+ q - санкт-петербургский государственный экономический

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
ЭКОНОМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
КАФЕДРА ОБЩЕЙ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
МИКРОЭКОНОМИКА
ПРАКТИКУМ
ИЗДАТЕЛЬСТВО
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО
ЭКОНОМИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
2013
2
Рекомендовано научно-методическим советом университета
ББК 65.012.1
М 59
М 59
Микроэкономика : практикум. – СПб. : Изд-во СПбГЭУ,
2013. – 139 с.
ISBN 978-5-7310-2937-7
В практикуме представлены темы, включенные в Государственный стандарт для уровня «бакалавр» и «магистр». Каждая тема раскрывает основные вопросы курса в виде задач, тестов и вопросов. Типовые
задачи всех тем имеют аналитическое и графическое решение.
Предназначен для студентов и магистрантов, изучающих микроэкономику, экономическую теорию. Задачи повышенной сложности
отмечены (*).
ББК 65.012.1
Составители: канд. экон. наук, доц. Н.И. Ведерникова
канд. экон. наук, доц. А.Н. Гаврилов
канд. экон. наук, доц. А.Л. Дмитриев
канд. экон. наук, доц. С.В. Переверзева
канд. экон. наук, доц. Е.Е. Павлова
канд. экон. наук, доц. О.В. Синилина
ст. преп. Т.А. Павлова
ст. преп. А.М. Столяров
Рецензенты: канд. экон. наук, доц. Д.Н. Колесов
(Санкт-Петербургский гос. университет)
д-р экон. наук, проф. Л.А. Миэринь
ISBN 978-5-7310-2937-7
© СПбГЭУ, 2013
3
СОДЕРЖАНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ................................................................................................. 4
РАЗДЕЛ 1. Теория поведения потребителя ..................................................... 5
РАЗДЕЛ 2. Теория фирмы ............................................................................... 43
РАЗДЕЛ 3. Структура рынков благ и факторов............................................ 66
РАЗДЕЛ 4. Общее экономическое равновесие и экономика
благосостояния ............................................................................................... 120
Ответы ............................................................................................................. 132
4
ПРЕДИСЛОВИЕ
Практикум по микроэкономике предназначен студентам всех форм
обучения, всех направлений подготовки, изучающим как курс «Микроэкономика», так и курс «Экономическая теория», в котором раздел «Микроэкономика» является неотъемлемым структурным элементом. Кроме
этого, практикум адресован и магистрантам, изучающим курс «Микроэкономика-2».
Особенностью данного практикума является то, что одной из его целей является подготовка студентов и магистрантов к сдаче экзамена по
дисциплине как в тестовой форме, так и в устной, что подразумевает и
глубокое знание обучающимися теоретического материала, и умение решать задачи по той или иной теме. Для этого в практикуме, прежде чем
адресовать студента к самостоятельной работе, предлагаются типовые задачи с подробным решением, сопровождаемым графиками, что позволит
лучше понять усвоить данную дисциплину. Задачи, помеченные знаком
(*), представляют собой более сложный уровень для магистрантов. Данный практикум дополнен вопросами, раскрывающими ключевые элементы, особенности и дискуссионные составляющие по каждой теме.
Практикум содержит задачи и вопросы по четырем разделам: теория
поведения потребителя, теория фирмы, структура рынков благ и факторов, общее экономическое равновесие и экономика благосостояния. Каждый раздел начинается с разбора решения типовых задач по всем темам
стандартного курса в рамках перечисленных разделов. Задачи, включенные в сборник, подобраны таким образом, чтобы студенты могли лучше
усваивать лекционный материал на семинарских занятиях, а также для самостоятельной работы дома.
Сборник ориентирован на книги: Микроэкономика: Учебник для вузов / Переверзева С.В., Дмитриев А.Л. и др. – СПб.: Изд-во СПбГЭУ, 2013;
Тарасевич Л.С., Гребенников П.И., Леусский А.И. Микроэкономика: Учебник. 6-е изд., перераб. и доп. – М.: Юрайт, 2011. – 544 с. – (Серия: Основы
наук); Гальперин В.М., Игнатьев С.М., Моргунов В.И. Микроэкономика.
В 3 томах. – М.: Омега – Л, Экономикус, 2010. – 1026 с. – (Серия: Библиотека «Экономической школы»).
5
РАЗДЕЛ 1. ТЕОРИЯ ПОВЕДЕНИЯ ПОТРЕБИТЕЛЯ
Типовые задачи с решениями
Количественный подход к анализу полезности и спроса
№ 1. Общая (TU) и предельная (MU) полезности товаров X, Y, Z в зависимости от объема потребления (Q) представлены в таблице:
Кол-во
товара
(Q)
1
2
3
4
5
Товар
X
Y
TU MU TU MU
TU
MU
…
…
…
…
…
11
…
27
31
…
…
9
…
…
1
14
11
9
6
4
12
22
30
35
37
…
…
…
…
…
Z
1. Что такое «убывающая предельная полезность» и I закон Госсена?
2. Заполните пропущенные значения в таблице (см. решение).
3. Какая полезность – общая (TU) или предельная (MU) – является основой функции спроса?
4. Представьте функции спроса на товары X, Y, Z таблично, если 1 усл.
ед. полезности равна 1 ден. ед. (см. решение).
5. Постройте функции спроса на товары X, Y, Z (можно на одном графике).
Решение:
2. Заполним пропущенные значения в таблице, поскольку общая полезность (TU) есть сумма предельных полезностей (MU), то:

