локальные предельные теоремы для цепей маркова с линейно

02.50.Cw, 02.50.Ey, 02.50.Fz, 02.50.Ga
c 2014 ã.
Â.Ä. ÊÎÍÀÊÎÂ, ä-ð ô. -ì. íàóê, ïðîôåññîð ÍÈÓ ÂØÝ
À.Ð. Ìàðêîâà, àñïèðàíò ÍÈÓ ÂØÝ
(ÍÈÓ ÂØÝ, Ìîñêâà)
ËÎÊÀËÜÍÛÅ ÏÐÅÄÅËÜÍÛÅ ÒÅÎÐÅÌÛ ÄËß ÖÅÏÅÉ
ÌÀÐÊÎÂÀ Ñ ËÈÍÅÉÍÎ ÐÀÑÒÓÙÅÉ ÊÎÌÏÎÍÅÍÒÎÉ
ÒÐÅÍÄÀ1
Àííîòàöèÿ : Ìû ðàññìàòðèâàåì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü öåïåé Ìàðêîâà, ñëàáî ñõîäÿùèõñÿ ê äèôôóçèîííîìó ïðîöåññó. Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî òðåíä
ñîäåðæèò ëèíåéíî ðàñòóùóþ êîìïîíåíòó. Îáû÷íûé ìåòîä ïàðàìåòðèêñà
íå ïîäõîäèò èç-çà íåîãðàíè÷åííîñòè òðåíäà. Ïîêàçàíî, êàê ñëåäóåò ìîäèôèöèðîâàòü ìåòîä ïàðàìåòðèêñà, ÷òîáû ïîëó÷èòü ëîêàëüíûå ïðåäåëüíûå
òåîðåìû â ýòîì ñëó÷àå.
Êëþ÷åâûå ñëîâà : ñòîõàñòè÷åñêîå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå,
äèôôóçèîííûé ïðîöåññ, öåïü Ìàðêîâà, ìåòîä ïàðàìåòðèêñà, ôóíäàìåíòàëüíàÿ ìàòðèöà.
LOCAL LIMIT THEOREMS FOR MARKOV CHAINS WITH LINEARLY
INCREASING TREND COMPONENT
Abstract : We consider a sequence of Markov chains weakly convergent to
a diusion. We suppose that a drift term contains a linearly increasing
component. The usual parametrix method fails because of this unbounded
drift term. We show how to modify the parametrix method to obtain local
limit theorems for this case.
Key words : stochastic dierential equation, diusion process, Markov
chain, parametrix method, fundamental matrix.
1. Ââåäåíèå
Öåëü íàñòîÿùåãî ââåäåíèÿ îáúÿñíèòü, îòêóäà âîçíèêëà çàäà÷à, ðàññìàòðèâàåìàÿ â íàñòîÿùåé ðàáîòå. Çàìåòèì, ÷òî ââåäåíèå íå ïðåòåíäóåò íà ïîëíîòó ïðîâåäåííîãî êðàòêîãî îáçîðà.
Âàæíîñòü èçó÷åíèÿ äèñêðåòèçàöèé ñòîõàñòè÷åñêèõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé (ÑÄÓ) ñëåäóåò óæå èç òîãî, ÷òî âñå èçâåñòíûå ïðèáëèæåííûå ìåòîäû ìîäåëèðîâàíèÿ äëÿ ÑÄÓ îñíîâàíû íà òîé èëè èíîé äèñêðåòèçàöèè. Õîðîøî èçâåñòíî,
÷òî ðåøåíèÿ ÑÄÓ â çàìêíóòîé ôîðìå ìîãóò áûòü ïîëó÷åíû ëèøü äëÿ íåáîëüøîãî
1 Ñòàòüÿ
ïîäãîòîâëåíà ïðè ôèíàíñîâîé ïîääåðæêå Íàó÷íîãî Ôîíäà ÍÈÓ ÂØÝ
1
÷èñëà ïîäêëàññîâ ñòîõàñòè÷åñêèõ óðàâíåíèé, ïîýòîìó ðàçëè÷íûå ìåòîäû äèñêðåòèçàöèè (ñõåìà Ýéëåðà - Ìàðóÿìû, ñõåìà Ìèëüøòåéíà, ñõåìû, îñíîâàííûå íà ñòîõàñòè÷åñêîì ðàçëîæåíèè Òåéëîðà âûñøèõ ïîðÿäêîâ) ïðèâëåêàþò âíèìàíèå áîëüøîãî
÷èñëà èññëåäîâàòåëåé. Ïðè ýòîì âîçíèêàåò åñòåñòâåííûé âîïðîñ: âîñïðîèçâîäÿò ëè
ñõåìû äèñêðåòèçàöèè àñèìïòîòè÷åñêèå ñâîéñòâà èñõîäíîãî ïðîöåññà (òàêèå, êàê ñêîðîñòü ïåðåìåøèâàíèÿ, ïðèíöèï áîëüøèõ óêëîíåíèé è äð.). Äðóãîé âàæíûé âîïðîñ:
íàñêîëüêî ïîñòðîåííàÿ àïïðîêñèìàöèÿ ¾áëèçêà¿ â òîì èëè èíîì ñìûñëå ê ðåøåíèþ
èñõîäíîãî ÑÄÓ. Íàøå èññëåäîâàíèå îòíîñèòñÿ ê ýòîìó âòîðîìó âîïðîñó. Èñòîðè÷åñêè
ïåðâîé ðàññìàòðèâàåìîé ñõåìîé áûëà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü öåïåé Ìàðêîâà, çàäàííàÿ
íà ðåøåòêå ñ øàãîì, ñòðåìÿùèìñÿ ê íóëþ, è èçó÷àëàñü ñëàáàÿ ñõîäèìîñòü ìåð (ïåðåõîäíûõ âåðîÿòíîñòåé) ê ïåðåõîäíîé âåðîÿòíîñòè íåêîòîðîãî ïðåäåëüíîãî äèôôóçèîííîãî ïðîöåññà. Ïåðâûå îáùèå ðåçóëüòàòû î ñëàáîé ñõîäèìîñòè â òàêîé ñõåìå áûëè
ïîëó÷åíû À.Â. Ñêîðîõîäîì â 1961 ãîäó [1]. Ðåçóëüòàòû À.Â. Ñêîðîõîäà îòíîñèëèñü
ê âåñüìà îáùåìó êëàññó öåïåé Ìàðêîâà è ïðîöåññîâ, êîòîðûå ìîãëè èìåòü ñêà÷êè.
Äëÿ íåïðåðûâíîé äèôôóçèè íàèáîëåå îáùèå ðåçóëüòàòû î ñëàáîé ñõîäèìîñòè áûëè
ïîëó÷åíû â ìîíîãðàôèè Ä. Ñòðóêà è Ñ. Âàðàäàíà [2]. Èìè áûë ðàçâèò ïîäõîä, îñíîâàííûé íà ðåøåíèè òàê íàçûâàåìîé ¾ïðîáëåìû ìàðòèíãàëîâ¿. Ïîä÷åðêíåì åùå ðàç,
÷òî ýòè ïåðâûå ðåçóëüòàòû îòíîñèëèñü ê ñëàáîé ñõîäèìîñòè ìåð. Ñîâðåìåííàÿ òåîðèÿ ñëàáîé ñõîäèìîñòè âåðîÿòíîñòíûõ ìåð ýòî òåîðèÿ, íàñ÷èòûâàþùàÿ óæå ìíîãî
äåñÿòèëåòèé è ñâÿçàííàÿ â ïåðâóþ î÷åðåäü ñ èìåíàìè À.Í. Êîëìîãîðîâà, Äæ. Äóáà,
Ì. Äîíñêåðà, Þ.Â, Ïðîõîðîâà, À.Â. Ñêîðîõîäà, Ë. Ëå Êàìà è Ñ. Âàðàäàíà.
