2.4 График и содержание занятий

Западно-Казахстанский государственный университет
им. М. Утемисова
Естественно–математический факультет
Кафедра физики и математики
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС
ДИСЦИПЛИНЫ
Основания геометрии
по кредитной технологии обучения
для студентов специальности:
050109 - Математика
Курс – 3
Семестр – 6
Количество кредитов - 2
Лекции – 15 часов
Практические занятия – 15 часов
СРСП – 30 часов
СРС – 30 часов
Экзамен – в 6-м семестре
Всего аудиторных часов – 90
г. Уральск – 2011
Учебно-методический комплекс (УМКД) по дисциплине составлен
преподавателем Л.Г. Орловой на основании на основании ГОСО РК и
типовой учебной программы разработанной кафедрой алгебры, геометрии и
прикладной логики КазНПУ им. Абая
по специальности «050109 Математика», Алматы, 2006.
Рассмотрена на заседании кафедры Физики и математики
Протокол № 1 от 10.09. 2011 г.
Утверждена на заседании учебно-методического совета Естественноматематического факультета
Протокол № 1 от 13.09.2011 г.
Данные о преподавателе
Орлова Лариса Григорьевна., преподаватель кафедры физики и математики
ЗКГУ
Офис: г. Уральск пр. Достык -162, 3 этаж, кабинет №307 кафедра физики и
математики
Данные о дисциплине
Название дисциплины – Основания геометрии
График занятий:
Семестр состоит из 15 учебных недель и 2 недель сессии. В неделю
предполагается два кредит-часа, каждый кредит-час состоит из одного
контактного часа (лекция, практическое занятие) и двух часов
самостоятельной работы под руководством преподавателя ( СРСП, СРС)
Занятия
Время
проведения
Контактный час 1 50 мин
(лекция 1)
Контактный час 2 50 мин
(практ. занятие 1)
Занятия
СРСП
(практическое
занятие)
СРСП
(практическое
занятие)
Время
проведения
50 мин
50 мин
Количество кредитов –2
Место проведения: Учебный корпус №1, г. Уральск пр. Достык -162, по
расписанию
Выписка из учебного плана:
Курс Семе
стр
3
6
Кред
иты
Лекции
2
15
Практиче
ские
занятия
15
СРС
П
СРС
Все
го
Форма
контроля
30
30
90
Экзамен
Введение
Краткое описание курса:
Цель курса:
Цель преподавания оснований геометрии заключается в том,
чтобы вооружить учителя математики конкретными
знаниями истории геометрии, обеспечивающими успешную
его работу в школе, дать будущему учителю высокую
профессиональную подготовку развить в нем широкий
научный взгляд на предмет геометрии, обеспечить научное
понимание будущим учителям возникновения, становления
и развития науки на примере геометрии.
Задачи курса:
Основными знаниями, приобретаемыми студентами в
процессе обучения основаниям геометрии на III курсе
являются: исторический образ основания геометрии, общие
вопросы аксиоматики, обоснование евклидовой геометрии,
длина отрезка, площадь многоугольника.
Пререквизиты:
Для освоения курса оснований геометрии необходимы
теоретические знания и практические навыки из курса
математики средней школы, умение оперировать понятиями
и формулами из алгебры, геометрии, тригонометрии и
физики.
Постреквизиты:
-формулировать простейшие прикладные задачи и создавать
математические модели реальных объектов и протекающих в
них процессов;
-выбирать или разрабатывать рациональные методы
исследования
созданных
моделей,
проводить
их
качественный анализ, использовать основных численные
методы, применять современную вычислительную технику;
-анализировать полученные данные, вырабатывать на их
основе практические рекомендации;
-самостоятельно осваивать новые математические методы
исследований и решения практических задач.
Важным фактором успешного овладения математическими
методами исследования является систематическая работа
студентов над курсом. Сюда входит регулярная работа по
выполнению текущих заданий и циклическая работа по
выполнению индивидуальных работ по основным темам
курса.
Методология обучения:
Обучение проводится в основном в виде лекций и
практических занятий, на которых отражается содержание
основного
учебного
материала,
и
закрепляются
практические навыки и полученные представления.
Контроль знаний студентов будет осуществляться в виде
проверки выполнения домашних заданий посредством
решения задач, тестов предложенных в электронном
учебнике, устного опроса, индивидуальных семестровых
заданий и их защиты.
2.4 График и содержание занятий
2.4.1 Распределение часов по видам занятий.
№
Недели
1.
2.
3.
4.
5.
Название темы
Возникновение и развитие
геометрии в
различных странах, в
Вавилоне и Египте.
Развитие геометрии в
Древней Греции.
«Начала»
Евклида.
Особенности
изложения.
Краткое
содержание. Место и
значение «начал».
Критика
«Начал».
Комментаторы
Евклида. Возникновение
проблемы 5
постулата
Евклида.
Основные ошибки
коментаторов.
Предложение
эквивалентные
5
постулату
Евклида. Доказательство
эквивалентности
этих предложений с 5
постулатом.
Предшественники
стратегии новой
геометрии. Новый подход
к решению
проблемы 5 постулата.
Открытие
геометрии.
лекции
Часы
практик. СРСП СРС
1
1
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
6.
7.
8.
9.
10.
11.
Творчество
Н.И.Лобачевского. Его
борьба
за
новую
геометрию, значение его
открытия. Установление
аксиоматического
метода
современной
математики.
Элементы
геометрии
Лобачевского.
Основы
его
учения
(излагается на
оснований
знаний
студентами аксиоматики школьного курса
геометрии. Причем
некоторые
утверждения
даются без
доказательства).
Признание неевклидовой
геометрии:
труды Больтражи, Римана,
Клейна. Их
интерпретации
неевклидовой геометрии
на евклидовой плоскости.
Требования
предъявляемые к системам
аксиом:
непротиворечивость,
независимость и полнота
системы,
способы
их
доказательства.
Обзор системы аксиом
Гильберта.
Обзор системы аксиом
Вейля. О других
системах
аксиом
элементарной
геометрии: Бахмана, Шопе
и др.
1
1
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
12.
13.
14.
15.
Аксиомы 3-х мерного
евклидова
пространства по А.В.
Погорелову.
Сравнение
этой
аксиоматики со
школьными аксиомами по
различным
действующим учебникам
Построение
интерпретации системы
аксиом
Погорелова.
Проверка аксиом
Погорелова в построенной
интерпретации
и
доказательство
непротиворечивости,
независимости и полноты
этой системы.
Длинна отрезка. Теорема
существования.
Площадь многоугольника
в евклидовой
геометрии.
Теорема
существования
равновеликие
и
равносоставленные
многоугольники. Теорема
Баяи-Гервина.
Итого:
1
1
2
2
1
2
2
1
2
2
1
1
2
2
15
15
30
30
1
1
2.4.2 График и содержание занятий
Неделя 1
Кредит час 1.
Лекция 1.
Тема: Возникновение и развитие геометрии.
Содержание лекции:
1. Возникновение и развитие геометрии в различных странах, в Вавилоне
и Египте.
Развитие геометрии в Древней Греции.
Литература: [7], §67
Содержание СРСП: [7], §67
Содержание СРС: [1],№96 [2], №445-455
Кредит час 2.
Тема: Задачи на построение с помощью циркуля и линейки.
Содержание практического занятия: Задачи на построение с помощью
циркуля и линейки.
Литература: [1],№96 [2], №445-455
Неделя 2
Кредит час 3.
Лекция 2.
Тема: «Начала» Евклида
Содержание лекции:
1. «Начала» Евклида.
2. Особенности изложения.
3. Краткое содержание.
4. Место и значение «начал».
Литература: [7], §67 [8], §4
Содержание СРСП: [7], §67 [8], §4
Содержание СРС: [1], №98 [2], №466-476
Кредит час 4.
Тема: Основные построения, схемы решения задач на построения.
Содержание практического занятия: Основные построения, схемы решения
задач на построения.
Литература: [1], №98 [2], №466-476
Неделя 3
Кредит час 5.
Лекция 3.
Тема: Критика «Начал».
Содержание лекции:
1. Критика «Начал».
2. Комментаторы Евклида.
3. Возникновение проблемы 5 постулата Евклида.
4. Основные ошибки комментаторов.
Литература: [7], §68
Содержание СРСП: [7], §68
Содержание СРС: [1],№99 [2], №493-503
Кредит час 6.
Тема: Решения задач на построение методом пересечения.
Содержание практического занятия: Решения задач на построение методом
пересечения.
Литература: [1],№99 [2], №493-503
Неделя 4
Кредит час 7.
Лекция 4.
Тема: Предложение эквивалентные 5 постулату Евклида
Содержание лекции:
1. Предложение эквивалентные 5 постулату Евклида.
2. Доказательство эквивалентности этих предложений с 5 постулатом.
Литература: [8], §5
Содержание СРСП: [8], §5
Содержание СРС: [1],№100 [2], №514-524
Кредит час 8.
Тема: Применение движений к решению задач на построение.
Содержание практического занятия: Применение движений к решению
задач на построение.
Литература: [1],№100 [2], №514-524
Неделя 5
Кредит час 9.
Лекция 5.
Тема: Предшественники стратегии новой геометрии
Содержание лекции:
1. Предшественники стратегии новой геометрии.
2. Новый подход к решению проблемы 5 постулата.
3. Открытие геометрии.
Литература: [8], §6
Содержание СРСП: Подготовка к коллоквиуму.
Содержание СРС: [7], §67, 68 [8], §4, 5, 6
Кредит час 10.
Тема: Коллоквиум.
Содержание практического занятия: Коллоквиум.
Литература: [7], §67, 68 [8], §4, 5, 6
Неделя 6
Кредит час 11.
Лекция 6.
Тема: Творчество Н.И.Лобачевского
Содержание лекции:
1. Творчество Н.И.Лобачевского.
2. Его борьба за новую геометрию, значение его открытия.
3. Установление аксиоматического метода современной математики.
Литература: [7], §70
Содержание СРСП: [7], §70
Содержание СРС: [7], §67, 68, 69, 70 [8], §4, 5, 6
Кредит час 12.
Тема: Контрольная работа №1
Содержание практического занятия: Контрольная работа №1
Литература: [7], §67, 68, 69, 70 [8], §4, 5, 6
Неделя 7
Кредит час 13.
Лекция 7.
Тема: Элементы геометрии Лобачевского.
Содержание лекции:
1. Элементы геометрии Лобачевского.
2. Основы его учения (излагается на оснований знаний студентами
аксиоматики школьного курса геометрии. Причем некоторые
утверждения даются без доказательства).
Литература: [7], §73
Содержание СРСП: [7], §73
Содержание СРС: № № 902-918 [2].
Кредит час 14.
Тема: Задачи на доказательство в плоскости Лобачевского.
Содержание практического занятия: Решение задач на доказательство в
плоскости Лобачевского.
Литература: № № 902-918 [2].
Неделя 8
Кредит час 15.
Лекция 8.
Тема:
Содержание лекции: Признание неевклидовой геометрии
1. Признание неевклидовой геометрии: труды Больтражи, Римана,
Клейна.
2. Их интерпретации неевклидовой геометрии на евклидовой плоскости.
Литература: [7], §92
Содержание СРСП: [7], §92
Содержание СРС: № № 902-918 [2].
Кредит час 16.
Тема: Задачи на доказательство в плоскости Лобачевского.
Содержание практического занятия: Решение задач на доказательство в
плоскости Лобачевского.
Литература: № № 902-918 [2].
Неделя 9
Кредит час 17.
Лекция 9.
Тема: Требования предъявляемые к системам аксиом.
Содержание лекции: Требования предъявляемые к системам аксиом:
1. непротиворечивость,
2. независимость
3. полнота системы
4. способы их доказательства.
Литература: [7], §79 [8], §47
Содержание СРСП: [7], §79 [8], §47
Содержание СРС: № № 919-926 [2].
Кредит час 18.
Тема: Задачи на построение на различных моделях плоскости
Лобачевского.
Содержание практического занятия: Интерпретация Клейна.
Литература: № № 919-926 [2].
Неделя 10
Кредит час 19.
Лекция 10.
Тема: Обзор системы аксиом Гильберта
Содержание лекции: Обзор системы аксиом Гильберта.
Литература: [7], §71
Содержание СРСП: [7], §71
Содержание СРС: № № 927-9933 [2].
Кредит час 20.
Тема: Задачи на построение на различных моделях плоскости Лобачевского.
Содержание практического занятия: Общая интерпретация Пуанкаре.
Литература: № № 927-9933 [2].
Неделя 11
Кредит час 21.
Лекция 11.
Тема: Обзор системы аксиом Вейля
Содержание лекции:
1. Обзор системы аксиом Вейля.
2.О других системах аксиом элементарной геометрии: Бахмана, Шопе и др.
Литература: [7], §81
Содержание СРСП: [7], §81
Содержание СРС: № № 897-901 [2].
Кредит час 22.
Тема: Исследование систем аксиом Гильберта.
Содержание практического занятия: Исследование систем аксиом Гильберта.
Литература: № № 897-901 [2].
Неделя 12
Кредит час 23.
Лекция 12.
Тема: Аксиомы 3-х мерного евклидова пространства
Содержание лекции:
1. Аксиомы 3-х мерного евклидова пространства по А.В. Погорелову.
2. Сравнение этой аксиоматики со школьными аксиомами по различным
действующим учебникам.
Литература: [7], §84
Содержание СРСП: [7], §84
Содержание СРС стр. 89-91 [2].
Кредит час 24.
Тема: Аксиомы Вейля трехмерного евклидова пространства.
Содержание практического занятия: Аксиомы Вейля трехмерного евклидова
пространства.
Литература: стр. 89-91 [2].
Неделя 13
Кредит час 25.
Лекция 13.
Тема: Построение интерпретации системы аксиом Погорелова.
Содержание лекции:
1. Построение интерпретации системы аксиом Погорелова.
2. Проверка аксиом Погорелова в построенной интерпретации
и доказательство непротиворечивости, независимости и полноты этой
системы.
Литература: [7], §84,85
Содержание СРСП: [7], §84,85
Содержание СРС : № № 843-855 [2].
Кредит час 26.
Тема: Интерпретации различных систем аксиом
Содержание практического занятия: Интерпретации различных систем
аксиом
Литература: № № 843-855 [2].
Неделя 14
Кредит час 27.
Лекция 14.
Тема: Длинна отрезка.
Содержание лекции:
1. Длинна отрезка.
2. Теорема существования.
Литература: [7], §86,87
Содержание СРСП: [7], §86,87
Содержание СРС: [7], §70, 71, 72,73, 79, 81-89.
Кредит час 28.
Тема: Контрольная работа №2
Содержание практического занятия: Контрольная работа №2
Литература: [7], §70, 71, 72,73, 79, 81-89.
Неделя 15
Кредит час 29
Лекция 15.
Тема: Площадь многоугольника в евклидовой геометрии
Содержание лекции:
1. Площадь многоугольника в евклидовой геометрии.
2. Теорема существования равновеликие и равносоставленные
многоугольники. Теорема Баяи-Гервина.
Литература: [7], §88,89
Содержание СРСП: [7], §88,89
Содержание СРС: [7], §70, 71, 72,73, 79, 81-89.
Кредит час 30
Тема: Коллоквиум 2.