В основу таблицы положены следующие правила:
1) предельная полезность по «вертикали» везде падает, 2) предельная полезность по
«горизонтали» также падает. Впервые составлена Карлом Менгером (Menger),
называется «таблица Менгера».
6
Кол-во
товара
(Q)
1
2
3
4
5
X
TU
14
25
34
40
44
MU
14
11
9
6
4
Товар
Y
TU MU
12
12
22
10
30
8
35
5
37
2
Z
TU
11
20
27
31
32
MU
11
9
7
4
1
4. Представим функции спроса на товары X, Y, Z таблично, если 1 усл.
ед. полезности равна 1 ден. ед.:
- на товар X:
QX 1 2 3 4 5
PX 14 11 9 6 4
- на товар Y:
QY 1 2 3 4 5
PY 12 10 8 5 2
- на товар Z:
QZ 1 2 3 4 5
PZ 11 9 7 4 1
№ 2. Индивид составил для себя следующую таблицу предельной полезности трех благ (в ютилах):
Количе- Хлеб
ство блага
(кг или л)
1
180
2
150
3
120
4
90
5
50
Молоко
Сахар
160
128
96
80
32
100
80
60
40
20
Имея 268 ден. ед., он купил 3 кг хлеба по цене 20 ден. ед./кг; 4 литра
молока по цене 32 ден. ед./л; 2 кг сахара по цене 40 ден. ед./кг.
7
1. Докажите, что индивид не достиг максимума полезности при своем
бюджете. В чём сущность II закона Госсена?
2. Определите набор благ, обеспечивающий максимум полезности
индивиду при его бюджете. В результате перераспределения каких благ
произошло увеличение общей полезности товарного набора?
Решение:
1. Согласно II закону Госсена для достижения максимума полезности индивид должен так распределить блага между собой, чтобы:
MU 3 его
MU X MUY MU Z


