Модели совместной оптимизации цен и ассортимента

Модели совместной оптимизации цен и ассортимента
коммерческой организации по критерию максимизации
маржинальной прибыли
Наличие функциональной взаимосвязи между объемами сбыта и ценами
при известных ценовой эластичности спроса или кривых спроса позволяют
осуществлять их совместную оптимизацию по критерию максимизации
совокупной маржинальной прибыли коммерческой организации. Для этого
могут быть использованы следующие экономико-математические модели.
Введем следующие обозначения.
Пусть n – число продаваемых фирмой товаров;
pi – планируемая цена продаж i-го товара;
v i – переменные затраты на единицу i-ого товара;
X i – планируемый объем продаж i-го товара;
M - совокупная маржинальная прибыль от продажи товаров.
Для максимизации прибыли фирмы цены и ассортимент продаваемых
товаров должны обеспечивать максимум маржинальной прибыли:
n
M = ∑  pi −v i  X i  max
(1)
i=1
Для уточнения постановки задачи введем следующие обозначения.
Пусть
X 0i – объем продаж i-го товара в базовом периоде;
R0i – выручка от реализации i-го товара в базовом периоде;
p
0
i
0 ;
Xi
V 0i – совокупные переменные затраты, связанные с i-ым товаром, в
базовом периоде;
E i – коэффициент ценовой эластичности спроса i-ого товара.
Если считать, что переменные затраты на единицу реализованного товара
V 0i
v i = 0 в плановом периоде остаются неизменными, а цена базового периода
Ri
0
pi не равна нулю, то для любых p0i и pi существует q i такое, что:
pi = p0i 1q i 
(2)
По определению коэффициента ценовой эластичности спроса:
X i = X 0i 1−q i E i 
(3)
Подставив (2) и (3) в (1) и выполнив алгебраические преобразования
функционал M можно представить в виде 4:
n
– средняя цена продаж i-го товара товара в базовом периоде
R0i
n
n
M =−∑ p E i X q − ∑  p E i − p −v i E i  X q i ∑  p i −v i  X i  max
i =1
0
i
Поскольку
0
i
2
i
i =1
0
i
параметры
0
i
0
i
E i , p0,i X 0i
0
0
(4)
i=1
предполагаются
заданными,
1
функционал 4 зависит только от переменных q i ( i =1,2 , , n ).
Таким образом, функция M является квадратичной формой. Поскольку
по своему экономическому смыслу E i 0, p0i 0, X 0i 0 для всех i, то все
коэффициенты при ее старших членах отрицательны. Это означает, что
функционал 4 ограничен сверху и может иметь локальные максимумы. Для их
отыскания рассмотрим первые частные производные функции M по каждой
переменной q i и приравняем их к нулю:
дM
=−2 p 0i E i X 0i q i − p0i E i − p0i −v i E i  X 0i =0 i =1,2 , , n (5)
дq i
Корнями системы уравнений (5) являются значения:
qi=
p 0i − p0i E i v i E i
i =1,2 , , n
(6)
0
2 pi E i
Поскольку
все
вторые
частные
производные
функции
M
неположительны, а часть из них всегда отрицательны, то отрицателен и ее
второй дифференциал. Следовательно, можно утверждать, что при значениях
q i , определяемых формулами 6 достигается максимум функции M.
Значение формул 6 состоит в том, что они определяют такое изменение
цен базового периода, при котором максимизируется маржинальный доход, а,
следовательно, и прибыль фирмы в плановом периоде. Для определения
значений самих цен, полученные значения q i должны быть подставлены в
формулу (2), а на основании полученных цен и коэффициентов ценовой
эластичности спроса плановые объемы продаж могут быть рассчитаны в
соответствии с формулами (3).
Немаловажно и то, что рассмотренный подход позволяет проводить
совместную оптимизацию цен и объемов продаж. Это следует из того, что цена
и объем сбыта каждого товара i в силу формул 2 и 3 зависят от одной и той же
переменной q i . Иными словами, при данных посылках ценообразование
автоматически формирует и программу сбыта.
Однако, сказанное верно только в том случае, когда нет ограничений на
возможности поставок товаров покупателям. Если же какие-то товары
являются дефицитными и не могут быть поставлены в объемах, определяемых
оптимальными ценами по формулам 2 и 3, то постановка задачи должна быть
изменена с учетом указанных ограничений.
Ограничения могут быть двух типов:
1) ограничения на возможности поставки каждого товара по отдельности;
2) ограничения на поставки всей совокупности товаров.
Первое ограничение определяет верхнюю границу возможности поставок
каждого вида товаров и может быть учтено заданием этой верхней границы в
натуральных единицах измерения объема поставок.
Ограничения
второго
типа
могут
выражаться
различными
зависимостями. Например, это может быть ограничение на допустимую сумму
2
совокупных переменных затрат по закупке и сбыту всей совокупности товаров.
Возможность наличия такого рода ограничений следует из того, что фирма
может иметь в своем распоряжении ограниченный объем финансовых
ресурсов, которые могут быть направлены ей на закупки и организацию сбыта.
При наличии указанных ограничений задача совместной оптимизации
цен и объемов продаж товаров может быть поставлена в следующем виде:
n
M = ∑  pi −v i  X i  max
(7)
pi = p 1q i 
X i = X 1−q i E i 
0 ≤ X i ≤ Bi
(8)
(9)
(10)
i=1
0
i
0
i
i =1,2 , , n
i =1,2 , , n
i =1,2 , , n
n
∑ vi X i
≤ V
(11)
i=1
Где
Bi - максимально возможный объем поставок товара i;
V - максимально допустимое финансирование переменных затрат в
плановом периоде.
