Вопросы для вступительных экзаменов в аспирантуру по

Вопросы для вступительных экзаменов в аспирантуру
по специальности
13.00.02-теория и медика обучения и воспитания (математики)
Раздел №1
1.
Отображения между множествами,
преобразования
и
подстановки. Прямые произведения множеств. Бинарные отношения и
некоторые их виды. Разбиение множеств на классы.
2.
Группы: определение, примеры, основные свойства. Подгруппы.
Критерий подгруппы.
3.
Кольца, тела, поля: определения и примеры.
4.
Многочлены одного переменного. Кольцо К(х),где К- кольцо.
5.
Многочлены нескольких переменных. Основная теорема о
симметрических многочленах.
6.
Линейные пространства: определение и примеры. Линейнозависимые и линейно- независимые системы векторов. Базис и размерность
линейного пространства. Связь межу базисами.
7.
Линейные подпространства и линейные многообразия:
определения и примеры.
8.
Матрица и операции над ними. Определитель и ранг матрицы.
9.
Комплексные числа в алгебраической, тригонометрической и
показательной форме. Сложение, умножение, сопряжение и обращение
комплексных чисел.
10.
Первообразная и неопределенный интеграл. Интегрирование
подстановкой и по частям. Определенный интеграл. Формула НьютонаЛейбница.
Раздел№2
1.
Технологические процедуры моделирования и проектирования
учебного процесса. Технологическая карта.
2.
Цели обучения математике в средней школе. Проблема
формирования и структурирования содержания школьного курса
математики.
3.
Школьный стандарт по математике. Его функции в учебном
процессе. Проблема уровневой и профильной дифференциации обучения
математике.
4.
Обучение
математике
как
процесс
формирования
математических понятий. Уровни сформированности понятия. Методика
изучения определений и формулировок теорем при формировании понятий.
5.
Принцип системности при формировании понятий (на примере
изучения четырехугольников).
6.
Изучение доказательств теорем (на примере теоремы Пифагора,
теоремы Фалеса и теоремы о сумме углов многоугольника).
7.
Формирование представлений об аксиоматическом методе.
Различные аксиоматики школьного курса геометрии. Методика изучения
отдельной аксиомы (на конкретном примере).
8.
Обучение математике как процесс формирования
математических умений. Уровни сформированности умения.
Правила, алгоритмы и эвристики при формировании умений.
Правила системы уравнений, обеспечивающей усвоение
алгоритма.
9.
10.Методика изучения взаимного расположения прямой и плоскости.
Методика изучения взаимного расположения двух плоскостей.
11.Методика изучения равенств фигур (на примере треугольника).
12.Методика изучения геометрических величин (на примере площади
многоугольников).
Раздел №3
1.
Геометрическое построение на плоскости. Инструмент. План
решения задач на построение. Основные задачи.
2.
Геометрическое место точек. Основные геометрические места
точек. Метод ГМТ.
3.
Четырехугольники. Определения, свойства, признаки.
4.
Построение отрезков, заданных формулами:
5.
Декартовы координаты на плоскости. Основные задачи.
Уравнение окружности. Уравнение прямой, проходящей через две данные
точки. Взаимное расположение двух данных прямых. График линейной
зависимости. Взаимное расположение прямой и окружности.
6.
Аксиомы стереометрии. Первые теоремы. Построение сечения
пирамиды плоскостью, заданной тремя точками, не лежащими на одной
прямой.
7.
Параллельность прямых и плоскостей в пространстве.
Определение, теорема. Построение прямой, параллельной данной прямой.
Построение сечения призмы плоскостью. Построение сечений
параллельных данной плоскости.
8.
Перпендикулярность прямых и плоскостей. Определение,
теорема. Построение прямой, перпендикулярной данной прямой и прямой,
перпендикулярной данной плоскости.
9.
Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку
перпендикулярно данной прямой. Построение сечения многогранника
плоскостью, заданной уравнением.
10.
Различные
последовательности
изучения
множества
рациональных чисел. Формирование вычислительных навыков (на
конкретном примере). Иррациональные числа в школьном курсе
математики.
11.
Содержательно-методические линии школьного курса алгебры.
Их взаимосвязь. Функциональная идея — ведущая идея школьного курса
математики. Исторические этапы формирования и развития понятия
функции. Функции и математическое моделирование.
12.
Общая характеристика линии выражений и их преобразований.
Примеры обучения доказательству тождеств и неравенств.
13.
Различные подходы к определению понятия «уравнение».Три
этапа в изучении уравнений первой степени с одним неизвестным.
Основные вопросы методики изучения квадратных уравнений. Разложение
на множители и замена переменной при решении уравнений (на материале
рациональных уравнений).
14.
Функциональная пропедевтика. Методика изучения линейной
функции.
15.
Методика изучения квадратичной функции.