Содержание практического занятия: Коллоквиум 2.
Литература: [7], §70, 71, 72,73, 79, 81-89.
2.5 Список литературы
Основная литература
[1] Атанасян Л. С., Базылев В. Т. «Геометрия» (1,2 часть), М., 1987.
[2] Атанасян Л. С., Атанасян В. А. «Сборник задач по геометрии» (1,2 часть),
М., 1975.
[3] Базылев В. Т. «Сборник задач по геометрии», М., 1980.
[4] Гусев В. А. и др. «Практикум по решению математических задач»
[5] Саранцев Г. И. «Сборник задач на геометрические преобразования», 1975.
[6] Атанасян Л. С. «Аналитическая геометрия» (1, 2 часть), М., 1970.
[7] Александров П. С. «Лекции по аналитической геометрии», М., 1968.
Дополнительная литература
[8] Погорелов А. В. «Геометрия», М., 1983
[9] Готман Э. Г. «Задачи по планиметрии и методы их решения», 1996.
[10] Александров А. Д. «Геометрия 8 – 9».
[11] Лунгу К.Н., Д.Т. Письменный и др. Сборник задач по высшей
математике, М., Айрис-пресс, 2004
[12] Н.В. Ефимов Высшая геометрия, Наука, М., 1978
3. График выполнения и сдачи заданий по дисциплине
№
Виды работ
Продолжительность
выполнения
Форма
контроля
Сроки
сдачи
1.
Контрольная
работа
Кредит час
Письменно
2
Реферат
1 неделя
Письменно
3
Коллоквиум
2 недели
Устный
опрос
6, 14
неделя
5,13
неделя
5, 15
неделя
Баллы
Штрафные
баллы
10
-
8
1
5
5
4. КАРТА УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЙ ОБЕСПЕЧЕННОСТИ
Карта обеспеченности дисциплины литературой
Кафедра Математики тьютор Орлова Л.Г.
Дисциплина Основания геометрии
Количество кредитов 2
№
п/п
Наименование литературы
Наличие
В
библи
отеке
1
1.
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
2
Атанасян Л. С., Базылев В. Т. «Геометрия» (1,2
часть), М., 1987.
Атанасян Л. С., Атанасян В. А. «Сборник задач
по геометрии» (1,2 часть), М., 1975.
Базылев В. Т. «Сборник задач по геометрии», М.,
1980.
Гусев В. А. и др. «Практикум по решению
математических задач»
Саранцев
Г.
И.
«Сборник
задач
на
геометрические преобразования», 1975.
Атанасян Л. С. «Аналитическая геометрия» (1, 2
часть), М., 1970.
Александров П. С. «Лекции по аналитической
геометрии», М., 1968.
Погорелов А. В. «Геометрия», М., 1983
Готман Э. Г. «Задачи по планиметрии и методы
их решения», 1996.
Александров А. Д. «Геометрия 8 – 9».
Лунгу К.Н., Д.Т. Письменный и др. Сборник
задач по высшей математике, М., Айрис-пресс,
2004
Н.В. Ефимов Высшая геометрия, Наука, М., 1978
на
кафедр
е
3
4
25
5
10
5
15
5
5
2
10
5
5
2
2
-
-
2
-
3
5
5
обеспеченн
ости
студентов
(%)
5
Примеча
ния
Электронн
ая версия
6
5. Конспекты лекций по дисциплине
Лекция 1.
Тема: Возникновение и развитие геометрии.
Содержание лекции:
1. Возникновение и развитие геометрии в различных странах, в Вавилоне
и Египте.
2. Развитие геометрии в Древней Греции.
Геометрия до Евклида
Возникновение и развитие геометрических представлений обычно относят к
древневосточным цивилизациям – Египет, Вавилон, Индия, Китай в связи с
развитием земледелия. Говорить о геометрии как науке на этой стадии нельзя
– это была эпоха предварительного накопления геометрических сведений.
7
Во II тысячелетии до н.э. египтяне умели точно вычислять площадь
треугольника и объем четырехугольной усеченной пирамиды. Площадь круга
радиуса R вычисляли по формуле: S = (16/9 R)2, что дает для достаточно
точное значение ((16/9)2 = 3,16049...) В Вавилоне во II тыс. до н.э. была
известна т. наз. Т. Пифагора.
В математике Древнего Востока нет доказательств, только правила: "Делай
так-то". В VII в. до н.э. благодаря торговле геометрические знания достигли
Греции. Исследователями древней Греции были впервые сформулированы
основные положения науки о законах правильного мышления. Развитие этих
идей привело к мысли соединить все знания о пространстве в такую систему,
в которой подавляющее число найденных закономерностей получалось бы
путем логических выводов из небольшого числа ранее установленных истин.
Так возникла наука, получившая у греков название геометрия:
("землемерие").
В развитии геометрии в Греции можно выделить три периода:
1. (VII – VI в. до н. э.) Основателем и представителем ("отцом" греческой
математики) является Фалес Милетский (640–548 гг. до н.э.). Ему
приписывают доказательства следующих теорем:
– угол, вписанный в полуокружность, прямой.
– вертикальные углы равны.
– углы при основании равнобедренного треугольника равны между собой.
и др.
Это достижение греческих математиков имело важнейшее значение в
развитии геометрии, т. к. общее доказательство охватывало все возможные
частные случаи. Постепенно выделялись немногие первоначальные
предложения, которые получены из опыта и должны быть положены в
основу геометрии без логического доказательства. Было заложено начало
созданию дедуктивного, или аксиоматического метода изложения геометрии.
2. (VI – V в. до н. э.) – Пифагор и его школа. Пифагору предписывают
доказательство следующих предложений:
– сумма внутренних углов треугольника равна двум прямым углам;
– плоскость можно покрыть правильными треугольниками,
четырехугольниками и
шестиугольниками;
– известная теорема Пифагора;
– открытие геометрического способа решения квадратных уравнений;
– открытие пяти типов правильных многогранников;
– существование несоизмеримых отрезков (считается самым важным
открытием
школы Пифагора. До этого считалось, что отношение двух любых отрезков
может быть выражено рациональным числом).
3. (IV в. до н. э.) Философские школы в Афинах Платона и Аристотеля. С
этими школами связывают два основных достижения:
– выработку принципов научного построения геометрической системы,
расчленение ее предложений на аксиомы, теоремы и определения;
– разработку определенных методов и форм доказательства: анализ, синтез,
доказательство от противного, дедукция (из общих истин получаем частные
выводы).
Таким образом, до III в. до н. э. геометрия в Греции накопила обильный
фактический материал, назрела необходимость в его систематизации. Эта
задача наиболее полное и совершенное разрешение получила в созданных
Евклидом "Началах". Начался новый период развития геометрии.
Можно также отметить следующих исследователей:
Демокрит (470–370 гг. до н.э.) открыл теоремы об объемах пирамиды и
конуса. Евдокс (~410–356 гг до н.э.) – создатель геометрической теории
пропорций, заменявшей грекам теорию иррациональных чисел. Он же нашел
способ нахождения объема пирамиды, конуса и шара.
Менехм (~380–320 гг до н.э.) – ученик Евдокса. Открыл конические сечения,
которые затем обстоятельно изучил Аполлоний. Кроме того, Менехм
опубликовал два способа решения классической задачи об удвоении куба:
пересечением двух парабол или пересечением параболы и гиперболы.
Архимед (287–212 до н.э.) – открытие правил для вычисления площади
поверхности шара и некоторых других фигур, объемов ряда тел. Он нашел
приближение для числа /7 = 3,1429..., все полуправильные многогранники
(они сейчас носят его имя - архимедовы тела), значительно развил учение о
конических сечениях и многое другое.
Лекция 2.
Тема: «Начала» Евклида
Содержание лекции:
1. «Начала» Евклида.
2. Особенности изложения.
3. Краткое содержание.
"Начала" Евклида
Попытки греческих ученых построить систему геометрии начались ~ в V
столетии до н.э., но наибольшее влияние на всё последующее развитие
геометрии оказала система геометрии, изложенная в работе греческого
ученого Евклида. Евклид (330-275 гг. до н. э.) – ученик школы Платона, при
царе Птолемее I преподавал математику в Александрии – столице Древнего
Египта. Из работ, написанных Евклидом, главным произведением являются
"Начала". Эта книга намного превосходила более поздние труды
математиков, она сыграла огромную роль в истории математики. Достаточно
сказать, что она была переведена на все языки мира и выдержала около 500
изданий, в течение почти 2000 лет (до середины XIX века) все математики
учились по "Началам" Евклида.
"Начала" состоят из 13 книг:
I – VI посвящены планиметрии;
(В книгах I, III, IV даны свойства треугольников, теория параллельных
прямых, теорема Пифагора, свойства окружностей, вписанных и описанных
многоугольников. Во II книге в геометрической форме даны основные
геометрические тождества.)
В V изложена
теория отношений по Евдоксу, VI – теория подобия фигур.)
VII – IX – арифметике в геометрическом изложении;
Х – несоизмеримым величинам;
XI–XIII – стереометрии (XIII посвящена правильным многогранникам).
Многое из того, что уже было известно, не изложено в "Началах", например,
теории конических сечений и кривых высших порядков в "Началах" не были
представлены.
Каждой из 13 книг "Начал" предпосылаются основные предложения,
необходимые для вывода всех предложений рассматриваемой книги. Эти
предложения делятся на 3 категории:
– определения тех понятий, которыми приходится оперировать в этой книге,
– аксиомы и
– постулаты,
в которых устанавливаются соотношения, связывающие основные понятия
геометрии и принимаемые без доказательств.
Примеры определений из "Начал" (книга I):
1. Точка есть то, что не имеет частей.
2. Линия есть длина без ширины.
3. Границы линии суть точки.
4. Прямая линия есть та, которая равно расположена по отношению к точкам
на ней.
5. Поверхность есть то, что имеет только длину и ширину.
6. Плоский угол есть взаимное наклонение двух встречающихся линий,
расположенных в одной плоскости.
7. Параллельные суть прямые, которые, находясь в одной плоскости и будучи
продолжены в обе стороны неограниченно, ни с той, ни с другой стороны
между собой не встречаются.
Примеры постулатов
Постулаты (postulatum – требование, допущение) содержат в себе допущение.
Допустим:
1. От всякой точки до другой точки можно было провести прямую линию.
2. Ограниченную прямую можно продолжать неограниченно.
3. Из каждой точки, как из центра, можно было произвольным радиусом
описать окружность.
Требуется:
4. Чтобы все прямые углы были равны друг другу.
5. (V постулат) И чтобы всякий раз, когда прямая при пересечении с двумя
другими прямыми образует с ними внутренние односторонние углы, сумма
которых меньше 2-х прямых, эти прямые пересекались с той стороны, с
которой эта сумма меньше 2-х прямых.
Примеры аксиом
1. Равные порознь третьему равны между собой.
2. И если к равным прибавим равные, то получим равные.
...
5. И если удвоим равные, то получим равные.
6. И половины равных равны между собой.
7. И сомещающиеся равны.
8. И целое больше части.
9. И две прямые не могут заключить пространства.
Вслед за аксиоматиками Евклид излагает теоремы геометрии, располагая их
в порядке логической зависимости так, чтобы каждое предложение можно было
доказать на
основании предыдущих предложений, постулатов и аксиом.
Значение системы Евклида
Огромное историческое значение "Начал" Евклида в том, что они являются
первым крупным научным документом по геометрии, в котором сделана
попытка логического построения геометрии на основе аксиом. Евклид
первым поставил задачу обоснования геометрии, т.е. перечисления
определений и аксиом, на основе которых можно было развивать геометрию
строго логическим путем. Логическое построение геометрии было
проведено Евклидом очень точно для его времени. В дальнейшем, строгость
евклидовых доказательств признавалась образцом для подражания.
Лекция 3.
Тема: Критика «Начал».
Содержание лекции:
1. Критика «Начал».
2. Комментаторы Евклида.
3. Возникновение проблемы 5 постулата Евклида.
4. Основные ошибки комментаторов.
Недостатки "Начал".
1. Многие определения крайне туманны.
2. Формулировки определений включают в себя понятия, которые сами
должны быть определены ("длина", "ширина", "граница"...)
3. Ни одно из определений, приведенных выше, не используется в
доказательствах каких-либо теорем. Т.о. они могут быть опущены без ущерба
для последующих рассуждений.
4. Евклид в "Началах" разделил постулаты и аксиомы. Но трудно провести
между ними строгую грань. С современной точки зрения все они могут
называться аксиомами.
5. Список аксиом и постулатов является недостаточным, чтобы на его основе
можно было построить геометрию строго логическим путем: нет аксиомы
непрерывности, аксиом движения и порядка, связанных с терминами
"между" и "вне":
а) Мы часто используем такие понятия, как "лежать между", "две точки
лежат по одну сторону от прямой", "точка находится внутри
многоугольника". Постулаты Евклида не дают никаких данных для
обоснования этих понятий, т.е. необходимо ссылаться на наглядность
чертежа
б) В аксиоме 7 равенство фигур определяется с помощью движений, понятие
и свойства которого у Евклида не определены.
в) При рассмотрении двух окружностей, из которых одна проходит через
одну внутреннюю и одну внешнюю точку относительно другой, Евклид
полагает существование точек пересечения этих окружностей. Аналогично, в
случае, когда прямая проходит через внутреннюю точку некоторой
окружности, полагается, что прямая и окружность имеют две точки
пересечения. Несмотря на наглядную очевидность этих фактов, они должны
быть доказаны. Но у Евклида нет таких положений, с помощью которых
можно обосновать подобные доказательства.
Некоторые недостатки системы Евклида были замечены уже в древности. В
частности, список геометрических постулатов был расширен, например,
Архимедом, добавившим аксиому (называемую аксиомой Архимеда),
играющую существенную роль в теории измерений.
Кроме того, было замечено, что IV постулат является лишним, так как
равенство прямых углов может быть доказано.
Лекция 4.
Тема: Предложение эквивалентные 5 постулату Евклида
Содержание лекции:
1. Предложение эквивалентные 5 постулату Евклида.
2. Доказательство эквивалентности этих предложений с 5 постулатом.
Проблема пятого постулата
При исследовании "Начал" Евклида делались попытки уточнить основные
положения геометрии. Но очень немногие ставили задачу пополнения списка
аксиом или постулатов. Напротив, их количество (в большинстве случаев)
пытались уменьшить.В этих исследованиях особое место занимают
исследования, связанные с V постулатом Евклида. Большинство работ по
основаниям геометрии ставило своей задачей доказать его. За этот период
было предложено множество различных доказательств V, но все
они были ошибочны, так как авторы обычно опирались на какое-нибудь
геометрическо утверждение, которое было наглядно очевидно, но являлось
аналогом V.
V постулат: Требуется, чтобы всякий раз, когда прямая при пересечении с
двумя другими прямыми образует с ними внутренние односторонние углы,
сумма которых меньше 2-х прямых, эти прямые пересекались с той стороны,
с которой эта сумма мень- ше 2-х прямых.
Определение. Два предложения А и В эквивалентны относительно системы
аксиом С, если (С + А => B) и (С + B => A)
Некоторые эквиваленты V постулата
- Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более
одной прямой, параллельной данной (постулат Плейфера).
- Существует прямоугольник (хотя бы один), то есть четырёхугольник, у
которого все углы прямые.
