ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ОПТИМАЛЬНОГО ГАЗОВОГО

УЧЕНЫЕ
ЗАПИСКИ ЦArИ
То. XXJJ
1991
М6
УДК 929.7.0\5.3.036 : 533.697.4/.5
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ОПТИМАЛЬНОГО
ГАЗОВОГО ЭЖЕКТОРА
С ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ КАМЕРОЙ СМЕШЕНИЯ. Ч. I
В. А.
Маланичев
Смешение двух газов в эжекторе с цилиндрической камерой смешения
рассматривалось в работах [\-3J. в данной работе исследуется случай
произвольного количества газов с равными температурами торможеиия и оди­
иаковыми величинаМII ер, 11, :к. Определяются условия оптимальности газо­
вого эжектора с цилиндрической камерой смешения.
Приводятся результаты расчета для одного частного случая, IJOДТверж­
дающие выводы теории. В частности, из результатов данной работы следует,
что при смешении двух газов параметры каждого из газов на входе в цилинд­
рическую камеру смешения должны быть постоянными, что ранее другим
способом было показано автором работы [3J.
Смешение двух одинаковых газов с равными температурами торможе­
ния в эжекторе с цилиндрической камерой смешения рассматривалось в боль­
шом количестве работ, в том числе и в работах [1 -5J. ИЗ законов сохра­
нения между входным и выходным сечениями камеры смешения без учета
потерь вытекает следующая система уравнений эжекции:
(k+ \) <Jq( �)
8= ""7(а-+-:\)-:"7- л....
т)�,
..;;
где
k= !i.
О '
2
РО2
0=-,
РОI
РОт
8= --.
РОI
При заданных расходах и полных давлениях смешиваемых газов максимум
степени сжатия Е достигается при условии л'1 = 1 , Р2= Рm, если РО2> РОI И
л'm � 1. Если л'm � 1, то максимум степени сжатия достигается при условии
Доказательство этих фактов уже при смешении двух газов довольно гро­
моздко. При увеличении же числа смешиваемых газов до n, во-первых,
возрастает до (n + 1 ) число уравнений в системе и, во-вторых, возрастает
до 2" число точек локального экстремума полного давления смеси. Это при­
водит к необходимос�и численного перебора всех точек экстремума с целью
определения точки максимума, что, в свою очередь, затрудняет возможность
45
качественной интерпретации получаемых результатов и ставит проблему доста­
точной точности выполняемых расчетов.
Задача смешения в эжекторе нескольких газов возникает из практики
добычи и транспорта газа. При разработке скважин на газовом месторож­
дении имеет место' широкий разброс по давлению в различных скважинах
(3-12 МПа), и весь этот газ из нескольких десятков скважин поступает
на сборный пункт, после которого должен подаваться в транспортную ма­
гистраль, имеющую давление около 7 МПа. В этой связи и возникает задача
оптимального смешения нескольких газов на сборном пункте. Аналогичная
проблема возникает при процессе ступенчатой дегазации нефти с помощью
эжектора.
В настоящей работе при увеличении числа смешиваемых газов увели­
чения числа уравнений удалось избежать путем исключения из системы урав­
нений отношений площадей а. При этом с ростом числа газов до n увели­
чивается до n число независимых переменных в системе уравнений эжекщfИ,
а число уравнений в этой системе остается равным двум. Это· .позволяет
упростить процедуру нахождения точек локального экстремума полного дав­
ления смеси. При нахождении MaKc}fMYMa полного давления смеси газов
независимо от числа смешиваемых газов все их количество разбивается
иа бесконечно бол�шое число бесконечно малых частей. Скорость какой-либо
одной части варьируется при неизменных условиях для других частей. В ре­
зультате таких вариаций находится, что при дозвуковой скорости смеси
в конце камеры смешения максимуму полного давления смеси газов соот­
ветствует звуковая скорость частей газов с меньшим полным давлением
и сверхзвуковая скорость частей газов с большим полным давлением. При
этом для последних статические давления на входе в камеру смешения равны
между собой и равны статическому давлению потока· смеси в конце камеры
смешения, что в частном случае смешения двух газов совпадает с резуль­
татами работы [3J. Математическая формулировка такого вывода факти­
чески является критерием максимума полного давления смеси и позволяет
построить простой алгоритм численного нахождения этого максимума. При
сверхзвуковой скорости смеси в конце камеры смешения максимуму полного
давления смеси соответствуют бесконечные скорости смешиваемых газов
на входе в камеру смешения, и величина этого максимума определяется
аналитическим выражением. Результаты численных расчетов подтверждают
сделанные в работе выводы.
