Гетерогенность потребителей, много

Гетерогенность потребителей, много-продуктовость фирм и качество
продукции
Вербус В.А.1, 2 , Кичко С.И.3, Ошарин А.М. 1
1
НИУ ВШЭ, Нижний Новгород, 2 ИФМ РАН, Нижний Новгород, 3 НИУ ВШЭ, Санкт Петербург
Аннотация
В работе рассмотрена модель монополистической конкуренции для случая гетерогенных потребителей, отличающихся
друг от друга разным отношением к качеству продукции. Для этого рассмотрена модель потребителей, в которую
помимо любви к разнообразию включена любовь к качеству продукции. Промышленный сектор в свою очередь состоит
из фирм, которые производят множество дифференцируемых продуктов разного качества, ориентированных на
определённый тип покупателя, т.е. рассматривается случай много - продуктовых фирм.. Получена функция спроса и
предложения на качество товара, рассмотрены состояния равновесия в долгосрочном и краткосрочном периодах, для
двух различных ситуаций, когда фирмы имеют рыночную власть при определении качества продукции и когда они ей не
обладают.
Введение
Реальные потребители неоднородны в своих предпочтениях, это может быть связано с множеством
причин, таких как различия в доходе, образовании, культуре, воспитании и т.д. Следствием
неоднородности потребителей является то, что они предпочитают потреблять товары из
определённого ценового диапазона связанного с определённым качеством товара. Качество товара
является дополнительной по сравнению с ценой характеристикой товара, и может носить
субъективный характер со стороны потребителей. В свою очередь со стороны производства,
издержки производства товаров различного качества могут быть различными. Для построения
экономической модели необходима объективная и верифицируемая характеристика, которая бы
оценивала качество товара. В качестве таковой можно рассматривать степень сложности и
функциональности товаров, которая может быть связана с числом комплектующих, промежуточных,
товаров, входящих в конечную продукцию либо с уровнем производственных издержек, в
зависимости от вида товара. Последние величины для разных товаров различного качества в
принципе могут быть оценены. Действительно товары более высокого ценового диапазона, например
автомобили
или
телефоны,
имеют
больше
дополнительных
опций,
а
следовательно
и
комплектующих, по сравнению с более дешевыми товарами. Таким образом, под качеством товара в
1
данном контексте будем подразумевать степень его сложности и функциональности, которая
косвенным образом связана с количеством комплектующих, промежуточных товаров входящих в
конечный продукт. Итак, на рынке существуют товары различного качества, и потребители
потребляют не все товары всего ценового и качественного диапазона, представленного на рынке, а
предпочитают потребление товаров, которые обеспечивают максимум полезности их целевой
функции полезности. Т.е. потребители находят оптимум между ценой и качеством, причем у каждой
группы потребителей с различными предпочтениями, этот оптимум может быть разным.
Со стороны предложения, фирмы могут придерживаться разной ценовой и продуктовой
политики. Некоторые фирмы ориентируются только на своего потребителя, выпуская товары
определённого качества, причем это могут быть как одно-продуктовые фирмы, так и многопродуктовые, но производящие дифференцируемые товары одного качества. В этом случае уровень
качества может определяться либо для определённой группы потребителей либо для усреднённого,
репрезентативного потребителя. Другая продуктовая политика фирм может быть связана с
производством множества дифференцируемых товаров разного качества, которые предназначены
для определённой группы потребителей со своими предпочтениями. В этой ситуации производитель
устанавливает цену и уровень качества на определённый вид продукции так чтобы получить
максимальную прибыль. Однако в силу не наблюдаемости характеристик потребителей может
возникнуть ситуация когда потребители определённого типа предпочтут выбирать товар
предназначенный для другого типа потребителей. Способ решения данной проблемы зависит от
конкретной ситуации, т.е. от структуры рынка потребителей и структуры производства. Цель данной
работы построение модели монополистической конкуренции в ситуации много-продуктовых фирм,
выпускающих товар различного качества и гетерогенных потребителей.
