K . Докажем, что множество I aK ak | k K – идеал.
Проверим два условия, определяющие идеал. Для k , k1 K
a k k1 a k k1 I ; a k a k1 a k k1 I .
Так как K – коммутативное кольцо, то I a K K a .
Задача №3. Исследовать фактор – кольца:
1) кольца целых чисел по главному идеалу, порождённому числом
а) 2, б) 4;
2) кольца целых гауссовых чисел по главному идеалу, порождённому
числом а) 2, б) 4.
Решение.
1) Рассмотрим кольцо целых чисел.
а) Пусть I – главный идеал, порожденный числом 2: I
2 . Из
лекций известно, что множество классов вычетов
64
2
0, 1 . Рассмот-
рим фактор – кольцо (
2 ,
+, , , 0, 1) – это коммутативное кольцо с
единицей 1 ; операции сложения и умножения в фактор – кольце заданы
таблицами:
0 1
0 1
1 1 2 0
0 0 1
0 0 0
1 1 0
1 0 1
До этого времени нам были известны только числовые поля: поле
рациональных чисел, поле действительных чисел, поле комплексных чисел. Все эти поля содержат бесконечно много элементов.
Легко проверить, что фактор – кольцо кольца целых чисел по главному идеалу, порождённому числом 2: ( 2 , +, , , 0, 1) – есть поле
(по определению). Значит, мы имеем пример нечислового конечного поля
из двух элементов. Это поле находит многочисленные применения в математике и технике.
б) Пусть I 4 . Из лекций известно, что множество классов вычетов
4
0, 1, 2, 3 .
Рассмотрим фактор – кольцо кольца целых чисел по главному идеалу, порождённому числом 4: ( 4 , +, , , 0, 1) – это коммутативное
кольцо с единицей 1 , операции сложения и умножения в фактор – кольце
заданы таблицами:
0 1 2 3
0 1 2 3
0 0 1 2 3
0 0 0 0 0
1 1 2 3 0
1 0 1 2 3
2 2 3 0 1
2 0 2 0 2
3 3 0 1 2
3 0 3 2 1
Из таблицы умножения видно, что класс вычетов 2 не обратим, значит, фактор – кольцо ( 4 , +, , , 0, 1) не является полем.
2) Рассмотрим кольцо целых гауссовых чисел (
i
def
i ,
+, , , 0, 1) ,
a bi | a, b .
Рассмотрим главный идеал, порожденный числом 2 . По определению главного идеала: 2 2 i 2a 2bi | a, b . Определим множество классов вычетов
i 2 . Рассмотрим числа вида:
2a 2bi , 2a 1 2bi , 2a 2b 1 i , 2a 1 2b 1 i .
где
2a 2bi 0 2 .
65
2a
1 2bi 1 2 .
2a 2b 1 i i 2 .
2a 1 2b 1 i 1 i 2 .
Значит, любое целое гауссово число сравнимо с одним из чисел:
0; 1; i; 1 i . Эти числа попарно не сравнимы, следовательно, существуют
0, 1, i, 1 i ,
только
4
класса
вычетов
то
есть
i 2
0, 1, i, 1 i .
Рассмотрим фактор – кольцо кольца целых гауссовых чисел по главному идеалу, порождённому числом 2: ( i 2 , +, , , 0, 1) . Это коммутативное кольцо с единицей 1 , операции сложения и умножения в фактор – кольце заданы таблицами:
0
1
i 1 i
0 1
i 1 i
0
0
1
i
1 i
1
1
0 1 i
i
i
i 1 i 0
1
1 i 1 i
i
1
0
0
1
i
1 i
0 0
0
0
0 1
i 1 i
0
i
1 1 i
0 1 i 1 i 0
Из таблицы умножения видно, что класс вычетов 1 i не обратим,
значит, фактор – кольцо ( i 2 , +, , , 0, 1) не является полем.
Задача №4. 1) Вычислим наименьшее подкольцо кольца целых чисел. Имеем E1 m 1 m , , , , 0, 1 ( , , , , 0, 1) ,
то есть наименьшее подкольцо – это само кольцо.
2) Вычислим наименьшее подкольцо кольца
Mn,n P M n ,n (P ), , , , 0, E – над полем P .
E1 m E m
,
nn
матриц
, , , 0, E
m
0
m
,
,
,
,
0,
E
.
0
m
Задача №5. Пусть I – идеал кольца K . Рассмотрим фактор – кольцо
K I (K I, +, , , 0, 1) . Определим отображение : K K I ,
66
: a a . Проверить, что – гомоморфизм кольца K в фактор –
кольцо K I .
Решение. a, b K :
def
def
a b a b a b a b ,
a b a b a b a b ,
a a a a ,
0 0 .
Значит, – гомоморфизм кольца K в фактор – кольцо K I .
Задача №6. Пусть I – идеал кольца K , – гомоморфизм кольца K в
фактор – кольцо K I , определенный в задаче №5.
Вычислить Ker .
Решение.
Определение. Пусть – гомоморфизм кольца K в кольцо K . Ядром гомоморфизма называется множество, состоящее из тех элементов
кольца K , которые отображаются в нуль кольца K ; другими словами:
Ker a | a K, a 0 .
Имеем:
def
Ker
a | a K, a
a
| a K, a 0 I
0 I 0 , то есть Ker I 0 .
Т.2,п.5,§1
a
a | a K, a 0
0
| a K, a I
I K
a
| a I I
Т.2,п.5,§1
Задача №7. Найти все обратимые элементы кольца целых чисел,
кольца целых гауссовых чисел, поля.
1) Найдем все обратимые элементы кольца целых чисел. Элемент a
обратим тогда и только тогда, когда a 1 в кольце целых чисел, то есть
a 1 . Значит, в кольце целых чисел только два обратимых элемента,
1.
2) Найдем все обратимые элементы кольца целых гауссовых чисел.
Элемент a обратим тогда и только тогда, когда a 1 в кольце целых гауссовых чисел, следовательно, N a N 1 1 в кольце целых чисел, отсюда, N a 1 и a 1; i . Значит, обратимыми элементами кольца
целых гауссовых чисел являются 4 числа: 1, 1, i, i .
67
3) Пусть K K, , , , 0, 1 – поле. По определению поля любой
ненулевой элемент поля обратим. Значит, множеством обратимых элементов поля является множество K \ 0 .
Задача №8. Найти – простое гауссово число, такое, что ( ) не
являлось бы простым целым числом.
Решение. 0 – не простое и не составное;
1; i – не простые и не составные числа;
1 i; 1 i; 1 i; 1 i – какие это числа?
(1 i) (1 i) (1 i) (1 i) 2 – простое целое число,
следовательно, числа 1 i; 1 i; 1 i; 1 i – простые гауссовы числа.
2; 2i - какие это числа?
(2) (2i) 4 – составное число, это ничего не даёт.
2 (1 i)(1 i) , значит, 2 – составное гауссово число.
Замечание. Множество распадается на 4 непересекающихся множества: {0}; множество обратимых элементов; множество простых элементов; множество составных элементов.
Задача №9. Доказать, что кольцо целых чисел является евклидовым кольцом.
Решение. Для любых a, b , b 0 , по теореме о делении с остатком разделим a на | b | . Получим, что существуют q, r такие, что
a b(q) r , где 0 r | b | .
Выберем функцию h так, чтобы h(a) | a | .
Имеем h : 0 .
а) Для любых a , h(a) 0 a 0 ;
б) Для любых a, b , b 0 , существуют q, r
такие, что
a b (q) r , где h(r ) r h(b) .
Следовательно, кольцо целых чисел ( , , , , 0, 1) – евклидово.
Задача №10. Доказать, что кольцо целых гауссовых чисел - евклидово.
Решение.