1. Постановка задачи. Рассмотрим процесс смешения в идеальном эжек­
торе с цилиндрической камерой смешения. Идеальным буде/" называть эжектор, в котором:
.
- смешиваемые части газа поступают в камеру смешения без потерь
через полубесконечные параллельные каналы с равномерными потоками газов
при Х= - 00 (рис. 1);
- в камере смешения происходит полное перемешивание, то есть в конце
камеры смешения (при Х= + 00 ) имеет место равномерный поток смеси;
I
=
t=
t=
Рот f=
f=
f=
F
t=
ItJn(YJ
f=:
Е:::::
F=
I�
;:::::: ЩУ"J
I
-
;;;;;
km Е=
Е
I
I
I
I
§ J/
.....
о
Рис. 1
46
jl
х
- отсутствуют потери на трение, на акустическое излучение в камере
смешения и потери при торможении смеси в дозвуковом или. сверхзвуковом
диффузоре;
- отсутствует теплообмен потока со стенками эжектора.
Практически такой же эжектор при смешении двух объемов газа рас­
сматривался в работе [1 J. Orличительной особенностью введенного выше
определения является задание пара метров смешиваемых частей газа не на сре­
зах сопел (при х= О), а при х= - 00. Такой подход делает одномерный
метод расчета более строгим, особенно в случае дозвуковых скоростей неко­
торой части смешиваемого газа. Введение постоянного коэффициента потерь
на восстаноВJiение QОЛНОГО давления смеси в диффузоре, сделанное в рабо­
те [IJ, не влияет на конечный результат.
I1TaK, имеется некоторое количество газа Go. Полное давление газа
задано как функция удельного расхода - ро(у), О � У � 1, где у= G/Go.
Температура торможения То и YД�bHыe теплоемкости Си И Ср постоянны
для всего газа. Без потери Qбщности можно считать, что функция ро(у)
является неубывающеЙ. Пусть газ ·на входе в эжектор (при х= - (0 ) имеет
распределение скорости и(у) и соответствующее распределение статического
давления Р(у). Выберем контур интегрирования так, как это показано на
рис. 1 . Тогда пара метры смеси определяются из законов сохранения пло­
щадей потоков, расходов, импульсов и энергий смешиваемых частей газа:
1
Fт= f dF(y) d'U.
J
dy
О
(
( 1.1 )
'
( 1.2)
Pm Fт +
1
)
(
dF(Y)
Отит= J( Gou(y) + р(у) dY dy,
( 1.3)
о
( 1 .4)
где F - площадь потока, а индексом т отмечены параметры смеси.
Введем газодинамические функции ( [2J) :
( :�: )
q(л)= 1 1.2
1.
где 1.=
и
I к-1
у2К+1 СРТО
1
><-
1
,
.
z(л)=л+т,
1
приведенная скорость газа. Тогда
_
( 1 .5)
-J+( 1 - :2). После подстановки разложений (1.5) и некоторых
где К(х)=
преобразований система уравнений (1.1) - (1.4) преобразуется к виду
РОт=
--..,-1---
d
q(.Лт) r) ро(у )qyЩу))
( 1.6)
О
47
I
z(лт} = �z (Л(у»dу.
( 1.7)
о
Согласно определению функции z(л) при
( 1.8)
уравнение (1.7) имеет два решения. Корню Лт = Лпi/ < 1 соответствует до­
звуковое течение смеси в конце камеры смешения. Корню Лт = Лтr > 1 со­
ответствует сверхзвуковое течение смеси в конце камеры смешения. Первый
корень характеризует работу эжектора с идеальным дозвуковым диффузо­
ром, второй корень характеризует работу эжекroра с идеальным регулируе­
мым сверхзвуковым диффузором. Соответственно двум корням далее, там где
это необходимо, рассматриваются ДB� значения полного давления смеси
РОт/ и pOmr.
