ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ИГР ДЛЯ РЕГУЛИРОВАНИЯ СПРОСА НА ПРОДУКЦИЮ

ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ИГР ДЛЯ РЕГУЛИРОВАНИЯ СПРОСА НА ПРОДУКЦИЮ
Манюрова Д., Павлова А.
Московский государственный университет экономики, статистики и информатики
Студентка группы ДЭН-121б
Научный руководитель: к.э.н., проф. Турундаевский В.Б.
THE APPLICANION OF GAME THEORY TO REGULATE DEMAND FOR THE PRODUCTS
Manyurova D., Pavlova A.
Moscow state University of Economics, statistics and Informatics
Student group DEН-121b,
scientific supervisor: Dr. E. N., Prof., Turundaevskiy V. B.
Достаточно часто решения приходится принимать в условиях неопределенности,
когда нам сознательно противодействует противник. Следствием неопределенности
является то, что успех операции зависит не только от наших решений, но и от чьих–то
решений или действий. Конфликтные ситуации привели к возникновению теории игр,
которая представляет теорию математических моделей принятия решений в условиях
конфликта. Чтобы исключить трудности, возникающие при анализе практических
конфликтных ситуаций в результате наличия многих несущественных факторов, строится
упрощённая модель ситуации. Такая модель называется игрой.
Теория игр исследует оптимальные стратегии в ситуациях игрового характера, а
также поведения субъектов в условиях, когда решения одного из них влияют на решения
всех остальных. Примером могут быть ситуации, связанные с выбором наивыгоднейших
производственных решений. Такие ситуации часто всего возникают в условиях
олигополии, в которой доминирует крайне малое количество фирм (игроков). Продавцы
на олигополистических рынках знают, что, когда они, либо их соперники, изменят цены
или выпускаемое количество продукта, то последствия скажутся на прибылях всех фирм
на рынке. Продавцы осознают свою взаимозависимость, признавая, что изменение цены
на их продукцию или объема выпускаемой продукции вызовет реакцию конкурирующих
фирм.
Важным понятием теории игр является понятие стратегии. Стратегия – это
установленный игроком метод выбора ходов в течение игры. Теория игр была
разработана Дж. фон Нейманном и О. Моргенштерном в 1944 г., ее дальнейшую
разработку продолжил Дж. Нэш. Эта теория имеет большое значение в экономическом
анализе и позволяет объяснить выбор стратегии поведения фирм при олигополии. Она
рассматривает поведение фирм на рынке как игру, причем имеются определенные правила
игры, по результатам которой начисляются «призы» и «штрафы». Участники игры
определенно не знают стратегию конкурента, поэтому их поведение основано лишь на
прогнозах. В модели олигополии фирма осуществляет оптимальную политику,
ориентируясь на действия своих конкурентов, и предполагает, что конкуренты в отрасли
будут поступать аналогичным образом. Данная концепция была сформулирована
Нобелевским лауреатом Дж. Нэшем в 1951 г. и получила название «равновесие Нэша».
Фирмы «играют», т. е. они принимают решение понизить или повысить цену,
рекламировать свою продукцию или нет и т. д. Условием равновесия является то, что если
дана стратегия первого игрока, второму остается только повторить его стратегию.
Применение теории игр на примере олигополии:
Рассмотрим стратегию фирмы А и фирмы В с понижением цены. Если обе фирмы не
понижают цену, то прибыль каждой составит, например, 60 млн. у.е. Если одна из фирм
понижает цену, то она получает конкурентное преимущество и увеличивает прибыль до
85 млн. у.е. В это время конкурент терпит убыток в размере 25 млн. у.е. Если же обе
фирмы в сговоре проводят политику снижения цены, прибыль каждого составит по 12,5
млн. у.е. Необходимо определить, как поступить фирмам А и В, чтобы не проиграть.
Таблица 1.Результы стратегии фирм А и В
Стратегия фирмы А
Без понижения цены
Стратегия фирмы В
Стратегия фирмы А
С понижением цены
Стратегия фирмы В
+60
-25
+60
+85
+85
12,5
-25
12,5
Различают две стратегии поведения, называемые максимин (maximin) и максимакс
(maximax):
1. maximin - это стратегия пессимиста.
2. maximax - это стратегия оптимиста.
Пессимист будет искать наилучший вариант из наихудших результатов. Это ситуация,
когда, например, фирма А ждет, что фирма В понизит цену, и тогда фирма А получит
убыток, при условии, что фирма А снижать цену не станет. Чтобы обеспечить себе
наименее плохой результат из всех плохих вариантов, фирма А понижает цену, поскольку
это позволит ему получить прибыть в размере 85 млн. у.е., если фирма В цену не снизит.
