Электронный научный журнал «Вестник Омского государственного педагогического университета»

Электронный научный журнал «Вестник Омского государственного педагогического университета»
Выпуск 2007 ▪ www.omsk.edu
С.Л. Орлова
Институт развития образования Омской области
Организация деятельности учителя математики
на курсах повышения квалификации по проектированию
целей и содержания итогового повторения в 10–11 классах
в контексте компетентностного подхода
13.00.02 – теория и методика обучения и воспитания (математика)
А
В статье рассматриваются методические особенности деятельности учителя при подготовке учащихся
к итоговой аттестации в условиях введения единого государственного экзамена по математике, нового
подхода к оценке образовательных достижений учащихся, недостаточного уровня качества математической подготовки выпускников. Рассматриваются цели и задачи учителя и учащихся на этапе подготовки к ЕГЭ и необходимость реализации личностно-деятельностного и компетентностного подходов
для достижения этих целей. В качестве примера организации деятельности учителя математики по
проектированию целей и содержания учебной темы «Итоговое повторение» в контексте компетентностного подхода используется содержание практического занятия, на котором показано применение
таксономии целей Б. Блума, возможностей технологической карты В.М. Монахова для проектирования целевого и содержательного компонентов процесса обучения.
Ключевые слова: дидактика; единый государственный экзамен (ЕГЭ); компетентностный подход; повышение квалификации; проектирование.
В настоящее время организация эффективной учебно-познавательной деятельности
учащихся на уроках итогового повторения курса математики в 10–11 классах имеет отличительную особенность, которая обусловлена спецификой структуры и содержания новых
контрольно-измерительных материалов, новыми условиями проведения экзамена, новыми
методами оценки результатов выполнения контрольной работы.
Анализ структуры и содержания контрольно-измерительных материалов единого
государственного экзамена по математике, спецификации заданий, критериев оценки решения отдельных заданий и системы оценивания работы в целом показывает, что при новой форме итоговой аттестации изменился подход в оценке результатов обучения.
Каждое задание контрольно-измерительных материалов характеризуется сочетанием следующих параметров:
• проверяемый раздел содержания учебного материала;
• тип задания (с выбором ответа, с кратким ответом, свободное изложение ответа);
• уровень сложности (базовый, повышенный, высокий);
• вид познавательной деятельности (знание и понимание, применение знаний и умений в
знакомой ситуации, применение знаний и умений в измененной ситуации, применение
знаний и умений в новой ситуации);
• критерии оценки.
Система заданий контрольно-измерительных материалов по каждой содержательной линии курса математики позволяет определить полноту и уровень овладения учащимися основными компонентами содержания образования:
• знаниями, включая понятия, факты, методы познания, эвристики, оценочные знания;
• умениями применять знания в типовой, изменой, новой ситуации;
• опытом творческой деятельности, который проявляется в умении проанализировать ситуацию, разработать математическую модель, выбрать известный способ решения или
найти новый способ, привести обоснования или доказательства правомерности действий, математически грамотно записать решение в соответствии с заданными требованиями;
Электронный научный журнал «Вестник Омского государственного педагогического университета»
Выпуск 2007 ▪ www.omsk.edu
системой норм эмоционально-ценностных отношений, овладение которой проявляется
в понимании учащимися требований к полноте и грамотности решения задачи, критичности мышления, самоконтроле, самооценке и выражается в грамотной записи решения
задачи типа «С» в соответствии с критериями оценки.
Правильность всех выполненных заданий контрольной работы оценивается с помощью первичного балла, на основе которого выводится две отметки: аттестационная (за
усвоение курса алгебры и начал анализа 10–11 классов по пятибалльной шкале) и тестовый балл (за усвоение курса математики основной и средней (полной) школы по 100балльной шкале). Количество первичных баллов за выполнение всех предложенных заданий теста по математике позволяет выявить уровень подготовки выпускника по предмету
и рассматривать качество его подготовки с точки зрения приобретения им опыта познавательной деятельности, опыта осуществления способов деятельности, опыта творческой
деятельности, опыта осуществления эмоционально-ценностных отношений. Последний
аспект в оценке уровня математической подготовки выпускников позволяет судить о
сформированности у учащихся способностей «осуществлять сложные культуросообразные виды действия» [7. С. 5], то есть компетентностей.
