Модель пространственного размещения производственных

УДК 332.363
МОДЕЛЬ ПРОСТРАНСТВЕННОГО РАЗМЕЩЕНИЯ
ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ЦЕНТРОВ ПРИ
НАЛИЧИИ КОНКУРЕНЦИИ
Пулькин И. С., к.ф.-м.н., доцент кафедры
Землепользования и кадастров, ГУЗ.
В условиях рыночной экономики при управлении земельными
ресурсами важную роль приобретает информация об оптимальном
размещении производительных сил. При организации бизнеса задачей первостепенной важности является правильное пространственное размещение производственных, торговых центров, мест
переработки сельскохозяйственной продукции и т. д. И дело здесь
не только и не столько в минимизации транспортных издержек, а в
первую очередь в конкурентной борьбе за сферы влияния.
В настоящей работе рассматривается модельная задача об оптимальном размещении производственных или торговых центров в
условиях рыночной конкуренции. Оказывается, многие важные
особенности можно увидеть уже для случая одномерной задачи.
В книге [1, с.150], рассмотрена следующая модельная задача о
разделе сфер влияния (хинтерландов). «В теоретических разработках принималась во внимание тенденция предприятий к агломерации, вызванная стремление иметь наибольший хинтерланд. Первоначально эту задачу для одномерного пространства рассмотрел Хотеллинг [2]. Речь шла о размещении двух продавцов мороженого на
длинной полосе пляжа, заполненной отдыхающими. Где расположатся продавцы? Хотеллинг показал, что они займут место в непосредственной близости друг от друга в центре полосы пляжа. Во
всякой другой точке будут основания для передвижения на более
выгодное место». Далее В. Бунге отмечает, что увеличение числа
продавцов может привести к их рассредоточению.
При внимательном рассмотрении этой постановки задачи
оказывается, что в ней присутствуют предположения, не всегда
имеющие место в действительности. В частности, предполагает-
85
ся, что все отдыхающие готовы купить мороженое, причем готовы пройти за ним достаточно большое расстояние. В частности,
если продавец всего один, он может расположиться в любом месте пляжа, и его доход от этого не изменится. На практике такое
предположение выглядит нереалистическим.
Достаточно рассмотреть другие предположения, чтобы решение стало иным. Рассмотрим, например, такую постановку задачи. Все отдыхающие располагаются на пляже, представляющим
собой отрезок длиной 1 километр. Каждый из них готов купить
мороженое, если ради этого нужно пройти не более 250 метров
(в одну сторону). Продавцов по-прежнему двое. Где расположатся
продавцы? Нетрудно показать (и даже строго математически доказать), что продавцы рассредоточатся. Каждый из них займет место
в 250 метрах от своего края пляжа.
Перейдем теперь к более общей постановке задачи. Пусть
«склонность к покупке» описывается некоторой функцией f(x) от
расстояния. Будем считать, что переменная x принимает значения
в промежутке от 0 до 1, и примем при этом длину пляжа за 1. Потребуем, чтобы эта функция была монотонно убывающей: чем
дальше покупатель от продавца, тем меньше его желание покупать. В такой ситуации, если продавец один, то ему выгоднее
всего расположиться в центре пляжа.
Переходим теперь к рассмотрению случая, когда продавцов
двое. Здесь следует отдельно рассмотреть случаи кооперативного
и некооперативного поведения продавцов [3].
В теории игр кооперативным называют такое поведение игроков, когда они знают о действиях друг друга, могут договариваться и соблюдают достигнутые договоренности. В этом случае
продавцы займут места в точках 1/4 и 3/4, поскольку именно такое расположение принесет им максимальный доход. Кроме того,
при этом не будут ущемлены интересы ни одного из продавцов.
Совсем иной будет ситуация, когда поведение игроков некооперативное, то есть никаких договоренностей нет. Как будет
показано ниже, места, где расположатся продавцы, будут зависеть от вида функции f(x).
