Выведение логистических функций и их практическое

А.И. Штанько
ВЫВЕДЕНИЕ ЛОГИСТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ И ИХ ПРАКТИЧЕСКОЕ
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ
Россия, г. Новосибирск, Негосударственное образовательное учреждение высшего
профессионального образования Центросоюза Российской Федерации «Сибирский
университет потребительской кооперации» («СибУПК»)
Abstract: In given advanced study, on the basis of the use of interconnections between the
basic economic sizes of entrepreneurial activity, is presented the process of the successive
destroying of the mathematical correlations describing direct and reverse logistic functions
(the functions Verhulst-Pearl-Reed).
Для описания изменений многих уровней и форм жизни на земле – биологической,
экономической, социальной широко используются логистические уравнения, или
логистические функции (ЛФ), называемые также в литературных источниках
функциями Ферхюльста-Перла-Рида (Verhulst-Pearl-Reed), логистическими кривыми,
S-кривыми, или сигмоидами.
В целом ЛФ отражают динамику изменения разного рода жизненно важных
процессов в пространстве и во времени, в прогрессивном и в регрессивном
направлении, т.е. при зарождении и отмирании новых событий, явлений, предприятий и
учреждений, процессов, товаров и других объектов в течение их жизненных циклов.
Следовательно, с помощью ЛФ можно описывать большое число динамических
процессов роста и спада, которые протекают практически во всех социальноэкономических системах, к которым относятся, например, производственные и
торговые предприятия. В частности, в предпринимательской деятельности ЛФ можно
использовать для описания и факторного анализа изменений экономических
показателей бизнес процессов, подчиняющихся закону S-образного развития и
угасания.
В ходе своей практической деятельности исследователи и специалисты обычно
получают огромные массивы данных, отражающие протекание бизнес процессов в виде
изменений разного рода зависимых экономических параметров от времени или иных
факторов. По этим дискретным данным всегда можно построить семейство ломанных
кривых, а затем аппроксимировать их какими-либо подходящими уравнениями с тем,
чтобы выявить наиболее характерные участки исследуемых процессов. Такими
уравнениями аппроксимации как раз и являются прямая и обратная логистические
функции.
Несмотря на очевидную значимость логистического подхода к изучению процессов,
в учебной литературе практически по всем университетским дисциплинам – логистике,
маркетингу, экономике, менеджменту - так и не нашлось места для детального вывода и
анализа логистических функций, что делает их профессиональное использование в
управлении социально-экономическими процессами весьма проблематичным. Данная
статья призвана устранить этот пробел в образовании.
В основу процесса выведения логистических уравнений положены взаимосвязи
между основными экономическими показателями, применяемыми в торговой
деятельности.
Для простоты изложения материала рассмотрим сначала одну из разновидностей
инвестиций в товарные запасы – стоимость закупленного товара, или переменные
затраты на закупку товара (VC - Variable Cost), которые являются определяющими в
предпринимательской деятельности, поскольку характеризует философию бизнеса в
оптовой и розничной торговле: «нет закупок – нет продавца – нет продаж – нет
бизнеса».
Стоимость закупленного товара VC изменяется во времени и поэтому необходимо
знать, какому закону подчиняется скорость изменения стоимости закупок dVC/dt.
Чтобы ответить на этот вопрос, предположим, что средняя скорость роста стоимости
закупок составляет k на единицу товара; весь закупленный товар непременно подлежит
реализации (условие ненасыщаемости потребителя); закупочная (оптовая) цена товара
не зависит от продаж и есть величина постоянная. Тогда за время dt стоимость закупки
получит некоторый прирост:
dVC = k * VCdt ,
(1)
где VC (Variable Cost) - стоимость закупленной партии товара, или её себестоимость,
или понесенные условно-переменные затраты;
k – положительный коэффициент (k>0), значение которого зависит от условий
закупочной деятельности («потенциальная скорость роста стоимости закупок»).