- Через две параллельные прямые при пересечении их третьей прямой,
образуют равные соответственные или внутренние накрест лежащие углы.
- Существуют подобные, но не равные треугольники (аксиома Валлиса,
1693). И здесь достаточно, чтобы существовала хотя бы одна пара таких
треугольников.
- Любую фигуру можно пропорционально увеличить.
- Существует треугольник сколь угодно большой площади.
- Прямая, проходящая через точку внутри угла, пересекает по крайней мере
одну его сторону (аксиома Иоганна Фридриха Лоренца, 1791).
- Через каждую точку внутри острого угла всегда можно провести прямую,
пересекающую обе его стороны (одно из предположений Лежандра, 1800).
- Если две прямые в одну сторону расходятся, то в другую – сближаются.
- Сближающиеся прямые рано или поздно пересекутся.
Вариант: перпендикуляр и наклонная к одной и той же прямой непременно
пересекаются. Утверждение известно как постулат Лежандра, хотя это
формулировка встречалась ещё в XIII веке у ат-Туси.
- Точки, равноудалённые от данной прямой (по одну её сторону), образуют
прямую.
- Если две прямые начали сближаться, то невозможно, чтобы они затем
начали (в ту же сторону, без пересечения) расходиться (принцип Омара
Хайями, аксиома Роберта Симсона, 1756).
- Сумма углов одинакова у всех треугольников.
- Существует треугольник, сумма углов которого равна двум прямым.
- Две прямые, параллельные третьей, параллельны и друг другу (аксиома
Остроградского, 1855).
- Прямая, пересекающая одну из параллельных прямых, непременно
пересечёт и другую.
- Через любые три точки можно провести либо прямую, либо окружность.
Вариант: для всякого невырожденного треугольника существует описанная
окружность (аксиома Фаркаша Бойяи).
- Справедлива теорема Пифагора.
Попытки доказать V постулат
1) Прокл Диадох византийский (Πρόκλοςό Διάδοχος, 410–485 г.г.)
Его доказательство опирается на утверждении, что "расстояние между
параллельными – ограниченная величина", являющемся эквивалентом V. Это
утверждение называют "допущением Прокла"
2) Омар Хайям (персидский, таджикский, 1048–1123)
Всемирно известный классик персидско-таджикской поэзии, учёный,
математик, астроном, поэт и философ. Полное имя - Гияс ад-Дин Абуль Фатх
Омар ибн Ибрахим Хайям Нишапури
1077 г – книга «Комментарии к трудным постулатам книги Евклида»
Принцип О.Х.: две сходящиеся прямые пересекаются и невозможно, чтобы
две сходящиеся прямые расходились в направлении схождения.
3) Джон Валлис (Уоллис) (Wallis John, 1616-1703), английский математик 1693 г Использовал допущение: для любой фигуры F
существует фигура F', подобная F, величина F' произвольная
4) Джованни Джилорамо Саккери (итальянский математик, 1667–1733)
1733 – «Евклид, очищенный от всех пятен, или же геометрическая попытка
установить самые первые начала всей геометрии». Идея Саккери состояла в
том, чтобы заменить V постулат противоположным утверждением, вывести
из новой системы аксиом как можно больше следствий, тем самым построив
«ложную геометрию», и найти в этой геометрии противоречия или заведомо
неприемлемые положения. Тогда справедливость V постулата будет доказана
от противного. В основе его рассуждений лежит четырехугольник с двумя прямыми углами при основании и равными боковыми
сторонами. Саккери пытался доказать, что если у оставшихся двух углов
один прямой, а второй –больше или меньше прямого угла, то придем к
противоречию Гипотезу тупого угла он отверг сразу по формальным
соображениям. Легко показать, что в этом случае вообще все прямые
пересекаются, а тогда можно заключить, что V постулат Евклида справедлив
– ведь он как раз и утверждает, что при некоторых условиях прямые
пересекаются. Отсюда делается вывод, что «гипотеза тупого угла всегда
целиком ложна, так как она сама себя разрушает». «Гипотеза острого угла»:
он допускает, что она верна, и, одно за другим, доказывает
целый ряд следствий. Многие теоремы, доказанные Саккери, выглядят
интуитивно неприемлемыми, но он продолжает цепочку теорем. Наконец,
Саккери доказывает, что в «ложной геометрии» любые две прямые или
пересекаются, или имеют общий перпендикуляр, по обе стороны от которого
они удаляются друг от друга, или же удаляются друг от друга с одной
стороны и неограниченно сближаются с другой. В этом месте Саккери
делает неожиданный вывод: «гипотеза острого угла совершенно ложна, так
как противоречит природе прямой линии».
Однако, он продолжает исследование – рассматривает эквидистанту —
геометрическое место точек плоскости, равноотстоящих от прямой; в
отличие от своих предшественников, Саккери понимает, что в
рассматриваемом случае это вовсе не прямая. Однако, вычисляя длину её
дуги, Саккери допускает ошибку и приходит к реальному противоречию,
после чего заканчивает исследование и с облегчением заявляет, что он
«вырвалэту зловредную гипотезу с корнем». К сожалению, пионерская
работа Саккери, изданная посмертно, не обратила на себя того внимания
математиков, которого заслуживала, и только спустя 150 лет (1889) его
соотечественник Бельтрами обнаружил его труд и оценил его историческое
значение. В своих исследованиях Саккери получил утверждения, похожие на
теоремы геометрии Лобачевского
5) Иоганн Генрих Ламберт (1728 –1777), немецкий математик, астроном,
физик и философ, член АН в Мюнхене (1771) и Берлине (1765). По
происхождению француз "Теория параллельных линий" –1786 г. (издана
посмертно) 1766 –"четырехугольник Ламберта" (четырёхугольник, в котором
при трёх вершинах прямые углы)
Четырёхугольник Ламберта
Из трёх возможных предположений о величине четвёртого угла: либо угол
прямой либо угол тупой, либо угол острый; первая гипотеза является
утверждением, эквивалентным постулату Евклида о параллельных; вторая
приводит к противоречию с другими аксиомами и постулатами Евклида.
Относительно третьей гипотезы Ламберт сделал предположение, что она
выполняется на некоторой мнимой сфере.
Увидел, что во всех существующих доказательствах V используется либо
доказываемое утверждение, либо равносильный ему постулат. Среди
геометров 18 века Ламберт ближе всех подошел к решению проблемы V
постулата. Ламберт первым обнаружил, что «геометрия тупого угла»
реализуется на сфере, если под прямыми понимать большие круги. Он, как и
Саккери, вывел из «гипотезы острого угла» множество следствий, причём
продвинулся гораздо дальше Саккери; в частности, он обнаружил, что
дополнение суммы углов треугольника до 180° пропорционально
площади треугольника. Сферическая геометрия: Геометрия на поверхности
все прямые пересекаются отрицательной кривизны
Ламберт не нашёл противоречия в гипотезе острого угла и пришёл к
заключению, что все попытки доказать V постулат безнадёжны. Он не
высказал каких-либо сомнений в ложности «геометрии острого угла»,
однако, судя по другому его проницательному замечанию, Ламберт
размышлял о возможной физической реальности неевклидовой геометрии и о последствиях этого для науки:
6) Адриен Мари Лежандр (1752-1833) –французский математик и педагог
Несколько раз доказывал V постулат, каждый раз он обнаруживал ошибку в опубликованном доказательстве (неявное использование утверждения, эквивалентного V постулату) Связь между рассуждениями
Лежандра и рассуждениями Саккери и Ламберта: три допущения Лежандра о
возможных значениях суммы углов треугольника соответствует гипотезум
тупого, прямого и острого угла Саккери.
7) Фаркаш Бойяи (Bolyai, 1775-1856, венгерский математик), Янош Бойяи
(Bolyai Jáos, 1802-1860), сын Фаркаша Бойяи Фаркаш Бойяи затратил много
времени на попытки доказать пятый постулат Евклида, но не пришел ни к
каким определенным выводам. Он исходил из предположения, что около
любого треугольника можно описать окружность. Работу отца, несмотря на
настоятельные рекомендации отца, продолжил сын Янош Бойяи (Bolyai Jáos,
1802-1860) –один из творцов неевклидовой геометрии В 1832 году отец
публикует своё сочинение «Тентамен» («Опыт»), а в приложении к нему —
работу сына, вошедшую в историю математики под именем Appendix
(приложение). Полное название труда Яноша Бойяи: «Приложение,
содержащее науку о пространстве, абсолютно истинную, не зависящую от
истинности или ложности XI аксиомы Евклида (что a priori никогда решено
быть не может)» Изложение «Аппендикса» отличается крайней сжатостью
и схематичностью, но по продуманности каждого слова и обозначения
«Аппендикс» принадлежит к числу наиболее совершенных произведений
математической литературы. Открытия Бойяи при его
жизни признания не получили, что тяжело отразилось на психике.
Лекция 5.
Тема: Предшественники стратегии новой геометрии
Содержание лекции:
1. Предшественники стратегии новой геометрии.
2. Новый подход к решению проблемы 5 постулата.
3. Открытие геометрии.
Некоторые факты абсолютной геометрии
Факты абсолютной геометрии основаны на аксиомах I–IV групп.
Все теоремы, которые были введены при изучении аксиоматики Гильберта
(до V группы), являются теоремами абсолютной геометрии. Рассмотрим
также те, которые необходимы для построение геометрии Лобачевского.
4.1. Сумма углов и дефект треугольника
4.2. Четырехугольник Саккери
Определение. Четырехугольники Саккери называется выпуклый
четырехугольник ABCD, у которого углы АВС и BCD – прямые и АВ = CD.
Отрезок ВС называется его нижним основанием, AD – верхним основанием.
Стороны АВ и СD – боковые.
В случае евклидовой геометрии такой четырехугольник будет
прямоугольником.
Теорема. Четырехугольник Саккери имеет ось симметрии, проходящую через
середины оснований; эта ось является общим перпендикуляром к
основаниям. Углы при верхнем основании четырехугольника Саккери равны
и не превосходят /2.
Теорема. Пусть в четырехугольнике углы при нижнем основании прямых, а
боковые стороны не равны. Тогда из двух углов при верхнем основании
больше тот, который лежит против большей стороны. Справедливо и
обратное утверждение.
Лекция 6.
Тема: Творчество Н.И.Лобачевского
Содержание лекции:
1. Творчество Н.И.Лобачевского.
2. Его борьба за новую геометрию, значение его открытия.
3. Установление аксиоматического метода современной математики.
Геометрия Лобачевского
Лобачевский Николай Иванович (1792 – 1856)
Почти всю жизнь Лобачевский прожил в Казани, окончил там гимназию,
затем Казанский университет. Много лет был ректором Казанского
университета, внёс очень большой вклад в его развитие. При этом
Лобачевский вёл не только научно-педагогическую деятельность. Благодаря
его действиям университет удалось спасти дважды: во время эпидемии
холеры в 1830 г, от пожара, уничтожившего большую часть
Казани в 1842 году.
Основные достижения Лобачевского:
– первым сумел снять проблему V постулата
– c 1826 года работа над проблемами новой ("воображаемой") геометрии,
впервые представленная на заседании отделения физико-математических
наук Казанского университета.
Эта работа в то время не была понята и не получила поддержки.
В России при жизни Лобачевского публично оценил его открытие только
профессор П.И.Котельников (1842). Европейские ученые узнали о работах
Лобачевского лишь в1840, и в 1842 по представлению К.Гаусса он был избран
членом-корреспондентом Гёттингенского научного общества.
– ряд работ по математическому анализу
– общее определение функциональной зависимости, позже введенное в науку
Дирихле
– в алгебре: метод приближенного решения уравнений любой степени.
Работы:
– О началах геометрии (1829–1830),
– Воображаемая геометрия (1835),
– Применение воображаемой геометрии к некоторым интегралам (1836),
Новые начала геометрии с полной теорией параллельных (1835–1838),
– Геометрические исследования по теории параллельных линий (1840).
Николай Иванович Лобачевский умер непризнанным.
Лекция 7.
Тема: Элементы геометрии Лобачевского.
Содержание лекции:
1. Элементы геометрии Лобачевского.
2. Основы его учения (излагается на оснований знаний студентами
аксиоматики школьного курса геометрии. Причем некоторые
утверждения даются без доказательства).
Система аксиом Лобачевского
Планиметрия Лобачевского строится на основе 5 групп аксиом, из которых
первые четыре – аксиомы абсолютной геометрии, аксиома V группы –
отрицание аксиомы параллельности Евклида: VЛ
VЛ: Существуют такая прямая а и такая не лежащая на ней точка А, что через
точку А проходит не менее двух прямых, не пересекающих а.
Теорема 1. Сумма углов всякого треугольника меньше п (дефект больше
нуля). Сумма углов всякого четырехугольника меньше 2п. В любом
четырехугольнике Саккери угол при верхнем основании острый.
Следует из Vл и теорем абсолютной геометрии
Следствие. На плоскости Лобачевского нет прямоугольников
Теорема 2. Каковы бы ни были прямая а и не лежащая на ней точка А, через
точку А проходит не менее двух прямых, не пересекающих прямую а.
На плоскости Лобачевского выполняются все теоремы абсолютной
геометрии, в частности признаки равенства треугольников. Рассмотрим еще
один признак равенства треугольников, не имеющий места в геометрии
Евклида
Теорема 3. Если у треугольников АВС и А'B'C' равны соответствующие углы
А и А', B и В', С и С', то эти треугольники равны.
Параллельные и расходящиеся прямые
На евклидовой плоскости непересекающиеся прямые называются
параллельными.
Параллельность прямых на евклидовой плоскости можно характеризовать и
другими свойствами, например, наличием у них многих общих
перпендикуляров или постоянством длин этих перпендикуляров.
На плоскости Лобачевского для двух непересекающихся прямых эти
утверждения неверны. Здесь возможны два случая: прямые имеют общий
перпендикуляр и прямые не имеют общего перпендикуляра.
Определение параллельных прямых
Теорема 1. Каковы бы ни были прямая а и не лежащая на ней точка А,
существует бесконечно много прямых, проходящих через точку А и не
пересекающих прямую а.
Затем рассматриваются Теоремы 2-4
Расходящиеся прямые
Определение. Две прямые называются расходящимися, если они не
пересекаются и не параллельны.
Через каждую точку вне данной прямой проходят две прямые, параллельные
ей, и бесконечно много прямых, расходящихся с ней. Все они лежат внутри
одной из пар углов, образованных параллельными прямыми.
Теорема 7. Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, расходятся
Теорема 8. Две прямые, которые при пересечении с третьей образуют равные
накрест лежащие или соответственные углы, расходятся.
Теорема 9. Всякие две расходящиеся прямые имеют единственный общий
перпендикуляр, по обе стороны от которого они неограниченно удаляются
одна от другой.
Теорема 10. Две параллельные прямые асимптотически сближаются в
сторону параллельности и неограниченно удаляются друг от друга в
противоположном направлении
Угол параллельности
Пусть прямые а и b параллельны в некотором направлении и пусть А –
произвольная точка прямой b. Угол параллельности зависит от выбора точки
А на прямой b.
Не существует двух точек на прямой b, в которых углы параллельности
равны (иначе сумма углов образованного четырехугольника была бы равна
2п, что невозможно).
