Об адекватности математических моделей экономики (53–65)
реклама
ТРУДЫ МФТИ. — 2009. — Том 1, № 4 53 УДК 519.86 А.А. Петров Вычислительный центр им. А.А. Дородницына РАН Московский физико-технический институт (государственный университет) Об адекватности математических моделей экономики Представлен обзор эволюции экономических теорий ценообразования и роста экономики. Обсуждается решение этих проблем неоклассической теорией, давшей начало математическому направлению в экономической науке. Рассматривается проблема агрегирования экономических описаний и в связи с ней условия, при которых можно корректно определить экономического агента — основное понятие экономической теории, математических моделей экономики и экономической статистики. Неоклассические идеи получили развитие в системном анализе развивающейся экономики (САРЭ) — направлении математического моделирования экономики, существенный вклад в которое внесли воспитанники ФУПМ. Показано, как с 1992 года математические модели САРЭ использовались для анализа эволюции переходной экономики России. Ключевые слова: полезность, стоимость, ценообразование, рост экономики, неоклассическая теория, экономический агент, теория агрегирования, системный анализ развивающейся экономики. Историки экономической мысли отсчитывают начало экономической науки от Платона и Аристотеля [1]. Две с половиной тысячи лет складывались представления о предмете экономики, о методе и о целях исследований. Уже в учении Аристотеля прослеживается двойственность экономической науки: предмет изучения возникал из практических вопросов, которые ставила повседневная жизнь, а решались вопросы аналитически, в рамках философских концепций, которых придерживались авторы. Как правило, гипотезы экономистов трудно отделить и от их идеологии. Традиционно экономической науке присущ выраженный нормативный подход к решению проблем. Норма — выражение того, как должно быть устроено общество согласно принятой идеологии. Своеобразие подходов и методов экономической науки можно проследить на примере проблемы стоимости и ценообразования. Это одна из фундаментальных проблем. С ней тесно связана и проблема создания богатства, и проблема распределения богатства. Обратимся к истокам, к Аристотелю (384–322 годы до н. э.). Он был не только выдающимся учёным, но и представителем афинской демократии. Поэтому труд и производство были вне его интересов, повседневно он сталкивался с торговлей и обменами. Совокупность экономических фактов Аристотель исследовал и оценивал с точки зрения своей концепции идеальной и добродетельной жизни в соответствии с критериями «естественности» и «справедливости». «Естественно» то, что отвечает законам логики, а «справедливо» то, что отвечает нормам идеала. Богатство Аристотель делил на «естественное» и «противоестественное». К естественному богатству относил блага, которые создают земледелие и ремесло. Они удовлетворяют потребности людей, поэтому естественное богатство ограничено потребностями. Противоестественное богатство — то, что возникает не из производства, а из обращения, не служит удовлетворению непосредственных потребностей и, следовательно, ничем не ограничено. В первую очередь, это — деньги. Обмены товарами Аристотель выводил логически, рассматривая гипотетический процесс эволюции разделения труда в обществе. Согласно с его концепцией теория ценообразования основана на принципе «коммутативной» справедливости — равенства того, что контрагенты отдают и получают при обмене. Но Аристотель понимал, что контрагенты должны извлекать выгоду из сделки — иначе не согласились бы на нее. Следовательно, не может быть равенства субъективной цен- 54 ности, полезности обмениваемых товаров или выплаченных и полученных за них денег. В терминах позднейшей экономической теории это означает, что Аристотель различал потребительную и меновую стоимость товара. Из принципа коммутативной справедливости, казалось бы, следует вывод: Аристотель приписывал вещам внутренне присущую им и не зависящую от оценок людей «естественную» или «объективную» ценность, выражающую «коммутативную справедливость». Это — меновая стоимость, над которой экономисты бились следующие две тысячи лет. Но все не так просто. Аристотель считал справедливыми сделки, совершающиеся по ценам, которые индивид или группа индивидов не могут изменить. В современной терминологии — это конкурентные цены на свободном рынке. Монополию он осуждал как «несправедливую», потому что монопольные цены индивид или группа индивидов устанавливают для своей выгоды. Следовательно, фактические рыночные цены товаров, вообще говоря, не могут быть эталоном своей коммутативной справедливости. Но нормальные конкурентные цены могут приближаться к эталону коммутативной справедливости, так как «справедлива» любая сделка, которая совершилась по таким ценам. Аристотелевское понятие справедливой ценности товара «объективно» в том смысле, что ни один индивид не может изменить её своими действиями. Справедливые ценности выражают общественную оценку товара в том смысле, что они — результат действий массы разумных людей. Аристотелем обсуждались фундаментальные проблемы экономической науки: различие потребительной и меновой стоимости товара, соотношение «естественной» цены товара как эквивалента обменов и текущей рыночной цены товара. Важно отметить, что с самого начала ценообразование рассматривалось как процесс движения реальной рыночной цены относительно «естественной» цены, которая не наблюдается. В современной терминологии «естественная» цена — равновесная рыночная цена товара. С самого начала экономическая наука рассматривала проблему ценообразования как проблему динамики — как текущая рыночная цена ТРУДЫ МФТИ. — 2009. — Том 1, № 4 движется относительно внутренней ненаблюдаемой, свойственной данной экономике равновесной цены. Таким же был подход и к исследованию других проблем. В