Скорость полигональной аппроксимации неспрямляемой кривой

Известия вузов. Математика
2010, № 5, c. 25–31
http://www.ksu.ru/journals/izv_vuz/
Гос. номер статьи по НТЦ "Информрегистр" 0421000123 \0044
Б.А. КАЦ
СКОРОСТЬ ПОЛИГОНАЛЬНОЙ АППРОКСИМАЦИИ
НЕСПРЯМЛЯЕМОЙ КРИВОЙ И ЗАДАЧА О СКАЧКЕ
Аннотация. В статье исследуется влияние скорости полигональной аппроксимации замкнутых неспрямляемых кривых на комплексной плоскости на разрешимость некоторых краевых
задач для аналитических функций в областях, ограниченных такими кривыми.
Ключевые слова: голоморфные функции, задача о скачке, неспрямляемые кривые.
УДК: 517.544
Abstract. We consider certain boundary value problems for functions holomorphic in domains
bounded by closed non-rectifiable curves in the complex plane. We study the solvability of these
problems in dependence of the rate of the polygonal approximation of the mentioned curves.
Keywords: holomorphic functions, jump problem, non-rectifiable curves.
1. Введение
Пусть Γ есть простая замкнутая кривая на комплексной плоскости C, разбивающая ее
на конечную область D+ и область D− , содержащую бесконечно удаленную точку. На этой
кривой задана функция f (t), удовлетворяющая условию Гёльдера
|f (t ) − f (t )| : t , t ∈ Γ, t = t := hν (f, Γ) < ∞
(1)
sup
|t − t |ν
с каким-либо показателем ν ∈ (0, 1]; ниже через Hν (Γ) обозначаем множество всех заданных
на Γ функций, удовлетворяющих условию (1). Рассмотрим краевую задачу об отыскании
голоморфной в C \ Γ функции Φ(z), имеющей при приближении z из C \ Γ к любой точке
t ∈ Γ из D+ и D− предельные значения Φ+ (t) и Φ− (t) соответственно, связанные условием
граничного сопряжения
(2)
Φ+ (t) − Φ− (t) = f (t), t ∈ Γ,
кроме того, предполагается, Φ(∞) = 0.
Эта краевая задача хорошо известна как задача о скачке (например, [1], с. 106). Ее исследования имеют более чем столетнюю историю, тесно связанную с изучением интеграла
типа Коши
f (ζ)dζ
1
.
(3)
Φ(z) =
2πi Γ ζ − z
Поступила 07.04.2008
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект 09-01-12188-офи-м).
25
26
Б.А. КАЦ
Еще Гарнаку и Морера было известно в той или иной степени, что этот интеграл имеет
непрерывные граничные значения на Γ с обеих сторон, если плотность f (t) удовлетворяет условию Гёльдера с любым показателем ν из указанного выше промежутка, а контур
интегрирования кусочно-гладкий; Сохоцкий и Племель установили, что разность этих граничных значений равна плотности интеграла ([1], с. 86). В дальнейшем ограничения на
кривую Γ неоднократно ослаблялись. Так, Е.М. Дынькин [2] и Т. Салимов [3] независимо
друг от друга доказали, что на негладкой спрямляемой замкнутой кривой Γ интеграл типа
Коши (3) с плотностью f ∈ Hν (Γ) при условии
1
(4)
ν>
2
имеет граничные значения Φ± (t), удовлетворяющие формуле Сохоцкого–Племеля, причем
условие (4) неулучшаемо на классе спрямляемых кривых. Затем автор данной статьи исследовал разрешимость задачи о скачке на неспрямляемой кривой. Оказалось [4], что для
любой простой замкнутой кривой Γ и любой заданной на ней функции f ∈ Hν (Γ) при
условии
1
(5)
ν > Dm Γ
2
существует голоморфная в C\Γ функция Φ(z), граничные значения которой связаны равенством (2); вообще говоря, эта функция не представима интегралом типа Коши (3). Здесь
Dm Γ — это хорошо известная в теории фракталов верхняя метрическая размерность Γ,
называемая также размерностью Минковского (например, [5]), т. е.
log N (ε; Γ)
,
− log ε
ε→0
Dm Γ = lim sup
где N (ε; Γ) есть наименьшее число кругов диаметра ε, образующих покрытие Γ. В дальнейшем выяснилось (см. [6]), что величину Dm Γ в этом условии можно заменить так называемой уточненной метрической размерностью. В отличии от верхней метрической размерности уточненная метрическая размерность определяется не через покрытия множества Γ, а
через разложения дополнения C \ Γ на области со спрямляемой границей.