Теорема 1. Угол параллельности в точке А по отношению к прямой а зависит
только от расстояния от точки А до прямой а
В геометрии Лобачевского функция играет важную роль. Она называется
функцией Лобачевского
Теорема 3. Функция Лобачевского принимает все значения из промежутка (0;
п/2).
Замечание. На плоскости Лобачевского возможно расположение трех
прямых, не имеющее аналогии на евклидовой плоскости.
Пусть прямые a и b параллельны влево. Они имеют ось симметрии s. На
прямой s возьмем произвольную точку А и проведем луч d, параллельный
прямой b вправо. Правее точки А на прямой s существует такая точка В, что
проведенный в ней перпендикуляр ВС параллелен лучу d. Прямая ВС
параллельна прямой b. Так как прямые а и b симметричны прямой s, то
прямые ВС и а тоже параллельны. Таким образом, прямые а и b параллельны
в одном направлении, прямые b и ВС – в другом, а прямые а и ВС – в
третьем. Фигуру, образованную прямыми а, b и BC называют вырожденным
треугольником или треугольником с бесконечно удаленными вершинами.
Лекция 8.
Тема:
Содержание лекции: Признание неевклидовой геометрии
1. Признание неевклидовой геометрии: труды Больтражи, Римана,
Клейна.
2. Их интерпретации неевклидовой геометрии на евклидовой плоскости.
Модель Кэли-Клейна
Кэли (Cayley) Артур (1821–1895), английский математик1849-1863 – адвокат,
Рассматривал эту деятельность как "средство заработать деньги, чтобы
заниматься математикой". За это время издал приблизительно 250
математических работ С 1863 профессор Кембриджского университета.
Основные работы: теории алгебр, квадратичных форм. Установил связь
между теорией инвариантов и проективной геометрией.
Его исследования легли в основу истолкования геометрии Лобачевского
Автор работ по теории определителей, дифференциальных уравнений,
эллиптических функций. Занимался также сферической астрономией и
астрофизикой. Издал более 900 работ и примечаний, покрывающих почти каждый аспект современной математики. Клейн (Klein) Феликс (1849–
1925), немецкий математик, член-корреспондент Германской АН в Берлине
С 1872 – профессор математики в Эрлангене, с 1875 – в Мюнхенской
Высшей технической школе, с – 1880 в Лейпцигском университете.
В 1886 Клейн переехал в Геттинген Основные работы по направлениям:
неевклидова геометрия, теория непрерывных групп, теория алгебраических
уравнений, решение уравнений 5-й, 6-й и 7-й степеней, теория эллиптических
функций, теория атоморфных функций, теория многогранников,
интегрирование дифференциальных уравнений, абелевы функции
Описание модели
Модель была построена английским математиком Кэли, но он сам не
усмотрел связи определённых им метрик с геометрией Лобачевского хотя и
был знаком с его работами. Связь результатов Кэли с геометрией
Лобачевского была установлена немецким математиком Феликсом Клейном
в 1870 г.
Рассмотрим на евклидовой плоскости некоторую окружность ω с центром О
радиуса r = 1, её называют абсолютом. Неевклидова точка – любая
внутренняя точка абсолюта Неевклидовая прямая – любая хорда (без концов)
окружности ω.
Отношения «принадлежность» и «лежать между» понимаются в обычном
смысле. Неевклидов отрезок – любой отрезок неевклидовой прямой
(АВ, АС, ВС, ОВ...) Неевклидов луч – любая полухорда (AV, BV, CU, OU...)
Пересекающиеся прямые – любые хорды, пересекающие в
неевклидовой точке Неевклидов угол – любой с вершиной в неевклидовой
точке (VAQ, PAV...) Параллельные прямые – любые хорды с общей точкой на
абсолюте (UV || VQ) Расходящиеся прямые любые хорды, не имеющие
общих точек (UV и MN) Прямая, перпендикулярная данной изображается прямой, проходящей через внешнюю точку круга полюс данной прямой
Действительно, так как полюс любого из диаметров –бесконечно удаленная
точка, прямая, перпендикулярная диаметру, проходит через эту точку.
Метрические соотношения в модели Кэли-Клейна
Поскольку в модели Клейна плоскости Лобачевского выполняются аксиомы
IV группы, можно ввести в ней метрику.
P и Q – две произвольные внутренние точки абсолюта, а UV – хорда
абсолюта, проходящая через эти точки, при этом направление отрезка PQ
противоположно направлению отрезка UV.
ρ(PQ) = | ln(PQ,UV) | Функция ρ удовлетворяет аксиомам длины:
1 Функция ρ положительна и определена для всех точек P, Q.
Соответствующие пары точек не разделяют друг друга, потому (PQ, UV) > 0.
2 Если точка R лежит между точками P и Q, то ρ(PQ)=ρ(PR)+ρ(RQ).
Из свойств двойного отношения имеем ln (PQ, UV) = ln (PR, UV)·(RQ, UV) =
ln (PR,UV)+ ln (RQ, UV).
3 Если отрезки PQ и P'Q' равны, то ρ(PQ) = ρ(P'Q').
Равенство PQ и P'Q' означает, что существует Л-преобразование,
отображающее отрезок PQ, лежащий на хорде UV в отрезок P'Q' хорды U'V'.
Тогда по свойству проективного преобразования, (PQ, UV) = (P'Q',U'V'). Из
последнего равенства, в силу определения гиперболического расстояния,
следует справедливость равенства ρ(PQ)=ρ(P'Q').
4 Существует отрезок AB, такой, что ρ(AB)=1.
Задачи
1. Прямые а и b пересекаются. Построить прямую: а) параллельную а и
расходящуюся с b; б) параллельную а и перпендикулярную b; в) параллельную а и b;
г) перпендикулярную а и b.
2. Прямые а и b параллельны. Построить прямую: а) параллельную а и
расходящуюся с b; б) параллельную а и перпендикулярную b; в) параллельную а и b;
г) перпендикулярную а и b.
3. Прямые а и b расходятся. Построить прямую: а) параллельную а и
расходящуюся
с b; б) параллельную а и перпендикулярную b; в) параллельную а и b;
г) перпендикулярную а и b.
4. Прямые а и b параллельны, с – расходящаяся с ними обеими. Построить
прямую,
перпендикулярную с и параллельную а и b.
5. Построить треугольник с "нулевыми" углами.
6. Построить угол параллельности данного отрезка.
7. Построить отрезок, для которого данный угол является углом
параллельности.
8. Построить середину отрезка.
9. Построить биссектрису угла.
10. Построить прямые, для которых данный отрезок является их общим
перпендикуляром.
11. Найти расстояние между точками А и В: а) А( 2 –1; 0), В(22 1;21 ); б)
А(0;21 ),В(21 ;31 ).
12. Найти прямую, параллельную прямой 3х – у + 1 = 0, проходящую через
точкуА(21 ;21 ).
13. Найти прямую, перпендикулярную прямой 3х – у + 1 = 0 и содержащую
точкуА(21 ;21 ).
14. Найти прямую, перпендикулярную прямым 3х – у + 1 = 0 и х – у – 1 = 0.
15. Проиллюстрировать на рисунке следующее утверждение: "Каждый угол
содержит внутри себя такие точки, через которые нельзя провести прямых,
пересекающих обе стороны угла".
16. Проиллюстрировать на рисунке следующее утверждение: "Каков бы ни
был острый угол, всегда существует такой перпендикуляр к одной стороне
этого угла, который не пересекает другую сторону".
Непротиворечивость геометрии Лобачевского
Рассмотрим на евклидовой плоскости некоторую окружность ω с центром О
радиуса r = 1, её называют абсолютом. Обозначим через Ω круг с границей
ω, а через
множество внутренних точек этого круга.
Неевклидовой точкой назовем любую евклидову точку M
,а
неевклидовой прямой – любую хорду (без концов) окружности ω. Отношения
«принадлежность» и «лежать между» понимаются в обычном смысле.
Неевклидовы прямые будем обозначать: UV, U1V1 и т.д., предполагая, что U,
V, U1, V1
. Таким образом, неевклидовыми точками прямой UV будут те
и только те евклидовы точки, которые лежат между точками U и V.
Можно убедиться, что при этих соглашениях выполняются все аксиомы I1-3, II1-4 Гильберта.
Например, аксиома II2 (Каковы бы ни были две точки А
и В, существует по крайней мере одна точка С на прямой АВ
такая, что А–В–С.).UVО
Пусть А и В – две неевклидовы точки, a UV – неевклидова прямая, на которой
они лежат. Так как А и В – внутренние точки хорды UV, то на этой хорде
существует хотя бы одна внутренняя точка С, такая, что А – В – С. Отсюда
мы заключаем, что существует по крайней мере одна неевклидова точка С,
такая, что неевклидова точка В лежит между неевклидовыми точками А и С.
Так как в построенной модели выполняются все аксиомы групп I, II
Гильберта, то выполняются и все следствия из этих аксиом
Неевклидовым лучом, исходящим из точки С, является множество всех
внутренних точек произвольной полухорды CU окружности ω (CU – евклидов
отрезок, где С – внутренняя точка круга Ω, a U – точка на его границе).
Неевклидовой полуплоскостью является множество всех внутренних точек
какого-нибудь сегмента круга Ω.
Равенство отрезков и углов
Для определения равенства отрезков и углов, введем ряд вспомогательных
понятий. На евклидовой плоскости простым отношением трех точек А, В и С,
лежащих на одной прямой, называется число (АВ, С) = λ, такое, что AC =
BC , а сложным отношением четырех точек А, В, С, D, лежащих на одной
прямой, – число (АВ, CD) = ( AB,D) ( AB,C ) .
Свойства сложного отношения 4-х точек прямой:
1°. Если (АВ, CD) = (АВ, CD'), то точки D и D' совпадают.
2°. Для любых четырех точек А, В, С, D прямой имеем (АВ, CD) = (CD, AB)=
= (ВА, DC) = (DC, BA).
Если четыре точки на прямой заданы своими координатами M1(x1, у1),
М2(х2, y2), М3(х3, у3) и M4(х4, у4), то (М1М2, М3М4) =( x x )( x x ) ( x x )( x x )
Замечание. Одна из этих формул теряет смысл, если данные точки лежат на
прямой, параллельной одной из координатных осей.
Биективное отображение f : Ω → Ω назовем Л-преобразованием, если
выполнены следующие условия.
а) Внутренние точки круга Ω переходят во внутренние точки этого же круга,
а граничные точки этого круга – в граничные точки.
б) Любая хорда окружности ω переходит в некоторую хорду этой же
окружности, и при этом сохраняется сложное отношение соответственных
точек.
Примеры Л-преобразований
Пример 1. Любое движение евклидовой плоскости, имеющее центр абсолюта
своей инвариантной точкой, индуцирует во множестве Ω некоторое Лпреобразование. В частности, тождественное преобразование множества Ω,
вращение вокруг центра О круга Ω, отражение от любого диаметра круга Ω
являются примерами Л-преобразований.
Некоторые свойства Л-преобразований.
1°. Если f и g – Л-преобразования, то fg и f –1 являются Л-преобразованиями.
2°. Любое Л-преобразование сохраняет отношение «лежать между» точек
круга Ω.
Таким образом, при Л-преобразовании отрезок, принадлежащий кругу Ω,
переходит в отрезок; в частности, полухорда круга Ω переходит в полухорду
того же круга, любой сегмент круга Ω переходит в сегмент того же круга.
Пусть UV – хорда круга Ω. AU – полухорда этой хорды, а – одни из
сегментов, ограниченный хордой UV. Пару AU, назовем Л-флагом и
обозначим через (AU, ).
3°. Какова бы ни была внутренняя точка А круга Ω, существует Лпреобразование, которое переводит точку А в центр О круга Ω, а точку О в
точку А.
В самом деле, пусть ОА = а. Выберем прямоугольную систему координат
Оху так, чтобы точка А в этой системе имела координаты А(а, 0). Тогда Лпреобразование, заданное формулами (2), переводит точку А в точку О, а
точку О в точку А.
4°. Каковы бы ни были флаги I1 = (A1U1, 1) и I2 = (A2U2, 2), существует
Л- преобразование, которое I1 переводит в I2 .
5°. Каковы бы ни были полухорды A1U1 и A2U2, существует Лпреобразование, которое полухорду A1U1 переводит в полухорду A2U2.
6°. Если Л-преобразование какой-нибудь Л-флаг переводит в себя, то оно
является тождественным преобразованием круга Ω.
Замечание. Далее неевклидовы отрезки, лучи, углы, полуплоскости будем
называть просто отрезками, лучами, углами, полуплоскостями.
Будем считать, что отрезок АВ равен отрезку А'В', если существует такое Лпреобразование, которое отрезок АВ переводит в отрезок А'В'. Аналогично
угол hk считается равным углу h'k', если существует Л-преобразование f,
которое угол hk переводит в
угол h'k' (т. е. h' = f(h) и k' = f(k) или k' = f(h) и h' = f(k)).
Заметим, что если hk = h'k', то всегда найдется такое Л-преобразование f',
что h' = f'(h), k' = f'(k). В самом деле, допустим, что равенство hk = h'k'
означает существование такого Л-преобразования, что k' = f(h), h' = f(k).
Таким образом, при построении евклидовой модели (Кэли–Клейна),
доказано, что система аксиом I1-3, II1-4, III1-5, IV1-2, VЛ непротиворечива,
если непротиворечива система аксиом ΣН Гильберта.
Вывод: V постулат Евклида не зависит от остальных аксиом евклидовой
планиметрии.
Лекция 9.
Тема: Требования предъявляемые к системам аксиом.
Содержание лекции: Требования предъявляемые к системам аксиом:
1. непротиворечивость,
2. независимость
3. полнота системы
4. способы их доказательства.
Аксиоматическая теория. Модель
Основным методом в современной математике является аксиоматический
метод.
Его суть:
1. Перечисляются основные понятия.
(основные объекты: t1, t2, …, tn; основные отношения: 1, 2, …, k).
2. Формулируются аксиомы, в которых сообщаются некоторые свойства
основных понятий, необходимые для построения теории.
Совокупность Т = {t1, …, tn; 1 … k; A1, …, Am} называется
аксиоматической теорией (АТ).
3. Все понятия, не являющиеся основными, определяются через ранее
введенные основные понятия.
4. Все предложения, не являющиеся аксиомами, доказываются на основе
аксиом,определений и ранее доказанных предложений.
Понятие модели аксиоматической теории
Всякий конкретный набор предметов, которым приписывается роль объектов
данной системы аксиом (множества, играющие роль основных объектов, и
отношения), называют реализацией или интерпретацией этих аксиом.
Множество объектов, реализующих данную систему аксиом, называют
моделью той логической схемы, которая определена аксиомами.
Если построена модель теории Т, то говорят, что построена интерпретация
системы аксиом: Т = {А1, А2, ..., Аm}
Допустим, что аксиомы данной системы реализованы на двух различных
множествах объектов. Две реализации данной системы аксиом наз.