XIII–XVI веках экономическую доктрину Аристотеля возродили и развивали схоласты. Главные их достижения в теории ценообразования можно свести, вопервых, к учету издержек производства при обсуждении меновой стоимости товара. Они связывали справедливые колебания рыночных цен с затратами труда и риском производителей и торговцев. Вовторых, они уже не считали несправедливым процент на ссуды и включали предпринимательскую прибыль в справедливую цену. Если Аристотель начал изучать стоимость и цену со стороны спроса, удовлетворения потребителей, то схоласты продолжили изучение со стороны производства. В XVI веке экономическое учение схоластов подхватили философы естественного права. Основа их концепции — «естественное право» принадлежит разуму и общественному благосостоянию. Сообразуясь с критерием общественной пользы, они начали эмпирически изучать природу человека и его экономическое поведение. В середине XVIII века в основу «общественного блага» был положен «индивидуальный интерес». Гельвеций (1715–1771) сравнивал принцип индивидуального интереса с законом всемирного тяготения. Собственный интерес индивида определялся его рациональными ожиданиями будущих удовольствий и страданий. Считалось, что можно измерить наслаждения и страдания каждого индивида и сложить их алгебраически с одинаковыми весами. Результат сложения и был общим благом или благосостоянием общества. В концепции «естественного права» главной целью экономической деятельности считается удовлетворение потребностей, а потребности отражали субъективную полезность вещей. Аристотелевские идеи «коммутативной справедливости» получили выражение в форме индивидуальных предпочтений. На них строилась субъективная теория цены. Стоимость определялась как отношение субъективной эквивалентности количества одного товара и количества другого товара. Отношение субъективной эквивалентности выражает, ТРУДЫ МФТИ. — 2009. — Том 1, № 4 насколько товары полезны индивидууму и насколько они редки. Редкость определялась как отношение наличного и требуемого количеств (дефицитность), а полезность — как все то, что обеспечивает благосостояние. Философы естественного права, уточнив понятие меновой стоимости, внесли существенный вклад в теорию ценообразования. Во-первых, они поняли, что стоимость товара всегда относительна — имеет смысл только по отношению к другому товару. Во-вторых, они связали цену через стоимость с тем, что считали основной целью экономической деятельности — удовлетворением потребностей. Другое направление развития теории стоимости и цены развивало концепцию издержек производства схоластов. Стоимость товара складывается из затрат факторов производства на производство товара. Первоначально к факторам производства относили землю и труд, затем к ним присоединили производственный капитал. Проблема была сведена к определению стоимости факторов производства. Французский банкир и экономист Р. Кантильон (1680–1734), внесший существенный вклад в экономическую науку, пытался измерить труд в количестве земли, необходимой для воспроизводства рабочей силы. Таким образом, стоимость товара измерялась в арпанах (1 арпан = 0,003 га). Классик политической экономии А. Смит (1723–1790), наоборот, стоимость товара выражал в количестве труда, который можно обменять на товар, считая труд (как тягость для человека) абсолютно однородным. Труд, в свою очередь, измерял количеством зерна, на которое его можно обменять, поскольку выявил, что цены хлеба можно считать почти постоянными. Таким образом, стоимость товара измерялась в бушелях зерна. Д. Риккардо (1772–1823) и К. Маркс (1818–1883) выражали стоимость товара в затратах труда. А. Смит считал, что рыночная цена, которая определяется спросом и предложением, колеблется около «естественной» цены. А «естественную» цену он определял как цену, не более, чем достаточную, чтобы в долгосрочном плане возместить всю стоимость ренты, заработной платы и прибыли, которые необходимо оплатить, чтобы доставить на рынок то количество то- 55 вара, на которое есть эффективный спрос по этой цене. Итак, в классической экономической науке, которая сформировалась к концу XVIII века и развивалась до конца XIX века, сложилось представление о цене товара, которая складывается из стоимостей затрат основных факторов производства: земли, труда и капитала. В свою очередь, развивались теории заработной платы (она была связана с теорией народонаселения и теорией фондов), теория ренты, связанная с теорией убывающей отдачи земли, и теория процента, связанная с теорией предпринимательской прибыли. С другой стороны, возникло представление о «субъективной» цене, выражающей отношение субъективной эквивалентности количеств товаров или соотношение субъективных полезностей. Эти представления сложились как результаты изучения проблемы соотношения потребительной и меновой стоимости товаров и соотношения реальных рыночных цен с «естественной» ценой, которая представляла меновую стоимость. Экономисты-классики не называли «естественную» цену равновесной, но интуитивно чувствовали, что эта цена связана с особым состоянием экономики. Не понимая отчётливо, что делают, экономисты классики нестрого, на языке, скорее, образов, чем понятий, изучали динамические процессы в экономике около состояния равновесия. Классическая политическая экономия рассматривала не только процессы вблизи равновесия. Классикам фундаментальная проблема экономики представлялась как проблема роста производства при постоянном количестве земли и увеличивающемся количестве труда и капитала. Следовательно, проблема народонаселения входила в число фундаментальных экономических проблем. Поскольку темп роста экономики связывался с нормой процента на капитал, то тенденции изменения цен на факторы производства становились актуальными вопросами теории. А с рентой, заработной платой и процентом на капитал связаны формирование доходов и распределение богатства. Поэтому на первый план выходили вопросы накопления капитала и связанные с ними вопросы экономического роста [2]. 