АНАЛИЗ ПОТРЕБИТЕЛЬСКОГО ВЫБОРА НА ПРИМЕРЕ ... ФНКЦИИ ПОЛЕЗНОСТИ Логунова Ю.А. Самарский государственный экономический университет

АНАЛИЗ
ПОТРЕБИТЕЛЬСКОГО
ВЫБОРА
НА
ПРИМЕРЕ
ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ
ФНКЦИИ ПОЛЕЗНОСТИ
Логунова Ю.А.
Самарский государственный экономический университет
Самара, Россия
THE ANALYSIS OF CONSUMER CHOICE BY THE EXAMPLE OF LOGARITHMIC
UTILITY FUNCTION
Logunova Y.A.
Samara State University of Economics
Samara, Russia
Полезность — свойство блага удовлетворять потребности человека. На проблему
полезности впервые обратили внимание в маржиналисткой экономической теории, а в
оборот это понятие ввёл английский экономист и философ Джереми Бентам.
Целью данной научной работы является изучение потребительской полезности с помощью
математических моделей, которые способствуют наилучшему изучению экономических
проблем. Авторы многих учебных пособий по микроэкономике, в рамках которой как раз
изучается теория полезности, функцию полезности представляют в виде функции КоббаДугласа, то есть как показательную функцию вида: , = ,, > 0, + < 1
В этой же работе мы собираемся исследовать проблему полезности потребителя,
используя логарифмическую функцию, а затем при помощи функции известного
французского математика, Жозефа Луи Лагранжа, найти оптимальный набор двух благ для
потребителя, бюджетное ограничение которого примерно равно средней стипендии
студентов, чтобы сделать научную работу более актуальной.
Существует
несколько
подходов
к
рассмотрению
и
измерению
полезности:
кардиналистский подход Менгера, Вальраса и Маршалла и ординалистский подход, которого
придерживались такие учёные, как Парето, Хикс, Эджуорт и Слуцкий. Первый предполагает,
что полезность можно количественно измерить, как и любую другую величину: массу,
длину, силу – с помощью условных единиц – ютилей. Но в отличие от существующих
эталонов одного метра или одного килограмма, нельзя составить эталон одного ютиля.
Поэтому, на наш взгляд, более объективным является второй подход, или порядковая теория,
который не требует от потребителя количественного измерения уровня полезности того или
иного блага, а лишь предполагает, что потребитель должен расположить для себя все блага
упорядоченно, ориентируясь на такие категории, как предпочтение и безразличие. Причем
сам потребительский выбор характеризуется определенной независимостью, то есть на него
влияют лишь цены товаров и собственные желания покупателя. В рамках этого подхода и
будет рассматриваться проблема полезности в данной работе.
Логарифмическая функция полезности потребителя для двух экономических благ имеет
следующий общий вид: , = ln − + ln − , > 0, > ≥ 0. В
формуле: , – вклад товара в общую полезность, а , – коэффициенты, определяющие
количество товаров, при котором потребитель ощущает неудовлетворенность потребности.
Очевидно, что потребности людей безграничны, и их могут удовлетворить самые
разнообразные наборы экономических благ. Для простоты в данной работе будет
использоваться допущение, что потребитель тратит весь свой доход полностью (не
учитывается возможность создания накоплений) на приобретение лишь двух товаров: и ,
где, например, – шоколад, а – ватрушка. Пусть коэффициенты функции полезности
определены следующим образом: = 2, = 1; = 1, = 2. В таком случае наша
функция полезности примет следующий вид: , = 2 ln − 1 + ln − 2.
Рассмотрим свойства полученной функции полезности.
1) Предельной полезностью называется дополнительная полезность, которую получает
потребитель при потреблении каждой последующей единицы экономического блага.
Известно, что численно предельная полезность равна первым частным производным
функции полезности; найдём их: ′ =
!
=
, ′ # =
"
!
#
=
# "
. Из формулы
логарифмической функции очевидно, что обе частные производные являются
положительными. То есть функция полезности является возрастающей (по
достаточному условию возрастания функции). Значит, с ростом потребления блага,
общая полезность, получаемая потребителем, увеличивается.
2) Найдем для нашей функции полезности производные второго порядка: ′′ =
"
"#
, ′′ # # =
#!
##
= "
#
# "
#!
#
=
. Получается, частные производные второго порядка
являются отрицательными. Отсюда следует, что график нашей функции полезности
имеет выпуклую форму. Выходит, что предельные полезности товаров уменьшаются
по мере увеличения объёмов и потребления. Этот вывод является первым законом
немецкого экономиста Госсена, или законом убывающей предельной полезности.
3) Теперь найдём смешанные частные производные второго порядка логарифмической
функции полезности: ′′ # = ′′ # =
#!
#
= 0 . Это говорит о том, что в нашем
примере блага и являются совершенными субститутами, или, иначе говоря,
обладают абсолютной взаимозаменяемостью. Хотя обычно вторая смешанная
производная является положительной, что свидетельствует о том, что предельная
полезность каждого блага увеличивается по мере увеличения потребления другого
блага, так как его относительное количество по сравнению с другим товаром
уменьшается, а ценность, наоборот, возрастает.
Известно, что линия уровня функции – геометрическое место точек плоскости , , в
которых функция принимает одно и то же значение. Для функции полезности такой линией
уровня является кривая безразличия. Кривая безразличия – график, показывающий
различные комбинации наборов благ, которые приносят потребителю одинаковый уровень
удовлетворения потребностей, или одинаковую полезность. Общий вид кривых безразличия
следующий: , = $%&'(. Карта кривых безразличия – совокупность кривых
безразличия, имеющих разные уровни полезности.