изоморфными, если между объектами этих реализаций можно установить
такое взаимнооднозначное соответствие, что соответствующие объекты
находятся в одинаковых взаимных отношениях. Так, если точка А и прямая а
первой реализации соответствуют точке A' и прямой a'
второй реализации и если A a, то A' a'. Если отрезки АВ и CD первой
реализации соответствуют отрезкам A'B' и C'D' второй и если AB СD, то
A'B' C'D' и т.п. При этом отношения "принадлежать", "между",
"конгруэнтны" для каждой реализации понимаются в соответствующем
конкретном смысле. Любая аксиоматическая теория должна отвечать
определенным требованиям.
Основные требования к системе аксиом
– непротиворечивость – свойство АТ, состоящее в том, что в этой теории
нельзя получить противоречие, т.е. доказать некоторое предложение и вместе
с тем его отрицание (внутренняя непротиворечивость)
Проблемами внутренней непротиворечивости СА занимается математическая
логика.
Опред. Система аксиом называется содержательно (внешне)
непротиворечивой, если существует модель этой системы.
– независимость
Опред. Аксиома называется независимой от остальных аксиом АТ, если она
не может быть выведена из них в этой АТ.
Опред. Система аксиом ( Т = {А1, А2, ..., Аm}) называется независимой,
если каждая входящая в неё аксиома не зависит от остальных.
Теорема 1. Пусть Т – непротиворечивая система аксиом. Аксиома А1 не
зависит от остальных, если непротиворечива система Т' = { А1, А2, ...,
Аm}.
Доказательство
Допустим, А1 зависит от остальных аксиом (А2, …, Аm). Тогда её можно
доказать, опираясь на систему аксиом Т' = { А1, А2, ..., Аm} и следствий
из неё, таким образом получим, что теория содержит два взаимно
исключающих предложения А1 и А1, что противоречит условию о
непротиворечивости Т'.
– полнота
Опред. Система аксиом называется полной, если не существует такого
предложения А, которое удовлетворяло бы двум условиям одновременно:
1) А не зависит от данной СА ( Т)
2) ( ТА) – непротиворечива, где ТА = {А, А1, А2, ..., Аm}
Теорема 2. Система аксиом аксиоматической теории Т полна, если любые две
её модели изоморфны.
Доказательство
Пусть существует предложение А, которое:
– не зависит от А1, А2, ..., Аm,
– СА ТА = {А, А1, А2, ..., Аm} непротиворечива.
Тогда существует модель системы ТА, причем она является моделью теории
Т и, кроме того, содержит предложение А. Рассмотрим систему аксиом
Т А = { А, А1, А2, ..., Аm}. Она непротиворечива, так
как А не зависит от А1, ..., Аm, т.е. это предложение не может быть
получено, как теорема. Поэтому существует модель системы Т А, причем
она является моделью аксиоматической теории Т и, кроме того, содержит
утверждение А. Получим две модели АТ Т, а так как по условию любые две
модели изоморфны, то в любой из них имеют место предложения А и А.
Полученное противоречие завершает
доказательство.
Лекция 10.
Тема: Обзор системы аксиом Гильберта
Содержание лекции: Обзор системы аксиом Гильберта.
Аксиоматика Гильберта
Давид Гильберт (Hilbert) – нем. математик (1862-1943)
Логик, философ, руководитель одного из основных центров мировой
математической науки первой трети 20 в. — Геттингенской математической
школы, исследования которой оказали определяющее влияние на развитие
математических наук.
В научных исследованиях Гильберта можно четко выделить периоды,
посвященные работе в какой-либо одной области математики: а) теория
инвариантов (1885–93), б) теория алгебраических чисел (1893–98), в)
основания геометрии (1898–1902), г) принцип Дирихле и примыкающие к
нему проблемы вариационного исчисления и дифференциальных уравнений
(1900–06), д) теория интегральных уравнений (1900–10), е) решение
проблемы Варинга в теории чисел (1908–09), ж) основы математической
физики (1910–22), з) логической основы математики (1922–39).
Аксиоматика 1899 г.
Роль аксиоматики Гильберта
Евклид в "Началах" наметил идеал строгого логического изложения
геометрии, но не смог до конца выполнить свой замысел, согласно которому
необходимо строго отделить минимум того, что должно быть заимствовано и
абстрагировано из опыта и геометрической интуиции, и ясно и четко
высказано в аксиомах, а далее, без обращений к очевидности и опыту
выведены из аксиом определенные факты.
При строгом логическом построении теории в понятиях и аксиомах должны
найти своё выражение лишь те свойства и отношения объектов, которые
существенны для логических рассуждений. Все остальные признаки должны
быть оставлены, как не имеющие значения для дедукции.
Но наши геометрические понятия часто срастаются с их наглядными
конкретными представлениями, т.е. существенные свойства сливаются со
многими другими несущественными свойствами, что затрудняет выделение
существенных признаков. До Гильберта под аксиомами геометрии
понимались совершенно конкретные истины, относящиеся к вполне
определенным конкретным объектам – точкам, прямым, плоскостям...,
которые связаны с вполне определенными пространственными
представлениями. Для Гильберта основные понятия геометрии не
связываются ни с какими объектами, они вводятся без прямых определений и
всё, что о них необходимо знать, излагается в аксиомах (которые являются
как бы косвенными определениями).
Такое построение теории приводит к возможности различных истолкований
одной и той же геометрии. Существует как бы "логический скелет", который
может быть заполнен различным конкретным материалом. Таким образом,
расширяется область приложений геометрии. Её утверждения имеют более
общее значение и остаются в силе и для многих объектов, качественно
отличающихся от объектов, связанных с обычными геометрическими
представлениями. Именно на основе аксиоматики Гильберта строятся
аксиоматики различных школьных курсов.
Аксиоматика Гильберта (модифицированная)
Основные объекты: точка, прямая, плоскость
Основные отношения: принадлежать, лежать между, конгруэнтность
(равенство)
Структура аксиоматики (5 групп):
I. Аксиомы принадлежности (8)
II. Аксиомы порядка (4)
III. Аксиомы конгруэнтности (5)
IV. Аксиомы непрерывности (2)
V. Аксиома параллельности
Замечание. У самого Гильберта аксиома параллельности составляет 4 группу,
а аксиомы непрерывности – 5-ю.
I. Аксиомы принадлежности
I1. Для любых двух точек А и В существует прямая, которой принадлежит
каждая из
них.
I2. Существует не более одной прямой, проходящей через каждую из двух
данныхточек А и В.
Теорема 1. Через любые две точки проходит одна и только одна прямая
I3. На всякой прямой существуют по крайней мере две точки. Существуют по
крайней мере 3 точки, не принадлежащие одной прямой.
I4. Для любых трех точек А, В, С, не лежащих на одной прямой, существует
плоскость, которая проходит через каждую из трех точек А, В и С. Каждой
плоскости принадлежит по меньшей мере одна точка.
I5. Для любых трех точек, не лежащих на одной прямой, существует не более
одной плоскости, проходящей через эти точки.
Теорема 2. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит
одна и только одна плоскость.
I6. Если две точки А и В прямой а лежат в плоскости П, то всякая точка
прямой а лежит в плоскости П.
Замечание. В этом случае говорят, что прямая а лежит в плоскости П или
плоскость П проходит через прямую а.
I7. Если две плоскости П1 и П2 имеют общую точку А, то они имеют по
крайней мере еще одну общую точку В.
I8. Существует по крайней мере четыре точки, не лежащие в одной
плоскости.
Следствия из аксиом I группы:
1. Две различные прямые имеют не более чем одну общую точку.
2. Если две различные плоскости имеют одну общую точку, то они имеют
общую
прямую, которой принадлежат все общие точки данных плоскостей.
3. Плоскость и не принадлежащая ей прямая имеют не более чем одну общую
точку.
4. Прямая и не принадлежащая ей точка определяют одну и только одну
плоскость.
5. Каждой плоскости принадлежит по крайней мере три точки, не
принадлежащие одной прямой.
Пользуясь аксиомами только первой группы, нельзя доказать, например, что
на прямой существуют более, чем две точки или что на плоскости
существуют более, чем три точки.
II. Аксиомы порядка
Обозначение: если точка В лежит между точками А и С, то это может быть
записано: (АВС) или А–В–С.
II1. Если А–В–С, то А, В, С – различные точки одной прямой и С–В–А.
II2. Каковы бы ни были две точки А и В, существует по крайней мере одна
точка С на прямой АВ такая, что А–В–С.
II3. Среди любых трех точек прямой существует не более одной точки,
лежащей между двумя другими.
Опред. Пару точек А и В называют отрезком и обозначают АВ или ВА.
Точки, лежащие между А и В, называются внутренними точками или
точками отрезка АВ. Остальные точки прямой АВ называются внешними к
отрезку АВ.
Замечание. В аксиомах II1–II3 не утверждается, что между точками А и В
существуют другие точки, т.е. из них не видно, что каждый отрезок имеет
внутренние точки. Но из II2 следует, что каждый отрезок имеет внешние
точки.
II4. (аксиома Паша). Пусть А, В, С – три точки, не лежащие на одной прямой,
а а – прямая в плоскости АВС, не проходящая ни через одну из точек А, В, С.
Тогда, если прямая а проходит через точку отрезка AB, то она проходит
через точку отрезка АС или ВС.
Аксиомы I и II групп позволяют ввести понятия полуплоскости, луча и
полупространства.
Следствия из аксиом I и II групп
1. Прямая а, лежащая в плоскости П, разделяет множество точек этой
плоскости, не лежащих на прямой а, на два непустых подмножества так, что
если точки А и В принадлежат одному подмножеству, то отрезок АВ не
имеет общих точек с прямой а; если же эти точки принадлежат разным
подмножествам, то отрезок АВ имеет общую точку с прямой а.
Замечание. Каждое из подмножеств, определяемых следствием 1, называется
полуплоскостью плоскости П с границей а. Аналогично вводится понятие
луча и полупространства.
Угол – пара лучей h и k, исходящих из точки О и не лежащих на одной
прямой.
2. Каковы бы ни были точки А и С, существует по крайней мере одна точка D
на прямой АС, лежащая между А и С.
3. Среди любых точек А, В, С одной прямой всегда существует одна,
лежащая между двумя другими.
4. Если точки А, В, С не лежат на одной прямой и если некоторая прямая а
пересекает какие-либо два из трех отрезков АВ, ВС, АС, то она не пересекает
третий из этих отрезков.
5. Если В лежит на отрезке АС и С – на отрезке BD, то В и С лежат на
отрезке AD.
Если С лежит на отрезке AD и В – на отрезке АС, то В лежит на отрезке AD и
С – на отрезке BD.
6. Между любыми двумя точками прямой существует бесконечное
множество других её точек.
7. Если точки С и D лежат между точками А и В, то все точки отрезка CD
принадлежат отрезку АВ.
Замечание. В этом случае говорят, что отрезок CD лежит внутри отрезка АВ.
8. Если А–С–В, то все точки отрезка АС принадлежат отрезку АВ. Если А–
С–В, то никакая точка отрезка АС не может быть точкой отрезка СВ. Если
А–С–В, то каждая точка отрезка АВ, отличная от С, принадлежит либо
отрезку АС, либо отрезку СВ.
III. Аксиомы конгруэнтности
Предполагается, что отрезок (угол) находится в известном отношении в
какому-то отрезку (углу). Это отношение выражается словом "конгруэнтны"
или "равен" и обозначается символом "=". Отношение конгруэнтности
должно удовлетворять требованиям следующих аксиом.
III1. Если даны отрезок АВ и луч, исходящий из точки А', то существует
точка В', принадлежащая данному лучу, такая, что АВ = А'В'.
III2. Если A'B' = АВ и A''B'' = АВ, то A'B' = A''B''.
Следствие. Каждый отрезок конгруэнтен самому себе
III3. Пусть А–В–С, A'–B'–C', АВ = A'B', ВС = B'C'. Тогда АС = A'C'.
III4. Пусть даны (h, k) на плоскости П, прямая a' на этой же плоскости или
какой-нибудь другой плоскости П', и задана определенная сторона плоскости
П' относительно прямой а'. Пусть h' – луч прямой а', исходящий из точки O'.
Тогда на плоскости П' существует один и только один луч k' такой, что (h,
k) конгруэнтен (h', k') и при этом все внутренние точки (h', k') лежат по
заданную сторону от а'.
Следствие. Каждый угол конгруэнтен самому себе
Замечание. Первая часть аксиомы может быть выражена так: каждый угол
может быть однозначно отложен в данной плоскости по данную сторону при
данном луче.
III5. Пусть А, В, С – три точки, не лежащие на одной прямой, и A', B', C' –
три точки, не лежащие на одной прямой. Если при этом AB = A'B', AC = A'C',
BAC = B'A'C', то
АВС = A'B'C'.
Следствия из аксиом I – III
1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
2. Пусть даны три точки А, В, С на прямой а ____________и три точки A', B',
C' на прямой а'.
Пусть, далее, АВ = A'B' и АС = A'C'. Тогда если А–В–С, а B' на прямой а'
лежит с той же стороны от точки A', что и С', то A'–B'–C'.
Опред. Треугольник АВС называется конгруэнтным треугольнику A'B'C',
если АВ = A'B', АС = A'C', ВС = B'C', А = A', B = B', C = C'.
3. Признаки равенства треугольников
Опред. Два угла, у которых имеются общая вершина и одна общая сторона, а
другие стороны которых составляют прямую линию, называются смежными
углами. Два угла с общей вершиной, стороны которых попарно составляют
прямые линии, называются вертикальными углами. Угол, конгруэнтный
своему смежному, называется прямым.
4. Если два угла взаимно конгруэнтны, то смежные с ними углы также
взаимно конгруэнтны.
5. Вертикальные углы конгруэнтны между собой.
6. Прямые углы существуют.
7. Все прямые углы конгруэнтны между собой.
8. Для каждого отрезка существует единственная середина; середина отрезка
является его внутренней точкой.
9. В равнобедренном треугольнике медиана основания есть в то же время
высота и биссектриса угла при вершине.
10. Каждый угол можно разделить пополам и притом единственным образом.
11. Из любой точки можно опустить на данную прямую один и только один
перпендикуляр.
12. Из каждой точки на прямой можно восстановить к этой прямой
единственный перпендикуляр.
Опред. Если даны два отрезка АВ и A'B' и внутри АВ существует такая точка
С, что АС = A'B', то говорят, что отрезок АВ больше отрезка A'B' (АВ > A'B')
или отрезок A'B' меньше отрезка АВ (A'B' < АВ).
13. Для произвольных отрезков АВ и CD всегда выполняется одно из трех
соотношений: АВ = CD, АВ > CD, AB < CD, причем каждое из них
исключает два других.
14. Если AB < A'B' и A'B' < A''B'', то AB < A''B''.
15. Внешний угол треугольника больше каждого внутреннего, не смежного с
ним.
16. Во всяком треугольнике по крайней мере два угла острые.
17. В треугольнике бОльшая сторона лежит против бОльшего угла, и
обратно, бОльший угол лежит против бОльшей стороны.
18. Перпендикуляр короче наклонной.
19. Каждая сторона треугольника меньше суммы и больше разности двух
других егсторон.
Аксиомы третьей группы позволяют определить движение.
