Векторные диаграммы - Физико

Управление образования
Администрации Сергиево-Посадского муниципального района
Муниципальное общеобразовательное учреждение
«Физико-математический лицей»
Метод векторных диаграмм в расчетах
электрических схем переменного тока
Открытый урок в 11 классе
Учитель: Шутов В. И.
2011 – 2012 уч. г.
Цель урока
Урок ставит целью знакомство учащихся с методом сложения гармонических
колебаний одинаковой частоты с различными амплитудами и начальными фазами
и применение этого метода для расчета электрических схем переменного тока.
План урока
1. Моделирование гармонических колебаний векторными диаграммами.
2. Сложение гармонических колебаний с помощью векторных диаграмм.
3. Решение задач по расчету цепей переменного тока с помощью векторных
диаграмм.
4. Выводы и обобщения.
Модель гармонического колебания. Как известно, гармоническое колебание в самом
общем виде представляется уравнением x(t )  xm cos(t  0 ) .
Покажем, что это уравнение представляет проекцию вектора с модулем xm и углом  0
с направлением проектирования x в начальный момент времени, вращающегося с угловой
скоростью  .
Действительно, за время t вектор повернется на угол   t . Проекция на направление
x при этом равна x(t )  xm cos(t  0 ) . При вращении вектора проекция будет принимать
значения от xm до  xm .
t
t0 = 0
0
x
x
 xm
x
0
xm
Такое графическое представление гармонического колебания называется векторной
диаграммой.
Сложение колебаний с помощью метода векторных диаграмм. Векторные
диаграммы удобно использовать для сложения гармонических колебаний одинаковой
частоты. Амплитуды и начальные фазы колебаний могут быть различны.
Сложим с помощью метода векторных диаграмм два колебания x1  4cos t

и x2  3cos t  
2
.
Начальная фаза первого колебания равна нулю, поэтому вектор с модулем 4
в начальный момент лежит на оси проектирования x. Вектор с модулем 3 в этот момент
повернут против часовой стрелки на угол 
.
2
x
3
x
4
Частота результирующего колебания равна частоте суммируемых колебаний.
Амплитуда суммарного вектора x  x1  x2 и начальная фаза  находятся из треугольника,
иллюстрирующего правило сложения векторов.
x  5cos t  arctg 3
4
При вращении векторной диаграммы конфигурация векторов, очевидно, не меняется,
т. к. колебания имеют одинаковую частоту.
Мы применили при сложении векторов правило цепочки, так как этим способом можно
сложить какое угодно количество векторов.
Проиллюстрируем метод векторных диаграмм рядом задач по расчету схем
переменного тока.


