Экономики с инновационными товарами∗

Ýêîíîìèêè ñ èííîâàöèîííûìè òîâàðàìè∗
Â.È.Äàíèëîâ, Ã.À.Êîøåâîé
Àííîòàöèÿ
 ðàáîòå îáñóæäàåòñÿ ïîíÿòèå ðàâíîâåñèÿ â ýêîíîìèêå, â êîòîðîé ïðèñóòñòâóþò òàê íàçûâàåòìûå èíòåëëåêòóàëüíûå òîâàðû, òî åñòü òàêèå òîâàðû, êîòîðûå íå ðàñõîäóþòñÿ â ðåçóëüòàòå èõ ïîòðåáëåíèÿ. Ïî ïðè÷èíå
íåâûïóêëîñòè ðàâíîâåñèé â òàêîé ýêîíîìèêå â îáùåì ñëó÷àå íåò. Îáñóæäàåòñÿ íåñêîëüêî äîâîëüíî òîíêèõ óñëîâèé, äîñòàòî÷íûõ äëÿ ñóùåñòâîâàíèÿ
ðàâíîâåñèé.
1
Ââåäåíèå
Íåñîìíåííûì ôàêòîì ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî ýêîíîìèêè âûñîêîðàçâèòûõ ñòðàí âêëþ÷àþò â ñåáÿ ñåêòîðà ñ òîâàðàìè, â êîòîðûõ áîëüøóþ ÷àñòü ïðîèçâîäñòâåííûõ
èçäåðæåê ñîñòàâëÿåò èíòåëëåêòóàëüíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ: òåëåêîììóíèêàöèîííàÿ
èíäóñòðèÿ, êîìïüþòåðíàÿ è òàê äàëåå. Äëÿ êðàòêîñòè è îïðåäåëåííîñòè ìû áóäåì íàçûâàòü òàêèå òîâàðû È-òîâàðàìè; â áóêâå È îáúåäèíÿþòñÿ òðè ÷åðòû:
èííîâàöèè, èíôîðìàöèÿ è èíòåëëåêòóàëüíîñòü. Ãëàâíàÿ îñîáåííîñòü È-òîâàðîâ,
îòëè÷àþùàÿ èõ îò îáû÷íûõ òîâàðîâ èõ íåðàñõîäóåìîñòü. Áóäó÷è ñîçäàííûìè
ðàç, îíè íå èñ÷åçàþò â ïðîöåññå ïîòðåáëåíèÿ. Â. Ë. Ìàêàðîâ åùå â 1973 ãîäó
ïðåäëîæèë ïîäõîä ê ìîäåëèðîâàíèþ ýêîíîìèê ñ òàêèìè òîâàðàìè. Â 1989 ãîäó
îí ðàññêàçûâàë ýòó ìîäåëü íà ñåìèíàðå ïî ìàòåìàòè÷åñêîé ýêîíîìèêå â ÖÝÌÈ;
â ïå÷àòíîì âèäå ìîäåëü ïîÿâèëàñü â 1991 ãîäó ([11]). Ýððîó â ([1]) ïðåäëîæèë
èíôîðìàöèîííóþ òåîðèþ ñòîèìîñòè, êîòîðàÿ âî ìíîãîì ïåðåêëèêàëàñü ñ ïîäõîäîì Â.Ë. Ìàêàðîâà.
Ìîäåëü Ìàêàðîâà ïîëó÷èëà ðàçâèòèå ðàáîòàõ [4, 5, 6], ñì. òàêæå [7, 8], â
êîòîðûõ áûëè èññëåäîâàíû âîïðîñû ñóùåñòâîâàíèÿ ðàâíîâåñèé â ýêîíîìèêàõ ñ
È-òîâàðàìè. Çäåñü ìû õîòèì ðàññêàçàòü î ïîëó÷åííûõ è íåêîòîðûõ íîâûõ ðåçóëüòàòàõ â ýòîì íàïðàâëåíèè. Ìû íå áóäåì îòâëåêàòüñÿ íà ðàçíûå òîíêîñòè, à
ñîñðåäîòî÷èì âíèìàíèå íà ïðèíöèïèàëüíûõ âîïðîñàõ, îòëè÷àþùèõ òàêèå ìîäåëè îò ìîäåëåé îáû÷íûõ òîâàðîâ.
Ãëàâíûõ îòëè÷èé È-òîâàðîâ îò îáû÷íûõ äâà. Ïåðâîå è ãëàâíîå - óæå óïîìèíàâøàÿñÿ íåðàñõîäóåìîñòü. Áóäó÷è åäèíîæäû ñîçäàí, È-òîâàð ìîæåò, íå òåðÿÿ
ñâîèõ êà÷åñòâ, èñïîëüçîâàòüñÿ ìíîãèìè ïîòðåáèòåëÿìè ñíîâà è ñíîâà. Îïåðàöèÿ
∗
Ðàáîòà âûïîëíåíà ïðè ôèíàíñîâîé ïîääåðæêå ãðàíòà ãîñóäàðñòâåííîé ïîääåðæêè Âåäó-
ùèõ íàó÷íûõ øêîë ÐÔ ÍØ-929.2008.6.
1
ñëîæåíèÿ òàêèõ òîâàðîâ èäåìïîòåíòíà, òàê ÷òî ìíîæåñòâî È-òîâàðîâ îáðàçóåò
ðåøåòêó â îòëè÷èå îò âåêòîðíîãî ïðîñòðàíñòâà. Íàïðèìåð, êîãäà Ýððîó ([1])
ãîâîðèò îá àëãåáðå èíôîðìàöèîííûõ òîâàðàõ, îí èìååò â âèäó ñòðóêòóðó ïîëóðåøåòêè òàêèõ òîâàðîâ. Âòîðàÿ õïîïêòåðíàÿ ÷åðòà çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî
ñòîèìîñòü êîïèðîâàíèÿ È-òîâàðà îáû÷íî íàìíîãî ìåíüøå çàòðàò íà ñîçäàíèå
(èçîáðåòåíèå, äîâåäåíèå äî òîâàðíîãî âèäà) ýòîãî òîâàðà. Äëÿ ïðîñòîòû ìû äàëåå áóäåì äàæå ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ñòîèìîñòü êîïèðîâàíèÿ ðàâíà íóëþ (áîëåå
îáùèé ñëó÷àé ðàññìîòðåí â [4, 6]).
 ìîäåëè ìû ïðåäïîëàãàåì íàëè÷èå îäíîãî äåëèìîãî òîâàðà äåíåã, êîòîðûå
îòðàæàþò àãðåãèðîâàííî ÷àñòü ýêîíîìèêè ñ îáû÷íûìè òîâàðàìè. Òàê ÷òî ïðîñòðàíñòâî òîâàðîâ â ìîäåëè ïðîèçâåäåíèå ðåøåòêè è äåéñòâèòåëüíîé ïðÿìîé.
Ïðîèçâîäèòåëè ñîçäàþò èíôîðìàöèîííûå òîâàðû. Ñîçäàâ òîâàð, ïðîèçâîäèòåëü
ñòàíîâèòñÿ è ñîáñòâåííèêîì âñåõ åãî êîïèé, ïðîèçâîäñòâî êîïèé áåñïëàòíî. Ïîòðåáèòåëè ïîêóïàþò êîïèè èíôîðìàöèîíûõ òîâàðîâ.
Ìû çàäàåì ïðîèçâîäèòåëåé ÷åðåç èõ ôóíêöèè èçäåðæåê, ïîòðåáèòåëåé ôóíêöèÿìè ïîëåçíîñòè.
Âàæíûì ïðåäïîëîæåíèåì ìîäåëè ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî êóïèòü òîâàð ìîæíî òîëüêî ó ñîáñòâåííèêà òîâàðà (ïðîèçâîäèòåëÿ) è åãî íåëüçÿ ïåðåïðîäàâàòü. Áåç òàêîãî
ïðåäïîëîæåíèÿ îá îõðàíå àâòîðñêèõ ïðàâ ñëîæíî îæèäàòü, ÷òî ñâîáîäíûé ðûíîê
ïðèâåäåò ê îïòèìàëüíîìó ðàñïðåäåëåíèþ. Â ýòîì ïðîÿâëÿåòñÿ ñïåöèôèêà èíôîðìàöèîííûõ òîâàðîâ ñëîæíîñòü ïðîèçâîäñòâà è ëåãêîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ.
Òàêàÿ ëåãêîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ íå ñòèìóëèðóåò ïðîèçâîäñòâî ïðè îòñóòñòâèè
îõðàíû àâòîðñêèõ ïðàâ. Ïðèâåäåì ïðîñòîé ïðèìåð.
Ïóñòü åñòü îäèí È-òîâàð, îäèí ïðîèçâîäèòåëü è äâà ïîêóïàòåëÿ. Ïóñòü èçäåðæêè ïðîèçâîäñòâà òîâàðà ðàâíû 18$, ïåðâûé ïîêóïàòåëü ãîòîâ çàïëàòèòü çà
òîâàð íå áîëüøå 5$, âòîðîé íå áîëüøå 15$. Â ýòîé ñèòóàöèè íå ñóùåñòâóåò
ðàâíîâåñèÿ ñ öåíàìè íà òîâàð, îäèíàêîâûìè äëÿ îáîèõ ïîêóïàòåëåé. Âñàìîì äåëå, öåíà íå ìîæåò áûòü áîëüøå 15 (èíà÷å íèêòî íå êóïèò). Öåíà íå ìîæåò áûòü
ìåíüøå 5 (íèêòî íå áóäåò ïðîèçâîäèòü. Ïðè ïðîìåæóòî÷íîé öåíå òîâàð ïîêóïàåò
òîëüêî âòîðîé ïîòðåáèòåëü, íî åãî äåíåã ìàëî äëÿ ïîêðûòèÿ èçäåðæåê.
Îòñþäà ñëåäóåò âàæíûé âûâîä - öåíû äîëæíû áûòü èíäèâèäóàëüíûìè äëÿ
êàæäîãî ïîòðåáèòåëÿ, òî åñòü äîëæíà îñóùåñòâëÿòüñÿ öåíîâàÿ äèñêðèìèíàöèÿ.
 íàøåì ïðèìåðå ìîæíî ïðîäàâàòü ïåðâîìó ïîòðåáèòåëþ çà 4 è âòîðîìó çà
14. Êîíå÷íî, ýòî òîæå ñâÿçàíî ñ çàùèòîé àâòîðñêèõ ïðàâ.
Ðàçóìååòñÿ, â íàñòîÿùåé ðàáîòå èìååòñÿ ìíîãî (áûòü ìîæåò, äàæå ñëèøêîì
ìíîãî) óïðîùÿþùèõ ïðåäïîëîæåíèé. Â æèçíè âñå íå òàê ïðîñòî: íèêòî íå çíàåò,
ñêîëüêî íàäî çàòðàòèòü (ïîòîìó ÷òî òàêîãî ïðîäóêòà âîîáùå åùå íåò è íå áûëî è íå ÿñíî - áóäåò ëè), óñïåõ íîñèò âåðîÿòíîñòíûé õàðàêòåð. Òî åñòü ìíîãèå
èçîáðåòàòåëè òðàòÿò ðåñóðñû âïóñòóþ. Äðóãîå óïðîùåíèå: èçîáðåòåíèå äåëàåòñÿ îäèí ðàç, à ñîîòâåñòâóþùèé È-òîâàð ïîòðåáëÿåòñÿ äëèòåëüíîå âðåìÿ ïîñëå
ýòîãî. Òðåüå êàê óæå ãîâîðèëîñü, öåíû äëÿ ïîêóïàòåëåé äîëæíû áûòü èíäèâèäóàëèçèðîâàíû; êàê ýòî ïðàêòè÷åñêè ðåàëèçîâàòü - îòäåëüíàÿ íåïðîñòàÿ çàäà÷à.
Òàê ÷òî â ñâîåé ðàáîòå ìû íå ïûòàåìñÿ äàòü îòâåòû íà âñå âîïðîñû, ñâÿçàííûå ñ È-òîâàðàìè. Ìû àêöåíòèðóåì âíèìàíèå ëèøü íî îäíîì àñïåêòå, ñâÿçàííîì
ñ çàìåíîé ïðèâû÷íîãî âåêòîðíîãî ïðîñòðàíñòâà òîâàðîâ íà äèñêðåòíóþ ðåøåòêó.