Выражение (1) показывает, что скорость роста закупок можно представить в виде
дифференциального уравнения с разделяющимися переменными:
dVC
= k *VC ; или в общем виде: y ′ = ky .
(2)
dt
Уравнение (2) называется автономным, поскольку в его правой части отсутствует
независимая переменная – время t. Процесс решения такого уравнения принято
называть интегрированием этого уравнения, а график решения – интегральной кривой.
Решение уравнения (2) имеет следующий алгоритм:
dVC
= kdt ; интегрируя обе части уравнения, имеем ln VC = kt + C0 ;
VC
ln VC = ln e kt + ln C = ln Ce kt ; VC (t ) = Ce kt ;
или в общем виде: y (t ) = Ce kt .
(3)
На рис. 1 представлены интегральные кривые - функции «естественного роста»
стоимости закупок при различных значениях коэффициента k.
Функция
y(t)=C*exp(kt); C=y(0); C=1,0
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
y1(t); k=0,5
y2(t); k=0,3
y3(t); k=0,2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Фактор
Рисунок 1. Функции «естественного роста»
Кривые отражают тот факт, что экспоненциальный рост ничем неограниченной
стоимости закупленных товаров эквивалентен геометрической прогрессии. Поскольку
на кривой помещается множество точек, дифференциальное уравнение (3) имеет
бесконечное множество решений. Чтобы из этого множества найти частное решение,
необходимо задать некие начальные условия, например, t = 0. Тогда произвольная
постоянная С, равная C = VC (t ) / e kt , будет представлять собой C (0) = VC (0) –
стоимость закупки в начальный момент времени.
Кривые на рис. 1 построены в предположении, что стоимость закупки в начальный
момент времени равна одной денежной единице C (0) = VC (0) = 1 .
Модель «естественного роста» затрат на закупку товара (3) можно применять только
в течение ограниченного промежутка времени, поскольку на большом отрезке
временного фактора стоимость закупленного и/или проданного товара начинает
геометрически возрастать. При этом закупочная цена за единицу продукции может
оказаться не постоянной во времени, а переменной, чего уравнение (3) не учитывает.
Следовательно, модель «естественного роста» является гипотетической моделью.
Например, геометрически могут расти цены при постоянной инфляции, чего
практически не бывает.
В реальных условиях рынка скорость экспоненциального роста стоимости закупок
(3) должна с течением времени снижаться, например, в силу конкурентной борьбы за
ограниченные ресурсы («сопротивление маркетинговой среды»). Чтобы учесть
снижение скорости роста затрат на закупку, необходимо в формулу (3) внести поправку,
например, в виде рентабельности продаж, которая сама по себе не может превышать
единицы:
L = (TR − VC ) TR ,
где L (Lucrative) - рентабельность продаж товара (норма валового дохода, норма
маржи); рентабельность есть функция, которая зависит от переменной VC;
TR (Total Return) – общий объём товарооборота (выручка от реализации закупленной
партии товара); величину TR следует интерпретировать как «равновесный
товарооборот», который может обеспечить маркетинговая среда.
В данном случае рентабельность продаж L выступает «механизмом насыщения
роста закупок» (2):
dVC
TR − VC
= k *VC * (
); или в общем виде y ′ = ky ( A − y ) / A.
(4)
dt
TR
Производная (4) показывает, что скорость изменения стоимости закупок равна нулю
в двух точках: при VC = 0 и VC = TR.
Решение уравнения (4) имеет следующий алгоритм:
dVC
TR * dVC
= kdt
= kdt .
TR − VC
; или
VC (
)
VC (TR − VC )
TR
TR
1
1
Поскольку VC (TR − VC ) = VC + TR − VC , имеем:
dVC
dVC
+
= kdt .
VC TR − VC
Интегрируя обе части уравнения, получаем:
ln VC − ln TR − VC = kt + С0 ;
ln
VC
= ln e kt + ln C = ln Ce kt ; откуда
TR − VC
VC
= Ce kt , тогда
TR − VC
Ce kt
Ce kt
;
или
в
общем
виде:
.