Результаты анализа новых контрольно-измерительных материалов позволяют сделать вывод, что специфика их структуры и содержания, новые условия проведения экзамена, новые методы оценки результатов выполнения контрольной работы задают в целом
новый – компетентностный подход к оценке образовательных результатов выпускников.
Основой эффективной организации учебной деятельности учащихся на этапе итогового повторения является не только понимание учителем особенностей нового подхода
к оценке образовательных результатов, но и учет выводов, полученных при анализе результатов эксперимента по введению единого государственного экзамена по математике.
Анализ результатов эксперимента по проведению итоговой аттестации по математике в форме единого государственного экзамена позволил выявить и конкретные недостатки в математической подготовке выпускников школы и проблемы общего математического образования.
Так, по данным Федерального института педагогических измерений выпускники
2005/2006, 2006/2007 учебных годов показали недостаточный уровень математической
подготовки при выполнении заданий базового уровня сложности по следующим темам:
• преобразование логарифмических выражений;
• преобразование тригонометрических выражений;
• решение иррациональных уравнений;
• решение логарифмических и показательных неравенств;
• исследование свойств функции элементарными методами [3. С. 17].
Анализ результатов выполнения заданий базового, повышенного уровней сложности показал следующие недостатки в подготовке выпускников по математике:
• слабая подготовка учащихся по математике за курс основной школы по вопросам: выполнение совместных действий над обыкновенными и десятичными дробями; преобразование многочленов; преобразование алгебраических дробей; преобразование выражений, содержащих степень с целым показателем; преобразование иррациональных
выражений; решение линейных, квадратных, дробно-рациональных уравнений и неравенств; определение свойств функции с помощью графика и аналитически [3. С. 18];
• неосознанное усвоение знаний по отдельным темам, например, «Логарифмы», «Решение иррациональных уравнений»;
• неумение преобразовать ситуацию, описанную в задаче, к типовой ситуации на основе
анализа и переформулирования условия задачи;
• неумение самостоятельно разрабатывать план решения;
• неумение построить логически грамотную цепочку рассуждений, приводящую к более
рациональному, нестандартному решению задачи.
•
Электронный научный журнал «Вестник Омского государственного педагогического университета»
Выпуск 2007 ▪ www.omsk.edu
Характерными недостатками результатов обучения многочисленной группы слабо
подготовленных учащихся являются пробелы в предметных знаниях и умениях. Уровень
подготовки школьных хорошистов и отличников отличается тем, что последние испытывают дефицит общеучебных умений, который не позволяет им успешно справляться с решением нестандартных задач.
Совокупность выделенных недостатков в уровне подготовки выпускников по математике выявила одну из проблем школьного математического образования − слабое усвоение обязательного минимума содержания математического образования как в основной, так и в старшей школе.
В этой ситуации справедлив вывод о недостаточной реализации главной цели обучения математике – обучение решению задач [2. С. 18], хотя именно умение решать задачи есть ожидаемый результат обучения, который является показателем математической
компетентности выпускника.
Одной из основных причин имеющихся недостатков в математической подготовке
школьников является несформированность компонентов самостоятельной учебнопознавательной деятельности старших школьников. Основанием для такого вывода являются как результаты эксперимента по введению ЕГЭ по математике, так и анализ уроков
математики. Анализ уроков [1. С. 5–7] показал, что в процессе обучения математике слабо
реализуются дифференцированный, индивидуальный, деятельностный подходы. Как
следствие всего сказанного − результаты обучения выпускников школы не достигают
уровня, обеспечивающего готовность самостоятельно применять полученные знания для
решения проблем, решения конкретных жизненных задач, то есть результаты обучения
математике не достигают уровня комптентности.
