кривая имеет две ветви, асимптотически приближающиеся к оси

•
кривая имеет две ветви, асимптотически приближающиеся к
оси абсцисс, продолжаясь до бесконечности;
•
если меняется значение x , кривая перемещается вдоль оси
ординат, при этом форма кривой не меняется;
•
если меняется значение σ , меняется форма распределения при
неизменном положении центра распределения: при уменьшении σ уменьшается вариация, кривая становится более пологой, увеличивается
эксцесс; при увеличении σ - увеличивается вариация,
эксцесс
уменьшается;
площадь, ограниченная кривой сверху и осью абсцисс снизу,
•
характеризует вероятность появления определенных значений признака:
если всю её принять за 100%, то в пределах x ± σ находится 68,3% всех
значений признака, в пределах x ± 2σ - 95,44% значений, в пределах x ± 3σ 99,73% значений признака.
Этот вывод называется правилом “трех сигм”, в соответствии, с
которым можно считать, что все возможные значения нормально
распределенного признака укладываются в интервал x ± 3σ .
Пользоваться функцией нормального распределения в её
первоначальном виде сложно, так как для каждой пары значений x и σ
необходимо создавать свои таблицы значений. Поэтому
функцию
стандартизируют и затем используют для обработки рядов распределения,
для чего вводится понятие стандартного отклонения ti :
ti =
xi − x
σ
.
тогда:
t
−
1 ⎛ 1
ϕ ' ( x) = ⋅ ⎜
⋅e 2
σ ⎜⎝ 2π
2
⎞
⎟.
⎟
⎠
Выражение ϕ ' (t ) =
t2
−
1
⋅e 2
2π
состоит из констант, не содержит
параметров, называется стандартизованной функцией нормального
распределения. Для неё разработаны специальные таблицы, позволяющие
находить конкретные значения ϕ ' (t ) при различных значениях аргумента ti
(Приложение 1).
Исходная функция нормального распределения связана со
стандартизированной соотношением:
ϕ ' ( x) =
1
σ
⋅ ϕ ' (t ) .
Стандартизованная функция является четной, т.е. ϕ ' (−t ) = ϕ ' (t ) .
Для примера рассмотрим подбор теоретического распределения к
ряду распределения рабочих участка по стажу.
89
Данный
ряд
распределения
характеризуется
следующими
параметрами:
x = 12 лет,
σ =6,3 года.
Для того чтобы оценить близость указанного ряда распределения к
нормальному, необходимо рассчитать частоты теоретического ряда
распределения ni .
T
Для их расчета определяются стандартные отклонения t =
x−x
σ
, затем
по таблицам значений функции Лапласа (Приложение 1) находятся
значения ϕ ' (t ) .
Для получения частот теоретического распределения ni необходимо
иметь в виду, как относительная плотность распределения ϕ ' ( x) связана с
одной стороны с частотой ni , а с другой - со стандартизованной функцией
нормального распределения ϕ ' (t ) . Эти связи выражаются следующими
зависимостями:
T
ϕ ' ( x) =
qiT
ai
, qiT =
niT
N
, следовательно, ϕ ' ( x) =
С другой стороны, ϕ ' ( x) =
1
niT
N ⋅ ai
.
⋅ ϕ ' (t ) , таким образом, имеет место
σ
равенство:
niT
N ⋅ ai
=
1
σ
⋅ ϕ ' (t ) , отсюда niT =
ai ⋅ N
σ
⋅ ϕ ' (t ) ;
где ai - ширина интервала,
N – объем статистической совокупности,
σ - среднее квадратическое отклонение,
ϕ ' (t ) - стандартизованная функция нормального распределения.
Полученные значения ni округляются до целых значений в
соответствии со смыслом характеристики частоты.
Расчеты теоретических частот распределения рабочих по стажу
приведены в таблице 5.6.
T
90