56 Традиционно экономическая наука, поставив цель установить качественные вековые закономерности роста и распределения общественного богатства, не претендовала на количественные прогнозы. Экономические доктрины предлагались как основа политики правительств, а политика выражалась в поощрении определённых социальных институтов. Например, теория меркантилистов о богатстве как запасе денег требовала добиваться устойчивого положительного сальдо торгового баланса. Кейнсианская теория занятости, процента и денег требовала всеми средствами увеличивать потребительские расходы в периоды экономического спада. Несмотря на то, что модели классической экономической науки не выдерживают критики с позиций современной методологии математического моделирования, они дали выдающиеся результаты. Например, В. Леонтьев (1906–1999) в своей нобелевской лекции 1973 года назвал прогноз К. Маркса относительно неизбежности будущей концентрации капитала выдающимся событием в истории экономической мысли. Правда, другой Нобелевский лауреат П. Самуэльсон отрицал какой-либо вклад К. Маркса в экономическую науку. Весьма эмоциональная разноголосица двух выдающихся экономистов свидетельствует, насколько теории экономической науки далеки от того, чтобы образовывать систему, представляющую общую картину экономического мира. Количественные методы анализа в экономической науке применяются с XVII века. В 1676 году английский картограф, медик и экономист У. Пети (1623–1687) в трактате «Политическая арифметика» объявил о необходимости выражать результаты изучения экономики «на языке чисел, весов и мер, ... рассматривая только причины, имеющие видимые основания в природе». Он предпринял измерения национального дохода Англии, поэтому считается основателем экономической статистики, открывшей дорогу количественным методам в экономике. Родоначальником математической экономики считают французского математика А. Курно (1801–1877), опубликовавшего в 1838 году трактат «Исследование математических принципов теории богатства». Впоследствии работа Курно получит разви- ТРУДЫ МФТИ. — 2009. — Том 1, № 4 тие, однако, современники-экономисты не отнеслись к ней всерьез. Даже через пятьдесят лет классик политической экономии А. Маршалл (1842–1924) писал, что в экономической науке математические методы играют вспомогательную роль, предоставляя серьезному экономисту возможность кратко и точно формулировать некоторые свои рассуждения и результаты. Однако его коллегам пришлось бы затратить много усилий, чтобы «расшифровать» математические символы и соотношения обратно в экономические понятия и законы, так что найдется мало желающих изучать перевод экономических доктрин на язык математики. Между тем положение изменилось коренным образом в 1860–1870 годах, когда были опубликованы работы У. Джевонса (1835–1882), К. Менгера (1840–1921), Д. Кларка (1847–1938) и Л. Вальраса (1834–1910). Сильно схематизируя развитие неоклассической теории, можно предложить такую картину. К. Менгер ввёл в экономическую теорию понятие предельной полезности благ и сформулировал фундаментальный закон убывающей предельной полезности. Согласно этому закону при прочих равных условиях каждая дополнительная единица блага полезна для потребителя, но полезность каждой дополнительной единицы блага меньше полезности предыдущей единицы. Д. Кларк ввёл понятие предельной производительности производственных факторов и сформулировал закон убывающей предельной производительности. Согласно ему при прочих главных условиях каждая дополнительная единица используемого фактора даёт прибавку производства продукта, но прибавка от каждой дополнительной единицы фактора меньше прибавки от предыдущей единицы. У. Джевонс предложил математическое выражение законов предельной полезности и предельной производительности. Законы убывающей предельной полезности и убывающей предельной производительности послужили основой неоклассических моделей потребительского спроса и производства. Исходная неоклассическая модель потребительского спроса описывает потребителя функцией U (w1 ,w2 , ..., wn ), выража- ТРУДЫ МФТИ. — 2009. — Том 1, № 4 57 ющей зависимость удовлетворения потребностей от количеств потребленных благ w1 , w2 , ..., wn . В простейшем случае одного блага согласно закону убывающей предельной полезности возрастают. Неоклассическая модель производства описывает поведение производителя решением задачи U (w) > 0, U (w) > 0, U (w) < 0 при условии y > 0. Из условия максимума следует, что при w > 0. В общем случае это — неотрицательная монотонно растущая вогнутая функция своих переменных. Неоклассическая модель потребительского спроса описывает поведение потребителя решением задачи на максимум функции полезности при бюджетном ограничении. В простейшем случае модель имеет вид: U (w) ⇒ max при условии pw S, где p > 0 — заданная цена блага, а S > 0 — заданное количество денег у потребителя. Условие задачи называется бюджетным ограничением. Решение задачи тривиально: так как U (w) — монотонно растущая функция, то w= S . p Это — функция спроса потребителя на благо, зависимость величины покупки от цены при заданном количестве денег. Важно другое — из условия максимума функции полезности следует, что U (w) = σp, (1) где σ > 0 — множитель Лагранжа к бюджетному ограничению. Поскольку решение этой задачи не зависит от величины множителя Лагранжа, то можно положить σ = 1. Оказывается, что цена блага пропорциональна предельной полезности блага. Иными словами, при заданной цене потребитель приобретает столько блага, что полезность последней единицы равна цене блага. В неоклассической модели находит естественное и ясное выражение и объяснение классическая теория «субъективной» цены. Простейшая исходная неоклассическая модель