Анализ ситуации, связанной с введением новой формы итоговой аттестации выпускников: структуры и содержания новых контрольно-измерительных материалов по математике, результатов эксперимента по введению единого государственного экзамена, причин недостаточного уровня подготовки выпускников позволяет сделать вывод о существовании противоречия между использованием новых подходов в оценке образовательных
достижений на экзамене и нереализованностью этих подходов в обучении учащихся, в
том числе на этапе подготовки к итоговой аттестации.
Разрешить существующие противоречия и обеспечить базовый и повышенный уровень усвоения обязательного минимума содержания математического образования возможно посредством организации самостоятельной учебно-познавательной деятельности
учащихся на уроках математики – в частности, на этапе подготовки к итоговой аттестации
на основе личностно-ориентированного, деятельностного, компетентностного подходов.
Поэтому в современных условиях деятельность учителя математики по подготовке
учащихся 10–11 классов к итоговой аттестации должна быть направлена на реализацию
личностно-деятельностного, компетентностного подходов в обучении. Цель деятельности
учителя может быть конкретизирована следующими задачами:
• мотивация самостоятельной учебно-познавательной деятельности учащихся по подготовке к итоговой аттестации в начале учебного года;
• ознакомление учащихся с особенностями структуры и содержания контрольноизмерительных материалов, требованиями к выполнению отдельных заданий, системой
оценивания результатов единого государственного экзамена, процедурой проведения
ЕГЭ по математике;
• выявление личных целей и интересов учащихся при сдаче экзамена;
• организация самостоятельной учебно-познавательной деятельности учащихся по подготовке к единому государственному экзамену на основе личностно-деятельностного,
компетентностного подходов.
Одной из задач курсов повышения квалификации по проблеме подготовки учащихся к итоговой аттестации в форме единого государственного экзамена является совершен-
Электронный научный журнал «Вестник Омского государственного педагогического университета»
Выпуск 2007 ▪ www.omsk.edu
ствование методической подготовки учителя математики по организации самостоятельной
учебно-познавательной деятельности учащихся на уроках итогового повторения.
Для решения этой задачи в содержание курсовой подготовки слушателей целесообразно включать практические занятия по проектированию целевого и содержательного
компонентов процесса обучения в контексте компетентностного подхода на этапе итогового повторения курса математики в 10−11 классах.
Примером организации деятельности учителя математики на курсах повышения
квалификации по проектированию целей и содержания учебно-познавательной деятельности учащихся на этапе итогового повторения в контексте компетентностного подхода может быть практическое занятие по теме «Методические особенности организации итогового повторения курса математики в 10−11 классах с использованием контрольноизмерительных материалов ЕГЭ на примере содержательной линии „Выражения и
преобразования“».
Цель занятия − проектирование целей и содержания темы «Итоговое повторение.
Выражения и преобразования».
Планом практического занятия предусматривается выполнение следующих видов
работ:
• обсуждение целей и задач итогового повторения;
• составление плана организации итогового повторения одного из разделов курса математики;
• проектирование целей и содержания учебной темы «Итоговое повторение. Выражения
и преобразования» в контексте компетентностного подхода;
• разработка средств реализации процесса обучения.
При обсуждении целей и задач итогового повторения рассматриваются особенности и способы его организации в современных условиях. Подчеркивается, что подготовка
к итоговой аттестации не сводится только к урокам итогового повторения. Это в большей
степени организация самостоятельной учебно-познавательной деятельности учащихся,
включающей в себя систематическое повторение курса математики, коррекцию знаний и
умений, самообразование учащихся и непосредственную подготовку к экзамену на уроках
итогового повторения. Период подготовки к итоговой аттестации может быть больше периода, соответствующего календарному сроку проведения уроков итогового повторения.
Особенность взаимодействия учителя и ученика на этапе подготовки к единому государственному экзамену по математике определяется назначением и целями экзамена:
итоговая аттестация по алгебре и началам анализа и конкурсный экзамен в вуз. В этих условиях следует уточнить цели учителя и учащихся как субъектов процесса обучения.