PX
PY
PZ
, но
кг
хлеба
Pхлеба
MU 4  ого

литра
молока
Pмолока
MU 2  ого

кг
сахара
Рсахара
или
120 80 80

 .
20 32 40
Отношения предельной полезности к цене не равны между собой,
следовательно, индивид не достиг максимума полезности.
Определим общую полезность товарного набора для дальнейшего
сравнения:
TUтоварного набора = TU3-х кг хлеба+TU4-х литров молока+TU2-х
щую полезность (TU) каждого товара:
TU3-х
кг хлеба=MU1-го кг хлеба+MU2-го кг хлеба+MU3-го кг хлеба=
TU4-х
л
мол.=MU1-го л
мол.=160+128+96+80=464 ют.
мол.
+MU2-го
л
кг сахара,
определим об-
180+150+120=450 ют.
мол.+MU3-го
л
мол.+MU4-го
л
TU2-х кг сах.=MU1-го кг сах.+MU2-го кг сах.=100+80=180 ют., суммируя, получим:
TUтоварного набора= 450 + 464 + 180 = 1094 ют.
2. Товарный набор, обеспечивающий максимум полезности индивиду
при заданных ценах и бюджете, определим из равенства отношения предельной полезности к цене по всем благам. Составим таблицу этих отношений, из неё видно, что нужно купить 5 кг хлеба, 4 л молока и 1 кг
сахара:
8
Номер
порции
I
II
III
IV
V
Хлеб
MUхл./Pхл.
180/20=9
150/20=7,5
120/20=6
90/20=4,5
50/20=2,5
Молоко
MUмол./Рмол.
160/32=5
128/32=4
96/32=3
80/32=2,5
32/32=2
Сахар
MUсахю/Рсах.
100/40=2,5
80/40=2
60/40=1,5
40/40=1
20/40=0,5
Определим общую полезность этого товарного набора:
TU5-ти кг хлеба= 180+150+120+90+50=590 ют.
TU4-х л молока= 160+128+96+80=464 ют.
TU1-го кг сахара=100 ют., тогда:
TUтоварного набора = 590 + 464 + 100 = 1154 ют.
Общая полезность нового товарного набора больше на: 1154 ют. –
1094 ют. = 60 ют.
Проверим, достаточно ли имеющегося бюджета индивида для покупки нового товарного набора:
I= Pхл.Qхл.+Pмол. Qмол.+Pсах.Qсах.
I  20  5  32  4  40  1  268 .
или
Вывод: индивид извлекает максимум полезности, если выполняется II
закон Госсена, т.е. при одном и том же бюджете общая полезность будет
больше.
Порядковый подход к анализу полезности и спроса
№ 3. Допустим, потребитель имеет доход 300 ден. ед. На рисунке показаны две бюджетные линии и соответствующие им кривые безразличия:
9
Y
60
36
24
30
40
50
100
X
Рис. 1.1. Оптимум потребителя
1. Какова цена товара Y?
2. Определите координаты двух точек линии спроса данного потребителя на товар X.
3. Зависит ли положение данной линии спроса от цены товара Y, от
дохода потребителя?
Решение:
300
 5 ден.ед.
Ymax 60
300
 6 ден.ед. ,
При PX1 
50
1. PY 
2.
I

Х1= 30 и при
PX 2 
300
 3 ден.ед. ,
100
Х2=40
3. Зависит от PY и от I. В бюджетном ограничении все величины
взаимосвязаны: I = PX X + PY Y.
№ 4. Предельная полезность X для индивида отображается функцией
MUХ = 40 – 5Х, а предельная полезность Y, MUY = 20 – 3Y. Известны цены благ и доход индивида: PХ = 5; PY = 1; I = 20. Какое количество каждого из благ должен купить индивид для максимизации общей полезности?
10
Решение:
Потребитель получит максимум полезности, если распределит свой
бюджет: I = PХ Х+ PYY так, что MUХ/PХ = MUY/PY. Получаем систему из
двух уравнений:
20  5 Х  Y ;


40  5 Х 20  3Y   Х  3; Y  5.

5
1 

№ 5. Функция полезности индивида имеет вид: U  Х 0,5Y 0,25 ; при
имеющемся у него бюджете он купил 21 ед. блага Х по цене РХ = 4, а оставшиеся деньги потратил на покупку блага Y.
Определить:
1. Бюджет индивида.
2. Сколько единиц блага Y купит данный индивид, если РY = 7?
Решение:
1. Система из двух уравнений:
I = PХХ + PYY;
MUХ/ MUY = PX /PY
по условию задачи принимает вид:
I = 4 ∙ 21 + PY Y;
2Y 4