По Qпределению приведенная скорость
ЛЕ [0, 1.*],
где 1.* =
-.J :�:.
(1.9)
Кроме того, при сверхзвуковом значении приведенной
скорости Л множество значений функции z(л) ограничено сверху (1.8).
Следовательно, на множество функций л(у) при Лm= ЛтТ накладывается огра•
ничение
( 1.10)
Условия (1.9) - (1.10) являются чисто математическими ограничениями и не
учитывают физической возможности реализации течения с различными функ­
циями Л(У) .
Таким образом, полное давление смеси РОт, определяемое системой урав­
нений (1.6)-(1.7), является фУНКЦИQналом на множестве функций Л(у),
ограниченном условиями (1.9)-(1.10). Оптимизация эжектора сводится к на­
хождению функции л(у), обеспечивающей максимум полного давления сме­
си РОт. Эта задача разбивается на два этапа:
1) нахождение множеcrиа фvнкций I Лех(у)}, на котором величина РОт
удовлетворяет условию экстремума (БРОт = О при произвольной вариации
БЛ(у» , и определение значений РОт на границе множества функций lЛ(у)};
2) выбор функции Лоьs(у) , при которой РОт достигает максимума.
2. Условия экстремума полного давлеиия смеси. Пусть БЛ(у) - вариа­
ция функции Л(у) Записав систему уравнений (1.6) - (1.7) в дифферен­
циальной форме, можно выразить БЛт и определить БРОт. После некоторых
преобразований находим, что
.
БРОт=
РОт
I
(Z'(л(у»
I
J
dy
о
(
у
р
)
Jо о( )qЩу)
(
I(л)-
Р От 1t т
)
()lщ») БЛ(У)dУ,
РО У 1t
У
х
(
где n(л) = 1 -
::;:
)
1.2
х-I
, а величины РОт и Лт определяются из уравнений
(1.6) -(1.7). Любая функция множества функций {Лех(У)}
летворять уравнению:
48
должна удов­
о.
(2.1)
Решая уравнение (2.1), получим, что множество {Лех('V)} состоит из следую­
щих основных функций:
л(у) =
л(у) =
[
[
л*,
ср(у) ,
О,
'Ф(У) ,
уе[ Yi +c'ly],
y�[ Yi+c'ly],
уе[ Yi+ c'ly],
y�[ Yi+c'ly],
л(у) = 1,
л(у) =
л-t(р:("''I')).
(2.2)
(2.3)
(2.4)
(2.5)
где Рт = РОтЛ (Л т), а значения Yi, Yi и функции ср(у) , 'ф (У) произвольны.
Любая кусочно-непрерывная функция ЧУ). в каждой своей точке удовлет­
воряющая одному из условий (2.2)-(2.5), также принадлежит множеству
функций {лех(у)}. Условие (2.3) имеет место только при лт = Лтl. так как
такая функция л(у) не удовлетворяет ограничению (1.10).
Вид функций л(у), определяемых уравнениями (2.2) и (2.3), обуслов­
лен равенством
которое выполняется на множестве этих функций. При этом, если л(у)
имеет вид (2.2). то
РОт= О.
Если Чу) имеет вид (2.3), то
РОтl = РО (У/).
Эти результаты получаются при предельном переходе к функциям (2.2) и
(2.3) в системе уравнений (1.6)-(1.7).
Уравнение (2.5) после подстановки значений РОт и лт и некоторых
преобразований примет вид:
При этом
49
Если ФУНКЦИЯ л (у) на всем множестве у Е [0,1] удовлетворяет условию
(2.5), то уравнение (2.6) эквивалентdО уравненню
I
I
О
О
� л(у) dY � ).��) = 1 .
Его решением ()удет Функция л (у) = const, откуда согласно уравнению (2.5)
следует, что л (у) = л,..
Так как множество функций л (у) ограничено, необходимо определить
значения РОт на границах этого множества, задаваемых условиями (1.9)­
(1.10). Рассмотрим отдельно два случая.
Пусть лт= Лтl. Тогда при А. (у) = ,л,.
POml= О,
что непосредственно вытекает из. уравнения (1.6).