Определение. Ближайшим целым к действительному числу называется такое целое число z , что | z | – минимальное, то есть z находится на наименьшем расстоянии от .
Ближайшим целым к числу 3 является 1 .
4
Ближайшим целым к является 3 .
68
Ближайшим целым к 1 являются два числа 0 и 1 .
2
Если z – ближайшее целое к , то | z | 1 .
2
Пусть , [i] , 0 , тогда определено комплексное число
e fi , где e, f . Пусть e ' – ближайшее целое к e , f ' – ближай
шее целое к f . Обозначим q e ' f ' i , r q , q, r [i] – по определению q, r .
Определим функцию h так, чтобы h( ) N ( ) для любых [i] .
Проверим, что функция h обладает свойствами, указанными в определении евклидова кольца.
1) h( ) 0 0 ;
2) Для любых , [i] , 0 , существуют q, r , определённые
выше, при этом q r ;
h(r ) h( q) h( ( q)) h( ) h( q) h( ) h(e fi e ' f ' i)
1 1
h( ) h((e e ') ( f f ')i ) h( ) (| e e ' |2 | f f ' |2 ) h( ) ( )
4 4
1
h( ) h( ) , то есть h(r ) h( ) .
2
Доказано, что кольцо целых гауссовых чисел – евклидово кольцо и
описан алгоритм деления с остатком, позволяющий находить частное и
остаток при делении на .
Например, найдём частное и остаток при делении 2 5i на
1 i .
2 5i (2 5i)(1 i) 3 7i
3 7
i.
1 i
2
2
2 2
3
Существуют два ближайшие целые к ( ) , это числа 2; 1 . Суще2
7
ствуют два ближайших целых к ( ) , это числа 3; 4 . Выберем из них
2
по одному произвольным образом: 1; 4 . Тогда q 1 4i .
r q (2 5i) (1 i)(1 4i) (2 5i) (3 5i) 1.
r 1. Имеем 2 5i (1 i)(1 4i) (1) .
Задача №11. Придумать пример нефакториального кольца.
Решение. Рассмотрим кольцо K K, , , , 0, 1 , где
K {a bi 3 | a, b }.
69
1) Проверить (самостоятельно), что K – кольцо.
2) Определить норму элемента кольца. Если a bi 3 , где
a, b , то N ( ) a 2 3b 2 .
Доказать самостоятельно, что:
а) N ( ) | |2 для любых K ;
б) для любых K , N ( ) 0 0 ;
в) для любых , K , N ( ) N ( ) N ( ) ;
г) если | в K , то N ( ) | N ( ) в кольце целых чисел.
3) Доказать, что – обратимый в кольце K тогда и только тогда,
когда N ( ) 1 .
4) Найти все обратимые элементы кольца K (только числа 1).
5) Доказать, что для любых K , если N ( ) – простое число, то
– простое в K .
6) Доказать индукцией по норме , N ( ) , что если 0 , – не
обратим, то раскладывается в произведение простых.
7) В кольце K нет единственности разложения на простые множители, например: 4 2 2 (1 i 3)(1 i 3) . Числа 2, 1 i 3, 1 i 3 – простые и попарно не ассоциированные.
Проверим, что 2 – простой элемент кольца. Предположим противное: 2 – составной элемент кольца.
Пусть 2 , тогда N (2) N ( ) N ( ) , откуда 4 N ( ) N ( ) , то есть
N ( ) N ( ) 2 – противоречие, так как в кольце нет чисел с нормой 2 .
Доказано, что 2 – простое. Аналогично доказывается простота чисел
1 i 3, 1 i 3 в этом кольце. Числа ассоциированы тогда и только тогда,
когда отличаются множителем 1. Поэтому числа 2, 1 i 3, 1 i 3 попарно не ассоциированы.
Задача №12. Найти НОД (112, 64) в кольце целых чисел с помощью алгоритма Евклида.
Решение. Имеем:
112 64
64 1
64 48
48 1
48 16
48 3
0
70
Наибольшим общим делителем чисел 112 и 64 является последний не равный нулю остаток в алгоритме Евклида, то есть число
16.
Если d – есть НОД (a, b) , то существуют k1 , k2 такие, что
d ak1 bk2 . Алгоритм Евклида позволяет найти k1 , k 2 16 – есть
НОД (112, 64) . Имеем:
112 64 1 48 (подчёркиваем всё, кроме частных)
64 48 1 16
Отсюда
следует,
что
16 64 48 1 64 (112 64 1) 112 ( 1) 64 2,
k1 1; k2 2 .
Задачи для организации самостоятельной работы
по главе «Кольца»
1. В кольце целых чисел описать
(0), (1), (2), (3), (5), (101), (517).
главные
идеалы:
2. В кольце целых гауссовых чисел описать главные идеалы:
(0), (1), (2), (i), (2i), ( 10), ( 10i), (1 i), (2 3i) .
3. Найти все главные идеалы колец, определенных на множестве
целых чисел, кратных 12 и 16, относительно обычных операций
« , , ».
4. В кольце целых чисел проверить сравнимы ли числа
0, 1, 2, 3, 5, 6, 101, 215 по указанным идеалам: (0), (1),
(2).
5. Составить таблицы сложения и умножения в кольце классов вычетов кольца целых чисел по идеалу I = (n), где
n 1, 2, 3, 4, 5, 6 . Какими свойствами обладают эти кольца и
являются ли они полями?
6. Доказать, что данные кольца изоморфны:
({a b 3 | a, b Z}, , , , 0)
а)
и
a b
0 0
({
| a, b }, , , ,
) ;
5
b
a
0
0
71
б)
a 0
({
|
0
a
( , , , , 0,
0 0
a Z}, , , ,
,
0
0
1)
и
1 0
) .
0
1
7. а) Доказать, что в кольце K справедливы утверждения:
a 0 0 a 0,
a (b) (a) b ab ,
a (b c) ab ac .
б) Пусть а – обратимый элемент ассоциативного кольца К с единицей. Доказать, что обратный элемент к a единственен.
в) Доказать, что в кольце без делителей нуля справедливы утвержденияесли ab 0 , то, по крайней мере, один из элементов a, b
нулевой;
из соотношений ac bc и c 0 следует a b (правило
сокращения на ненулевой элемент).
г) Доказать, что в поле нет делителей нуля.
8. а) Пусть f : K L - гомоморфизм колец K и L. Доказать, что
Im f - подкольцо в кольце L, а Ker f - идеал кольца K.
б) Доказать теорему о гомоморфизме для колец.
9. Пусть кольцо K является (внутренней) прямой суммой своих
подколец K1 , , K n , то есть K= K1 K n . Доказать, что
K1 , , K n - идеалы в K.
10. Пусть Z3 – кольцо вычетов по модулю 3, M2 (Z) – кольцо матриц 22, у которых элементы – целые числа. В кольце Z3 M2 (Z)
вычислить следующие суммы и произведения элементов:
1 3 3 2
1,
2,
=
?
1
1
1
4
1 3 3 2
2,
1 ,
= ?
1
1
1
4
Что будет являться нулевым элементом кольца Z3 M2
(Z) ?
11. Доказать, что в поле все элементы ассоциированы.
12. Пусть К – целостное кольцо и k K – ненулевой элемент. Доказать, что (k ) (k ) (k max (, ) ) , для любых положительных
целых чисел , .
72
13. Доказать, что кольце целых чисел Z понятия простоты и неприводимости совпадают и описывают в точности множество простых
чисел.
14. Доказать, что в кольце Z[ 5 ] = { a b 5 | a, b - целые числа }
элемент 2 является неприводимым и не является простым.
15. Пусть K= ( K , , , , 0, 1) – ненулевое коммутативное ассоциативное кольцо с единицей, а P, M – идеалы в K. Тогда
1)
P – простой идеал K/P – область целостности;
2)
M – максимальный идеал K/M – поле.
