F - сила, т - масса тела, а

169
справочник школьника
11.
ОСНОВЫ ДИНАМИКИ
1.
Законы Ньютона
Динамика изучает причины изменения скорости дви­
жения тел. В основе динамики лежат три закона Ньютона.
Первый закон Ньютона - закон инерции. Всякое тело
сохраняет состояние
покоя или
равномерного
прямоли­
нейного движения до тех пор, пока на него не действует
сила или действие всех сил скомпенсиро~но. ПерJ?..ЫЙ
закон Ньютона записывают в виде формулы:
R
= О, где R -
равнодействующая сила, которая находится как геометри­
ческая сумма всех сил: R= F1 + Fi + · · · + F,,, или ,LF = о, где
«,L» - знак суммы.
F-
Математическая запись
11 закона
Ньютона:
сила, т - масса тела, а - ускорение.
F = та,
Если на тело действуют несколько сил, то
11
где
закон
записывается так: R = таили ,LF = та, где знак «2:» - знак
суммы.
Третий закон Ньютона:
F1 = -
~' то есть
«Всякому действию всегда есть равное и противопо­
ложно направленное противодействие».
Алгоритм решения задач на
1)
11 закон
Ньютона.
Внимательно прочитайте условие задачи и выясните
характер движения.
2)
Запишите условие задачи, выразив все величины в
единицах СИ.
3)
Сделайте чертеж с указанием всех сил, действующих на
4)
Запишите уравнение второго закона Ньютона в вектор­
тело, вектора ускорения и системы координат.
ном виде.
5)
Запишите основное уравнение динамики (уравнение
второго закона Ньютона) в проекциях на оси координат
с учетом направления осей координат и векторов.
решение типовых задач по физике
170
6)
Найдите все величины, входящие в эти уравнения.
7)
Подставьте их в уравнения.
Решите задачу в общем виде, то есть решите уравнение
или систему уравнений относительно неизвестной вели­
8)
9)
Проверьте размерность.
Получите численный результат и соотнесите его с реаль­
чины.
ными значениями величин.
Задача 1. Справедлив ли закон инерции для системы
отсчета, связанной с автобусом, который:
а) набирая скорость, отходит от остановки;
б) тормозит, подъезжая к остановке;
в) движется с постоянной скоростью на прямолиней­
ном участке пути;
г) движется по криволинейному участку пути.
Решение:
Закон инерции справедлив только для случая в). В этом
случае система отсчета, связанная с автобусом, является
инерциальной. В остальных случаях система отсчета не­
инерциальная, так как в ней можно наблюдать неравно­
мерные и криволинейные движения тел, хотя на них не
действуют другие тела. Например, при остановке пассажи­
ры наклоняются вперед; на криволинейном участке пути
наклоняются в сторону.
Задача
2.
нувшись,
Как объяснить, что бегущий человек, спотк­
падает
поскользнувшись,
в
направлении
падает
в
своего движения,
направлении,
а
противопо­
ложном направлению своего движения?
Решение:
Это явление легко объясняется на основании первого
закона Ньютона. Бегуший человек, споткнувшись, падает
в направлении своего движения, потому что при этом ноги
человека замедляют движение, а туловище сохраняет по
инерции прежнее состояние движения. Поскользнувшись,
туловище человека по инерции сохраняет прежнее состоя­
ние движения, в то время как ноги начинают скользить
вперед быстрее, поэтому чел~век падает назад.
справочник школьника
171
Задача З. Парашютист падает с постоянной по модулю
скоростью. Чему равен модуль силы сопротивления
воздуха при этом движении?
Решение:
Движение парашютиста равномерное и прямолиней­
ное, поэтому, на основании первого закона Ньютона, все
силы, действующие на парашютиста, компенсируются. Так
как парашютист движется под действием силы тяжести, то
сила сопротивления воздуха по модулю равна силе тяжести
парашютиста и противоположно направлена.
Задача 4. Определить массу шара, если при столкно­
вении с шаром массой 1 кг он получает ускорение
0,4 м/с 2 • Ускорение движущегося шара 0,2 м/с 2 •
Да110:
т1
= 1 кг;
о 1 = 0,2 м/с2 ;
о2 = 0,4 м/с 2
Найти:
т2 -
?
Решение:
При взаимодействии тел:
о1
т2
02
т1
о1
•
т1
-=-=>m2=-02
Вычислим массу неизвестного шара:
о
2. 1
т2 =~=0,5кг.
'
Ответ: т 2 =
0,5
кг.
Задача 5. Как направлено ускорение самолета, если
на него действуют четыре силы: по вертикали - сила
тяжести 200 кН и подъемная сила 210 кН; по горизон­
тали - сила тяги мотора 20 кН и сила лобового сопро­
тивления воздуха 1О кН. Чему равна равнодействующая
всех сил?
Дано:
F 1 = 200 кН = 200 · 103 Н = 2 · 105 Н;
F2 = 210 кН = 2,1·105 Н;
решение типовых задач по физике
172
F3 = 20 кН = 2 · 104 Н,
F,, = 10 кН = 104 Н
Найти:
R-?
у
Решение:
Чтобы найти равнодействующую
всех сил, необходимо определить рав­
нодействующую силу по вертикали и по -~о-1-~-+-...~---­
горизонтали,
как
равнодействующую
сил, направленных по одной прямой.
По вертикали (вдоль оси Оу) равнодействующую R1 наt'щем:
R1 = F2 - F"
R 1 =2,1·10 5
-
2 · 10 5 = (2,1 - 2)- 105 = 104 Н
По горизонтали (ось Ох):
Fз
R2 =
- F,,;
R2 = 2 · 104 - 104 = (2 - 1) · 104 = 104 Н.
Найдем равнодействующую всех сил, пользуясь пра­
вилом параллелограмма:
Модуль силы
R
R= R1 + R2•
вычислим с помощью теоремы Пифа­
гора:
R=Vlf.+~
R
= V(I04)2 + (10 4) 2 = ~ =
1,4. 104 Н.
Ответ: Равнодействующая всех сил направлена под углом
45° к горизонту R = 1,4 · 104 Н.
Задача
6. Шарик массой 1ООО г движется с ускорени­
ем 0,5 м/с 2 • Определите силу, действующую на шарик.
Дано:
т = 1000 r = 1 кг;
а= 0,5 м/с 2
Найти:
F-?
Решение:
Шарик под действием силы F движется равноускорен­
но. По второму закону Ньютона:
173
справочник школьника
F=ma
Вектор ускорения всегда совпадает с направлением
вектора действующей силы, поэтому если ось Ох направить
по направлению движения (или вдоль направления сил:ы),
то проекции векторов силы и ускорения будут положите.ТJЬ­
ны и равны их модулям, то есть
F,
=
F,
а,= а.
Отсюда F = та
F = [кг· м/с 2 = Н].
F= 1·0,5=0,5 Н.
Ответ: F = 0,5 Н.
Задача 7. Максимальная сила тяги локомотива 400 кН.
Какой массы состав он может привести в движение с
ускорением 0,2 м/с 2 ?
Дано:
F= 400 кН
=
4 · 105 Н;
а= 0,2 м/с 2
l/айти:
т-?
Решение:
Сила тяги сообщает локомотиву ускорение, направ­
ленное так же, как и сама сила, поэтому если направить
ось Ох по направлению силы тяги, то проекции силы и
ускQРения будут положительны. Из второго закона Ньюто­
на: F
та, получим:
=
т = .f. т =
[_!!_
=
кг · м · с? = кгl
а'
м!с?
с? · м
4 . 105
т = - - = 20 . 105 = 2000 т
0,2
Ответ: т = 2000 т.
Задача
J
8. При посадке реактивный самолет ТУ-104
массой 50 т движется с ускорением 6 м/с 2 • Найти силу
торможения.
Даио:
т = 50 т = 50000 кг = 5 · 104 кг;
а= 6 м/с 2 ;
174
решение типовых задач по физике
Найти:
Fтr-?
Решение:
Движение
медленное,
-
самолета равноза­
под действием
силы
грения (или силы торможения).
а
-v
t О t, х
;;;7,.;;d;/r//ff;
,
/
F
Согласно чертежу, если ось Ох mp
направить по движению самолета,
то направление векторов силы тре-
ния и ускорения будет противоположно направлению оси
Ох. Следовательно, проекции силы и ускорения будут
равны:
= - F; йх = -а.
_
По второму закону Ньютона F
та.
f'x
=
Для проекции на ось Ох это уравнение примет вид:
-Fтr =-та или Fтr =та.
Найдем модуль силы трения:
Fтr = 5 · 104 • 6 = 30 · 104 = 3 • 105 = 300 · 103 = 300 кН.
Ответ: Fтр =
300
кН.
Задача 9. Под действием силы в 20 Н материальная
точка движется с ускорением 0,4 м/е 2 • С каким ускоре­
нием будет двигаться точка под действием силы в
Н?
50
Дано:
F1 =20 Н;
а 1 = 0,4 м/с 2 ;
F2 =50H
Найти:
а-?
Решение:
Движение материальной точки является равноуско­
ренным. По второму закону Ньютона можно определить
массу материальной точки. Проекции векторов силы и
ускорения положительны, если ось Ох направить по движе­
нию материальной точки, поэтому:
F1
175
справочник школьника
После действия на эту же материальную точку силы F2
она приобретает ускорение а2 , поэтому во втором случае
v
масса материальнои точки т
F1
F2
01
02 [
- =-
Следовательно,
0,4. 50
-W- =
о2
F,.
или г
.
о 1 • F2
Отсюда. о2 = ~; о =
о2 =
F2
= -.
2
м/с
rz
·
Н
о1
= -.
Н
02 ]
м
= с2
2
1 м/с .
Ответ: а2 = 1 м/с 2 •
Задача 1О. На рисунке дан график изменения скорости тела v.~
массой 3 кг. Найдите силу, дей­
ствующую на тело на каждом 20
этапе движения.
10
Дано:
т =
с
O---t--+-~--
3 кг
10 20 30 t,c
Найти:
Fi-?
Fz - ?
Fз - ?
Решение:
Силу, действующую да тело, можно определить по
второму закону Ньютона F
та.
=
Для определения силы по rрЦ.фику движения нужно
найти ускорение.
Участок ОА: Скорость увеличивается в течение
следовательно, движение равноускоренное, а
О.
>
Из графика видно, что
а1 =
v
t'
20
а 1 = ТО =
2
Следовательно,
v0 =
10
с,
О, следовательно:
2
м/с .
=
=
F1 3 · 2 6 Н.
Участок АВ: Следующие 15 с скорость тела не изме­
нялась, следовательно: v = const ~ а
О, F2
О.
=
=
Участок ВС: В течение 5 с скорость тела уменьшается,
движение равнозамедленное, а
О.
<
решение типовых задач г.ю физике
176
Найдем ускорение: а3
аз
-vв
= -fз·,
аз
20
= - -5 = -
v -v
= ..!:..____!!_, но
13
vc = о, следовательно
2
4 м/с .
Тогда:
F; = та3 ; F; = - 3 · 4 = -12
Ответ:
Н.
F1 = 6 Н; F2 =О; F3 = -12
Н.
Задача 11. На покоящееся в начальный момент тело
массой 0,2 кг действует в течение 5 с сила 1 Н. Какую
скорость приобретет тело и какой путь пройдет оно за
указанное время?
Дано:
т =
0,2 кг;
t = 5 с;
F= 1 Н,
v11
=О
l/айти:
v-?
S-?
Решение:
Тело движется равноускоренно. Сила сообщает этому
телу ускорение, направленное так же, как и сама сила. По
второму закону Ньютона можно определить ускорение
тела:
-
F
а=-.
т
Если направить координатную ось Ох вдоль направле­
ния силы, то проекции векторов силы и ускорения будут
положительны. Тогда в скалярной форме уравнение имеет
вид: а= f...
т
Скорость тела можно определить по формуле:
v= ii() + т, но v
0
=О, отсюда
v = at.
Путь, пройденный этим телом:
- - ar
at
S= 1.\1t+ Т => S= Т·
Подставляя в формулы для определения
а, получаем:
v и S значение
177
справочник школьника
v = !..:__!_
т
[!!..:..!..
= ~]
.
кг
с '
.
F.
[н с?
S=-- - - =
r
2т
кг
1.5
v = - - = 25
0,2
1 . 52
кг . м . с?с?· кг
]
=м
м/с
25
s = ГО2 = 04 = 62,5 м
'
'
Эту задачу можно было решить и в два этапа, опре­
делив сначала ускорение движения, а затеw скорость и
перемещение.
v = 25
Ответ:
м/с;
S = 62,5
м.
Задача 12. Найти величину тормозящей силы, дейст­
вующей на автомобиль массой 3 т, если при скорости
движения 20 м/с тормозной путь был равен 40 м.
Дано:
т = Зт = 3000 кr = 3 · 103 кr;
v0 = 20 м/с;
v=O;
S= 40 м;
а<О
Найти:
Fтr>-?
Решение:
Движение автомобиля равнозамедленное, направле­
ние ускорения
совпадает с направлением тормозящей
силы. Если ось Ох направить по направлению движения, то
векторы силы и ускорения направлены противоположно
координатной оси. Воспользуемся вторым законом Нью­
тона: F= та.
В скалярной форме уравнение примет вид:
-Fтr> =-та, откуда Fтr> = та.
Для определения ускорения движения воспользуемся
формулами кинематики:
v= v;; + т
-
S=
ar
%t+2
решение типовых задач по физике
178
С учетом данных задачи составим систему из двух
уравнений и решим ее относительно неизвестного ускоре-
ния.1т:: :а-к0: =О!;:~
ч,t -
S=
J
0
=>
s = : . 3! _ а · ifi = ~ _ ifi
11
а
а
2J
2а
=
2tfi - ifi = ifi
2а
2а
следовательно
ifi
а= 2S
Найти ускорение можно более простым способом, если
2
2
применить формулу S = v ~ 1.\J.
Общая формула решения задачи:
mifi
Fmp = 2s·
Проверим размерность:
Fтр = [кг ·:21 с2 = кг~ м = н].