Цель деятельности учителя на этапе подготовки учащихся к итоговой аттестации в
контексте компетентностного подхода конкретизируется следующими задачами:
• коррекция знаний и умений учащихся по предметам «Алгебра и начала анализа», «Геометрия» в процессе систематического повторения курса математики 10−11 классов в
течение учебного года;
• мотивация и организация самообразовательной деятельности школьников в процессе
систематического повторения курсов математики 5−6, 7−9, 10−11 классов в течение
учебного года;
• организация и осуществление самостоятельной учебной деятельности по обобщению,
систематизации знаний, совершенствования предметных и общеучебных умений выпускников на уроках итогового повторения по алгебре и началам анализа и по геометрии,
направленной на успешное прохождение аттестации в форме ЕГЭ.
Цель деятельности учащихся на этапе подготовки к итоговой аттестации конкретизируется следующими задачами:
• формулирование собственных ожидаемых результатов от сдачи единого государственного экзамена по математике в части итоговой аттестации по алгебре и началам анализа
Электронный научный журнал «Вестник Омского государственного педагогического университета»
Выпуск 2007 ▪ www.omsk.edu
и с точки зрения участия в конкурсе по поступлению в высшее или среднее учебное заведение;
• подготовка и самоподготовка к итоговой аттестации по алгебре и началам анализа в
процессе систематического повторения курса, организованного учителем и на уроках
итогового повторения в соответствии с личными целями;
• подготовка к экзамену в новой форме по курсам математики основной и старшей школы с целью поступления в высшее или среднее учебное заведение, если это соответствует личным целям.
При составлении плана организации итогового повторения одного из разделов курса математики педагоги должны учитывать личностно-деятельностную направленность
процесса обучения, логику содержания учебного материала, логику организации учебнопознавательной деятельности. В результате намечается план деятельности учащихся на
уроках итогового повторения и план деятельности учителя по организации итогового повторения.
Примерный план деятельности учителя по организации подготовки учащихся
к итоговой аттестации:
• разбиение содержания курса математики, подлежащего контролю при итоговой аттестации выпускников на отдельные блоки;
• диагностика уровня подготовки учеников по отдельному блоку содержания курса математики и уровня притязаний учащихся при сдаче единого государственного экзамена;
• выделение групп учащихся с различным уровнем подготовки по данному блоку курса
математики и уровнем притязаний;
• проектирование целей и содержания самостоятельной учебно-познавательной деятельности учащихся в контексте компетентностного подхода с учетом дифференциации
групп;
• разработка, отбор дидактических средств для организации самостоятельной учебной
деятельности учащихся: информационной или технологической карты для учащихся,
материалов для коррекции знаний, умений, средств контроля и самоконтроля;
• разработка технологической карты темы «Итоговое повторение» для выделенного блока.
Примерный план реализации учебно-познавательной деятельности учащихся
по подготовке к единому государственному экзамену по математике:
I. Организационный этап.
1.1. Опрос (анкетирование) учащихся об ожидаемых результатах сдачи ЕГЭ:
а) получение удовлетворительной отметки по алгебре и началам анализа;
б) получение хорошей (отличной) отметки по алгебре и началам анализа;
в) получение высокого тестового балла для поступления в вуз, ссуз.
1.2. Входная диагностика знаний, умений учащихся с помощью контрольно-измерительных материалов, соответствующих структуре и содержанию контрольноизмерительных материалов ЕГЭ по отдельной содержательной линии.
II. Этап постановки цели и задач итогового повторения.
2.1.Формирование групп учащихся, объединенных общей целью по результатам опроса, результатам входной диагностики;
2.2. Обсуждение целей, задач, программы повторения с каждой группой учащихся.
III. Этап самостоятельной учебной деятельности учащихся по выбранной программе повторения.
IV. Зачет.
V. Коррекция знаний, умений.
Электронный научный журнал «Вестник Омского государственного педагогического университета»
Выпуск 2007 ▪ www.omsk.edu
При проектировании целей обучения на этапе подготовки к итоговой аттестации
необходимо учитывать особенности этого этапа обучения, а именно: уровень подготовки
выпускников по предмету, их личные планы относительно результатов экзамена, уровень
познавательной самостоятельности, уровень учебной мотивации, особенность новых контрольно-измерительных материалов как инструмента оценки образовательных результатов. Учет этих условий поможет учителю дифференцировано подойти к постановке цели
итогового повторения для каждого учащегося или группы учащихся, чьи цели на данном
этапе совпадают или очень близки.