   126
21 PY
2. На приобретение блага Y у индивида остается
126 – 4 ∙ 21 = 42 ден.ед. Тогда при РY = 7 индивид купит 42/7 = 6 ед.
№ 6. Индивид имеет 6 ед. блага X и 8 ед. блага Y. Его функция полез0,5
0,25
ности: U   X  2 Y  4 . За какое минимальное количество блага X индивид согласится отдать 3 ед. блага Y?
Решение:
За такое количество, которое сохранит достигнутый уровень благосостояния, то есть:
U0 = U0’ → (6 -2)0,5 (8- 4)0,25 = (X1 – 2)0,5 (5 – 4)0,25 → X1 = 10. Следовательно, индивид согласится отдать 3 ед. блага Y за 4 ед. блага X.
№ 7. Индивид предъявляет спрос на два блага, отображающийся
функциями X D  100 PX и Y D  100 PY . Определите общую полезность благ,
11
купленных индивидом при РX =4 и РY =1, если известно, что она измеряется функцией U  X Y  и  +  = 1.
Решение:
Чтобы определить общую полезность товарного набора, следует найти X и Y, а также  и . Для этого заданные цены благ подставляем в
функции спроса и получаем: X = 100/4 = 25 ед; Y = 100/1 = 100 ед. Для определения абсолютного значения  и  используем условие оптимума покупателя: MUX/MUY = PX/PY , тогда:
Y 4  100
4
 
4
 4    .
X 1
  25

При условии, что  +  = 1 и  = , получаем, что  =  = 0,5. Тогда
по заданной функции полезности U = 250,5 × 1000,5 = 5×10 = 50 ютил.
№ 8. Бюджет индивида равен 200 ден. ед. При цене блага Y РY = 5 его
линия «цена–потребление» отображается формулой Y=X+4.
1. На сколько единиц индивид изменит потребление каждого блага
при снижении цены блага X с 5 до 4 ден. ед?
2. Используя данные задачи постройте кривую спроса.
Решение:
Ассортимент потребляемых благ определяется точкой пересечения
бюджетной линии с линией «цена–потребление» (точкой касания бюджетной линии с кривой безразличия).
Системы уравнений при PX = 5 и PX = 4 соответственно:
200  5 X  5Y 
  X  18; Y  22.
Y  4 X

200  4 X  5Y 
  X  20; Y  24.
Y  4 X

Тогда ΔX = 20-18 = 2 ед., ΔY = 24-22 = 2 ед.
Пункт 2 выполните самостоятельно.
№ 9. При ценах РX = 4; Рy = 5 линия «доход – потребление» индивида
имеет вид: Y = 2X + 5.
12
1. На сколько единиц индивид увеличит потребление каждого блага
при увеличении его бюджета с 333 до 375 ден. ед?
2. Постройте кривую Энгеля.
Решение:
Ассортимент потребляемых благ определяется точкой пересечения
бюджетной линии с линией «доход–потребление» (точкой касания бюджетной линии с кривой безразличия).
Системы уравнений при бюджетах 333 и 375 ден. ед. соответственно:
333  4 X  5Y 
  X  22; Y  49.
Y  5  2X

375  4 X  5Y 
  X  25; Y  55.
Y  5  2X

Тогда потребление блага X изменится на 25-22 = 3 ед., блага Y изменится на 55-49 = 6 ед.
Y
IC
I=375
I=333
X
Рис. 1.2. Линия «доход-потребление»
Пункт 2 выполните самостоятельно.
№ 10. Функция полезности индивида имеет вид:
U = XY, его бюджет I = 56 , а цены благ PX = 2, PY = 2.
1. Какое количество каждого из благ должен купить индивид для максимизации общей полезности?
2. Вывести уравнение кривой безразличия, на которой находится потребитель в момент равновесия.
13
3. Определить эффекты замены и дохода, если цена блага X повысилась до PX = 8:
а) по Хиксу;
б) по Слуцкому.
Будут ли одинаковыми эффекты замены и дохода по Хиксу и по
Слуцкому? Как будут направлены эффекты замены и дохода при повышении цены на нормальное благо?
4. Определить разность между компенсирующим и эквивалентным
изменениями дохода.
Решение:
1. Оптимальную комбинацию благ (точка Е0) ищем, решая систему
уравнений:
56  2 X  2Y 
Y
2 
  X 0  14;Y0  14.