Вычислим величину тормозящей силы-:-
3000 . 202
Fmp = 2 . 40
=
3000 . 400
2 . 40 = 15000 Н = 15 кН.
Ответ: Тормозящая сила~ действующая на автомобиль,
равна 15 кН.
Задача 13. Лыжник массой 60 кг в конце спуска при­
обрел скорость 15 м/с. Через сколько времени он
остановится, если сила трения равна 30 Н?
Дано:
т
= 60 кг;
v0 = 15
v=
м/с;
О;
Fтр =
30
Н
Найти:
t-?
Решение:
Движение лыжника является равнозамедленным, при
котором направления силы и ускорения совпадают.
179
справочник школьника
Ускорение движения лыжника
можно опредеЛИ'Q> из второго зако-
:~~ыотона: "ii= ~или в скалярном
.
F
F
-а= -т. а=т·
-
__о.
:!
,
W~/;;»~/,Щ;;;
Fmpk
va
0
так как проекции силы и ускорения на ось Ох:
F.. = - F; а. = -а.
Для нахождения времени остановки воспользуемся
формулой скорости равнозамедленного движения:
v = 1{, - at.
Но по условию задачи v = О, следовательно
О
= v - at,
о
откуда
v = at • t = -Ч1
0 ·
о
В общем виде решение задачи:
ч,·т
[м!с·кг м·кгс?]
t = ---р-; t = -----и- = с . кг . м = с .
Вычислим время остановки:
15 . 60
t=~=ЗОс.
Ответ: Время остановки лыжника
30
секунд.
Задача 14. К пристани причаливают две одинаковые
лодки. Лодочники подтягиваются к берегу с помощью
веревок. Противоположный конец первой верески при­
вязан к столбу на пристани; за противоположный конец
второй веревки тянет матрос, стоящий на пристани.
Все трое прилагают одинаковые усилия. Какая лодка
причалит раньше?
Реше11ие:
Обе лодки причалят одновременно. По третьему зако­
ну Ньютона каждому действию есть равное противодейст­
вие. С какой силой лодочники тянут за один конец веревки,
с такой же силой второй конец веревки действует на столб
и на матроса. Другими словами, столб «тянет» конец верев­
ки;; так.?й же силой, с какой ее тянет (удерживает) матрос,
ст6ящии на пристани.
решение типовых задач по физике
180
2.
Силы упругости
ции
тела
и
силы, возникающие при деформа­
направленные
деформации.
или
-
Силы упругости
При
в
сторону,
противоположную
небольших деформациях растяжения
сжатия силу упругости
можно определить по закону
Гука: Fупр = -kx, где х - удлинение тела, k- коэффициент
пропорциональности, названный жесткостью тела, Fупр модуль силы упругости. Знак «минус» в законе означает,
что сила упругости всегда направлена в сторону, противо­
положную деформации.
Единицы измерения жесткости
тела в СИ: 1 Н/м.
Силу упругости,
возникающую при деформации
опоры, называют силой реакции опоры и обозначают бук­
вой N. Силу упругости, возникающую при деформации
нити или каната, называют силой натяжения нити (каната)
и обозначают буквой Т.
Задача 1. Гиря стоит на столе. Какие силы уравнове­
шиваются?
Решение: На основании третьего закона Ньютона сила
тяжести, действующая на гирю, уравновешивает
силу реакции опоры (или силу упругости стола).
Задача
ные
2.
С одинаковой ли силой сжимаются буфер­
пружины
при
столкновении
двух
вагонов,
если
жесткость пружин буферов одинаковая? Что изменит­
ся, если один из соударяющихся вагонов находится в
этот момент в покое? Что изменится, если один вагон
груженый, а второй порожний?
Решение:
При одинаковой жесткости пружины буферов будут
сжиматься одинаково у каждого вагона. Это вытекает из
третьего закона Ньютона. Если один из вагонов в момент
удара находится в покое или один из вагонов груженый, а
второй порожний, то результат не изменится - пружины
будут сжиматься одинаково, так как силы взаимодействия
одинаково действуют на каждое из вз·аимодействующих
тел.
181
справочник школьника
Задача 3. На сколько удлинится пружина под нагруз­
кой 12,5 Н, если под нагрузкой в 10 Н пружина удлини­
4
лась на
см?
Да110:
F 1 = 10 Н;
= 4 см = 4. 10 2 м,
х,
F2 = 12,5
Н
Найти:
Решение:
При растяжении пружины возникает сила упругости,
д.1я которой справедлив закон Гука:
Fyпr
= -kx.
При изменении нагрузки увеличивается сила упругос­
ти и, следовательно, удлинение пружины. Жесткость пpy­
жины можно определить по формуле: k
IF. 1
= ~.
х
Знак «минус» в формуле опускается, так как берется
модуль силы.
Тогда
F,
k= -.
х,
F
Определим удлинение пружины~= :.
В общем виде ~ешение задачи:
~=
F1 ;
~=
12 5 . 4 . 10- 2
' 10
= 5 . 10-2 м = 0,05 м = 5 см
1
Х1; ~ = l!f~ М = м] .
Ответ: Пружина удлинилась на
Задача
4.
Какой груз нужно подвесить к пружине,
жесткость которой
1ООО
см?
Дано:
/
k = 1000 Н/м = 103 Н/м,
х
= 10 см= 10- 1 м = 0,1 м
Найти:
т-?
5 см.
Н/м, чтобы растянуть ее на
1О
решение типовых задач по физике
182
Решение:
При растяжении пружины возникают силы упругости,
для которых справедлив закон Гука.
Fyrip = -kx.
По третьему закону Ньютона сила упругости равна весу
тела, то есть Fупр = Р.
Груз, подвешенный на нити, находится в wжое, сле­
довательно, вес груза равен силе тяжести, то есть Р
Или Рупр = тg:
= mg.
Если направить координатную ось Ох вниз, то проек-
ция силы тяжести
mgx
= mg, а Fупр х = - Fупр·
Тогда можно написать:
kx = mg, где g - ускорение свободного падения.
Откуда
т = kx; т = [н. м . г- = кг . м. с =кг].
м·м
g
с ·м
Подставляя данные задачи, получим:
т=
103 • 10-•
-= 10кг.
9, 8
Ответ: Груз массой т
: : : : 10 кг.
Задача 5. Грузовик взял на буксир легковой автомо­
биль «Волга» массой т = 2 т и, двигаясь равноускорен­
но, за
50
с проехал путь
400
м. На сколько удлинился
при этом трос, соединяющий автомобили, если его
жесткость 2 • 106 Н/м? Трением пренебречь.
Дано:
т = 2 т = 2 • 103 кг;
t = 50 с;
S= 400 м;
v0 =О;
k= 2· 106 Н/м
Найти:
х-?
Решение:
Направим ось координат
по движению автомобилей.
183
справочник школьника
При буксировке трос растягивается и действует на
легковой автомобиль с силой упругости. Эту силу можно
определить, пользуясь законом Гука:
-kx.
FYJIP =
Отсюда можно определить удлинение троса:
Х=~
k
Сила упругости, действующая на «Волгу», сообщает
ускорение; следовательно, модуль этой силы можно опре­
делить по второму закону Ньютона:
IFyr1Jx= т ·а~
Проекцию ускорения можно найти из формулы перемещения:
....) = -ч,t + т·
аг
Но по условию v
0
=
О, следовательно, Sx =
0
(,
отсюда
2Sx
ах=7·
Общий вид ~ешения задачи:
2mS
кг · м
кг · м · м
]
х= k/;x= Н!м·с=кг·м!с·с=м.
х=
2·2· I03 ·4· H>2
3
2 . 1011 . 50 . 50 = з,2 · 10-4 = 0,32 · 10- м
Ответ: Трос удлинился на
0,32
мм.
Задача б. На рисунке приведен
график зависимости удлинения
резинового жгута от модуля при­
ложенной
к нему силы.
х.
"
м
жесткость жгута.
0.3
Решение:
0.2
0.1
Для
определения
жесткости
жгута воспользуемся законом Гука:
FYJIP
k
/
Найти 0.4
о
/
/
/
/
/
1 2 3 4 5
F,H
= -kx, отсюда
IF 1(берется модуль силы).
=~
х
Из графика определим удлинение жгута при любом
значении силы и рассчитаем жесткость:
решение типовых задач по физике
184
3
k = OJ = 10 Н/м.
'
Ответ: Жесткость резинового жгуга
Задача
10
Н/м.
7. Две пружины равной ·длины, скрепленные
одними концами, растягивают за свободные концы ру­
ками Пружина же•сткостью 200 Н/м удлинилась на 4 см.
Какова жесткость второй пружины, если ее удлинение
равно 2 мм?
Дано:
k1 = 200 Н/м = 2 · 102 Н/м;
4 СМ = 4 • 10-2 м;
~ = 2 мм= 2 · 10· 3 м
Х1 =
Найти:
"2 -
?
Решение:
Так как под действием силы руки пружины деформи­
руютсJJ, то возникает сила упругости, которую можно оп­
ределИть по закону Гука: Fупр
= -kx.
Для первой пружины модуль силы упругости:
Fynp 1 = k1X1·
Аналогично для второй пружины: Fупр 2 = k 2x2•
По условию задачи силы, приложенные к пружинам,
одинаковы; следовательно, и силы упругости, возникаю­
щие в пружинах, тоже одинаковы, то есть Fупр 1 = Fупр 2 .
Следовательно, k 1x 1 = k 2x2•
k 1x 1
Оrкуда
v =
"'2
"2 = х;-·
2 . 102 • 4 . 10-2
= 4 · 103 = 4000 Н/м
2 · 10- 3
Ответ: Жесткость второй пружины
3.
4000
Н/м.
Гравитационные силы. Закон всемирного тяготения.
Сила тяжести.
Модули гравитационных сил (сил всемирного тяготе­
ния), действующих между двумя любыми частицами веще­
ства, находятся по закону:
185
справочник школьника
т 1 • т2
F"" G · ----К:-' rде
т 1 и т2
- массы тел или частиц вещества,
расстояние между ними,
гравитационная постоянная, или постоянная всемир­
RG-
ного тяготения.
G = 6,67 · 10· 11 Н · м2/кг2 •
Эта формула выражает закон всемирного тяготения.
Сила притяжения тела к Земле называется силой тяжести.
Это одно из проявлений силы всемирного тяготения. Ус­
корение, сообщаемое телу силой тяжести,
свободного падения «fP>.
F, = mg - сила тяжести.
-
это ускорение
Вблизи поверхности Земли g = 9,8 м/с 2 •
На высоте h над Землей ускорение свободного падения
можно определить по формуле:
MJ
g= G · (R., + h)2' rде
М3
R3
-
масса Земли;
радиус Земли.
Задача 1. С какой силой притягиваются два тела
массами по 1ООО т каждый на расстоянии 100 м друг от
друга?
Дано:
m1 = 171i = 1000 т = 1000000 кr
R = 100 м = 102 м
= 106 кr;
Найти:
F-?
Решение:
Силу взаимного притяжен~А~ тел можно определить по
закону всемирного тяготения:
т, . 17li
F= G ·----к:-·
1Q6 . 1Q6
= 6 67 · 10- 11
'
'
(102) 2
= 6,67 · 10- 11 + 12 - 4 = 6,67 · 10-3 Н.
F= 6 67 · 10- 11
•
Ответ: F = 6,67 • 10-3 Н
= 6,67 мН.
1012
104
•-
=
решение типовых задач по физике
186
Задача
2.
На каком расстоянии сила п9итяжения двух
шариков массами по 1гравна6,7· 10- 1 Н?
Дано:
т.
= т2 = 1 r = 10-3 кг;
F= 6,7·10- 11 Н;
G = 6,67 · 10- 11 Н · м 2/кr2
Найти:
R-?
Решение:
По закону всемирного тяготения сила притяжения
шаров
т1. т2
F= G· --к:-·
Отсюда расстояние между ними:
R2
R
= G . mi
=>
F
~ . R = [~ 1.--н-.,;...,..-.к"""""г2 = м]
у~.,
V кг2 · Н
R =-
б,67 · 10- 11 • io- 3 • ro- 3 __
-v
-·'1
6,7· 10-17
-v
Ответ:
R""" 1 м.
Задача
3.
10-17-(-17) ""1
Сила тяготения между двумя шарами
0,0001
Н. Какова масса одного из шаров, если расстояние
между их центрами 1 м, а масса другого шара 100 кг?
Дано:
F= 0,0001 Н;
R = 1 м;
т 1 = 100 кг
Найти:
т2-?
Решение:
По закону всемирного тяготения:
F=G·~.
Отсюда:
187
справочник школьника
т2
F·If= G. т1;
т
=
[
Н·к
]
Н. м2!кl-. кг= кг
0,0001 . 1
10-4
1011- 6
105
-----6,67. 10- 11 • 100 - 6,67 . 10- 11 . 102 - 6,67 - 6,67 10 . 104
4
=~""' 1,5. 10 кг.
т
-
2-
Ответ: т 2 ~ 1,5 • 104 кг~ 15 тонн.
Задача
4.
Как изменится сила всемирного тяготения
между двумя телами, если при неизменной массе рас­
стояние между ними увеличить в 3 раза?
Решение:
Сила всемирного тяготения (ее модуль) обратно про­
порциональна квадрату расстояния между телами, то есть
F
N
~· поэтому сила уменьшится в 9 раз.
Задача 5. На какую высоту от поверхности Земли
поднялся космический корабль, если приборы отмети­
ли уменьшение ускорения свободного падения до
4,9 м/с 2 ?
Дано:
g = 4,9 м/с2
/lайти:
h-?
Решение:
В этой задаче возможны два способа решения: с ис­
пользованием значения массы Земли или с использоваIJИ­
ем значения ускорения свободного падения на поверхнl>с­
ти Земли.
На высоте
h
ускорение свободного падения можно
найти по формуле: g = G · А1з 2 (или g = go~
<Яз
+ h)
Выразим отсюда высоту
2
G·М.
h:
-ПГМ",
(R, +h) =--~R
g
, +h= V~-g
<Яз
+ h)
2).
решение типовых задач по физике
188
=У G ~М, - R, [или h = R ·
/1
(4 -1)] .