Ïðåäïîëîæèì òåïåðü, ÷òî ïåðåõîäíûå âåðîÿòíîñòè öåïåé Ìàðêîâà è ïðåäåëüíîãî
äèôôóçèîííîãî ïðîöåññà àáñîëþòíî íåïðåðûâíû îòíîñèòåëüíî ìåðû Ëåáåãà. Òîãäà
åñòåñòâåííî çàäàòüñÿ âîïðîñîì: êîãäà èìååò ìåñòî ñõîäèìîñòü ýòèõ ïåðåõîäíûõ ïëîòíîñòåé, òî åñòü êîãäà ñïðàâåäëèâà ñîîòâåòñòâóþùàÿ ëîêàëüíàÿ ïðåäåëüíàÿ òåîðåìà?
Äëÿ îòâåòà íà ýòîò âîïðîñ Â. Êîíàêîâûì è Ñ. Ìîë÷àíîâûì [3] áûë ïðåäëîæåí äèñêðåòíûé âàðèàíò ìåòîäà ïàðàìåòðèêñà, êîòîðûé áûë çàòåì óòî÷íåí è îáîáùåí â
öèêëå ðàáîò Â. Êîíàêîâà è Ý. Ìàììåíà [4, 5, 6, 7] Ñëåäóåò ñêàçàòü, ÷òî â òåîðèè
äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ìåòîä ïàðàìåòðèêñà èçâåñòåí äàâíî. Îí áûë ïðåäëîæåí Å.Ëåâè åùå â 1907 ãîäó [8, 9] è çàòåì ðàçâèâàëñÿ â ðàáîòàõ À. Ôðèäìàíà [10],
À. Èëüèíà, À. Êàëàøíèêîâà è Î. Îëåéíèê [11] è ìíîãèõ äðóãèõ. Îäíàêî äëÿ íàøèõ öåëåé ýòîò âàðèàíò ìåòîäà ïàðàìåòðèêñà íå ãîäèëñÿ. Â 1967 ãîäó À. Ìàê Êèí
è È. Çèíãåð [12] ïðåäëîæèëè ìîäèôèêàöèþ ìåòîäà ïàðàìåòðèêñà, êîòîðàÿ, êàê îêàçàëîñü, äîïóñêàåò äèñêðåòíóþ âåðñèþ è ïîçâîëÿåò ðàçâèòü íîâûé ìåòîä ïîëó÷åíèÿ
ëîêàëüíûõ ïðåäåëüíûõ òåîðåì äëÿ ïåðåõîäíûõ ïëîòíîñòåé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ìàðêîâñêèõ öåïåé, ñëàáî ñõîäÿùèõñÿ ê ïðåäåëüíîìó äèôôóçèîííîìó ïðîöåññó. Îäíèì
èç ñóùåñòâåííûõ òðåáîâàíèé ïðè äîêàçàòåëüñòâå ýòèõ ðåçóëüòàòîâ áûëî òðåáîâàíèå
îãðàíè÷åííîñòè êîýôôèöèåíòîâ ñíîñà è äèôôóçèè. Îãðàíè÷åííîñòü íóæíà áûëà äëÿ
ñõîäèìîñòè ïîñòðîåííûõ ðÿäîâ â ìåòîäå ïàðàìåòðèêñà. Ýòî òðåáîâàíèå ñóæàëî îáëàñòü ïðèìåíèìîñòè ïîëó÷åííûõ ðåçóëüòàòîâ, íå ïîçâîëÿëî ðàññìàòðèâàòü ðÿä âàæíûõ êîíêðåòíûõ ìîäåëåé. Öåëüþ íàñòîÿùåé ðàáîòû ÿâëÿåòñÿ îïèñàíèå ïðîöåäóðû,
ïîçâîëÿþùåé èñêëþ÷àòü ëèíåéíî ðàñòóùóþ êîìïîíåíòó òðåíäà, è ñâîäèòü çàäà÷ó
ê óæå èçó÷åííîé çàäà÷å ñ îãðàíè÷åííûìè êîýôôèöèåíòàìè ñíîñà è äèôôóçèè. Ýòà
ïðîöåäóðà ïðèìåíÿåòñÿ êàê ê äèôôóçèè, òàê è ê öåïÿì Ìàðêîâà. Äëÿ ÑÄÓ ïîäîáíàÿ
ïðîöåäóðà èñêëþ÷åíèÿ òðåíäà ïðèìåíÿëàñü ðàíåå â ðàáîòå Ô. Äåëàðþ è Ñ. Ìåíîççè [13] ïðè ïîëó÷åíèè äâóñòîðîííèõ îöåíîê ïåðåõîäíîé ïëîòíîñòè äëÿ íåêîòîðûõ
âûðîæäåííûõ ÑÄÓ òèïà À.Í. Êîëìîãîðîâà, Äëÿ öåïåé Ìàðêîâà òàêàÿ ïðîöåäóðà,
2
íàñêîëüêî íàì èçâåñòíî, ÿâëÿåòñÿ íîâîé. Ñóòü ïðîöåäóðû ïðîñòà: ñëåäóåò êîìïåíñèðîâàòü ðîñò òðåíäà âîçâðàòîì ïî òðàåêòîðèÿì ñèñòåìû îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, êîòîðàÿ ïîëó÷àåòñÿ îòáðàñûâàíèåì ¾áðîóíîâñêîé¿ êîìïîíåíòû
ÑÄÓ. Äëÿ òàêîãî êîìïåíñèðîâàííîãî ïðîöåññà ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû Èòî âûïèñûâàåòñÿ åãî ñòîõàñòè÷åñêèé äèôôåðåíöèàë è ÑÄÓ, êîòîðîìó îí óäîâëåòâîðÿåò. Ýòî
ÑÄÓ èìååò óæå îãðàíè÷åííûé êîýôôèöèåíò ñíîñà. Äëÿ öåïåé Ìàðêîâà ïðîäåëûâàåòñÿ àíàëîãè÷íàÿ ïðîöåäóðà, ãäå âìåñòî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ èñïîëüçóåòñÿ
ðàçíîñòíîå óðàâíåíèå, è âîçâðàò ïðîèñõîäèò íå ïî òðàåêòîðèÿì äèôôåðåíöèàëüíîãî
óðàâíåíèÿ, à ïî åãî ëîìàíûì Ýéëåðà. Çàòåì, ïðèìåíèâ èçâåñòíûå ðåçóëüòàòû äëÿ
îãðàíè÷åííîãî ñëó÷àÿ, ìîæíî ïðîñòûì ïðåîáðàçîâàíèåì âåðíóòüñÿ ê èñõîäíîé çàäà÷å è ïîëó÷èòü ëîêàëüíûå ïðåäåëüíûå òåîðåìû äëÿ èñõîäíîé ìîäåëè.  äàëüíåéøåì
àâòîðû ïðåäïîëàãàþò ðàññìîòðåòü òàêæå áîëåå îáùèé ñëó÷àé ðàñòóùåãî òðåíäà ñ
îãðàíè÷åííûì ãðàäèåíòîì è ñëó÷àé íåîãðàíè÷åííîãî êîýôôèöèåíòà äèôôóçèè.
2. Íåîáõîäèìûå ñâåäåíèÿ èç òåîðèè äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé è
òåîðèè ðàçíîñòíûõ óðàâíåíèé
Ðàññìîòðèì ëèíåéíîå îäíîðîäíîå âåêòîðíîå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå:
0
x = A(t)x, x ∈ Rd , A(t) : Rd 7→ Rd , t ∈ [0, 1],
(1)
ãäå
A(t)
íåïðåðûâíàÿ ìàòðè÷íàÿ ôóíêöèÿ.
Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî X âñåõ ðåøåíèé óðàâíåíèÿ (1), îïðåäåëåííûõ íà èíòåðâà-
[0, 1]. Ìíîæåñòâî
phi : [0, 1] 7→ Rd .
ëå
X ÿâëÿåòñÿ âåêòîðíûì ïðîñòðàíñòâîì, ñîñòîÿùèì èç ôóíêöèé
Íàðÿäó ñ âåêòîðíûì äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì (1) áóäåì ðàññìàòðèâàòü
ìàòðè÷íîå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå:
0
X = A(t)X/
(2)
Φ(t)
Ìû ñêàæåì, ÷òî ìàòðè÷íàÿ ôóíêöèÿ
[0, 1], åñëè Φ(t)
A(t)Φ(t), t ∈ [0, 1].