Такой подход к постановке целей итогового повторения способствует самоопределению ученика, формированию его ценностно-смысловой компетентности, определяет
способы его взаимодействия с учителем, группой учащихся, опирается на навыки работы
в группе, тем самым способствует формированию его коммуникативной компетентности
[4. С. 7−8].
Выполняя практическое задание по проектированию целей учебной темы «Итоговое повторение» в контексте компетентностного подхода, учителя опираются на следующие требования к постановке целей:
• формулирование цели через результат учебной деятельности учащегося;
• дифференциация цели по уровням усвоения учебного материала;
• диагностичность цели.
Проектирование цели учебной темы учителя математики на курсах повышения
квалификации выполняют с помощью таксономии целей Б. Блума, конкретизируя каждую дидактическую единицу содержания перечнем конкретных умений учащихся в соответствии с категориями «знание», «понимание», «применение», «анализ и синтез»,
«оценка» [5. С. 9−11].
Результатом проектирования целей обучения в рамках темы итогового повторения
является карта учебных целей по теме «Повторение. Выражения и преобразования». Цель
обучения теме представлена в карте учебных целей темы перечнем конкретных умений
учащихся, сформулированных как результат их учебной деятельности, соответствующий
определенной категории. Соответствие конкретного учебного умения той или иной категории означает способность ученика применять знание на определенном уровне сложности, осуществлять тот или иной способ деятельности, использовать некоторое надпредметное умение. Совокупность таких умений относительно одной дидактической единицы
содержания обеспечивает формирование интегративного качества личности ученика – математической компетентности. Пример карты учебных целей по теме «Повторение. Выражения и преобразования» представлен в таблице 1.
В совокупности учебных умений по теме «Корень степени n», представленных в
таблице 1, можно выделить умения, владение которыми предполагает сформированность
общеучебных умений: анализ и синтез, сравнение; определение рациональной последовательности действий по выполнению учебной задачи, контроль результатов собственной
учебной деятельности, оценка своей учебной деятельности в соответствии с заданными
нормами. Кроме непосредственно сформулированных в карте целей учебных умений, организация самостоятельной учебно-познавательной деятельности предполагает совершенствование таких общеучебных умений, как понимание учебной задачи индивидуальной
деятельности, умение работать с отдельными объектами как источниками информации
(информационная карта ученика, различные учебные пособия). Можно утверждать, что
такая постановка целей − результатов обучения способствует формированию или совершенствованию ценностно-смысловой, учебно-познавательной, коммуникативной компетентностей, компетентности личностного самосовершенствования [4. С. 7−9].
Отбор содержания процесса обучения математике на этапе подготовки к итоговой
аттестации в целом и на уроках итогового повторения в частности требует, безусловно,
соответствия целям обучения, а значит, должен осуществляться дифференцированно. Это
означает, что в основе дифференциации заданий, используемых для организации само-
Электронный научный журнал «Вестник Омского государственного педагогического университета»
Выпуск 2007 ▪ www.omsk.edu
стоятельной учебно-познавательной деятельности учащихся в рамках некоторого раздела
курса математики, должны быть следующие параметры:
• объем содержания учебного материала, подлежащего повторению;
• уровень сложности задания;
• вид познавательной деятельности учащихся;
• способ действий;
• тип формулировки задания.
Таблица 1. Карта учебных целей по теме «Повторение. Выражения и преобразования»
Категории целей
Знание
Знать и воспроизводить
учебный материал – от
конкретных фактов до целостных теорий
Элементы
содержания
Корень
натуральной
степени
Учебные умения
Формулировать определение корня по символьной записи
(( a )
4)
Уметь преобразовывать
материал из одной формы в
другую. Уметь кратко излагать в письменной или устной форме содержание материала
Применение
Уметь использовать изученный материал в конкретных условиях и новых
ситуациях, демонстрировать правильное применение метода или процедуры
Анализ и синтез
Уметь разбивать материал
на составляющие, для наглядности структуры, комбинировать элементы для
получения целого, обладающего новизной
Оценка
Уметь оценивать себя и
одноклассника, значение
того или иного материала
для конкретной цели. Суждения ученика должны основываться на четких критериях
= a, a ≥ 0, n ∈ N ) .