Найдем числовое значение высоты.
h=
"f6 67 . 10- 11 • 6 . 1024
v ·
4,9
=vs1 . 1012 Ответ:
6,4 . 106
- 6' 4 . 10 =vs ' 1 . шз - 6 ' 4. 10 =
6
=9 . 106 -
6
6,4. 106 = 2,6 . 106 = 2600 км.
h = 2600 км.
Задача б. На сколько уменьшается сила тяжести, дей­
ствующая на космический аппарат массой 750 кг, при
достижении им поверхности Луны? (Ускорение свобод­
ного падения на Луне принять 1,6 м/с 2 .)
Да110:
g = 9 8 м/с 2 •
gJ = 1'' 6 м/с2:,
т = 750 кг
л
Найти:
дF-?
Решение:
ти)
Для любого тела на Земле сила тяготения (сила тяжестg3 ; для Луны Fл
тgл.
Необходимо определить изменение силы тяжести:
F;
=
дF
= F., -
=
Fл
= mgJ -
тgл
= m(gJ -
gл) .
Рассчитаем это уменьшение силы тяжести:
дF= 750 · (9,8 - 1,6) = 6150Н=6,15·103 Н.
Ответ: ЛF=
6150
Н
= 6,15
кН.
Задача 7. Можно ли поднять с земли тело, приложив
к нему силу, равную силе тяжести?
Решение:
Для того чтобы тело двигалось вверх, ему надо сооб­
щить ускорение. Поэтому вначале действующая на тело
сила должна быть больше силы тяжести. Если же эта сила
будет равна силе тяжести, то тело будет находиться в покое.
189
справочник школьника
4.
Движение тел под действием силы тяжести со
вертикали
Данное движение можно рассматривать как частный
случай равноускоренного движения, но с определенным
для
всех
случаев
ускорением
свободного
падения
g = 9,8 м/с 2 • Обычно для упрощения расчетов принимают
g = 10 м/с 2 • В данных задачах используют формулы равно­
ускоренного движения (глава 1 параграф 3), обозначая
высоту буквой h, а начальную высоту буквой h0 • Сопротив­
ление воздуха не учитывают. Независимо от вектора на­
правления оси Оу вектор ускорения свободного падения
всегда направлен вертикально вниз, даже если тело (или
материальная точка) движется вверх.
Задача 1. Две капли воды отделились от крыши: пер­
вая от ледяной сосульки; вторая скатившись с
конька крыши. В одно ли время упадут капли на землю?
С одинаковым ли ускорением они будут двигаться?
Решение:
Вторая капля упадет раньше, так как у нее большая
начальная скорость. Обе капли будут двигаться с одинако­
вым ускорением - ускорением свободного падения.
Задача 2. Парашютист раскрывает парашют спустя 2 с
после отделения от самолета. Какое расстояние он
проходит по вертикали и какова конечная скорость в
конце этого промежутка времени?
Дано:
v0
=О;
t= 2 с;
g = 10 мjс2;
Уа= О
Найти:
S-?
v-?
решение типовых задач по физике
190
о
Решение:
Направим ось Оу вертикально вниз,
началом отсчета будем считать момент от­
деления парашютиста от самолета.
Тогда уравнение движения парашю­
-v
тиста имеет вид:
у = Уо + ч/ + кfс учетом направления оси Оу и векторов
vи.f
у
По условию V0 = О И Уо = О.
Следовательно, перемещение парашютиста по вертикали:
"_gf_
S -y
J(I 2.
10 . 22
S=-2-=20м.
Скорость в конце 2 с движения найдем по формуле:
v = v0 + gt. Отсюда, v = gt.
v = 10 · 2 = 20 м/с
Ответ:
S = 20
Задача
3.
м;
v = 20
м/с.
Сокол, пикируя отвесно на свою добычу без
начальной скорости, достигает скорости
расстояние проходит при этом хищник?
100 м/с.
Какое
Дано:
v
=О·
v0 = 100
м/с =
g = 10 м/с 2
102 м/с;
Найти:
S-?
Решение:
Направим ось Оу вертикально вниз, начало оси совмес­
тим с точкой, в которой находится сокол в момент Н'ачала
движения (аналогично предьщущей задаче).
Перемещение сокола можно определить по формуле
S=
к;. так как движение равноускоренное, без начальной
скорости.
191
справочник школьника
Скорость движения изменяется по закону:
v = gt. Откуда t = Е. Следовательно,
g
В общем виде решение задачи:
2
2
v = v0
+ gt,
s =~
= 2gv•
2g
J
S= 2g"
Такое же решение получится, если использовать фор2
2
мулу равноускоренного движения s = v ~ ~ь.
(102)2
103
s = 2 . 10 = т = 500 м.
Ответ: S = 500 м.
Задача 4. Найти время падения и конечную скорость
тела, свободно падающего с высоты 45 м.
Дано:
v0 =О;
h = 45
h0 =О
м;
Найти:
t-?
v-?
Решение:
Примем за тело отсчета Землю. На­
правим ось Оу вниз, начало оси О совмес­
о
тим с началом падения тела.
В момент падения на землю в точку А
координата тела у = h. Следовательно,
уравнение движения с учетом знаков про­
екций векторов vи gна ось у, примет вид:
S= h = кf.
Откуда время падения: t = ~-
s
А
у
у
Скорость в момент приземления найдем по формуле:
v= gt;
192
решение типовых задач по физике
.~
t=V~z3c
9,8.
v = 9,8 · 3 ""29,4м/с.
Ответ: t z
3 с; v z 29,4
м/с.
Задача 5. Мальчик бросил мяч вертикально вверх с
балкона дома. Определить координаты мяча через 1 с,
2 с, 3 с, 4 с, 5 с. Начальная скорость мяча 20 м/с.
Систему отсчета связать с балконом. Определить ско­
рость в конце каждой секунды.
Дано:
v" = 20 м/с;
/1
= 1 с;
12
= 2 с;
13 = 3 с;
14 = 4 с,
15 = 5 с;
g= 10 м/с 2
Найти:
Y1-s - ?
V1_5-?
Решение:
Направим ось Оу вертикально вверх,
начало оси Оу выберем на поверхности
балкона.
Уравнение движения мяча и формула
скорости:
-
y=vt-gf_
о
2
v = vu - gt
v
знак«-» перед проекцией ускорения, так
как вектор gнаправлен противоположно
оси Оу или
у= 20/- 5(-
v = 20 - 10/.
Подставим числовые данные:
/1 =
l с~
у
YI =
vi
20 · l - 5 · 12 = 15 м
= 20 - 10 · 1 = 10 м/с
У2 = 20 . 2 - 5 . 22 = 40 - 20 = 20 м
О
193
справочник школьника
112
= 20 -
10. 2
=о
наивысшая точка подьема мяча
/J
= 3 с=>
YJ
vз
= 20 · 3 - 5 · 32 = 60 - 45 = 15 м
= 20 - 10 · 3 = -10 м/с
мяч движется вниз.
(4
= 4 с:>
У4
V4
5. 42 = 80 - 80 =о
= 20- 10·4 = -20 м/с
= 20. 4 -
мяч находится на высоте балкона; скорость в этот
момент равна по модулю начальной скорости мяча.
f5
= 5 с:>
У5 = 20. 5 - 5. 52 = 100 - 125
vs = 20-10·5 = -30 м/с
= -25 м
движение мяча к земле.
= 15 м; у2 = 20 м; у3 = 15 м; у4 =О; у5 = -25
v1 = 10 м/с; v2 = О м/с; v3 = -10 м/с;
щ = -20 м/с; v5 = -30 м/с.
Ответ: у 1
м;
Задача 6. Из гондолы аэростата, поднимающегося
равномерно со скоростью v2 = 4 м/с, на высоте 20 м от
Земли бросили вверх предмет со скоростью v1 = 6 м/с
относительно аэростата. Через сколько времени пред­
/
мет упадет на Землю? На какой высоте будет аэростат
в этот момент? (Считать ускорение свободного падения
10 м/с 2 ).
Дано:
v1 = 6 м/с;
~ = 4 м/с,
h11 = 20 М,
g = 10 м/сz
Найти:
t-?
h-?
Решение:
Направим ось Оу вертикально вверх, начало оси О
выберем на поверхности Земли.
Неподвижная' система отсчета связана с Землей, а
подвижная
7 rе шешtс
Ja,цatt
-
с аэростатом. Проекция ускорения свобод-·
no ф1011ке
194
решение типовых задач по физике
ного падения на ось Оу отрицательна, поэтому уравнение
движения в неподвижной системе отсчета:
Оу у= h = h
0
+ ч/-sf-,
при этом v., = v + 11;i
1
По-условию задачи для момента падения предмета на
Землю h = О. Следовательно,
hо
+ (v1 + v)2 · t - gf_
2 =
gf - 2 ' (V1 + v2)
•
О
t - 2h0 = 0.
Подставив числовые данные, получим:
IOt - 2(6+4)t - 220 =О.
Решим квадратное уравнение относительно времени t
IOt - 20t- 40 =О
i- 2t- 4 =о
D = Ь2
4ас
-
-b±Vn
x=--2-a-
D= 4
+ 16
= 20
> О,
следовательно, уравнение имеет
два корня:
2±
t
= t1 =
-./20
2
t1,2=
2 +-./20
2
""' 3,2 с,
t2 < О -
этот корень отбрасываем.
Найдем высоту поднятия аэростата по формуле:
h = h0 + 11;it, так как аэростат движется равномерно.
h = 20 + 4 . 3,2 ""' 33
Ответ: t ::::::
5.
3,2
с;
h
м.
= 33 м.
Движение тела, брошенного под углом к горизонту и
брошенного горизонтально с некоторой высоты
Движение тела, брошенного горизонтально с некото­
рой высоты, можно разложить на два независимых движе­
ния: равномерное прямолинейное, происходящее в гори­
зонтальном
направлении
со
начальной скорости бросания
v0
скоростью
(
vx = v0 ),
vx,
равной
и свободное
падение с высоты, на которой находилось тело в момент
бросания, с ускорением
g. Для описания этого движения
195
справочник школьника
выбирают прямоугольную систему координат хОу. Траекто­
рией движения является ветвь параболы.
Уравнения движений по осям Ох и Оу:
Ох: х = х0
+ vJ
У
Оу. у=уо- ~-
Vo
Скорость тела в любой точке
траектории
можно
определить
по
формуле:
v=
v
v'z7x + J,.
Движение тела,
брошенного 0 ,___ _ ___.__ __..
х
под углом к горизонту, также можно
разложить
на
два
независимых
движения:
равномерное
прямолинейное, происходящее в горизонтальном направ­
лении с начальной скоростью
v0 • = v0 cos а,
у
и свободное падение с начальной скоростью
А
voy = vu sin а,
где
-
а
ниями
угол
между
вектора
1
направле-
скорости
осью Ох.
v0
и
8
о~---'-----+-----<~
Траекторией такого движе-
;-vo_x_____
,..1
х
ния является парабола.
Уравнения движений примут вид:
Ох: х = х0
+ vJ
Оу: У = Уо + Ч1/ - ~
Скорость тела в любой точке траектории:
v
= v'z7x + J,, где vx =
v0 . , vy
= V y0
gt.
Формулы высоты, дальности и времени полета полу­
чены с помощью проекций уравнений движения на оси Ох
и Оу, с учетом выбора направления осей координат.
Задача
1.
Струя воды в гидромониторе вылетает из
ствола со скоростью 50 м/с под углом 30° к горизонту.
Найти дальность полета и наибольшую высоту подъема
струи.
решение тиnовых задач по физике
196
Дано:
v0 = 50 м/с,
а=
30°
Найти:
h-?
1-?
Решение:
Выберем
прямоугольную
систему координат хОу с нача­
лом отсчета в точке О вылета
струи. Вдоль оси Ох движение
равномерное прямолинейное,
У
А
Voy
o~----'----+-8---t...
так как на струю воды действует
только сила тяжести, направлен-
'.....,_Va_x_---,.____
х
ная вертикально вниз. Вдоль оси
Оу струя воды движется равнозамедленно до верхней точки
траектории (точки А), а вниз - равноускоренно с ускоре­
нием свободного падения, направленным вертикально
вниз в любой точке траектории. с учетом этоrо, уравнения
движения струи воды имеют вид:
Ох х =
v11J
Оу у= ч,/- ~,так как у0 =О.
Скорость движения струи по оси Оу до точки А (вер­
шина параболы) изменяется по закону:
vY = v 0Y - gt, где v 0Y = v 0 sin а.
Для точки А vy =О; у=
h; t = t 1, где t 1 -
время движения
до максимальной точки.
Тогда формула скорости примет вид :
gt1, откуда v0 Y = gt1 или
О= v"Y -
v0
siн а
= gt1•
=
Следовательно t1
v0 · sina
g
.
Найдем высоту подъема струи:
_
h - Ч1/1
h=
gf. _
-
ifi . sin2 а
2g
.
2 - lJ1 . SШ а .
h=
'
Ч~ · sin а
g
[М1 /t?- = м]
м!t?-
g_ !{. · sin2 а
j
- 2.
t{. · si.112а
2g
·
Для точки падения струи воды (точки В) на землю
t = t2; у = О; х = 1.
197
справочник школьника
Следовательно, уравнение координаты у примет вид:
g~
о= /.\1/2-т·
g~
2 ' откуда время полета струи'
1.\1/2 =
~
g =
f2 =
2v11 • siпa
g
Найдем дальность полста:
vux = v" cos а
1 = voJ2,
1 = vо · cos а ·
211i1 • siп а
~--
g
if.
2q~ · cos а · siп а
1= - - " - - - - -
si11 2а
g
g
=
так как 2 cos а sin а
siп 2а.
Найдем числовые значения h и
502 · si112 30" 502 · О 52
h-
-
1=
' 2 9,8
-
2 . 9,8
502 •
si11 60"
'°' 221
9,8
Ответ:
h = 32
м;
/:
ЗJ м
-
м
1 = 221
м.
Задача 2. Под каким углом к горизонту надо бросить
тело, чтобы высота его подъема была равна дальности
полета?
Дано:
h=/
Найти:
а-?