При л (у)-О имеем
л(у) = l1л(у),
ll1лl-О,
z(л(у»
l1Лт =
=
l
�). (V) + О(Il1лl),
1
jrI �dy
О
).(
+- О(Il1лI2),
y)
Тогда из системы уравнений (1.6)- (1.7) следует, что
в зависимости от вида Функции l1,Л
ходе 1 м 1 -0 лежит между ро (О) и po(I) .
Пусть лт= A.mr. Тогда при л (у)-л. имеем:
Il1ЛI-О.
Л(у)=Л*-l1л.(у),
Z( л(у» = z(л*) + l1л(у)
().� 1) + О(Il1лI2),
-
I
�
l1Л m= l1л(у)dy + О(Il1лI2),
о
( ��:y»)
q(л(у» = л* 2
I
х-I
+ О(Il1лI2),
I
( �:.. )
q(лm) = л* 2
50
х- I
+ О(Il1ЛI2).,
Из системы уравнений (1.6)- (1.7) следует, что в этом случае
РОт,=
-----,1--.1
оо
Ал (l') dl'
dl'
) �
•
у)
Ро(I')М(
О
1
.-1
В зависимости от вида функции Лл(у) значение РОт, при предельном пере­
ходе IЛлl __ О принимает различные значения от нуля до максимума. Мак­
симум достигается при
)(
)(-1
ро(у)Лл(у)
= const
и равен
РОт, =
--=--1
..-
_
dl"
О
(� Ро(l') "
1
(2.8)
)
Если л(у) такова, что выполняется строгое равенство (1.10), то
РОт, = +
00 .
3. )'C.II08ИR максимума IIO.IIlЮro Аа"ИИR смеси. 3начеuие РОт мя функ­
ции л(у) вида (2.2) и (2.3) определены в предыдущем параграфе. Рас­
смотрим случай, когда функция л(у) удовлетворяет уравнениям (2.4) - (2.5).
Пусть
ЛI(У)=
[
1,
11:
_1
Р ..
YEJYI'Y �'
(Ро(I'»).
У� JYI' Yl ,
и
Определим изменение полного давления БР От при переходе от функции ЛI(У)
К функции Л2(У). Из уравнения (1.6) подучим
Из уравнения (1.7) следует, что
51
6
(1
�
dy
,
ро(v)qЩу))
.+
)
_
-
6ул(л,(у.))
р,
6р,
p�
(
. (
(У' 1)
+
� �2'
х+
2
I \ -d:т
J
z'(I",(уJ)Л(Л, (yJ)
л'(л,(yJ)
dy +
'-с-
I
q(Л'(Уi))
)
'
поэтому
Так как произведение перед квадратной скобкой положительно, то знак
приращения 6РОт зависит от знака величины
J
Вид функции 1.0"1 (У;» дЛЯ нескольких значений отношения удельных теп­
ло�мкостей х изображен на,Р ИС. 2(1-:- х = 1,67, 2-х = 1,4, 3 -Х = 1,33).
,
Из выражен�я (3.1) видно, что п ри ЛI (У;) = 1 функция 1.(Л) равна нулю.
,
Х,.
о �-""&"":_�_-=-'--�-...j
-М
-f,0
Рис. 2
При л < 1 она больше нуля, при л> 1
меньше нуля. Следовательно, при­
ращение 6у приводит к увеличеНИЮРОт, когда значение ЛI (У;) меньше единицы.
Если же ЛI (У;) больше единицы, то приращение 6у приводит к уменьшению
РОт. Так как РО(У) !ilВЛЯется неубывающей функцией, то ЛI(У;) � ЛI(Уj) при
Yj> YI И Yj, У2 � ]')'1, у2/,. Значит, функция ЛаЬs(У) должна иметь вид
-
[
ЛаЬs(У) = 'п-I
52
1, У Е [О, Уо(
(�), УЕ[ Уо, 1] ,
Ро(У)
(3.2)
где лаь.( 1'0) � 1 и значенне
лаЬs(1') = п-1
(р:;») < 1 при 1' < 1'0
или не существует. Причем, A.obs(1'o) = 1 в случае непрерывной функции
1'0(1'). Если же функция РО(1') является кусочно-постоянной, что часто имеет
место на практике, то Aabs(1'O) > 1. В работе [3] определился оптимальный
режим работы эжектора с цилиндрической камерой смешения в случае Л'" = Л""
при смешении двух газов, то есть когда
Ро (У)
Уе[
О, 1'0] ,
Р ',
- [ РО02'
_
У е[
1'0' 1] .