Записывать определение корня степени n.
Называть основные свойства корня:
1) n ab = n a ⋅ n b , a ≥ 0, b ≥ 0
2)
Понимание
n
n
n
a
=
b
n m
n
n
a
, a ≥ 0, b > 0
b
3)
a = nm a , a ≥ 0, m ∈ N 5)
( a)
n
2k
m
a
2k
=
n
m
a ,a > 0
= a,k ∈ N
Указывать область допустимых значений переменной в
выражении, содержащем знак радикала.
Извлекать корень степени n из числа.
Сравнивать значения числовых иррациональных выражений, содержащих радикалы одинаковой натуральной степени.
Выносить множитель из-под знака корня.
Вносить множитель под знак корня.
Применять свойства корня для преобразований иррациональных выражений.
Выполнять тождественные преобразования иррациональных выражений с помощью свойств корня, формул сокращенного умножения, правил выполнения арифметических
действий над многочленами, алгебраическими дробями.
Обосновывать решения, ссылаясь на определение и свойства корня, другие теоретические факты.
Определять рациональную последовательность действий в
преобразовании комбинированных выражений, содержащих корни натуральной степени.
Находить и исправлять ошибки в решении задач на применение определения и свойств корня.
Разрабатывать план решения комбинированной задачи на
преобразование иррациональных выражений.
Выполнять проверку результата решения задачи.
Оценивать решение задачи на преобразование иррационального выражения в соответствии с заданными критериями.
Оценивать результат своей деятельности по подготовке к
итоговой аттестации по теме корень.
Электронный научный журнал «Вестник Омского государственного педагогического университета»
Выпуск 2007 ▪ www.omsk.edu
Подбор заданий по данным параметрам создаст условия для обеспечения всем выпускникам реализации их индивидуальных целей: некоторые учащиеся будут повторять
только курс алгебры и начал анализа, другие – полный курс математики. Для одних выпускников главная задача − коррекция знаний, умений и их закрепление с помощью заданий
базового уровня, для других – актуализация знаний и расширение круга посильных для
них задач, а для третьих − обогащение опыта творческой деятельности при решении задач
высокого уровня сложности. Подбор задач по видам познавательной деятельности и способам действий позволит учителю организовать самостоятельную учебную деятельность
учащихся с учетом уровней их математической подготовки на этапе итогового повторения, а учащимся продемонстрировать свою математическую компетентность при решении
задач на экзамене.
При проектировании содержания учителю целесообразно учитывать условия, способствующие формированию учебно-познавательной компетентности учащихся и особенности предметных задач, направленных на формирование этой компетентности. К таким
условиям относятся учебные ситуации, в которых от учащихся требуется применение знаний и умений для организации самостоятельной учебно-познавательной деятельности: от
целеполагания до самооценки результата. Использование задач, требующих от учащихся
действий в нестандартных ситуациях, применение эвристик в решении проблем также
способствует формированию учебно-познавательной компетентности учащихся [4. С. 8].
Чтобы одни учащиеся научились без ошибок решать стандартные задачи, другие –
выбирать рациональный способ решения более сложных задач и находить новые способы
решения самых сложных задач, демонстрируя уровень своей подготовки по математике
как математическую компетентность, учителю следует отбирать задания, требующие от
учащихся применения следующих умений:
• обосновывать решения, ссылаясь на теоретические факты;
• обосновывать выбор способа или алгоритма решения;
• сравнивать различные способы решения одной задачи;
• применять знания в измененной и новой ситуации: преобразовывать, переформулировать задачу на основе ее анализа, моделировать задачу, преобразовывать модель и интерпретировать результат;
• анализировать решение задачи, находить и исправлять ошибки; контролировать результат и оценивать его в соответствии с заданными критериями.