описывает производство блага y функцией затрат z (y). Согласно закону убывающей производительности z (y) > 0, z (y) > 0, z (y) > 0 при y > 0. Действительно, если каждая дополнительная единица фактора даёт все меньшую отдачу, то затраты фактора на каждую дополнительную единицу продукта py − z (y) ⇒ max p = z (y) . (2) Следовательно, цена произведённого блага равна предельным издержкам его производства. Если цена задана, то производитель создаёт столько блага, что издержки на производство последней единицы равны цене блага. Последнее выражение задает предложение блага производителем в зависимости от цены y (p). Легко понять, что это монотонно растущая вогнутая функция. Производитель получает прибыль Π = z (y) y − z (y) > 0 в силу строгой выпуклости функции z (y). Снова неоклассическая модель производства естественно и ясно объясняет классическую теорию издержек производства. Л. Вальрас предложил модель общего равновесия экономики. Если использовать современные термины, то надо сказать, что модель описывает рыночные взаимодействия множества производителей и потребителей. Производители описываются тем или иным вариантом неоклассической модели производства, то есть функциями предложения благ в зависимости от их цен. Потребители описываются той или иной неоклассической моделью потребительского спроса, из которой получаются функции спроса на блага в зависимости от их цен. В простом варианте предполагается, что потребители имеют право на заданные доли прибылей производителей — это их бюджеты. Равновесием называется такое состояние экономики, в котором потребление каждого блага обеспечивается его производством, то есть суммарное потребление каждого блага не больше его производства. Условия равновесия дают возможность определить относительные цены благ, то есть определить цены с точностью до множителя. Математические проблемы заключаются в том, чтобы выяснить условия существования равновесия и исследовать его свойства. Экономические проблемы состоят в том, чтобы интерпретировать эти условия и свойства. 58 ТРУДЫ МФТИ. — 2009. — Том 1, № 4 В нашем простейшем примере прибыль производителя принадлежит потребителю: S = Π. Условие равновесия записывается в виде y= z (y) + w, p и из него сразу следует выполнение предыдущего условия в состоянии равновесия. Равновесная цена удовлетворяет условиям (1) и (2): p = U (w) , p = z (y) . Оказывается, что в равновесном состоянии экономики цена блага равна предельным издержкам производства блага и одновременно предельной полезности блага. Модель равновесия ясно и естественно разрешает многовековую проблему соотношения потребительной и меновой стоимости и проблему «естественной» цены блага. В равновесии предельные издержки на производство блага равны его предельной полезности для потребителя. Теория общего экономического равновесия открыла дорогу математическим методам анализа в экономике. Исследование математических моделей равновесия дало краткое, четкое решение проблем соотношения меновой и потребительной стоимости, «естественных» цен с связанных с ними проблем замещения благ и производственных факторов. Были исследованы условия, при которых равновесное распределение ресурсов эффективно, и условия, при которых эффективное распределение ресурсов достигается экономическим равновесием. Однако неоклассический анализ принципиально ограничивался статическим случаем. Предполагалось, что количества производственных факторов задано. П. Самуэльсон в своей знаменитой книге «Экономика» формулирует три фундаментальные экономические проблемы: 1) какие товары производить и в каком количестве; 2) какими способами производить товары; 3) как распределять произведённые товары. В неоклассической теории главными стали проблемы оптимизации при заданных количествах ресурсов. Даже неоклассические модели экономического роста сводятся к моделям равновесия, это было показано почти сорок лет назад. Для обоснования статического подхода А. Маршалл ввёл гипотезу разделения времен. Он предполагал, что рыночные механизмы установления цен и распределения факторов производства происходят в «быстром» времени, а изменения количеств факторов и размеров рынков — в «медленном» времени. Все-таки неоклассическая теория утеряла неясные динамические соображения великих экономистов-классиков. Поэтому марксисты были правы по существу, когда критиковали «буржуазные теории субъективной полезности» за описание явлений на поверхности и отказ от изучения внутренних закономерностей экономических процессов. Неоклассическая теория рассматривает равновесие экономики как таковое, а не как особое состояние движущейся системы, в котором она, строго говоря, не бывает. В этом отношении теория равновесной экономики имеет формальное сходство с равновесной термодинамикой. Существует даже направление исследований, использующее эту аналогию, на мой взгляд, пока без особых успехов, потому что не принесло нового понимания существа экономических процессов. Тем не менее концепция экономического равновесия — одна из вершин современной экономической теории. Идея равновесности пронизывает почти все построения математической экономики. Возьмём, к примеру, очень популярную модель межотраслевого баланса. На ней основаны очень многие теоретические построения. Начнём с того, что сам автор модели межотраслевого баланса В. Леонтьев настаивал, что межотраслевые балансы — инструмент эмпирического изучения структуры экономики. В межотраслевых балансах производство представлено чистыми отраслями — экономическими агентами, которые производят однородный (чистый) продукт, затрачивая другие чистые продукты. Модель Леонтьева основана на предположении, что существуют постоянные нормы затрат aij одних продуктов на производство других продуктов, то есть затраты i-го продукта на производство j-го продукта: Vij = aij Xj , где Xj — выпуск j-го продукта. Постоянные нормы затрат описывают так