Задача 7-11 является задачей квадратичного программирования и ее
решение при конкретных значениях числовых параметров может быть
получено с помощью стандартных пакетов прикладных программ.
Основываясь на модели 7-11 можно дать еще более общие постановки
задачи совместной оптимизации цен и объемов продаж.
Предположим фирма может увеличить величину финансирования
переменных затрат на закупки и реализацию товаров за счет привлечения
кредитов.
Пусть
g – средний процент финансовых издержек по привлечению заемных
средств в плановом периоде (учитывающий среднюю ставку процента по
кредитам и дополнительные издержки по их привлечению);
K - объем заемных средств, который может быть привлечен в плановом
периоде.
Тогда задача совместной оптимизации цен и ассортимента может быть
поставлена в следующем виде:
n
M = ∑  pi −v i  X i − 1 g  K  max
(12)
pi = p 1q i 
X i = X 1−q i E i 
0 ≤ X i ≤ Bi
(13)
(14)
(15)
i=1
0
i
0
i
i =1,2 , , n
i =1,2 , , n
i =1,2 , , n
n
vi X i
∑
i=1
≤ V K
(16)
3
Задача 12-16 также является задачей квадратичного программирования и
ее решение при конкретных значениях числовых параметров может быть
получено с помощью стандартных пакетов прикладных программ.
Представленные выше экономико-математические модели совместной
оптимизации цен и ассортимента основаны на использовании одноточечных
оценок эластичности спроса. Однако возможна их постановка и для того
случая, когда известны кривые спроса на поставляемые фирмой товары.
Например, вполне реалистичным можно считать предположение, что кривая
спроса на каждый товар i может быть выражена "падающей" экпонентой:
− p
(17)
X i = Ai e
Очевидно, что в соответствии с экономическим смыслом зависимости 17
Ai 0,  i 0 .
Подставив 17 в 1 получим:
i
i
n
M = ∑ Ai p i e
− p i
i=1
n
− ∑ v i Ai e
− p i
 max
(18)
i=1
Ai ,  i ,v i
Поскольку
параметры
предполагаются
заданными,
функционал 18 зависит только от значений цен pi .
Рассмотрим первые частные производные функции M.
дM
− p
= Ai e
1− pi  i v i  i  i =1,2 , , n
(19)
дpi
Они обращаются в ноль при значениях
1v i  i
pi =
(20)
i
Вторые смешанные частные производные функции М равны нулю, а
вторые частные производные по тому же аргументу определяются
выражением:
д2 M
− p
=− i Ai e
2− p i i v i  i  i =1,2 , , n (21)
2
д pi
1v i  i
При pi =
i =1,2 , , n
i
д2 M
−1 −v 
=− i Ai e
≤ 0
i =1,2 , , n (22)
2
д pi
Это следует из того, что Ai 0,  i 0 для всех i =1,2 , , n по
экономическому смыслу задачи. Следовательно, второй дифференциал
функции М в точке 20 отрицателен и в ней достигается ее локальный
максимум. А поскольку локальный максимум единственен, то он же является и
глобальным.
Таким образом, соотношения 20 определяют такие цены, при которых
обеспечивается максимум маржинальной прибыли фирмы. Зная оптимальные
цены, плановые объемы продаж могут быть определены на основании
формулы 17. Таким образом, рассмотренная модель также позволяет проводить
i
i
i
i
i
i
4
совместную оптимизацию цен и объемов продаж, поскольку политика закупок
(производства) может быть определена по известным значениям плановых
объемов продаж.
Как и при рассмотрении модели безусловной оптимизации, основанной
на точечной оценке эластичности спроса, модель безусловной оптимизации 18
может быть модифицирована и для случая, когда существуют ограничения на
объемы поставок. При использовании ввведенных ранее обозначений
соответствующая задача оптимизации может быть поставлена в следующем
виде:
n
M = ∑  pi −v i  X i  max
(23)
0 ≤ X i ≤ Bi
(24)
i=1
i =1,2 , , n
n
vi X i
∑
i=1
≤ V
(25)
− p
i =1,2 , , n
(26)
X i = Ai e
Аналогично модели 12-16 может быть поставлена и задача совместной
оптимизации цен и ассортимента в условиях возможного привлечения заемных
средств:
i
i
n
M = ∑  pi −v i  X i −1 g K  max
(27)
0 ≤ X i ≤ Bi
(28)
i=1
i =1,2 , , n
n
∑ vi X i
≤ V K
(29)
i=1
− p
i =1,2 , , n
(30)
X i = Ai e
Задачи 23-26 и 27-30 являются нелинейными задачами оптимизации и
могут быть решены с помощью стандартных пакетов прикладных программ.
Их исследование в общем виде представляется нам нецелесообразным.
Нам представляется, что рассмотренные в данной статье модели имеют,
главным
образом,
теоретическое
значение,
поскольку
позволяют
формализовать наиболее общие механизмы совместной оптимизации цен и
объемов продаж и выявить наиболее общие зависимости объясняющих
переменных. Для их практического применения целесообразно построение
компьютерных моделей, позволяющих проводить многовариантные расчеты по
совместной оптимизации цен и объемов продаж с учетом дополнительных
ограничивающих факторов и позволяющих задействовать опыт и знания
применяющих их экономистов.
i
i
5