Целесообразно на этапе итогового повторения использование заданий контрольноизмерительных материалов единого государственного экзамена по математике, что позволит адаптироваться учащимся к условиям проведения ЕГЭ, научиться оценивать свои результаты выполнения заданий в соответствии с заданными критериями.
Проектировать содержание учебной темы, в том числе и темы «Повторение. Выражения и преобразования» удобно с помощью технологической карты.
На курсах повышения квалификации учителей математики разработка технологической карты учебной темы выполняется с помощью технологической карты В.М. Монахова [6. С. 67−71], однако при проектировании темы «Повторение» используется несколько измененная форма такой технологической карты. Форма технологической карты учебной темы «Повторение. Выражения и преобразования» представлена в таблице 2.
Одним из средств организации самостоятельной учебно-познавательной деятельности учащихся на этапе подготовки к итоговой аттестации как в рамках самообразовательной деятельности в течение учебного года, так и на уроках по теме «Итоговое повторение. Выражения и преобразования» может быть информационная карта для ученика.
Одна из возможных форм информационной карты для ученика представлена в таблице 3.
Электронный научный журнал «Вестник Омского государственного педагогического университета»
Выпуск 2007 ▪ www.omsk.edu
Таблица 2. Технологическая карта итогового повторения по теме «Выражения и преобразования»
ВхД
Ц1, 2
Логическая
структура
процесса
обучения
1
Целеполагание
Входная
диагностика
2
3
4
Содержание
самостоятельной деятельности
Группа 1
Группа 2
Группа 3
Зач
Корр
5
6
Коррекция
ошибки
Зачет
1. МД
1.1.
1.2.
1.3.
...............
Ц1:
Знать
Уметь
К1:
Затруднения
и ошибки:
...............
Способы
устранения:
...............
К2:
Затруднения
и ошибки:
...............
Способы
устранения:
...............
К3:
Затруднения
и ошибки:
...............
Способы
устранения:
...............
2. КР № 2
Ц2:
Знать
Группа 1
КР №1
Уметь
Группа 2
Ц3:
Знать
Группа 3
Уметь
Таблица 3. Информационная карта раздела «Выражения и преобразования»
Цель изучения темы
Основные
вопросы
Корень
степени n
Знать
1.1. Понятие корня степени n:
(( a )
n
n
= a, a ≥ 0, n ∈ N )
1.2. Свойства корня степени n:
n
ab = n a ⋅ n b , a ≥ 0, b ≥ 0
n
a
=
b
( a)
m
n
n m
2k
n
n
=
a
, a ≥ 0, b > 0
b
n
2k
1.1. Извлекать корень из
числа.
1.2. Выносить множитель из-под знака
корня.
= a,k ∈ N
B
С. 40–43;
№№ 1, 7,
11–14.
С
С. 50–53;
№№ 4, 8,
16.
1.3. Вносить множитель
под знак корня.
m
a ,a > 0
a = nm a , a ≥ 0, m ∈ N
a
Уметь
Примеры заданий1
ФормулиТип
ровка
А
С. 28–33;
№№ 4–9,
13–20,
26–31.
1.4. Применять свойства
корня для тождественных преобразований иррациональных выражений.
Задания приводятся по книге: Единый государственный экзамен 2006. Математика. Учебно-тренировочные материалы для подготовки учащихся / Рособрнадзор, ИСОП. – М.: Интеллект-центр, 2006. – 272 с.