16.
Методика
изучения
тригонометрических
функций.
Тригонометрические уравнения и неравенства в школьном изучении.
17.
Изучение свойств функций на различных этапах школьного
обучения математике. Уравнение прямой. Взаимное расположение прямых
и плоскостей в пространстве. Свойства уравнений прямой в прямоугольной
декартовой системе координат.
18.
Различные подходы при формировании основных понятий
дифференциального исчисления.
19.
Система упражнений по теме: «Применение интеграла к
нахождению площадей фигур». Обзор приложений интеграла в курсе
стереометрии.
20.
Методика изучения взаимного расположения прямых на
плоскости и в пространстве.
21.
Теорема Лагранжа. Условия постоянства и монотонности
функции на промежутке. Экстремумы. Условия выпуклости и вогнутости
функции на промежутке. Точки перегиба.
22.
Трехмерное Евклидово пространство и его свойства. Векторное
и смешанное произведение векторов и их приложения.
23.
Кривые второго порядка. Вывод уравнения и исследование
свойств по каноническому уравнению на примере одной из них.
24.
Движение плоскости и их основные свойства. Группа движений.
25.
Группа подобий плоскости. Основные свойства.
26.
Понятия площади плоской фигуры. Приложение определенного
интеграла к вычислению площади плоской фигуры и объема тела
вращения.
27.
Уравнение плоскости. Взаимное расположение двух плоскостей.
Свойства уравнения плоскости в прямоугольной декартовой системе
координат.
28.
Функциональные последовательности и ряды. Степенные ряды.
Радиус и круг сходимости. Ряд Тейлора.
29.
Обзор аксиоматики Гильберта трехмерного евклидова
пространства. Примеры выводов следствий. Аксиома Лобачевского и
некоторые следствия из нее. Параллельные и расходящиеся прямые на
плоскости Лобачевского.
30.
Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка.
Уравнения с разделяющимися переменными. Линейные уравнения.
31.
Функции. Предел и непрерывность функции в точке. Основные
свойства непрерывных функций на отрезке.
32.
Дифференцирование
функции
одной
или
нескольких
действительных переменных. Геометрический и механический смысл
производной. Правила дифференцирования.
33.
Векторно-координатный метод решения задач на вычисление
угла между скрещивающимися прямыми, между прямой и плоскостью,
между плоскостями.
34.
Векторно-координатный метод решения задач на построение
сечения многогранника плоскостью.
35.
Решение уравнений, содержащих переменную под знаком
модуля (4 способа).
36.
Решение иррациональных уравнений. (Возведением в степень,
введением новых переменных, искусственные приемы). Проверка решения.
37.
Решение показательных уравнений.
38.
Решение логарифмических уравнений.
16. Текстовые задачи на проценты:
1 .процент от числа
2.число по проценту
3.Процентное отношение
17.
Задачи на сплавы, смеси. Основные соглашения. Методы
решения.
18. Задачи на движение. Основные соглашения.
1 .Попутное движение
2.Встречное движение
3.Движение с остановками
4.Комбинированное движение
19.
Рациональные неравенства. Метод интегралов (основная
теорема о решении неравенств канонического вида).
20.
Иррациональные неравенства. План решения в общем случае.
Некоторые искусственные приемы.
21.
Тригонометрические уравнения. Основные виды уравнений и
способы их решения. Объединение и изречение решений. Проверка
решения.
22.
Тригонометрические неравенства. Решение с помощью
окружности.
Раздел №4
1.
Методика преподавания информатики как науки. Структура
школьного курса информатики. Методико-содержательные линии.
2.
Основные этапы развития школьного курса информатики.
Место и роль учебного предмета «Информатика» в структуре школьного
образования.
3.
Методико-содержательная линия: г информация, виды
информации.
4.
Информационные процессы как структурный компонент.
5.
Изучение аппаратных средств в школьном курсе информатики.
6.
Программное обеспечение как структурный компонент.
7.
Методико-содержательная линия: программирование.
8.
Методико-содержательная линия: алгоритмирование.
9.
Базы данных как структурный компонент.
10.
Формы контроля знаний по информатике.
11.
Методические особенности преподавания информатики в 5-9
классах.
12.
Методические особенности преподавания информатики в 10-11
классах.
13.
Информатизация
предметов
физико-математического,
гуманитарного и естественнонаучного цикла.
14.
Обучающие программы и педагогические программные
средства.
15.
Проектировочная деятельность учителя информатики.
16.
Базы данных. Подчиненные таблицы.
17.
Базы данных. Структура записей базы данных.
18.
Технологии клиент-сервер. Пример.
19.
Формы в СУБД.
20.
Реляционные таблицы.
21.
22.
данных.
Базы данных. Таблицы. Записи.
Информационные системы. Основные цели, задачи. Базы