X 2 

2. В исходных условиях U0 = 14 ∙ 14 = 196. Для любой точки данной
функции справедливо: 196 = XY, следовательно, уравнение кривой безразличия будет иметь вид: Y 
196
.
X
3. а) Повышение цены блага X изменит исходную систему уравнений,
решение которой даст новые значения оптимума (точка Е1):
56  8 X  2Y 
Y 8 
  X 1  3,5;Y1  14.

X 2 

Общий эффект изменения цены по Хиксу составит:
X = X1 – X0 = 3,5 – 14= -10,5;
Y = Y1 – Y0 = 14 – 14 = 0.
Общий эффект изменения цены по Хиксу разложим на эффект замены
и эффект дохода, исходя из того, что по Хиксу при разложении общего
эффекта сохраняется первоначальный уровень полезности. Для этого
найдем координаты точки касания новой бюджетной линии (точнее касательной параллельной новой бюджетной линии) с первоначальной кривой безразличия, исходя из того, что в точке касания обе линии имеют
одинаковый наклон (точка Е2):
14
MRSXY =
dY
dX

U const
PX
196 8
 . 2   X 2  7; Y2  28.
PY
X
2
Следовательно, эффект замены:
X = X2 – X0 = 7 – 14= -7;
Y = Y2 – Y0 = 28 – 14 = 14.
а эффект дохода:
X =X1 – X2 = 3,5 – 7 = -3,5;
Y = Y1 – Y2 = 14 – 28 = – 14.
б) Общий эффект изменения цены по Слуцкому будет таким же, как
и по Хиксу. Разложим общий эффект изменения цены на эффект дохода и
замены. По логике Слуцкого, после изменения цены товара потребитель
должен иметь возможность купить тот же самый товарный набор. Следовательно, вспомогательная бюджетная линия должна пройти через точку с координатами (X0; Y0).
При новой цене блага Х он должен иметь в своем распоряжении 140
ден. ед., а не 56. Уравнение новой бюджетной линии имеет вид: 140 = 8X
+ 2Y. Эта линия станет касательной к некой кривой безразличия с более
высоким уровнем полезности. Найдем координаты оптимума (точка Е3):
140  8 X  2Y 
Y
8



X 2
X3 = 8,75 и Y3 = 35.
Следовательно, эффект замены:
X = X3 – X0 = 8,75 – 14= -5,25;
Y = Y3 – Y0 = 35 – 14 = 21,
а эффект дохода:
X =X1 – X3 = 3,5 – 8,75 = -5,25;
Y = Y1 – Y3 = 14 – 35 = – 21.
Если сравнить полученные результаты с результатами разложения по
Хиксу, то из расчетов видно, что они численно не совпадают.
4. Для покупки исходной потребительской корзины при новой цене
блага X (Р Х =8) индивиду нужно иметь бюджет: I = (814 + 214) =
140 ден. ед., тогда компенсирующее изменение дохода (сумма денег для
сохранения благосостояния индивида после повышения цены) составит:
(140 – 56) = 84.
15
Для определения эквивалентного изменения дохода (максимальная
сумма денег, которую потребитель готов заплатить за недопущение повышения цены до этого повышения) найдем координаты точки касания
кривой безразличия U1 с прямой, параллельной исходной бюджетной линии. Поскольку полезность в точке E1, равна U1 = 3,5×14 = 49, то для любой точки данной линии справедливо: 49 = XY. Тогда на основе уравнение
кривой безразличия U1 найдем координаты точки Е4:
Y
49
Y PX
49 2