В то же время представляется естественной задача установления условий разрешимости задачи о скачке в терминах скорости аппроксимации неспрямляемой кривой ломаными
линиями, т. е. ее полигональной аппроксимации. В данной статье представлен первый результат такого рода.
2. Основной результат
Определение. Возрастающей полигональной аппроксимацией замкнутой кривой Γ, ограничивающей конечную область D+ , будем называть любую последовательность простых
замкнутых ломаных линий Γn , n = 1, 2, . . . , с конечным числом звеньев у каждой, ограни+
⊂ D+ при n = 1, 2, . . . , и
чивающих конечные многоугольники Dn+ такие, что Dn+ ⊂ Dn+1
∞
+
Dn = D + .
n=1
+
\Dn+ ,
С каждой такой аппроксимацией свяжем последовательность разностей ∆n := Dn+1
n = 1, 2, . . . Множество ∆n представляет собой либо двусвязную многоугольную область,
либо конечное семейство односвязных многоугольников. Обозначим через λn сумму периметров всех многоугольных областей, составляющих ∆n , а через wn — ширину ∆n , т. е.
диаметр наибольшего круга содержащегося в ∆n . Поведение чисел λn и wn при n → ∞
характеризует скорость сходимости данной полигональной аппроксимации к кривой Γ.
СКОРОСТЬ ПОЛИГОНАЛЬНОЙ АППРОКСИМАЦИИ
27
Теорема. Пусть простая замкнутая неспрямляемая кривая Γ имеет возрастающую полигональную аппроксимацию Γn , n = 1, 2, . . . Тогда краевая задача (2) со скачком f ∈ Hν (Γ)
разрешима, если для некоторого p > 2 сходится ряд
∞
λn wn1−p(1−ν) .
(6)
n=1
Доказательство. Пусть f ∗ (z) есть некоторое продолжение скачка f (t) с кривой Γ в ограниченную ею конечную область D+ , т. е. f ∗ ∈ Hν (D+ ) и f ∗ (z) = f (z) при z ∈ Γ. Тогда из
хорошо известных свойств интеграла типа Коши по кусочно-гладким кривым (например,
[1]) следует, что конечная сумма
N
−1
1
f ∗ (ζ)dζ
ΦN (z) :=
2πi ∂∆n ζ − z
n=0
(полагаем здесь ∆0 :=
D1+ )
дает решение задачи о скачке
Φ+ (t) − Φ− (t) = f ∗ (t), t ∈ ΓN .
Поэтому решение исходной задачи (2) можем искать в виде ряда
∞
1
f ∗ (ζ)dζ
.
Φ(z) :=
2πi ∂∆n ζ − z
(7)
n=0
Допустим, что продолжение f ∗ (ζ) имеет интегрируемые частные производные по x = Re ζ
и y = Im ζ во всех областях ∆n , n = 0, 1, 2, . . . Тогда согласно формуле Бореля–Помпейю
(например, [7], с. 29) каждое из слагаемых этого ряда представимо в виде
1
f ∗ (ζ)dζ
∂f ∗ dx dy
1
= f ∗ (z)χn (z) +
,
2πi ∂∆n ζ − z
π
∆n ∂ζ ζ − z
где χn (z) — характеристическая функция области ∆n . Отсюда
1
∂f ∗ dx dy
∗
∗
,
ΦN (z) = f (z)χN (z) +
+ ∂ζ ζ − z
π
DN
+
. Пределом χ∗N (z) при N → ∞ являгде χ∗N (z) — характеристическая функция области DN
ется, очевидно, характеристическая функция χ(z) области D+ . Поэтому ряд (7) сходится,
если производная функции f ∗ (ζ) по ζ интегрируема в D+ . При этом его сумма представима
в виде
1
∂f ∗ dx dy
∗
.