èíòåðâàëå
ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (2) íà
íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìà ïðè
t ∈ [0, 1]
è
0
Φ (t) =
Ñëåäóþùàÿ òåîðåìà óñòàíàâëèâàåò ñâÿçü ìåæäó ðåøåíèÿìè óðàâíåíèé (1) è (2).
Òåîðåìà 1
Ïóñòü A(t) íåïðåðûâíàÿ n × n ìàòðè÷[0, T ] è ïóñòü Φ(t) - n×n ìàòðè÷íîçíà÷íàÿ ôóíêφ1 (t), φ2 (t), . . . , φn (t):
[14, Theorem 2.20, p. 33].
íîçíà÷íàÿ ôóíêöèÿ íà èíòåðâàëå
öèÿ ñî ñòîëáöàìè
Φ(t) = [φ1 (t), φ2 (t), . . . , φn (t)], t ∈ [0, T ].
Òîãäà
Φ
- ðåøåíèå ìàòðè÷íîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ (2) íà
[0, T ]
òîãäà
è òîëüêî òîãäà, êîãäà êàæäûé ñòîëáåö
ôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ (1) íà
φi ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì âåêòîðíîãî äèô[0, T ], i = 1, 2, ..., n. Áîëåå òîãî, åñëè Φ ðåøåíèå
ìàòðè÷íîãî óðàâíåíèÿ (2), òî
x(t) = Φ(t)c
ðåøåíèå âåêòîðíîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ (1) äëÿ ëþáîãî
êîíñòàíò c.
3
n×1
âåêòîðà
Ââåäåì ñëåäóþùèå îïðåäåëåíèÿ.
Î ï ð å ä å ë å í è å 1.
Ôóíäàìåíòàëüíîé ñèñòåìîé ðåøåíèé óðàâíåíèÿ (1) íàçûâà-
åòñÿ áàçèñ âåêòîðíîãî ïðîñòðàíñòâà
Î ï ð å ä å ë å í è å 2.
X.
Ìàòðèöà, ñòîëáöû êîòîðîé îáðàçóþò ôóíäàìåíòàëüíóþ
ñèñòåìó ðåøåíèé, íàçûâàåòñÿ ôóíäàìåíòàëüíîé ìàòðèöåé äèôôåðåíöèàëüíîãî
óðàâíåíèÿ (1).
Ðàññìîòðèì ëèíåéíîå îäíîðîäíîå ðàçíîñòíîå óðàâíåíèå ïîðÿäêà
k:
x(s + k) + a1 (s)x(s + k − 1) + ... + ak (s)x(s) = 0.
(3)
Ìíîæåñòâî ðåøåíèé ðàçíîñòíîãî óðàâíåíèÿ (3) òàêæå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî. Ïî àíàëîãèè ñ îïðåäåëåíèåì äëÿ äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ
-
ôóíäàìåíòàëüíîé ìàòðèöåé ðàçíîñòíîãî óðàâíåíèÿ ÿâëÿåòñÿ ìàòðèöà, ñòîëáöû
êîòîðîé îáðàçóþò
ôóíäàìåíòàëüíóþ ñèñòåìó ðåøåíèé óðàâíåíèÿ (3), òî åñòü áàçèñ
âåêòîðíîãî ïðîñòðàíñòâà âñåõ ðåøåíèé ðàçíîñòíîãî óðàâíåíèÿ.
Îòìåòèì, ÷òî â êà÷åñòâå ôóíäàìåíòàëüíîé ìàòðèöû äèôôåðåíöèàëüíîãî èëè ðàç-
t = 0 óäîáíî âçÿòü åäèíè÷íóþ ìàòðèöó ñîîòâåòñòâóþùåé ðàçìåðíîñòè.  ýòîì ñëó÷àå x(t) = Φ(t)c ðåøåíèå âåêòîðíîãî
óðàâíåíèÿ (1), óäîâëåòâîðÿþùåå íà÷àëüíûì óñëîâèÿì x(0) = Φ(0)c = c.
íîñòíîãî óðàâíåíèÿ â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè
3. Ïðîöåäóðà èñêëþ÷åíèÿ ëèíåéíîé êîìïîíåíòû òðåíäà äëÿ äèôôóçèè
è öåïè Ìàðêîâà
Ðàññìîòðèì ñëåäóþùóþ äèôôóçèîííóþ ìîäåëü:
dY = b(t)Y + m(t, Y )dt + σ(t, Y )dB(t), Y (0) = x ∈ Rd , t ∈ [0, 1],
(4)
ãäå
B(t)
ñòàíäàðòíûé âèíåðîâñêèé ïðîöåññ. Èíòåðâàë
[0, 1]
âçÿò äëÿ óäîáñòâà è
ìîæåò áûòü çàìåíåí ëþáûì êîíå÷íûì èíòåðâàëîì.
Ðàññìîòðèì òàêæå öåïü Ìàðêîâà ñ òàêèìè æå íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè, êàê è â
äèôôóçèîííîé ìîäåëè (4):
Xn k+1
= Xn nk + n1 bn nk Xn
n
Xn (0) = x ∈ Rd , k = 0, 1, 2, ..., n.
(5)
Îòíîñèòåëüíî èííîâàöèé
k
n
+ mn
k
, Xn
n
k
n
+
√1 εn
n
k+1
n
,
εn
ìû äåëàåì ñòàíäàðòíîå ìàðêîâñêîå ïðåäïîëîæåíèå, à
i
εn k+1
, ïðè ôèêñèðîâàííîì ¾ïðîøëîì¿ Xn
=
n
n
çàâèñèò ëèøü îò çíà÷åíèÿ ïðîöåññà x(k) â ïîñëåäíèé ìîìåíò
èìåííî, ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà
x(i), i = 0, 1, 2, ..k
âðåìåíè
k
è èìååò óñëîâíóþ ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ
n
qn, k ,x(k) (·),
n
ÿâëÿþùóþñÿ ýëå-
ìåíòîì ñåìåéñòâà ïëîòíîñòåé qn,t,x (·), çàâèñÿùåãî îò òðîéêè ïàðàìåòðîâ (n, t, x) ∈
N × [0, 1] × Rd . Îòíîñèòåëüíî ñåìåéñòâà ïëîòíîñòåé qn,t,x (·) è êîýôôèöèåíòîâ óðàâíåíèÿ (4) ïðåäïîëàãàþòñÿ âûïîëíåííûìè ñëåäóþùèå óñëîâèÿ:
a(t, x) = σ(t, x)σ T (t, x) ñèììåòðè÷íàÿ ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííàÿ ìàòðèöà,
T
äëÿ êîòîðîé âûïîëíÿåòñÿ c 6 θ a(t, x)θ 6 C äëÿ âñåõ θ , òàêèõ, ÷òî | θ |= 1, x ∈
Rd , t ∈ [0, 1].
2. Ìàòðè÷íûå ôóíêöèè bn (t), b(t) íåïðåðûâíû íà [0, 1]. Ôóíêöèè a(t, x) è m(t, x)
1.
è èõ ïåðâûå ïðîèçâîäíûå ÿâëÿþòñÿ íåïðåðûâíûìè è îãðàíè÷åííûìè ðàâíîìåðíî ïî
4
(t, x), x ∈ Rd , t ∈ [0, 1] è ëèïøèöåâûìè ïî ïåðåìåííîé x ñ êîíñòàíòîé Ëèïøèöà, íå
∂ 2 a(t,x)
çàâèñÿùåé îò t. Áîëåå òîãî, âòîðûå ïðîèçâîäíûå
, 1 6 i, j 6 d, ñóùåñòâóþò è
∂xi ∂xj
óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ Ãåëüäåðà ïî ïåðåìåííîé x ñ êîíñòàíòîé, íå çàâèñÿùåé îò t.
R
R
M
3.
qn,t,x (z)zdz = 0, qn,t,x (z)zz T dz = an (t, x), x ∈ Rd , t ∈ [0, 1].