Задачи
1. В цепи действующие напряжения U12  30 В, U 23  10 В, U34  15 В. Определить
действующее напряжение U14 .
4
3
2
1
Решение. Как известно, действующее значение переменного напряжения (тока) это
напряжение (ток) постоянного источника, развивающего в одном и том же активном
потребителе одинаковую мощность. Для гармонических колебаний действующее значение
меньше амплитудного значения в 2 раз.
Ток в любой момент времени одинаков во всех элементах нашей цепи, а напряжения
на элементах в любой момент времени складываются.
Построим векторную диаграмму для этой схемы, совмещая вектор, изображающий
действующее значение тока с направлением проектирования x.
U23
U34
U12
U14
x
I
Напряжение на индуктивности U12 опережает по фазе ток на
 , напряжение
2
на резисторе U 23 находится в фазе с током, напряжение на емкости U 34 отстает по фазе
от тока на
 . Сложение векторов U  U  U  U , изображающих действующие
14
12
23
34
2
значения, приводит к результату
U14  U 232  U12  U34   18 В.
2
2. В цепи действующие значения силы токов I C  2 А, I L  3 А, I R  1 А. Определить
действующее значение силы тока I.
IL
IR
I
I
IC
Решение. Напряжение на всех параллельно соединенных элементах в любой момент
времени одинаково, а ток I в любой момент времени равен сумме токов на элементах
цепи.
Построим векторную диаграмму для этой схемы, совмещая вектор, изображающий
действующее значение общего напряжения с направлением проектирования x.
Ток через индуктивность I L отстает по фазе от напряжения на  , ток на резисторе
2
I R находится в фазе с напряжением, ток I C через емкость опережает по фазе напряжение
на 
. Сложение векторов I  I L  I R  IC , изображающих действующие значения токов,
2
приводит к результату
I  I R2   I L  IC   1, 41 А.
2
x
U
IL
IC
IR
3. В колебательный контур, состоящий из катушки с индуктивностью L, конденсатора
емкостью С и сопротивления R, подключили источник синусоидальной ЭДС
с амплитудой U. Изменяя частоту ЭДС добились того, чтобы амплитуда тока в контуре
стала максимальной. Чему она равна?
Решение.
Построим векторные диаграммы для различных значений частоты. Если
частота близка к нулю, емкостное сопротивление X C  1
C оказывается больше
индуктивного X L   L , а значит амплитуда напряжения на конденсаторе больше
амплитуды напряжения на катушке индуктивности. UC  U L  . Напряжение на источнике
отстает по фазе на  от тока в контуре, и сопротивление контура (импеданс) оказывается
преимущественно емкостным.
x
I
U
UC
UL
UR
Если частота стремится к бесконечности, емкостное сопротивление
оказывается
меньше
X L  L ,
индуктивного
а
значит
амплитуда
XC  1
C
напряжения
на конденсаторе меньше амплитуды напряжения на катушке индуктивности. U C  U L  .
Напряжение на источнике опережает по фазе на  ток в контуре,
контура (импеданс) оказывается преимущественно индуктивным.
и сопротивление
U
x
I
UC
UL
UR
C равно индуктивному X L   L , амплитуда
Если емкостное сопротивление X C  1
напряжения на конденсаторе равна амплитуде напряжения на катушке индуктивности.
UC  U L  . Напряжение на источнике оказывается в фазе с током в контуре,
и сопротивление контура (импеданс) чисто активное.
U
x
I
UC
UL
UR
Очевидно, в этом случае I 
U
.
R
4. Первичная обмотка трансформатора имеет активное сопротивление R и индуктивное
сопротивление X L . При некотором значении частоты переменного тока. На первичную
обмотку подано переменное напряжение U1 . Каким будет напряжение U 2 на разомкнутой
вторичной обмотке, если коэффициент трансформации равен k.
R
U1
U2
I1
Решение. Построим векторную диаграмму первичной цепи трансформатора
U1
UL
UR
x
I1
На векторной диаграмме цепи первичной обмотки видно, что существует разность фаз
между током в обмотке и напряжением U1 из-за наличия активного сопротивление
обмотки. Для амплитудных значений получим
U12
U1 X L
U1
2
2
2
2
2 2
2
2
2
U1  U R  U L ; U1  I1 R  I1 X L ; I1  2

; U L  I1 X L2 
.
2
2
2
R  XL
XL  R
R2
1 2
XL
Очевидно, коэффициент трансформации k 
UL
U
. Поэтому U 2  L 
U2
k
U1
R2
k 1 2
XL
.
5. В цепи, представленной на рисунке: L = 0,1 Гн, С = 10 мкФ, частота тока  = 1000 с-1.
Какой ток течет по сопротивлению?
L
IL
R
IR
IC
C
Решение. Построим векторную диаграмму для этой схемы, совмещая вектор,
изображающий действующее значение общего напряжения на реактивных элементах L
и C с направлением проектирования x. Для I L > I C векторная диаграмма приведена
на рис. а.
U
U
x
IR
IL
x
IL
IC
IC
а
б
Ток через индуктивность I L отстает по фазе от напряжения U на 
емкость опережает по фазе напряжение на

, ток I C через
2
. Складывая вектора I R  I L  IC ,
2
изображающие действующие значения токов, получим I R  I L  IC .
Подсчитаем значения емкостного и индуктивного сопротивлений X C  1
C  100 Ом,
X L   L  100 Ом. Поскольку они одинаковы, при параллельном соединении элементов
оказываются одинаковыми и токи I L = I C . Из векторной диаграммы на рис. б понятно, что
ток через сопротивление R будет отсутствовать.