Из указанного выше уравнения следует, что кривые безразличия, имеющие разные уровни
полезности, не касаются и не пересекаются. Точка, расположенная выше и правее обладает
большей полезностью для потребителя, чем точка, лежащая левее и ниже, так как она
подразумевает бо′ льшееколичество обоих благ. Для рассмотрения остальных свойств кривой
безразличия мы построим график.
Пусть уровень удовлетворения потребности равен единице. Также для удобства
исследования кривой безразличия обозначим за x, а за y, тогда уравнение кривой
безразличия для нашей функции примет следующий вид: 2 ln − 1 + ln ) − 2 = 1.
Выразим из полученного уравнения y через x (ОДЗ: x> 1, y> 2):
2 ln − 1 + ln ) − 2 = 1;
ln − 1 ) − 2 = ln * ;
y= + =
,
"#
+2
Построим график полученной функции с одной переменной.
1) D(y)=(1; +∞);
2) y(− ≠ ) ≠ −), значит, функция не является ни чётной, ни нечётной;
3) функция не является периодической;
4) x= 1 –точка разрыва.
lim 2
→"1
lim 2
→41
*
+ 23 = ∞
− 1
*
+ 23 = ∞
− 1
значит, x=1 – вертикальная асимптота;
5) ) ′ ="5 , точек экстремума не существует;
",
6) ) ′′ =
6,
"7
, точек перегиба не существует;
7) lim 8"# + 29 = 2
→∞
,
Значит, y=2 – горизонтальная асимптота;
8) E(y) = (2; +∞)
Тогда график функции y=+ = "# + 2 будет выглядеть следующим образом:
,
При исследовании кривой безразличия, считая, что уровень полезности равен 1, мы
выразили благо через благо (или y через x), получив функцию y= +. Первая
производная этой функции будет равна: ) ′ = ′ = :# = −
:
!
;
!
#
!′ = − !<′ .
<#
!′ Основываясь на это выражение, можно получить следующее равенство: − ∆# > !<′ . Оно
∆
<#
показывает, от какого количества одного блага потребителю придётся отказаться, при
увеличении потребления другого на единицу при прочих равных условиях. Отношение − ∆#
называется нормой замены второго блага первым, а
:#
:
∆
= @AB # − предельной нормой
замещения второго товара первым (от англ. Marginal Rate of Substitution).
Если кривая безразличия отражает желания потребителя, то для того, чтобы определить
возможности потребителя, вводится понятие бюджетной линии или прямой расходов. Это
график, показывающий, какие количества благ, в нашем случае: товаров и , потребитель
может приобрести при данном уровне дохода. Уравнение бюджетной линии в общем виде
записывается следующим образом: C + C = D, где C , C – цены благ и соответственно, а I –доход потребителя.
Теория потребительского поведения предполагает, что основная цель потребителя –
максимизация своей общей полезности от имеющегося набора благ в условиях
ограниченного денежного дохода. Когда потребителю удаётся купить количества обоих благ
в соотношении, которое принесло бы ему наибольшее удовлетворение, считается, что он
попадает в состояние равновесия. Известно, что равновесие потребителя достигается в точки
касания его кривой безразличия и бюджетной линии.
В общем виде задача рационального поведения потребителя для двух благ записывается
следующим образом: нужно найти оптимальный набор благ = , , для которого
выполняются следующие условия:
= , → E,
C + C = D,
≥ 0, F = 1, 2.
Для решения этой задачи принято пользоваться методом Лагранжа. Для этого необходимо
составить функцию Лагранжа для нашей функции полезности: G , , H = 2 ln − 1 +
ln − 2 + HD − C − C → E
2
MG
L
=
− λp = 0,
M − 1
J
J
MG
1
=
− λp = 0,
K M − 2
J
JMG
IMλ = D − C − C = 0;
2
= λp ,
L
J − 1
1
= λp ,
K
J − 2
IC + C = D;
2 − 2 C
= ,
O − 1
C
C + C = D;
Пусть C = 100д. ед. – цена 1 шоколадки, C = 50д. ед. –цена 1 ватрушки, а I = 1550 д.ед.,
то:
2 − 2
= 2,
O
− 1
100 + 50 = 1550;
Решив систему, получаем, что = 10, = 11.
Получается, при доходе студента в 1550 д.ед., ценам шоколада и ватрушек соответственно
100 и 50 д.ед. и функции полезности , = 2 ln − 1 + ln − 2 оптимальным
набором потребительских благ для него будет набор, состоящий из 10 шоколадок и 11
ватрушек.
Таким образом, исследовав логарифмическую функцию полезности в рамках теории
рационального поведения потребителя, мы выяснили, что её графиком является убывающая
линия с отрицательным углом наклона, выпуклая относительно начала координат. Для того
чтобы определить оптимальный набор обоих благ: плиток шоколада и количества ватрушек,
с учётом денежного ограничения, равного доходу потребителя, – мы использовали метод
Лагранжа для функции двух переменных, а затем решили систему уравнений с двумя
переменными.
Литература:
1. Макаров С.И., Экономико-математические методы и модели: учебное пособие/ кол.
авторов; под ред. С.И. Макарова – М.: КОНКУРС, 2007Г. – 232 с.
2. Нуреев Р.М., Курс микроэкономики: Учебник для вузов. – 3 изд., испр. и доп. – М.:
Норма: Инфра-М, 2014. – 656 с.