0
d
4. Ñóùåñòâóþò ïîëîæèòåëüíîå öåëîå S è ôóíêöèÿ ψ(x) : R 7→ R, supx∈Rd | ψ(x) |
R
0
< ∞ òàêàÿ, ÷òî | x |s ψ(x)dx < ∞, ãäå S = 2dS + 4 è äëÿ âñåõ äîñòàòî÷íî áîëüøèõ
n, z ∈ Rd âûïîëíåíî:
| Dzv qn,t,x (x) |6 ψ(z), | v |= 0, 1, 2, 3, 4,
| Dxv qn,t,x (x) |6 ψ(z), | v |= 0, 1, 2,
ãäå
x ∈ Rd , t ∈ [0, 1].
5. Äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
4n 7→ 0:
supx∈Rd ,t∈[0,1] | mn (t, x) − m(t, x) |= O (4n ) ,
supx∈Rd ,t∈[0,1] | an (t, x) − a(t, x) |= O (4n ) ,
supt∈[0,1] | bn (t, x) − b(t, x) |= O (4n ) .
Ñóùåñòâîâàíèå ïåðåõîäíîé ïëîòíîñòè äëÿ ìîäåëè (5) íåïîñðåäñòâåííî âûòåêàåò
èç ïðåäïîëîæåíèé ìîäåëè. Ñóùåñòâîâàíèå ïåðåõîäíîé ïëîòíîñòè äëÿ ìîäåëè äèôôóçèè (4) ìîæåò áûòü ïîëó÷åíî èç òåîðèè Õåðìàíäåðà [15], íî ïðè áîëåå ñèëüíûõ óñëîâèÿõ íà êîýôôèöèåíòû. Ñóùåñòâîâàíèå ïåðåõîäíîé ïëîòíîñòè â ýòîé ìîäåëè ìîæíî
òàêæå äîêàçàòü ìåòîäîì ïàðàìåòðèêñà ïðè áîëåå ñëàáûõ óñëîâèÿõ íà êîýôôèöèåíòû, ÷åì óñëîâèÿ, òðåáóåìûå â òåîðèè Õåðìàíäåðà. Ìû ðàññìàòðèâàåì ñíà÷àëà äèôôóçèîííóþ ìîäåëü (4). Åñëè êîýôôèöèåíòû ìîäåëè îãðàíè÷åíû, òî ñóùåñòâîâàíèå
ïåðåõîäíîé ïëîòíîñòè ñëåäóåò èç ðàáîòû Èëüèí, Êàëàøíèêîâ è Îëåéíèê [11] èëè èç
ñòàòüè Konakov, Mammen [4], â êîòîðîé áûë ïîñòðîåí ïàðàìåòðèêñ äëÿ òàêîãî óðàâíåíèÿ. Íî â ìîäåëè (4) òðåíä íåîãðàíè÷åí è ëèíåéíî âîçðàñòàåò. ×òîáû ïðèìåíèòü
ìåòîä ïàðàìåòðèêñà äëÿ ýòîé ìîäåëè, ìû èñïîëüçóåì ñëåäóþùóþ èäåþ: óñòðàíèì
òðåíä è ðàññìîòðèì íîâóþ ìîäåëü ñ îãðàíè÷åííûìè êîýôôèöèåíòàìè. Çàòåì ïðèìåíèì ìåòîä ïàðàìåòðèêñà äëÿ ýòîé íîâîé ìîäåëè ñ îãðàíè÷åííûìè êîýôôèöèåíòàìè
è âåðíåìñÿ ê èñõîäíîé ìîäåëè ñ íåîãðàíè÷åííûì ëèíåéíî âîçðàñòàþùèì òðåíäîì.
Ðàññìîòðèì ëèíåéíóþ ñèñòåìó îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé
(ÎÄÓ):
0
y (t) = b(t)y(t), y(0) = x ∈ Rd , t ∈ [0, 1]
(6)
Ïóñòü
Φ(t)
- ôóíäàìåíòàëüíàÿ ìàòðèöà, ñîîòâåòñòâóþùàÿ ýòîé ñèñòåìå. Íàïîì-
íèì, ÷òî äëÿ ñèñòåìû (6) ýòî îçíà÷àåò, ÷òî âñå ðåøåíèÿ ìîãóò áûòü ïðîäëåíû íà
âåñü èíòåðâàë
[0, 1]
è ôóíäàìåíòàëüíîé ìàòðèöåé ÿâëÿåòñÿ ìàòðèöà, ñòîëáöû êîòî-
ðîé ÿâëÿþòñÿ íåçàâèñèìûìè ðåøåíèÿìè ýòîé ñèñòåìû, óäîâëåòâîðÿþùèìè íà÷àëüíûì óñëîâèÿì. Âîçüìåì â êà÷åñòâå íà÷àëüíîé ôóíäàìåíòàëüíîé ìàòðèöû åäèíè÷-
Φ(0) = I . Ôóíäàìåíòàëüíàÿ ìàòðèöà ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ
0
Φ (t) = b(t)Φ(t) è ÿâëÿåòñÿ íåâûðîæäåííîé ìàòðèöåé íà èíòåðâàëå [0, 1]. Îáðàòíàÿ
0
−1
−1
−1
ìàòðèöà Φ (t) óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ [Φ (t)] = −Φ (t)b(t) è íà÷àëüíîìó óñëî−1
âèþ Φ (0) = I . Äëÿ óäàëåíèÿ ëèíåéíîé êîìïîíåíòû òðåíäà ðàññìîòðèì ïðîöåññ
Ỹ (t) = f (t, Y (t)), ãäå f (t, y) = Φ−1 (t)y . Ôóíêöèÿ f (t, y) íåïðåðûâíà íà [0, 1] × Rd è
íóþ ìàòðèöó:
5
∂f ∂f
,
, òàê ÷òî äëÿ âû÷èñëåíèÿ ñòîõàñòè∂t ∂yi
èìååò íåïðåðûâíûå ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå
÷åñêîãî äèôôåðåíöèàëà ïðîöåññà
Ỹ (t) ìîæíî
èñïîëüçîâàòü ôîðìóëó Èòî. Ïîëó÷èì:
dỸ (t) = d [Φ−1 (t)Y (t)] = Φ−1 (t)dY (t) + dΦ−1 (t)Y (t) =
0
= Φ−1 (t) ({b(t)Y (t) + m (t, Y (t))}dt + σ (t, Y (t)) dB(t)) + [Φ−1 (t)] dt Y (t) =
= Φ−1 (t)b(t)Y (t)dt + Φ−1 (t)m (t, Y (t)) dt + Φ−1 (t)σ (t, Y (t)) dB(t)−
−1
−1
−Φ−1(t)b(t)Y(t) = Φ
(t)m (t,
Y (t)) dt + Φ (t)σ (t, Y (t)) dB(t) =
= m̃ t, Ỹ (t) dt + σ̃ t, Ỹ (t) dB(t),
ãäå
m̃ t, Ỹ (t) = Φ−1 (t)m t, Φ(t)Ỹ (t) σ̃ t, Ỹ (t) = Φ−1 (t)σ t, Φ(t)Ỹ (t) .
Ỹ (t) ÿâëÿåòñÿ
ïðîöåññîì, óäî äèôôóçèîííûì
âëåòâîðÿþùèì ÑÄÓ ñ îãðàíè÷åííûì òðåíäîì m̃ t, Ỹ (t)
è ïîëîæèòåëüíî îïðåäå
ëåííîé ìàòðèöåé äèôôóçèè σ̃ t, Ỹ (t) :
Ìû âèäèì, ÷òî ââåäåííûé ïðîöåññ
dỸ (t) = m̃ t, Ỹ (t) dt + σ̃ t, Ỹ (t) dB(t).
 ñàìîì äåëå:
ã(t, y) = σ̃ t, Ỹ (t) [σ̃ t, Ỹ (t) ]T = Φ−1 (t) σ (t, Φ(t)y) [Φ−1 (t) σ (t, Φ(t)y)]T =
= Φ−1 (t)σ (t, Φ(t)y) [σ (t, Φ(t)y)]T [Φ−1 (t)]T = Φ−1 (t) a (t, Φ(t)y) [Φ−1 (t)]T
è, ñëåäîâàòåëüíî,
θT σ̃(t, y)[σ̃(t, y)]T θ = 0 ⇔ ϑT σ(t, y)[σ(t, y)]T ϑ = 0, ϑ = [Φ−1 (t)]T ϑ.