16. Пусть K - целостное кольцо, pK. Если элемент p – простой, то
p – неприводимый. Привести пример, показывающий, что обратное утверждение неверно.
Кольцо целых гауссовых чисел.
,
1.
Вычислить
норму N ( )
числа
0, i, 1 i, 2 3i, 5 7i.
2. Найти все целые
N ( ) 0, 1, 2, ..., 10.
гауссовы
числа
,
такие,
если
что
3. Какие целые гауссовы числа делятся на число 1 i ?
4. Какие целые гауссовы числа делятся на 1; i ?
5. Справедливы ли утверждения, что в [i ] :
а) i делит 2 3i;
б) 1 i делит 7 9i;
в) 2 i делит 4 i;
г) 3 делит 7 6i;
д) 1 3i делит 10;
е) 2 3i делит 5 i.
6. Проверить с помощью нормы, что:
а) 2 i не делит 7 3i;
б) 1 i не делит 1 2i;
в) 3 4i не делит 7 2i .
7. Выписать числа, ассоциированные с 0, 1, i, 2 3i, 7 2i, 1 i
в [i ] .
73
8. Выписать все делители следующих чисел кольца целых гауссовых чисел: 2 i, 3 i, i, 2i, 5.
9. Выполнить деление с остатком в кольце гауссовых чисел:
а) 3 на 1 i ;
б) 7 3i на 2 i ;
в) 4 i на 2 i ;
г) 7i на 3 i ;
д) 7 i на 2 3i ;
е) 6 на 1 i .
10. Выписать остатки при делении целого гауссова числа a bi на
числа: 1 i, 2, 2 i, 1 2i.
Глава 2. Кольцо многочленов от одной переменной.
Глава 3. Многочлены над полем комплексных чисел и действительных чисел.
Глава 4. Многочлены над полем рациональных чисел. Алгебраические числа.
Задача №1. Будет ли приводим многочлен f x 2 1
в
Q[x] ; R[x] ; C[x] ?
2
2
1) x 1 из Q[x] ; x 1 не имеет рациональных корней, поэтому
x 2 1 неприводим в Q[x] .
2
2
2) x 1 из R[x] , x 1 не имеет действительных корней, поэтому
x 2 1 неприводим в R[x] .
2
2
3) x 1 из C[x] . Многочлен x 1 имеет комплексные корни i, i .
Поэтому x 2 1 приводим в C[x] .
Очевидно, что x 2 1 ( x i) ( x i) – произведение двух многочленов положительной степени.
Задача №2. Найти нод( f , g )если:
f x 4 x 3 2 x 2 x 1, g x 3 2 x 2 x 2
Решение. Первый способ .( С помощью алгоритма Евклида).
74
_ x 4 x3 2 x 2 x 1 x3 2 x 2 x 2
x 4 2 x3 x 2 2 x
x3
_ 3 x3 x 2 3 x 1
3 x3 6 x 2 3 x 6
7 x2
7
_ x3 2 x 2 x 2 x 2 1
x3 x
x3
_ 2 x2 2
2 x2 2
0
нод( f , g ) x 2 1 – последний, не равный нулю остаток.
2 способ. Так как кольцо многочленов P[x] – факториально, то вычисление нод( f , g ) может производиться следующим способом.
Пусть f a p1 1 pk k , g b p1 1 pk k , где a, b P, a 0, b 0 ,
p1 , , p k – попарно различные нормированные неприводимые многочлены;
1 , , k , 1 , , k N 0 .
max( 1, 1)
нок( f , g ) p1
Тогда
min( 1, 1)
нод( f , g ) p1
max( k , k )
pk
min( k , k )
pk
.
Пусть
f (2 x 3) 2 ( x 1) 3 ( x 2 1) 4 ( x 3 ) 2 ( x 1) 3 ( x 2 1)
2
g (2 x 3) ( x 1) ( x 2 1) 2 ( x 3 ) ( x 1) ( x 2 1)
2
Тогда
.
нод( f , g ) ( x 3 ) ( x 1) ( x 2 1)
2
нок( f , g ) ( x 3 ) 2 ( x 1) 3 ( x 2 1)
2
Задача №3. Найти частные при делении f x 5 3 x 3 2 x 2 x 1 на
( x 2) и вычислить f (2) .
Решение. Применим схему Горнера.
75
-2
1
1
0
0+(-2)1=
= -2
-3
-3+(-2)(-2)=
=1
2
2+(-2)1=
=0
-1
-1+(-2)0=
= -1
1
1+(-2)(-1)=
=3
Имеем частное q x 2 x x 1, остаток r f (2) 3 . Схема Горнера позволяет вычислять f (c) более эффективно, чем непосредственный
подсчет f (c) . Схема Горнера – это эффективный алгоритм в вычислительной
математике.
4
3
2
Задача №4. Разложить многочлен f x 5 3 x 3 2 x 2 x 1 по степеням
( x 2) .
Решение. Применим схему Горнера.
1
0
-3
2
-1
1
-2
1
-2
1
0
-1
3
f
0
-2
1
-4
9
-18
35
f1
-2
1
-6
21
-60
f2
-2
1
-8
37
f3
f (2)
3!
f (2)
2!
f (2)
1!
-2
1
-10
f (4) (2)
f4
4!
-2
1
f (5) (2)
f5
5!
f
(0)
(2)
0!
Получили:
f ( x 2) 5 10 ( x 2) 4 37 ( x 2) 3 60 ( x 2) 2 35 ( x 2) 3
Задача №5. Найти кратность корня с = 3 для многочлена
f x 4 6 x 3 10 x 2 6 x 9 .
Решение. Вычислим f (3), f (׳3), f (3) по схеме Горнера.
3
1
1
-6
-3
10
1
-6
-3
3
1
0
1
0
9
0
=f(3) 3 – корень f
f (3)
т.е. f (3) 0 3 –корень f
1!
76
3
1
3
10
f (3)
0 f (3) 0 .
2!
Число с=3, по теореме 3, является корнем f кратности 2.
3
3
3
Задача №6. Пусть f x1 x2 x3 из Z[ x1 , x2 , x3 ] . Записать f как
многочлен от элементарных симметрических многочленов σ1 , σ 2 , σ 3 с помощью алгоритма из основной теоремы.
Решение.
x13 – высший член f , (3,0,0) – кортеж степеней.
Определим многочлен f1 :
f1 f σ13 σ 02 σ 30 x13 x23 x33 x1 x2 x3 3
3 x12 x2 3 x12 x3 3 x22 x1 3 x22 x3 3 x32 x1 3 x32 x2 6 x1 x2 x3
3x12 x2 – высший член f1 ; (2,1,0) – кортеж степеней.
Определим многочлен f 2 :
f 2 f1 3 σ1 σ 2
3 x12 x2 3 x12 x3 3 x22 x1 3 x22 x3 3 x32 x1 3 x32 x2
6 x1 x2 x3 3 ( x1 x2 x3 ) ( x1 x2 x1 x3 x2 x3 )
3 x12 x2 3 x12 x3 3 x22 x1 3 x22 x3 3 x32 x1 3 x32 x2 6 x1 x2 x3
3 x12 x2 x12 x3 x22 x1 x22 x3 x32 x1 x32 x2 3 x1 x2 x3
3 x1 x2 x3
Определим многочлен f 3 . Кортеж степеней в высшем члене равен (1,1,1).
f 3 f 2 3 σ10 σ 02 σ13 f 2 3 σ 3 0
.
3
Таким образом, получили: f σ1 3 σ1 σ 2 3 σ 3 .
Задача №7. Рассмотрим многочлен x 3 3 x 2 10 x 7 Z[ x] .
Обозначим c1 , c2 , c3 – его корни. Вычислить c13 c23 c33 .