Решение:
Высоту подъема тела (Задача
1)
можно определить по
формуле:
h
2
i[. · sin- a
= --"-2g
Дальность полета :
l
Так как парабола - это симметричная кривая, то время полета Ь.
если
/1
=
Vo · sina
g
• то
2Vo · sin a
tz-= - -к- -
= 2t1;
решение типовых задач по физике
198
l=
2i{i · sin а , cos а
g
.
h = !,
2i{i · sin а , cos а
Цо условию задачи
i{i · sin 2 а
-2g
следовательно:
g
откуда
sin
а =
2 · 2cos а.
sina
- - = 4 или tg а = 4.
cosa
а: а= arctg 4:::::: 76°:::::: 1,3 рад.
И следовательно,
Найдем утол
Ответ: а:::::: 76°.
Задача 3. Под каким углом надо бросить тело, чтобы
дальность полета была наибольшей?
Дано:
/= 1......
Найти:
а-?
Решение:
Дальность полета определяется формулой (Задача/):
t{i · sin 2а
/=
.
g
Дальность полета будет максимальна при наибольшем
значении sin 2а, то есть
sin
2а
= 1.
Отсюда
:тr:
2а
= arcsin 1 = 2 рад.
2а
= 2 => а = 4:тr: или 45" .
J(
Ответ: а =
;r;
4
= 45°.
Задача 4. В какой точке траектории летящий снаряд
обладает наименьшей скоростью?
Решение:
Наименьшая скорость снаряда будет в наивысшей
точке траектории, так как в этой точке вертикальная со­
ставляющая скорости (vy) равна нулю и скорость опреде­
ляется только горизонтальной составляющей (vк), которая
одинакова во всех точках траектории.
199
справочник школьника
Задача
5.
Как направлено ускорение снаряда после
выстрела из ствола орудия, если сопротивление воз­
духа отсутствует? Как изменится это направление при
наличии сопротивления воздуха?
Решение:
Если отсуrствует сопротивление воздуха, то ускорение
снаряда одинаково во всех точках траектории и направлено
вертикально вниз. Это ускорение равно ускорению свобод­
ного падения. При наличии сопротивления воздуха уско­
рение отклонено от вертикали в направлении противопо­
ложном движению снаряда.
Задача 6. Тело, брошенное под углом к горизонту,
находилось в полете 4 секунды. Какой наибольшей
высоты ДОСТИГЛО тело?
Дано:
t=4c
Найти:
h-?
Решение:
Время полета тела определим по формуле:
t=
2ч 1 •
sina
(Задача
g
1).
Наибольшая высота подъема тела:
h
=
ifi · sin2 a
2g
.
Решим систему из двух уравнений:
2v0 • sina
t=
J.. к. 2
h = 0 sш а
2g
1
*
(1{ 1 • sina) 2 =
(
)2
~
J. · sin2 a = il_ * h = _iL
~кудоh=';, h=[~7= +
Вычислим:
h
9 8 . 42
= -'-8-
Ответ:
98.4.4
= ' 8
h = 19,6
м.
= 9,8 . 2 = 19,6 м.
решение типовых задач по физике
200
Задача 7. Мальчик бросил горизонтально мяч из окна,
расположенного на высоте 15 м. Сколько времени
летел мяч до земли и с какой скоростью он был брошен,
если мяч упал на расстоянии 5,3 м от основания дома?
Дано:
/1 = 15 м;
1=5,3 м;
g = 9,8 м/с 2
Найти:
t-?
v., -
?
Решение:
Для описания движения
выберем 0
прямоугольную систему координат хОу,
va
,,_,,______
ось у направим вертикально вниз. За
начало отсчета координат О примем
точку бросания мяча.
Уравнения движения мяча:
Ох. х =
Оу
v0 ,t
/
gf_
У- Voi+ 2
у
По условию задачи
х =
v0 y =
О;
v0 x = v0 ,
следовательно:
v"t
у = gf_
2·
В момент приземления
у=
h,
х
= /
Тогда определим время полста и начальную скорость:
t=
Vff,
t=
[~=с]
l
vo = (·
Вычислим:
1=
...ff:fJ_
'130
"" 1,7 с
9,8
9,8
=
1...fi 5,3 . V9,8
V. 1 = _t;:;;" = _г,::;--;-;:
v2h
v2 · 15
""
3 м/с или
201
справочник школьника
V0
5.З 3
=v""
Ответ: t;::;;
/
МС
v0
с;
1,7
;::;;
3 м/с.
Задача 8. Шарик, движущийся по столу со скоростью
1 м/с, упал, скатившись на расстояние 0,45 м от стола.
Какова высота стола?
Дано:
v,,
= 1 м/с;
/= S= 0,45
м
Найти:
h-?
Решение:
За начало отсчета координат при-
у
Vо
мем точку, где мяч падал со стола, а за 0 л--~-----начало
отсчета
-
времени
момент
сбрасывания. Ось х направим горизон­
тально, а ось у
-
Движение
вертикально вверх.
шарика
описывается
уравнениями:
Ох х =
vJ
Оу у=
--
знак
«-»
h ';'1:>",..,.-:,.,..,..,.,..~~'"7"'7
gf_
2
перед проекцией
.fпротивоположно
g,
так как направление вектора
направлению оси у).
В момент падения шарика на пол:
у=
-h;
х
= [.
Из первого уравнения можно определить время паде­
ния шарика: t = _!_.
Vo
Следовательно, высота, с которой падал шарик:
-h = -
gf
2
~ h = gt2 = -f!.,,
2vo
98
h = 0•452
2 . .1 '
= о ,992 м
Ответ: Высота стола
h=
"" 1
[-с2м· л1~!с = м]
-2
м
h ;::;; 1 м.
Задача 9. Почему бомба, сброшенная с горизонтально
летящего самолета, не падает вертикально вниз?
202
решение типовых задач по физике
Решение:
Бомба, как и самолет, имеет скорость в горизонталь­
ном направлении и в момент отрыва от самолета вследствие
инерции удерживается в этом состоянии движения.
Задача 1О. Снаряд вылетает из горизонтально направ­
ленного ствола пушки с некоторой скоростью. С какой
скоростью вылетел б~1 тот же снаряд из той же пушки,
если бы выстрел был произведен также горизонтально
на поверхности Марса, сила притяжения которого со­
ставляет 0,38 силы притяжения Земли? Трением в
стволе пушки пренебречь.
Решение:
Скорость движения снаряда з~висит от величины
силы, действующей на снаряд, и от массы снаряда, но не
зависит от силы тяжести. Более слабое притяжение Марса
повлияло бы на дальность полета снаряда и на форму его
траектории движения. Поэтому снаряд будет вылетать из
пушl\!f с одинаковой скоростью и на Марсе, и на Земле.
5.
Вес тела, движущеrося с ускорением
Вес тела
-
это сила, с которой тело действует на
горизонтальную опору или растягивает вертикальный под­
вес. Это сила приложена либо к опоре, либо к подвесу. Если
опора неподвижна или движется равномерно и прямоли­
нейно, то вес тела равен (численно) силе тяжести Р
(см.
7
класс, часть
111,
параграф
4).
= mg
При движении тела с
ускорением его вес может быть больше или меньше силы
тяжести. Для определения веса тела в этом случае пользу­
ются вторым и третьим законами Ньютона.
Если тело движется прямолинейно с ускорением, на­
правленным вниз, то вес этого тела можно определить по
=
формуле: Р = m(g - а) или Р
тg - та.
Если ускорение движения направлено вверх, то вес
тела
Р
= m(g +а).
При движении тела по окружности вес тела тоже
меняется по таким же законам, но движение тела проис-
ходит с центростремительным ускорением ацс
2
= ]i.
203
справочник школьника
Тогда
Р= т (g- ~)и Р= т (g+ ~).
Задача
1.
Человек массой
равнозамедленно,
80
кг поднимается в лифте
вертикально
вверх,
с
ускорением
2 м/с 2 • Определите силу давления человека на пол
кабины лифта.
Дано:
т
80
=
кr;
а= 2 м/с2 ;
g= 9,8 м/с2
Найти:
Р-?
Решение:
Сила давления человека на пол кабины
лифта равна весу человека.
На человека, находящегося в кабине
лифта, действует сила тяжести - тgи сила
реакции ПО.@ кабины (сила упрутости пола
кабины) - N.
Так как движение лифта равнозамед­
у
0
J
N
ленное, то ускорение движения направлено
-
вертикально вниз.
Запишем в векторном виде уравнение
второго закона Ньютона:
N+ mg=
/
mg
та.
Выберем ось у в направлении движения лифта. Начало
координат, точку О, совместим с центром тяжести челове­
ка.
Запишем уравнение второго закона Ньютона в проек­
циях на ось у:
Оу:
знак
N- mg=
«-»
-та
перед
проекциями
силь!_ тяжести
выбирается, так как векторы mgи
N
и
ускорения
направлены противо­
положно оси у.
Откуда
N
= mg -
та
= m(g -
а);
На основании третьего закона Ньютона (сила давления
F человека на пол кабины) вес человека по модулю равен
силе реакции N пола кабины: Р
N.
=
решение типовых задач по физике
204
Следовательно,
Р= т(g- а)
р
=
80(9,8 - 2) = 80. 7,8 = 624
Ответ: Р =
Задача
2.
624
(Н)
Н.
Канат удерживает тело весом не более
Н. На канате поднимают груз массой
каком ускорении канат разорвется?
2500
200
кг. При
Дано:
Р=
2500 Н;
= 200 кг,
g= 9,8 м/с1
т
Найти:
а-?
Решение:
На тело, прикрепленное к канату,
действуют: сила п.окести и сила
натяжения каната т--(сила упругости ка­
ната).
Направим ось Оу вертикально вверх.
Второй закон Ньютона в векторной
у
mg
т
-tа --..-- tv
форме:
о
т + тg= та.
Найдем проекции сил и ускорения
на ось у:
Оу: Т-
-
-
mg
mg =та.
=
+
Откуда Т
mg та;
По третьему закону Ньютона модули сил Т = Р, так
как с какой силой груз действует на канат, с такой же силой
канат действует на груз.
Отсюда: Р = mg
та.
Найдем ускорение при котором канат разорвется.
+
a=P-:nmg;
а=[:г=~.·:г=j]
- 2500 - 200 . 9,8 - 2 7
2
200
- ' м/с .
а-
Ответ: а= 2,7 м/с 2 •
205
справочник школьника
Задача 3. В шахту опускается равноускоренно бадья,
вес которой в покое 2800 Н. В первые 10 с она проходит
35 м. Каков вес бадьи в движении?
Дано:
Р1
= 2800
v0
=О;
Н;
t = IOt:;
S= 35 м;
g
= 10 м/с 2
Найти:
Р2
- ?
Решение:
На бадью действуют две силы: giлa
тяжести
и сила натяжения троса Т. В
mg
состоянии покоя вес тела равен силе тя-
жести, то есть Р1 =
Р
т = _J_.
g
Т
mg, отсюда масса бадьи:
v'
-1
Направим ось у по движению клети и
о
-
~-а
mg
с учетом знаков проекций запишем уравнение движения.
Оу: -Т+ тg =та.
Откуда Т = тg
-
У
та.
По третьему закону Ньютона Т
= Р2 • Вес тела умень-
шается:
Р2
= mg -
та= Р1 -
Р1
-
g
• а.
Ускорение движения тела найдем по формуле переме­
щения при равноускоренном движении:
at
S= ч)t+ Т·
Так как по условию v0
=
О, то s = 0{ . откуда а =
2/ .
В общем виде решение задачи:
Р · 2S
Р2 =Р1 -~
g·r
Р2 = 2800 -
2800. 2 . 35
IO. IOO = 2800 - 28 · 7 = 2604 Н.
Ответ: Вес бадьи в движении Р2 =
2604 Н
= 2,6 кН.
206
решение типовых задач по физике
Задача 4. Лыжник массой 50 кг движется со скоростью
20 м/с по вогнутому, а затем выпуклому участкам до­
роги с радиусом кривизны 20 м. Определить вес лыж­
ника в средней точке каждого участка.
Дано:
т =
50
кг;
v = 20 м/с;
R = 80 м;
g = 9,8 м/с2
Найти:
Р1
Р2
-?
- ?
Решение:
Движение лыжника по выпуклому и вогнутому участ­
кам
дороги
можно
рассматривать
как движение
по дуге
окружности.
Систему отсчета свяжем с -Землей, выберем прямо­
угольную систему координат хОу. Ось у направим к центру
окружности, а ось х - по касательной к ней. За начало
отсчета можно принять точку, в которой в данный момент
находится лыжник,
_
F=
-
среднюю точку каждого участка.
В обоих случаях на лыжн:щ<а действует сила тяжести
тgи сила реакции опоры N. Для описания движения
~пишем второй закон Ньютона в векторной форме:
N тg= та. Движение с центростремительным ускорени-
+
ем.
1)
На вогнутом участке дороги
,/
у
ускорение лыжника направ­
лено
по
к
центру
радиусу
и
окружности
направление
вектора а совпадает с на­
правлением оси у.
В проекциях на ось у второй
закон Ньютона имеет вид:
N- тg= ma"t
Откуда N = тg
mg
Оу:
+ та =
т(g
+ ацс)
Центростремительное ускорение находят по формуле
а""=
J
R.·
207
справочник школьника
Отсюда N= т (g+~)
По третьему закону Ньютона модУ[IЬ СШJЫ реакции
опоры равен весу лыжника, то есть
Следовательно, Р1 = т (g + ~)
pl = 50 (9,8 + ~~) = 50 (9,8 + 5) = 740 н.
2)
IPI = INI.
На выпуклом участке дороги
ускорение
лыжника
у
также
направлено к центру окруж-
ление
вектора
N
ности по радиусу, но направ­
х
ускорения
противоположно оси у, поэ­
тому его проекция на ось у ..,.r,~"///
будет отрицательна.
Второй закон Ньютона в проекциях на ось у имеет вид:
Оу:
N- mg= - mauc·
N = mg - mauc = m(g - auJ·
Откуда
au"
J
= R' отсюда
N=
т (g- ~).