(8)
Φ(z) = f (z)χ(z) +
π
D+ ∂ζ ζ − z
Как известно (например, [7], с. 39), интегральное слагаемое в последнем равенстве дает
непрерывную во всей комплексной плоскости функцию, если его плотность, т. е. производная продолжения f ∗ (ζ) по ζ, интегрируема в D+ в некоторой степени p > 2. Тогда, очевидно,
равенство (8) дает решение задачи о скачке (2).
Итак, задача (2) разрешима, если скачок f имеет продолжение f ∗ ∈ Hν (D+ ), первые
частные производные которого интегрируемы в некоторой степени p > 2. Для построения
такого продолжения применим к функции f ∈ Hν (Γ) оператор продолжения Уитни (например, [8], с. 65); в результате получится функция f w , которая задана на всей комплексной
плоскости и удовлетворяет там условию Гёльдера с тем же показателем ν, а на Γ совпа
∞
∂∆n и повторно применим к этому
дает с f . Теперь сузим f w на компакт Γ∗ := Γ
n=0
28
Б.А. КАЦ
сужению оператор продолжения Уитни. Результат такого двойного продолжения обозначим через f ∗ . Эта функция обладает всеми отмеченными выше свойствами функции f w , но
внутри ∆n она является продолжением Уитни сужения функции f w со спрямляемой линии
∂∆n . Это позволяет применить следующую лемму.
Лемма. Пусть δ — конечная область со спрямляемой границей γ, f ∈ Hν (γ), а f w —
1
продолжение Уитни функции f с кривой γ в область δ. Если p < 1−ν
, то
p
∂ w
f (x + iy) dx dy ≤ Chpν (f, γ)λ(δ)w1−p(1−ν) (δ),
δ ∂x
где λ(δ) — длина γ, w(δ) — диаметр наибольшего круга, лежащего в δ, C — абсолютная
постоянная. Такому же неравенству удовлетворяет и производная f w (x + iy) по y.
Лемма доказана в работе [9], однако для полноты приведем здесь несколько усовершенствованную версию ее доказательства.
Доказательство леммы. Как известно (например, [8], с. 65–67), продолжение Уитни f w (z)
заданной на любом компакте γ ⊂ C функции f ∈ Hν (γ) имеет в C \ γ частные производные
по x и y всех порядков (здесь z = x + iy), причем
w w ∂f
∂f
(z), (z) ≤ Chν (f, γ) distν−1 (z, γ);
(9)
max ∂x
∂y
здесь и ниже C обозначает различные абсолютные постоянные. Построим разбиение Уитни
области δ. Оно состоит из диадических квадратов, сторона каждого из которых соизмерима с его расстоянием от γ (например, [8]). Обозначив через mn количество квадратов со
стороной 2−n , входящих в это разбиение Уитни, в силу оценки (9) получаем
w p
∞
∂f
dx dy ≤ Chpν (f, γ)
(z)
2−n(2−p(1−ν)) mn .
∂x
δ
n=−∞
Cλ(δ)2n .
Теперь покажем, что mn ≤
Действительно, поскольку квадрат со стороной 2−n
−n
удален от γ не более чем на 2 C, то он полностью лежит в 2−n C−окрестности γ (напомним,
что C здесь означает различные постоянные). Но площадь этой окрестности не превосходит
πλ(δ)2−n C (например, [2]), т. е. в ней помещается не более Cλ(δ)2n квадратов площади 2−2n .
В то же время очевидно, mn = 0 при w(δ) < 2−n . Отсюда
w p
∂f
p
2−n(1−p(1−ν)) .
∂x (z) dx dy ≤ Chν (f, γ)λ(δ)
δ
2−n ≤w(δ)
При условиях леммы последний ряд сходится и оценивается сверху величиной Cw1−p(1−ν) (δ).
Производная по y оценивается точно так же.
Из оценки, доказанной в этой лемме, немедленно следует, что первые частные производные функции f w (x + iy) по x и y интегрируемы в D+ степени p > 2, при которой сходится
ряд (6). Это замечание завершает доказательство теоремы.