называемую леонтьевскую технологию. ТРУДЫ МФТИ. — 2009. — Том 1, № 4 59 Однако эмпирически установлено, что нормы затрат меняются существенно медленнее самих выпусков, если выделено не более нескольких десятков чистых продуктов (отраслей). В современной экономике производится порядка 109 наименований продуктов. Следовательно, модель Леонтьева Xi = n aij Xj + wi , i = 1, 2, ..., n (3) j=1 получена неформальным агрегированием исходных затрат и выпусков, то есть взвешиванием ценами и сложением. Естественно потребовать, чтобы агрегирование модели Леонтьева давало бы модель Леонтьева (3). Однако при агрегировании модель Леонтьева не переходит в модель Леонтьева, поэтому сразу возникает сомнение в прикладном значении теоретической схемы. Если обобщить леонтьевскую технологию, считая, что чистый продукт производится не одной, а многими разными технологиями и что выпуск по каждой технологии ограничен производственной мощностью, то такая модель межотраслевого баланса сохраняет свой вид при агрегировании. В обобщённой модели выпуск чистого продукта задается распределением заданных производственных затрат по технологиям. Если считать, что распределение эффективно, то есть даёт максимальный выпуск, то описание производства агрегируется в неоклассическую производственную функцию, а модель межотраслевого баланса превращается в неоклассическую модель нелинейного межотраслевого баланса: w i Xi − n Vij , i = 1, 2, ..., n; j=1 n Rsj Rs , s = 1, 2, ..., k, (4) j=1 где Xi = F (V1i ,V2i , ..., Vni ; R1i ,R2i , ..., Rki ) — производственная функция, которая задает выпуск продукта в зависимости от затрат других продуктов Vji и затрат ресурсов Rsi . Показано, что производственная функция описывает поведение экономического агента «чистая отрасль» в условиях совершенной конкуренции. В других условиях то же самое распределение мощностей по технологиям в чистой отрасли будет агрегироваться иначе и даст совсем другую производственную функцию. Обобщенная модель межотраслевого баланса (4) корректна в том смысле, что она агрегируется и что ясны условия её применимости. Однако её исходное описание не реалистично — чистая отрасль, выпускающая однородный продукт. Для того, чтобы получить вполне корректную модель межотраслевого баланса, надо агрегировать отрасли, выпускающие разные продукты. Первая задача, которая возникает, — сагрегировать модель неоклассического межотраслевого баланса. Для этого надо обратиться к теории агрегирования потребительского спроса. Статистикой потребительского спроса регистрируются объёмы покупок товаров по ценам товаров за определённый промежуток времени. Возникает вопрос: можно ли этот массив статистических данных аппроксимировать неоклассической моделью потребительского спроса? Оказывается, существуют условия, при которых ответ на вопрос положителен, как говорят, потребительский спрос рационализируется. Массив торговой статистики представляет эмпирические функции спроса — зависимости величины покупок товаров от цен товаров. Группа товаров w1 , w2 , ..., wn называется отделимой, если пропорции спроса на них определяются только пропорциями цен p1 , p2 , ..., pn на них: wi (λp1 ,λp2 , ..., λpn ) wi (p1 ,p2 , ..., pn ) = , wj (p1 ,p2 , ..., pn ) wj (λp1 ,λp2 , ..., λpn ) λ > 0 для всех i, j = 1, 2, ..., n. Ставится задача об агрегировании спроса на группу отделимых продуктов в скалярный индекс спроса I (w1 ,w2 , ..., wn ), а цен продуктов — в скалярный индекс цен q (p1 ,p2 , ..., pn ). Агрегированная оценка набора потребительских продуктов с помощью индекса опирается на достаточно естественные экономические соображения. Во-первых, индекс должен сохранять масштаб потребления: при изменении покупок всех продуктов в λ раз индекс должен изменяться в 60 ТРУДЫ МФТИ. — 2009. — Том 1, № 4 λ раз. Во-вторых, индекс должен непрерывно зависеть от количеств продуктов. В-третьих, при увеличении покупок любого продукта индекс не должен уменьшаться. В-четвертых, разбиение набора продуктов в сумму двух наборов не должно приводить к увеличению индекса. На индекс спроса накладываются соответствующие априорные условия: однородности, непрерывности, монотонности и вогнутости. Индекс спроса I (w1 ,w2 , ..., wn ) и двойственный к нему индекс цен q (p1 ,p2 , ..., pn ) определяются условиями q (p1 ,p2 , ..., pn ) I (w1 ,w2 , ..., wn ) n pi w i i=1 при всех wi 0, pi 0, q (p1 ,p2 , ..., pn ) I (w1 ,w2 , ..., wn ) = = n pi wi (p1 ,p2 , ..., pn ) i=1 при всех pi 0, которые означают, что при агрегировании стоимость исходного набора продуктов не увеличивается, а стоимость набора, заданного функциями спроса, по которым построены индексы, сохраняется. Такое определение индексов эквивалентно определению индекса спроса как функции полезности в неоклассической модели потребительского спроса, решение которой с точностью до множителя даёт функции спроса, по которым строится индекс. Таким образом, если индекс спроса существует, то потребительский спрос может быть описан неоклассической моделью со специальным образом выбранной функцией полезности. Это и называется рационализируемостью спроса. Основной результат теории агрегирования потребительского спроса гласит: для отделимой группы продуктов индексы спроса и цен существуют тогда и только тогда, когда обратные функции спроса pi (w1 ,w2 , ..., wn ) существуют и удовлетворяют условиям интегрируемости Фробениуса и условию Хикса. Последнее всегда выполняется, а первое выполняется не всегда. Если выполнены условия Фробениуса, то дифференциальная форма обратных функций спроса допускает интегрирующий множитель q (p1 (w1 , ...) ,p2 (w1 , ...) , ..., pn (w1 , ...)) × ×dI (w1 ,w2 , ..., wn ) = n pi (w1 , ...)dwi . i=1 (5) Чтобы существовали индексы спроса и цен, поведение потребителей должно быть весьма регулярным: цены и спрос не должны выходить из некоторых многообразий. Иначе говоря, индексы спроса и цен характеризуют некоторые