По третьему закону Ньютона
P2 =m
= 50 (9,8 - 5)
Ответ: Вес лыжника Р1
Задача 5. Ведерко с
плоскости на веревке
шей скоростью нужно
дении через верхнюю
Дано:
/= R = 0,5 м;
g = 9,8 м/с2
v-?
следовательно
(g-~)
Р2 = 50 (9,8 - ~~)
Найти:
INI = IPI.,
= 50 · 4,8 = 240 Н.
= 740 Н;
Р2
= 240 Н.
водой вращают в вертикальной
длиной 0,5 м. С какой наимень­
его вращать, чтобы при прохож­
точку удержать воду в ведерке?
решение типовых задач по физике
208
Решение:
Считаем размеры
ведерка
v
малыми по сравнению с радиу­
сом окружности и примем воду
за материальную точку. В верх-/'
ней точке траектории ва воду
действует сила тяжести
сила реакции дна ведра
F = тgи
N.
Направим ось у вертикально
вниз к центру окружности и за-
пишем второй закон Ньютона в векторной форме для воды
в ведерке:
N + mg=
та;10 •
В nроекциях на ось у этот закон имеет вид:
N + mg = та110 , где а11"
Тогда
N+
тg = т
J
J
=R=[
J
R
Но в момент отрыва воды от ведра
mg = т
= О,
поэтому
R' откуда J = gR
Следовательно, v=vgR,
v
N
J
v=
[9 =~]
= V9,8 · 0,5 ""'2,2 м/с.
Ответ:
v::::: 2,2
м/с.
Задача 6. Определить скорость движения автомобиля
массой 2 т по вогнутому мосту радиусом 100 м, если
он давит на середину моста с силой 25 кН.
Дано:
т
= 2 т = 2000 кг = 2 · 103 кг;
R = 100 м = 102 м;
Р= 25 кН = 25· 103 Н ,
g = 9,8 м/с 2
Найти:
v-?
209
справочник школьника
Решение:
На автомобиль действуют
две
силы:
сила
у
-
тяжести
F= тgи сила реакции моста N.
N
Направим ось у вертикально
вверх, а ось х
-
по касательной
к поверхности моста в его сере­
дине. Тогда направление векто­
-
ров центростремительного уско­
рения
и
силы
реакции
mg
опоры
будет совпадать с направлением оси у, а направление
вектора силы тяжести будет противоположно направ.1ению
оси у.Второй закон Ньютона для автомобиля в векторной
форме имеет вид:
N+mg=
т~0 ••
Запишем этот закон в проекции на ось у:
N- mg= та"с.
2
= j-, поэтому
J
N-mg=m·R
Так как ацс
Отсюда найдем скорость движения:
v=
у
(
N - mg) · R.
т
Согласно третьему закону Ньютона,
v
=у (Р- mg) · R;
т
v=
N=
Р, тогда
=
[~=у кг · м · м ~]
кг
С-·кг
с
Вычислим скорость автомобиля:
v= y(2S · 103 - 2 · 103 • 9,8) · 102 = yto 3 • (25 -19,6) · 102
2 . 103
= 10 ·
Ответ:
Задача
V'fj_2
v:::::: 16
7.
z
10
1,6
=
2 . l03
z
16
м/с
м/с.
При раскрытии парашюта скорость парашю­
тиста уменьшается с
50
до
1О
м/с за
перегрузку испытывает парашютист?
1
с.
Какую
решение типовых задач по физике
210
Перегрузка
-
это увеличение веса при равноускорен­
ном движении.
Необходимо определить отношение
веса парашютиста в движении к весv в покое.
Дано:
v0 = 50 м/с;
v= 10 м/с;
t = 1 с;
g = 10 м/с 2
Найти:
Р2 _ ?
_
.
р•
-
Решение:
В момент раскрытия парашюта на
парашютиста действуют сила тяжести и
сила натяжения ремней парашюта. Дви­
жение парашютиста равнозамедленное,_
то есть ау
< О,
и направления скорости у
т
J
движения и ускорения противополож- 0
-
ны.
Направим ось у вертикально вниз.
По второму закону Ньютона:
mg
т+ тg= та:
у
Оу: -Т+ тg= -та Ф Т-
Т
mg=
та Ф
= тg + та = т(g + а).
По третьему закону Ньютона:
ITl=IPI.
Р2 = m(g +а)
Если а = О, то Р1
Р2
Р1
=
т (g + а)
тg
g
= mg
+а
=-g-
По определению ускорения:
а= IV~Vi·I
Р2
Р1
Р2
р
lv- ~11
= g+-,-
=
1
gt+
g
10 · 1 + IIO - 501
10 . 1
lv-
~J
gt
10 + 40
= -1-0-
Ответ: Перегрузка равна
5.
= 5·
211
справочник школьника
6.
Силы трения
Модуль силы трения скольжения можно определить по
формуле: F1fl µN, гдеµ - коэффициент трения, N - модуль
=
силы нормального давления (и силы реакции опоры). Мак­
симальная сила трения покоя: (Fтр)мах = µN. При одинако­
вых условиях сила трения скольжения намного больше
силы трения качения. Вектор силы трения скольжения
всегда направлен противоположно вектору скорости тела.
Коэффициент трения можно определить по формуле:
F.
µ = :.:;:. Это величина безразмерная.
Задача 1. Почему шкаф с книгами бывает невозможно
сдвинуть с места?
Решение: Это связано с тем, что между полом и шкафом
возникает сила трения покоя, которая и препятст­
вует передвижению шкафа.
Задача 2. Тяжелый брусок равномерно передвигают
по горизонтально установленной доске. Почему сила
трения увеличивается, если на доску насыпать песок,
но уменьшается, если насыпать пшено?
Решение:
Если на доску насыпать песок, то ее поверхность
становится более шероховатой, что увеличивает трение
скольжения. Если же песок заменить на пшено, крупинки
которого имеют почти шарообразную форму, то будет
иметь место трение качения, которое во много раз меньше
трения скольжения.
Задача 3. Автомобиль массой 5 т движется с постоян­
ной скоростью по прямой горизонтальной дороге. Ко­
эффициент трения шин о дорогу равен 0,03. Опреде­
лите силу тяги, развиваемую двигателем.
Дано:
т = 5т = 5000 кr = 5 • 103 кг;
µ = 0,03;
212
решение типовых задач по физике
v = const (а = 0),
g = 9,8м/с2
Найти:
FТТ1ГИ
?
-
Решение:
На автомобиль д~йствуют четыре силы: сила тяги Fт, сила трения
у
v
Fтр, сила тяжести тgи сила реакции
N
дороги N. Для описания движения Fmp
F'm
выберем прямоугольную систему ко- --+-..+--+-----х
ординат Оху. Применяя второй закон
Ньютона, получим:
N + F, + тg+ 7\Р = та.
/
mg
В проекциях:
Ох- О+
Оу.
N+
F, +О- Fтр =О (так как v= const).
О - тg + О = О.
Откуда:
N= mg, F, = Fтр.
Fтр = µN = µmg => F, = µmg
Подставляя в формулу исходные данные, получаем:
F,
= 0,03 · 5 · 103 • 9,8 = 3 · 10-2 • 5 · 103 • 9,8 = 147 · 10-нз = 1470 Н.
= 1470 Н.
Ответ: Fтяги
Задача
4.
Сани со стальными полозьями перемещают
равномерно по льду, прилагая горизонтальное усилие
2
Н. Каков вес саней?
Прежде чем решить задачу, нужно по таблице опреде­
лить коэффициент трения скольжения стали по льду.
Он равен О, 02.
Дано:
F.яrи = 2 Н;
µ = 0,02;
v = const (или
а
= О)
Найти:
Р-?
Решение:
На сани дей~твуют четыре силы: сила тяжести
реакции опоры
N,
mf; сила
сила тяги (сила, под действием которой
213
справочник школьника
сани перемещаются по льду) ~яги и
сила трения Fтр. Так как движение рав­
номерное, то действия всех сил ском-
у
_
N
-v
пенсированы и на чертеже длины век- _F_m_p.......,,.__ _ _ __
торов всех сил будут одинаковы. Для
решения задачи необходимо приме­
нить второй закон Ньютона, кот_орый
кратко можно записать так: R
О
mg
=
(здесь можно также применить 1 закон Ньютона, который
записывается этой же формулой).
Согласно 1 закону Ньютона: ~F= о (или
R. =о)
7V + F, + mg+ F,p =о
В проекциях на оси:
Ох F, - Fтr>
= О => F, = FТ[I
Oy._N- mg =О=> N= mg.
По определению силы трения:
Frp = µN => Frp = µmg.
Согласно
111
закону Ньютона: Р =
N
~
mg =
Р.
F
F,=µP=> Р= µ'. Р= [Н).
2
IOOH
0,02
Ответ: Р = 100 Н. (Вес саней 100 Н).
Р=-=
Задача
5.
Деревянный брусок массой З кг тянут по
горизонтальной деревянной доске с помощью пружи­
ны. Коэффициент трения равен 0,3. Найти удлинение
пружины, если ее жесткость
10
кН/м.
Дано:
т
=
3 кг;
µ = 0,3;
k = lO кН/м = lO · 103 Н/м = 104 Н/м,
g = lO м/с2
Найти:
х-?
Решение:
На деревянный брус_ок действуют сщ~:ы: сила тяжесхи
тg; сила реакции доски
N,
сила трения Fтр и сила тяги Fт.
решение типовых задач по физике
214
Брусок приводится в движение
растянутой пружиной. В пружине
возникает сила упругости, которую
у
N
можно определить по закону Гука: Fmp
Fупр
= -kx.
~~-~-;--~;~~~7,
= Fупр·
Следовательно, Е'тяги
v
_
Движение бруска можно счи­
х
mg
тать равномерным, поэтому второй
закон Ньютона можно записать в векторной форме так:
N + ~ + тg+ FТfl = о.
С учетом направления векторов сил и направления
осей координат это уравнение в скалярном (в проекциях)
виде:
Оу:
N- mg=
Ох:
f'. -
О;
Fтр = О.
=
=
Откуда N
mg; Fт Fтр.
По определению сила трения скольжения Fтр =
следовательно, F~ µmg
Fтяги·
=
= kx.
По закону Гука: ll'т 1
=
µN,
Получим решение в общем виде:
kx=µmg.
о
µmg
тсюдах=т·
х = [кг· м!с = кг· м · м =кг. М2. с=)
Н!м
с
. кг · м
·
с кг · м
с
х
03·3 · !0
104
= '
= 9 · 10-4 м =
j
о,о9 см.
Ответ: Удлинение пружины
0,09
см.
Задача 6. Почему большую льдину, плавающую на
воде, привести в движение легко, но сразу же сооб­
щить ей большую скорость трудно?
Решение:
Это связано с тем, что в воде сила трения покоя
полностью отсутствует. Для того чтобы сообщить телу
большой массы большое ускорение, нужна большая сила.
Задача
7.
Почему очень легкое тело трудно бросить
на далекое расстояние?
справочник школьника
215
Решение:
Брошенное тело будет двигаться под действием силы
тяжести по параболе. Это тело при движении в воздухе
испытывает сопротивление воздуха. Так как масса тела
мала, то за короткое время горизонтальная составляющая
(то есть
1&)
скорости у него становится равной нулю и
дальность полета тела мала.
Задача 8. Почему у гоночных велосипедов руль опу­
щен низко?
Решение:
Низко опушенный руль велосипеда обеспечивает со­
гнутое положение гонщика. Такое положение значительно
уменьшает сопротивление встречного потока воздуха, тем
самым давая возможность гонщику двигаться с большей
скоростью.
7.
Движение тела под действием силы трения
Если на тело действует только сила трения, то такое
тело движется равнозамедленно до остановки. Расстояние,
которое тело проходит до остановки, называют тормозным
путем. Обозначают буквой /.
Время торможения - время, нужное для остановки.
Задача 1. Велосипедист, ехавший со скоростью
36 км/ч, увидел примерно в 1О м от себя препятствие
и резко затормозил. Успеет ли велосипедист остано­
виться до препятствия?
Коэффициент трения скольжения шин по сухому ас­
фальту 0,7. Как изменится тормозной путь при увели­
чении скорости движения в два раза?
Дано:
v0 = 36 км/ч = 10 м/с;
v=
О;
S = 10 М,
µ = 0,7,
g = 10 м/с 2 ,
решение типовых задач по физике
216
Найти:
1-?
Решение:
Чтобы ответить на вопрос задачи,
необходимо найти тормозной путь ве­
лосипедиста и сравнить его с рассто­
янием S до препятствия.
Для описания движения выберем
прямоугольную
систему
у
-
Уо
о
N
)(
координат
mg
хОу и изобразим все силы, действую­
щие на велосипедиста. На него дейст­
вуют три силы с мом~нта торможенид: сила тяжести тg;
сила реакции дороги N и сила трения Fтр· Поскольку вдоль
оси у велосипедист ускорения не имеет, то N = mg, то есть
эти силы друг друга уравновешивают. Тогда сила трения
Frp
= µN= µmg.
_
По второму закону Ньютона
вующая сила).
В данной задаче
R
_
= ma(R -
равнодейст-
R = Fтр
Следовательно, Fтр = та= 11mg; отсюда а = 1tg.
Перемещение велосипедиста можно определить
собами:
2 спо-
1 способ.
Формула скорости в общем виде:
v= V(j + at.
Учитывая, что движение равноза'-'Iедленное и
v =
О,
имеем:
О
t-'o
= v! - at => t = -
а
'
Перемещение: s = инt- {~
о ТСЮД;!.. S =
tfi
vo
а·
z{i
ЧJ -;; - 2 . а2 = 2а·
2
способ.
2
Формула проекции перемещения:
v -
знака проекции ускорения на ось х имеем:
о - ifi
-2a
-ifi
iG
-2а
2а
S=--=-=-
2
!.<
sx = __!____
2 ох. С учетом
а,
217
справочник школьника
Итак, перемещение велосипедиста до полной останов­
ки (тормозной путь):
S
= /=
1=
zf.
20 =>
с учетом ускорения движения
-5_; / = [м22 • с2 = м]
Ц1g
с •м
НУ
1= 2 . 0,7 . 10 "" 7 м.