2
Âîçíèêàþùèå òóò ïðîáëåìû áëèçêè ê òåì, êîòîðûå âñòðå÷àþòñÿ â ýêîíîìèêàõ
ñ íåäåëèìûìè òîâàðàìè. Îáùàÿ òðóäíîñòü - äèñêðåòíîñòü è ñâÿçàííàÿ ñ íèì
íåâûïóêëîñòü çàäà÷. Ìàòåìàòè÷åñêèì çàäà÷àì, ñâÿçàííûì ñ ýòîé ïðîáëåìîé ïîñâÿùåíà ðàáîòà [2].
2
Ìîäåëü è îïðåäåëåíèå ðàâíîâåñèÿ
Îáîçíà÷èì ÷åðåç G êîíå÷íîå ìíîæåñòâî ýëåìåíòàðíûõ È-òîâàðîâ (èëè ëó÷øå
- È-áëàã, òîâàðàìè îíè ñòàíîâÿòñÿ íà ðûíêå). Ýëåìåíòàðíûå È-òîâàðû ìîæíî
êîìáèíèðîâàòü, îáúåäèíÿòü. Ïîýòîìó ìíîæåñòâî òîâðíûõ íàáîðîâ ïðåäñòàâëÿåò
áóëåâó ðåøåòêó B = 2G ïîäìíîæåñòâ ìíîæåñòâà G. Ýëåìåíòû B áóäåì îáîçíà÷àòü áóêâàìè X , Y è ò.ï.
Îáû÷íûå òîâàðû ïðåäñòàâëåíû àãðåãèðîâàííî ÷åðåç äåëèìûé òîâàð äåíüãè.
Èòàê, ïðîñòðàíñòâî òîâàðîâ ýòî ïðîèçâåäåíèå B × R. Âïðî÷åì â ñèëó äåëàåìûõ
äàëåå ïðåäïîëîæåíèé î òðàíñôåðàáåëüíîñòè äåíüãè íå áóäóò ÿâíî âõîäèòü â ÷èñëî òîâàðîâ è ìîæíî ðàáîòàòü òîëüêî ñ ðåøåòêîé B = 2G .
Ìíîæåñòâî ôèðì, ïðîèçâîäÿùèõ È-òîâàðû, îáîçíà÷èì J . Ïðåäïîëàãàåòñÿ,
÷òî êàæäàÿ ôèðìà, ïðîèçâåäÿ êàêîé-íèáóäü òîâàð, îáëàäàåò êîïèÿìè ýòîãî òîâàðà óæå áåñïëàòíî. Ýòî íàïîìèíàåò ïðîèçâîäñòâî ñ ôèêñèðîâàííûìè èçäåðæêàìè.
Ôèðìà-ïðîèçâîäèòåëü j îïèñûâàåòñÿ ôóíêöèåé èçäåðæåê aj : B → R. Èíà÷å
ãîâîðÿ, ôèðìà j ìîæåò ïðîèçâåñòè òîâàð X ∈ B, åñëè çàòðàò äåíåãè â êîëè÷åñòâå
aj (X). Ìû áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî aj (0) = 0 è ÷òî ôóíêöèÿ aj ìîíîòîííà, òî åñòü
aj (X) ≥ aj (X 0 ) ïðè X ⊂ X 0 .
Ìíîæåñòâî ïîòðåáèòåëåé (â øèðîêîì ñìûñëå ýòîãî ñëîâà, íàïðèìåð, ãðóïïà îäíîðîäíûõ ïîòðåáèòåëåé ìîæåò áûòü îäíèì ïîòðåáèòåëåì â ìîäåëè) îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç I . Ïîòðåáèòåëü i ∈ I îïèñûâàåòñÿ ñâîåé ôóíêöèåé ïîëåçíîñòè
ui : B → R. Ôóíêöèè ui òàêæå ïðåäïîëàãàþòñÿ ìîíîòîííûìè è ðàâíûìè 0 â 0.
Ñîñòîÿíèå ýêîíîìèêè çàäàåòñÿ íàáîðîì ((Xi )i∈I , (Yj )j∈J ), ãäå (Xi )i∈I ïëàíû ïîòðåáëåíèÿ è (Yj )j∈J ïëàíû ïðîèçâîäñòâà, âñå Xi è Yj èç B. Ñîñòîÿíèå
((Xi ), (Yj )) íàçûâàåòñÿ äîïóñòèìûì åñëè
∪i∈I Xi ⊂ ∪j∈J Yj ,
òî åñòü ïðåäëîæåíèå íå ìåíüøå ñïðîñà.
Äëÿ ëþáîãî äîïóñòèìîãî ñîñòîÿíèÿ ((Xi ), (Yj )) ìîæíî ïîñ÷èòàòü åãî òîòàëüíóþ öåííîñòü (ñîâîêóïíîå áëàãîñîñòîÿíèå) êàê
X
X
ui (Xi ) −
aj (Yj ).
i
j
Åñòåñòâåííî èíòåðåñîâàòüñÿ ñîñòîÿíèÿìè, äëÿ êîòîðûõ ýòà îáùåñòâåííàÿ ïîëåçíîñòü áûëà áû ìàêñèìàëüíà. Òàêèå îïòèìàëüíûå ñîñòîÿíèÿ âñåãäà ñóùåñòâóþò
(åñëè ìíîæåñòâî D êîíå÷íî, ÷òî ìû âñþäó ïðåäïîëàãàåì). Êðîìå òîãî, ìû ìîæåì ñ÷èòàòü, ÷òî â îïòèìàëüíîì ñîñòîÿíèè âñå Xi îäèíàêîâû (è ðàâíû ∨Yj ), à
Yj ïîïàðíî íå ïåðåñåêàþòñÿ.
3
Êàê æå ýêîíîìèêà ìîãëà áû ïðèéòè â îïòèìàëüíîå ñîñòîÿíèå? Ýòî òèïè÷íàÿ
çàäà÷à ïëàíîâèêà. Òðóäíîñòè åå ðåøåíèÿ î÷åâèäíû: ñáîð èíôîðìàöèè î ïîëåçíîñòÿõ è èçäåðæêàõ, ïðîáëåìà ñòðàòåãè÷åñêîãî ïîâåäåíèÿ è èñêàæåíèÿ èíôîðìàöèè, áîëüøàÿ ðàçìåðíîñòü çàäà÷è. Ïîýòîìó åñòåñòâåííî èñêàòü ðåøåíèå áîëåå
äåçàãðåãèðîâàííûì ïóòåì, íàïðèìåð, ñ ïîìîùüþ ðûíêà.  ÷åì ñóòü ðûíî÷íîãî ïîäõîäà? Îáùåíèå âñåõ ñî âñåìè çàìåíÿåòñÿ îáùåíèåì êàæäîãî ó÷àñòíèêà ñî
âñïîìîãàòåëüíûì (ôèêòèâíûì) àãåíòîì. Ýòîò àãåíò `ñêóïàåò' âñå È-òîâàðû ó
ïðîèçâîäèòåëåé, à ïîòîì ðàñïðîäàåò èõ ïîòðåáèòåëÿì.
Èòàê, áóäåì ðàññìàòðèâàòü `ðûíî÷íûå' ñïîñîáû ôóíêöèîíèðîâàíèÿ ñåêòîðà
È-òîâàðîâ. Ñíà÷àëà `öåíòð' ñêóïàåò òîâàð ó ïðîèçâîäèòåëåé. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî
ôóíêöèÿ qj : B → R ãîâîðèò î òîì, ñêîëüêî äåíåã ïîëó÷àåò j -é ïðîèçâîäèòåëü,
ïðîäàâàÿ ñâîé òîâàð öåíòðó. Òî÷íåå, åñëè îí ñäàåò íà öåíòðàëüíûé ñêëàä òîâàð
Y , îí ïîëó÷àåò qj (Y ) äåíåã. Ïðåäñòàâèì òåïåðü, ÷òî öåíòð ðåøèë êóïèòü íàáîð
Y . Åñòåñòâåííî, îí áóäåò ïîêóïàòü ó òîãî ïðîèçâîäèòåëÿ j , ó êîòîðîãî ñòîèìîñòü
ìèíèìàëüíà. Òàêèì îáðàçîì ðåàëüíîå çíà÷åíèå èìååò q = min qj . Òàê ÷òî âçàèìîäåéñòâèå öåíòðà ñ ïðîèçâîäèòåëÿìè îïèñûâàåòñÿ îäíîé ôóíêöèåé q : B → R.
Îäíàêî íà ýòîì âñå íå êîí÷àåòñÿ. Äåëî â òîì, ÷òî òîâàðíûå íàáîðû ìîæíî
äîâîëüíî ñâîáîäíî ðàññûïàòü è ñîáèðàòü, è ýòî íàêëàäûâàåò îãðàíè÷åíèå íà
âîçìîæíûé âèä ôóíêöèè q . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî X = Y + Z (+ îçíà÷àåò, ÷òî
X = Y ∪ Z è Y ∩ Z = ∅). È ÷òî q(X) < q(Y ) + q(Z). Òîãäà ïðîèçâîäèòåëè
íå áóäóò ïðåäëàãàòü íàáîð X , à òîëüêî íàáîðû Y è Z , ðàñ÷èòûâàÿ òåì ñàìûì
íà áîëüøóþ âûðó÷êó. Íàîáîðîò, åñëè q(X) > q(Y ) + q(Z), òî öåíòð íå áóäåò
ïîêóïàòü `îáúåäèíåííûé' íàáîð X , ïîêóïàÿ ðàçäåëüíî Y è Z , ÷òî îáîéäåòñÿ åìó
äåøåâëå. Îäíèì ñëîâîì, ôóíêöèÿ ñòîèìîñòè q äîëæíà áûòü àääèòèâíîé. Òàê
êàê ìíîæåñòâî B íå ÿâëÿåòñÿ ãðóïïîé, òî ëó÷øå ãîâîðèòü î ìîäóëÿðíîñòè: åñëè
òîâàðíûå íàáîðû Y è Z íå ïåðåñåêàþòñÿ, òî
q(Y ∪ Z) = q(Y ) + q(Z).
Èëè äàæå â áîëåå îáùåé ôîðìå: äëÿ ëþáûõ òîâàðíûõ íàáîðîâ Y è Z ∈ B âûïîëíåíî ðàâåíñòâî
q(Y ∪ Z) + q(Y ∩ Z) = q(Y ) + q(Z).
Î÷åâèäíî, òàêàÿ ôóíêöèÿ çàäàåòñÿ ñâîèìè çíà÷åíèÿìè íà ýëåìåíòàðíûõ òîâàðàõ; ñòîèìîñòü êîìïëåêòà X ðàâíà ñóììå âõîäÿùèõ â íåãî ýëåìåíòàðíûõ òîâàðîâ.
Ðàññìîòðèì òåïåðü âçàèìîäåéñòâèå öåíòðà ñ ïîòðåáèòåëÿìè. Ïóñòü ïîòðåáèòåëü i ïîëó÷àåò òîâàðû ïî ñòîèìîñòè pi : B → R. Ïðåäûäóùèå ðàññóæäåíèÿ
ïîêàçûâàþò ñíîâà, ÷òî pi äîëæíû áûòü àääèòèâíûìè (ìîäóëÿðíûìè). Îäíàêî
äëÿ ðàçíûõ ïîêóïàòåëåé îíè ìîãóò (è â îáùåì ñëó÷àå áóäóò) ðàçëè÷àòüñÿ, áûòü
èíäèâèäóàëèçèðîâàííûìè. Ýòî ñëåäñòâèå òîãî, ÷òî ïîêóïàòü òîâàð ïîòðåáèòåëè
ìîãóò òîëüêî â îäíîì ìåñòå, ó öåíòðà.
Òàê ìû ïðèõîäèì ê âûâîäó, ÷òî öåíîâîé àïïàðàò îïèñûâàåòñÿ ìîäóëÿðíûìè
(èëè ëèíåéíûìè) ôóíêöèÿìè q è (pi , i ∈ I). Êàæäûé ïðîèçâîäèòåëü j îðèåíòèðóåòñÿ íà çàêóïî÷íûå öåíû q è ñòðåìèòñÿ ìàêñèìèçèðîâàòü ñâîþ ïðèáûëü
q(Y ) − aj (Y ) → max;
4
ïóñòü Yj îçíà÷àåò (îäíî èç) ðåøåíèé ýòîé çàäà÷è. Ñîîòâåòñòâóííî, ïîòðåáèòåëü
i ìàêñèìèçèðóåò ÷èñòóþ ïîëåçíîñòü, òî åñòü ðåøàåò çàäà÷ó
ui (X) − pi (X) → max;
Xi - ðåøåíèå ýòîé çàäà÷è. È âñå ýòî õîçÿéñòâî (ãëàâíûì îáðàçîì, öåíû (q, (pi ))
ÿâëÿåòñÿ ðàâíîâåñèåì, åñëè ýòè ëîêàëüíûå ðåøåíèÿ (Yj ) è (Xi ) ñâÿçàíû
P äâóìÿ
áàëàíñàìè: 1) íàòóðàëüíûì:
∪i Xi ⊂ ∪j Yj , è 2) äâóìÿ ôèíàíñîâûì: j q(Yj ) ≤
P
q(∪j Yj ) è q(∪j Yj ) ≤ i pi (Xi ).
