Теория потребительского выбора в условиях определенности - 2: функция полезности Примеры предпочтений

Факультет мировой экономики
и мировой политики НИУ ВШЭ,
2011-2012
Ю.В. Автономов
Теория потребительского выбора
в условиях определенности - 2:
функция полезности
¾Примеры предпочтений
¾Предельная норма замещения и
предельная полезность
¾Функция полезности
Примеры предпочтений - 1
Линейные кривые безразличия: блага 1 и 2 являются
совершенными субститутами
x2
a
x1
Пример: бумага в пачках по 500 листов, и в коробках по 5000 листов.
Если x1 – это пачки, а x2 – коробки, чему был бы равен тангенс угла
наклона кривых безразличия (tgα)?
Примеры предпочтений - 2
«Леонтьевские» предпочтения: блага 1 и 2 являются
совершенными комплементами
x2
x1
Пример: правые и левые ботинки.
Примеры предпочтений - 3
Одно из благ является антиблагом
x2
x1
Пример: время спуска со склона и время, проведенное затем на
горнолыжном подъемнике.
Какое из благ на графике выше является антиблагом?
Примеры предпочтений - 4
Предпочтения с «точкой насыщения»
x2
x1
Пример: предпочтения посетительницы фитнесс-центра относительно
своей фигуры.
Предельная норма замещения: определение
Пусть x, y e X, x ~ y – потребительские наборы,
различающиеся всего двумя компонентами:
xi + ∆xi = yi, xj + ∆xj = yj, i,j e [0, L], i ≠ j,
где ∆xi, ∆xj – предельно малые величины.
Будем называть отношение
Δx j
Δxi
предельной нормой замещения блага i благом j
( MRS )
xi x j
Экономический смысл предельной нормы
замещения:
– это такое количество блага j,
которое необходимо дать
потребителю взамен одной единицы блага i,
чтобы его полезность осталась неизменной.
MRS xi x j
Чему для вас равнялась бы предельная норма
замещения доллара рублем?
Графическая интерпретация MRS
x2
α
Δx2
Δx1
Δx 2
= tgα
MRS12 =
Δx1
NB! tgα < 0
x1
Обратите внимание: для этих предпочтений
|MRS12| непрерывно убывает по мере роста
потребления блага 1!
Это важный факт. Попробуйте
интерпретировать его своими словами.
От иерархии (’) к количественному
измерению (¥): функция полезности
Будем называть U(.) функцией полезности,
отражающей предочтения ’, если,
для " x, y e X:
если x  y, U(x) > U(y)
если x ~ y, U(x) = U(y)
NB!
если U(.) – функция полезности, соответствующая
предпочтениям ’, любая функция V(U(.)), где V(.)
монотонно возрастающая функция, также соответствует
этим предпочтениям!
Тот факт, что функция полезности
определяется с точностью до
положительного монотонного
преобразования, отражает
т.н. порядковый (ординалистский)
характер теории полезности в
неоклассической микроэкономике:
Функция полезности позволяет сказать, что один
потребительский набор нравится человеку
больше другого – но не позволяет оценить,
насколько больше.
Функция полезности позволяет нам взглянуть иначе на
уже знакомые понятия кривых безразличия и MRS Î
Кривые безразличия можно интерпретировать
как линии уровня функции полезности:
Примеры функций полезности:
функция полезности вида Кобба-Дугласа
α
β
u( x1 , x2 ) = x1 x2 , α > 0, β > 0
Охарактеризуйте
закономерность
изменения MRS для
таких предпочтений.
Линейная функция полезности:
u ( x1 , x2 ) = α x1 + β x2 , α > 0, β > 0
Леонтьевская функция полезности:
u ( x1 , x2 ) = min{α x1 ; β x2 }, α > 0, β > 0
y
x
Квазилинейная функция полезности:
u ( x1 , x 2 ) = x1 + v( x 2 )
где v(x2) – любая
непрерывная
функция.
На этом графике
v( x) = x
Î
Теперь мы также можем придать новый смысл определению
MRS. Нам уже известно, что MRS12 – это:
• «минимальное количество блага 2, которое
потребитель обменял бы на единицу блага 1»
• или, «предельная готовность платить за благо 1 в
терминах блага 2»,
• или «тангенс угла наклона касательной к кривой
безразличия, изображенной на графике, где благо 1
отложено по горизонтальной, а 2 – по вертикальной
оси»,
• или, наконец, «Dx2/Dx1 где Dx2 и Dx1 таковы, что
уровень полезности не меняется»
MRS легко определяется и в терминах функции полезности, но для
этого нам необходимо определить еще одно понятие Î
Предельная полезность
Пусть u(x1,…,xL) – дифференцируемая функция
полезности. Будем называть предельной полезностью
i-того блага (marginal utility) следующее отношение:
u ( x1 ,..., xi + Δxi ,..., x L ) − u ( x1 ,..., xi ,..., x L )
MU i =
Δx i
где ∆xi – малая величина (ее также обычно считают
положительной).
Именно настолько изменяется общая полезность
потребителя при изменении количества i-того блага на
одну единицу.
Для предельно малых ∆xi :
∂u ( x1 ,...x L )
MU i =
∂xi
Благо 2
dx2
x
dx1
0
1) Отнимая у человека dx1
единиц блага 1, мы должны
добавить ему dx2 единиц блага
2 (если хотим, чтобы его
полезность не поменялась).
Благо 1
2) От потери dx1 блага 1,
полезность изменится на
величину – dx1*MU1
3) От приобретения dx2 блага 2, полезность изменится на
величину dx2*MU2
4) Чтобы полезность потребителя не изменилась:
dx2*MU2 = dx1*MU1 Î MRS12 = dx2/dx1 = – MU1/MU2
Этот результат можно получить более строгим и
элегантным способом, если вспомнить
теорему о производной неявной функции:
Она говорит, что если f(x1,x2) = a, и f(.)
дифференцируема по обоим аргументам,
∂f ( x1 , x2 )
dx1
∂x2
=−
∂f ( x1 , x2 )
dx2
∂x1
Применив эту теорему к уравнению кривой безразличия,
вы легко получите нужный результат.