 2   X 4  7;Y4  7.
X
X
PY
X
2
При исходных ценах такой набор благ можно купить при бюджете
I=(2 7 + 27)= 28 ден. ед.
Эквивалентное изменение дохода равно (56 – 28) = 28.
Разность между компенсирующим и эквивалентным изменениями дохода: 84 − 28 = 56.
*№ 11. Известна функция полезности индивида U   X  5 Y  9 ,
его бюджет I = 120 и цены благ PX = 3; PY = 1.
1. Сколько единиц каждого блага купит индивид?
2. Сколько единиц каждого блага купит индивид в случае:
а) уменьшения его бюджета до 90; б) снижения цены блага Y до PY = 0,5?
0,5
0,25
16
3. Сколько единиц каждого блага купит индивид в случае снижения
цены блага Y до PY = 0,5 под воздействием эффекта замены (без учета эффекта дохода)?
4. Определите компенсирующее изменение бюджета потребителя в
случае снижения цены блага Y до PY = 0,5.
5. Рассчитайте коэффициент перекрестной эластичности спроса на
благо X при исходных значениях бюджета и цен и определите, являются
товары X и Y для данного потребителя взаимозаменяемыми или взаимодополняемыми.
6. Рассчитайте коэффициент эластичности спроса на благо Y по бюджету при исходных значениях бюджета и цен.
Решение:
1) MRS XY 
MU X PX

MU Y
PY
MU X  (Y  9) 2(Y  9)


MU Y  ( X  5)
X 5
2(Y  9) 3

 2Y  18  3 X  15  3 X  2Y  3
X 5
1
I  PX X  PY Y  120  3 X  Y
120  3Y  3  Y  39; X  27
2) a) I  90
90  PX X  PY Y
90  3 X  Y  3Y  3  Y '  29; X '  20,33
б ) PY  0,5
2(Y  9)
3
1

 X  Y  2  Y  9  3( X  5)
X 5
0,5
3
120  3 X  0,5Y ;120  Y  6  0,5Y  Y2  84; X 2  26
3) U  ( X  5)0,5 (Y  9)0,25 
U  (27  5) 0,5 (39  9) 0,25  320,5  480,25  5, 66  2, 63  14,98 ют.
320,5  480,25  ( X 3  5)0,5 (Y  9)0,25
322  48  ( X 3  5) 2 (Y  9)
Нам необходимо найти координаты точки Е3, которая лежит на U1 и
является касательной к вспомогательной бюджетной линии с углом наклона:
17
PX 1
3

 Y  9  3( X  5)
PY 2 0,5
322  48  ( X 3  5) 2  3( X 3  5)  3( X 3  5)3
322 16  ( X 3  5)3 
323
32
 ( X 3 5)3  X 3  5  1  25, 4
2
23
X 3  20, 4; Y3  67, 2
Эффект замены: E1  E3
X э. з.  20, 4  27  6, 6
Yэ. з.  67, 2  39  28, 2
4) I=120 для точки E3 будет I2
I 2  PX X 3  PY 1Y3  3  20, 4  0,5  67, 2  61, 2  33, 6  94,8
I компенс  I 2  I  94,8  120  25, 2
5) Чтобы определить коэффициент перекрёстной эластичности спроса
на благо X при исходных значениях бюджета и цен, необходимо вывести
функцию спроса на товар X – QD  f ( PX ; PY ; I ) , которую выводим из условия
оптимума потребителя:
X
 MU X PX


PY
 MU Y
I  P X  P Y

X
Y
2(QY  9) PX

QX  5
PY
I  PX X  PY Y

PX X  5PX  2 PY Y  18PY
 QX 
I  PY Y
PX
PY Y  I  PX X
2 PY Y  2 I  2 PX X
PX X  5PX  2 I  2 PX X  18PY
QDX 
eDPYX 
2 I  5 PX  18 PY
3PX
QDX
PY

PY
QDX
 QDX 
 eDPYX 
2 120  15  18
 27
9
6 1
6 1
2



 0, 074  тов. X и Y в / замен
Px 27 3  27 27
6) Чтобы рассчитать коэффициент эластичного спроса на благо Y по I,
необходимо вывести функцию спроса на товар Y. Используя вычисленные
значения из п.5, получаем:
18
PX X  2 PY Y  18PY  5PX
I  PX X  PY Y  QY 
QDY 
eDI Y 
eDI Y 
I  PX X
PY
I  18PY  5PX
;
3PY
QDY
I