Ñ ïåðâûì áàëàíñîì âñå ïîíÿòíî: ïëÿíû ïîòðåáèòåëåé äîëæíû áûòü ïîêðûòû ïðåäëîæåíèåì ïðîèçâîäèòåëåé. Ïåðâûé ôèíàíñîâûé áàëàíñ îòðàæàåò âçàèìîäåéñòâèå ïðîèçâîäèòåëåé ñ öåíòðîì (èëè ðûíêîì). Êàæäûé ïðîèçâîäèòåëü
ðàñ÷èòûâàåò ïîëó÷èòü q(Yj ) äåíåã; öåíòð òðàòèò íà âñå ïðî âñå q(∪j Yj ). Àíàëîãè÷íûé ñìûñë ó âòîðîãî ôèíàíñîâîãî áàëàíñà.
Îòìåòèì, ÷òî ïåðâîå ôèíàíñîâîå íåðàâåíñòâî âûïîëíÿåòñÿ íà ñàìîì äåëå êàê
ðàâåíñòâî. È áîëåå òîãî, åñëè êàêîé-òî òîâàð y âõîäèò â Yj è Yk (ïðè j 6= k ), òî
åãî öåíà q(y) = 0. Åñëè ñäåëàòü íåâèííîå ïðåäïîëîæåíèå î ñòðîãîé ìîíîòîííîñòè ôóíêöèé èçäåðæåê ïðîèçâîäèòåëåé, òî ïî íóëåâîé öåíå íèêòî ïðîèçâîäèòü
íå áóäåò. Ïîýòîìó ïðîèçâîäñòâåííûå ïëàíû P
ïðîèçâîäèòåëåé (â ðàâíîâåñèè) íå
ïåðåñåêàþòñÿ. Êðîìå òîãî, â ñèëó
j q(Yj ) = q(∪j Yj ) ôèíàíñîâûå áàP ðàâåíñòâà
P
ëàíñû ìîæíî ïåðåïèñàòü êàê j q(Yj ) ≤ i pi (Xi ).
Ïîñëåäíåå çàìå÷àíèå.  îáùåì ñëó÷àå öåíòð ïîëó÷àåò ïðèáûëü. Ýòî êàæåòñÿ
íå î÷åíü îñìûñëåííûì, òàê êàê ýòî ôèêòèâíûé îðãàí, ââåäåííûé ëèøü äëÿ öåëåé
ïîÿñíåíèÿ òîãî, êàê äîëæåí áûòü óñòðîåí ðûíîê È-òîâàðîâ. Ïîýòîìó ïðåäñòàâëÿåòñÿ åñòåñòâåííûì ïîòðåáîâàòü, ÷òîáûP
ýòîò öåíòð ðàáîòàë áåñïðèáûëüíî. Ýòî
ôîðìàëèçóåòñÿ òðåáîâàíèåì, ÷òîáû q = i pi . Òàê ìû ïðèõîäèì ê îêîîí÷àòåëüíîìó îïðåäåëåíèþ ðàâíîâåñèÿ, ñ êîòîðûì è áóäåì äàëåå ðàáîòàòü.
(êîíêóðåíòíûì) íàçûâàåòñÿ íàáîð ñëåäóþùèõ
äàííûõ: (Xi )i∈I ïëàíû ïîòðåáèòåëåé, (Yj )j∈J - ïëàíû ïðîèçâîäèòåëåé, è (pi )i∈I
èíäèâèäóàëüíûå öåíû äëÿ ïîòðåáèòåëåé, òàêèå ÷òî
1) êàæäîå Xi ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì çàäà÷è
Îïðåäåëåíèå. Ðàâíîâåñèåì
ui (X) − pi (X) → max;
2) êàæäîå Yj ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì çàäà÷è
X
(
pi )(Y ) − aj (Y ) → max;
i
3) ∪i Xi ⊂ ∪j Yj ;
P
P
4) ( i pi )(∪j Yj ) ≤ i pi (Xi ).
(Ïîñëåäíåå íåðàâåíñòâî âûïîëíÿåòñÿ òîãäà êàê ðàâåíñòâî. Êðîìå òîãî, åñëè îáîçíà÷èòü Y = ∪j Yj , òî ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî âñå Xi = Y .)
Îïòèìàëüíîñòü ðàâíîâåñèé
5
Âàæíåéøèì ñâîéñòâîì êîíêóðåíòíîãî ðàâíîâåñèÿ ÿâëÿåòñÿ åãî îïòèìàëüíîñòü. Èíà÷å
P ãîâîðÿ,Påñëè ((Xi ), (Yj ), (pi )) - ðàâíîâåñèå, òî ñîâîêóïíîå áëàãîñîñòîÿíèå
i ui (Xi )−
j aj (Yj ) ìàêñèìàëüüíî âîçìîæíîå ñðåäè âñåõ äîïóñòèìûõ
ñîñòîÿíèé ýêîíîìèêè. Ðàññóæäåíèå çäåñü äîñòàòî÷íî ñòàíäàðòíîå.
Ïóñòü ((Xi0 ), (Yj0 )) - ïðîèçâîëüíîå äîïóñòèìîå ñîñòîÿíèå, ÷òî îçíà÷àåò, ÷òî
∪Xi ⊂ ∪Yj . Ñîãëàñíî Ñâîéñòâó 1) ðàâíîâåñèé ìû èìååì íåðàâåíñòâà
ui (Xi0 ) − pi (Xi0 ) ≤ ui (Xi ) − pi (X).
Ïðîñóììèðîâàâ ýòè íåðàâåíñòâà, ìû ïîëó÷àåì
X
X
X
X
ui (Xi0 ) −
pi (Xi0 ) ≤
ui (Xi ) −
pi (Xi ).
i
i
i
i
Àíàëîãè÷íî äëÿ èçäåðæåê ìû èìååì íåðàâåíñòâà
X
X
X
X
p(Yj0 ) −
aj (Yj0 ) ≤
p(Yj ) −
aj (Yj ),
j
ãäå p =
P
i
j
j
pi . Ñêëàäûâàÿ èõ, ìû ïîëó÷àåì íåðàâåíñòâî
X
X
ui (Xi0 ) −
aj (Yj0 ) ≤
i
X
i
j
ui (Xi ) −
X
j
aj (Yj ) +
j
X
pi (Xi0 ) −
X
i
pi (Xi ) −
i
X
j
p(Yj0 ) +
X
p(Yj ).
j
Òàê ÷òî îñòàëîñü óñòàíîâèòü äâà íåðàâåíñòâà
X
X
pi (Xi0 ) ≤
p(Yj0 )
i
è
X
j
p(Yj ) ≤
X
j
pi (Xi )
i
Âòîðîå íåðàâåíñòâî åñòü ïðîñòî ôèíàíñîâûé áàëàíñ èç îïðåäåëåíèÿ ðàâíîâåñèÿ.
0
0
0
0
×òî êàñàåòñÿ ïåðâîãî, òî îáîçíà÷èì
∪j YP
j êàê Y . Òàê êàê Xi ⊂ Y , à öåíû pi
P
íåîòðèöàòåëüíû, ìû èìååì i pi (Xi0 ) ≤ i pi (Y 0 ) = p(Y 0 ). Ïîýòîìó äîñòàòî÷íî
óñòàíîâèòü íåðàâåíñòâî
X
p(Y 0 ) ≤
p(Yj0 ).
j
À îíî ñëåäóåò èç íåîòðèöàòåëüíîñòè è ëèíåéíîñòè ôóíêöèîíàëà p è ðàâåíñòâà
Y 0 = ∪j Yj0 . Òàêèì îáðàçîì îïòèìàëüíîñòü óñòàíîâëåíà.  ÷àñòíîñòè ìû ïîëó÷àåì, ÷òî
ïî ìîäóëþ òîâàðîâ ñ íóëåâûìè öåíàìè (à òàêèõ íå áóäåò âîîáùå, åñëè ôóíêöèè ui è aj ñòðîãî ìîíîòîííû) Yj è Yj0 äëÿ ðàçíûõ ïðîèçâîëäèòåëåé íå ïåðåñåêàþòñÿ. Òî åñòü â ðàâíîâåñèè ïðîèçâîäèòåëè äåëÿò ðûíîê, òî åñòü îäèí è òîò
6
æå òîâàð íå ïðîèçâîäèòñÿ ðàçíûìè ïðîèçâîäèòåëÿìè (íåäàâíèé êîíôëèêò ìåæäó Netscape Naviagtor è Ìèêðîñîôòîì ïî ïîâîäó âêëþ÷åíèÿ Internet Explorer â
ïàêåò ñ Windows ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ïîäòâåðæäåíèå ýòîãî ñâîéñòâà ðàçäåëåíèÿ ðûíêà â ðàâíîâåñèè).
Åñëè äîëæíûì îáðàçîì îïðåäåëèòü ïîíÿòèå ÿäðà, òî ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî
ðàâíîâåñèå ïðèíàäëåæèò ÿäðó. Ïîäðîáíîñòè ñì. â [5].
3
Ñóùåñòâîâàíèå ðàâíîâåñèé
Îñíîâíàÿ ïðîáëåìà, êîòîðîé ìû áóäåì äàëüøå çàíèìàòüñÿ, çàäà÷à ñóùåñòâîâàíèÿ ðàâíîâåñèé. Ìû óâèäèì, ÷òî áåç íàëîæåíèÿ äîñòàòî÷íî ñèëüíûõ óñëîâèé
ðàâíîâåñèÿ íåò. Ýòî ïîäíèìàåò òðóäíûé âîïðîñ î òîì, ÷òî æå ïðîèñõîäèò â ýòîì
ñëó÷àå, âîïðîñ, êîòîðûé ìû îñòàâëÿåì áåç îòâåòà. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ìû ïðåäëàãàåì íåêîòîðûé ïîäõîä, êîòîðûé ïîêàçûâàåò, êàê ñòðîèòü äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ
ñóùåñòâîâàíèÿ ðàâíîâåñèé.
Ïðåæäå âñåãî ïîêàæåì, ÷òî ñóùåñòâóþò äîñòàòî÷íî åñòåñòâåííûå îïåðàöèè
àãðåãèðîâàíèÿ, êîòîðûå ïîçâîëÿþò ñâîäèòü çàäà÷ó ê ñëó÷àþ îäíîãî ïîòðåáèòåëÿ
è îäíîãî ïðîèçâîäèòåëÿ.
Àãðåãèðîâàíèå ïîòðåáèòåëåé. Îíî ñîâñåì ïðîñòîå. Çàìåíèì âñåõ ïîòðåáèòåP
ëåé (ñ ôóíêöèÿìè ïîëåçíîñòåé ui ) íà îäíîãî ñ ôóíêöèåé ïîëåçíîñòè U = i ui .
Îíî îñóùåñòâëÿåòñÿ ñ ïîìîùüþ (èíôèìàëüíîé) êîíâîëþöèè (ñâåðòêè) ôóíêöèé èçäåðæåê aj . À èìåííî, îïðåäåëèì ôóíêöèþ ñîâîêóïíûõ èçäåðæåê A ôîðìóëîé:
X
A(Y ) = min(
aj (Yj )),
Àãðåãèðîâàíèå ïðîèçâîäèòåëåé.
j
ãäå (Yj ) ïðîáåãàþò âñåâîçìîæíûå íàáîðû, òàêèå ÷òî Y = ∪j Yj . Èíà÷å ãîâîðÿ,
ïëàí ïðîèçâîäñòâà Y ðàñïðåäåëÿåòñÿ ìåæäó îòäåëüíûìè ïðîèçâîäèòåëÿìè òàê,
÷òîáû ñóììàðíûå èçäåðæêè áûëè ìèíèìàëüíû.