1. Модель
Задача Потребителя
Рассмотрим
ситуацию,
когда
на
рынке
существуют
i = 1,..., N
фирм,
производящих
дифференцированные товары. Причем каждая фирма производит линейку товаров k = 1,..., n
разного качества αik , каждый тип товара рассчитан на определённый тип покупателей в
соответствии с их предпочтениями. Будем полагать, что потребители гетерогенны в плане своих
предпочтений, что может быть связано с их доходами, привычками и традициями. Пусть количество
групп потребителей равно n. Каждый потребитель потребляет по одному типу товара определённого
качества, произведённого каждой фирмой. Предпочтение потребителя принадлежащего k - ой
группе задаётся аддитивно сепарабельной функцией:
2
N
Uk =
∫ u (x
k
ik
, αik )di
(1)
0
Здесь
u k ( xik , α ik )
- функция полезности нижнего уровня, для потребителя принадлежащего k - ой
группе, она зависит от величины потребления товара
i
- ой разновидности в объеме
xik и качества
α ik . Чем больше принимает значение параметр α ik , тем больше пользы от его потребления получает
потребитель. В представленной функции полезности (1) одновременно учитывается любовь к
разнообразию и любовь к качеству продукции:
∂u(x ik , αik )
∂x ik
∂u(x ik , αik )
> 0,
∂αik
>0
(2)
В дальнейшем мы будем накладывать дополнительные ограничения на вид функции полезности
нижнего уровня
u (x i ) , как это делалось в [6]. Бюджетное ограничение для потребителя из k - ой
группы имеет вид:
N
ck =
∫ p (α
i
ik
)x ikdi
(3)
0
т.е. предполагается, что потребители потребляют всё разнообразие товаров
N
, представленных на
рынке, но из линейки товаров выпускаемой каждой фирмой, выбирают по одному типу товара,
качества α ik . То есть потребитель из k - ой группы потребляет товар
i -ой
разновидности в
количестве xik качества α ik .
Оптимизационная задача для потребителя из k - ой группы имеет вид:
N
N
⎛
⎞⎟
⎜⎜
⎟
Lk = U k + λk ⎜ck − ∫ pik (αik )x ikdi ⎟⎟ = λkck + ∫ (uk (x ik , αik ) − λk pik (αik )x ik )di
⎜⎝
⎠⎟
0
0
При потреблении товара
i-
(4)
ой разновидности потребитель одновременно решает две задачи, он
выбирает, какой товар, какого качества, ему потреблять из торговой линейки
i - ой фирмы, а также
объём потребления при соответствующей цене. Процедуру принятия решения потребителя можно
смоделировать различными способами, мы будем рассматривать вариант, когда потребитель
одновременно решает задачу выбора качества продукции и объёма потребления. Тогда в этом случае
в результате решения оптимизационной задачи (4) получается функции реакции для объёма
потребления от цены и качества продукции, которую можно рассматривать как функцию спроса при
фиксированном значении качества продукции. А также получается функция реакции качества
продукции от объёма потребления и цены, что при фиксированном объёме потребления можно
3
рассматривать как функцию спроса качества продукции от цены. Т.е. в этом случае мы можем
говорить о спросе на качество продукции.
Условие первого порядка по xi k , при фиксированном значении качества, позволяет получить
обратную функцию спроса на i - ый товар качества α i k :
pik (x ik , αik ) =
1 ∂uk (x ik , αik )
λk
∂x ik
(5)
Условие первого порядка по α i k при фиксированной величине потребления дает обратную функцию
спроса на качество α i k для i - ого товара в количестве xik
∂pik (x ik , αik )
=
∂αik
1 ∂uk (x ik , αik )
x ik λk
∂αik
(6)
Обратим внимание, что в обратной функции спроса на качество товара вместо цены, как в случае
обычной функции спроса, выступает производная цены по качеству продукции, т.е. при выборе
уровня качества потребления для потребителя важно, насколько товары разного качества отличаются
по цене. Также из формулы (6) следует, что выбор качества товара также зависит от объема
потребления. Т.е. потребитель выбирает оптимальное соотношение цены и качества. Из (6) и (5)
получается следующее выражение для обратной функции спроса на качество товара.
