МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ ЗАДАНИЙ КУРСОВОГОЙ РАБОТЫ Задачи данного раздела составлены в соответствии с программой третьего семестра курса «Математика-2 (Прикладная математика)». Решения задач должны содержать все необходимые расчеты и пояснения. С учетом этого требования следует приводить, по возможности, краткие и четкие решения. При решении задач этого раздела следует использовать методы, описанные в учебно-методических пособиях «Типовые задачи базового уровня по математике с решениями» (части 3 и 4) [7]. В дальнейшем мы будем называть это пособие «Типовые задачи» и давать ссылки на его определенные разделы. Задачи 1 – 8 составлены в соответствии с частью 3 данного учебно-методического пособия (раздел 2 «Введение в теорию вероятностей»). Задачи 1,2,3 соответствуют разделам 2.1 (Элементы комбинаторики) и 2.2 (Классическое определение вероятности) пособия «Типовые задачи», часть 3. Во всех этих задачах искомые вероятности определяются по классической формуле (раздел 2.2): N ( A) P( A) = , N где N - общее число элементарных исходов опыта, N ( A) - число благоприятных элементарных исходов опыта. При вычислении числителя и знаменателя могут использоваться формулы комбинаторики (раздел 2.1). Покажем в качестве примера возможный вариант оформления решения задачи 2. Пусть, например, номер варианта курсовой работы α = 35 . Тогда один из возможных вариантов оформления решения может выглядеть следующим образом. Задача 2. На один ряд, состоящий из 39 мест, случайно садятся 39 учеников. Найти вероятность того, что 3 определенных ученика окажутся рядом. Решение. Случайный эксперимент – рассаживание 39 учеников в один ряд. Элементарный исход – перестановка из 39 элементов. Общее число таких перестановок N = P39 = 39! = 1⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ 39 . Благоприятными исходами являются те, в которых 3 конкретных ученика (например, те, которые имеют номера 1,2 и 3) окажутся рядом. Число таких исходов можно определить так. Тройка учеников, сидящих рядом, имеет 37 вариантов своего размещения среди 39 учеников, поскольку «самый левый» из этой тройки может сидеть на местах с 1-ого по 37-ое. Внутри этой тройки число вариантов размещения учеников равно P3 = 3! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 = 6 . Остальные 36 учеников могут размещаться на оставшихся 36 местах числом способов, равным P36 = 36! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ 36 . Тогда число благоприятных элементарных исходов равно N ( A) = 37 ⋅ P3 ⋅ P36 . Искомую вероятность определим по классической формуле: N ( A) 37 ⋅ P3 ⋅ P36 37 ⋅ 6 ⋅1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ 36 6 1 = = = = P( A) = N P39 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ 36 ⋅ 37 ⋅ 38 ⋅ 39 38 ⋅ 39 247 1 . 247 Следует отметить, что приведенный вариант оформления решения является лишь одним из возможных. Способ изложения решения, так же, как и используемые обозначения, Ответ: могут быть различными – такими, к каким студенты привыкли при проведении практических занятий. Задачи 4 и 5 соответствует разделам 2.5 (Формула полной вероятности) и 2.6 (формула Бейеса) пособия «Типовые задачи», часть 3, соответственно. При их решении можно использовать логику примеров 2.5.1 и 2.6.1 соответственно. Задачи 6 и 7 соответствует разделу 3.1 (Дискретные случайные величины), а задача 8 – разделу 3.2 (Непрерывные случайные величины) пособия «Типовые задачи», часть 3. При их решении следует использовать логику различных примеров из указанных разделов. Задачи 9 – 16 составлены в соответствии с разделом «Законы распределения случайных величин»: №9 – биномиальное распределение; №10 – геометрическое распределение; №11 – распределение Пуассона в простейшем потоке; №12 – распределение Пуассона как закон «редких явлений»; №13 – равномерное распределение; №14 – показательное распределение; №15 – нормальное распределение (характеристики); №16 – нормальное распределение (правило «трех сигм»). Для решения задач данного раздела следует использовать материал разделов 2.7 (формула Бернулли), 3.3 (нормальный закон распределения) и 3.4 (показательный закон распределения) учебно-методического пособия «Типовые задачи». Формула Бернулли используется при определении характеристик биномиального распределения (задача №9). Также следует использовать материал соответствующих разделов учебника «Теория вероятностей и математическая статистика» (автор В.Н. Калинина). План решения задач 9-16 может быть следующим: вводится случайная величина; определяется ее закон распределения; по исходным данным определяются параметры этого закона; зная закон распределения, определяются все требуемые характеристики рассматриваемой случайной величины. В качестве примера рассмотрим решение задачи 11. Пусть α = 35. Тогда один из возможных вариантов оформления решения может выглядеть следующим образом. Задача 11. К киоску в среднем за 35 минут приходит 1 покупатель. Считая поток покупателей простейшим, найти вероятность того, что за 2 минуты к киоску подойдет: а) менее 2 покупателей; б) хотя бы 1 покупатель. Найти м.о. и с.к.о. числа покупателей за 1 минуту. Решение. Рассмотрим случайную величину X – количество покупателей, подходящих к киоску за 2 минуты. Поскольку поток покупателей является простейшим, то случайная величина X имеет распределение Пуассона. Найдем его параметр. Интенсивность потока: 1 2 1 ⋅ 2= ≈ 0, 0571 . Теперь, λ = . Параметр распределения Пуассона: a= λ ⋅ ∆t= 35 35 35 используя формулу Пуассона, найдем искомые вероятности: P( X < 2) = P( X = 0) + P( X = 1) ; P( X ≥ 1) =1 − P( X =0) . По формуле Пуассона: P( X= k= ) ak −a ⋅e . k! a0 −a a1 − a −0,0571 Тогда P( X =0) = ⋅ e =e ≈ 0,944; P( X =1) = ⋅ e =0, 0571e −0,0571 ≈ 0, 054. 0! 1! Теперь P ( X < 2) = 0,944 + 0, 054 = 0,998 ; P ( X ≥ 1) =1 − 0, 944 =0, 056 . Используем формулы для числовых характеристик распределения Пуассона: MX= a= 0, 0571; DX= a= 0, 0571; σ x= = MX 0,= 057; σ x 0, 239. Ответ: а) 0,998; б) 0,056; 0, 0571 ≈ 0, 239. Задачи 17 и 18 составлены в соответствии с частью 4 учебно-методического пособия «Типовые задачи» (раздел 4 «Математическая статистика»). Для решения задачи 17 следует изучить примеры 4.1.1, 4.2.1 и 4.4.1. Для решения задачи 18 следует изучить примеры 4.1.3, 4.3.1 и 4.3.2. Еще раз отметим, что при оформлении работы способ изложения решения, так же, как и используемые обозначения, могут быть различными – такими, к каким студенты привыкли при проведении практических занятий. Образец титульного листа курсовой работы Приложение Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УПРАВЛЕНИЯ» Институт открытого образования КУРСОВАЯ РАБОТА по учебной дисциплине Математика-2 (Прикладная математика) Вариант № Выполнил (а) .................................................. (Ф.И.О. студента) Институт .................................................................... Направление подготовки .................................................................... Группа .................................................................... Руководитель курсовой работы ............................. (ученая степень, звание) ............................ ............................... (подпись) (инициалы, фамилия) Москва 20__