Òðóäíîñòè ñ ñóùåñòâîâàíèåì ðàâíîâåñèé ìîæíî îáñóæäàòü íà ìîäåëè ñ äâóìÿ
àãåíòàìè: îäíèì ïîòðåáèòåëåì è îäíèì ïðîèçâîäèòåëåì. Êàê ìû óâèäèì, îòâåò
ñèëüíî çàâèñèò îí âèäà ôóíêöèé A è U . Ñ äðóãîé ñòîðîíû, êàê ïðàâèëî åñëè
ðàâíîâåñèå ñóùåñòâóåò â àãðåãèðîâàííîé ìîäåëè, òî åñãî ìîæíî ðàçàãðåãèðîâàòü
è ïîëó÷èòü ðàâíîâåñèå â èñõîäíîé ìîäåëè.
Ðàññìîòðèì ñíà÷àëà ïîñòåéøóþ ñèòóàöèþ, êîãäà èìååòñÿ âñåãî îäèí È-òîâàð
g .  ýòîì ñëó÷àå ìû èìååì äâå ñóùåñòâåííî ðàçíûå ñèòóàöèè. Ïåðâàÿ - êîãäà
U (g) ≥ A(g). Âòîðàÿ - êîãäà U (g) < A(g).  ïåðâîì ñëó÷àå â êà÷åñòâå ðàâíîâåñíîé
öåíû ìîæíî âçÿòü ëþáîé ÷èñëî p (= p(g)) ìåæäó A(g) è U (g). Ïðîðèçâîäèòåëþ
òîãäà âûãîäíî âûïóñòèòü òîâàð g , à ïîòðåáèòåëþ - êóïèòü åãî. Âî âòîðîì ñëó÷àå
ìû ñíîâà áåðåì p(g) ìåæäó U (g) è A(g), íî òåïåðü óæå ñòðîãî ìåæäó. Òîãäà
ïðîèçâîäèòåëü íå âûïóñêàåò g , òî åñòü âûïóñêàåò 0. À ïîòðåáèòåëü íå ïðîñèò g
(ñëèøêîì äîðîãî), òî åñòü ïðîñèò 0.
7
 ñëó÷àå äâóõ È-òîâàðîâ (è òåì áîëåå â ñëó÷àå òðåõ è áîëåå) ðàâíîâåñèé óæå
ìîæåò íå áûòü.
Ïóñòü åñòü äâà ýëåìåíòàðíûõ È-òîâàðà b è c. Ôóíêöèÿ ïîëåçíîñòè
U ïîòðåáèòåëÿ ðàâíà 0 â 0 è ðàâíà 1 äëÿ îñòàëüíûõ òðåõ òîâðíûõ íàáîðîâ b, c è
bc. Ôóíêöèÿ èçäåðæåê A ïóñòü ðàâíà U . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî (X, X, p) - ðàâíîâåñèå
â ýòîé ñèñòåìå. Òîãäà â òî÷êå X ôóíêöèÿ U − p äîñòèãàåò ìàêñèìóìà, òî÷íî òàê
æå êàê ôóíêöèÿ p − A = p − U . Íî åñëè â íåêîòîðîé òî÷êå è ôóíêöèÿ U − p, è
ýòà æå ôóíêöèÿ ñî çíàêîì ìèíóñ, äîñòèãàþò ìàêñèìóìà, òî ôóíêöèÿ ïîñòîÿííà.
Áîëåå òîãî, ýòà êîíñòàíòà ðàâíà 0 (èáî òàêîâî çíà÷åíèå â 0), îòêóäà ïîëó÷àåì,
÷òî U = p - ëèíåéíàÿ ôóíêöèÿ. Íî ýòî ÿâíî íå òàê.
Ïðèìåð.
Äàâàéòå ïðîàíàëèçèðóåì, ÷òî ìåøàåò ñóùåñòâîâàíèþ ðàâíîâåñíûõ öåí. È
äëÿ ïðîñòîòû áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ìû íàõîäèìñÿ â áîëåå ïðèâû÷íîé ñèòóàöèè
ñ íåïðåðûâíûìè òîâàðàìè. Òîâàðû ïðåäñòàâèì åäèíè÷íûì îòðåçêîì [0, 1]. Ïîëåçíîñòü è èçäåðæêè ïðåäñòàâëÿþòñÿ ôóíêöèÿìè ïîëåçíîñòè U è A, çàäàííûìè
íà ýòîì îòðåçêå. Ïóñòü x∗ - òî÷êà íà îòðåçêå [0, 1], ãäå äîñòèãàåò ìàêñèìóìà
ôóíêöèÿ áëàãîñîñòîÿíèÿ U − A, è ïóñòü ýòîò ìàêñèìóì ðàâåí ÷èñëó w, òî åñòü
w = max(U − A) = U (x∗ ) − A(x∗ ). Ýòî ñîîòíîøåíèå ìîæíî ïåðåïèñàòü òàê: íàðèñóåì ãðàôèêè ôóíêöèé A(x)+w è U (x). Òîãäà ãðàôèê U (x) ëåæèò íèæå ãðàôèêà
ôóíêöèè A(x) + w, è îáå ôóíêöèè êàñàþòñÿ äðóã äðóãà â òî÷êå x∗ . Çàäà÷à æå
ðàâíîâåñèÿ ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû ðàçäåëèòü ýòè äâà ãðàôèêà ãðàôèêîì íåêîòîðîé àôôèííîé ôóíêöèè a(x) = p(x) + a(0).  ýòîì ñëó÷àå ëèíåéíàÿ ôóíêöèÿ
p(x) è áóäåò ðàâíîâåñíîé öåíîé.
b ôóíêöèè
Ýòî óêàçûâàåò íà òî, ÷òî ìû äîëæíû âçÿòü `âîãíóòóþ îáîëî÷êó' U
U è `âûïóêëóþ îáîëî÷êó' Ă + w ôóíêöèè A + w. Ýòè ôóíêöèè òîæå áóäóò ðàçb − Ă ñíîâà áóäåò
äåëÿòüñÿ àôôèííîé ôóíêöèåé a(x). È ìàêñèìóì ðàçíîñòè U
b − Ă) = max(U − A) (à âñåãäà
ðàâåí w. ßñíî, ÷òî âåðíî è îáðàòíîå: åñëè max(U
ïåðâûé ìàêñèìóì íå ìåíüøå âòîðîãî), òî ðàâíîâåñèå ñóùåñòâóåò. Â ñàìîì äåëå,
âûïóêëàÿ ôóíêöèÿ Ă + w â ýòîì ñëó÷àå ðàñïîëîæåíà íå íèæå âîãíóòîé ôóíêöèè
b è ïî îñíîâíîé òåîðåìå î âûïóêëûõ ôóíêöèÿõ èõ ìîæíî ðàçäåëèòü àôôèííîé
U
ôóíêöèåé.
Âåðíåìñÿ ê íàøåé çàäà÷å ñ ôóíêöèÿìè íà áóëåâîì êóáå B = {0, 1}n , ãäå n ÷èñëî ýëåìåíòàðíûõ È-òîâàðîâ, òî åñòü ÷èñëî ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâà G. Ìû ïðîb è âûïóêëîé ôóíêöèè Ă íà âåñü `íàñòîÿùèé'
äîëæàåì èõ äî âîãíóòîé ôóíêöèè U
b ìû îïðåäåëÿåì ïî ôîðìóëå (ãäå x îçíà÷àåò ïðîèçâîëüíóþ
êóá [0, 1]n . Ïðè ýòîì U
n
òî÷êó êóáà [0, 1] ):
b (x) = min(a(x)),
U
ãäå a ïðîáåãàåò ìíîæåñòâî àôôèííûõ ôóíêöèé, òàêèõ ÷òî a(X) ≥ U (X) äëÿ
ëþáîé òî÷êè èç áóëåâà êóáà B. Ñèììåòðè÷íî Ă îïðåäåëÿåòñÿ êàê ìàêñèìóì àôôèííûõ ôóíêöèé, êîòîðûå ≤ A âî âñåõ òî÷êàõ X áóëåâà êóáà.  ýòèõ òåðìèíàõ
b − Ă) = max(U − A).
êðèòåðèé ñóùåñòâîâàíèÿ ðàâíîâåñíîé öåíû èìååò âèä max(U
b −Ă äîñòèãàåòñÿ â òî÷êå èç áóëåâà
Èëè ÷óòü èíà÷å: ìàêñèìóì ðàçíîñòè ôóíêöèé U
êóáà B.
Êàê, ê ïðèìåðó, ýòî âûãëÿäèò â ïðèâåäåííîì âûøå ïðèìåðå? Ôóíêöèÿ U
áûëà ðàâíà 0 â òî÷êå (0, 0) è ðàâíà 1 â òðåõ äðóãèõ òî÷êàõ (1, 0), (0, 1) è (1, 1)
8
b (1/2, 1/2) = 1. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ôóíêöèÿ
áóëåâà êâàäðàòà. Êàê ëåãêî ïîíÿòü, U
b − Ă â ýòîé òî÷êå ðàâíà
Ă â òîé æå òî÷êå (1/2, 1/2) ðàâíà 1/2. Ïîýòîìó ðàçíîñòü U
1 − 1/2 = 1/2, ÷òî ñòðîãî áîëüøå, ÷åì max(U − A) = 0. Ïîýòîìó ðàâíîâåñèÿ íåò.
b − Ă êàê ðàç äîñòèãàåòñÿ â òî÷êå (1/2, 1/2),
(Ìîæíî ïðîâåðèòü, ÷òî ìàêñèìóì U
êîòîðàÿ íå öåëàÿ è íå ïðèíàäëåæèò áóëåâó êâàäðàòó.)
4
Ïàðêåòû
×òîáû áîëåå îáñòîÿòåëüíî îáñóæäàòü ýòè âîïðîñû, ïîëåçíî ââåñòè ïîíÿòèå ïàðêåòà ôóíêöèè. Äëÿ îïðåäåëåííîñòè ìû áóäåì îáñóæäàòü â îñíîâíîì ïàðêåòû
b , çàäàííûõ íà êóáå [0, 1]n . Ïîòîì êðàòêî ñêàæåì ïðî
âîãíóòûõ ôóíêöèé òèïà U
âûïóêëûå ôóíêöèè òèïà Ă.
n
Ïàðêåò - ýòî `ïðàâèëüíîå' ðàçáèåíèå P êóáà [0, 1] (èëè äðóãîãî ìíîãîãðàííèêà) â êîíå÷íîå îáúåäèíåíèå âûïóêëûõ öåëûõ ìíîãîãðàííèêîâ (ïàðêåòèí, èëè
ÿ÷ååê ïàðêåòà). Âûïóêëûé ìíîãîãðàííèê â Rn íàçûâàåòñÿ öåëûì, åñëè âñå åãî
âåðøèíû öåëûå (òî åñòü èìåþò öåëî÷èñëåííûå êîîðäèíàòû). Åñëè ìû èíòåðåñóåìñÿ ìíîãîãðàííèêàìè â êóáå, òî ïîñëåäíåå îçíà÷àåò, ÷òî âñå åãî âåðøèíû
ïðèíàäëåæàò áóëåâó êóáó, òî åñòü èìåþò êîîðäèíàòû 0 èëè 1. Ïðàâèëüíîñòü
ðàçáèåíèÿ îçíà÷àåò, ÷òî ëþáûå äâà ìíîãîãðàííèêà P è Q, âõîäÿùèå â ïàðêåò
P , ïåðåñåêàþòñÿ ïî îáùåé ãðàíè (èëè âîîáùå íå ïåðåñåêàþòñÿ). Óäîáíî ñ÷èòàòü,
÷òî ãðàíü ëþáîé ïàðêåòèíû òîæå âõîäèò â ïàðêåò. Íàêîíåö, ïîäðàçóìåâàåòñÿ,
÷òî ïàðêåòèíû ïîêðûâàþò âåñü êóá.
Ôèêñèðóåì íåêîòîðûé ïàðêåò P êóáà [0, 1]n . Âîãíóòàÿ ôóíêöèÿ F , çàäàííàÿ
íà êóáå, íàçûâàåòñÿ ñîãëàñîâàííîé ñ ïàðêåòîì P (èëè P -âîãíóòîé), åñëè îãðàíè÷åíèå ôóíêöèè F íà êàæäóþ ïàðêåòèíó P ∈ P ÿâëÿåòñÿ àôôèííîé ôóíêöèåé
(çàâèñÿùåé, êîíå÷íî, îò ýòîé ïàðêåòèíû). Ôóíêöèÿ f , çàäàííàÿ íà áóëåâîì êóáå
(òî åñòü â âåðøèíàõ êóáà [0, 1]n ; ìû ãîâîðèì äëÿ ðàçëè÷åíèÿ, ÷òî f äèñêðåòíàÿ
ôóíêöèÿ), íàçûâàåòñÿ P -âîãíóòîé, åñëè òàêîâîé ÿâëÿåòñÿ åå âîãíóòàÿ îáîëî÷êà
F = fb.