∂pik (x ik , αik )
∂αik
=
pik εα (uk (x ik , αik ))
(7)
αik εx (uk (x ik , αik ))
Где εα (uk (x ik , αik )), εx (uk (x ik , αik )) - эластичности функции полезности по качеству товара и
объёму потребления, соответственно:
εα (uk (x ik , αik )) =
αik
∂uk (x ik , αik )
uk (x ik , αik )
∂αik
;
εx (uk (x ik , αik )) =
x ik
∂uk (x ik , αik )
uk (x ik , αik )
∂x ik
(8)
Следовательно, эластичность спроса на качество по цене из (7) имеет вид:
εα =
pik ∂αik
αik ∂pik
=
εx (uk (x ik , αik ))
(9)
εα (uk (x ik , αik ))
В случае обобщённой CES – функции,
β
uk (x ik , αik ) = αikk x ikρ , где ρ = (σ − 1) σ , (0 < ρ ≤ 1) , β k
– любовь к качеству продукции, эластичность спроса качества товара по цене принимает постоянное
значение и падает с ростом любви к качеству продукции и уровнем дифференциации продукции.
εα =
(σ − 1)
σβ
(10)
Из формулы (5) можно получить эластичность спроса по цене:
4
εx (x ik , αik ) = −
1 − rα (x ik , αik ) ⋅ εα (x ik , αik )
(11)
ru (x ik , αik )
Здесь
ru (x ik , αik ) ≡ −
x ik uxx′′ (x ik , αik )
>0
ux′ (x ik , αik )
(12)
определяет «относительную склонность к разнообразию». В случае обобщённой CES функции,
относительная склонность к разнообразию оказывается постоянной, не зависящей от уровня
потребления, величиной ru (x ik , αik ) = 1 − ρ = 1 σ . Для более общего случая ru (x ik , αik ) может
зависеть от x ik и αik . Однако для любого значения x будем полагать 0 < ru (xik , αi k ) < 1 .
rα (x ik , αik ) = αik
ux′′α (x ik , αik )
,
ux′ (x ik , αik )
(13)
коэффициент определяет «относительную любовь к качеству продукции». Действительно для
обобщённой CES функции rα (x ik , αik ) = βk .
В случае обобщённой CES функции ценовая эластичность спроса становится постоянной и
равной εx (x ik , αik ) = −1 . Т.е. в ситуации, когда у потребителя есть возможность выбора объёма
потребления и качества товара ценовая эластичность спроса по цене не зависит от предпочтений
потребителей, это связанно стем что изменение цены товара автоматически сопровождается
изменением качества, что приводит к уменьшению модуля эластичности спроса. Причем это
уменьшение для CES функции точно приводит к единичному эластичному спросу, это является
свойством CES функции, в более общем случае эластичность спроса определяется формулой (10).
Для нахождения рыночного равновесия необходимо рассмотреть задачу производителя. Для
i - ой фирмы выпускающей k - ю разновидность товара, ориентированную на потребителя из k - ой
группы прибыль имеет вид:
πik = (pik (x ik , αik ) − mi (αik ))Lk x ik − fi (αik )
Здесь Lk количество населения, принадлежащей k - ой группе L =
(14)
n
∑L
k =1
k
, а mi (αik ), fi (αik ) -
переменные и постоянные издержки i - ой фирмы при выпуске товара αik - ого качества,
соответственно. Будем полагать, что предельные и постоянные издержки в свою очередь зависят от
качества продукции αi :
dm
df
> 0,
> 0 ; хотя для высокотехнологичной продукции может
dα
dα
5
наблюдаться и другая зависимость:
dm
df
< 0,
> 0 , что соответствует тому, что производство
dα
dα
высокотехнологичного оборудования может сопровождаться увеличением постоянных издержек и
уменьшением переменных. Постоянные издержки также могут также зависеть от производства
других товаров другого качества, следовательно, зависеть от n . Скорее всего эта зависимость
убывающая, поскольку часть постоянных издержек при выпуске товара αik - ого качества может
входить
в
постоянные
издержки
производства
товаров
другого
качества,
следовательно
распределятся между производством других товаров, другого качества.