Îñòàåòñÿ
ëèøü
âîñïîëüçîâàòüñÿ
ïîëîæèòåëüíîé
îïðåäåëåííîñòüþ
ìàòðèöû
a(t, Φ(t)y) = σ(t, Φ(t)y)[σ(t, Φ(t)y)]T .
ρỸ (t)
Ñóùåñòâîâàíèå ïåðåõîäíîé ïëîòíîñòè
ïðîöåññà
Ỹ (t)
äîêàçàíî ìåòîäîì ïà-
ðàìåòðèêñà â ñòàòüå Konakov, Mammen [4], ïî èçâåñòíûì ôîðìóëàì ïðåîáðàçîâàíèÿ
ïëîòíîñòè ïåðåõîäíàÿ ïëîòíîñòü ïðîöåññà
Y (t) = Φ(t)Ỹ (t)
ðàâíà:
ρY (s, t, x, y) = det[Φ−1 (t)]ρỸ (s, t, Φ−1 (s)x, Φ−1 (t)y)
(7)
Äëÿ ìîäåëè (5) ðàññìîòðèì ïðîöåäóðó èñêëþ÷åíèÿ òðåíäà, ÿâëÿþùóþñÿ äèñêðåòíûì àíàëîãîì îïèñàííîé âûøå ïðîöåäóðû äëÿ äèôôóçèîííîãî óðàâíåíèÿ. Ðàññìîòðèì ñëåäóþùåå ðàçíîñòíîå óðàâíåíèå áåç òðåíäà:
xn ((k + 1)h) − xn (kh)
= bn (kh)Xn (kh), xn (0) = x
h
íà ðåøåòêå
Γ = {0, h, 2h, . . . , nh = 1}, h =
1
.
n
 ìàòðè÷íîé çàïèñè:
xn ((k + 1)h) = (I + h bn (kh)) xn (kh), xn (0) = x.
6
Èòåðèðóÿ ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî, ïîëó÷èì:
xn (h) = (I + h bn (0)) x,
xn (2h) = (I + h bn (h)) xn (h) = (I + h bn (h)) (I + h bn (0)) x,
...
xn (kh) = Φn (kh)x,
ãäå
Φn (kh) = (I + h bn ((k − 1)h)) Φn ((k − 1)h) Φn (kh)
ôóíäàìåíòàëüíàÿ ìàòðèöà
òåîðèè ðàçíîñòíûõ óðàâíåíèé [16], äèñêðåòíûé àíàëîã ôóíäàìåíòàëüíîé ìàòðèöû
Φ(t),
çàäàííàÿ íà ðåøåòêå
{0, h, 2h, . . . , nh = 1},
ñ íà÷àëüíûì óñëîâèåì
Φn (0) = I .
Îïðåäåëèì íîâóþ ìàðêîâñêóþ öåïü:
X̃n (kh) = Φ−1
n (kh) Xn (kh), X̃n (0) = x.
Ïî èçâåñòíûì ôîðìóëàì ïðåîáðàçîâàíèÿ ïëîòíîñòè ïåðåõîäíàÿ ïëîòíîñòü öåïè
Ìàðêîâà
Xn (kh) = Φn (kh) X̃n (kh)
ðàâíà:
ρXn (ih, jh, x, y) = det[Φ−1 (jh)]ρX̃n (ih, jh, Φ−1 (ih)x, Φ−1 (jh)y)
(8)
Òàêèì îáðàçîì, â ñîîòâåòñòâèè ñ ìîäåëüþ (5), ìû èìååì:
X̃n ((k + 1)h) = Φ−1
n ((k + 1)h) Xn ((k + 1)h) =
−1
−1
= Φn (kh) (I + h bn (kh))
√ {(I + h bn (kh)) Xn (kh)+
+h mn (kh, Xn (kh)) + hεn ((k + 1)h)} =
−1
−1
=√
Φ−1
mn (kh, Xn (kh)) +
n (kh)Xn (kh) + h Φn (kh) (I + h bn (kh))
−1
(kh)
(I
+
h
b
(kh))
ε
((k
+
1)h)
=
+ h Φ−1
n
n
n√
= X̃n (kh) + h m̃n kh, X̃n (kh) + h ε̃n ((k + 1)h) ,
ãäå
m̃n kh, X̃n (kh) =
ε̃n ((k + 1)h) =
Φ−1
n (kh)
Φ−1
n (kh)
−1
(I + h bn (kh))
−1
(I + h bn (kh))
mn kh, Φn (kh) X̃n (kh) ,
εn ((k + 1)h) .
ε̃n ñëåäóåò, ÷òî ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ε̃n ((k + 1)h) ïðè ôèêñèðîâàííîì ïðîøëîì: X̃n (ih) = x̃(i), i = 0, 1, 2, ..., k , çàâèñèò ëèøü îò çíà÷åíèÿ ïðîöåññà
x̃(k) â ïîñëåäíèé ìîìåíò âðåìåíè kh è èìååò óñëîâíóþ ïëîòíîñòü:
Èç îïðåäåëåíèÿ
q̃n,kh,x̃(k) (z) = det Φn ((k + 1)h) qn,kh,Φn (kh)x̃(k) (Φn ((k + 1)h) z)
(9)
Ýòà
ïëîòíîñòü
âçÿòà
èç
det
ñåìåéñòâà
ïëîòíîñòåé
Φn (([tn] + 1)h) q̃n,t,Φn (([tn]+1)h)x(k) (Φn (([tn] + 1)h) z), çàâèñÿùåãî îò òðîéêè
(n, t, x) ∈ N × [0, 1] × Rd . Ïëîòíîñòè q̃n,kh,x̃(k) (z) â (9) óäîâëåòâîðÿþò
óñëîâèÿì 3 è 4, ñôîðìóëèðîâàííûì â íà÷àëå ñòàòüè, ñ ïîïðàâêîé íà òî, ÷òî φ(x) èç
óñëîâèÿ 4 çàìåíÿåòñÿ íà C φ(x), ãäå C êîíñòàíòà. Ïðîèçâåäÿ çàìåíó ïåðåìåííûõ
ïàðàìåòðîâ
7
v=Φ
[tn]+1
n
z,
ïðè
t = kh,
èìååì:
q̃n,t,x̃ (z)dz = det Φn
q
z zdz =
Φn
[tn]
n ( n )x̃
n,t,Φ
R
−1 [tn]+1
−1 [tn]+1
= det Φn [tn]+1
det
Φ
q
vdv =
(v)Φ
[tn]
n
n
n
n
n
n,t,Φn ( n )x̃
R
[tn]+1
= Φ−1
qn,t,Φn ( [tn] )x̃ (v)vdv = 0,
n
n
n
R
R
[tn]+1
q
z zi zj dz =
q̃n,t,x̃ (z)zi zj dz = det Φn [tn]+1
Φ
[tn]
n
n
h
n i hn,t,Φn( n )x̃ i
R
[tn]+1
[tn]+1
= qn,t,Φn ( [tn] )x̃ (v) Φ−1
v Φ−1
v dv =
n
n
n
n
n
i
j
R
i
h
T
[tn]+1
[tn]+1
= Φ−1
qn,t,Φn ( [tn] )x̃ (v)vv T dv Φ−1
=
n
n
n
n
n
ij
h
iT
M
[tn]+1
[tn]
−1 [tn]+1
= Φ−1
a
t,
Φ
x̃
Φ
= ã + n(t, x̃)
n
n
n
n
n
n
n
R
(10)
[tn]+1
n
R
[tn]+1
n
ij
Âåêòîð-ôóíêöèÿ
Φn (t)x ñîâïàäàåò â òî÷êàõ t = kh, k = 0, 1, 2, ..., n ñ ëîìàííîé
0
y (t) = bn (t)y(t), y(0) = x ∈ Rd . Òàêèì îáðàçîì, â ñëó÷àå äèô-
Ýéëåðà äëÿ óðàâíåíèÿ
ôóçèîííîãî ïðîöåññà ìû êîìïåíñèðóåì ðàñòóùèé òðåíä âîçâðàòîì ïî òðàåêòîðèÿì
0
d
äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ y (t) = bn (t)y(t), y(0) = x ∈ R , à â ñëó÷àå öåïè Ìàðêîâà âîçâðàòîì ïî ëîìàíûì Ýéëåðà ýòîãî óðàâíåíèÿ. Ñîãëàñíî õîðîøî èçâåñòíûì
t ñâîéñòâàì ëîìàíûõ Ýéëåðà [17], Φn
x → Φ(t) ðàâíîìåðíî íà îòðåçêå [0, 1] è,
h
ó÷èòûâàÿ âûøåîïèñàííûå ñâîéñòâà, èç (6) è (10) èìååì:
Z
ãn (t, x̃) =
q̃n,t,x (z)zz T → ã(t, x) = σ̃(t, x)[σ̃(t, x)]T ,
n → ∞.