Ôóíêöèÿ g íàçûâàåòñÿ P -âûïóêëîé, åñëè ôóíêöèÿ −g P -âîãíóòà.
Äëÿ êàæäîé äèñêðåòíîé ôóíêöèè f , çàäàííîé íà áóëåâîì êóáå, ñóùåñòâóåò
ïàðêåò P , òàêîé ÷òî f P -âîãíóòà (è, âîîáùå ãîâîðÿ, äðóãîé ïàðêåò Q, òàêîé ÷òî
îíà Q-âûïóêëà).
Âåðíåìñÿ ê çàäà÷å ñóùåñòâîâàíèÿ ðàâíîâåñèÿ.
Ïðåäëîæåíèå 1. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî äëÿ íåêîòîðîãî ïàðêåòà
ïîëåçíîñòè
U P -âîãíóòà,
à ôóíêöèÿ èçäåðæåê
A P -âûïóêëà.
P
ôóíêöèÿ
Òîãäà â àãðåãèðî-
âàííîé ìîäåëè ñóùåñòâóåò ðàâíîâåñèå.
b − Ă.
 ñàìîì äåëå, ïóñòü x - òî÷êà êóáà, ãäå äîñòèãàåòñÿ ìàêñèìóì ðàçíîñòè U
b
È ïóñòü P - ïàðêåòèíà ïàðêåòà P , ñîäåðæàùàÿ òî÷êó x. Òàê êàê U è Ă àôôèííû
b − Ă òîæå àôôèííà íà P . Íî ìàêñèìóì àôôèííîé ôóíêöèè,
íà P , èõ ðàçíîñòü U
îïðåäåëåííîé íà ìíîãîãðàííèêå, äîñòèãàåòñÿ â íåêîòîðîé âåðøèíå. Ïîýòîìó ìû
ìîæåì ñ÷èòàòü, ÷òî òî÷êà x ÿâëÿåòñÿ âåðøèíîé P . Ïî îïðåäåëåíèþ ïàðêåòà
ìíîãîãðàííèê P öåëûé, òàê ÷òî x ∈ B. Ìû óæå ãîâîðèëè, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå
9
ðàâíîâåñèå ñóùåñòâóåò. Ñëåäñòâèå 1. Ïóñòü äëÿ íåêîòîðîãî ïàðêåòà
öèè ïîëåçíîñòè
ui P -âîãíóòû,
P
âñå èíäèâèäóàëüíûå ôóíê-
à ôóíêöèÿ ñîâîêóïíûõ èçäåðæåê
U P -âûïóêëà.
Òîãäà ñóùåñòâóåò ðàâíîâåñèå.
 ñàìîì äåëå, ôóíêöèÿ àãðåãèðîâàííîé ïîëåçíîñòè U òîæå P -âîãíóòà è ïîýòîìó â àãðåãèðîâàííîé ìîäåëè ñóùåñâóåò ðàâíîâåñèèå (X, X, p). Ëåãêî ïðîâåðèòü,
÷òî ìîæíî òàê ðàçàãðåãèðîâàòü p â ñóììó pi è òàê ðàçàãðåãèðîâàòü Y â îáúåäèíåíèå Yj , ÷òî òðîéêà ((Xi = X), (Yj ), (pi )) ÿâëÿåòñÿ ðàâíîâåñèåì â èñõîäíîé
ìîäåëè.
Îáëàñòü ïðèìåíèìîñòè ïðèâåäåííîãî ðàññóæäåíèÿ ìîæíî ðàñøèðèñü ñ ïîìîùüþ ñëåäóþùåãî íåõèòðîãî òðþêà. Ñêàæåì, ÷òî äâà ïàðêåòà P è Q ñîâìåñòèìû,
åñëè äëÿ ëþáîé ïàðêåòèíû P èç P è ïàðêåòèíû Q èç Q èõ ïåðåñå÷åíèå P ∩ Q
ÿâëÿåòñÿ öåëûì ìíîãîãðàííèêîì.  ýòîì ñëó÷àå ìû ìîæåì ñîîðóäèòü íîâûé
ïàðêåò (îáîçíà÷èì åãî P ∨ Q), ñîñòîÿùèé èç âñåâîçìîæíûõ ïåðåñå÷åíèé P ∩ Q,
ãäå P ∈ P , à Q ∈ Q.
Ñëåäñòâèå 2. Ïóñòü ôóíêöèè ïîëåçíîñòè
ôóíêöèÿ ñîâîêóïíûõ èçäåðæåê
êåòîâ
P
è
Q.
A Q-âûïóêëà
ui
ïîòðåáèòåëåé
P -âîãíóòû,
à
äëÿ íåêîòîðûõ ñîâìåñòèìûõ ïàð-
Òîãäà â àãðåãèðîâàííîé ìîäåëè ñóùåñòâóåò ðàâíîâåñèå.
 ñàìîì äåëå, â ýòîì ñëó÷àå ui R-âîãíóòû, à A R-âûïóêëà äëÿ R = P ∨ Q.
 ñâåòå ýòèõ óòâåðæäåíèé ïðåäñòàâëÿþòñÿ âàæíûìè äâå çàäà÷è. Ïåðâàÿ - èñêàòü òàêèå ïàðêåòû, äëÿ êîòîðûõ óñëîâèå P -âîãíóòîñòè è P -âûïóêëîñòè èìåþò
ñìûñë ñ ýêîíîìè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ. È âòîðàÿ, áîëåå îáùàÿ è ìàòåìàòè÷åñêàÿ, èñêàòü êëàññû ìíîãîãðàííèêîâ, äëÿ êîòîðûõ âûïîëíåíî óòâåðæäåíèå î öåëî÷èñëåííîñòè ïåðåñå÷åíèÿ. Âòîðàÿ çàäà÷à áîëåå ïîäðîáíî ðàññìîòðåíà â [2], ìû íå
áóäåì åå çäåñü íàïîìèíàòü, à òîëüêî ïîëüçîâàòüñÿ íåêîòîðûìè ôàêòàìè îòòóäà.
À ïîêà ðàññìîòðèì ïåðâóþ.
5
Ñóáìîäóëÿðíûå è ñóïåðìîäóëÿðíûå ôóíêöèè
Íà êóáå [0, 1]n ñóùåñòâóåò ìíîãî ðàçíûõ ïàðêåòîâ. Íî ñðåäè íèõ ÿâíî âûäåëÿåòñÿ ñâîåé êàíîíè÷íîñòüþ ò.í. ñòàíäàðòíîå ðàçáèåíèå, èëè ñòàíäàðòíàÿ òðèàíãóëÿöèÿ êóáà. Îíî âñòðå÷àåòñÿ âî ìíîãèõ çàäà÷àõ, òàêèõ êàê êîìáèíàòîðíàÿ
òîïîëîãèÿ èëè àëãîðèòìû ïîèñêà íåïîäâèæíîé òî÷êè. Ñòàíäàðòíîå ðàçáèåíèå
ñîñòîèò èç ñèìïëåêñîâ è çàäàåòñÿ òàê.
Ðàññìîòðèì öåïü (èëè ôëàã) âîçðàñòàþùèõ ýëåìåíòîâ
X1 < X2 < ... < Xk
áóëåâà êóáà B. Âûïóêëàÿ îáîëî÷êà ñîîòâåòñòâóþùèõ âåðøèí êóáà [0, 1]n îáðàçóåò
ñèìïëåêñ â ýòîì êóáå. Ëåãêî ïîíÿòü, ÷òî ñîâîêóïíîñòü âñåõ òàêèõ ñèìïëåêñîâ
(ïî âñåì âîçðàñòàþùèì öåïî÷êàì) îáðàçóåò òðèàíãóëÿöèþ (ïàðêåò) êóáà [0, 1]n .
Ìàêñèìàëüíûå ïàðêåòèíû (èìåþùèå ðàçìåðíîñòü n) ñîîòâåòñòâóþò ëèíåéíûì
óïîðÿäî÷åíèÿì ìíîæåñòâà G ýëåìåíòàðíûõ È-òîâàðîâ; òàêèõ ïàðêåòèí n! øòóê.
10
Íî åñòü åùå ìíîãî ìåíüøèõ ïàðêåòèí - ãðàíåé n-ìåðíûõ ïàðêåòèí. Îáîçíà÷èì
ýòîò ïàðêåò (ñòàíäàðòíóþ òðèàíãóëÿöèþ) êàê T .
Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî T -âîãíóòûå ôóíêöèè (íà áóëåâîì êóáå B = 2n ) - ýòî â
1
òî÷íîñòè ñóïåðìîäóëÿðíûå ôóíêöèè. Íàïîìíèì, ÷òî ôóíêöèÿ f íà áóëåâîì
êóáå B ÿâëÿåòñÿ ñóïåðìîäóëÿðíîé, åñëè âûïîëíÿþòñÿ íåðàâåíñòâà
f (X) + f (Y ) ≤ f (X ∪ Y ) + f (X ∩ Y )
(1)
äëÿ ëþáûõ X, Y ∈ B. (Åñëè çàìåíèòü ∪ è ∩ íà ∨ è ∧, ìû ïîëó÷èì îïðåäåëåíèå
ñóïåðìîäóëÿðíîñòè äëÿ ôóíêöèè íà ïðîèçâîëüíîé ðåøåòêå.) Óñëîâèå ñóïåðìîäóëÿðíîñòè ìîæíî ïåðåïèñàòü òàê: ïóñòü Y ⊂ X è l - ýëåìåíòàðíûé È-òîâàð, íå
ïðèíàäëåæàùèé X . Òîãäà
f (Y ∪ l) − f (Y ) ≤ f (X ∪ l) − f (X).
Åñëè ïîíèìàòü f êàê ôóíêöèþ ïîëåçíîñòè, òî óêàçàííîå ñâîéñòâî îçíà÷àåò, ÷òî
ïðèáàâëåíèå òîâàðà l äàåò áîëüøèé ïðèðîñò â ïîëåçíîñòè, êîãäà îí ïðèáàâëÿåòñÿ
ê áîëüøåìó íàáîðó òîâàðîâ. Ýêîíîìè÷åñêè ýòî èíòåðïðåòèðóåòñÿ êàê ñâîéñòâî
äîïîëíèòåëüíîñòè òîâàðîâ. Ãðóáî ãîâîðÿ, ïîëåçíîñòü ïîòðåáëåíèÿ a è b áîëüøå
ñóììû ïîòðåáëåíèÿ a è ïîòðåáëåíèÿ b. Òîâàð a êàê áû äîïîëíÿåò òîâàð b (è
íàîáîðîò); òèïè÷íûé ïðèìåð - àâòîìîáèëü è áåíçèí. Àâòîìîáèëü áåç áåíçèíà
ïðåäñòàâëÿåò ìàëóþ öåííîñòü, êàê è áåíçèí áåç àâòîìîáèëÿ; íî åñëè åñòü è òî, è
äðóãîå - ýòî óæå ÷òî-òî. Èëè êîìïëåêòóþùèå ê êîìïüþòåðó.
Àíàëîãè÷íî T -âûïóêëûå ôóíêöèè íà B - ýòî ñóáìîäóëÿðíûå ôóíêöèè (ó êîòîðûõ íåðàâåíñòâî (1) çàìåíÿåòñÿ íà ïðîòèâîïîëîæíîå). Ïðèìåíèòåëüíî ê ôóíêöèÿì èçäåðæåê ñóáìîäóëÿðíîñòü îçíà÷àåò, ÷òî çàòðàòû íà ïðîèçâîäñòâî äîïîëíèòåëüíîãî È-òîâàðà óáûâàþò ñ ðîñòîì óðîâíÿ ïðîèçâîäñòâà. Òî åñòü êàê áû
èìååòñÿ ýêîíîìèÿ îò ìàñøòàáà. Ïðèìåíÿÿ ïðåäëîæåíèå 1, ìû ïîëó÷àåì, ÷òî
åñëè ôóíêöèÿ ïîëåçíîñòè U ñóïåðìîäóëÿðíà, à ôóíêöèÿ èçäåðæåê A ñóïåðìîäóëÿðíà, òî â àãðåãèðîâàííîé ìîäåëè ñóùåñòâóåò ðàâíîâåñèå.