Фирма определяет объем выпускаемой продукции q и величину качества продукции α i исходя из
i
максимизации своей прибыли. Причем процедура принятия решения производителем может быть
различна. В первом случае фирма сначала определяет уровень качества производимой продукции, а
потом уже для фиксированного значения
α определяет цену товара. В другом варианте фирма
одновременно определяет уровень качества для потребителей принадлежащей k - ой группе и цену
на данный товар. Рассмотрим второй сценарий . Условие первого порядка функции прибыли:
⎛ u ′ (x , α )
⎞⎟
πik = ⎜⎜⎜ x ik ik − mi (αik )⎟⎟ Lk x ik − fi (αik )
⎜⎝
λk
⎠⎟
(15)
по x ik , при фиксированном значении уровня качества, дает следующее выражение для цены:
pik (αik ) =
Здесь
1
m(αik );
(1 − ru (x ik , αik ))
x ik (αik ) =
ck
Npik (αik )
(16)
ru (x ik , αik ) определяется формулой (11). В выражении (15) сделано предположение о
симметричности фирм, следовательно, цена, выпуск и качество зависят только от k но не зависят от
i и этот индекс может быть убран. В дальнейшем будем рассматривать случай симметричных фирм.
Когда фирма выпускает одну разновидность товара и потребители однородны в своих
предпочтениях, она ведёт себя как монополист при выборе качества продукции. Таким же образом
себя фирма ведёт если она обладает полной информацией и может осуществить дискриминацию по
цене. В частности, это возможно, если группы потребителей сильно разнородны и фирма, предлагая
контракт, не учитывает возможность того что потребители из одной группы могут выбрать товары,
предназначенные для другой группы, т.е. у фирмы есть возможность навязать каждой группе
потребителей свой уровень качества продукции. В этом случае условие первого порядка для (14) по
αik , при фиксированном значении уровня потребления, дает следующее выражение:
⎛ u ′′ (x , α )
⎞⎟
= ⎜⎜⎜ x α k k − m ′(αk )⎟⎟ Lk x k − f ′(αk ) = 0
⎟⎠
⎜⎝
d αk
λk
d πk
(17)
6
Учитывая (5) получаем
pk
ux′′α (x k , αk )
f ′(αk )
p
u ′′ (x , α )
f ′(αk )
− m ′(αk ) =
⇒ k αk x α k k = m ′(αk ) +
ux′ (x k , αk )
qk
αk
ux′ (x k , αk )
qk
(18)
Используя обозначения (12) равновесный уровень качества продукции, предназначенный для k - ой
группы потребителей определяется из следующего выражения:
−1
⎛
f ′(αk )⎟⎞
⎜
⎟⎟
′
αk (x ) = pk (αk )rα (x k , αk ) ⎜⎜m (αk ) +
⎜⎝
qk ⎟⎠
(19)
Здесь штрихи означают производную по αik качеству продукции. При получении последнего
выражения спрос на качество продукции производителем не учитывался, так как предполагалось, что
производитель может навязать каждому типу потребителей свой уровень качества товара, который
он определяет из максимума прибыли. Таким образом, в этом случае, с учетом бюджетного
ограничения,
краткосрочное
равновесие
монополистической
конкуренции
может
быть
охарактеризовано следующими равенствами:
pk (αk ) =
1
m(αk )
(1 − ru (ck Npk , αk ))
(20)
−1
⎛
f ′(αk ) ⎞⎟⎟
⎜⎜
′
αk = pk (αk )rα (ck Npk , αk ) ⎜m (αk ) +
⎟
Lk ck Npk ⎠⎟⎟
⎜⎜⎝
xk =
ck
(22)
Npk
Для обобщённой CES функции
pk (αk ) =
(21)
β
uk (x k , αk ) = αk k x kρ , уравнения (16) и (18) имеют вид:
σ
m(αk )
(σ − 1)
(23)
−1
⎛ σ ⎟⎞ ⎛⎜
f ′(αk )⎞⎟
′
⎟⎜
+
αk = βk m(αk ) ⎜⎜
m
(
α
)
⎟⎟
⎟
k
Lk x k ⎠⎟
⎝⎜ σ − 1⎠⎟ ⎝⎜⎜
(24)
В случае выпуска множества разновидностей товаров и отсутствии возможности
осуществления скрининга, т.е. когда потребители могут предпочесть потребление товаров
предназначенных для другой группы потребителей, фирма как бы теряет рыночную власть в
продуктовой линейке, в возможности навязывать каждому типу потребителей свой тип товара. Это
связано с тем, что потребители могут выбирать уровень качества продукции из предложенной
линейки продуктов и следовательно фирма вынуждена будет устанавливать равновесное значение
уровня качества продукции как равновесие между спросом и предложением качества продукции.