Оптимальные величины скоростей смешиваемых газов лl = Aabs(1') , У е [О, 1'0]
и Л2= А...(1'). У е [1'0. 1]. найденные в этой работе, совпадают с резуль­
т
м (3.2). Оптимальной функции приведенной скорости Aabs\1') согласно
разложеиию (1.5) соответствует оптимальиая функция площади Fabs (У) равная
ато
•
4. Резу....тат .. расчетов. Расчеты были выполнены для множества функ­
ций РО(1') вида
Ро(1')= ехР(РУ) ,
1 е [О, 1] .
При такой фуикции полного давлеиия интегралы в уравнениях (1.6), (2.6)
н (2.7) вычисляются в квадратурах, так как
[1,
О, 10] ,
1е[
_1
v ':�:
л(1')=
(� ( I:X РУ) )
l-р " ехр
и
1
�о
1
10' 1] .
1е[
1
1
+
+
(
).(1')d1
Z Л(1'»d,= 210
�
� ).��) ,
10
10
1
+ 1 r dy
dy
(
J Po(y)q(l)
р J ).(у)
о
10
10
� )��
О
Po(y
,
).(y»
-
1
( л (У)d1
,
р(х+ 1 ) J
(x-I)
10
где Р = Ро(1')п().(1'». После вычислений находим, что уравнение (1.6) имеет
вид
(.;4.1)
Х + I ) И=Т (1 - ехр ( - РУо» ,
где
= Т ( -2ехр( I:x f}1'O) . Уравнение (2.6) принимает вид
ко= -J1-P
Е
I
Р
".,,1
А- т
[ХХ-I '\'0 +X+I
2х E+-YXХ+-I1 (l� '\'0)'+'
+ f>(:�I)-У:�: Inll:�] = 1,
(4.2)
где
А- т
х
2X X+IX
=хХ+1 '\'0 _ x2+IE
'\'о! + f>(x-�
х +-Ух-+1I(1 -\
I) х-I
(4.3 )
в процессе расчетов задавалось значение ,\,0, заrем из трансцендеНТIЮГО
уравнения (4.2) определялось значение Р и .находилась величина РОт., Как
и следовало ожидать, в результате решения уравнения (4,2) определялись
два значения р, соответСТВУЮLЦие дозвуковому и сверхзвуковому значениям
приведениой скорости смеси А-m' и А-m, из уравнения (4.3).
.
На рис. 3 и 4 приведены результаты расчетов в случае ]с
,4 и �
5
при А-m
Лm, И А-m
А-m, соответственно. Штриховой линией изображены зави­
симости А-(,\,о) , сплошной линией изображены зависимости Рот(УО). При
=
=
=1
=
Лт= Лт/ существует отрезок значений 1'0, где функция (3.2) не существует,
так как при 1'0 � 0 ,29 Л(Уо) = О. Величина РОт/ до(.'Тигает
Л(Уо) = 1. При Лт = ЛтГ С увеличением значения 1'0 величина РОтг умень,
шается. Максимум РОтг достигается при 1'0 = О, и при данной функции РО (v)
согласно уравнению (2.8) он равен
,
Ротг=
[ �(x�l)
( l - ехр( l-:Xp))]
При 1'0 = 1 достигается равенство
pOlllr
=
-х
�
РОт/,
так как в этом случае Лт/ = Лтг = 1. Различие в значеlИfЯх. РОтг И РОт/
при одном и том же значении 1'0 соответствует потерям при прохождении
потоком смеси прямого. скачка уплотнения.
5.• •изическая ре8.llизуемость течениii. В п. 1 было отмечено, 'что оп­
тимальный режим работы эжектора определялся математически без учета
возможности физической реализации течения на всем множестве функций
{л(у)}, у Е [О,1]. В результате было получено, что при л". = Лт/ макси­
мальная величина РОт достигается при
Л(у) =
( > 0, уЕ [0,1],
О,
1'- 1.