Пусть первоначально продавцы располагаются там же: в
точках 1/4 и 3/4, то есть каждый на расстоянии 1/4 от своего края
пляжа. Нетрудно видеть, что если первый продавец сделает шаг
86
по направлению к центру пляжа, то он при этом увеличит свою
зону влияния – свой хинтерланд. Как видно из рисунка 1, если
принять длину этого шага за , то доход продавца увеличится на
f(1/4) на левом краю и уменьшится на f(1/4)/2 на правом, то
есть доход этого продавца вырастет.
Рисунок 1 — Расширение хинтерланда выгодно
Такое перемещение, разумеется, приведет к ущемлению интересов второго продавца и вызовет его ответную реакцию. Второй продавец также сделает шаг, и, возможно, не один, к центру
пляжа. Это перемещение, естественно, также не останется без
внимания. В результате продавцы будут двигаться к центру пляжа навстречу друг другу, пока не встретятся в центре или пока не
займут какого-то другого равновесного положения.
Какое же положение займут продавцы в результате такой «игры»? Оказывается, это определяется видом функции f(x). На рисунке 2 показан случай, когда продавцу невыгоден очередной шаг
по направлению к центру, потому что такой шаг не приведет к увеличению его дохода. Такая точка, из которой невыгодно смещаться
ни влево, ни вправо, будет положением равновесия. Ясно, что для
такой точки должно выполняться соотношение f(b) = 2f(a), где a и
b – соответственно расстояния от левого и правого краев хинтерланда до продавца. Такая точка, однако, может не существовать,
если функция f(x) убывает достаточно медленно. В этом случае
оба продавца окажутся в центре пляжа.
Скорость убывания функции f(x) имеет простую и ясную
экономическую интерпретацию. Чем быстрее убывает эта функция, тем больше эластичность спроса в зависимости от расстояния до продавца. Следовательно, малая эластичность спроса при-
87
водит к высокой степени концентрации производства, а высокая
эластичность – к рассредоточению производства.
Рисунок 2 — Расширение хинтерланда невыгодно
Для иллюстрации были выбраны два вида функции f(x). В
первом случае (рис. 3) f1(x) = 1/(1 + 3x) и точка равновесия находится на расстоянии 4/9 от края пляжа. Таким образом, продавцы
расположатся в точках равновесия с координатами 4/9 и 5/9. Во
втором случае f2(x) = 1/(1 + x) точки равновесия не существует, и
продавцы расположатся в центре пляжа.
Рисунок 3 — График функции f1(x)
Важно отметить такую особенность рассматриваемой задачи. Несмотря на то, что движение к центру является выгодным
для обоих продавцов, результатом такого поведения будет не
увеличение, а снижение доходов. Как показывают несложные
расчеты с применением интегрального исчисления, для первого
88
вида функции f(x) доход составит 89,5% от кооперативного случая, а для второго вида – 94,5% (рис. 4).
Рисунок 4 — График функции f2(x)
Изложенная выше задача имеет самое непосредственное отношение к проблеме оптимального размещения производительных сил, например, торговых центров или центров переработки
сельскохозяйственной продукции. Рассмотренная модель, несмотря на ее простоту, позволяет сделать важные выводы: вопервых, для моделирования оптимального размещения следует
знать зависимость спроса от расстояния. Такую зависимость
можно определить на основе статистических исследований.
Второй важный вывод — соблюдение «правил игры», цивилизованные методы ведения конкурентной борьбы чаще всего
увеличивают доход участников по сравнению с «диким рынком».
Список использованных источников:
1. В. Бунге «Теоретическая география» М,: Прогресс, 1967. – 279 с.
2. Hotelling H. Stability in Competition, «The Economic Journal», vol.
39, 1929, p. 41-57.
3. Дж. фон Нейман, О. Моргенштерн «Теория игр и экономическое
поведение», М.: Наука, 1970. – 708 с.
89