7
Для данного случая условие первого порядка для (14) по αik при фиксированном значении
выпуска x ik дает следующую обратную функцию предложения для качества товара:
∂pk (x k , αk )
∂αk
= m ′(αk ) +
f ′(αk )
(25)
Lk x k
Здесь штрихи означают производную по αik качеству продукции. Обратим внимание, что здесь как и
в случае спроса на качество вместо цены выступает производная цены по качеству товара. Условие
равновесие между спросом и предложением (7) и (25) дает следующее уравнение для равновесного
значения уровня качества:
−1
εα (uk ) ⎛⎜
f ′(αk ) ⎞⎟⎟
⎜
′
αk = pk (αk )
⎟
⎜m (αk ) +
εx (uk ) ⎜⎜⎝
Lk ck Npk ⎠⎟⎟
В случае обобщённой CES функции
(26)
β
uk (x k , αk ) = αk k x kρ ,
имеем εα (uk ) = βk , εx (uk ) = ρ .
Следовательно
2
⎛ σ ⎞⎟
⎟
αk = βk m(αk ) ⎜⎜
⎜⎝ σ − 1⎠⎟⎟
−1
⎛
f ′(αk ) ⎞⎟⎟
⎜⎜
′
α
m
(
)
+
⎟
⎜⎜
k
Lk ck Npk ⎠⎟⎟
⎜⎝
(27)
Таким образом, в этом случае равновесие на рынке будет определяться уравнениями (20), (26), (22).
Сравнивая (21) и (27) видно, что уровень качества в данном случае отличается от (27) на множитель
(σ − 1) σ > 0 . Таким образом, для потребителей, обладающих определёнными предпочтениями,
много-продуктовая фирма выпускает продукцию более высокого качества, чем в случае однопродуктовой фирмы или в случае, когда фирма может навязать каждому типу потребителей свой
уровень качества продукции.
Чтобы понять, почему фирма при выборе качества продукции вынуждена вести себя как
конкурентная фирма, рассмотрим, на примере CES функции, что бы было, если бы фирма с каждой
группой потребителей при выборе качества продукции вела бы себя как монополист. В этом случае
фирма установила бы для каждой группы потребителей уровень качества ниже в (σ − 1) σ раз, чем
в конкурентном случае, при этом цена зависит только от качества товара через предельные
издержки. Не имея возможности определить тип покупателя, потребители, в соответствии своего
спроса на качество, предпочтут покупать товар другой ценовой категории с качеством в (σ − 1) σ
раз больше, правда в другом объёме, в соответствии с (22). В этом случае, самые низкокачественные
товары окажутся не востребованы, а самые высококачественные будут потребляться не одной
группой потребителей. Чтобы этого избежать, фирма изначально может вести себя как конкурентная
8
фирма при выборе качества продукции или осуществить скрининг. Для осуществления последнего,
необходимо чтобы потребителям из любой i ой группы не выгодно было потреблять товар,
предназначенный для другой j - ой группы. В частности, можно так разбить потребителей, чтобы
отношение равновесных значений уровня качества продукции, получаемых из (27) для любых
соседних групп αk +1 αk превышало величину на сколько хочет больше потреблять k -ая группа в
случае конкурентного случая, т.е. αk +1 αk > (σ − 1) σ . Это условие является необходимым но не
достаточным, необходимо ещё сравнивать функции полезности при разных значениях качества.