Ответ: Велосипедист успеет остановиться до препятствия,
так как S = 10 м (расстояние до препятствия), а
тормозной путь велосипедиста ~ 7 м. Если ско­
рость движения возрастет вдвое, то тормозной путь
увеличится в
Задача
2.
4
раза.
Автомобиль движется со скоростью
1О
м/с
по гладкой горизонтальной дороге. Пройдя с выклю­
ченным мотором расстояние 150 м, автомобиль оста­
навливается. Сколько времени автомобиль двигался с
выключенным мотором и каков коэффициент трения
при его движении?
Дано:
v" = 1О м/с;
v=
/=
g
О,
150м ;
= 10 м/с 2 ,
Найти:
t-?
µ -?
Решение:
На автомобиль с момента торможения действуют три
силы : сила тяжести тg; сила реакции дороги
Nи
сила
трения ~~р· Автомобиль движется равнозамедленно, поэто ­
му вектор ускорения направлен против ос!!_ х и совпадает
по направлению~ вектором силы трения Fтр. Согласно
закону Ньютона
R
= та. Но N =
11
тg, так как по вертикали
автомобиль не имеет ускорения._Мо.цуль силы трения тогда
равен: Fтр = µN = µmg. Так как R
Fтр, то Fтр = та = µmg,
откуда а
= µg.
=
218
решение типовых задач по физике
Проекцию скорости автомобиля найдем по формуле
v = v0 - at
Но
О, следовательно,
v=
v0 = at,
откуда время останов-
ки:
t=3!.=3!..
µg
а
Тормозной путь определим, пользуясь формулой
J-~
S= ~;
~
l= 2а
=
ifi
'2µg
Отсюда выразим коэффициент трения скольжения:
zfi
µ=~·
С учетом коэффициента трения:
t=
~ = ~ = '!:!.; t = [м · с = с]
µg
t\1
1{$
м
,
-1]
- [.r.?-·c
С·м·м-
zfi ·µµ-~·
2. 150
t = - 1-0 - = 30 с.
102
µ = 2 . 150 . 10 = 0 •033
Ответ: t
= 30 с; µ = 0,033.
Задача 3. Лыжник массой 60 кг, имеющий в конце
спуска скорость 1О м/с, останавливается через 40 с
после окончания спуска. Определить величину силы
сопротивления.
Дано:
т =
60 кг;
v0 = 1О м/с;
t = 40 с;
v=O
Найти:
Fтr>-?
Решение:
На лыжника__действуют: сила тяжести mg, сила
реакции_дороги N и сила сопротиВления, то есть сила
трения Fтр· Для описания движений выберем прямо уголь-
219
справочник школьника
ную систему координат с началом
у
-
координат точкой О - местом, где
началось торможение. Ось х напра­
вим
по
направлению
а
движения,
тогда проекция вектора ускорения
на ось х будет отрицательна
дви­
-
-
жение лыжника равнозамедленное.
_
mg
По второму закону Ньютона:
R=ma
N + тg + Fтri = та.
Оу:
N - mg =
О =>
N=
тg.
Ох: -Fтri =-та=> Fтri =та.
По определению: Fтр =
µN= µmg,
так как
Fтri = та = µтg => а
=
µg; µ = ~;
v= v" - at
В момент остановки
v0 = at =>
а
v=
О ~
v0
-
at =
О.
t\1
= 1-.
Найдем коэффициент трения скольжения лыж по дороге:
а
L\1
µ=-=g gt
Тогда силу сопротивления можно определить по формуле:
тg= 11.т· F = [м
. кг н]
F =1.\1-• --=
тri
gt
t' тri
с·с
10. 60
Fтri
= -;ю- = 15 Н.
Ответ: Fтр
Задача
4.
= 15 Н.
Тело скользит равномерно по наклонной
плоскости с углом наклона 30°. Определите коэффици­
ент трения тела о плоскость.
Дано:
а=30°=.::
6
Найти:
µ - ?
решение типовых задач по физике
220
Решение:
При скольжении тела по на­
клонной плоскости на него дейст­
вуют три силы: сила тяж_!сти тg;
сила ре~кции плоскости N и сила
трения ~р· Направим ось х вниз по
наклонной плоскости по направле­
нию движения тела. Так как при
равномерном движении а = О, то
второй закон Ньютона можно за­
писать так:
N+mg+ F.r=O.
Найдем проекции векторов сил на оси координат х и
у, пользуясь соотношениями в прямоугольном треугольни­
ке. Проекции сил на ось у:
NY = N, mgY = -тgcos а
Тогда второй закон Ньютона в проекции на ось у имеет
вид:
N-
тg cos а
=
О =>
N = mg cos а
Проекции на ось х:
FТfl,
=-
FТfl,
mg sin а -
mg, = mgsina =>
= О => FТfl = mg sin а.
FТfl
Силу трения скольжения можно определить:
FТfl = µN => FТfl = µmg cos а = mg sin а =>
.
11 cos а = sш а, откуда µ
sina
= cos а = tg а
µ = tg 30" "" 0,58.
Ответ:µ
:::::: 0,58.
Задача 5. Почему при больших скоростях автомобиль
иногда «заносит» на повороте?
Решение:
Движение по окружности - это движение с центро­
стремительным ускорением. Чтобы автомобиль смог про­
ехать поворот, должно появиться центростремительное ус­
корение,
которое_можно
Ньютона как а= li,
где
т
определить
R-
по
второму
закону
равнодействующая всех сил.
Так как в вертикальной плоскости сила тяж~сти_и сила
реакции опоры уравновешивают друг друга, то
R = Егр· При
2.21
справочник школьника
большой скорости движения автомобиля трение колес о
поверхность дороги
может оказаться
недостаточным для
создания необ.ходимого центростремительного ускорения,
поэтому автомобиль может <(заносить».
Задача 6. С какой наибольшей скоростью может ехать
мотоциклист по горизонтальной плоскости, описывая
дугу радиусом 80 м, если коэффициент трения резины
о почву 0,4? На какой угол от вертикального положения
он при этом отклоняется?
Дано:
R= 80 м;
/l =о 4·
g = 9:8,м/с 7
Найти:
v-?
а-?
Решение:
На
мотоциклиста действуют
силы : сила тяжести
mg';
С!!Ла реак­
-
ции плоg_<ости (опоры) N и сила
трения Fтр, которая препятствует
скольжению мотоциклиста в сторо­
ну, противоположную закруглению.
Сила трения направлена по радиусу
к центру, закруглению С, поэтому
эта
сила
и
-
mg
создает центростреми­
тельное ускорение.
Если бы мотоциклист не наклонился, то не было бы
силы, которая создает центростремительное ускорение, и
он не мог бы повернуть.
Воспользуемся вторым законом Ньютона:
R = та
Но по вертикали мотоциклист не имеет ускорения,
поэтому N = mg.
Следовательно,
R = Fтр =>
По определению: а11с =
Fтр
1•
2
.!Ji;
=µN.
Следовательно, имеем:
Fтр
= т ацс·
модуль силы трения
222
решение типовых задач по физике
J
= т · -J
R = µmg => -R = µg
F
1JI
Откуда v = v;:;R; v = [Vf: = ~].
Определим угол отклонения от вертикального положе­
!!_ия,_рассматривая векторный треугольник (вектор сил тg;
N и Fтр), который является прямоугольным.
Имеем
tg
а
tg а
FJJI µmg
= -mg
= -mg =µ ' то есть
= µ =>
а
= arctg µ.
Вычисления:
= 17,7 м/с = 64 км/ч.
arctg 0,4 = 22°.
Ответ: Vмах = 17, 7 м/с = 64 км/ч - наибольшая скорость
vm
= V0,4 · 9,8 · 80 = VЗlЗ,6
а =
движения; а
== 22°.
Задача 7. Шофер грузовика, едущего
со скоростью 72 км/ч, заметил на до­
роге знак. Сможет ли он, не сбавляя
скорости, проехать поворот, если его
радиус равен 25 м? Считать коэффи­
циент трения шин о дорогу 0,4.
Дано:
v = 72
км/ч =
20
м/с;
R = 25 м,
µ = 04•
g=
10 ~/с2
Найти:
R-?
Решение:
х
В момент поворота на автомо­
биль действуют: сила тяжести тg;
сила реакции дороги
N и сила трения
Fтр, препятствующая проскальзыва­
нию шин автомобиля и направленная у
к центру закругления. При равномер­
ном движении автомобиля на пово­
роте
вектор ускорения
направлен
к
-
mg
r
223
справочник школьника
центру окружности по радиусу, так как сила трения создает
центростремительное ускорение. Чтобы ответить на вопрос
задачи,
определим радиус дороги для данной
скорости
движения.
Воспользуемся вторым законом Ньютона:
Fтр
+ N+ mg= т'i{.;.
Ох.
N- mg=
О=>
N=
тg.
Оу: Fтр = та'"'.
Принимая во внимание, что ЕгР
получим:
µmg =
т · i_ => R = !!_.
R
R
µg'
R=
= µN
и ацс
J
R'
[,.;/с!- = J
м/с
J
2D2
= О, 4
. lO = 100 м
Ответ: Шофер должен уменьшить скорость движения, так
как радиус окружности, которую опишет грузовик
при данной скорости, 100 м, а радиус поворота 25 м. В противном случае грузовик занесет на
обочину дороги.
8.
Движение искусственных спутников и планет
Движение искусственных спутников и планет рассмат­
ривают как равномерное движение по окружно~..ти. Задачи
решаются на основе второго закона Ньютона: F
та, где
сила
F-
=
сила всемирного тяготения между телами, а а
-
центростремительное ускорение тела, движушегося вокруг
другого
-
центрального тела.
Напомним закон всемирного тяготения:
т1. т2
F= G----Т
и формулу центростремительного ускорения:
ацс
J
= "R.·
Первая космическая скорость скорость, которую
нужно сообщить телу, чтобы оно стало искусственным
спутником. Эту скорость рассчитывают по формуле:
v1 =
У G · R ~ h, где
решение типовых задач по физике
224
радиус планеты;
высота над поверхностью.
Rh-
Если h
z
О, то v1 = vgR, где g - ускорение свободного
падения на данной планете.
Ускорение
g может
быть вычислено по формуле:
м
g= G/f-
Задача
1. Скорость обращения Земли вокруг Солнца
30 км/с, радиус земной орбиты 1,5 • 1О 11 м. По этим
данным определите массу Солнца.
Дано:
v = 30 км/с = 30000 м/с = 3 · 104 м/с,
R=l,S·l0 11 м;
G = 6,67 ·\О 11 Н · м 2/кr2 ,
Найти:
М"-?
Решение:
Данное движение рассмат­
у
ривается в трехмерной системе
координат
xyz.
Начало координат совмес­
тим с центром Солнца, ось хна­
правим по радиусу земной орби­
ты. Сила взаимодействия Земли
и Солнца направлена к центру
окружности по радиусу. Это и
3
х
z
есть сила всемирного тяготения между телами.
Согласно второму закону Ньютона:
F= та;,0 •
В проекции на ось х:
- F=
-тац, или
F
= тац,
А(. м,
Так как F= G-Г, ац,
Ц·М,
G--ТМс
-
J
= R' то
M,·J
= -R-' где
масса Солнца, М3
-
масса Земли.
Следовательно, масса Солнца:
225
справочник школьника
_ J · R.
_ [,; · м · кi _
M,--G 'М,- ~2 Н 2 с-·
·.11r
м · кг2 • с?-
_ ]
j_-кг.
кг
м·с-
Вычислим:
М = (3 · 104) 2 • l,5 · 1011 = 32 • l,5.
6,67 . io- 11
'
6,67
Ответ: Масса Солнца""" 2 ·
1030
10м+tt-(-11J"" 2 . 10 зо
кг.
кг.
Задача 2. Вычислить первую космическую скорость
для Луны, принимая радиус Луны 1700 км, а ускорение
свободного падения тел на Луне - 1,6 м/с 2 •
Дано:
R = 1700 км= l,7 · 106 м,
g = 1,6 м/с 2
Найти:
v, -
?
Решение:
Первую космическую скорость для Луны можно опре­
делить по формуле:
v,=~.
Но ускорение свобощюго падения тел на Луне:
g=
м
GK.
Тогда преобразуем формулу скорости таким образом:
умножим и разделим одновременно на радиус орбиты R.
Получим:
v=VG·м·в_=...jG.м·R
R R
Jf.
1
Откудаv1 ='1iR; v,= [vr: =~]
v1 =Vl,6 · 1,7·106 ""1,65 ·
Ответ:
Vi : : : : 1,65
10 3 м/с=1,65 км/с
км/с.
Задача З. Какую скорость должен иметь искусствен­
ный спутник, чтобы обращаться по круговой орбите на
8
rсшсние з:щач по физике
решение типовых задач по физике
226
высоте 900 км над поверхностью Земли? Каков период
его обращения?
Дано:
h
= 900 км = 9 · 105 м = 0,9 · 106 м;
MJ = 6 • 1024 кг;
R, = 6400 км = 6,4 · 106 км;
G = 6,67 · 10- 11 Н · м 2/кг2
Найти:
v-?
Т-?
Решение:
На спугник действует сила притяжения Земли, под
действием которой он обращается по круговой орбите с
центростремительным ускорением. Векторы силы и уско­
рения направлены к центру окружности по радиусу. Спуr­
ник находится на высоте h над Землей, поэтому радиус
орбиты можно определить как R
Яз
h.
Согласно второму закону Ньютона
=
F = тацс• где ацс
+
J
= R'
По закону всемирного тяготения:
М·т
F= G (R,J+ h)2·
Следовательно,
MJ · т
+ h)2 =
G (R,
mJ
R, + h'
Отсюда:
v=VG~·v=
R, + h'
... /
v = V 6,67 · JO
-11
[V кг·м·лi"кг =~=!!i]
С1- • кl- · (м
+ м)
6·1024
· 6,4 . 106 + О, 9 . Hf
С2
...
16,67·6
с
= V ~ · 10
7
""'
""'VS4,8 · Hf ""'7,4 · 103 м/с.
Период обращения спутника (время одного полного
оборота)
Т= ЪiR = 2л (R, + h)
v
v
227
справочник школьника
2 . 3,14' (6,4. 106 + 0,9 . 106)' 6 195
""',
7,4. 103
""'103 мин""' 1,72 ч.