QDY 
120  18  15
 39
3
I
QD/ Y
1
I
120 40



 1, 026
3PY QDY 3  39 39
Y
I=120(PX=3;PY=0,5)
I=94,8
120
Е2
I=90
90
67,2
I=120
Общий эффект
Эффект
дохода
Е3
Эффект
39
29
E`
U2
Е1
U1
замены
X2=26
X’=20,3
30
40
X
Рис. 1.3. Эффекты дохода и замены
*№ 12. Индивид имеет функцию полезности U(X, Y) = X0,75 ∙ Y0,25 I =
100, Рx = 4, Рy = 2. Найти оптимум индивида и вывести функции его
спроса на блага X и Y через функцию Лагранжа.
Решение:
1. Выражение Лагранжа:
L = x0,75 ∙ y0,25 +  (100 – 4 ∙ x – 2 ∙ y).
2. Дифференцируем выражение Лагранжа и приравниваем к нулю,
полученные производные:
dL 3 0,25 0,25
 x
 y  4  0
dx 4
dL 1 0,75 0,75
 x y
 2  0
dy 4
dL
 100  4 x  2 y  0
d
19
3 y
 
4 x 
1 x
 
4 y
0,25
 4
(*)
0,75
 2
(**)
100 = 4х + 2у (***)
3. Решение системы уравнений.
Уравнение (*) делим на уравнение (**) и получаем:
3Y
2
X
=> X 
3Y
2
Полученное значение X подставляем в уравнение (***), тогда:
100  4 
3Y
 2Y  Y  12,5 ; X  18, 75 .
2
4. Выведение функций спроса на благо.
При степенной функции полезности функция спроса на благо для потребителя может быть получена на основе выражения Лагранжа:
L  x0,75  y 0,25   100  Px  x  Py  y 
dL
 0, 75 x 0,25 y 0,25  Px   0
dX
dL
 0, 25 x0,75 y 0,75  Py   0
dy
dL
 I  Px  x  Py  y  0
d
0,75x 0,25  y 0,25  Px 
0, 25x0,75  y 0,75  Py 
100  Px  x  Py  y
0, 75 х 0,25  y 0,25 Px
 
0, 25 x 0,75  y 0,75 Py
0, 75 y Px
 
0, 25 x Py
y
0, 25  Px  x

0, 75  Py
20
100  px  x  p y 
0, 25  px  x
0, 25
 px  x 
px  x 
0, 75  p y
0, 75
100
 0, 25 
 px  x  1 
X


 0.25 
 0, 75 
Px 1 

 0.75 
XD 
0.75
100

0.75  0.25 Px
−
функция спроса на благо X, тогда функция спроса на благо Y будет иметь
вид: YD 
0.25
100

.
0.75  0.25 Py
Эластичность
№ 13. Эластичность спроса на хлеб по его цене равна (–0,8), а по
доходу (+0,5). Ожидается, что доходы населения снизятся на 2%, а цена
хлеба – на 5%. На сколько процентов в этом случае изменится объем
спроса на хлеб?
Решение:
Коэффициент эластичности спроса по цене ( eDP ) или по доходу ( eI ) показывают процентное изменение объема спроса на благо при изменении
его цены (или дохода) на один процент:
1) eDP 
%QD
%P
и 2) eI 
%QD
%I
, следовательно, если изменяется це-
на на хлеб, то воспользуемся 1-й формулой: %QD  eDP  %P  0,8  5%  4% ,
при снижении цены на хлеб на 5% его станут покупать на 4% больше; если
снижаются
доходы,
то
используем
2-ю
формулу:
%QD  eI  %I  0,5  2%  1% , при снижении доходов на 2% хлеба станут
покупать на 1% меньше.
Общее изменение объема спроса на хлеб: 4% – 1%=3%.
№ 14. Функция спроса на товар X имеет вид:
Цена, ден.
ед./шт.
1
2
3
4
5
Объем спроса, шт.
15
12
10
8
2
21
Определить коэффициент эластичности спроса по цене на участках: а)
1 и 2 ден. ед./шт.; б) 3 и 4 ден. ед./шт.; в) 4 и 5 ден. ед./шт. и прокомментируйте полученные результаты.
Решение:
В данной задаче используем коэффициент дуговой эластичности
спроса по цене:
eDP 
Q P
 .
P Q
1 2
12