(5)
VC (t ) = TR
y
(
t
)
=
A
1 + Ce kt
1 + Ce kt
Из соотношений (5) следует, что в момент времени t = 0 постоянная
y ( 0)
VC (0)
C ( 0) =
=
, а это не что иное, как величина, обратная торговой
A − y (0) TR − VC (0)
надбавки в начальный момент времени t = 0. Напомним, что торговая надбавка М
(Market-up) определяется соотношением:
M = (TR − VC ) / VC .
На рис. 2 представлено отображение формулы (5) в графическом виде при разных
значениях коэффициента k.
Функция
y(t)=AC*exp(kt)/(1+C*exp(kt)); C=y(0)/[A-y(0)]; A=20; C=0,05
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
y1(t); k=1,0
y2(t); k=0,6
y3(t); k=0,35
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Фактор
Рисунок 2. Растущие логистические функции
Рост стоимости закупаемого товара теперь имеет форму сигмоиды, в силу того, что
она ограничена сверху выручкой от продажи той же партии товара (А = TR). График
первой логистической кривой (y1) наглядно показывает, что при малых t рост стоимости
закупок аналогичен геометрическому росту, но далее после точки перегиба характер
роста замедляется, и кривая приближается к асимптоте А, т.е. к объёму товарооборота
TR. Иными словами, асимптота А = TR является стационарным решением уравнения
(4).
Если стоимость закупки VC будет стремиться к выручке TR, а валовой доход (маржа)
от продаж (TR – VC) - к нулю, бизнес потеряет свой здравый смысл. В этом случае
торговая надбавка и рентабельность продаж равны нулю. При этом скорость dVC/dt
также равна нулю.
Выражения (4) и (5) показывают также, что если рентабельность продаж, напротив,
будет очень велика, т.е. будет стремиться к единице (при VC <<TR), кривые примут вид
неограниченных экспонент (3). Такая ситуация крайне не желательна для бизнеса,
TR − VC
поскольку в этом случае торговая надбавка M =
, интерпретируемая как
VC
«относительный потенциал роста закупок», теоретически устремится к бесконечно
большому значению, и бизнес потеряет свой законный смысл. В этом случае стоимость
закупок можно принять равной нулю, а это равносильно тому, что на рынок по какой-то
причине стал поступать, мягко выражаясь, «странный» товар, цена которого за единицу
равна нулю.
Ce kt
Выражение (5) y (t ) = A
имеет сложный для анализа вид, поэтому его лучше
1 + Ce kt
представить в преобразованном виде:
A
y (t ) =
,
(6)
1 + C1e − kt
где C1 = 1 / C .
Графически выражение (6) имеет тот же самый вид логистической кривой (рис. 2),
что и выражение (5).
TR − VC (0)
В формуле (6) постоянная C1 =
эквивалентна торговой надбавке M.
VC (0)
Аналогично, если М будет равна нулю, бизнес также потеряет всякий здравый смысл,
поскольку нет резона заниматься торговлей, если валовой доход от продаж (TR – VC)
равен нулю.
Если в выражении (6) показатель степени экспоненты (-kt) заменить на
положительный (kt), а постоянную интегрирования принять равной С, то растущая
сигмоида примет форму убывающей логистической кривой (рис. 3):
A
y (t ) =
,
(7)
1 + C e kt
где C = 1 / C1 .
Функция
y(t)=A/(1+C*exp(kt)); C=y(0)/(A-y(0)); A=20; C=0,05
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
y1(t); k=1,0
y2(t); k=0,6
y3(t); k=0,35
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Фактор
Рисунок 3. Убывающие логистические функции
На рис. 4 представлены и возрастающая (6), и убывающая (7) сигмоиды, имеющие
взаимообратные постоянные интегрирования и обратные по знаку показатели степени
экспоненты.