Ïîêàæåì òåïåðü êàê óòâåðæäåíèÿ, ïîëó÷åííûå äëÿ ìîäåëåé ñ îãðàíè÷åííûì
òðåíäîì, òðàíñôîðìèðóþòñÿ â ñîîòâåòñòâóþùèå óòâåðæäåíèÿ äëÿ ìîäåëåé, ñîäåðæàùèõ ëèíåéíóþ êîìïîíåíòó â òðåíäå. Äëÿ ïðîñòîòû ðàññìîòðèì ñëó÷àé ñåìåéñòâà
qn,t,x (·), íå çàâèñÿùåãî îò ïàðàìåòðà n, òî åñòü qn,t,x (·) = qt,x (·). Ïóñòü
qt,x (·) è êîýôôèöèåíòîâ óðàâíåíèÿ (4) âûïîëíåíû óñëîâèÿ 1 4, ïðèâåäåí-
ïëîòíîñòåé
ñåìåéñòâà
íûå âûøå (óñëîâèå 5 â íàøåì ñëó÷àå òðèâèàëüíûì îáðàçîì âûïîëíåíî, ïîñêîëüêó
mn (t, x) ≡ m(t, x) è an (t, x) ≡ a(t, x). Òîãäà äëÿ m̃)(t, x) = Φ−1 (t); m(t, Φ(t)x) è
σ̃)(t, x) = Φ−1 (t); σ(t, Φ(t)x) âûïîëíåíû óñëîâèÿ Òåîðåìû 1.1 ðàáîòû V. Konakov and
E. Mammen [4], è, ñëåäîâàòåëüíî, ñïðàâåäëèâà îöåíêà
(11)
sup
0
1 + ky − xk
2(S −1)
x,y∈Rd
1
|pX̃n (0, 1, x, y) − pỸ (0, 1, x, y)| = O( √ )
n
Èñïîëüçóÿ ñîîòíîøåíèÿ (7) è (8), ñôîðìèðóåì ñëåäóþùèé ðåçóëüòàò, ÿâëÿþùèéñÿ
ñëåäñòâèåì (11).
Ò å î ð å ì à 2.
sup
Ïóñòü âûïîëíåíû óñëîâèÿ 1)-4), ïðèâåäåííûå âûøå. Òîãäà
1 + kΦ(1)y − xk2(S
0
−1)
|det Φ(1) pXn (0, 1, x, Φ(1)y) −
x,y∈Rd
1
− det Φ(1) pY (0, 1, x, Φ(1)y)| = O( √ ).
n
8
Åñëè
b(t) ≡ b,
òî
sup
0
−1
2(S −1)
1 + kΦ (1)y − xk
|pXn (0, 1, x, y) −
x,y∈Rd
1
−pY (0, 1, x, y)| = O( √ ).
n
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î ò å î ð å ì û 2.
Ïðèìåíèì (11) ê òî÷êàì
è
x
Φ−1 (1)y ,
−1
ïîëó÷èì
supx,y∈Rd 1 + kΦ (1)y − xk
−pỸ (0, 1, x, Φ−1 (1)y)| = O( √1n ).
(12)
0
2(S −1)
|pX̃n (0, 1, x, Φ−1 (1)y)−
Èç (7) è (8) èìååì
pỸ (s, t, x, z) = det Φ(t)pY (s, t, Φ(s)x, Φ(t)z),
pX̃n (ih, jh, x, v) = det Φn (jh)pXn (ih, jh, Φn (ih)x, Φn (jh)v),
(13)
(14)
Ïîäñòàâëÿÿ â (13) è (14)
s = 0, t = 1, i = 0, j = n, x
è
z = Φ−1 (1)y, v = Φ−1
n (y),
ïîëó÷èì èç (12):
0
supx,y∈Rd 1 + kΦ(1)y − xk2(S −1) |det Φ(1) pXn (0, 1, x, Φ(1)y)−
− det Φ(1) pY (0, 1, x, Φ(1)y)| = O( √1n ).
(15)
Ïóñòü
b(t) ≡ b
. Òîãäà
Φ(1) = eb
- ìàòðè÷íàÿ ýêñïîíåíòà,
äîñòàòî÷íî áîëüøèõ
n
(16)
a n a2 ea
kΦ(1) − Φn (1)k 6 ea − 1 +
6
,
n
n
ãäå
a = kbk.
Φn (1) = I +
b n
ïðè
n
Ïåðâîå íåðàâåíñòâî â (16) äîêàçàíî â [17], ñòð. 98, äëÿ äîêàçàòåëüñòâà
âòîðîãî íåðàâåíñòâà äîñòàòî÷íî èññëåäîâàòü çíàê ïðîèçâîäíîé âáëèçè òî÷êè
ôóíêöèè
M
2 a
a
1/x
f (x) = a e x − e + (1 + ax)
x=0
. Êðîìå òîãî, èç Ëåìì 3.1 è 3.2 â [4] ñëåäóåò
îöåíêà
2
pỸ (s, t, x, y) 6 Ce−Cky−xk ,
ïîýòîìó äëÿ ïåðåõîäíîé ïëîòíîñòè
(17)
pY (0, 1, x, y)
èìååì
−1 (1)y−xk2
pY (0, 1, x, y) = det Φ−1 pỸ (0, 1, x, Φ−1 (1)y) 6 Ce−CkΦ
.
Âòîðîå óòâåðæäåíèå òåîðåìû ñëåäóåò òåïåðü èç (15) - (17).
Ïîñêîëüêó
Ç à ì å ÷ à í è å 1.
C1 ky − Φ(1)xk 6 kΦ−1 (1)y − xk 6 C2 ky − Φ(1)xk,
òî
óòâåðæäåíèÿ
1 + ky − Φ(1)xk
0
òåîðåìû
2(S −1)
ìîãóò
âìåñòî
áûòü
−1
çàïèñàíû
1 + kΦ (1)y − xk
0
2(S −1)
òàêæå
ñ
ìíîæèòåëåì
. Òî åñòü íåðàâíîìåðíàÿ
îöåíêà ñêîðîñòè ñõîäèìîñòè â ýòîé òåîðåìå ïîëó÷àåòñÿ ëèáî ñäâèãîì òåðìèíàëüíîé
òî÷êè y íàçàä (pull back), ëèáî ñäâèãîì íà÷àëüíîé òî÷êè x âïåðåä (push forward).
9
4. Ïðèìåð èñêëþ÷åíèÿ ëèíåéíîé êîìïîíåíòû òðåíäà äëÿ äèôôóçèîííîé
ìîäåëè
Ðàññìîòðèì ìîäåëü, ïðåäñòàâëåííóþ â ñòàòüå B. Koo, O. Linton [18]:
dXt = {β(t)(a(t) − Xt )}dt + σ(t, Xt )dBt ,
(18)
ãäå
Bt , t > 0
X0 = x ∈ Rd ,
- ñòàíäàðòíûé âèíåðîâñêèé ïðîöåññ.
0
x (t) = −β(t)x(t), y(0) = x ∈ Rd è åå ôóíäàìåíòàëüíóþ ìàòðèöó Φ(t) : Φ (t) = −β(t)Φ(t), Φ(0) = I , ãäå I åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà.