Т=
Ответ:
v:::::: 7,4
км/с; Т=
103
мин=
J
•
10 c=619Sc""
1,72
ч.
Задача 4. Космонавты, подлетая к неизвестной пла­
нете, придали своему кораблю горизонтальную ско­
рость
11
м/с. Эта скорость обеспечила полет корабля
по круговой орбите радиусом 9100 км. Каково ускоре­
ние свободного падения у поверхности планеты, если
ее радиус 8900 км?
Дано:
v = ll км/с= 11·103 м/с = 1,1·104 м/с;
r = 9100 км= 9,1·106 м;
R = 8900 км = 8,9 ° 106 м
Найти:
g-?
Решение:
В данном случае на космический корабль действует
только сила тяготения со стороны планеты. Эта сила на­
правлена к центру планеты по радиусу орбиты корабля, и
ее можно определить по закону всемирного тяготения:
Мт
F= G7
, где
радиус орбиты(или расстояние от центра планеты до
корабля),
М - масса планеты,
т - масса корабля.
Этот закон можно записать в таком виде:
r -
F=
Мт
Jf-
М
G-Т ·К-= GК-
Jf-
· т 7 (R-
Напомним, что выражение
радиус планеты).
G;
=g -
ускорение сво­
бодного падения у поверхности планеты.
Тогда
R2
F = gт 7 .
Силу, действующую на космический корабль,~ожно
определить, пользуясь вторым законом Ньютона:
F = та.
решение типовых задач по физике
228
Эта сила вызывает центростремительное ускорение, на­
правленное тоже к центру планеты.
Поэтому:
mJ
F=ma.._=-.
r
Следовательно,
JfmJ
F= gт7
= r'
откуда
[Ж ·м м]
Jr
g = К; g = С1 . .t.t =-;?
- (l,l . 104) 2 • 9,1 . 106 - 1,21 . 9,1 . 102 2
g(8,9. l<f)2
8,92
- 14 м/с .
Ответ: g
:=:: 14 м/с 2 (ускорение
поверхности планеты).
свободного падения у
Задача 5. На какой высоте над поверхностью Земли
был запущен искусственный спутник, если он движется
со скоростью 7, 1 км/с?
Дано:
v = 7,1 км/с= 7,l · 103 м/с;
G = 6 67 · 10· 11 Н · м 2/кi1·
М=G·l024 кг
,
J
'
R, = 6400 км = 6,4. 106 м
Найти:
h-?
Решение:
Скорость движения спутника называют первой косми­
ческой скоростью, которая вычисляется по формуле:
v=VGя.,~h·
Выразим из этой формулы высоту над поверхностью
Земли h:
М,
GМ,
J
= G R, + h => R, + h = ----;г·
Отсюда:
GM
h = -J, - R,; h =
·
[н_2 м2_2• кг2 кг-
· м-/с
6 67 . 10-•• . 6 . 1024
h= '
Ответ:
h
7 2 06
'1 . l
:=::
1500 км.
м
= кг 2· м · С1
с
·
кг
-
"" 1,5 . 106 м = 1500 км.
м
= м]
229
справочник школьника
9.
Движение под действием нескольких сил
Задача 1. Автомобиль массой 5 т трогается с места с
ускорением 0,6 м/с 2 • Найти силу тяги, если коэффици­
ент сопротивления движению равен 0,04.
Дано:
т = 5 т = 5 · 103 кr,
v0 =О, а> О,
а= О 6 м/с2
11 = о:о4, g ,,;,
м/с 2
9,8
Найти:
Fтяrи-?
Решение:
На автомобиль действуют четы­
ре силы: сил~тяжести тg; сила реак­
ц_ии опоры N, ciw:a тяги двигателя
Fт и сила трения Fтр. За положительное
направление оси х примем
у
о
_
N
v
на- _r_m...,P_...________
правление движения автомобиля, а
ось у направим
вертикально
х
/
вверх .
Так как движение равноускоренное,
mg
то вектор ускорения направлен в сто-
рону движения и совпадает с направлением оси х. Для
решения задачи воспользуемся вторым законом Ньютона
и определением силы трения скольжения .
Краткая запись решения задачи:
По второму закону Ньютона:
N + F., + mg+ F,.., = та.
Ох: F, - Fтr =та
Оу: N - тg = О * N = тg
F, = F,P +та
По определению: Fтр =
Тогда: Рт =
F, =[кг .
µmg
+ та =
= 5 кН.
Fтр =
mrg +
(? + ~) =кг~ м = Н.
Fт = 5 · 103(0,04 · 9,8
Ответ: Fтяrи
µN =>
µmg.
а).
+ 0,6) = 5 • 103 Н
=
5 кН.
решение типовых задач по физике
230
Задача 2. Определить, пользу- У,м/с
ясь
графиком,
как движется
поезд и какова сила тяги локо-
20
мотива, если известно, что
масса поезда 2500 т, а коэффициент сопротивления 0,025.
15
Дано:
т
1о
5
о
= 2500 т = 2,5 • 106 кг;
µ=о
5
10 15 20 25
t,c
025·
10 м/~2
g=
Найти:
а-?
Fтяrn-?
Решение:
На графике представлена зависимость скорости дви­
жения поезда от времени. Скорость поезда уменьшается,
следовательно, движение равнозамедленное (а <О). Можно
определить ускорение движения поезда:
v-:;;
а=-1--".
По графику находим:
~ь =
Модуль ускорения: /а 1=
м/с;
с; v=
20
t= 25
15
м/с.
201 = 0,2 м/с2.
15 ~
1
Поезд тормозит с ускорением 0,2 м/с2 •
На него действуют силы: си:[_а
тяжести т& сила реакции щюры
У
~
N,
_
сила тяги Рт и сила трения Fтр.
Так как поезд движется равноза- -
...::!..._
_N_ _
медленно, то ускорение направлено _F_m"р-1----.-----­
противоположно движению.
7,:'l7,::/7/t:::::'7/~~'l7,/ х
Запишем второй_.;эакон Ньютона
в векторной форме: R
та, или
=
mg
N + F,. + mg+ 11]1 = т,а.
Выберем прямоугольную систему координат и перепишем уравнения в проекциях на оси координат:
Ох:
F, - F1JI = -тlа 1Ф F, = F1JI - mla /.
Оу:
N - mg = О
Ф
N
= mg.
По определению Fтр
= µN => Fтр = µmg.
справочник школьника
Отсюда: Fт =
F,
= [кг·
231
µmg- mlal = m(µg-
(?-?) =кг·?= 1
lal)
F, =2,5 • 106(0,025 · lO - 0,2) = 0,125 · 106 = 125 кН.
Ответ: Поезд движется равнозамедленно с ускорением
0,2 м/с 2 • Fтяrи = 125 кН.
Задача 3. Троллейбус массой 10 т, трогаясь с места,
на пути 50 м приобрел скорость 1О м/с. Найти коэффи­
циент сопротивления, если сила тяги равна
14
кН.
Дано:
т = lO т = 104 кг;
v0
=О; а> О.
S= 50 м;
v = lO м/с,
g = 9,8 м/с2 ;
F, = 14 кн = 14. 103 н
Найти:
µ-?
Решение:
На · троллейбус, движущийся
у
равноускоренно, действуют четыре
C!!Jla тяжести mf; сила реакции
о..поры N - по вешикали; сила тяги _
о
силы:
Ру и сила трения Fтр
-
N
х
тали. Вектор ускорения сонаправлен
с
вектором
скорости
v
по горизон- _F_,m_p_...._ _ _ _- _ _
и
/
вектором
силы тяги. Выберем направление
оси Ох по направлению движения
троллейбуса.
По второму закону Ньютона:
_
R
m9
= та.
N + F, + тg+ Fтr> = та.
В проекциях на оси координат это уравнение примет
вид:
Ох.
F, -
Fтr>
=
Оу:
N-
тg
= О =>
та =>
F, =
Fтr>
+ та.
N = mg
По определению сила трения скольжения:
Fтr>
=µN=µmg.
F.
Откудаµ= .:.:!1'..
тg
232
решение типовых задач по физике
F
-та
Следовательно, Jt = _т_ _ ;
mg
Уj;::е+н:! движения можно найти, учитывая, что:
v=
Ч~
+ at
v0 =
Так как
О, то решим систему из двух уравнений
относительно ускорения а:
Имеем:
а;=> 11 ~2 · dJ =>а= 1Js
j
S=
v= at
=
S=
Ускорение можно найти другим способом, если вспо.~1-
нить формулу:
v2 -
v~
2
s = 20 => S = ;0 ,
2
откуда а= ; 5.
Решение задачи в общем виде:
J
и= F,- т 2S = 2SF,- тJ_ 14 = [м ·кг· м!с - кг· .li21C2 =
1]
mg
2mgS '
кг · м/ С2 • м
2 . 50 . 14 . 103 - 104 • 102 14 . 1()5 - 106 (1,4 - 1) . 106
µ =
2 · 104 • 9,8 · 50
= 9,8 · Hf =
9'8 · 106 =
_ _м_ОО4
- 9,8 - ' .
Ответ:µ
Задача
: : : 0,04.
4.
Автомобиль массой
3
т трогается из состо­
яния покоя по горизонтальному пути в течение 1О с под
действием силы тяги 3000 Н. Определите, с каким
ускорением движется автомобиль при разгоне и какой
скорости он достигает за это время? Коэффициент
сопротивления движения 0,02.
Дано:
т = 3 т = 3 · 103 кг;
v., =О;
t = 10 с;
а> О;
F
= 3000 Н = 3 · 103 Н·
/= 10 м/с2 ;
µ = 0,02
'
233
справочник школьника
Найти:
а-?
v-?
Решение:
Рассмотрим силы, действую­
щие на автомобиль. По вертикали
у
реакции дороги
N;
при разгоне по -F
деис_:rвуют
Ее и сила трения
в
сторону,
Fтр'
N
v
mp
u
[рризонтали
- -
·-о
действуют сила -:Q!Жести тgи сила
сила
тяги --+--"+--+---__,·х
направленная
/
противоположную дви-
жению. Вектор ускорения направ-
mg
лен так же, как векторы силы тяги автомобиля и скорости,
_
так как движение равноускоренное.
Второй закон Ньютона в векторной форме:
R = та.
N + F, + тg+ F,P = та.
Ох:
F, -
Оу:
N- mg=
Fтр
= та
О=>
N= mg.
Сила трения по определению: Fтр =
Следовательно: Ее
µmg = та,
Откуда
-
а = Fт -
11mg.
'
т
µN = µmg.
а = [Н - кг · м/ С2 = ~].
кг
с2
Скорость автомобиля в конце разгона найдем по фор­
муле скорости равноускоренного движения:
Так как
v0 =
О =>
v = v0
+ at.
v = at;
Вычислим:
а=
3 · 103 - О 02 · 10 · 3 · НУ
j . Н>3
=
3 · 103 • (1 - О 2)
3 . 1оз ' = 0,8 м/с2
'
v = 0,8 · 10 = 8 м/с.
Ответ: а
= 0,8
м/с 2 ;
v = 8 м/с.
Задача 5. Груз массой 50 кг равноускоренно поднима­
ют с помощью каната вертикально вверх в течение 2 с
на высоту 10 м. Определить силу натяжения каната.
Дано:
т
= 50 кг;
t = 2 с;
h = 10 м;
234
решение типовых задач по физике
v0
=О, а> О,
g = 9,8 м/с 2
Найти:
Т-?
Решение:
На груз действуют: сила тяжести
т& направленная вертщ::ально вниз, и
сила натяжения каната Т, направленная
вертикально вверх. Движение груза рав-
ноускоренное, поэтому вектор ускоре- _V
ния а также направлен вертикально
вверх
и
совпадает
по
направлению
У
tТ t
с
осью у.
а
_
mg
По второму закону Ньютона:
Т+тg= та.
Оу- Т - тg
Т= т(а
= та => Т = та
+ тg
+ g).
При равноускоренном движении высота подъема оп-
ределяется по формуле: h = ц)t + а{; но v = О, следовательно,
0
ar
2h
h=т· откуда а=;·
Тогда:
Т= т.
( 2; +
ф Т= [кг· (~ + ~) =кг·~= н]
Т= 50 · ( 2 ~ 2l0 + 9,8)
Ответ: Т=
Задача
740
= 740 Н.
Н.
6. Тело массой 100 кг, двигавшееся вертикаль­
но вниз со скоростью 6 м/с, тормозится до остановки
в течение 4 с. Определить силу натяжения каната, к
которому прикреплено это тело.
Дано:
т =
v0 =
100 кг;
6 м/с,
v=
О;
t=
4 с;
g= 9,8 м/с2
235
справочник школьника
Найти:
Т-?
Решение:
На тело действуют две силы: сида тя­
жести тgи сила натяжения каната Т. Выберем направление оси у вертикально
вниз,
тогда направление
вектора ускоре-
ния будет противоположно направлению _
оси у, так как движение тела является У
1
t
равнозамедленным.
Согласно второму закону Ньютона:
mg
Т+тg= та.
Запишем это векторное уравнение в
у
проекциях на ось у:
-Т+ тg= -та,
Откуда, Т = тg
+ та =
т(g + а).
Найдем ускорение движения из формулы скорости
равнозамедленноrо движения:
v= v
0 -
Vo
at, так как v =О Ф v = at, откуда а=/·
0
Решение задачи в общем виде таково:
Т=т· (к+~); Т= [кг·(?+ /с) =кг·?=н]
Т= 100 · (9,8 + ~) = 1130 Н =
Ответ: Т = 1, 13 кН.
1,13 кН
Задача
7. Тело массой 0,6 кг падает вертикально вниз
с ускорением 9,4 м/с 2 • Чему равна средняя сила сопро­
тивления воздуха?
Дано:
т=О6кг
а= 9 4м/~2 •
g= 9:8 м/с2 '
Найти:
~-?
Решение:
На тело, падающее в воздухе, действуют две силы: сила
тяжести тg; направленная вертикально вниз, и сила сопро-
236
решение типовых задач по физике
-
тивления воздуха~. направленная верти­
Fc
кально вверх. Движение тела равноуско­
ренное, поэтому вектор ускорения направ- V 1
лен в сторону движения, то есть
t
вертикально вниз.