структуры потребительского поведения. Последнее соотношение по форме аналогично одной из формулировок второго закона термодинамики. По существу разница в том, что второй закон термодинамики постулируется и подвергался многократной экспериментальной проверке. Условия интегрируемости обратных функций спроса вовсе не постулируются, наоборот, возникла фундаментальная проблема проверки условий интегрируемости. Исследование проблемы привело к созданию теории выявленного предпочтения, в терминах её условия интегрируемости переформулированы в виде системы алгебраических неравенств. Созданы эффективные алгоритмы проверки, удовлетворяют ли данные торговой статистики условиям интегрируемости, можно ли аппроксимировать их неоклассическими функциями спроса. Создан и пакет прикладных программ для анализа структуры потребительского спроса. Для нашего изложения важен результат анализа потребительского спроса, который может иметь фундаментальное значение. Исследовались временные ряды за 1921–1938 годы душевого потребления продуктов питания и цен на них в Швеции. По выборкам данных о всех продуктах в разные годы периода 1921–1938 годов строились индексы спроса и потребления. Процедура состояла в том, что к временному интервалу, для которого уже были построены индексы, последовательно добавлялись следующие годы. Обнаружено, что добавление в выборку, по которой уже построены индексы, данных хотя бы одного года из интервала 1933–1935 годов приводит к нарушению условий интегрируемости. Индексы существуют толь- ТРУДЫ МФТИ. — 2009. — Том 1, № 4 ко для временного ряда 1921–1932 годов и всего временного ряда 1921–1938 годов, но с выброшенными 1933–1935 годами. Если индексы не существуют, то потребительское поведение населения Швеции не может быть рационализировано и не может быть описано макропеременными. Можно сказать, что не существует макроструктура — экономический агент «потребитель». Результат можно истолковать естественным образом: в 1933–1935 годах в Швеции резко изменялось распределение населения по потребительским группам и одновременно сильно менялась структура потребительского спроса. Вспомним, что в 1929 году случился мировой экономический кризис, за которым последовала депрессия 1929–1932 годов. По мнению экономистов, в эти годы начиналась смена технологического уклада, возникали производства новых товаров и новые потребности. Теперь вернемся к задаче агрегирования неоклассического межотраслевого баланса. Производственной функции F (V1i ,V2i , ..., Vni ; R1i ,R2i , ..., Rki ) соответствуют функции предложения продукта и спроса на производственные факторы в зависимости от цен продуктов p1 , p2 , ..., pn и цен ресурсов r1 , r2 , ..., rk . Функции предложения Wi (p1 ,p2 , ..., pn ; r1 ,r2 , ..., rk ) потребительских продуктов определяются как разность соответствующих функций предложения и спроса отраслей. Соотношения межотраслевого баланса задают множество возможных предложений потребительских продуктов. Естественно дополнить его описанием потребительского спроса. Если функции спроса допускают индекс I (w1 ,w2 , ..., wn ), то индекс можно использовать для характеризации уровня производства потребительских продуктов и поставить задачу на максимум функции I (w1 ,w2 , ..., wn ) при ограничениях неоклассического межотраслевого баланса. Это задача вогнутого программирования, она имеет решение, так как модель межотраслевого баланса продуктивна, следовательно, выполнено условие Слейтера. По теореме Куна–Таккера найдутся двойственная переменная π0 к функции 61 I (w1 ,w2 , ..., wn ), двойственные переменные πi к первым ограничениям (4) и ρs ко вторым ограничениям (4), такие, что на решении задачи wi∗ = Wi (π1 , ...; ρ1 , ...) выполнены равенства ∂I π0 ∗ = πi . ∂wi w1 = w1 .......... По определению индекса спроса (5): ∂I q (π1 , ...) = ∂wi w1 = w1 (π1 , ...) .......... = n πi wi (π1 , ...) = 1. i=1 Сравнивая последние выражения, находим, что в силу линейной однородности функции I (w1 ,w2 , ..., wn ) имеют место равенства wi∗ = Wi (π1 , ...; ρ1 , ...) = σwi (π1 ,π2 , ..., πn ) , где σ — положительное число и = q (π1 ,π2 , ..., πn ) — индекс π0 цен, двойственный к индексу спроса I (w1 ,w2 , ..., wn ). Следовательно, двойственные переменные πi можно интерпретировать как цены продуктов, а двойственные переменные ρs — как цены ресурсов, при которых и на рынке продуктов, и на рынке ресурсов спрос равен предложению. Решение задачи I (R1 ,R2 , ..., Rk ) на максимум индекса спроса обладает всеми свойствами неоклассической производственной функции. Производственной функции I (R1 ,R2 , ..., Rk ) соответствуют функции предложения продукта и функции спроса на ресурсы. Вывод: неоклассическая модель межотраслевого баланса агрегируется в чистую отрасль, описываемую неоклассической производственной функцией, при условиях: 1) экономические механизмы регулирования производства и распределения продуктов и ресурсов действуют как рыночные отношения купли–продажи в условиях совершенной конкуренции; 2) отрасли, включенные в балансы, производят конечные (потребительские) продукты, образующие отделимую группу; 3) функции спроса на конечные продукты удовлетворяют условиям интегрируемости, то есть допускают индексы. 