3. Комментарии, следствия и примеры
Можно рассмотреть также убывающую полигональную аппроксимацию, т. е. последовательность простых замкнутых ломаных линий Γn , n = 1, 2, . . . , с конечным числом звеньев
+
⊃ D+
у каждой, ограничивающих конечные многоугольники Dn+ такие, что Dn+ ⊃ Dn+1
∞
при n = 1, 2, . . . и
Dn+ = D+ . В этой ситуации все рассуждения предыдущего раздела
n=1
СКОРОСТЬ ПОЛИГОНАЛЬНОЙ АППРОКСИМАЦИИ
29
+
сохраняют силу, необходимо лишь положить ∆n := Dn+ \Dn+1
, n = 1, 2, . . . Поэтому теорема
справедлива и для убывающих полигональных аппроксимаций.
Ширина wn разности монотонной (т. е. возрастающей или убывающей) полигональной
аппроксимации кривой Γ стремится к нулю при n → ∞. Переходя, если нужно, к подпоследовательности, можем добиться выполнения неравенства wn ≤ Cq n для некоторого q < 1.
Допустим, что при этом справедлива оценка λn = O(wn−µ ), n → ∞. Тогда условие сходимости ряда (6) сводится к неравенсту 1 − µ − p(1 − ν) > 0, которое выполняется с p > 2
при
µ < 2ν − 1.
(10)
Таким образом, справедливо
Следствие 1. Пусть простая замкнутая неспрямляемая кривая Γ имеет монотонную полигональную аппроксимацию Γn , n = 1, 2, . . . , такую, что wn ≤ Cq n для некоторого q < 1
и λn = O(wn−µ ), n → ∞. Тогда краевая задача (2) со скачком f ∈ Hν (Γ) разрешима при
условии (10).
Далее, скорость сходимости полигональной аппроксимации можно характеризовать иными величинами. Обозначим через Λn длину ломаной Γn , а через En — расстояние от Γ до
Γn , т. е. инфимум таких ε, что Γn лежит в ε−окрестности Γ. Очевидно, λn ≤ Λn + Λn+1
и wn < En . Как и выше, переходя, если нужно, к подпоследовательности, можем добиться выполнения неравенства En ≤ Cq n для некоторого q < 1. Допустим, что при этом
Λn = O(En−µ ), n → ∞. Тогда условие сходимости ряда (6) сводится к тому же неравенству
(10).
Следствие 2. Пусть простая замкнутая неспрямляемая кривая Γ имеет монотонную полигональную аппроксимацию Γn , n = 1, 2, . . . , такую, что En ≤ Cq n для некоторого q < 1
и Λn = O(En−µ ), n → ∞. Тогда краевая задача (2) со скачком f ∈ Hν (Γ) разрешима при
условии (10).
Отметим, что из (10) следует µ < 1. Было бы интересно исследовать ситуацию, когда
длины ломаных Γn растут быстрее.
Рассмотрим два примера. Первый из них — это хорошо известная снежинка Коха (например, [5]). Напомним ее построение. Пусть D1+ — правильный треугольник со стороной 1.
Область D2+ получается присоединением к D1+ трех правильных треугольников со стороной 13 , каждый из которых примыкает к D1+ снаружи, примыкая к нему вдоль средней
трети его стороны. D2+ есть звездчатый многоугольник с двенадцатью сторонами длины 13 .
Разность ∆1 = D2+ \ D1+ состоит из вышеупомянутых трех правильных треугольников со
стороной 13 . Затем к D2+ присоединяются двенадцать правильных треугольников со стороной 13 , примыкающих к средним третям его сторон, и т. д. Таким образом, возрастающей
полигональной аппроксимацией здесь служат звездчатые ломаные Γn := ∂Dn+ с 3 · 4n−1
звеньями; разность ∆n состоит из 3 · 4n−1 правильных треугольников со стороной 3−n каждый. Поэтому здесь λn = C( 43 )n , wn = C · 3−n и условия следствия 1 выполнены с q = 13 ,
µ = log3 43 . Значит, задача о скачке на снежинке Коха разрешима при условии
ν > log3 2;
поскольку log3 4 есть фрактальная размерность снежинки Коха, то это условие совпадает
с (5).
30
Б.А. КАЦ
В качестве второго примера рассмотрим семейство кривых из работы [6]. Это ломаные
с бесконечным числом звеньев следующего вида. Зафиксируем числа β ≥ 1 и κ ≥ 1. Разделим отрезок действительной оси [2−n , 2−n+1 ] на 2[nβ] равных частей длины αn = 2−n−[nβ]
каждая.1 Обозначим через xn,j точки деления, т. е. xn,j = 2−n + jαn , j = 0, 1, . . . , 2[nβ] − 1.