и равна РОт/= ехр(р). При Лт= Лmг величина РОт может быть неограни­
ченно большой при стремлении функции л(у) к своей нижней границе (1.10).
Поэтому наложение условий физич�ской реализуемости течения должно стать
следующим этапом в исследовании работы эжектора. Причем, эти условия
надо учитывать именно на последнем этапе по следующим причинам. Во-пер­
вых, УСЛОВИЯ физической реализуемости течения, учитывающие газодинаМИI\")':
течения и процессы смешения, будут иметь сложный вид, что существенно
затруднит исследование системы уравнений (1.6) - (1.7). Во-вторых, возможен
целый класс конструктивных изменений схемы эжектора, при которых пол­
ное давление смеси определяется той же системой уравнений (1.6- (1.7)
и теми же математическими ограничениями (1.9)- (1.10) (дифференциация
и перфорация сопел, использование винтовых сопел [3-5]). Введение таких
конструктивных изменений только расширяет класс функций л(у), которым
может соответствовать реальное течение. В-третьих, можно не исследовать
вопрос о реализуемости течения с такими функциями '" ("i) , которые соот­
ветствуют не интересующим нас, например, небольшим значениям РОт.
Полный анализ условий физической реализуемости течения не является
целы9 данной работы. Orметим лишь некоторые аспекты этой проблемы.
Если лm= лm/ И часть смешиваемого газа имеет дозвуковую скорость
л
( (у) < 1, у Е [О, 1'1]), то условие существования реального течении имеет вид
ро(у)п(Л(у» = const.
Поэтому при непрерывном уменьшении функции Л(у) только л(О) -+0, а зна­
чит, РОт/-+РО(О), чтО меньше вмичины РОт/ при л(у) = Лаьs(у). Функция
л.,Ьs(у) В общем случае также нереализуема, так как статическое давление
в сверхзвуковом потоке при у Е [1'0, 1] больше статического давления в зву­
ковом потоке при у Е. [О, )'01. Поэтому звуковой поток должен поджиматься
сверхзвуковым потоком, но тогда он не может быть звуковым. При стрем­
лении функции Л(у) к функции ЛаЬs(УI) возникает так называемый крити­
ческий режим работы эжектора, когда весь поток в процессе смешения
достигает сверхзвуковой скорости. Чем ближе функция Лег(у), соответствую­
щая критическому режиму рабо:гы эжектора, к функции ЛаЬs(У), тем больше
55
ПОЛlЮе давленне смеси рот. В связи С этим возникают проблемы расчета
момента возникновения критического режима, его затягивания и оптимиза­
ции на множестве (Ас, (у)}, так как функция Ас, (у) не единственна.
При лт = л"., В окрестности нижней границы множества (л(у)} сверх­
звуковое течение смесн реализуется лишь на множестве (Ас, (у)}. в этом
случае чем ближе к нижней границе множества {л (у)} наступает критичес­
кий ре�им, тем БОльшую величину полного давления смеси РОт он обеспе­
чивает. iечение с функцией л(у) = л. также физически нереально, но в этом
CJIучае оолее серьезная проблема состоит в реализации Эффективного тор­
можения высокоскоростного потока в сверхзвуковом диффузоре. Поэтому
практическая перспектива использования высокоскоростных эжекторов пред­
ставляется пока'неясноЙ.
ЛИТЕРАТУРА
1. Х Р и с т и а н о,в·и ч С. А. О расчете эжектора.- Промышленная а эро­
динамика, 1944.
2. К и с и л е в Б. М. Расчет одномерных течений газа.- ПММ, 1947,
т. 11, N! 1 .
. 3. У Р ю к о в Б. А. Теория дифференциального эжектора.- ПМТФ,
1963, N! 5.
4. А р к а Д о в Ю. К. Газовый эжектор с соплом, перфорированным
продольными щелямн.- Изв. АН СССР, МЖГ, 1968, Н! 2.
5. А р к а Д о в Ю. К. Исследование газового эжектора с винтовым
соnлом.- Промышленная аэродинамика, 1973, Н! 30.
Рукопись nостуnиАа 31/У 1990
г.