Çàìåòèì, ÷òî óñëîâèÿ òóò âûðàæåíû â àãðåãèðîâàííûõ òåðìèíàõ. À ìîæíî
ëè ñôîðìóëèðîâàòü ðåçóëüòàò â èíäèâèäóàëüíûõ òåðìèíàõ, òî åñòü â òåðìèíàõ ui
è aj ? ×òîáû îòâåòèòü íà ýòîò âîïðîñ, çàéìåìñÿ ïîâåäåíèåì ïàðêåòîâ ïðè ñóììàõ
è ñâåðòêàõ ôóíêöèé.
Ïóñòü u ÿâëÿåòñÿ P -âîãíóòîé, à v - Q-âîãíóòîé ôóíêöèÿìè äëÿ ïàðêåòîâ P è Q. Äîñòàòî÷íî î÷åâèäíî, ÷òî ôóíêöèÿ u + v ÿâëÿåòñÿ
(P ∨ Q)-âîãíóòîé (åñëè ïàðêåòû P è Q ñîâìåñòèìû).  ÷àñòíîñòè, ñóììà äâóõ
(èëè ïðîèçâîëüíîãî ÷èñëà) P -âîãíóòûõ ôóíêöèé P -âîãíóòà. Ïðèìåíèòåëüíî ê
ñóïåðìîäóëÿðíîñòè ìû ïîëó÷àåì (ïðîñòîå è èçâåñòíîå) óòâåðæäåíèå, ÷òî ñóììà
ñóïåðìîæóëÿðíûõ ôóíêöèé ñóïåðìîäóëÿðíà.  ÷àñòíîñòè, ìû ïîëó÷àåì ñëåäóþùèé ôàêò (ôàêòè÷åñêè îñíîâíóþ òåîðåìó èç [4]; òàì òîëüêî äîáàâëåíû êîïèðîâùèêè):
Ñóììèðîâàíèå.
Òåîðåìà 1. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî
1 Ýòîò
äîâîëüíî ïðîñòîé ðåçóëüòàò èìååò äëèííóþ èñòîðèþ. Îí ïðèâåäåí â [10], õîòÿ, âèäè-
ìî, áûë èçâåñòåí åùå Øîêå. Áîëåå äåòàëüíîå îáñóæäåíèå ñì. â êíèãå [12].
11
ui ñóïåðìîäóëÿðíû;
A = ∗j aj ñóáìîäóëÿðíà.
1) âñå èíäèâèäóàëüíûå ôóíêöèè ïîëåçíîñòè
2) ôóíêöèÿ àãðåãèðîâàíûõ èçäåðæåê
Òîãäà ñóùåñòâóåò ðàâíîâåñèå.
Óñëîâèå 2) âûãëÿäèò íåäîñòàòî÷íî óäîâëåòâîðèòåëüíûì, òàê êàê äàåòñÿ â
àãðåãèðîâàíûõ òåðìèíàõ. Â [4] ìû ïðèâåëè ïðèìåð (ñ äâóìÿ ïðîèçâîäèòåëÿìè
è îäíèì ïîòðåáèòåëåì; òîâàðîâ òðè), êîãäà ïîëåçíîñòü ñóïåðìîäóëÿðíà, èíäèâèäóàëüíûå èçäåðæêè ïðîèçâîäèòåëåé a1 è a2 ñóáìîäóëÿðíû, íî òåì íå ìåíåå
ðàâíîâåñèÿ íåò. Ýòî ïîêàçûâàåò, â ÷àñòíîñòè, ÷òî ñâåðòêà ñóáìîäóëÿðíûõ ôóíêöèé íå âñåãäà ñóáìîäóëÿðíà. ×óòü íèæå ìû îáñóäèì ïðîáëåìó, êàê ìåíÿþòñÿ
ïàðêåòû ïðè ñâåðòêå. À ïîêà îòìåòèì äâà ÷àñòíûõ ñëó÷àÿ, êîãäà âñå æå ìîæíî
óòâåðæäàòü ñóáìîäóëÿðíîñòü ñâåðòêè.
Ñëó÷àé 1. Åñëè È-òîâàðîâ âñåãî äâà.
Ñëó÷àé 2. Êîãäà ôóíêöèè èçäåðæåê aj ìîäóëÿðíû.
Ìîæíî ïðåäëîæèòü áîëåå îáùåå óñëîâèå, êîòîðîå âêëþ÷àåò îáà ïðåäûäóùèõ
ñëó÷àÿ. Äëÿ ýòîãî ìû ñ êàæäûì ïîäìíîæåñòâîì A ⊂ {1, ..., n} ñâÿæåì ñëåäóþùóþ ïàêåòíóþ ôóíêöèþ αA (x) = − max(xi , i ∈ A). Òðàêòîâàòü åå íàïðÿìóþ
êàê ôóíêöèþ èçäåðæåê íå î÷åíü õîðîøî, ïîòîìó ÷òî òîãäà ïîëó÷àåòñÿ, ÷òî èçäåðæêè ïðîèçâîäñòâà íàáîðà A îòðèöàòåëüíû, ÷òî äîâîëüíî íåëåïî. Îäíàêî åñëè
ïðèáàâèòü ê íåé ëèíåéíóþ äîñòàòî÷íî ìîíîòîííóþ ôóíêöèþ, ìû ïîëó÷èì õîðîùåãî êàíäèäàòà íà ôóíêöèþ èçäåðæåê. Âî âñÿêîì ñëó÷àå òàêàÿ ïàêåòíàÿ (èëè
êîìïëåêòíàÿ) ôóíêöèÿ ñóáìîäóëÿðíà.
Ñâåðòêè ïàêåòíûõ ôóíêöèé â îáùåì ñëó÷àå òàêæå íå ñóáìîäóëÿðíû. Îäíàêî
èìååòñÿ âàæíûé ñëó÷àé, êîãäà ñóáìîäóëÿðíîñòü ñâåðòîê èìååò ìåñòî. Ýòî ñëó÷àé
òàê íàçûâàåìûõ ëàìèíàðíûõ ñåìåéñòâ. Íàïîìíèì, ÷òî íàáîð L ïîäìíîæåñòâ â
{1, ..., n} íàçûâàåòñÿ ëàìèíàðíûì, åñëè âûïîëíåíî ñëåäóþùåå óñëîâèå: åñëè ïîäìíîæåñòâà A è B ïðèíàäëåæàò L, òî ëèáî A ⊂ B , ëèáî B ⊂ A, ëèáî A è B íå
ïåðåñåêàþòñÿ. Íàïðèìåð, ñåìåéñòâî ({1, 2}, {2, 3}) íå ëàìèíàðíîå, à ñåìåéñòâî
({1, 2, 3}, {3}, {1, 2}, {1}, {2}) ëàìèíàðíîå. Õîðîøî, ïðåäñòàâèì, ÷òî äàíî ëàìèíàðíîå ñåìåéñòâî L. Íàçîâåì ôóíêöèþ (çàäàííóþ íà áóëåâîì êóáå B = {0, 1}n )
âûïóêëî-ñîãëàñîâàííîé ñ ëàìèíàðíûì ñåìåéñòâîì L, åñëè îíà ïîëó÷àåòñÿ êàê
ñâåðòêà ëèíåéíûõ ôóíêöèé è ôóíêöèé âèäà kαA , ãäå A ∈ L, à k ≥ 0. Îñíîâíîé ôàêò ïðî òàêèå ôóíêöèè ñîñòîèò â òîì, ÷òî îíè ÿâëÿþòñÿ ñóáìîäóëÿðíûìè
(äîêàçàòåëüñòâî â ïðèíöèïå ìîæíî íàéòè â êíèãå [12]).
Ñëåäñòâèå. Â óñëîâèÿõ òåîðåìû 1 çàìåíèì óñëîâèå 2) íà áîëåå èíäèâèäóàëèçèðîâàííîå óñëîâèå:
2') ñóùåñòâóåò òàêîå ëàìèíàðíîå ñåìåéñòâî
ëåé), ÷òî ôóíêöèè èçäåðæåê
aj
L
(îáùåå äëÿ ïðîèçâîäèòå-
âñåõ ïðîèçâîäèòåëåé âûïóêëî-ñîãëàñîâàíû ñ
ýòèì ñåìåéñòâîì.
Òîãäà â ñóùåñòóåò ðàâíîâåñèå.
 ñàìîì äåëå, ñâåðòêà ôóíêöèé aj î÷åâèäíî òîæå âûïóêëî-ñîãëàñîâàíà ñ ëàìèíàðíûì ñåìåéñòâîì L, è ïî îñíîâíîìó ôàêòó ñóáìîäóëÿðíà. Òåïåðü âñå ñëåäóåò èç òåîðåìû 1 .
12
Ñâåðòêà. Îáñóäèì òåïåðü âîïðîñ îá èçìåíåíèè ïàðêåòà ïðè ñâåðòêå. Ïóñòü f
P -âûïóêëàÿ ôóíêöèÿ, à g Q-âûïóêëàÿ ôóíêöèÿ íà áóëåâîì êóáå B. È ïóñòü f˘
è ğ èõ îâûïóêëåíèÿ. Îïðåäåëèì ñâåðòêó f˘ è ğ êàê ôóíêöèþ f˘ ∗ ğ íà óäâîåííîì
êóáå 2[0, 1]n = [0, 2]n , çàäàííóþ ôîðìóëîé
(f˘ ∗ ğ)(x) = min(f˘(y) + ğ(z)),
ãäå y è z ïðèíàäëåæàò êóáó [0, 1]n è x = y + z . Äîâîëüíî ëåãêî ïîíÿòü, ÷òî ýòà
ñâåðòêà f˘∗ğ áóäåò è âûïóêëîé ôóíêöèåé, è R-âûïóêëîé îòíîñèòåëüíî íåêîòîðîãî
ïàðêåòà R (óäâîåííîãî êóáà), ïàðêåòèíû êîòîðîãî èìåþò âèä P + Q (ãäå P ∈ P ,
Q ∈ Q).
Îäíàêî çäåñü íàñ ïîäñòåðåãàþò äâå íåïðèÿòíîñòè. Ñ îäíîé ìû ôàêòè÷åñêè
óæå ñòàëêèâàëèñü. Ñóììû ñèìïëåêñîâ ñòàíäàðòíîé òðèàíãóëÿöèè êóáà ìîãóò íå
áûòü ñòàíäàðòíûìè ñèìïëåêñàìè; áîëåå òîãî, îíè ìîãóò îêàçàòüñÿ è íå ñîñòàâëåííûìè èç òàêèõ ñèìïëåêñîâ. Ñ ýòèì îáñòîÿòåëüñòâîì ñâÿçàíî òî, ÷òî ñâåðòêà
ñóáìîäóëÿðíûõ ôóíêöèé ÷àñòî áûâàåò íåñóáìîäóëÿðíîé.
Âòîðàÿ íåïðèÿòíîñòü: ìîæåò îêàçàòüñÿ, ÷òî â íåêîòîðûõ öåëûõ òî÷êàõ f˘ ∗ ğ
áóäåò ñòðîãî ìåíüøå, ÷åì f ∗ g . Ïîýòîìó ôóíêöèÿ f˘ ∗ ğ , îãðàíè÷åííàÿ íà åäèíè÷íûé êóá, áóäåò îòëè÷àòüñÿ îò îâûïóêëåíèÿ f ∗ g .
×òîáû ñïðàâëÿòüñÿ ñ ýòîé òðóäíîñòüþ, ìû ðàçðàáîòàëè â [2] òåîðèþ äèñêðåòíî âûïóêëûõ ìíîæåñòâ. Íàèáîëåå èíòåðåñíûé êëàññ âûïóêëûõ ìíîãîãðàííèêîâ
äîñòàâëÿåò êëàññ öåëûõ ïîëèìàòðîèäîâ. Ñêàæåì îá ýòîì ïîäðîáíåå â ñëåäóþùåì
ðàçäåëå.
6
Ïîëèìàòðîèäû
Ôèêñèðóåì öåëîå n. Ñèìâîëîì A = A(n) îáîçíà÷èì íàáîð âåêòîðîâ (â Rn ) âèäà
1i − 1j èëè ±1i , ãäå 1i îáîçíà÷àåò i-é áàçèñíûé âåêòîð â Rn . Ïîëèìàòðîèäîì
áóäåì íàçûâàòü ÖÅËÛÉ âûïóêëûé ìíîãîãðàííèê â Rn , ëþáîå ðåáðî êîòîðîãî
ïàðàëëåëüíî íåêîòîðîìó ýëåìåíòó èç A. Ïî äðóãîìó òàêèå ìíîãîãðàííèêè ìîæíî
íàçûâàòü (öåëûìè) A-âûïóêëûìè.