Решение. Рассмотрим симметрический многочлен f x13 x23 x33 .
Применяя основную теорему о симметрических многочленах, получим, что
f σ13 3 σ1 σ 2 3 σ 3 . Из формул Виета для многочлена
77
следует, что:
1 (с1 , c2 , c3 ) 3,
2 (с1 , c2 , c3 ) 10,
3 (с1 , c2 , c3 ) 7.
Имеем:
c13 c23 c33 f (c1 , c2 , c3 ) σ13 (c1 , c2 , c3 ) 3 σ1 (c1 , c2 , c3 ) σ 2 (c1 , c2 , c3 )
3 σ 3 (c1 , c2 , c3 ) 27 3 (3) 10 3 7 84
Задача №8. Решить систему нелинейных уравнений:
x2 y 3 x y 2 y 3 0
2 x y 2 x 2 y 3 0
1)
2)
3)
4)
(1)
Решение.
Алгоритм решения системы (1).
Чтобы решить систему (1), нужно:
вычислить результант R(y) многочленов f и g, рассматривая их как многочлены от x;
найти корни многочлена R(y), т.е. решить уравнение R( y) 0 ;
найти числа , подставляя в (1) найденные числа .
Пара ( , ) – решение системы (1).
Имеем
y x2 3 y x 2 y 3 0
(2 y 2) x 2 y 3 0
Выпишем R(y):
y
3 y
R( y ) 2 y 2 2 y 3
0
2 y 2
(2 y 3) ( y 4) .
3
R( y ) 0 y y
2
2 y 3
y
3 y 1
0
(2 y 3) 2 y 2 2 y 3 0
2 y 3
0
2 y 2 1
4.
3
y
3
y
2
3
2
3
9
3
y
2
1) x x 0
x ( x 3) 0
2 (0; ).
2
2
2
5 x 0
x 0
3
3
(2 ( 2 ) 2) x 2 ( 2 ) 3 0
78
y 4
y 4
y 4
5
1
1
2
2) 4 x 12 x 5 0 4 ( x ) ( x ) 0
1 ( ;4).
2
2
2
10 x 5 0
x 2
1
x 2 0
3
1
Ответ: (0; ) ; ( ;4)
2
2
Задача №9. Найти число положительных и отрицательных корней
многочлена f x 4 4 x 2 x 1.
Решение. Найдем для f систему многочленов Штурма, применив метод
последовательного деления:
f 0 f x 4 4 x 2 x 1;
f1 4 x3 8 x 1 ;
f 2 8 x 2 3x 4 ;
f3 87 x 28 ;
f 4 1.
Для отрицательного и достаточно большого по модулю значения х ряд
знаков имеет вид: ( ), то есть ряд содержит четыре перемены знака.
При x 0 знаки совпадают со знаками свободных членов: ( ), то
есть ряд имеет две перемены знаков.
Получили, что потеряны две перемены знака. Следовательно, многочлен f имеет два отрицательных корня. Для положительного достаточно
большого значения х знаки старших членов имеют вид: ( ), то есть
число перемен знака равно нулю. Значит, многочлен имеет два положительных корня.
Задача №10. Избавиться от иррациональности в знаменателе дроби:
.
m
Решение.
3
2; f x 3 2 - минимальный многочлен; g 1 (числитель);
h x2 x 1.
Найдем НОД(f, h) с помощью алгоритма Евклида:
79
2 x2 x 1
x3
x3 x 2 x
x 1
x2 x 2
x2 x 1
x2 x 1
2x 1
x 2 12 x
1
2
x 14
12 x 1
12 x 14
54
Имеем:
f hx 1 2 x 1 ; h 2 x 1 12 x 14 54 .
Подчеркиваем все кроме частного.
5
h 2 x 1 12 x 14 h f h x 1
4
h 1 x 1 12 x 14 .
12 x 14 f 12 x 14
Получили: 54 f 12 x 14 h 34 14 x 12 x 2
В последнее равенство подставим 3 2 , f 3 2 0 . Тогда
34 14 3 2 12 3 4
1
1 54 34 14 3 2 12 3 4 53
4 2 1 h 2
54 h 3 2
3
3
3
32
5
3
2 54 .
Задача №11. Исследовать, можно ли поле комплексных чисел рассматривать как векторное пространство над полем действительных чисел.
Решение. Проверим, что система из чисел 1, i - базис.
1) 1, 2 R : 1 1 2 i 0 1 2 0 1, i - линейно независимы над R.
2) Проверим, что любое комплексное число можно представить в виде линейной комбинации чисел 1 и i.
Действительно: a bi
a, bR
a 1 b i .
80
Следовательно, 1, i - базис. Размерность пространства комплексных
чисел над полем R равна 2.
2. Поле действительных чисел - векторное пространство над полем действительных чисел.
Базис - любое ненулевое число. Размерность равна 1.
Замечание. Размерность поля F над полем P не может равняться нулю.
Определение. Поле F - расширение поля P, называется конечным расширением, если поле F как векторное пространство над полем P имеет конечную размерность, которая обозначается F : P . Читается: “Размерность
поля F над полем P”.
Примеры.
1) C : R 2 - поле комплексных чисел, конечное расширение поля
действительных чисел.
2) R : R 1 - поле действительных чисел, конечное расширение поля действительных чисел.
Определение. Расширение F поля Р называется алгебраическим, если
каждый элемент поля F является алгебраическим элементом над полем Р.
Другими словами, любой элемент поля F является корнем некоторого
многочлена положительной степени с коэффициентами из поля Р.
Задача №12. Доказать, что поле комплексных чисел - алгебраическое
расширение поля действительных чисел.
Решение. Для доказательства этого утверждения нужно показать, что
каждое комплексное число a bi , где a, b R , является корнем многочлена
положительной степени с действительными коэффициентами.
a bi - корень многочлена x a bi x a bi . Покажем, что это многочлен положительной степени с действительными коэффициентами.
x a bi x a bi x a 2 b 2 x 2 2ax a 2 b 2 ,
то
есть
каждое комплексное число является алгебраическим над полем R.
Замечание. Поле действительных чисел не является алгебраическим
расширением поля рациональных чисел.
Так как, например, числа , е - действительные, но они не являются алгебраическими над полем Q; то есть , е не являются корнем ни одного многочлена положительной степени с рациональными коэффициентами.
Задачи для самостоятельного решения по главам 2 – 4.
п.1. Действия с многочленами.
1. Разложить многочлен ( x a )
1.1. ( x 1)
2
3
7
n
по степеням x, где:
Z[x].
2
1.2. f 2 x 2, g x x 2 x Z(x1)6[x].
81
n
2. Найти коэффициенты при x и x
2
n
n 2
в произведении
n 1
n
(1 f1x f 2 x f n x )(x f1x
f n 1x f n ) .
k
2
n 1 2
3. Найти коэффициенты при x в произведении (1 x x x
) .
4
2
4. Доказать, что многочлен x 2x 2x 2 нельзя разложить в произведе2
2
ние двух многочленов x ax b и x cx d , где a,b,c,dZ.
4
3
2
5. При каких a,b многочлен x ax bx 8x 1 обращается в полный
квадрат ?
6. Найти все многочлены f такие, что:
6.1. f ( x ) f (x ) ;
6.2. f (x ) f (x ) , где 1;
2
3
2
6.3. f ( x ) ( f ( x )) , f 0 ;
3
6.4. f ( x ) ( f ( x )) , f 0 .
2
7. Найти свободный член, коэффициенты при x , x в многочлене
2
2
2
5
5
7
7
4
6
6
((( x 2) 2) 2) ,
имеющем n пар скобок, где nN.
8. Для n, kN разложить на множители
n
n
x a , x a , x a ,
nk
4
x 1, x a , x a , x
9. Разложить на множители
10
10
a .