−1
Ââåäåì ïðîöåññ X̃t = Φ (t)Xt è ïî ëåììå Èòî [19] ïîëó÷èì äëÿ íåãî ñòîõàñòè÷åñêèé
Ðàññìîòðèì ñèñòåìó ËÎÄÓ:
0
äèôôåðåíöèàë:
dX̃t = d Φ−1 (t)Xt = Φ−1 (t)dXt + dΦ−1 (t)Xt = Φ−1 (t)β(t)a(t)dt +
+Φ−1 (t)σ(t, Xt )dBt = m̃(t, X̃t )dt + σ̃(t, X̃t )dBt
ãäå
m̃(t, X̃t ) = Φ−1 (t)β(t)a(t), σ̃(t, X̃t ) = Φ−1 (t)σ(t, Φ(t)Xt ).
Ò.î. ïðîöåññ X̃t ïðåäñòàâèì â âèäå:
Z t
Z t
Z t
X̃t = X̃0 +
m̃(s, X̃s )ds +
σ̃(s, X̃s )dBs = x +
Φ−1 (s)β(s)a(s)ds +
0
0
Z t 0
+
Φ−1 (s)σ(s, Φ(s)X̃s )dBs .
0
Ðàññìîòðèì
îäíîìåðíûé
ñëó÷àé
ñ
ïîñòîÿííûìè
êîýôôèöèåíòàìè:
a(t)
≡
a, β(t) ≡ β, σ(t) ≡ σ . Ìîäåëü (18) òîãäà ñîîòâåòñòâóåò ìîäåëè ýâîëþöèè ïðîöåíòíîé
ñòàâêè Vasicek [20]:
(19)
dXt = {αβ − βXt }dt + σdBt ,
X0 = x ∈ R
Äëÿ ìîäåëè (19) ñóùåñòâóåò ÿâíûé âèä ðåøåíèÿ ÑÄÓ, ïîýòîìó ïðîöåäóðà èñêëþ÷åíèÿ òðåíäà èç äèôôóçèîííîãî óðàâíåíèÿ íå ïðåäñòàâëÿåò îñîáîãî èíòåðåñà,
îäíàêî, ïîçâîëÿåò ïðîñëåäèòü êîððåêòíîñòü ðàññìàòðèâàåìîãî ìåòîäà.
Ðåøåíèå ÑÄÓ (19) ïðåäñòàâèìî â âèäå [20]:
Z
(20)
Xt = x exp(−βt) + a(1 − exp(−βt)) + σ exp(−βt)
t
exp(βs)dBs .
0
Ðàññìîòðèì ïîëó÷åíèå ðåøåíèÿ ÑÄÓ (19) ñ ïîìîùüþ ïðîöåäóðû èñêëþ÷åíèÿ
ëèíåéíîé êîìïîíåíòû òðåíäà.
Ôóíäàìåíòàëüíàÿ ìàòðèöà äëÿ ÑÄÓ (19) èìååò âèä:
−1
öåññ X̃t = Φ (t)Xt = exp(βt)Xt ïðåäñòàâèì â âèäå:
Z
X̃t = x + a(exp(βt) − 1) + σ
Φ(t) = exp(−βt).
Òîãäà ïðî-
t
exp(βs)dBs .
0
Ðåøåíèå, ïîëó÷åííîå ìåòîäîì èñêëþ÷åíèÿ ëèíåéíîãî òðåíäà, ïðèìåò âèä:
Z t
Xt = Φ(t) x + a(exp(βt) − 1) + σ
exp(βs)dBs = x exp(−βt) +
0
Z t
+a(1 − exp(−βt)) + σ exp(−βt)
exp(βs)dBs ,
0
10
÷òî ñîâïàäàåò ñ ôîðìóëîé (20).
Ìåòîä èñêëþ÷åíèÿ òðåíäà ïðèìåíèì òàêæå ê áîëåå ñëîæíûì ìîäåëÿì, òàêèì
êàê ìîäèôèöèðîâàííàÿ ìîäåëü ýâîëþöèè ïðîöåíòíîé ñòàâêè Cox-Ingersoll-Ross [21],
åå ðàñøèðåíèå - ìîäåëü Hull-White [22]. Ïîìèìî ìîäåëåé ïðîöåíòíîé ñòàâêè, ìåòîä
èñêëþ÷åíèÿ òðåíäà ïðèìåíèì ê ìîäåëè ñòîõàñòè÷åñêîé âîëàòèëüíîñòè Heston [23] â
ñëó÷àå, êîãäà ôóíêöèÿ îò âîëàòèëüíîñòè, âõîäÿùàÿ â óðàâíåíèå äîõîäíîñòè, îãðàíè÷åíà. Ìîäåëü Cox-Ingersoll-Ross îòëè÷àåòñÿ îò ðàññìîòðåííîé âûøå ìîäåëè Vasicek
âèäîì ôóíêöèè âîëàòèëüíîñòè
√
σ(t, Xt ) ≡ σ Xt ,
ïðîöåäóðà óäàëåíèÿ òðåíäà äëÿ íåå
àíàëîãè÷íà ðàññìîòðåííîé âûøå ïðîöåäóðå äëÿ ìîäåëè Vasicek. Ðàññìîòðèì äâóìåðíûé ñëó÷àé íà ïðèìåðå ìîäåëè ñòîõàñòè÷åñêîé âîëàòèëüíîñòè Heston [23]:
(21)
dSt
dvt
=
µ 0
0 −k
St
vt
0
kθ
+
dt +
f (vt , St )
0
0
ξg(vt )
dBt1
dBt2
.
Ðàññìîòðèì ñèñòåìó ËÎÄÓ:
0
x (t) =
µ 0
0 −k
x(t).
Ôóíäàìåíòàëüíàÿ ìàòðèöà äëÿ ýòîé ñèñòåìû èìååò âèä:
Φ(t) =
exp(µt)
0
0
exp(−kt)
.
Òîãäà ïðîöåññ
S̃t
ṽt
=
exp(−µt)
0
0
exp(kt)
St
vt
.
ïðåäñòàâèì â âèäå:
S̃t
ṽt
=
S0
v0
+
0
θ(exp(kt) − 1)
Z t
exp(−µs)
0
+
×
0
exp(ks)
0
f (vs , Ss )
0
×
dBs .
0
ξg(vs )
Òîãäà c ïîìîùüþ ìåòîäà èñêëþ÷åíèÿ ëèíåéíîé êîìïîíåíòû òðåíäà, ïîëó÷èì ñëåäóþùåå ïðåäñòàâëåíèå ðåøåíèÿ ñèñòåìû ÑÄÓ:
+
St
vt
exp(µt)
0
S0
0
=
+
+
0
exp(−kt)
v0
θ(1 −
exp(−kt))
R t exp(−µs)
exp(µt)
0
0
f (vs , Ss )
0
dBs .
0
0
exp(−kt)
0
exp(ks)
0
ξg(vs )
5. Çàêëþ÷åíèå
Êàê èçâåñòíî [11], [24], ìåòîä ïàðàìåòðèêñà è åãî äèñêðåòíûé àíàëîã [4], [5], ïðåäïîëàãàþò îãðàíè÷åííîñòü êîýôôèöèåíòîâ ñíîñà è äèôôóçèè. Ìåæäó òåì, ìíîãèå
âàæíûå ìîäåëè èìåþò íåîãðàíè÷åííûé êîýôôèöèåíò ñíîñà, â ÷àñòíîñòè, ìîäåëè,
11
ñîîòâåòñòâóþùèå ñòîõàñòè÷åñêèì ïðîöåäóðàì ðåêóððåíòíîãî îöåíèâàíèÿ , èìåþò ëèíåéíî ðàñòóùèé êîýôôèöèåíò ñíîñà.