Данное разбиение не всегда можно сделать, это зависит от структуры рынка потребителей и
технологии производства, что является предметом отдельного рассмотрения. Таким образом, на
данном этапе будем полагать, что фирмы ведут себя конкурентным образом при выборе качества
продукции.
Рассмотрим теперь долгосрочное равновесие. Долгосрочный период при условии свободного
входа фирм характеризуется нулевым значением прибыли:
πk = (pk (x k , αk ) − m(αk ))Lk x k − f (αk )
pk (αk ) =
(28)
1
m(αk )
(1 − ru (ck Npk , αk ))
(29)
Подставляя (29) в (28) для равновесного объема выпуска фирмы получаем
⎛1 − r (x , α )⎞⎟ f (αk )
u
k
k ⎟
qk = ⎜⎜⎜
⎟
⎜⎝ ru (x k , αk ) ⎠⎟ m(αk )
(30)
Равновесное значение выпуска зависит от технологии производства и соотношения величин
постоянных и переменных издержек. Подставив равновесное значение выпуска и цену (29) и (30) в
(26), получим оптимальный показатель качества продукции в долгосрочном периоде:
−1
f ′ (αk )⎞⎟
εα (uk ) ⎛⎜⎜
m ′(αk )
⎟⎟
+ ru (x k , αk )
αk =
⎜(1 − ru (x k , αk ))
εx (uk ) ⎜⎜⎝
m(αk )
f (αk ) ⎟⎟⎟⎠
(31)
В случае обобщённой CES-функции равновесное значение качества товара будет равно
−1
⎛
⎞
⎜⎜⎛⎜
1 ⎞⎟ m ′(αk ) 1 f ′ (αk )⎟⎟
+
αk =
⎟
⎜⎜1 − ⎟⎟⎟
σ − 1 ⎜⎜⎝⎜⎝
σ ⎠ m(αk ) σ f (αk ) ⎠⎟⎟⎟
βk σ
(32)
Из последнего выражения видно, что с ростом σ (то есть при приближении рынка к рынку
совершенной конкуренции) вклад в уровень качества товаров оказывает в большей
степени
переменные издержки, что вполне соответствует тому факту, что на конкурентном рынке имеет
место постоянная отдача от масштаба и влияние постоянных издержек уменьшается. В случае слабой
9
зависимости издержек
от качества продукции наблюдается высокое значение уровня качества
товара и наоборот, если для увеличения качества продукции необходимо понести значительные
затраты, равновесный уровень качества принимает более низкое значение.
Число фирм в долгосрочном периоде определяется из бюджетного ограничения
pqN = Lc ⇒ N =
В случае
ru (x , α)
f (α )
Lc
(2.30)
f ′ (α) > 0 рост качества продукции сопровождается уменьшением количества фирм.
Литература
[1] E. Baldwin, Richard & Ito, Tadashi, 2011. "Quality Competition Versus Price Competition Goods: An
Empirical Classification," Journal of Economic Integration, Center for Economic Integration, Sejong
University, vol. 26, pages 110-135.
[2] Sproles, G. B. (1977), New Evidence on Price and Product Quality. Journal of Consumer Affairs,
11: 63–77.
[3] Gerstner, Eitan (1985), Do Higher Prices Signal Higher Quality?, Journal of Marketing Research, 22
(May), 209-215.
[4] Dixit, A. K. and Stiglitz, J. E. (1977). Monopolistic competition and optimum product diversity.
American Economic Review 67: 297–308
[5] Romer, P. (1990). Endogenous technological change. Journal of Political Economy, 98: S71–S102
[3]Grossman, G., Helpman, E., 1991. Innovation and Growth in the Global Economy. MIT Press,
Cambridge, Mass.
[6]Aghion, Ph. and Howitt, P. (1992). A model of growth through creative destruction.
Econometrica, 60: 323–351
[7] Thompson, P. and Waldo, D. (1994). Growth and trustified capitalism. Journal of Monetary Economics,
34: 445–462
[8] Zhelobodko E., Kokovin S., Thisse J.-F. «Monopolistic competition: Beyond the CES» - CEPR
Discussion Paper, No. 7947, 2010.
10