2
5
2
7
2
8
2
9
1 x x x , 1 x x x ,
1 x x x , 1 x x x .
10. Проверить, что для всех nN:
10.1. x
2
n
2
4
1 ( x 1)( x 1)( x 1)( x 1)( x
2
n
2 1
3
2n 1
2
2
n 1
1) ;
4
( x 1)( x 1)( x 1)( x
10.2. 1 x x x
11. Доказать, что в произведении
2
2n
2
2
n 1
2n
1) .
(1 x x x x
x )(1 x x x )
после раскрытия скобок не останется x в нечётных степенях.
12. Для nN разложить на множители
x
2n 1
a
2n 1
,
6
5
7
10
x 32 , x 1 , x 1 , x 1.
13. Разложить на множители
2
3
7
8
2
3
1 x x x x x , 1 x x x x
14. Разложить по степеням x
n
n
(x a ) , ( x a ) ,
82
13
14
x .
4
6
7
8
( x 1) , ( x 1) , ( x 1) , ( x 1) .
15. Разложить по степеням x
4
f ( x 2 ) , f Z 4 [x],
5
f ( x 1) , f Z 5 [x].
16. Пусть p - положительное простое. Доказать, что в кольце Z p [x] справедливы равенства:
p
p
16.1. (1 x ) x 1 ;
p
n
p
n
x
1.
16.2. (1 x )
17. Доказать, что при любом nN 0
2n
n
n
r0
2
.
n
r
18. Определить:
n
18.1. Для каких nN 0 все коэффициенты многочлена ( x 1) нечётны ?
18.2. Пусть p - положительное простое. Для каких nN 0 все коэффициенты
n
многочлена ( x 1) не делятся на p ?
19. Доказать, что:
2
3
n
2
19.1. ( x 2x 3x n x )( x 1) n x
n 2
( n 1)x
n 1
x;
x ( x 1)
n x ( x 1)( x n 1)
n ( x 1)( x 2)( x n )
( 1)
( 1)
19.2. 1 x
.
1!
2!
n!
20. Найти коэффициент при x
1000
20.1. (1 x )
x(1 x )
999
50
n!
в многочленах:
2
x (1 x )
2
998
x
3
20.2. (1 x ) 2(1 x ) 3(1 x ) 1000(1 x )
21. Разложить по степеням x
2
3 3
2
3
2000
2000
.
.
4
(1 x x ) , ( x 2x 2) ,
2 3
2 4
( 2 x 3x ) , (1 2x x ) .
22. Найти коэффициенты:
4
5
2 10
22.1. при x , x в многочлене (1 2x 3x ) ;
17
22.2. при x , x
18
5
7 20
2
3 1000
в многочлене (1 x x )
23. В каком из многочленов (1 x x )
больше коэффициент при x
20
?
83
.
2
3 1000
или (1 x x )
будет
24. Доказать, что коэффициент при чётной степени x в многочлене
2
5 n
( 2 3x x ) не меньше коэффициента при той же чётной степени x в мно2
5 n
гочлене ( 2 3x x ) , где nN.
25. Определить число отличных от нуля коэффициентов в разложении по
2
5 20
степеням x многочлена (1 x x ) .
26. Доказать, что для любого многочлена f (x ) P[x ] и любого n N
f (x ) x| f ( f ( f (x )) x ,
где f ( f ( f ( x ) ) содержит n скобок.
27. Разложить на множители многочлен f ( x ) Z[x]:
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
27.1. 2( x 6 x 1) 5( x 6 x 1)( x 1) 2( x 1) ;
27.2. 6( x 3x 1) 7( x 3x 1)( x 2) 2( x 2) .
п.2. Степень многочлена.
1. Чему равна степень многочлена f ( x ) Z[x]:
1.1. f ( x ) n( n 1)( n 2)x
n 2
( n 1)( n 2)x
1.2. f ( x ) n( n 1)( n 2)( n 3) x
x 1.
n2
n 1
n
( n 2)x x 1 ?
( n 1)( n 2)( n 3) x
n 1
n
( n 2) x
2
2. Дан многочлен f ( x ) ax bx c R[x], a 0 . Доказать, что для любого
nN существует не более одного многочлена h( x ) R[x], deg h(x ) n такого,
что h( f (x )) f (h(x )) .
п.3. Значение многочлена.
1. Найти значение многочлена f (x ) в точке x 0 :
3
2
1.1. f ( x ) x x 2x 3, x 0 2 ;
4
3
3
2
4
3
2
1.2. f ( x ) 3x 2x x x 2, x0 i ;
1.3. f ( x ) 2 x 3 x 3 x 1 Z4 [x ], x0 2 ;
2
1.4. f ( x ) 3 x 2 x x x 2 Z5 [x ], x0 4 .
n
2. Пусть K - кольцо с единицей 1, f ( x ) f n x f1x f 0 , g( x ) K [x ].
2.1. Найдите значения f (1) и f ( 1) .
2.2. Пусть суммы коэффициентов многочленов f ( x ), g( x ) равны, соответственно, 1. Чему равна сумма коэффициентов многочлена f ( x ) g( x ) ?
3. Найдите сумму коэффициентов и знакочередующуюся сумму коэффициентов многочленов f ( x ) Z[x]:
2 1999
3.1. f ( x ) (1 3x 2 x )
2 2001
(1 3x 2 x )
84
;
2
4 1999
3.2. f ( x ) (1 2 x 3x 5x )
4. Вычислить
2
3 2001
( 2 3x 4x 4x )
.
,
n
0
n
1
n
n
n0 n1 n2 (1)n nn .
п.4. Теорема Безу. Корни многочлена.
1. Найти остаток от деления многочлена f (x ) на многочлен g( x ) .
243
81
27
9
3
9
3
1.1. f ( x ) x
x x x x 1 Z[x],
а) g(x ) x ; б) g( x ) x 1 ; в) g( x ) x 1.
1.2. f ( x ) x
243
x
81
x
27
x x 1 Z 4 [x],
а) g(x ) x ; б) g( x ) x 1 ; в) g( x ) x 1 .
2. Выяснить делятся ли следующие многочлены кольца Z[x] на многочлены
x , x 1, x 1.
2.1. f ( x ) ( x 1)
2.2. f ( x ) nx
2n
n 1
2.4. f ( x ) x
2 n 1
2n
2x 1 , nN 0 .
n
( n 1)x 1 , nN 0 .
2 n2
2.3. f ( x ) n x
x
2
( 2n 2n 1) x
( 2n 1) x
n
n 1
nm
n 1
2 n
( n 1) x x 1 , nN 0 .
n
( 2n 1) x 1 , nN 0 .
m
nx ( n 2m) , m, nN 0 , nm.
2.5. f ( x ) ( n 2m) x nx
3. Доказать:
3.1. Если многочлен с целыми коэффициентами при трёх различных целых
значениях переменной принимает значение 1, то он не имеет целых корней.
3.2. Если многочлен с целыми коэффициентами при пяти различных целых
значениях переменной принимает значение 2, то он не имеет целых корней.
3.3. Если многочлен с целыми коэффициентами, в точках c0 1, 2, 3, 4, принимает значение равное некоторому простому числу p, то он не может принимать значение 2p ни в каких целых точках c0 .
4. Доказать, что многочлен f ( x ) Z[x] не имеет целых корней, если:
4.1. если f (0), f (1) - нечётные числа;
4.2. если f ( 0), f (3) - нечётные числа.
n
5. Пусть x1,, x n - корни многочлена f n x f n 1x
Какие корни имеют многочлены
n
n 1
n 2
n
f n x f n 1x
f n 2x
(1) f 0 0 ,
n
n 1
f 0 x f1x
f n 1x f n , для f 0 , f n 0 ?