Функция
Возрастающая и убывающая сигмоиды
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
y1(t);
С1=20;
k=0,6
y2(t);
С=0,05;
k=0,6
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Фактор
Рис. 4. Возрастающая (6) и убывающая (7) сигмоиды
Чтобы найти координаты точки перегиба двух сигмоид, необходимо взять вторые
производные по фактору, приравнять их нулю и найти значение фактора (в данном
случае – это время t).
Для сигмоиды (6) имеем: 1 + С1e − kt = 0 ; t = ln C1 / k = ln 20 / 0,6 = 5 .
Для сигмоиды (7) имеем: 1 + Ce kt = 0 ; t = − ln C / k = − ln 0,05 / 0,6 = 5 .
Если t = 5, значение функции y (t ) = A / 2 = 10 .
Следовательно, кривые на рис. 4 симметричны относительно точки перегиба.
Симметричность приводит к тому, что постоянные С и С 1 определяют место кривых на
временной оси, в то время как коэффициент k определяет их крутизну.
Если в формулах (6) и (7) принять С = С1 = 1 , а показатель степени (kt) выполнить
составным в виде конечной линейной регрессии (at + b) , то выражения обеих
логистических функций примут более удобный математический вид для их изучения и
применения на практике (рис. 5):
A
; a > 0; b < 0 ;
1) возрастающая ЛФ: y (t ) =
(8)
1 + e − ( at + b )
A
; a > 0; b < 0
2) убывающая ЛФ: y (t ) =
(9)
1 + e ( at + b )
Теперь координаты точки перегиба обеих кривых определяются коэффициентами a и
b, хотя пока что они еще не известны:
t = − b / a = 5; y (5) = A / 2 = 10 .
Таким образом, особенностью логистических функций (5-9) является то, что их
начальные и конечные участки всегда замедленны в росте и симметричны. Это
позволяет находить аналитическим путем коэффициенты логистических уравнений
(a, b) и, тем самым, - очень ценные для практического использования критические
точки исследуемого бизнес процесса.
На практике при изучении процессов и анализе полученных данных за прошлые
периоды работы верхний предел А (асимптота) обычно определяется известными
экономическими ограничениями самого процесса. Поэтому в выражениях (8) и (9)
остаётся только найти значения коэффициентов a и b, и провести анализ логистических
функций по определённой методике. В настоящее время такие задачи относительно
просто решаются с помощью математической системы MathCad, в состав которой
входит функция genfit, обеспечивающая наилучшую аппроксимацию исходных кривых
логисическими функциями.
Функция
Возрастающая и убывающая сигмоиды
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
y1(t);
a=0,6;
b=-3,0
y2(t);
a=0,6;
b=-3,0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Фактор
Рисунок 5. Возрастающая (8) и убывающая (9) сигмоиды
В авторских работах [1-3] представлены методы анализа логистических функций в
системе MathCad и примеры их использования - расчет понесённых затрат на
маркетинговую деятельность, определение динамики потребительского спроса и
оценка жизненного цикла товара, начиная с этапа его разработки и заканчивая этапом
реанимации.
1. Штанько, А.И. К вопросу о взаимосвязи логистики и маркетинга // Сборник статей
Всероссийской научно-практической конференции «Маркетинг: теория и практика» /
под ред. Л.А. Закировой. – Магнитогорск: ФГБОУ ВПО МГТУ, 2012. – С. 238-243.
2. Штанько, А.И. Моделирование потребительского спроса // Труды международной
научно-технической конференции «Современные информационные технологии». –
Пенза: Пензенская государственная технологическая академия, 2011, вып. 14. –
С. 144-150.
3. Штанько, А.И. Метод описания и анализа жизненных циклов // Сборник статей
Всероссийской научно-практической конференции «Маркетинговые решения для
бизнеса» / под ред. д-ра экон. наук, проф. В.В. Салия, канд. экон. наук, доцента
Т.В. Красильниковой. – Новосибирск: СибУПК, 2012. – С. 86-90.