62 Если выполнены перечисленные условия, то можно выделить макроструктуру, в которую входят n чистых отраслей производства, выпускающих отделимую группу конечных продуктов и потребители конечных продуктов. Это равновесная структура, потому что агрегированное описание её отражает детальное равновесие на рынках продуктов и ресурсов. Равенство спроса и предложения в агрегированных показателях отражает равенство спроса и предложения в исходных, детальных показателях. Создается представление, что модели межотраслевого баланса описывают производство, распределение и потребление продуктов равновесными макроструктурами. Сами макроструктуры зависят от того, каковы есть механизмы регулирования производства, обменов и распределения. В свою очередь, механизмы отражают экономические отношения, сложившиеся в экономике. В нашем примере это были отношения совершенной конкуренции. Поскольку структура модели экономики задается уравнениями материальных и финансовых балансов, то ясно, что главная задача — описать экономические отношения и выделить экономических агентов, макроструктуры состояния которых задает состояние экономики. Можно рассчитывать только на то, что модель будет верна, пока сохраняются экономические отношения, в ней описанные. Если нарушаются условия интегрируемости функций спроса, то макроструктуры не существуют. Есть основания предполагать, что это случается в периоды слома одного экономического уклада и перехода к другому укладу. Среди самых разных специалистов популярны соображения о точках бифуркации в развитии эволюционирующих систем. По-видимому, разрушение равновесных структур являются теми событиями, которые обозначаются словом «бифуркация». В такие периоды надо очень тщательно подходить к созданию макромоделей экономики. Например, эмпирически установлено, что чем шире набор продуктов, тем больше шансов, что спрос на него можно описать индексами. А это означает, что в переходные периоды сильно агрегированные модели, которыми описывается производство ВВП и обращение его составляющих, будут точнее, ТРУДЫ МФТИ. — 2009. — Том 1, № 4 чем модели, которыми описывается отраслевая структура производства и распределения. Представленные соображения сложились на опыте создания моделей системного анализа развивающейся экономики [3]. Исследования в этом направлении много лет проводятся на базовой кафедре МФТИ в Вычислительном центре им. А.А. Дородницына РАН и продолжаются на кафедре «Анализ систем и решений» ФУПМ МФТИ. С помощью моделей был проанализирован ход перестройки и реформы экономики нашей страны с 1988 года, когда были приняты первые пагубные законы о социалистическом предприятии и о кооперации [6]. Было показано, что структуры, возникавшие на последовательных этапах перехода к рыночным отношениям, отражали поведение и взаимодействия экономических агентов, действующих рационально в соответствии со своими интересами. С 1988 года в стране непрерывно изменялись экономические отношения. После того как в 1992 году началась экономическая реформа, эволюция экономических отношений прошла несколько этапов. В период высокой инфляции 1992–1996 годов рыночные отношения проникли в сферу обращения (торговли и финансов), но практически не затронули сферы производства. Система коммерческих банков только создавалась, вершину экономической иерархии занимали экспортеры и импортеры. В период финансовой стабилизации 1996–1998 годов рыночные отношения проникли в сферу производства. Была создана система коммерческих банков, но финансовый рынок был сильно сегментирован, и возникли неформальные финансово-промышленные группы. После кризиса 1998 года начали создаваться крупные интегрированные компании, регулирующие производство и обращение продуктов. Соответственно, на каждом этапе экономика описывалась моделью, которая отражала особенности сложившихся экономических отношений. Модели идентифицировались по статистическим данным Роскомстата и облкомстатов. С помощью моделей были проанализированы качественные особенности состояния экономики России и получены состоятельные количественные оценки. Ин- ТРУДЫ МФТИ. — 2009. — Том 1, № 4 тересное наблюдение: по модели можно было судить о том, что экономические отношения начинают изменяться. В это время приходилось изменять параметры модели, чтобы получить удовлетворительное согласие модели с данными экономической статистики. Два примера показывают, какие качественные результаты и количественные оценки были получены с помощью моделей, построенных по принципам системного анализа развивающейся экономики. В 1996 году была создана модель экономики Свердловской области по заказу Управления ЦБ по Свердловской области [4]. Согласно техническому заданию модель описывала производство, кредитно-денежную систему, денежное обращение, бюджет и социальную сферу области. Главной задачей областного управления ЦБ было регулировать денежную массу в обращении. На рис. 1 показаны графики денежной массы в обращении, спрогнозированной с помощью модели, и реальной денежной массы. Количественное согласие модельного и статистического временных рядов вполне удовлетворительное. 63 ной реакцией производителей в условиях сложившихся экономических отношений. На рис. 2 показана зависимость реального потребления населения от доли неплатежей в цене продукции, рассчитанная с помощью модели. До определённого уровня рост неплатежей увеличивает уровень реального потребления, который можно считать характеристикой эффективности экономики. Максимум показателя как раз соответствует реальной величине неплатежей (она на рис. 2 отмечена вертикальной линией). Стало ясно, почему простыми административными мерами не удавалось ликвидировать неплатежи. Рис. 2 Рис. 1 Кроме количественных оценок с помощью модели были получены интересные качественные результаты. Вот один из них. В тот период предприятия испытывали недостаток оборотных средств и компенсировали его взаимными неплатежами. Правительство безуспешно пыталось бороться с неплатежами административными мерами. С помощью модели было показано, что неплатежи являются адаптив- В 2004 году по заказу Главного научноисследовательского вычислительного центра Федерального агентства по налогам и сборам была создана модель экономики России для оценки теневого оборота и полной налогооблагаемой базы экономики страны [5]. В модели были описаны экономические отношения, сложившиеся в нашей стране после 1998 года. Это была первая модель, в которой явным образом были отделены собственники капитала, регулирующие финансовые потоки, от менеджеров, управляющих производством в интересах компании. Подобные экономические отношения характерны для современных холдингов. В агрегированном виде в модели были описаны сектор производства, кредитноденежный сектор и социальная сфера. Явным образом описаны каналы легального и теневого оборота денег и механизм распределения оборота по обоим каналам. Модель дала яркий качественный результат. 