85
n 1
f1x f 0 P[x ] .
2n
6. Если - корень многочлена f n x f n 1x
Какой ещё корень имеет этот многочлен ?
2( n 1)
2
f1x f 0 P [x ].
x ( x 1)
n x ( x 1)( x n 1)
( 1)
R[x].
7. Найти все корни многочлена 1 x
1!
2!
n!
8. Доказать, что корни следующих многочленов из C[x] по абсолютной величине не превосходят 1:
n
n 1
n
n 1
8.1. n x 1 x x
8.2. n x 1 x x
, nN;
, nN.
п.5. Теорема о числе корней многочлена в области целостности.
1. Доказать:
1.1. Пусть a , b, c R и попарно различны,
6
f ( x ) f 6 x f1x f 0 R[x].
Если f (a ) f (a ), f (b) f (b), f (c) f (c) , то f (x ) f ( x ) .
1.2. Пусть a1,, a n - попарно различные действительные числа,
2n 1
2n
f ( x ) f 2n x f 2n 1x
f1x f 0 R[x].
Если f (a1 ) f ( a1 ),, f (a n ) f ( a n ) , то f (x ) f ( x ) .
2. Равны ли следующие многочлены кольца Z p [x ], где p - положительное
простое число:
p1
x
1, ( x 1 )( x 2 )( x ( p 1)) ?
3. Найти все многочлены f ( x ) R[x] такие, что:
3.1. f (x ) f (x 1) ;
3.2. f ( x ) f ( x ) , где 0 .
3.3. xf (x 1) (x 25) f (x ) ;
3.4. (x 2) f (x 3) (x 4) f (x 3) .
3.5. f (0) 0 ; f ( x ) 1 ( f ( x 1) f ( x 1)) .
2
п.6. Теорема а делении с остатком.
1. Найти остаток при делении f (x ) на g( x ) в R[x]:
4
3
2
2
1.1. 2x 3x 4x 5x 6 на x 3x 1 ;
3
2
2
3
2
4
3
2
1.2. x 3x x 1 на 3x 2x 1 ;
3
2
1.3. x 3x x 1 на 2x 3x 4x 5x 6 ;
2
1.4. x 3x x 1 на x 3x 1 .
2. Найти многочлен наименьшей степени в Q[x] дающий при делении:
2
2.1. на ( x 1) остаток 2x ;
86
3
2.2. на ( x 2) остаток 3x .
3. Найти необходимые и достаточные условия делимости:
3
2
3
2
4
2
5
2
3
2
3.1. x px q на x 1 ;
3.2. x px q на x ax 1 ;
3.3. x px q на x ax 1 ;
3.4. x px q на x ax 1 ;
3.5. x px q на x ax 1 ;
4
2
2
3.6. x px q на x ax 1 .
4. Найти остаток от деления многочлена
3
9
f (x ) 1 x x x
на многочлены:
27
x
81
x
243
2
4
4.1. x 1 ;
4.2. x 2 1 ;
5. Найти остаток от деления:
5.1. x
1959
1 на ( x 1)( x x 1) ;
2001
1 на ( x 1)( x x 1) ;
5.2. x
9
25
2
2
2
2
49
4
4.3. x 1 ;
81
4.4. x 1 .
3
5.3. x x x x x на x x .
6. Найти многочлен f ( x ) R[x], deg f (x ) 4 , для которого существует многочлены g(x ), r (x ) R[x] такие, что для всех t R
31
13
5
4
7
5
7 sin t 8 sin t 5sin t cos t 10 sin t 5sin t 2
4
2
g(sin t )(sin t (1 sin t )(cos t 2)) f (sin t ) .
7. При делении многочлена x
1951
4
3
2
1 на x x 2x x 1 получается
14
частное и остаток. Найти в частном коэффициент при x .
п.7.Алгоритм Евклида.
1. Найти наибольший
f (x ), g(x ) Q[x]:
5
4
4
3
общий
делитель
3
4
следующих
3
многочленов
2
1.1. f ( x ) x x x 2x 1 , g ( x ) 3x 2x x 2x 2 ;
2
3
2
1.2. f ( x ) x x 3x 4x 1, g ( x ) x x x 1 ;
6
4
5
4
6
4
3
5
3
2
1.3. f ( x ) x 7x 8x 7x 7 , g ( x ) 3x 7x 3x 7 ;
3
2
4
3
2
1.4. f ( x ) x 2x x 7x 12x 10 , g ( x ) 3x 6x 5x 2x 2 ;
3
2
5
2
1.5. f ( x ) x 2x 4x 3x 8x 5 , g ( x ) x x x 1 .
87
2. Найти наибольший
f (x ), g(x ) Z 5 [x]:
5
4
3
4
3
2
общий
делитель
следующих
4
3
многочленов
2
2.1. f ( x ) x x 4 x 3 x 4 , g( x ) 3 x 2 x x 2 x 3 ;
3
2
2.2. f ( x ) x x 2 x x 4 , g( x ) x x 4 x 4 ;
6
4
5
4
3
5
3
2
2.3. f ( x ) x 2 x 3 x 2 x 2 , g( x ) 3x 2 x 3 x 2 ;
3
2
4
3
3
2
3
2
2.4. f ( x ) x 2 x x 2 x 2 x , g( x ) 3 x x 2 x 2 .
3. Пользуясь алгоритмом Евклида, найти такие многочлены m1( x ) и m2 ( x ) ,
что m1( x ) f ( x ) m2 ( x ) g( x ) нод( f ( x ), g( x )) для следующих многочленов
f (x ), g(x ) Q[x]:
5
4
3
4
3.1. f ( x ) x x x 2x 1 , g ( x ) 3x 2x x 2x 2 ;
4
3
2
5
4
3
6
5
5
4
4
3.2. f ( x ) x 2x x 4x 2 , g ( x ) x x x 2x 2 ;
2
4
3
3.3. f ( x ) x 3x x x 3x 1, g ( x ) x 2x x 2 ;
4
3
2
3.4. f ( x ) x 4x 11x 27x 37x 35x 35 ;
3
2
g ( x ) x 3x 7x 20x 10x 25 .
4. Пользуясь алгоритмом Евклида, найти такие многочлены m1( x ) и m2 ( x ) ,
что m1( x ) f ( x ) m2 ( x ) g( x ) нод( f ( x ), g( x )) для следующих многочленов
f (x ), g(x ) Z 5 [x]:
5
4
3
4
3
2
4
3
2
4.1. f ( x ) x x 4 x 3 x 4 , g( x ) 3 x 2 x x 2 x 3 ;
3
2
4.2. f ( x ) x x 2 x x 4 , g( x ) x x 4 x 4 ;
6
4
5
4
3
5
3
2
4.3. f ( x ) x 2 x 3 x 2 x 2 , g( x ) 3x 2 x 3 x 2 ;
3
2
4
3
4.4. f ( x ) x 2 x x 2 x 2 x , g( x ) 3 x x 2 x 2 .
5. Доказать, что многочлены f (x ), g(x ) Q[x] взаимно просты, найти такие
многочлены m1( x ) и m2 ( x ) , что m1( x ) f ( x ) m2 ( x ) g( x ) 1:
3
2
2
5.1. f ( x ) 3x 2x x 2 , g ( x ) x x 1;
4
3
2
2
5.2. f ( x ) x x 4x 4x 4 , g ( x ) x x 1;
5
4
3
2
3
2
5.3. f ( x ) x 5x 2x 12x 2x 12 , g ( x ) x 5x 3x 17 ;
4
3
2
3
2
5.4. f ( x ) 2x 3x 3x 5x 2 , g ( x ) 2x x x 1.