IV. Аксиомы непрерывности
IV1. (Аксиома Архимеда) Пусть АВ и CD – произвольные отрезки. Тогда на
прямой АВ существует конечное число точек А1, А2, ..., Аn, расположенных
так, что А–А1–А2–..–Аn–В, причем отрезки АА1, А1А2, ..., Аn–1An
конгруэнтны отрезку CD и А–В–Аn
IV2. Пусть на произвольной прямой а дана бесконечная последовательность
отрезков А1В1, А2В2, ..., из которых каждый последующий лежит внутри
предыдущего и, кроме того, для любого отрезка CD найдется натуральное
число n, такое, что АnBn меньше CD. Тогда на прямой а существует точка Х,
лежащая внутри каждого из отрезков А1В1, А2В2, ....
Замечание. Из условия аксиомы следует, что точка Х – единственная, так как
если существует еще другая точка Y, лежащая внутри всех этих отрезков, то
при любом n отрезок АnBn будет больше отрезка ХY, что противоречит
аксиоме.
Аксиомы IV группы (при сохранении аксиом I-III) эквиваленты
предложению Дедекинда:
Пусть дано разбиение точек отрезка [AB] на два класса К1 и К2 (К1
К2 =
[AB], К1
К2 = ), удовлетворяющее двум условиям:
1) А К1, В К2 и классы К1 и К2 содержат точки, отличные от точек А и
В.A A1 A2 An–1 An В С D А1 А2 А3 Х В3 В2 В1
2) любая точка класса К1, отличная от А, лежит между точкой А и любой
точкой класса К2.
Тогда существует точка М0 отрезка [AB], такая, что любая точка, лежащая
между А и М0 принадлежит классу К1, а любая точка между М0 и В – классу
К2.
Разбиение отрезка [AB] на классы К1 и К2, удовлетворяющее условиям 1-2,
называют дедекиндовым сечением. О точке М0 говорят, что она производит
это сечение. Легко доказать, что такая точка единственная, она может
принадлежать как первому, так и второму классу.
К важнейшим следствиям из аксиом I–IV относится теория измерения
отрезков и углов, о порядке расположения точек на прямой, а также теоремы
о пересечении прямой и окружности и двух окружностей.
V. Аксиома параллельности
V. Пусть а – произвольная прямая и А – точка, лежащая вне прямой а; тогда
в плоскости, определенной точкой А и прямой а, можно провести не более
одной прямой, проходящей через точку А и не пересекающей а.
На основе аксиом I-V можно построить теорию параллельных прямых по
Евклиду, доказать теоремы о сумме углов треугольника и выпуклого
многоугольника, изучить свойства параллелограммов и трапеций, построить
теорию подобия и т.д., обосновать обычную тригонометрию и декартову
аналитическую геометрию. Можно также ввести
понятия площади многоугольника и объема многогранника.
Лекция 11.
Тема: Обзор системы аксиом Вейля
Содержание лекции:
1. Обзор системы аксиом Вейля.
2.О других системах аксиом элементарной геометрии: Бахмана, Шопе и др.
Система аксиом Вейля геометрии Евклида
Вейль (Weyl) Герман (1885-1955), немецкий математик. Работал в различных
областях математики. Первые работы посвящены тригонометрическим
рядам, рядам по ортогональным функциям и почти периодическим функциям
(почти периодические функции Вейля). В теории функций комплексного
переменного Вейль впервые дал строгое построение тех разделов этой
теории, которые опираются на понятие "риманова поверхность" (теоремы и
область Вейля). В математическом анализе Вейль занимался
дифференциальными и интегральными уравнениями, в частности создал
спектральную теорию дифференциальных операторов. Введенные Вейлем в
теории чисел суммы Вейля имели большое значение для аддитивной теории
чисел. Наиболее значителен комплекс работ Вейля по теории непрерывных
групп и их представлений с применениями к проблемам геометрии и физики.
Введенное им понятие пространства аффинной связности играет
существенную роль в современной дифференциальной геометрии. Труды
Вейля по прикладной линейной алгебре имели значение для последующего
создания математического программирования, а работы в области
математической логики и оснований математики до сих пор вызывают
интерес.
Структура с.а. Вейля
Основные объекты: точка, вектор
Совокупности всех точек и векторов обозначаются соответственно Т и V.
Основные отношения: сложение векторов, умножение вектора на число,
скалярное умножение векторов, откладывание вектора от точки.
Структура аксиоматики: 5 групп:
I: Аксиомы сложения векторов (4)
II: Аксиомы умножения вектора на действительное число (4)
III: Аксиомы размерности (2)
IV: Аксиомы скалярного произведения векторов (3)
V: Аксиомы откладывания векторов (2)
I. Аксиомы сложения векторов
Описывает отображение, называемое операцией сложения векторов,
которое ставит в соответствие любым двум векторам x и y третий вектор , называемый суммой векторов x и y и обозначаемый x + y .
I1: Коммутативность: для любых двух векторов x и y справедливо равенство
x+y=y+x.
I2: Ассоциативность: для любых трех векторов x , y , z справедливо:
( x + y ) + z = x + ( y + z ).
I3: Существует такой вектор , что для любого вектора x :
x+
=
+x=x.
I4: Для любого вектора x существует такой вектор x
, что
x+x
=x
+x=
Опред. Вектор
называется нулевым, а x
– вектором,противоположным
вектору x .
II. Аксиомы умножения вектора на действительное число
Вторая группа аксиом описывает отображение 2, называемое операцией
умножения вектора на действительное число. Каждому вектору x и числу,
принадлежащему R однозначно сопоставляется вектор , называемый
произведением вектора x на число .
2 удовлетворяет следующим аксиомам:
II1: Дистрибутивность относительно сложения векторов:
II2: Дистрибутивность относительно сложения чисел:
II3: Ассоциативность:
II4: Умножение на единицу:
Опред. Векторным пространством над полем действительных чисел R
называется множество V, для элементов которого определены операции
сложения векторов и умножения вектора на действительное число так, что
выполняются требования аксиом I–II.
III. Аксиомы размерности
III1: Существуют три линейно независимых вектора 1 e , 2 e , 3 e .
III2: Любые четыре вектора линейно зависимы.
Аксиомы I–III позволяют ввести понятие трехмерного векторного
пространства:.векторное пространство V называется трехмерным векторным
пространством V3 над полем R, если выполняются аксиомы группы III.
Аксиоматика n-мерного векторного пространства над полем R:
III1
': Существует n линейно независимых
III2
': Всякая система, содержащая n + 1 вектор, линейно зависима.
Любая система n линейно независимых векторов пространства Vn называется
базисом.
IV. Аксиомы скалярного произведения векторов
Описывает отображение 3: , называемое операцией скалярного умножения
векторов, позволяющая любым двум векторам x и y однозначно отнести
действительное число
IV1: Коммутативность.
IV2: Линейность.
IV3: Порядок
Опред. Векторное пространство V3, в котором определена операция
скалярного умножения векторов так, что выполняются аксиомы IV,
называется евклидовым векторным пространством.
Евклидово векторное пространство является структурой с базисным
множеством V и операциями 1, 2, 3.
Опред. Неотрицательная величина | x | = называется длиной вектора x .
V. Аксиомы откладывания векторов
Операция откладывания векторов 4, сопоставляющая двум упорядоченным
точкам А, В Т, вектор 4(А, В) из векторного пространства V, обозначаемый
AB , где А – начальная точка вектора AB , а В – конечная, определяется
следующими условиями:
V1: Для каждой фиксированной точки А Т отображение Т V, определенное
по закону 4(А, В) = AB , является взаимно однозначным отображением
множества точек В Т на множестве векторов из V.
V2: Для любых трех точек А, В, С справедливо равенство:
AB + BC = AC (аксиома треугольника)
Лекция 12.
Тема: Аксиомы 3-х мерного евклидова пространства
Содержание лекции:
1. Аксиомы 3-х мерного евклидова пространства по А.В. Погорелову.
2. Сравнение этой аксиоматики со школьными аксиомами по различным
действующим учебникам.
Лекция 13.
Тема: Построение интерпретации системы аксиом Погорелова.
Содержание лекции:
1. Построение интерпретации системы аксиом Погорелова.
2. Проверка аксиом Погорелова в построенной интерпретации
и доказательство непротиворечивости, независимости и полноты этой
системы.
Лекция 14.
Тема: Длинна отрезка.
Содержание лекции:
3. Длинна отрезка.
4. Теорема существования.
Лекция 15.
Тема: Площадь многоугольника в евклидовой геометрии
Содержание лекции:
3. Площадь многоугольника в евклидовой геометрии.
4. Теорема существования равновеликие и равносоставленные
многоугольники. Теорема Баяи-Гервина.
Эквидистанта
В геометрии Евклида известен факт – ГМТ, равноудаленных от данной
прямой а и лежащих по одну сторону от этой прямой, есть прямая,
параллельная данной.
Определим соответствующее ГМТ на плоскости Лобачевского и рассмотрим
его свойства.Пусть а – некоторая прямая.
Опред. Множество точек, расположенных по одну сторону от прямой а и
удаленных от неё на данное расстояние, называется эквидистантой
(гиперциклом).
Прямая а – база эквидистанты, перпендикуляр, опущенный из точки
эквидистанты на базу (и его длина), называется высотой эквидистанты.
Теорема 1. Никакие три точки эквидистанты не лежат на одной прямой
Следствие. Любая прямая, лежащая в плоскости эквидистанты, пересекается
с эквидистантой не более, чем в двух точках.
Теорема 2. Все точки эквидистанты лежат по одну сторону от прямой t,
проведенной через любую точку А эквидистанты перпендикулярно к её
высоте АА' (по ту же сторону, что и база а). Эта прямая является касательной
к эквидистанте.
Теорема 3. Для того, чтобы две эквидистанты были равны, необходимо и
достаточно, чтобы они имели равные высоты.
Эквидистанта обладает некоторыми свойствами, общими с прямой и
окружностью.Так, прямую можно "двигать по самой себе", то есть если
прямую передвинуть так, что какие-либо две её точки А и В совпадут с
точками A' и B' той же прямой, то прямая во втором положении совпадет с
первоначальной прямой. Аналогично с окружностью, которую можно
вращать вокруг её центра, и она будет "скользить сама по себе".
Кривые, обладающие таким свойством, называются кривыми постоянной
кривизны. В геометрии Евклида к таким кривым относятся только прямые и
окружности. В геометрии Лобачевского этим свойством обладает также
эквидистанта. Если основание А1 перпендикуляра АА1 вместе с этим
перпендикуляром передвигать по прямой а, то конец А перпендикуляра
опишет эквидистанту, при таком движении эквидистанта будет
скользить сама по себе, т.е. она имеет постоянную кривизну. Эквидистанты с
различной высотой не могут быть совмещены ни одним своим куском, так же
как окружности разного радиуса.
Другие свойства эквидистанты:
С эквидистантой связан пучок расходящихся прямых – множество всех
прямых, перпендикулярных к базе эквидистанты. Прямые этого пучка
называются осями эквидистанты.
1. Эквидистанта симметрична относительно любой своей оси.
2°. В каждой точке эквидистанты существует касательная, которая
перпендикулярна к оси, проведенной через точку касания.
Хордой эквидистанты называется любой отрезок, соединяющий две точки
эквидистанты.
3°. Любая прямая, содержащая хорду эквидистанты, является секущей
равного наклона к осям, проходящим через концы хорды.
4°. Серединный перпендикуляр к любой хорде эквидистанты является ее
осью.
Орицикл
Теорема 4. Каковы бы ни были параллельные прямые а и b, через всякую
точку А прямой а проходит единственная секущая равного наклона к этим
прямым.
Рассмотрим пучок прямых, параллельных в одном направлении. Пусть а –
некоторая прямая этого пучка, А а. На каждой прямой m пучка, отличной от
а, существует единственная точка М такая, что АМ есть секущая равного
наклона прямых а и m. Множество таких точек М (включая А) называется
орициклом. Прямые данного пучка называются его осями.
Орицикл определяется пучком параллельных прямых и некоторой точкой
А на одной из них. Пусть В – точка орицикла , рассмотрим орицикл ',
определенный тем же пучком и точкой В. Заданные таким образом орициклы
совпадают.
Теорема 5. Никакие три точки орицикла не лежат на одной прямой
Свойства орицикла аналогичны свойствам окружности и эквидистанты, но
есть еще одно свойство, которого нет у окружности и эквидистанты.
Теорема 6. Все орициклы равны
Некоторые факты геометрии Лобачевского
1. Каждый угол содержит внутри себя такие точки, через которые нельзя
провести прямых, пересекающих обе стороны угла.
Т.е. если прямая, проходящая через такую точку, пересечет одну сторону
угла, то она не пересечет другую его сторону.
В самом деле, утверждение, что через любую точку внутри угла всегда
можно провести прямую, пересекающую обе стороны угла, является
эквивалентом V постулата (Лежандр)
2. Каков бы ни был острый угол, всегда существует такой перпендикуляр к
одной стороне этого угла, который не пересекает другую сторону.
3. Каков бы ни был острый угол, всегда существует перпендикуляр к одной
его стороне, параллельный другой стороне.
4. В геометрии Лобачевского существуют треугольники, около которых
нельзя описать окружность.
Утверждение, что около каждого треугольника можно описать окружность,
является эквивалентом V постулата Евклида (Фаркаш Бойяи.)
Перпендикуляр к хорде эквидистанты, проведенный через её середину и
являющийся ГМТ, равноудаленных от вершин хорды, есть прямая,
перпендикулярная к базе этой эквидистанты.
5. Около всякого треугольника, вписанного в эквидистанту, нельзя описать
окружность.
Замечание. Треугольники, вписанные в эквидистанты, не исчерпывают всех
треугольников, около которых нельзя описать окружность.
6. Все полосы между параллельными прямыми равны между собой, т.е. могут
бытьналожены друг на друга своими точками.
7. Четырехугольники Саккери с равными верхними основаниями и равными
соответственно острыми углами при них конгруэнтны.
8. Два треугольника, имеющие равные дефекты и по равной стороне,
равновелики.
9. Площади двух треугольников относятся, как их дефекты. Отношение
площади треугольника к его дефекту есть величина постоянная, не зависящая
от треугольника.
6. Планы семинарских (практических) занятий
№ Тема
Содержание занятия Неделя Литература
[1],№96 [2],
1 Задачи на построение Задачи на основные
1
с помощью циркуля и построения с
№445-455
линейки.
помощью циркуля и
линейки.
2
Основные построения, Решение задач на
схемы решения задач
построение .
на построения.
2
[1], №98 [2],
№466-476
3
Решения задач на
построение методом
пересечения.
Решения задач на
построение методом
пересечения.
3
[1],№99 [2],
№493-503
4
Применение
движений к решению
задач на построение.
Применение
движений к решению
задач на построение.
4
[1],№100 [2],
№514-524
5
Коллоквиум
Теоретический отчет 5
по пройденным темам
[7], §67, 68
[8], §4, 5, 6
6
Контрольная работа
№1
Контрольная работа
«Исторические
[7], §67, 68, 69,
70 [8], §4, 5,
6
египетские задачи»
6
7
Задачи на
доказательство в
плоскости
Лобачевского.
Решение задач на
доказательство в
плоскости
Лобачевского.
7
№ № 902-918
[2].
8
Задачи на
доказательство в
плоскости
Лобачевского.
Решение задач на
доказательство в
плоскости
Лобачевского.
8
№ № 902-918
[2].
9
Задачи на построение
на различных моделях
плоскости
Лобачевского.
Интерпретация
Клейна.
