Теория игр - Laboratory of Mathematical Logic | of PDMI RAS

Теория игр
Илья Кацев1
1 Санкт-Петербургский экономико-математический институт РАН
2013
И.В.Кацев (СПб ЭМИ)
Введение
2013
1 / 23
Предмет
Конкуренция vs кооперация
И.В.Кацев (СПб ЭМИ)
Введение
2013
2 / 23
Предмет
Конкуренция vs кооперация
Конкуренция = ”правила игры”
И.В.Кацев (СПб ЭМИ)
Введение
2013
2 / 23
Предмет
Конкуренция vs кооперация
Конкуренция = ”правила игры”
Рынок работает не всегда
И.В.Кацев (СПб ЭМИ)
Введение
2013
2 / 23
Предмет
Конкуренция vs кооперация
Конкуренция = ”правила игры”
Рынок работает не всегда
И.В.Кацев (СПб ЭМИ)
Введение
2013
2 / 23
Предмет
Конкуренция vs кооперация
Конкуренция = ”правила игры”
Рынок работает не всегда
И.В.Кацев (СПб ЭМИ)
Введение
2013
3 / 23
История
Библия, Талмуд - некоторые ситуации
Cournot A (1838), Bertrand J (1883) - конкуренция
Zermelo E (1913) - шахматы
Borel E (1921) - стратегические игры для трех стратегий
von Neumann J, Morgenstern O (1944, 1947) - “Теория игр и экономическое
поведение”
Nash JF (1950, 1951) - Равновесие и арбитражное решение
Shapley LS (1953) - вектор Шепли
Бондарева О (1963), Shapley LS (1967) - сбалансированные игры
И.В.Кацев (СПб ЭМИ)
Введение
2013
4 / 23
Talmud rule
Наследство E = 400.
Три жены претендуют на c1
И.В.Кацев (СПб ЭМИ)
= 100, c2 = 200, c3 = 300.
Введение
2013
5 / 23
Talmud rule
Наследство E = 400.
Три жены претендуют на c1
= 100, c2 = 200, c3 = 300.
Coalition
{1}
{2}
{3}
{12}
{13}
{23}
И.В.Кацев (СПб ЭМИ)
Введение
2013
5 / 23
Talmud rule
Наследство E = 400.
Три жены претендуют на c1
И.В.Кацев (СПб ЭМИ)
= 100, c2 = 200, c3 = 300.
Coalition
Guarantee
{1}
{2}
{3}
{12}
{13}
{23}
0
0
100
100
200
300
Введение
2013
5 / 23
Talmud rule
Наследство E = 400.
Три жены претендуют на c1
И.В.Кацев (СПб ЭМИ)
= 100, c2 = 200, c3 = 300.
Coalition
Guarantee
Value
{1}
{2}
{3}
{12}
{13}
{23}
0
0
100
100
200
300
50
125
225
175
275
350
Введение
2013
5 / 23
Talmud rule
Наследство E = 400.
Три жены претендуют на c1
И.В.Кацев (СПб ЭМИ)
= 100, c2 = 200, c3 = 300.
Coalition
Guarantee
Value
Satisfaction
{1}
{2}
{3}
{12}
{13}
{23}
0
0
100
100
200
300
50
125
225
175
275
350
50
125
125
75
75
50
Введение
2013
5 / 23
История
Библия, Талмуд - некоторые ситуации
Cournot A (1838), Bertrand J (1883) - конкуренция
Zermelo E (1913) - шахматы
Borel E (1921) - стратегические игры для трех стратегий
von Neumann J, Morgenstern O (1944, 1947) - “Теория игр и экономическое
поведение”
Nash JF (1950, 1951) - Равновесие и арбитражное решение
Shapley LS (1953) - вектор Шепли
Бондарева О (1963), Shapley LS (1967) - сбалансированные игры
И.В.Кацев (СПб ЭМИ)
Введение
2013
6 / 23
Борель и стратегические игры
Два игрока, три стратегии.
Выигрыш первого игрока aij , причем aii = 0.
Первый игрок выбирает стратегию i с вероятностью pi , второй - с вероятностью
qi . Тогда мат. ожидание выигрыша первого игрока равно
p1
p2
p3
q1
q
q3
2
a23 −a13 a12
И.В.Кацев (СПб ЭМИ)
Введение
2013
7 / 23
История
Библия, Талмуд - некоторые ситуации
Cournot A (1838), Bertrand J (1883) - конкуренция
Zermelo E (1913) - шахматы
Borel E (1921) - стратегические игры для трех стратегий
von Neumann J, Morgenstern O (1944, 1947) - “Теория игр и экономическое
поведение”
Nash JF (1950, 1951) - Равновесие и арбитражное решение
Shapley LS (1953) - вектор Шепли
Бондарева О (1963), Shapley LS (1967) - сбалансированные игры
И.В.Кацев (СПб ЭМИ)
Введение
2013
8 / 23
Дилемма заключенного
C = “cooperate”
D = “defect”
C
D
И.В.Кацев (СПб ЭМИ)
(
C
D
−1, −1 −10, 0
0, −10 −9, −9
Введение
)
2013
9 / 23
Дилемма заключенного
C = “cooperate”
D = “defect”
C
D
И.В.Кацев (СПб ЭМИ)
(
C
D
−1, −1 −10, 0
0, −10 −9, −9
Введение
)
2013
10 / 23
Дилемма заключенного
C = “cooperate”
D = “defect”
C
D
И.В.Кацев (СПб ЭМИ)
(
C
D
−1, −1 −10, 0
0, −10 −9, −9
Введение
)
2013
11 / 23
Дилемма заключенного
C = “cooperate”
D = “defect”
C
D
И.В.Кацев (СПб ЭМИ)
(
C
D
−1, −1 −10, 0
0, −10 −9, −9
Введение
)
2013
12 / 23
Равновесие по Нэшу
(
0, 1 1, 0
1, 0 0, 1
)
Нет равновесий
И.В.Кацев (СПб ЭМИ)
Введение
2013
13 / 23
Равновесие по Нэшу
(
0, 1 1, 0
1, 0 0, 1
)
Нет равновесий - используем смешанные стратегии.