64 ТРУДЫ МФТИ. — 2009. — Том 1, № 4 Анализ модели показал, что она описывает три альтернативных режима эволюции экономики. В первом режиме и сектор производства, и кредитно-денежный сектор обладают собственным капиталом (собственный капитал в основном состоит из накопленной нераспределенной прибыли после всех вычетов из нее). Во втором режиме только сектор производства обладает собственным капиталом, а кредитноденежный сектор работает на привлеченных денежных ресурсах. В третьем режиме собственным капиталом обладает только кредитно-денежный сектор, а сектор производства функционирует за счёт заемных средств. При верификации модели по статистическим данным об экономике России первые два режима показали экономически бессмысленные результаты, а третий режим дал хорошие количественные оценки. Модель выявила характерную качественную особенность современной российской экономики — концентрацию капитала в банковской сфере и недостаток капитала в секторе производства. шаются денежные расходы потребителей, а государство не все налоги тратит на потребление (рис. 3). Не так очевидно, что увеличение ставки подоходного налога до определённой величины увеличивает ВВП и производственные инвестиции, а потом их снижает (рис. 3). С помощью модели выявлена рациональная величина ставки подоходного налога. На рис. 4 видно, что увеличение ставки социального налога не только увеличивает поступление этих денег в бюджет, но и приводит к увеличению теневой зарплаты. При этом сначала сокращаются поступления в бюджет денег от налога на прибыль, но сокращаются немонотонно. Рис. 4 На рис. 5 показаны графики оцененного моделью временного ряда темпа инфляции и статистического ряда темпа инфляции. И в этом случае модель даёт вполне удовлетворительные количественные оценки. Рис. 3 С помощью модели выявлены нетривиальные зависимости влияния ставок налогов на собираемость налогов. Они представлены на рис. 3 и рис. 4. На рисунках показаны изменения макроэкономических показателей по отношению с базовым значениям вследствие вариации ставок налогов по отношению к базовым значениям. В качестве базовых приняты существовавшие ставки налогов. Естественно, что повышение ставки подоходного налога снижает темп инфляции, потому что умень- Рис. 5 Можно утверждать, что макромодель экономики, в которой правильно отражены сложившиеся экономические отношения, является хорошим инструментом анализа состояния экономики, прогноза её ТРУДЫ МФТИ. — 2009. — Том 1, № 4 развития и оценки последствий выполнения крупных экономических программ и последствий экономической политики. Но пока и поскольку сохраняются экономические отношения, которые модель отражает. Если экономические отношения изменились, то надо строить новую модель. В связи с этим стоит фундаментальная проблема, она ждет решения. Как описать область устойчивости равновесных макроструктур, условия, при которых они начинают разрушаться? Это совершенно новая постановка задачи об устойчивости экономической системы. Чтобы решить задачу, надо уже в исходных детальных описаниях отказаться от концепции равновесности. Если бы удалось предложить адекватный подход к решению задачи устойчивости макроструктур экономики, это было бы достижением фундаментального значения. В конце вернемся к постановке проблемы эволюции экономики в классической политической экономии. В современных терминах это проблема долгосрочного прогнозирования экономики. Обычно, обсуждая эту проблему, специалисты главное внимание обращают на запасы невозобновимых ресурсов, новые технологии, новые материалы, в конце концов, на демографические сдвиги. Действительно, от них будущее может зависеть критическим образом. Однако не обращают внимание на эволюцию экономических отношений, а от них будущее зависит в не меньшей степени. Достаточно представить себе, что в 1970 году строится долгосрочный прогноз развития советской экономики до 2010 года. Пока ясно, что адекватную модель экономики можно создать, разобравшись со сложившимися экономическими отношениями и внимательно наблюдая за их изменениями. Можно ли предвидеть, как сло- 65 жатся новые экономические отношения, — вопрос остаётся открытым. Ясно и другое, чтобы правильно предсказывать достаточно отдаленное будущее, надо непрерывно вести опережающие проблемно ориентированные системные исследования состояния экономики и методов математического моделирования экономики. Работа выполнена при финансовой поддержке по программе государственной поддержки ведущих научных школ (код проекта НШ-2982.2008.1), ПФИ Президиума РАН П-2, ПФИ ОМН РАН № 3. Литература 1. Шумпетер Й.А. История экономического анализа. В 3-х т. / пер. с англ; Под ред. В.С. Автономова. — СПб.: Экономическая школа, 2004. — Т. 1. LVI. — 496 с. 2. Блауг М. Экономическая мысль в ретроспективе / пер. с англ. — 4-е изд. — М.: Дело Лтд, 1994. — 720 с. 3. Петров А.А. Об экономике языком математики. — М.: Фазис ВЦ РАН, 2003. — VIII. — 112 c. 4. Петров А.А., Поспелов И.Г., Шананин А.А. От Госплана к неэффективному рынку: Математический анализ эволюции российских экономических структур. — The Tdwin Mellen Press LewistonQueenston-Lampeter, 1999. — 392 с. 5. Андреев М.Ю., Поспелов И.Г., Поспелова И.И. [и др.]. Новая технология моделирования экономики и модель современной экономики России. — М.: МИФИ, 2007. — 262 с. 6. Петров А.А. Анализ перестройки и реформы российской экономики методами математического моделирования // Экономическая наука современной России. — 1999. — № 4. — С. 4–44. Поступила в редакцию 15.09.2009.