9
№ № 919-926
[2].
10 Задачи на построение
на различных моделях
плоскости
Лобачевского.
Общая интерпретация 10
Пуанкаре.
№ № 927-9933
[2].
11 Исследование систем
аксиом Гильберта.
Исследование систем
аксиом Гильберта.
11
: № № 897-901
[2].
12 Аксиомы Вейля
трехмерного
евклидова
пространства.
Аксиомы Вейля
трехмерного
евклидова
пространства.
12
стр. 89-91 [2].
13 Интерпретации
различных систем
аксиом
Интерпретации
различных систем
аксиом
13
№ № 843-855
[2].
14 Контрольная работа
№2
Контрольная работа
«Исторические
вавилонские задачи»
14
[7], §70, 71,
72,73, 79, 81-89
15 Коллоквиум 2.
Теоретический отчет 15
по пройденным темам
[7], §70, 71,
72,73, 79, 81-89.
7. Методические указания по изучению дисциплины
Общие рекомендации по проведению практических занятий и
СРСП.
Для успешного изучения курса и подготовки к обучению в институте
необходимо определенным образом построить методику занятий. Основное
условие успеха – систематические занятия.
Почти бесполезно только читать любой учебник, нужно его
конспектировать, т.е. записывать самое главное из того, что было вами
понято (записывать надо свои мысли, а не текст учебника). Все, что осталось
непонятным, надо на ближайшем занятии спросить (после этого записать
самое главное из вновь понятого, а оставшееся неясным – так бывает! –
переспросить). Если даже данный раздел остался неясным, это не показатель
ваших способностей; скорее всего вы еще не начали задавать вопросы – себе
и другим. А изучить даже в объеме средней школы без вопросов «зачем?»,
«почему?», «откуда?» невозможно.
Выводы, встречающиеся в курсе, необходимо проделать самостоятельно
(спустя некоторое время после проработки и не заглядывая в конспект или
учебник).
При необходимости понятый и закрепленный материал сам всплывает в
памяти. При проработке материала полезно пользоваться разными
учебниками, тогда как при подготовке к экзаменам достаточно собственного
конспекта.
Практические занятия состоят из четырех компонентов: работа в
аудитории, домашняя работа, индивидуальная работа, контрольная работа.
Все компоненты касаются решения задач.
Решить задачу – это, значит, найти неизвестную величину через
заданные табличные величины.
Чтобы научиться сравнительно легко решать задачи, полезно
придерживаться более или менее стандартного порядка действий:
1. Внимательно прочтя задачу, математически запишите ее условие.
При этом близкими буквами обозначьте одинаковые величины
(различные значения одной величины обозначают одной буквой с
разными индексами), одинаковыми индексами – буквы,
относящиеся к одному объекту (состоянию).
2. Сделайте необходимые построения и рисунки.
3. Обдумайте условие задачи. Наметьте примерный путь решения; при
этом неизвестная величина должна вас «звать» вперед, а
неизвестные – «подсказывать» возможные способы решения.
4. Задачу лучше решать с «конца», отыскивая неизвестную величину.
Соответствующее выражение, в которое входит определяемая
величина, выбирают из пройденного материала, при необходимости,
пользуясь книгой или конспектом. Этот выбор представляет собой
творческий процесс, надо выбрать наиболее целесообразный путь
решения задачи. Этому нельзя научить, ибо различных подходов к
задачам во много раз больше, чем самих задач. Но этому можно
научиться в процессе решения достаточного количества задач и
выяснения
всех
возникающих
вопросов
(естественно,
подразумевается понимание теории, на которой основана данная
задача, в противном случае рано решать такие задачи и надо
приняться за теорию). Запишите общий вид выбранного
соотношения.
5. Перепишите выбранное соотношение в применении к конкретному
процессу вашей задачи, употребляя по возможности обозначения
данных и искомых величин. Постарайтесь при этом придать
соотношению наиболее простой вид.
6. Рассмотрите полученное уравнение. Если в нем одна неизвестная
величина, то найдите ее, и вы получите буквенный ответ задачи –
выражение искомой величины через данные и табличные величины.
Если же неизвестных несколько, снова надо выбрать и записать в общем
виде закон, определение или общую формулу, откуда можно найти другую
неизвестную величину (разумеется, если такой записи еще нет в данной
задаче). Повторите действия п.6 и рассмотрите полученную систему
уравнений.
Если число неизвестных превышает количество уравнений, указанные
действия повторите столько раз, сколько нужно для получения полной
системы уравнений (в которой число неизвестных равно количеству
уравнений).
7. Теперь надо тем или другим алгебраическим способом решить
полную систему уравнений относительно искомой величины (не
определяя остальные неизвестные). Этот технический этап решения
не менее важен, ибо ошибка здесь ведет к неправильному решению
задачи; но здесь не надо думать только правильно применить
имеющиеся математические знания.
8. Иногда проще вместо составления системы уравнений найти
каждую неизвестную величину и подставить (в буквах) в уравнение
искомой величины. Теперь в этом уравнении могут оказаться новые
неизвестные величины, их отыскивают теми же методами. Рано или
поздно в уравнении не останется неизвестных величин. Решая
получившееся уравнение с одним неизвестным, получают
буквенный ответ задачи. В ответе могут отсутствовать некоторые
заданные величины (иначе, в задаче допускаются «лишние»
данные).
9. В буквенный ответ подставьте числа и размерности заданных и
табличных величин и произведите указанные действия (с
размерностями тоже). Если в результате получена неверная
размерность, это прямое указание на допущенную ошибку. Верная
размерность не является доказательством правильности решения.
Вычисления обычно
производят, пользуясь логарифмической
линейкой, и ограничиваются ее точностью – до трех значащих цифр.
Не надо, по возможности, считать промежуточные величины. Так,
если в буквенном ответе действия ограничиваются умножением и
делением, то сразу вычисляют ответ.
Разумеется, задачи бывают более или менее трудными. Но «трудность»
задачи часто состоит в увеличении числа действий, о которых мы только что
рассказали. Это увеличение связано с расширением круга теоретических
сведений, используемых в данной задаче. Но принципиально метод решения
остается тем же самым.
Попробуйте сами решать задачи, не бойтесь при решении заглядывать в
конспект или книгу, не делайте математических ошибок, и вы не только
убедитесь, что можете решать задачи, но и почувствуете удовольствие от
самого процесса решения.
При выполнении практических заданий надо строго придерживаться
указанных ниже правил. Работа, выполненная без соблюдения этих правил,
не зачитывается и возвращается студенту для переработки
1. практические задания следует выполнять в тетради чернилами синего или
черного цвета, оставляя поля для замечаний рецензента
2. решения задач следует располагать в порядке номеров, указанных в
заданиях
3.перед решением каждой задачи надо полностью вписать ее условие. В том
случае, когда несколько задач имеют общую формулировку, следует,
переписывая условие задачи, заменить общие данные конкретными из
соответствующего номера.
4.решение задач нужно излагать подробно и аккуратно, объявляя все
действия.
5. после получения прорецензированной работы ( как зачтенной, так и не
зачтенной) студент должен исправить в ней все отмеченные рецензентом
ошибки и недочеты.
Практическое занятие 1
Тема: Задачи на построение с помощью циркуля и линейки.
Содержание: Задачи на построение с помощью циркуля и линейки.
Цель: решение опорных задач на построение
Форма проведения: решение задач в аудитории, используя школьные
учебники
Методические рекомендации:
Письменно решать задачи, отвечать на поставленные вопросы, согласно
плану
Практическое занятие 2
Тема: Основные построения, схемы решения задач на построения.
Содержание: Основные построения, схемы решения задач на построения.
Цель: решение основных задач на построение
Форма проведения: решение задач в аудитории, используя школьные
учебники
Методические рекомендации:
Письменно решать задачи, отвечать на поставленные вопросы, согласно
плану.
Практическое занятие 3
Тема: Решения задач на построение методом пересечения.
Содержание: Решения задач на построение методом пересечения.
Цель: решение задач на построение методом пересечения.
Форма проведения: решение задач в аудитории, используя задачники
Методические рекомендации:
Письменно решать задачи, отвечать на поставленные вопросы, согласно
плану.
Практическое занятие 4
Тема: Применение движений к решению задач на построение.
Содержание: Применение движений к решению задач на построение.
Цель: решение задач на построение методом движений
Форма проведения: решение задач в аудитории, используя задачники
Методические рекомендации:
Письменно решать задачи, отвечать на поставленные вопросы, согласно
плану.
Практическое занятие 5
Тема: Коллоквиум.
Содержание: Теоретический отчет по пройденым темам.
Цель: повторение и усвоение изученного материала.
Форма проведения: устный опрос.
Методические рекомендации: Повторить и выучить пройденный материал,
составить письменный ответ на данные вопросы.
Практическое занятие 6
Тема: Контрольная работа №1
Содержание: Контрольная работа «Исторические египетские задачи»
Цель: решение контрольной работы.
Форма проведения: решение задач.
Методические рекомендации:
Письменно решать задачи, отвечать на поставленные вопросы
Практическое занятие 7
Тема: Задачи на доказательство в плоскости Лобачевского.
Содержание: Решение задач на доказательство в плоскости Лобачевского.
Цель: решение задач на доказательство в плоскости Лобачевского.
Форма проведения: решение задач в аудитории, используя задачники
Методические рекомендации:
Письменно решать задачи, отвечать на поставленные вопросы, согласно
плану.
Практическое занятие 8
Тема: Задачи на доказательство в плоскости Лобачевского
Содержание: Решение задач на доказательство в плоскости Лобачевского.
Цель: решение задач на доказательство в плоскости Лобачевского.
Форма проведения: решение задач в аудитории, используя задачники
Методические рекомендации:
Письменно решать задачи, отвечать на поставленные вопросы, согласно
плану.
Практическое занятие 9
Тема: Задачи на построение на различных моделях плоскости Лобачевского.
Содержание: Интерпретация Клейна.
Цель: решение задач на интерпретацию Клейна.
Форма проведения: решение задач в аудитории, используя задачники
Методические рекомендации:
Письменно решать задачи, отвечать на поставленные вопросы, согласно
плану.
Практическое занятие 10
Тема: Задачи на построение на различных моделях плоскости Лобачевского.
Содержание: Общая интерпретация Пуанкаре.
Цель: решение задач на интерпретацию Пуанкаре.
Форма проведения: решение задач в аудитории, используя задачники
Методические рекомендации:
Письменно решать задачи, отвечать на поставленные вопросы, согласно
плану.
Практическое занятие 11
Тема: Исследование систем аксиом Гильберта.
Содержание: Исследование систем аксиом Гильберта.
Цель: Знакомство и исследование систем аксиом Гильберта.
Форма проведения: Работа с конспектом, научной литературой
Методические рекомендации:
Письменно отвечать на поставленные вопросы, согласно плану.
Практическое занятие 12
Тема: Аксиомы Вейля трехмерного евклидова пространства.
Содержание: Аксиомы Вейля трехмерного евклидова пространства.
Цель: Знакомство и исследование систем аксиом Вейля
Форма проведения: Работа с конспектом, научной литературой
Методические рекомендации:
Письменно отвечать на поставленные вопросы, согласно плану.
Практическое занятие 13
Тема: Интерпретации различных систем аксиом
Содержание: Интерпретации различных систем аксиом
Цель: Знакомство, исследование и интерпретация различных систем
аксиом.
Форма проведения: Работа с конспектом, научной литературой
Методические рекомендации:
Письменно отвечать на поставленные вопросы, согласно плану.
Практическое занятие 14
Тема: Контрольная работа №2
Содержание: Контрольная работа «Исторические вавилонские задачи»
Цель: решение контрольной работы.
Форма проведения: решение задач.
Методические рекомендации:
Письменно решать задачи, отвечать на поставленные вопросы
Практическое занятие 15
Тема: Коллоквиум 2.
Содержание: Теоретический отчет по пройденным темам
Цель: повторение и усвоение изученного материала.
Форма проведения: устный опрос.
Методические рекомендации: Повторить и выучить пройденный материал,
составить письменный ответ на данные вопросы.
Темы СРСП:
СРСП №1
Тема: Возникновение и развитие геометрии.
Цель: рассмотреть возникновение и развитие геометри
Форма проведения: выступления с минидокладами.
Методические рекомендации:
Составить письменный конспект (минидоклад) и выступить на СРСП.
Литература: [7], §67
СРСП № 2.
Тема: «Начала» Евклида
Цель: изучение «Начал» Евклида, особенности изложения, краткое
содержание, место и значение «начал».
Форма проведения: выступления с минидокладами.
Методические рекомендации:
Составить письменный конспект (минидоклад) и выступить на СРСП.
Литература: [7], §67 [8], §4
СРСП № 3.
Тема: Критика «Начал».
Цель: рассмотреть
1. Критика «Начал»
2. Комментаторы Евклида.
5. Возникновение проблемы 5 постулата Евклида.
6. Основные ошибки комментаторов.
Форма проведения: выступления с минидокладами.
Методические рекомендации: Составить письменный конспект
(минидоклад) и выступить на СРСП.
Литература: [7], §68
СРСП № 4.
Тема: Предложение эквивалентные 5 постулату Евклида
Цель: изучить
Предложение эквивалентные 5 постулату Евклида.
Доказательство эквивалентности этих предложений с 5 постулатом.
Форма проведения: выступления с минидокладами.
Методические рекомендации: Составить письменный конспект
(минидоклад) и выступить на СРСП.
Литература: [8], §5
СРСП №5
Тема: Подготовка к коллоквиуму.
Цель: повторение и усвоение изученного материала.
Форма проведения: устный опрос.
Методические рекомендации: Работа с конспектом лекций и литературой
по вопросам
Литература: [8], §6
СРСП № 6.
Тема: Творчество Н.И.Лобачевского
Цель: изучить
-Творчество Н.И.Лобачевского.
Его борьба за новую геометрию, значение его открытия.
Установление аксиоматического метода современной математики.
Форма проведения: выступления с минидокладами.
Методические рекомендации: Составить письменный конспект
(минидоклад) и выступить на СРСП.
Литература: [7], §70
СРСП № 7.
Тема: Элементы геометрии Лобачевского.
Цель: рассмотреть:
Элементы геометрии Лобачевского.
Основы его учения (излагается на оснований знаний студентами аксиоматики
школьного курса геометрии. Причем некоторые утверждения даются без
доказательства).
Форма проведения: выступления с минидокладами.
Методические рекомендации: Составить письменный конспект
(минидоклад) и выступить на СРСП.
Литература: [7], §73
Лекция 8.
Тема: Признание неевклидовой геометрии
Цель: изучить
Признание неевклидовой геометрии: труды Больтражи, Римана, Клейна.
Их интерпретации неевклидовой геометрии на евклидовой плоскости.
Форма проведения: выступления с минидокладами.
Методические рекомендации: Составить письменный конспект
(минидоклад) и выступить на СРСП.
Литература: [7], §92
СРСП № 9.
Тема: Требования предъявляемые к системам аксиом.
Цель: изучить:
Требования предъявляемые к системам аксиом:
непротиворечивость, независимость,полнота системы, способы их
доказательства.
Форма проведения: выступления с минидокладами.
Методические рекомендации: Составить письменный конспект
(минидоклад) и выступить на СРСП.