Íåêîòîðûå ïðèìåðû íà èëëþñòðàöèþ ïîëèìàòðîèäíîñòè.
I. Êóá (è âîîáùå ëþáîé öåëûé ïàðàëëåëåïèïåä, èõ åùå íàçûâàþò ÿùèêàìè)
â Rn ÿâëÿåòñÿ ïîëèìàòðîèäîì.
P
II. Ïîäìíîæåñòâî â ÿùèêå, âûñå÷åííîå íåðàâåíñòâàìè a ≤ i xi ≤ b, ãäå a è
b öåëûå, ÿâëÿåòñÿ ïîëèìàòðîèäîì.  ÷àñòíîñòè, ëþáîé ãèïåðñèìïëåêñ ÿâëÿåòñÿ
ïîëèìàòðîèäîì.
Ìíîãîãðàííèêè òàêîãî âèäà íàçûâàþòñÿ îáîáùåííûìè ÿùèêàìè. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ïåðåñå÷åíèå ïîëèìàòðîèäà ñ ëþáûì îáîáùåííûì ÿùèêîì ÿâîÿåòñÿ
ïîëèìàòðîèäîì.
III. Îêòàýäð â R3 , çàäàííûé óðàâíåíèÿìè 0 ≤ xi ≤ 1, 1 ≤ x1 + x2 + x3 ≤ 2,
ÿâëÿåòñÿ ïîëèìàòðîèäîì. Åñëè ýòîò îêòàýäð ðàññå÷ü ïëîñêîñòüþ x1 = x2 (èëè
x1 = x2 , èëè x2 = x3 ), òî êàæäàÿ ïîëîâèíêà îêòàýäðà ÿâëÿåòñÿ ïîëèìàòðîèäîì.
Âàæíîå ñâîéñòâî ïîëèìàòðîèäîâ äàåòñÿ ñëåäóþùåé òåîðåìîé:
13
Òåîðåìà Ýäìîíäñà. Ïåðåñå÷åíèå ÄÂÓÕ ïîëèìàòðîèäîâ ÿâëÿåòñÿ öåëûì
ìíîãîãðàííèêîì (â îáùåì ñëó÷àå - íå ïîëèìàòðîèäîì).
Ñêàæåì, ÷òî ïàðêåò ïîëèìàòðîèäíûé, åñëè âñå åãî ïàðêåòèíû ÿâëÿþòñÿ ïîëèìàòðîèäàìè. Èç òåîðåìû Ýäìîíäñà âèäíî, ÷òî ëþáûå äâà ïîëèìàòðîèäíûõ
ïàðòêåòà ñîâìåñòèìû.
Âûïóêëàÿ ôóíêöèÿ F (íà íåêîòîðîì ïîëèìàòðîèäå P ⊂ Rn ) íàçûâàåòñÿ âûïóêëîé ïîëèìàòðîèäíîé (èëè A-âûïóêëîé) ôóíêöèåé, åñëè ñóùåñòâóåò ïàðêåò P
(ìíîãîãðàííèêà P ), òàêîé ÷òî
1) ôóíêöèÿ F ñîãëàñîâàíà ñ ïàðêåòîì P ,
2) âñå ïàðêåòèíû P ÿâëÿþòñÿ ïîëèìàòðîèäàìè.
Íàêîíåö, `äèñêðåòíàÿ' ôóíêöèÿ f íà (íåêîòîðîì êîíå÷íîì ïîäìíîæåñòâå D â
Zn ) íàçûâàåòñÿ A-âûïóêëîé, åñëè
1) D = co(D) ∩ Zn ,
2) åñëè F = f˘ - îâûïóêëåíèå f , òî F |D = f ;
3) ôóíêöèÿ F A-âûïóêëà.
Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ìíîãîãðàííèê co(D) â ýòîì ñëó÷àå ÿâëÿåòñÿ ïîëèìàòðîèäîì. Íàïðèìåð, èç II âèäíî, ÷òî ëþáàÿ äèñêðåòíàÿ ôóíêöèÿ âèäà ϕ(x1 + ... + xn ),
ãäå ϕ - âûïóêëàÿ ôóíêöèÿ îäíîé ïåðåìåííîé, ÿâëÿåòñÿ A-âûïóêëîé.
Ãëàâíîå ñâîéñòâî `äèñêðåòíûõ' A-âûïóêëûõ ôóíêöèé ñîñòîèò â òîì, ÷òî îíè
ñòàáèëüíû îòíîñèòåëüíî ñâåðòîê. Òî åñòü åñëè f è g - `äèñêðåòíûå' A-âûïóêëûå
ôóíêöèè, òî òàêîâà æå èõ ñâåðòêà f ∗ g .
Ïðèìåíèì òåïåðü ýòîò áàãàæ ê çàäà÷å ðàâíîâåñèÿ.
Òåîðåìà 2. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî
1) ôóíêöèè èçäåðæåê
aj
2) ôóíêöèè ïîëåçíîñòè
ìàòðîèäíîãî ïàðêåòà êóáà
ÿâëÿþòñÿ (äèñêðåòíûìè)
A-âûïóêëûìè;
ui ÿâëÿþòñÿ P -âîãíóòûìè
[0, 1]n .
äëÿ íåêîòîðîãî ïîëè-
Òîãäà â ìîäåëè ñóùåñòâóþò ðàâíîâåñèÿ.
Ïðèâåäåì äîêàçàòåëüñòâî, òàê êàê â íàøèõ ñòàðûõ ðàáîòàõ ýòîãî ðåçóëüòàòà
íå áûëî. Â ñàìîì äåëå, êàê óæå ãîâîðèëîñü, ôóíêöèÿ àãðåãèðîâàíûõ èçäåðæåê A
ÿâëÿåòñÿ A-âûïóêëîé êàê ñâåðòêà A-âûïóêëûõ ôóíêöèé. Ïîýòîìó A Q-âûïóêëà
äëÿ íåêîòîðîãî ïîëèìàòðîèäíîãî ïàðêåòà Q. Ñîãëàñíî òåîðåìå Ýäìîíäñà, ïîëèìàòðîèäíûå ïàðêåòû P è Q ñîâìåñòèìû. Îñòàåòñÿ ïðèìåíèòü Ñëåäñòâèå 2 èõ
ðàçäåëà 4. Çàìåòèì, ÷òî â îáùåì ñëó÷àå ñóììà A-âîãíóòûõ ôóíêöèé íå ÿâëÿåòñÿ Aâîãíóòîé. Ïîýòîìó ìû âûíóæäåíû òðåáîâàòü ñîãëàñîâàííîñòü ui ñ íåêîòîðûì
îáùèì äëÿ âñåõ ïàðêåòîì P . ×òîáû ïîñëåäíåå òðåáîâàíèå íå îñòàëîñü âèñÿùèì
â âîçäóõå, ïðèâåäåì îäèí âàæíûé ñïîñîá êîíñòðóèðîâàíèÿ ïîëèìàòðîèäíûõ ïàðêåòîâ è ñîîòâåòñòâóþùèõ âîãíóòûõ ôóíêöèé. Ñïîñîá ñíîâà îïèðàåòñÿ íà ëàìèíàðíûå ñåìåéñòâà, ââåäåííûå â ïðåäûäóùåì ðàçäåëå.
Èòàê, ïóñòü äàíî íåêîòîðîå ëàìèíàðíîå ñåìåéñòâî L ïîäìíîæåñòâ â {1, ..., n}.
Äëÿ
P êàæäîãî A ∈ L ðàçðåæåì êóá ãèïåðïëîñêîñòÿìè âèäà x(A) = k , ãäå x(A) =
i∈A xi , à k - öåëîå íåîòðèöàòåëüíîå ÷èñëî. Êîãäà ìû ïðîâåäåì òàêèå ðàçðåçû
14
äëÿ âñåõ A ∈ L è âñåõ k , ìû ïîëó÷èì ïîëèýäðàëüíîå ðàçáèåíèå (îáîçíà÷èì åãî
êàê P(L)) åäèíè÷íîãî êóáà. Íåî÷åâèäíîå, íî âåðíîå óòâåðæäåíèå ñîñòîèò â òîì,
÷òî ýòî ðàçáèåíèå P(L) ÿâëÿåòñÿ ïîëèìàòðîèäíûì ïàðêåòîì.
Ñëåäóþùàÿ êîíñòðóêöèÿ ïîçâîëÿåò ñòðîèòü ìíîãî (õîòÿ è íå âñå) äèñêðåòíûõ ôóíêöèé, ñîãëàñîâàííûõ ñ ýòèì ïàðêåòîì P(L). Äëÿ ýòîãî ìû äëÿ êàæäîãî
ìíîæåñòâà A îáðàçóåì ôóíêöèþ vA (X) = ϕA (|A ∩ X|), ãäå ϕA - âîãíóòàÿ è ìîíîòîííàÿ ôóíêöèÿ îò îäíîãî ïåðåìåííîãî (íàïðèìåð, log), à | | îáîçíà÷àåò ÷èñëî
ýëåìåíòîâ ñîîòâåòñòâóþùåãî êîíå÷íîãî ìíîæåñòâà. Ñóììû ôóíêöèé òàêîãî âèäà (êîãäà A ïðîáåãàåò L) íàçûâàþòñÿ âîãíóòûìè ôóíêöèÿìè, ñîãëàñîâàííûìè
ñ ñåìåéñòâîì L; ëåãêî ïîíÿòü, ÷òî òàêèå ôóíêöèè ÿâëÿåòñÿ P(L)-âîãíóòûìè.
Ñòîèò îòìåòèòü, ÷òî ñâîéñòâî A-âîãíóòîñòè ôóíêöèè ïîëåçíîñòè òåñíî ñâÿçàíî ñî ñâîéñòâîì âàëîâîé çàìåíèìîñòè ñîîòâåòñòâóþùåãî ñïðîñà. Áîëåå ïîäðîáíî
îá ýòîì ñì. [3] èëè [12].
Çàìåòèì, íàêîíåö, ÷òî âìåñòî óíèìîäóëÿðíîé ñèñòåìû A, êîòîðóþ ìû èñïîëüçîâàëè äëÿ îïðåäåëåíèÿ ïîëèìàòðîèäîâ, ìîæíî áûëî áû âçÿòü ëþáóþ äðóãóþ
óíèìîäóëÿðíóþ ñèñòåìó. Íàïðèìåð, ñîñòîÿùóþ èç âåêòîðîâ âèäà 1i +1i+1 +...+1j ,
ãäå i ≤ j . Ýòà ñèñòåìà èçîìîðôíà A, ïîýòîìó ñîîòâåòñòâóþùèå ìíîãîãðàííèêè
ïðåäñòàâëÿþò ëèíåéíûå îáðàçû ïîëèìàòðîèäîâ è äëÿ íèõ âåðíû âñå òå æå ôàêòû, ÷òî è äëÿ ïîëèìàòðîèäîâ. Òàê ÷òî ìû ïîëó÷àåì êó÷ó íîâûõ óòâåðæäåíèé
òèïà òåîðåìû 2.
7
Îáùèå äèñòðèáóòèâíûå ðåøåòêè
Çàêîí÷èì íàøó òåìó òåì, ÷òî ìíîãèå ââåäåííûå âûøå ïîíÿòèÿ èìåþò ñìûñë íå
òîëüêî äëÿ áóëåâîé ðåøåòêè B, íî è äëÿ áîëåå îáùèõ ðåøåòîê.