6. Доказать, что многочлены f (x ), g(x ) Z 5 [x] взаимно просты, найти такие
многочлены m1( x ) и m2 ( x ) , что m1( x ) f ( x ) m2 ( x ) g( x ) 1:
3
2
2
6.1. f ( x ) 3 x 2 x x 2 , g( x ) x x 1 ;
88
4
3
2
2
6.2. f ( x ) x x x x 1 , g( x ) x x 1 ;
5
3
2
3
6.3. f ( x ) x 2 x 2 x 2 x 2 , g( x ) x 3 x 2 ;
4
3
2
3
2
6.4. f ( x ) 2 x 3 x 3 x 2 , g( x ) 2 x x x 1 .
7. Доказать, что:
2n
7.1. Многочлен ( x 1) x
Найти частное от деления.
2n
2x 1 , где nN, делится на x(x 1)(2x 1) .
n 1
n
2
7.2. Многочлен nx
( n 1)x 1 , где nN, делится на ( x 1) . Найти
частное от деления.
п.8. Неприводимые над полем многочлены.
1. Найти все обратимые элементы колец Q[x], R[x], C[x], Z 3 [x], Z 5 [x].
2. Выписать все многочлены ассоциированные с многочленом f (x ) :
2
2.1. f ( x ) x 2x 1 в Q[x], R[x], C[x];
3
2.2. f ( x ) x 1 в Z 3 [x], Z 5 [x].
3. Найти все тривиальные делители многочлена f (x ) :
2
3.1. f ( x ) x 2x 1 в Q[x], R[x], C[x];
3
3.2. f ( x ) x 1 в Z 3 [x], Z 5 [x].
4. Пусть P- поле. Доказать, что каждый многочлен первой степени из P[x]
неприводим в кольце P[x].
5. Какие из данных многочленов приводимы (неприводимы) в Q[x], R[x],
C[x]:
0,1,1,2,3, ,1999,2x 2, 5 x 7 ,7x 5 .
6
8
12
6. Пусть P- поле. Доказать, что каждый многочлен первой степени из P[x]
имеет корень в поле P.
7. Пусть P- поле. Найти необходимые и достаточные условия, чтобы многочлен второй степени из P[x] был неприводим (приводим) в кольце P[x].
8. Какие из данных многочленов приводимы (неприводимы) в Q[x], R[x],
C[x]:
2
2
2
2
2
2
2
2x 1, 2x 1, x 2, x 4x 3, 3x 4x 5, x , 2x 2x 1 .
2
9. Пусть P- поле. Найти необходимые и достаточные условия, чтобы многочлен третьей степени из P[x] был неприводим (приводим) в кольце P[x].
10. Какие из данных многочленов приводимы (неприводимы) в Q[x], R[x],
C[x]:
3
3
3
3
x , x 1, x 1, x 2 .
11. Найти все неприводимые и неприводимые многочлены второй и третьей
степени:
89
11.1. в Z 2 [x];
11.2. в Z 3 [x].
12. Для следующих многочленов найти каноническое разложение на неприводимые множители в Q[x], R[x], C[x]:
2
2
2
2
2
2
6
2
8
2x 1, 2x 1, x 2, x 4x 3, 3x 4x 5, x ,2x 2x 1 , x 1, x 1.
2
13. Для приводимых многочленов из задачи 11 найти каноническое разложение на неприводимые множители в соответствующем кольце.
14. Определить:
3
14.1. при каком nZ многочлен x n приводим в Q[x] ?
3
14.2. при каких n, mZ многочлен mx n приводим в Q[x] ?
15. Доказать, что (n) - число всех неприводимых многочленов степени n в
кольце GF (q)[x ] вычисляется по формуле
п.9. Схема Горнера и формальная производная.
1. Найти частное и остаток при делении:
4
3
2
4
3
2
1.1. x 2x 4x 6x 8 на x 1;
1.2. x 3x 3x 5x 7 на x 1.
2. Вычислить f ( x 0 ) :
4
3
2
2.1. f ( x ) x 3x 6x 10x 16 R [x ], x0 4 ;
5
4
2
2.2. f ( x ) x (1 2i )x (1 3i )x 7 C [x ], x0 2 i ;
4
3
4
3
4
3
2
2.3. f ( x ) x 2 x 2 x x 1 Z3[x ], x0 2 ;
2
2.4. f ( x ) x 3 x x 2 x 4, x0 4 .
3. Пользуясь схемой Горнера разложить многочлен f (x ) по степеням x x 0 :
2
3.1. f ( x ) x 3x 6x 10x 16 R [x ], x0 4 ;
5
4
2
3.2. f ( x ) x (1 2i )x (1 3i )x 7 C [x ], x0 2 i ;
4
3
4
3
2
3.3. f ( x ) x 2 x 2 x x 1 Z3[x ], x0 2 ;
2
3.4. f ( x ) x 3 x x 2 x 4, x0 4 .
4. Пользуясь схемой Горнера разложить на простейшие дроби:
3
4.1. x 2x 3 ;
( x 2)
4
3
4.2. x 2x 3x 4 .
5
( x 1)
5
6. Вычислить значения всех производных многочлена f (x ) в точке x 0 :
4
3
2
6.1. f ( x ) x 3x 6x 10x 16 R [x ], x0 4 ;
5
4
2
6.2. f ( x ) x (1 2i )x (1 3i )x 7 C [x ], x0 2 i ;
п.10. Кратные множители и кратные корни.
90
2
1. Определить a R так, чтобы многочлен x ax
n 1
ax 1 делился на
2
( x 1) .
п.11. Симметрические многочлены.
1. Будут ли следующие многочлены симметрическими ?
3
3
3
1.1. x 1 x 2 x 33x1x2 x3 ;
2
2
2
1.2. (x1 x2 ) (x1 x3 ) (x2 x3 ) ;
1.3. (x1 x2 x3 x4 )(x1 x2 x3 x4 )(x1 x2 x3 x4 ) ;
1.4. (x1 x2 )(x1 x3 )(x2 x3 ) .
2. Найти «наименьший» симметрический многочлен:
2
2.1. от 2- х переменных, содержащий одночлен x 1x 2 ;
2
2.2. от 3- х переменных, содержащий одночлен x 1x 2 ;
3 2
2.3. от 3- х переменных, содержащий одночлен x 1x 2 x3 ;
3 2
2.4. от 4- х переменных, содержащий одночлен x 1x 2 x3 .
3. Выписать все элементарные симметрические многочлены от 2, 3, 4 переменных.
4. Проверить непосредственным вычислением справедливость следующих
частных случаев формулы Ньютона.
n
n
n
n
4.1. Для симметрических многочленов sn x1 x 2
sn 1sn 1 2 sn 2 , n 2 .
Составить таблицу для выражения sn через 1, 2 .
n
4.2. для симметрических многочленов sn x1 x 2 x 3
sn 1sn 1 2 sn 2 3sn 3 , n 3.
Составить таблицу для выражения sn через 1, 2 , 3 .
5. Симметрический многочлен наименьшей степени от 3- х переменных
k l m
x1, x 2 , x3 , одним из слагаемых которого является одночлен x1 x 2 x 3 , называk l m
ется орбитой этого одночлена о обозначается O( x1 x 2 x 3 ) .
3 2
2
5.1. Вычислить орбиты O(x1 ) , O( x 1x 2 x3 ) , O( x1 x 2 ) .
5.2. Доказать, что
k l
k
l
k l
O( x1 x 2 ) O( x1 )O( x1) O( x1
5.3. Доказать, что
) , где k l .
k k
k 2
2k
O( x1 x 2 ) 1 (( O( x1 )) O( x 1 )) .