À èìåííî, öåïè Ìàðêîâà è ïðåäåëüíûå äèôôóçèîííûå ïðîöåññû ñ ëèíåéíîé êîìïîíåíòîé â òðåíäå âîçíèêàþò â ðåêóððåíòíûõ ïðîöåäóðàõ îöåíèâàíèÿ, îñíîâàííûõ
íà ìåòîäå Ðîááèíñà-Ìîíðî. Â ìîíîãðàôèè [25] äîêàçàí ðÿä ðåçóëüòàòîâ î ñëàáîé
ñõîäèìîñòè ðåêóððåíòíûõ ïðîöåäóð îöåíèâàíèÿ ê êîíå÷íîìåðíûì ðàñïðåäåëåíèÿì
íåêîòîðîãî ïðåäåëüíîãî äèôôóçèîííîãî ïðîöåññà (Òåîðåìà 6.3 Ãëàâû 6, Òåîðåìû 3.1
è 5.2. Ãëàâû 8). Òåîðåìû ïðåäïîëàãàþò ñóùåñòâîâàíèå ïëîòíîñòåé, ïîýòîìó âîçíèêàåò åñòåñòâåííûé âîïðîñ: èìååò ëè ìåñòî íå òîëüêî ñëàáàÿ ñõîäèìîñòü, íî è ñõîäèìîñòü
ïëîòíîñòåé, òî åñòü ñïðàâåäëèâà ëè ñîîòâåòñòâóþùàÿ ëîêàëüíàÿ ïðåäåëüíàÿ òåîðåìà? Ìåòîä ïàðàìåòðèêñà â êîìáèíàöèè ñ ìåòîäîì èñêëþ÷åíèÿ òðåíäà ïîçâîëÿþò
ïîëîæèòåëüíî îòâåòèòü íà ýòîò âîïðîñ. Ýòî ïðèëîæåíèå ìåòîäà áóäåò ïðåäìåòîì
îòäåëüíîé ïóáëèêàöèè. Öåëüþ íàñòîÿùåé ðàáîòû áûëî ïðåäëîæèòü ïðîöåäóðó, ïîçâîëÿþùóþ èñêëþ÷àòü ëèíåéíî ðàñòóùóþ êîìïîíåíòó òðåíäà è ñâîäèòü çàäà÷ó ê
èçó÷åííîé ðàíåå çàäà÷å ñ îãðàíè÷åííûì òðåíäîì. Ïðåäëàãàåìûé ìåòîä ïðèìåíèì ê
áîëåå îáùèì ìîäåëÿì ñ òðåíäîì, èìåþùèì îãðàíè÷åííûé ãðàäèåíò, îäíàêî ôîðìóëû
íîñÿò ìåíåå íàãëÿäíûé õàðàêòåð, à ëîìàíûå Ýéëåðà ñòðîÿòñÿ ëîêàëüíî, ïîýòîìó â
ýòîì ñëó÷àå ìîæíî ãîâîðèòü î ëîêàëüíîé ïðåäåëüíîé òåîðåìå çà ìàëîå âðåìÿ. Ýòî
òàêæå áóäåò ïðåäìåòîì äàëüíåéøèõ ðàññìîòðåíèé.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1.
À. Â. Ñêîðîõîä, Èññëåäîâàíèÿ ïî òåîðèè ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ //Èçä-âî Êèåâñêîãî óíèâåðñèòåòà, 1961.
2.
D. W. Stroock, S. R. S. Varadhan, Multidimensional diusion processes //
Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften 233. Springer (Berlin), 1979.
3.
V. Konakov, S. Molchanov, On the convergence of Markov chains to diusion
processes // Theory Probab. and Math. Stat., v.31, Kiev Univ., 1984.
4.
V. Konakov, E. Mammen, Local limit theorems for transition densities of Markov
chains converging to diusions // Prob. Th. Rel. Fields, 117:551587, 2000.
5.
V. Konakov, E. Mammen, Local approximations of Markov random walks by
diusions // Stoch. Proc. Appl., 96(1), pp. 73-98, 2001.
6.
V. Konakov, E. Mammen, Edgeworth type expansions for transition densities of
Markov chains converging to diusions // Bernoulli: a journal of mathematical
statistics and probability. 2005. Vol. 11. No. 4. P. 591-641.
7.
V. Konakov, E. Mammen, Small time Edgeworth-type expansions for weakly
convergent nonhomogeneous Markov chains // Probability Theory and Related Fields.
2009. Vol. 143. No. 1. P. 137-176.
8.
E. E. Levy, Sulle equazioni lineari alle derivate parziali totalmente ellittiche //
Rendiconti della Reale Accademia dei Lincei, Classe di Scienze Fisiche, Matematiche,
Naturali, Serie V, 16 (12): 932938, 1907.
12
9.
E. E. Levy, Sulle equazioni lineari totalmente ellittiche alle derivate parzial //
Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, 24(1): 275-317, 1907.
10.
A. Friedmsn, Partial dierential equations of parabolic type // Prentice-Hall, 1964.
11.
À.Ì. Èëüèí, À.Ñ. Êàëàøíèêîâ, Î.À. Îëåéíèê, Ëèíåéíûå óðàâíåíèÿ âòîðîãî ïîðÿäêà ïàðàáîëè÷åñêîãî òèïà // Óñïåõè ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê, ò. XVII, âûï. 3
(105), ñ. 3-146, 1962.
12.
H. P. McKean, I. M. Singer, Curvature and the eigenvalues of the Laplacian // J.
Dierential Geometry 1, 4369, 1967.
13.
F. Delarue, S. Menozzi, Density Estimation for a Random Noise Propagating through
a Chain of Dierential Equations // J. Func. Anal., 259, 2010, 6, 1577-1630.
14.
W. Kelley, A. Peterson, The Theory of Dierential Equations Classical and
Qualitative // Prentice Hall, 2004.
15.
D. Nualart, The Malliavin Calculus and Related Topics // Springer, 2006.
16.
S. Elaydi, An Introduction to Dierence Equations // Springer Science+Business
Media, Inc, 2005.
17.
Â.È. Àðíîëüä, Îáûêíîâåííûå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ // Íàóêà, 1971.
18.
B. Koo, O. Linton, Semiparametric Estimation of Locally Stationary Diusion Models
// Discussion paper No. EM/2010/551, August 2010.
19.
Á. Îêñåíäàëü, Ñòîõàñòè÷åñêèå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ. Ââåäåíèå â òåîðèþ
è ïðèëîæåíèÿ // Ì.Æ Ìèð, ÎÎÎ Èçäàòåëüñòâî ÀÑÒ, 2003.
20.
O. Vasicek, An Equilibrium Characterization of the Term Structure // Journal of
Financial Economics 5 (2), pp. 177188, 1977.
21.
J.C. Cox, J.E. Ingersoll, S.A Ross, A Theory of the Term Structure of Interest Rates
// Econometrica, 53, pp.:385-407, 1985.
22.
J. Hull, A. White, Pricing interest-rate derivative securities // The Review of
Financial Studies, Vol 3, No. 4, pp. 573592, 1990.
23.
S. L. Heston, A Closed-Form Solution for Options with Stochastic Volatility with
Applications to Bond and Currency Options // The Review of Financial Studies,
Volume 6, number 2, pp. 327343, 1993.
24.
Â. Ä. Êîíàêîâ, Ìåòîä ïàðàìåòðèêñà äëÿ äèôôóçèé è öåïåé Ìàðêîâà // Ïðåïðèíò, Èçäàòåëüñòâî ïîïå÷èòåëüñêîãî ñîâåòà ìåõàíèêî-ìàòåìàòè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà ÌÃÓ, ñåðèÿ WP BRP STI,  2012, 2012.
25.
Ì. Á. Íåâåëüñîí, Ð.Ç. Õàñüìèíñêèé, Ñòîõàñòè÷åñêàÿ àïïðîêñèìàöèÿ è ðåêóððåíòíîå îöåíèâàíèå // Íàóêà, Ì., 1972.
13
Êîíàêîâ Âàëåíòèí Äìèòðèåâè÷,
ÍÈÓ ÂØÝ, çàâåäóþùèé ìåæäóíàðîäíîé ëàáîðàòî-
ðèè ñòîõàñòè÷åñêîãî àíàëèçà è åãî ïðèëîæåíèé, Ìîñêâà ,
Ìàðêîâà
Àííà
íàðîäíîé
Ìîñêâà ,
Ðîìàíîâíà,
ëàáîðàòîðèè
ÍÈÓ
ÂØÝ,
ñòîõàñòè÷åñêîãî
[email protected]
14
[email protected]
ñòàæåð-èññëåäîâàòåëü
àíàëèçà
è
åãî
ìåæäó-
ïðèëîæåíèé,