Elasticity in production function

ЭЛАСТИЧНОСТЬ В ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ФУНКЦИЯХ
Попова Е.С, Дырдасова А.С.
Самарский государственный экономический университет
Самара, Россия
Elasticity in production function
Popova E.S., Dyrdasova A.S.
Samara state economic university
Samara, Russia
В данной научной работе рассмотрены виды, функции, способы определения
эластичности и ее влияние на спрос и предложение.
In this scientific work considers the types, functions, methods of determination of elasticity and
its influence on demand and supply.
На современном этапе развития человечества одну из ведущих ролей в развитии общества
играют экономические отношения, поскольку именно они являются той материальной
основой, которая в свою очередь делает возможным формирование и развитие различных
общественных институтов. Для наиболее полного изучения экономических явлений и
процессов, происходящих в обществе, экономическая теория использует различные методы,
прибегая к «помощи» других не менее важных наук. Одной из таких наук является
математический анализ. Одними из базовых, ключевых понятий в экономической теории
являются такие широко известные категории как спрос и предложение, которые, в свою
очередь, обладают определенными признаками и свойствами, что и является главным
предметом экономической теории. Спрос и предложение товаров обладают различной
степенью чувствительности к изменению определяющих их факторов. Мерой такого
изменения является эластичность спроса и эластичность предложения. В свою очередь,
выделяется несколько основных видов эластичности: ценовая эластичность, эластичность по
доходу и перекрестная эластичность.
Ценовая (прямая) эластичность спроса (предложения) показывает, какое процентное
изменение спроса (предложения) последует за однопроцентным изменением цены товара.
Эластичность спроса по доходу показывает, какое процентное изменение спроса
последует за однопроцентным изменением дохода потребителя.
Перекрестная эластичность спроса показывает, какое изменение спроса на товар A
последует за однопроцентным изменением цены товара B, при условии, что товары A и B
являются комплементарными (комплементами)
или взаимозаменяемыми (субститутами).
Количественным выражением эластичности спроса и предложения является коэффициент
эластичности E, который рассчитывается в одной точке кривой спроса и предложения или на
дуге этой кривой.
 ∆y ∆x  x
 = ⋅ y ′ .
Эластичностью функции y = f (x) называется E x ( y ) = lim 
:
∆x → 0
 y x  y
Таким образом, эластичность функции можно вычислить по формуле E =
x
y ′(x) .
y
Эластичность функции также называется относительной производной. Эластичность
функции по аргументу показывает, на сколько процентов изменится значение функции при
изменении аргумента в точке x на 1%. Пусть спрос задан функцией Q(d)=96-16P+P2,
необходимо определить ценовую точечную эластичность спроса по цене при P=4
Найдем первую производную функции: y ′ = (96 − 16 x + x 2 )′ = 2 x − 16 .
Подставим полученное выражение в формулу эластичности:
E dp =
x
4
1
⋅ (2 x − 16) =
⋅ (2 ⋅ 4 − 16) = ⋅ (−8) ≈ −0,7
2
96 − 16 ⋅ 4 + 4 ⋅ 4
12
96 − 16 x + x
Таким образом, при изменении цены на 1% величина спроса изменяется на 0,7%. Спрос
неэластичен.
Также в качестве примера можно рассмотреть производственную функцию Кобба-Дугласа.
Данная функция устанавливает зависимость между величиной созданного общественного
продукта и совокупными затратами живого труда, а также суммарным объемом
применяемых производственных фондов.
α
α
Данная функция имеет следующий вид: y = a 0 x1 1 x 2 2 , где a 0 - коэффициент, α 1 ; α 2 ∈ (0;1)
. Несмотря на то, что каждый из данных коэффициентов меньше 1, их сумма может быть
меньше, равна или больше 1. Она показывает эффект одновременного пропорционального
увеличения объема трудовых ресурсов и производственных фондов.
Каждый из используемых ресурсов характеризуется средней и предельной величинами.
средняя производительность труда показывает, сколько единиц продукции приходится на
единицу труда. Предельная производительность труда показывает, сколько дополнительных
единиц продукции приносит дополнительная единица труда.
a −1 α
∆y ∂y ∂ (α 0 1 x1 1 x 2 2 )
lim
=
=
= α 0α 1 x1α1 −1 x 2α 2 .
∆x1→ 0 ∆x
∂x
∂x1
Рассчитаем вторую частную производную:
∂2 y
= α 0α 1 (α 1 − 1) x1α 1− 2 x 2α 2
2
∂x1
.
Вторая частная производная отрицательна, а значит, предельная производительность с
увеличением x1 снижается.
для производственной функции Кобба-Дугласа предельная производительность всегда
меньше средней.
Кроме того, можно определить показатель, характеризующий относительный прирост
объема производства на единицу относительно увеличения труда: α 1 =
∂y x1
⋅
∂x y
Полученный показатель называется эластичностью выпуска продукции по затратам труда.
Он показывает, на сколько процентов увеличивается выпуск продукции при увеличении
затрат труда на 1%.
Подобные показатели можно рассчитать и для производственных фондов. Объем продукции
в расчете на единицу производственных фондов называется фондоотдачей. Можно
рассчитать среднюю и предельную фондоотдачу. Из функции Кобба_Дугласа имеем:
y
= α 0 x1α1 x 2α 2 −1 .
x2
Предельная фондоотдача равна частной производной выпуска продукции по объему фондов:
∂y
α
α −1
= a 0α 2 x1 1 x 2 2 . Предельная фондоотдача всегда ниже средней.
∂x 2
Относительная фондоотдача (эластичность выпуска продукции по объему производственных
фондов) определяется как: α 2 =
∂y x 2
⋅ .
∂x 2 y
Если производственная функция задана формулой y = 3,6 x1
0, 2
x2
0 ,8
, где y – объем продукции
в стоимостном выражении, x1 - фонд заработной платы, x 2 – стоимость основных
производственных фондов. α 1 = 0,2 . Это означает, что при изменении затрат труда на 1%
выпуск
продукции
изменится
на
0,2%
(увеличится
или
уменьшится).
α 2 = 0,8 .Следовательно, при изменении объема основных производственных фондов на 1%,
выпуск продукции изменится на 0,8% (увеличится или уменьшится).
Литература
1.Предельный анализ в экономике. Эластичность функции [Электронный ресурс].- Режим
доступа: http://www.mathelp.spb.ru/book1/lim_an_ec.htm.- (Дата обращения: 16.12.2015).
2. Яшина Ю.Е, Карнавская Н.В., Чехута В.А. и др. Эластичность функции и ее применение
экономике
[Электронный
ресурс]/Ю.Е.Яшина,
Н.В.Карнавская,
В.А.Чехута
и
др./Международный студенческий научный вестник: эл.науч.журн.-2015.-№3.-Режим
доступа: http://www.eduherald.ru/140-14166.- (Дата обращения:16.12.2015).