И.В.Кацев (СПб ЭМИ)
Введение
2013
13 / 23
Равновесие по Нэшу
(
0, 1 1, 0
1, 0 0, 1
)
Нет равновесий - используем смешанные стратегии.
(
5, 5 1, 0
1, 0 7, 7
)
Что делать, если несколько равновесий?
И.В.Кацев (СПб ЭМИ)
Введение
2013
13 / 23
Пример
И.В.Кацев (СПб ЭМИ)
Введение
2013
14 / 23
Пример
И.В.Кацев (СПб ЭМИ)
Введение
2013
15 / 23
Пример
И.В.Кацев (СПб ЭМИ)
Введение
2013
16 / 23
Пример
И.В.Кацев (СПб ЭМИ)
Введение
2013
17 / 23
Арбитражные схемы
Арбитражной схемой называется пара (X, d), где X
множество, а d ∈ X - точка несогласия.
⊂ R2 - переговорное
Решением для класса арбитражных схем B называется отображение
φ : B → R2 .
И.В.Кацев (СПб ЭМИ)
Введение
2013
18 / 23
Аксиомы
. Парето-оптимальность: φ(X, d) ∈
2.
Индивидуальная рациональность:
1
∂ X.
φ(X, d) ≥ d.
. Независимость от аффинных преобразований: для a
3
> 0, b ∈ R2
φ(aX + b, ad + b) = aφ(X, d) + b.
. Анонимность: если π : R2 → R2 - симметрия относительно прямой y
то φ(π X, π d) = πφ(X, d).
.5 Независимость от несущественных альтернатив: если X′ ⊂ X и
4
= x,
φ(X, d) ∈ X′ , то φ(X′ , d) = φ(X, d).
.
Теорема (Нэш, 1950)
.
Существует
только одно решение, удовлетворяющее аксиомам 1,3,4,5.
.
И.В.Кацев (СПб ЭМИ)
Введение
2013
19 / 23
Нобелевские премии
1971, J.Hicks, K.Arrow
За новаторский вклад в общую теорию равновесия и теорию благосостояния
1994, J.F.Nash, J.C.Harsanyi, R.Selten
За анализ равновесия в теории некоалиционных игр
2005, R.Aumann, T.Schelling
За углубление нашего понимания сути конфликта и сотрудничества путем
анализа теории игр
2007, L.Hurwicz, E.Maskin, R.Myerson
За создание основ теории оптимальных механизмов
2012, A.E.Roth, L.S.Shapley
За теорию стабильного распределения и практики устройства рынков
И.В.Кацев (СПб ЭМИ)
Введение
2013
20 / 23
Теорема Эрроу
И.В.Кацев (СПб ЭМИ)
Введение
2013
21 / 23
Теорема Эрроу
Аксиома независимости от несущественных альтернатив (АННА)
Рассмотрим 2 задачи группового выбора. Если для двух альтернатив a, b ∈ A
индивидуальные предпочтения участников совпадают в двух задачах, то и
отношение коллективного предпочтения совпадает.
Аксиома единогласия
Если a ≻i b для всех i
И.В.Кацев (СПб ЭМИ)
∈ N, то a ≻ b.
Введение
2013
21 / 23
Теорема Эрроу
Аксиома независимости от несущественных альтернатив (АННА)
Рассмотрим 2 задачи группового выбора. Если для двух альтернатив a, b ∈ A
индивидуальные предпочтения участников совпадают в двух задачах, то и
отношение коллективного предпочтения совпадает.
Аксиома единогласия
Если a ≻i b для всех i
∈ N, то a ≻ b.
.
Теорема (Эрроу, 1950)
.
Пусть G - класс всех задач группового выбора с числом кандидатов большим
двух, так что все возможные комбинации индивидуальных предпочтений
допустимы. Пусть правило группового выбора ≻ удовлетворяет аксиомам
АННА и единогласия. Тогда это правило является диктаторским, т.е.
существует
такое i ∈ N, что ≻=≻i .
.
И.В.Кацев (СПб ЭМИ)
Введение
2013
21 / 23
Нобелевские премии
1971, J.Hicks, K.Arrow
За новаторский вклад в общую теорию равновесия и теорию благосостояния
1994, J.F.Nash, J.C.Harsanyi, R.Selten
За анализ равновесия в теории некоалиционных игр
2005, R.Aumann, T.Schelling
За углубление нашего понимания сути конфликта и сотрудничества путем
анализа теории игр
2007, L.Hurwicz, E.Maskin, R.Myerson
За создание основ теории оптимальных механизмов
2012, A.E.Roth, L.S.Shapley
За теорию стабильного распределения и практики устройства рынков
И.В.Кацев (СПб ЭМИ)
Введение
2013
22 / 23
Matching
И.В.Кацев (СПб ЭМИ)
Введение
2013
23 / 23