Литература: [7], §79 [8], §47
СРСП № 10.
Тема: Обзор системы аксиом Гильберта
Цель: Обзор системы аксиом Гильберта.
Форма проведения: выступления с минидокладами.
Методические рекомендации: Составить письменный конспект
(минидоклад) и выступить на СРСП.
Литература: [7], §71
Кредит час 20.
СРСП № 11
Тема: Обзор системы аксиом Вейля
Цель:Обзор системы аксиом Вейля.
Форма проведения: выступления с минидокладами.
Методические рекомендации: Составить письменный конспект
(минидоклад) и выступить на СРСП.
Литература: [7], §81
Лекция 12.
Тема: Аксиомы 3-х мерного евклидова пространства
Цель: рассмотреть аксиомы 3-х мерного евклидова пространства по А.В.
Погорелову.
Сравнение этой аксиоматики со школьными аксиомами по различным
действующим учебникам.
Форма проведения: выступления с минидокладами.
Методические рекомендации: Составить письменный конспект
(минидоклад) и выступить на СРСП.
Литература: [7], §84
СРСП № 13.
Тема: Построение интерпретации системы аксиом Погорелова.
Цель: рассмотреть
Построение интерпретации системы аксиом Погорелова.
Проверка аксиом Погорелова в построенной интерпретации
и доказательство непротиворечивости, независимости и полноты этой
системы.
Форма проведения: выступления с минидокладами.
Методические рекомендации: Составить письменный конспект
(минидоклад) и выступить на СРСП.
Литература: [7], §84,85
СРСП № 14.
Тема: Длинна отрезка.
Цель:рассмотреть и изучить
Длинна отрезка.
Теорема существования.
Форма проведения: выступления с минидокладами.
Методические рекомендации: Составить письменный конспект
(минидоклад) и выступить на СРСП.
Литература: [7], §86,87
СРСП № 15.
Тема: Площадь многоугольника в евклидовой геометрии
Цель: изучить:
Площадь многоугольника в евклидовой геометрии.
Теорема существования равновеликие и равносоставленные
многоугольники. Теорема Баяи-Гервина.
Форма проведения: выступления с минидокладами.
Методические рекомендации: Составить письменный конспект
(минидоклад) и выступить на СРСП.
Литература: [7], §88,89
8. Методические рекомендации и указания по типовым расчетам,
выполнению расчетно-графических, лабораторных работ, курсовых
проектов (работ)
Не предусмотрено
9. Материалы для самостоятельной работы обучаемых (СРО)
Материалы для СРО с указанием тем, вопросов для самоподготовки по
каждой теме, заданий, объема часов и литературы указаны в силлабусе по
дисциплине.
Материалы для индивидуальных заданий и их содержание (темы)
указаны в разделе 11 (материалы по контролю и оценке учебных достижений
обучаемых) и в разделе 3 (график выполнения и сдачи заданий по
дисциплине).
СРО направлена на подготовку домашних заданий по лекциям и
практическим занятиям, на подготовку к экзамену.
Задания для самостоятельной работы:
Коллоквиум №1
1. Сущность аксиоматического метода.
2. Доказательство Валиса.
3. Геометрия до Евклида. Фалес Милецкий.
4. Доказательство Прокла.
5. Геометрия до Евклида. Пифагор. Демокрит.
6. Теорема о параллельных прямых.
7. Геометрия до Евклида. Платон. Евдокс. Аристотель.
8. Первое предложение Евклида.
9. Причины возникновения начала Евклида.
10. Доказательство Валиса.
11. Особенности изложения начала.
12. Теорема о параллельных прямых.
13. Краткое содержание начала.
14. Доказательство Прокла.
15. Место и значение начала.
16. Первое предложение Евклида
17. Недостатки начала.
18. Доказательство Валиса.
19. Комментаторы Евклида.
20. Доказательство Прокла.
21. Возникновение проблемы 5-го постулата Евклида.
22. Теорема о параллельных прямых.
23. Основные ошибки комментаторов.
24. Первое предложение Евклида.
25. Предложения, эквивалентные 5-му постулату.
Коллоквиум №2.
1. Признание неевклидовой геометрии: труды Больтражи, Римана,
Клейна.
2. Их интерпретации неевклидовой геометрии на евклидовой плоскости.
3. Требования предъявляемые к системам аксиом: непротиворечивость,
независимость и полнота системы, способы их доказательства.
4. Обзор системы аксиом Гильберта.
5. Обзор системы аксиом Вейля.
6. О других системах аксиом элементарной геометрии: Бахмана, Шопе и
др.
7. Аксиомы 3-х мерного евклидова пространства по А.В. Погорелову.
8. Сравнение этой аксиоматики со школьными аксиомами по различным
действующим учебникам.
9. Построение интерпретации системы аксиом Погорелова.
10.Проверка аксиом Погорелова в построенной интерпретации и
доказательство непротиворечивости, независимости и полноты этой
системы.
11.Длинна отрезка.
12.Теорема существования.
13.Площадь многоугольника в евклидовой геометрии.
14.Теорема
существования
равновеликие
и
равносоставленные
многоугольники. Теорема Баяи-Гервина.
10. Методические указания по прохождению учебной, производственной
и преддипломных практик, формы отчетной документации
Студенты специальности «Математика» выполняют курсовые и дипломные
работы по математике и проходят педагогическую практику в СШ города
Уральска.
11. Материалы по контролю и оценке учебных достижений обучаемых
Политика выставления оценок.
Политика выставления оценок основывается на принципах:
1) Объективности
2) Прозрачности
3) Гибкости
4) Высокой дифференциации
Одним из элементов организации учебного процесса является
использование балльно-рейтинговой системы оценки учебных достижений
студентов. При выставлении баллов учитываются следующие факторы.
Политика выставления оценок:
№
п/п
Критерий оценки
Оценка вида
Балл за работу
1.
Активность на лекции
100
Количество
выполненных работ
15
2.
100
15
3.
Активность на
практических занятиях
Активность на СРСП
100
15
4.
Выполнение заданий СРС
100
30
5.
Сдача коллоквиумов
100
4
6.
Выполнение контрольных
работ
Рубежный контроль
( Р1, Р2 )
100
2
100
2
8.
Текущий контроль
9.
Рейтинг допуска
10
Итоговый контроль
(экзамен)
ИТОГО
( Р1  Р2 )
2
Текущий
контроль  0,6
100  0,4
7.
11
Рейтинг допуска +
итоговый контроль
Схема оценки знаний по дисциплине
Таким образом, в 8 и 15 неделю выставляются результаты рейтингового
контроля. Максимальный показатель успеваемости студента по рубежным
контролям составляет 60%, и на экзамен приходится всего 40% (Всего 100%).
Итоговый экзамен проходит в устного опроса по вопросам, охватывающим
основное содержание теоретического и практического материала курса.
Буквенная оценка и ее цифровой эквивалент в баллах определяется по %
содержанию правильных ответов.
По
буквенной
системе
А
АВ+
В
ВС+
С
СD+
D
F
В баллах
Оценка
В%
содержании
4,0
3,67
3,33
3,0
2,67
2,33
2,0
1,67
1,33
1,0
0
95-100
90-94
85-89
80-84
75-79
70-74
65-69
60-64
55-59
50-54
0-49
По традиционной
системе
отлично
хорошо
удовлетворительно
неудовлетворительно
Политика курса должна обеспечивать, высокую эффективность учебного
процесса и обязательна для всех студентов. Каждый преподаватель
предъявляет к студентам систему требований, правил поведения студентов
на занятиях, взаимоотношений с преподавателем, с другими студентами.
Требования к студентам:
Получение хорошего балла по курсу невозможно без постоянной
работы. Это предполагает, что оценка по курсу формируется в течение всего
семестра. Вы заинтересованы принимать активное участие в работе во время
занятий. Максимальная оценка за все виды работ ставится, если был дан
правильный, четкий ответ на поставленные вопросы работа выполнена
аккуратно в полном объеме.
1. Посещение
Посещение должно быть обязательным. Пропуски занятий
отрабатываются в полном объеме занятия, отраженном в учебнометодическом комплексе. Пропуски занятий без уважительной причины, в
объеме, превышающем треть курса, ведут к исключению с курса.
2. Поведение в аудитории
Студент обязан не опаздывать на занятия, не разговаривать во
время занятий, не читать газеты, отключать сотовый телефон, активно
участвовать в учебном процессе.
3. Домашнее задание
Домашняя работа обязательна для выполнения и отчетность по
ней принимается в оговоренное преподавателем время. У студентов
опоздавших во время отчитаться домашнее задание приниматься не будет.
На основе ваших отчетностей будет выведена оценка, которая повлияет на
итоговую оценку.
4 Контрольная работа
Выполняется на занятии, сдается в конце пары, после занятия не
принимается и не оценивается. Контроль знаний студентов главным образом
будет осуществляться посредством решения тестовых заданий.
5 Собеседование
Собеседования должны сдаваться по расписанию для каждой
группы отдельно, пересдача не допускается. Контроль знаний студентов
может осуществляться посредством решения тестовых заданий.
Материалы по контрольной работе №1
каждому студенту дается один из вариантов
контрольной работы
«Исторические египетские задачи».
Материалы по контрольной работе №2
каждому студенту дается один из вариантов
контрольной работы
«Исторические вавилонские задачи».
Материалы по коллоквиуму №1 каждому студенту даются из
[7], §67, 68 [8], §4, 5, 6
Материалы по коллоквиуму №2
каждому студенту даются
[7], §70, 71, 72,73, 79, 81-89.
Контрольная работа №1 «Исторические египетские задачи»
1. Площадь поля 100 квадратных локтей. Поделите её на 2 квадратные
части так, чтобы длина стороны одной части равнялась
3
длины
4
стороны другой части.
2. Вычислить объём усечённой пирамиды, если её высота равна 6, длина
стороны нижнего основания – 4 , верхнего – 2 .
3. Египтяне, заменяя площадь круга площадью равновеликого квадрата,
брали за его сторону
8
диаметра круга. Найти приближенное значение
9
числа , которое следует из этого правила.
Контрольная работа №2 «Исторические вавилонские задачи»
1. Сумма площадей двух полей составляет 30 кв. ед. с них собрали 18ʺ20
мерок зерна. Найти площадь полей, если известно, что с 30 кв. ед.
первого поля собирают 20ʺ0 мерок зерна, а с 30 кв. ед. второго поля
15ʺ0 мерок зерна.
5
кв. ед. сторона одного
12
2
квадрата на 5 линейных единиц длиннее
стороны другого квадрата;
3
2. Сумма площадей двух квадратов равна 25
вычислить длину стороны каждого квадрата.
3. Единичный квадрат разделить на 12 конгруэнтных треугольников и 4
конгруэнтных квадрата. Вычислить площадь треугольника и площадь
квадрата.
Вопросы для проведения контроля знаний студентов по темам
и экзамена
Вопросы для проведения контроля по материалам 1 – 7 недели:
1. Возникновение и развитие геометрии в различных странах, в Вавилоне
и Египте.
2. Развитие геометрии в Древней Греции.
3. «Начала» Евклида.
4. Особенности изложения.
5. Краткое содержание.
6. Место и значение «начал».
7. Критика «Начал».
8. Комментаторы Евклида.
9. Возникновение проблемы 5 постулата Евклида.
10.Основные ошибки коментаторов.
11.Предложение эквивалентные 5 постулату Евклида.
12.Доказательство эквивалентности этих предложений с 5 постулатом.
13. Предшественники стратегии новой геометрии.
14.Новый подход к решению проблемы 5 постулата.
15.Открытие геометрии.
16.Творчество Н.И.Лобачевского.
17.Его борьба за новую геометрию, значение его открытия.
18.Установление аксиоматического метода современной математики.
19. Элементы геометрии Лобачевского.
20.Основы его учения (излагается на оснований знаний студентами
аксиома тики школьного курса геометрии, причем некоторые
утверждения даются без доказательства).
Вопросы для проведения контроля по материалам 8 – 15 недели:
15.Признание неевклидовой геометрии: труды Больтражи, Римана,
Клейна.
16. Их интерпретации неевклидовой геометрии на евклидовой плоскости.
17. Требования предъявляемые к системам аксиом: непротиворечивость,
независимость и полнота системы, способы их доказательства.
18.Обзор системы аксиом Гильберта.
19.Обзор системы аксиом Вейля.
20.О других системах аксиом элементарной геометрии: Бахмана, Шопе и
др.
21.Аксиомы 3-х мерного евклидова пространства по А.В. Погорелову.
22. Сравнение этой аксиоматики со школьными аксиомами по различным
действующим учебникам.
23.Построение интерпретации системы аксиом Погорелова.
24.Проверка аксиом Погорелова в построенной интерпретации и
доказательство непротиворечивости, независимости и полноты этой
системы.
25.Длинна отрезка.
26.Теорема существования.
27.Площадь многоугольника в евклидовой геометрии.
28.Теорема
существования
равновеликие
и
равносоставленные
многоугольники. Теорема Баяи-Гервина.
Вопросы для подготовки к экзамену
1. Возникновение и развитие геометрии в различных странах, в Вавилоне
и Египте.
2. Развитие геометрии в Древней Греции.
3. «Начала» Евклида.
4. Особенности изложения.
5. Краткое содержание.
6. Место и значение «начал».
7. Критика «Начал».
8. Комментаторы Евклида.
9. Возникновение проблемы 5 постулата Евклида.
10.Основные ошибки коментаторов.
11.Предложение эквивалентные 5 постулату Евклида.
12.Доказательство эквивалентности этих предложений с 5 постулатом.
13. Предшественники стратегии новой геометрии.
14.Новый подход к решению проблемы 5 постулата.
15.Открытие геометрии.
16.Творчество Н.И.Лобачевского.
17.Его борьба за новую геометрию, значение его открытия.
18.Установление аксиоматического метода современной математики.
19. Элементы геометрии Лобачевского.
20.Основы его учения (излагается на оснований знаний студентами
аксиома тики школьного курса геометрии, причем некоторые
утверждения даются без доказательства).
21.Признание неевклидовой геометрии: труды Больтражи, Римана,
Клейна.
22. Их интерпретации неевклидовой геометрии на евклидовой плоскости.
23. Требования предъявляемые к системам аксиом: непротиворечивость,
независимость и полнота системы, способы их доказательства.
24.Обзор системы аксиом Гильберта.
25.Обзор системы аксиом Вейля.
26.О других системах аксиом элементарной геометрии: Бахмана, Шопе и
др.
27.Аксиомы 3-х мерного евклидова пространства по А.В. Погорелову.
28. Сравнение этой аксиоматики со школьными аксиомами по различным
действующим учебникам.
29.Построение интерпретации системы аксиом Погорелова.
30.Проверка аксиом Погорелова в построенной интерпретации и
доказательство непротиворечивости, независимости и полноты этой
системы.
31.Длинна отрезка.
32.Теорема существования.
33.Площадь многоугольника в евклидовой геометрии.
34.Теорема
существования
равновеликие
и
равносоставленные
многоугольники. Теорема Баяи-Гервина.
12. Программное и мультимединое сопровождение учебных занятий
В библиотеке университета электронный учебник:
Айдос Ж. Жоғары математика.
13. Перечень специализированных аудиторий, кабинетов и лабораторий
Аудитории №212, 214, 309, 310.