Запишем второй закон Ньютона:
mg+ ~=та:
mg
Ось у выберем по направлению движения - вертикально вниз. Тогда:
у
- F;, = та, откуда
F;, = mg - та = т(g - а),
Оу. тg
F.
= 0,6 · (9,8 -
Ответ:
9,4)
Fc = 0,24
=0,6 · 0,4 = 0,24 Н = 240 мН
Н =
240
мН.
Задача 8. Метеорологическая ракета массой 400 кг
стартуя вертикально вверх, за первые 5 с поднялась н<
высоту 250 м. Найти силу тяги, если средняя сит
сопротивления воздуха на этом участке равна 2 кН.
Дано:
т
= 400 кг;
v0
=О;
t = 5 с,
J1 = 250 м;
а> О;
Е., = 2 кн= 2. 101 н.
g = 10 м/с 2
Найти:
F.-?
Решение:
На ракету при ее старте действуют три
силы: сила т&жести mf, сила сопротивле­
ния воздуха Fc, направленная противопо-
ложно движению, и сила тяги "Ег.
Движение ракеты равноускоренное,
поэтому
направление
вектора
ускорения
совпадает с направлением движения.
Выберем направление оси у верти­
кально
вверх
и
для
описания
движения
воспользуемся вторым законом Ньютона
у
-
Fm
t-a
-
t-v
Fc
mg
237
справочник школьника
сначала в векторной форме, а затем в проекциях на вы­
бранную ось координат:
F, + mg+ ~=та.
F, - mg - F,, =
Оу:
та =>
F, =
тg
+ F,, + та.
Найдем ускорения движения из формулы перемеще­
ния при равноускоренном движении. Так как v0
О, то
=
at
2h
S=h=2* а=
.
7
В общем виде формула для решения задачи:
тg + F,, + т · ~; F, = [ Н + н + кг~ м = н]
F, =
F
т
= 400 · Ю + 2 · 103 + 400 · 2 .522 SO = 4 · юз + 2 ·
1()3 + 8 ·
юз =
= 14 · 103 Н = 14 кН.
Ответ: Fт = 14 кН.
Задача
9.
Автомобиль массой
1
т поднимается по
шоссе с уклоном 30° под действием силы тяги 7 кН.
Найти ускорение автомобиля, считая, что сила сопро­
тивления не зависит от скорости движения. Коэффици­
ент сопротивления равен О, 1. Ускорение свободного
падения принять равным 10 м/с 2 •
Дано:
т
= 1 т = Ю 3 кг;
30°·
F = 7 ~н = 7 · 1оз н·,
µ = 0,1
g= 10 м/с 2
а=
т
Найти:
а-?
Решение:
На движущийсЯ автомобиль
действуют силы:
сила тяжести
тg; направленная вертикально
вниз, сила реакции шоссе
правленная
лярно
вверх
N, на­
перпендику­
поверхности,
сила
тяги
~.направленная вверх вдоль на­
клонной плоскости, и сила тре-
х
238
решение типовых задач по физике
ния о шоссе Fтр, направленная противоположно движению
автомобиля. Вектор ускорения а направлен вверх вдоль
наклонной плоскости, так как движение автомобиля рав­
ноускоренное. Для описания движения выберем прямо­
угольную систему координат хОу, направим ось х вверх
вдоль
плоскости,
а ось у
-
перпендикулярно плоскости
вверх. Находя проекции силы тяжести тgпо оси х и у,
воспользуемся соотношениями в прямоугольном треуголь­
нике.
Краткое оформление решения задачи.
По второму закону Ньютона:
N + F, + mg+ Fтр =та.
sin а+ F, - Fтр =та (mgx = mg sin а)
N - mg cos а = О => N = mg cos а.
Ох: -тg
Оу.
По определению сила трения
Fтр
= µN= µmgcos
а.
sin а + Рт - µmg cos а = та.
= F,- mg· (sina + µ cosa)_ а= [Н - кг· м!с = ~]
Отсюда: -тg
0
а=
т
'
кг
7 · 103 - Н>3 · 10 · ( sin 30" + O,l · cos 30°)
С2
lОз
= юз · (7 - Ю · (0,5 + О, l
lоз
· 0,87)) "" l lЗ / 2
' м с.
Ответ: а""" 1,13 м/с2 •
Задача 10. Телега массой 500 кг начинает двигаться
вверх по наклонной дороге. Через 1О с от начала
движения она проходит 100 м. Определите силу тяги
телеги, если длина уклона дороги 1,5 км, подъем 100 м
и коэффициент трения равен 0,4.
Дано:
т
= 500 кг;
v0
=О;
t = 10 с;
S= 100 м;
g = Ю м/с2 ;
/ = l,5 км= l,5 ·юз м;
h
= ЮО м;
µ =0,4
239
справочник школьника
Найти:
F,-?
Решение:
На телегу действуют четыре
силы: сила т.wкести т~ cwa реак­
ции дороги N, сила тяги Fт и сила
трения Fтр.
Выберем прямоугольную
систему координат хОу и восполь­
зуемся для решения
задачи
вто­
рым законом Ньютона:
N + F,. + mg+ Fтр = mff.
F,- Fтр - mgcos а= О~ N= mgcos а.
N - mg cos а = О, ~ N = тg cos а.
так как Fтр = µN => Fтр = µmg cos а.
Ох:
Оу:
Для нахождения угла а рассмотрим треугольник АВС .
cosa
.
Stna
= АС
ВСили cosa =
../r-11-
h
= l'
Найдем ускорение движения из формулы перемеще­
ния:
ar
S = Ч/ + Т ~а=
= µmg ·
= mg .
F,
=
_
F. -
(так как v0 =О).
= Fтр + mgsina +та или
Получим Fт
F,
2S
7
~
/
2S
h
+ mg · l + т · 7 =
(µ . УГi?+ !!. + 2S)
1
1 g?-
[кг~ м (~ + ~ + м!;. с) = кг~ м = н]
.
SOO 10
= 5000 ·
Ответ: Fт
.
(о,4 · v1,s2 • 106 l,5 ·
103
(225 [о,4 . .../10
1,5 . lОЗ
= 3350
4 •
Н.
1)
1002
+ 2. 100)100
+ 1,5 · IОЗ
10 · НУ 1
+ + l5 +
s1) "" зз50 н
240
решение типовых задач по физике
Задача 11. Тележка массой 5 кг движется по горизон­
тальной поверхности под действием гири массой 2 кг,
прикрепленной к концу нерастяжимой нити, перекину­
той через неподвижный блок. Определить натяжение
нити и ускорение движения тележки, если коэффици­
ент трения тележки о плоскость О, 1. Массами блока и
нити, а также трением в блоке пренебречь.
Дано:
т,
т2
= 5 кг,
= 2 КI",
1~
= O,l,
g = 9,8 м/с 2
Найти:
Т-?
а-?
Решение:
В данном случае рассматривают движение каждого
тела отдельно.
l)
На тележку действуют силы:
у
сила тяжести т,& сила реакции плоскости
N,
сила натя-
N
а,
жения Т1 , сила трения Fтр. --------~-d---x•
Выберем прямоугольную сис­
тему координат хОу; направим
ось х по направлению движе­
ния тележки, а ось у- верти­
кально вверх.
Запишем для тележки второй
закон Ньютона в векторной
форме:
у
N + Т1 + m1g+ Fтр = m1ffi.
В проекциях на оси х и у это уравнение примет вид:
- Flf' = т 1 а 1 •
Оу: N - m1g = О, Ф N = m1g.
Ох: Т1
=
Так как Fтр
µN= µm 1g.
Тогда из первого уравнения (проекция векторов на ось
х) имеем:
Т1 - µm 1g = т 1 а 1 •
( 1)
2)
На гирю
m2 действуют две
силы: сила тяжести
m2ifи сила
натяжения нити Т2 • По второму закону Ньютона:
241
справочник школьника
f'2 + т;g= tnz"ff7.
02
Вектор ускорения
направлен вниз, по направлению
движения гири. Для описания движения гири достаточ­
но выбрать одну ось у, направление которой в данном
случае удобно выбрать вертикально вниз.
Тогда проекция векторов на ось у и второй закон Нью­
тона примет вид:
+ m2g = т2 а2 , или m2g - Т2 = т 2 а2
Получилась система из двух уравнений:
-Т2
(2)
т, -µm,g= т,а,,
{ m2g
- Т2 = т2а2
Учитывая, что нить, связывающая тележку и гирю,
нерастяжима и невесома, то сила натяжения нити в каждой
точке одинакова, то есть Т1 =
а1
= а2 =а.
Т2 =
Т и, следовательно,
Складывая уравнения системы, получим:
Т - µm 1g + m2g - Т = т 1 а +т 2 а, откуда
g(m2 - µт 1 ) = а(т 1 + mI ~
а= g · (m2 - µm 1) а= м!С1 · (кг - кг) =
т,
+ 1nz
кг
'
+ кг
~]
С1
Силу натяжения нити можно определить по любому
уравнению (1) или (2).
Вычислим искомые величины:
_ 9,8 · (2 - О, 1-· 5) _ 9,8 · 1,5 _ 2 l / 2
аТ
2+5
-
-,МС.
7
= т 1 а + µm 1g = т 1 (а + µg)
Т=
5 · 2,1+0,1·5 · 9,8 = 15,4
Н
Ответ: Т= 15,4 Н; а= 2,1 м/с 2 •
Задача 12. Шарик массой 500 г, подвешенный на
нерастяжимой нити длиной 1 м, совершает колебания
в вертикальной плоскости. Найти силу натяжения нити
в момент, когда она образует с вертикалью угол 60°.
Скорость шарика в этот момент
Дано:
m = 500 м = 0,5 кг;
а= 60°; v = 1,5 м/с; g
Найти:
Т-?
= 9,8 м/с 2
1,5
м/с.
решение типовых задач по физике
242
Решение:
На шари_JS действуют: сила натя­
жения нити Т и сила тяжести тg:
Согласно второму закону Ньютона:
Т+
mg= тй;,с
Направим ось у вдоль радиуса
окружности,
которую
описывает
шарик при своем движении. Спроек­
тируем на эту ось уравнение:
Оу: Т- тg cos а
J
J
-
таис• так как
/= Rи
а.,.,=я=1=>
Т= mgcosa +та,.,= mgcosa + mj = т · (ксоsа + ~)
т = 0,5 . (9,8 . cos 60" + lf) = 0,5 . (9,8 . 0,5 + 2,25)""" 3,6 н
Ответ: Т::::::
3,6
Н.
Задача 13. Груз массой 30 кг придавливается к вер­
тикальной стене силой 100 Н. Чему должна быть равна
сила тяги, чтобы груз равномерно двигался вертикаль­
но вверх? Определить значение минимальной силы F,
которой можно удержать тело в покое. Коэффициент
трения о поверхность
ния принЯть 1О м/с 2 •
0,2.
Ускорение свободного паде­
Дано:
т
= 30 кг;
Fд =
100 Н;
µ = 0,2;
g = 10 м/с 2 ;
а=О
Найти:
Е,-?
F,min - ?
Решение:
На груз .zшйствуют силы: сила тяж_sсти
ния на гр~ Е;_, сила реакции стены
сила тяги Е'т·
N,
mf; сила д'!...вле­
сила трения Fтр и
243
справочник школьника
1.
у
В первом случае груз движется вер­
тикально вверх, поэтому сила тре­
ния
о
стену
направлена
вертикально вниз. Так как тело движется равномерно, то а
О.
=
По второму закону Ньютона:
_Fg_ _ _ _
N_.,.
R=O
Р, + F,. + N + ~р + mg= о
х
= О => N = F,,
F., - FIP - mg = О => F, = FIP + тg
FIP = µN = µF,,.
[
кг . м ~
F., = µF,, + тg-, F, = Н + -Т- = HJ
F., = 0,2. 100 + 30. 10 = 320 н.
F., = 320 н .
Ох:
N - F,,
Оу:
Согласно первому закону Ньютона, при этом значении
силы тяги тело также может оставаться в покое относи­
тельно вертикальной стены, потому что
2.
R= О.
Однако
эта сила не будет минимальна.
Предположим, что тело стремится двигаться вниз, тогда
его будут удерживатв_ в покое две СИЛJ>I, направленные
вверх, - сила тяги Рт и сила трения Fтр. В этом случае
на груз действуют также пять сил.
Запишем второй закон Ньютона:
у
R=O
F., + F,. + N + FIP + mg= О
N - F,, = О => N = F,,
F., + FIP - тg = О => F., = mg - FIP.
FIP = µN = µF,,.
Ох:
Оу:
Следовательно,
F., = µN - µFд.
F., = 30. 10 - 0,2 • 100
f'y nun = 280 Н.
Ответ: Fтяrи
= 320 Н;
N
х
= 280 н
'
Fт miп
= 280 Н
(минимальная сила).
справочник школьника
635
10 КJiacc .............. "............. "............... "........... "... "... ".. ""133
МЕХАНИКА" .. """ .............. " ... " ... " .. " .. " ..." ..... " .. " .. """""133
П. ОСНОВЫ ДИНАМИКИ """""""."." " """"""""""".169
1. Законы Ньютона ..... """ ..""" ..... """ .. """"""" .. "" .... 169
2. Силы упругости ......"""" .""" """."." ..." .. " "" .. " "" ".180
3. Гравитационные силы. Закон всемирного тяготения. Сила тяжести."" .. """"" .. "" .. """""."""""".184
4. Движение тел под действием силы тяжести по
вертикали".""".". """""""""""""""""".".""""" .... 189
5. Движение тела,
брошенного под углом к горизонту и брошенного горизонтально с некото-
рой высоты """ "."." .. "" """""."."""."""". """" .. "" 194
с ускорением . ". """""""""202
5. Вес тела, движущегося
6. Силы трения""" ..".""""" .. """" .. """"""""""."".""211
7. Движение тела под действием силы трения""""" . 215
8. Движение искусственных спутников и планет """223
9. Движение под действием нескольких сил""."""".229