2
91
5.4. Выразить через элементарные симметрические многочлены 1, 2 ,3 от
трёх переменных x1, x 2 , x3 следующие многочлены:
2
3
5.4.1. O( x1x 2 ) ; 5.4.2. O( x 1x 2 ) ; 5.4.3. O( x 1x2 ) ;
2 2
4
3 2
5.4.4. O( x 1x 2 ) ; 5.4.5. O( x 1x 2 ) ; 5.4.6. O( x 1x 2 ) ;
5
4 2
3 3
5.4.7. O( x 1x2 ) ; 5.4.8. O( x 1x 2 ) ; 5.4.9. O( x 1x 3) .
6. Выразить следующие многочлены через элементарные симметрические
многочлены:
3
3
3
4
4
4
6.1. x 1 x 2 x 33x1x2 x3 ;
3 3 3
2 2
2 2
2 2
6.2. x 1 x 2 x 32 x 1x 2 2x 1x 32x 2 x 3 ;
2 2
2 2
2 2
6.3. x 1 x 2 x 32 x 1x 2 2 x 1x 32 x 2 x 3 ;
5 2 5 2 5 2 5 2 5 2 5 2
6.4. x1x 2 x1x 3 x 2 x 1 x 2 x 3 x 3x 1 x 3x 2 .
7. Решить предыдущую задачу методом, применённым при доказательстве
основной теоремы о симметрических многочленах.
8. Решить задачу №6 методом неопределённых коэффициентов.
п.12. Формулы Виета.
1. Перемножить:
1.1. (x 2)(x 3) ;
1.2. (x 2)(x 3) ;
1.3. (x 1)(x 2)(x 3) ;
1.4. (x 1)(x 2)(x 3)(x 4) .
2. Выразить следующие многочлены через элементарные симметрические
многочлены:
2.1. (x1 x2 )(x1 x3 )(x2 x3 ) ;
2
2
2
2
2
2
2.2. (x 1 x 2 )(x 1 x 3)(x 2 x 3) ;
2.3. (2x1 x2 x3 )(2x2 x1 x3 )(2x3 x1 x2 ) ;
2.4. ( x1 x2 x3 )( x1 x2 x 4 )( x1 x3 x 4 )( x2 x3 x 4 ) .
п.13. Многочлены над полем комплексных чисел.
1. При каких nN выполнено условие:
2
n
n
2
n
n
1.1. x x 1|( x 1) x 1 ?
1.2. x x 1|( x 1) x 1 ?
2
2
n
n
2
2
n
n
2
3
n
n
1.3. ( x x 1) |( x 1) x 1 ?
1.4. ( x x 1) |( x 1) x 1 ?
1.5. ( x x 1) |( x 1) x 1 ?
92
2
2. Найти все пары (m, n) N такие, что
2
m
n
1 x x x |1 x x
3. Доказать
2
2n 1
2
n
3.1. x x 1|( x 1)
2n
x
x
mn
.
n 2
3.2. x 2x cos 1| x sin x sin n sin( n 1) , n 1,sin 0 .
n 1
n
Многочлен f ( x ) x f n 1x
f1x f 0 R[x], f (z ) 0 для любых
z R. Доказать, что f ( x ) представим в виде суммы квадратов двух многочленов из R[x].
4
4
4
Пусть f , g, h многочлены из C[x] такие, что f g h . Доказать, что
многочлены f , g, h являются комплексными постоянными.
п.14. Многочлены над полем действительных чисел.
n 1
n
n 2
Многочлен x f n 1x
f 2x
f1x f 0 , где
f n 1, f n 2 ,, f1, f 0 0 не может иметь двух положительных корней.
n
Доказать, что многочлен f (x ) f n x f1x f 0 имеет хотя бы один дейf
f
ствительный корень, если f 0 1 n 0 .
2
n 1
Доказать, что если все корни многочлена f ( x ) C[x] лежат в верхней полуплоскости, то и все корни его производной f ( x ) тоже лежат в верхней полуплоскости.
Доказать, что если все корни многочлена f ( x ) лежат в выпуклом многоугольнике натянутом на корни многочлена f ( x ) C[x].
Доказать, что всякий ненулевой многочлен с положительными коэффициентами, являющейся чётной функцией, всюду вогнут и имеет только одну
точку экстремума.
Доказать, что всякий многочлен нечётной степени n 3 имеет хотя бы одну
точку перегиба.
Найти коэффициенты a , b, c R, если известно, что корни многочлена
5
4
3
2
x 10x ax bx cx 32
действительны и положительны.
п.15. Целые и рациональные корни многочлена с рациональными коэффициентами.
1. Пусть
p
- несократимая дробь являющаяся корнем многочлена
q
f (x ) Z[x]. Доказать, что p kq| f (k ) для любого k Z.
2
2
2. Доказать, что ( x a ) ( x b) 1 неприводим в Z[x], для любых a , b Z.
93
3. Пусть f , g Z[x], все коэффициенты многочлена fg чётны, но не все из
них делятся на 4. Доказать, что в одном из многочленов все коэффициенты
чётны, а в другом хотя бы один из коэффициентов нечётен.
2
4. Сколько существует пар ( p, q) N , p, q 100 для которых многочлен
5
x px q имеет рациональный корень?
2
2
5. Если многочлены x p1x q1, x p2 x q2 Z[x] имеют общий корень
Z, то p1 p2 , q1 q2 .
п.16. Интерполяционные формулы.
1. Пусть f (x ) P[x ] , a , b, c P - попарно различны, многочлен f ( x ) при делении на x a даёт в остатке A , при делении на x b даёт в остатке B , при
делении на x c даёт в остатке C . Чему равен остаток при делении f ( x ) на
( x a )( x b)( x с) ?
п.17. Формулы Кардано.
1. Найти корни многочлена f ( x ) C[x] :
3
1.1. f ( x ) x 6x 9 ;
3
1.2. f ( x ) x 12x 63 ;
3
2
3
2
3
2
1.3. f ( x ) x 9x 18x 28 ;
1.4. f ( x ) x 6x 6x 5 ;
1.5. f ( x ) x 6x 30x 25 ;
3
1.6. f ( x ) x 6x 4 .
п.18. Метод Феррари.
1. Найти корни многочлена f ( x ) C[x] :
4
3
2
4
3
2
1.1. f ( x ) x 2x 2x 6x 15 ;
1.2. f ( x ) x 2x 2x 4x 8 ;
4
3
2
1.3. f ( x ) x x x 2x 2 ;
4
3
2
4
3
2
4
3
2
1.4. f ( x ) x 4x 3x 2x 1;
1.5. f ( x ) x 2x 4x 5x 5 ;
1.6. f ( x ) x 2x 7x 8x 1 ;
4
2
1.7. f ( x ) x 2 7x x 7 7 .
94
2. Известно, что многочлен
4
3
2
f ( x ) x ( 2)x ( 2 )x (3 4)x 2 3
имеет корень, не зависящий от , . Найдите этот корень. Найдите все такие
числа , , что f ( x ) равен квадрату квадратного трёхчлена.
РАЗДЕЛ 6. Изменения в рабочей программе, которые произошли после
утверждения программы.
Характер изменений в программе
Номер и дата протокола заседания кафедры, на котором было
принято данное решение
Подпись заведующего кафедрой,
утверждающего внесенное изменение
Подпись декана факультета (проректора
по учебной работе),
утверждающего данное
изменение
РАЗДЕЛ 7. Учебные занятия по дисциплине ведут:
Ф.И.О., ученое звание и степень преподавателя
Маренич А.С.
к.ф.-м.н., доцент
Богомолов Р.А., к.ф.-м.н.,
доцент
Богомолов Р.А., к.ф.-м.н.,
доцент
Жарких А.А., к.т.н., доцент
Учебный год
Факультет
Специальность
2008-2009
ПМПЭ
ПМИ
2010-2011
ФМОИП
ПМИ
2011-2012
ФМОИП
ПМИ
2012-2013
ФМОИП
ПМИ
95