Аналогично будет рассуждать и о фирме В. В результате, не сговариваясь, обе фирмы
придут к решению провести политику снижения цены и тем самым обеспечат себе
прибыль в размере 12,5 млн. у.е.
Оптимист надеется на самый лучший вариант решения вопроса. Фирма А думает, что
фирма В понизит цену, и поэтому решает провести политику снижения цены первым. Но,
фирма В также оптимист и поступает аналогичным образом. В результате, не
сговариваясь, обе фирмы придут к решению понизить цены и получат прибыль в размере
12,5 млн. у.е. Стратегии maximin и maximax привели фирмы А и В к одному результату, а
именно, фирмы получат одинаковые прибыли – это и есть решение Нэша.
Экономические задачи с использованием теории игр также можно решить с помощью
платежной матрицы, в которой исход задачи определит цена игры. Рассмотрим пример в
чистых стратегиях, в условиях реальной экономики, в ситуации борьбы двух предприятий
за рынок продукции:
Предположим, два предприятия производят продукцию и поставляют ее на рынок.
Каждое из предприятий имеет возможность производить продукцию с применением
одной из трех различных технологий. В зависимости от экологичности технологического
процесса и качества продукции, произведенной по каждой технологии, предприятия могут
установить цену единицы продукции на уровне 10, 6 и 2 денежных единиц
соответственно. При этом предприятия имеют различные затраты на производство
единицы продукции.
Таблица 2. Затраты на ед. продукции, произведенной на предприятиях
Технология
Цена реализации ед.
продукции, ден.ед.
Полная себестоимость ед.
продукции, ден. ед.
Предприятие Предприятие
1
2
Ι
10
5
8
ΙΙ
6
3
4
ΙΙΙ
2
1
1
В результате маркетингового исследования рынка продукции региона была определена
функция спроса на продукцию:
Y = 6 - 0.5⋅X,
где Y — количество продукции, которое приобретет население (тыс. ед.), а X — средняя
цена продукции предприятий, ден.ед.
Таблица 3. Спрос на продукцию, тыс. ед.
Цена реализации 1 ед. продукции, ден. ед.
Предприятие 1
Предприятие 2
Средняя цена
Спрос на
реализации 1 ед.
продукцию, тыс. ед.
продукции, ден. ед.
10
10
10
1
10
6
8
2
10
2
6
3
6
10
8
2
6
6
6
3
6
2
4
4
2
10
6
3
2
6
4
4
2
2
2
5
Значения долей продукции предприятия 1, приобретенной населением, зависят от
соотношения цен на продукцию предприятия 1 и предприятия 2. В результате
маркетингового исследования установлена следующая зависимость:
Таблица 4. Доля продукции предприятия 1, приобретаемой населением в зависимости
от соотношения цен на продукцию.
Цена реализации 1 ед. продукции, ден. ед.
Доля продукции Предприятия 1,
купленной населением
Предприятие 1
Предприятие 2
10
10
0,31
10
6
0,33
10
2
0,18
6
10
0,7
6
6
0,3
6
2
0,2
2
10
0,92
2
6
0,85
2
2
0,72
По условию задачи на рынке действует только 2 предприятия. Поэтому долю
продукции второго предприятия, приобретенной населением, в зависимости от
соотношения цен на продукцию можно определить как единица минус доля первого
предприятия.
Стратегиями предприятий в данной задаче являются их решения относительно
технологий производства продукции. Эти решения определяют себестоимость и цену
реализации единицы продукции.
Определим экономический смысл коэффициентов выигрышей в платежной матрице
задачи. Каждое предприятие стремится к максимизации прибыли от производства
продукции. Но, кроме того, в данном случае предприятия ведут борьбу за рынок
продукции. При этом выигрыш одного предприятия означает проигрыш другого. Такая
задача может быть сведена к матричной игре с нулевой суммой. При этом
коэффициентами выигрышей будут значения разницы прибыли предприятия 1 и
предприятия 2 от производства продукции. В случае если эта разница положительна,
выигрывает предприятие 1, а в случае, если она отрицательна – предприятие 2.
Значения разницы прибыли предприятий, соответствующие коэффициентам
платежной матрицы, необходимо определить по формуле:
D = p⋅(S⋅R1 - S⋅C1) - (1 - p)⋅(S⋅R2 - S⋅C2),
где D – значение разницы прибыли от производства продукции предприятия 1 и 2;
p – доля продукции предприятия 1, приобретаемой населением;
S – количество продукции, приобретаемой населением;
R1 и R2 – цены реализации ед. продукции предприятиями 1 и 2;
C1 и C2 – полная себестоимость ед. продукции, произведенной на предприятиях 1 и 2.