Âîîáùå, îáðàùåíèå ê ðåøåòêàì âûãëÿäèò âïîëíå åñòåñòâåííî. Îíî îñíîâàíî
íà äâóõ çàìå÷àíèÿõ. Ïåðâîå - ÷òî ìíîæåñòâî D âñåõ (íå îáÿçàòåëüíî ýëåìåíòàðíûõ) È-òîâàðîâ îáëàäàåò ñòðóêòóðîé ïîðÿäêà. Îäèí È-òîâàð áîëüøå äðóãîãî,
åñëè îí ïîçâîëÿåò óäîâëåòâîðèòü âñå ïîòðåáíîñòè, êîòîðûå óäîâëåòâîðÿåò äðóãîé. Íàïðèìåð, áîëåå ïðîäâèíóòàÿ âåðñèÿ êîìïüþòåðíîé ïðîãðàììû. Âòîðîå ÷òî È-òîâàðû ìîæíî îáúåäèíÿòü. È òîãäà ñîñòàâíîé (ñóììàðíûé) òîâàð ìàæîðèðóåò ñîìíîæèòåëè. Èíòåëëåêòóàëüíîñòü È-òîâàðîâ ïðîÿâëÿåòñÿ â òîì, ÷òî òàêîé
ñîñòàâíîé òîâàð ÿâëÿåòñÿ òî÷íîé âåðõíåé ãðàíüþ ñâîèõ ñëàãàåìûõ.  ÷àñòíîñòè,
`ñëîæåíèå' îáëàäàåò ñâîéñòâîì èäåìïîòåíòíîñòè: äâà ýêçåìïëÿðà îäíîãî è òîãî
æå òîâàðà äàþò íå áîëüøå ïîëåçíîñòè, ÷åì îäèí. Êðîìå òîãî, ïðîèçâîäñòâî äâóõ
(èëè áîëåå) ýêçåìïëÿðîâ îäíîãî è òîãî æå òîâàðà îäíèì è òåì æå ïðîèçâîäèòåëåì
òðåáóåò ñòîëüêî æå ðåñóðñîâ, ÷òî è ïðîèçâîäñòâî îäíîãî.
Òàê ìû ïðèõîäèì ê òîìó, ÷òî ìíîæåñòâî È-òîâàðîâ ÿâëÿåòñÿ ðåøåòêîé (äëÿ
ïðîñòîòû, êîíå÷íîé).
Ïîíÿòèå öåíû åñòåñòâåííî ïåðåíîñèòñÿ íà îáùèå ðåøåòêè êàê ìîäóëÿðíàÿ
ôóíêöèÿ. Ýòî ïîçâîëÿåò áåçî âñÿêèõ èçìåíåíèé îïðåäåëèòü ïîíÿòèå êîíêóðåíòíîãî ðàâíîâåñèÿ.
Çäåñü, îäíàêî, íóæíî ñäåëàòü âàæíîå îãðàíè÷åíèå. Îíî ñîñòîèò â òîì, ÷òî íàäî îãðàíè÷èòüñÿ òîëüêî äèñòðèáóòèâíûìè ðåøåòêàìè. Äåëî â òîì, ÷òî íà íåäèñ15
òðèáóòèâíûõ ðåøåòêàõ ìîæåò îêàçàòüñÿ `ìàëî' ìîäóëÿðíûõ ôóíêöèé, ìàëî â
òîì ñìûñëå, ÷òî îíè íå ðàçäåëÿþò íåêîòîðûå òîâàðû. Èíà÷å ãîâîðÿ, íåêîòîðûå
òîâàðû âñåãäà áóäóò èìåòü îäèíàêîâóþ öåíó. Â òî æå âðåìÿ ïðåäïî÷òåíèÿ è/èëè
ôóíêöèè èçäåðæåê ìîãóò ðàçëè÷àòü ýòè íàáîðû.  ðåçóëüòàòå ìû íå ñìîæåì ñ
ïîìîùüþ öåí ðåãóëèðîâàòü ñïðîñ è ïðåäëîæåíèå ìåæäó ýòèìè äâóìÿ `ïîõîæèìè'
òîâàðàìè è ðàâíîâåñèå ìîæåò íå ñóùåñòâîâàòü.
Âèäÿòñÿ äâà áëèçêèõ ñïîñîáà âûéòè èç ýòîé ñèòóàöèè. Ïåðâûé - ðàññìàòðèâàòü äèñòðèáóòèâíûå ðåøåòêè; ìîæíî ïîêàçàòü (ñì. [6]), ÷òî äëÿ íèõ öåíû
ðàçäåëÿþò ýëåìåíòû. Âòîðîé - äîïóñêàòü â êà÷åñòâå ïðåäïî÷òåíèé è ôóíêöèé
èçäåðæåê òîëüêî òàêèå, êîòîðûå ïðèíèìàþò îäèíàêîâûå çíà÷åíèÿ íà ýëåìåíòàõ, íåðàçëè÷èìûõ ñ ïîìîùüþ öåí. Ìû îñòàíîâèìñÿ íà ïåðâîì ñïîñîáå è áóäåì
ïðåäïîëàãàòü äèñòðèáóòèâíîñòü ðåøåòêè D.
Âàæíåéøèé ïðèìåð äèñòðèáóòèâíîé ðåøåòêè (îòëè÷íîé îò áóëåâîé) - ýòî
öåïü. Òî åñòü ëèíåéíî óïîðÿäî÷åííîå ìíîæåñòâî òèïà 1 < 2 < ... < n. Öåíà
òóò - ïðîèçâîëüíîå ìîíîòîííîå îòîáðàæåíèå, òî åñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü p(1) ≤
p(2) ≤ ... ≤ p(n). Ðàññóæäàÿ êàê â ïðîñòåéøåé ñèòóàöèè ñ îäíèì òîâàðîì (ñì.
ðàçäåë 3), ìû ïîëó÷àåì, ÷òî ðàâíîâåñèå ñóùåñòâóåò.
 ñëó÷àå îáùåé äèñòðèáóòèâíîé ðåøåòêè D ðàññóæäåíèå (íàïðàâëåííîå íà
ïîëó÷åíèå òåîðåìû ñóùåñòâîâàíèÿ) îñíîâàíî íà ñëåäóþùåì ôóíäàìåíòàëüíîì
ðåçóëüòàòå, ïîëó÷åííîì Áèðêãîôîì. Ïðåäñòàâèì, ÷òî ó íàñ åñòü (êîíå÷íûé) ïîñåò, òî åñòü ÷àñòè÷íî óïîðÿäî÷åííîå ìíîæåñòâî P . Åãî èäåàëîì (èëè ìèíîðíûì
ïîäìíîæåñòâîì) íàçîâåì ëþáîå ïîäìíîæåñòâî, òàêîå ÷òî îíî ñ êàæäûì ýëåìåíòîì ñîäåðæèò âñå ìåíüøèå. Ìíîæåñòâî âñåõ èäåàëîâ â P îáîçíà÷èì I(P ); îíî
åñòåñòâåííî óïîðÿäî÷åíî ïî âêëþ÷åíèþ. Êðîìå òîãî îáúåäèíåíèå è ïåðåñå÷åíèå
èäåàëîâ òîæå èäåàë. Ïîýòîìó ìíîæåñòâî I(P ) ÿâëÿåòñÿ ðåøåòêîé, ïðè÷åì, êàê
ëåãêî ïîíÿòü, äèñòðèáóòèâíîé. Åñëè óãîäíî, I(P ) ïðåäñòàâëÿåòñÿ êàê ïîäðåøåòêà â áóëåâîé ðåøåòêå 2P .
Òåîðåìà Áèðêãîôà (ñì., íàïðèìåð, [9]) óòâåðæäàåò, ÷òî òàê ïîëó÷àåòñÿ ëþáàÿ (êîíå÷íàÿ) äèñòðèáóòèâíàÿ ðåøåòêà. Áîëåå òîãî, ñîîòâåòñòâóþùèé ïîñåò
ñòðîèòñÿ ÿâíî è åñòåñòâåííî, íî íàì íåò îñîáîé íóæäû âõîäèòü áîëåå ïîäðîáíî â ýòîò âîïðîñ. Ôàêò òîò, ÷òî ðàáîòàÿ ñ äèñòðèáóòèâíîé ðåøåòêîé D, ìû ìîæåì ñ÷èòàòü, ÷òî îíà èìååò âèä I(P ) äëÿ íåêîòîðîãî ïîñåòà P . Ïóñòü òåïåðü
X1 < X2 < ... < Xk - âîçðàñòàþùàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ýëåìåíòîâ D, òî åñòü
ïîäìíîæåñòâ â P . Êàê è ðàíüøå, ìû ñâÿæåì ñ ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ ñèìïëåêñ â êóáå [0, 1]n , ãäå n = |P |. ßñíî, ÷òî ïðè ýòîì ïîëó÷àþòñÿ ñèìïëåêñû
ñòàíäàðòíîé òðèàíãóëÿöèè T , õîòÿ â îáùåì ñëó÷àå è íå âñå. Äîâîëüíî ïðîñòîé
ôàêò (ñì. [6]) ñîñòîèò â òîì, ÷òî ýòè ñèìïëåêñû ïîêðûâàþò ÂÛÏÓÊËÎÅ ïîäìíîæåñòâî C(P ) â êóáå [0, 1]n . Ìîæíî äàæå áîëåå ÿâíî ñêàçàòü, ÷òî ýòî âûïóêëîå
ïîäìíîæåñòâî (ìíîãîãðàííèê) C(P ) ñîñòîèò èç âñåõ ìîíîòîííûõ îòîáðàæåíèé
ïîñåòà P â îòðåçîê [0, 1].
Ïîñëå ýòîãî ìîæíî ðàññóæäàòü êàê â ðàçäåëå 5. Ñóïåðìîäóëÿðíûå ôóíêöèè
íà ðåøåòêå D ýòî â òî÷íîñòè âîãíóòûå ôóíêöèè, ñîãëàñîâàííûå ñî ñòàíäàðòíîéîé
òðèàíãóëÿöèåé C(P ); ñóáìîäóëÿðíûå ôóíêöèè - âûïóêëûå ôóíêöèè íà C(P ),
ñîãëàñîâàííûå ñ òîé æå òðèàíãóëÿöèåé. È ìû ïîëó÷àåì âàðèàíò Òåîðåìû 1:
Òåîðåìà 3. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî
16
0) ðåøåòêà
D
äèñòðèáóòèâíà;
ui ñóïåðìîäóëÿðíû;
A = ∗j aj ñóáìîäóëÿðíà.
1) âñå èíäèâèäóàëüíûå ôóíêöèè ïîëåçíîñòè
2) ôóíêöèÿ àãðåãèðîâàíûõ èçäåðæåê
Òîãäà ñóùåñòâóåò ðàâíîâåñèå.
Ñïèñîê ëèòåðàòóðû
[1] Arrow K.J. (1994), Information and the organization of industry. in Markets,
Information and Uncertanty, Essays in Economic Theory in Honnor of
K.J.Arrow (ed. G. Chichilnisky), Cambridge University Press, Cambridge, 19-25
[2] Danilov V.I. and G.A.Koshevoy (2004), Discrete Convexity and Unimodularity.
I. Advances in Mathematics, 189 (2004), 301324
[3] Danilov, V. I. , G. A. Koshevoy, and C. Lang (2003): Gross Substitution, Discrete
Convexity and Submodularity. Discrete Applied Mathematics, 131(2),238298
[4] Äàíèëîâ Â.È., Êîøåâîé Ã.À. è À.È. Ñîòñêîâ (1993), Ðàâíîâåñèå â ýêîíîìèêå
ñ èíòåëëåêòóàëüíûìè òîâàðàìè, Ýêîíîìèêà è Ìàòåìàòè÷åñêèå Ìåòîäû,
29, 607-616
[5] Danilov V.I., G.A.Koshevoy and A.I.Sotskov (1994), Equilibrium in a market of
intellectual goods, Mathematical Social Sciences, 27, 133-144
[6] Danilov V.I., G.A.Koshevoy and A.I.Sotskov (1997), Equilibrium analysis of
economies with novelties, J. of Mathematical Economics, 27, 133-144
[7] Danilov V.I., G.A.Koshevoy and A.I.Sotskov (1999), Equilibrium in an economy
with information goods, in Markets, Information and Uncertanty, Essays in
Economic Theory in Honnor of K.J.Arrow (ed. G. Chichilnisky), Cambridge
University Press, Cambridge, 26-44
[8] Danilov V.I., G.A.Koshevoy and A.I.Sotskov (1999), A model of economic
equilibrium in the market for information goods, in Contemporary Economic
Issues (ed. M.Sertel), Macmillan Press and St.Martin's Press, New York, 161
184
[9] Gratzer G. (1978), General Lattice Theory. Springer-Verlag, Berlin, New York.
[10] Lov
asz L. (1983), Submodular functions and convexity, in A. Bachem,
M.Gretschel and B.Korte, eds., Mathematical Programming: The State of the
Art, Springer-Verlag, Berlin, New York, 235-257
[11] Makarov V.L. (1991), About economies of intellectual goods and its modeling,
Report at Sixth Congress of the European Economic Association, Cambridge,
UK.
[12] Murota K. (2003) Discrete Convexc Analysis. University of Tokio, Tokio, Japan.
17