Положим εn = αnκ /2 и рассмотрим прямоугольники δn,j = {z = x + iy : xn,j < x < xn,j + εn ,
0 < y < 2−n }. Они попарно не пересекаются. Пусть D1+ — квадрат {z = x + iy : 0 < x < 1,
∞ 2[nβ]
−1
0 < y < 1}. Тогда область D+ = D1+ \
δn,j — единичный квадрат со счетным мноn=1
j=0
жеством прямоугольных вырезов, сгущающихся к точке 0. Границей Γβκ области D+ является ломаная бесконечной длины. Она спрямляема вне любой окрестности точки 0. В качестве
+
убывающей аппроксимации Γβκ можно использовать последовательность границ Γm = ∂Dm
m−1
2[nβ]
−1
+ = D+ \
, m = 2, 3, . . . , представляющих собою квадраты с
областей Dm
δ
n,j
1
n=1
j=0
+
+ есть набор
конечным числом прямоугольных вырезов. Тогда разность ∆m = Dm+1
\ Dm
[mβ]
[mβ]−m+1
[mβ]+1
− 1. Поэтому λm = 2
+ εm 2
2m(β−1) ,
прямоугольников δm,j , j = 0, 1, . . . , 2
wm = εm 2−mκ(β+1) . Таким образом, ряд (6) сходится с некоторым p > 2 при условии
ν>
(κ + 1)β + (κ − 1)
.
2κ(β + 1)
Известно [6], что Dm Γβκ =
2β
β+1 , т. е. при β > 1 и κ > 1 полученное
кривой Γβκ менее ограничительно, чем условие
условие разрешимости
задачи о скачке на
(5); впрочем, оно совпадает с условием, полученным для этой кривой в работе [6] в терминах введенной там
уточненной метрической размерности.
β
2
< ν ≤ κ(β+1)
В той же работе [6] построена такая функция f ∈ Hν (Γβκ ), что при 1− κ(β+1)
задача о скачке (2) неразрешима. Это значит, что при таких соотношениях между ν, κ, β
условия теоремы и следствий 1, 2 не могут выполняться. Так, на основании следствия 2
можем заключить, что для любой монотонной полигональной аппроксимации кривой Γβκ
при
2β
−1
µ<
κ(β + 1)
выполняется соотношение lim Λn Enµ = ∞.
n→∞
Литература
[1] Гахов Ф.Д. Краевые задачи. – М.: Наука, 1977. – 640 с.
[2] Дынькин Е.М. Гладкость интеграла типа Коши // Зап. научн. семин. Ленингр. отд. Матем. ин-та АН
СССР. – 1979. – T. 92. – C. 115–133.
[3] Салимов Т. Прямая оценка для сингулярного интеграла Коши по замкнутой кривой // Научн. тр. МВ
и ССО Азерб. ССР. – 1979. – № 5. – C. 59–75.
[4] Кац Б.А. Задача Римана на замкнутой жордановой кривой // Изв. вузов. Математика. – 1983. – № 4. –
C. 68–80.
[5] Федер Е. Фракталы. – М.: Мир, 1991. – 280 с.
[6] Kats B.A. The refined metric dimension with applications // Comput. Methods Funct. Theory. – 2007. – V. 7.
№ 1. – P. 77–89.
[7] Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функции. – М.: Мир, 1988. – 509 c.
1Здесь квадратные скобки означают целую часть.
СКОРОСТЬ ПОЛИГОНАЛЬНОЙ АППРОКСИМАЦИИ
31
[8] Хермандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными. Т. 1. Теория
распределений и анализ Фурье. – М.: Мир, 1986. – 462 с.
[9] Кац Б.А., Погодина А.Ю. Задача о скачке и ряд Фабера–Шаудера // Изв. вузов. Математика. – 2007. –
№ 1. – C. 16–22.
Б. А. Кац
профессор, кафедра высшей математики,
Казанский государственный архитектурно-строительный университет,
ул. Зеленая, д. 1, Казань, 420043,
e-mail: architec@mi.ru
B. A. Kats
Professor, Chair of Higher Mathematics,
Kazan State Architecture and Building University,
1 Zelyonaya str., Kazan, 420043 Russia,
e-mail: architec@mi.ru