Вычислим один из коэффициентов платежной матрицы:
Пусть, например, предприятие 1 принимает решение о производстве продукции в
соответствии с технологией III, а предприятие 2– в соответствии с технологией II. Тогда
цена реализации ед. продукции для предприятия 1 составит 2 ден.ед. при себестоимости
ед. продукции 1,5 ден.ед. Для предприятия 2 цена реализации ед. продукции составит 6
ден.ед. при себестоимости 4 ден.ед. Количество продукции, которое население
приобретает по средней цене 4 ден.ед., равно 4 тыс. ед. (Таблица 3). Доля продукции,
которую население приобретет у предприятия 1, составит 0,85, а у предприятия 2 – 0,15
(Таблица 4). Вычислим коэффициент платежной матрицы a32 по формуле:
аଷଶ = 0, 85 × (4×2 – 4×1,5) – 0,15×(4×6 - 4×4) = 0,5 тыс. ед.,
где i=3 – номер технологии первого предприятия, а j=2 – номер технологии второго
предприятия.
Аналогично вычислим все коэффициенты платежной матрицы. В платежной матрице
стратегии A1–A3 – представляют собой решения о технологиях производства продукции
предприятием 1, стратегии B1–B3 – решения о технологиях производства продукции
предприятием 2, коэффициенты выигрышей — разница прибыли между предприятием 1 и
предприятием 2.
Матрица 1. Платежная матрица.
В1
В2
В3
Min j
А1
0,17
0,62
0,24
0,17
А2
0,3
-1,5
-0,8
-1,5
А3
0,9
0,5
0,4
0,4
Max i
0,9
0,62
0,4
В данной матрице нет ни доминируемых, ни дублирующих стратегий. Это значит, что для
обоих предприятий нет заведомо невыгодных технологий производства продукции.
Нижняя цена игры в матрице равна 0,4. Верхняя цена игры также равна 0,4. Таким
образом, нижняя и верхняя цена игры в матрице совпадают. Это значит, что имеется
технология производства продукции, которая является оптимальной для обоих
предприятий в условиях данной задачи. Эта технология III, которая соответствует
стратегиям A3 предприятия 1 и B3 предприятия 2. Стратегии A3 и B3 – чистые
оптимальные стратегии в данной задаче.
Из решения данной задачи можно сделать следующий вывод о том, что значение
разницы прибыли предприятия 1 и предприятия 2 при выборе чистой оптимальной
стратегии положительно. Это означает, что предприятие 1 выиграет в данной игре.
Выигрыш предприятия 1 составит 0,4 тыс. ден.ед. При этом на рынке будет реализовано 5
тыс. ед. продукции (реализация равна спросу на продукцию, таблица 3). Оба предприятия
установят цену за единицу продукции в 2 ден.ед. При этом для первого предприятия
полная себестоимость единицы продукции составит 1,5 ден.ед., а для второго – 1 ден.ед.
Предприятие 1 окажется в выигрыше лишь за счет высокой доли продукции, которую
приобретет у него население.
Итак, теория игр, как один из подходов в прикладной математике, применяется для
изучения поведения человека и животных в различных ситуациях. Первоначально теория
игр начала развиваться в рамках экономической науки, позволив понять и объяснить
поведение экономических агентов в различных ситуациях. Позднее область применения
теории игр была расширена на другие социальные науки; в настоящее время теория игр
используется для объяснения поведения людей в политологии, социологии и психологии.
Но, стоит отметить и то, что теория игр является очень сложной областью знания. При
обращении к ней надо соблюдать известную осторожность и четко знать границы
применения. Слишком простые толкования таят в себе скрытую опасность. Анализ на
основе теории игр, из-за их сложности, рекомендуются лишь для особо важных
проблемных областей. Опыт показывает, что использование соответствующего
инструментария предпочтительно при принятии однократных, принципиально важных
плановых стратегических решений, в том числе при подготовке крупных кооперационных
договоров.
Использованные источники:
1) Лабскер Л.Б., Ященко Н.А. Теория игр в экономике (практикум с решениями задач).
Под редакцией Л.Г. Лабскера. М., Кнорус, 2013
2) Дубина И.Н. Основы теории экономических игр. Учебное пособие. М., Кнорус, 2013
Список использованных источников:
1. Васин А.А., Морозов В.В.: «Введение в теорию игр с приложениями к экономике».
[Электронный ресурс]. Режим доступа: http://math-portal.ru/. (Дата обращения:
20.11.2014г.);
2. Экономический портал. [Электронный ресурс]. Режим доступа:
http://institutiones.com/. (Дата обращения: 21.11.2014г.);
3. Математическое приложение. [Электронный ресурс]. Режим доступа:
http://www.seinstitute.ru/Files/50_p618(ix).pdf. (Дата обращения: 23.11.2014г.)