1
Электронный научный журнал «Вестник Омского государственного педагогического университета»
Выпуск 2007 ▪ www.omsk.edu
Степень с
рациональным
показателем
2.1. Понятие степени с целым показателем:
(a
a
−n
0
=
1
a
n
, a ≠ 0, n ∈ N
)
= 1, a ≠ 0
2.2. Понятие степени с рациональным показателем:
a
m
n
=n
a , ( a > 0, m ∈ Z , n ∈ N , n ≥ 2 )
m
2.3. Свойства степени с рациональным показателем:
2.3.1. ap ·aq = ap+q , a>0, {p, q} € Q
2.3.2. аp : aq = a p-q, a>0, {p, q} € Q
2.3.3. (аp)q = apq,
a>0, {p, q} € Q
2.3.4. (ab)p = ap bp, a>0, b>0, p € Q
2.3.5. (a/b)p = ap /bp, a>0, b>0, p € Q
2.3.6. ax >0,
a>0, x € R
2.3.7. ax >1,
a>1, x>0
2.3.8. если a>1и x1 < x2 , то ax1<ax2
2.3.9. если 0<a<1 и x1 < x2 , то ax1>ax2
2.3.10. если a>0 и a≠ 1, ax1=ax2, тогда
x1=x2
2.3.11. Пусть 0<x1<x2. Тогда если p>0,
то x1p<x2p, а если p<0, то x1p>x2p
Логарифм
3.1. Понятие логарифма:
a
log a b
= b, b > 0, a > 0, a ≠ 1
(logab=c, ac=b, b>0, a>0, a ≠1)
3.2. Свойства логарифма:
log a (bc) = logab + logac, a>0, a ≠1, b>0, c>0
log a (b/c) = logab – logac, a>0, a ≠1, b>0, c>0
log abr =r log ab, a>0, a ≠1, b>0, r – любое действительное число
log a b =
log c b
, b > 0, a > 0, a ≠ 1, c > 0, c ≠ 1
log c a
log a b =
1
, a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1
logb a
log
a
p
b=
2.1. Возводить число в
степень с целым,
рациональным показателем.
А
С. 28–33,
№№ 1–3,
10–12, 21–
25, 32, 33.
2.2. Осуществлять переход от степени с рациональным показателем к выражению: дробному, иррациональному и
наоборот.
B
С. 40–43,
№№ 2,8,
21, 23–25.
С
С. 50–53,
№№ 4, 8,
16.
А
С. 37–38,
№№ 55–
67.
B
С. 40–43,
№№ 3, 4,
6, 9, 15–20.
С
С. 50–53,
№№ 6, 9,
10, 14, 15.
2.3. Использовать свойства степени (2.3.1–
2.3.5) для тождественных преобразований степенных
выражений.
2.4. Сравнивать степени
с различными основаниями.
2.5. Сравнивать различные степени с одинаковыми основаниями.
3.1. Вычислять значения логарифмов.
3.2. Применять свойства
логарифмов для
преобразований логарифмических выражений.
1
log a b, a > 0, a ≠ 1, b > 0, p ≠ 0
p
3.3. Десятичный логарифм (lg a, a>0)
3.4. Натуральный логарифм (ln a, a>0)
Библиография
1.
2.
Денищева Л, Безрукова Г., Краснянская К. Методическое письмо «О преподаваниии математики в
средней школе с учетом результатов единого государственного экзамена 2005 года» // Первое сентября. Математика. – 2006. − № 6. – С. 2–7.
Денищева Л., Камаев П. Ошибки школьных хорошистов и отличников. // Первое сентября. Математика. – 2007. − № 2. − С. 17–18.
Электронный научный журнал «Вестник Омского государственного педагогического университета»
Выпуск 2007 ▪ www.omsk.edu
3.
4.
5.
6.
7.
Денищева Л, Мельникова Н., Краснянская К. Рекомендации по совершенствованию преподавания
математики с учетом результатов единого государственного экзамена 2006 года // Первое сентября.
Математика. – 2007. − № 3. − С. 17–21.
Ключевые компетенции и образовательные стандарты. Обсуждение доклада А.В. Хуторского «Определение общепредметного содержания и ключевых компетенций как характеристика нового подхода к конструированию образовательных стандартов» на заседании Отделения философии образования и теоретической педагогики от 23.04.2002. – www.eidos.ru. − С. 1−9.
Матрос Д.Ш., Полев Д.М., Мельникова Н.Н. Управление качеством образования на основе новых
информационных технологий и образовательного мониторинга // Школьные технологии. – 1999. −
№ 3. – С. 3−19.
Монахов В.М. Методология проектирования педагогической технологии (аксиоматический аспект) // Школьные технологии. – 2000. − №3. – С. 57–71.
Стратегия модернизации содержания общего образования. – М., 2001.