15
3 3
9 1

Q
P
 2



  1 неэластичный спрос
а) eDP 
 =
2  1 15  12
1 27
27 3
P Q
2
43
8

10
2 7
14

Q
P
 2 
  
 1 неэластичный спрос
б) eDP 
 =
1 18
18
P Q 4  3 10  8
2
45
2

8
6 9
54

Q
P
 2 
  
 1 эластичный спрос
в) eDP 
 =
1 10
10
P Q 5  4 8  2
2
Из решения задачи видно, что эластичность на разных участках кривой спроса не одинакова.
№ 15. Определить коэффициент перекрестной эластичности спроса на
товар Y по цене товара X, если известно, что при цене товара X равной
4000 ден. ед., объем спроса на товар Y составляет 10000 шт., а при цене
товара X, равной 5000 ден. ед., объем спроса на товар Y составляет 8000
шт.
Решение:
Поскольку в условии задачи даны конкретные значения величин, то
используем коэффициент дуговой перекрестной эластичности спроса на
товар Y по цене товара Х:
4000  5000
QY PX 8000  10000
2
eYX 




PX QY
5000  4000 10000  8000
2
 2000 9000  2 9



  1  0
1000 18000
1 18
22
Товары X и Y взаимодополняемы.
№ 16. Функция спроса на товар X имеет вид: QDX = 80 – 5PX + 0,1PY.
Цена товара X равна 10 ден. ед., цена товара Y – 30 ден. ед. Определите коэффициенты прямой и перекрестной эластичности спроса по цене на товар
X и сделайте выводы.
Решение:
Если в условии задача дана функция, то применяются коэффициенты
прямой и перекрестной эластичности спроса по цене при точечном расчете:
1) eDP 
X
X
QX PX

PX Q X
и
2) eXY 
QX PY

PY QX
.
Сначала сосчитаем объем QD , он будет равен:
QD  80  5  10  0,1  30  33 , далее по формуле 1 определим коэффициент
прямой эластичности:
X
X
eDPXX 
QX PX

PX Q X
=  5
10
50
 
33
33
>1 спрос эластичный.
Коэффициент перекрестной эластичности найдем по формуле 2:
eXY 
QX PY

PY QX
= 0,1
30 3 1

  0.
33 33 3
Товары X и Y взаимозаменяемы.
№ 17. Потребитель с линейной функцией спроса покупает 40 ед. товара по цене Р = 10; при этом его эластичность спроса по цене eD = – 2.
Определите излишки потребителя, построив график.
Решение:
По данным задачи рассчитаем коэффициенты линейной функции
спроса QD = a – bP:
eD= dQ  P , где
dP Q
dQ
10
 b  2  b   b  8  40  a  8 10  a  120 ,
dP
40
следовательно, QD = 120 – 8P. Излишек потребителя определяется как
площадь треугольника:
40(15  10)
 100 .
2
23
Рыночный спрос
№ 18. На рынке имеются три покупателя со следующими функциями
спроса: QID  12  2P; QIID  10  P; QIIID  8  0, 5P. Определите эластичность
рыночного спроса по цене, когда на рынке продается 6 ед. товара.
Решение:
Для определения интервалов цен, соответствующих различным наклонам кривой рыночного спроса, перейдем от индивидуальных функций
спроса
к
индивидуальным
функциям
цены:
Следовательно, в интервале
PI D  6  0, 5Q; PIID  10  Q; PIIID  16  2Q.
10 ≤ P<16 рыночный спрос представлен спросом покупателя III; в интервале 6 ≤ P < 10 рыночный спрос равен сумме спросов II и III покупателей
и в интервале 0 < P < 6 – сумме спросов всех трех покупателей:
30  3, 5 P; 0  P  6

QD  18  1, 5 P; 6  Р  10
8  0, 5 P; 10  Р  16

Отсюда видно, что 6 ед. товара будет продано по цене Р = 8; тогда eD
= –1,58/6 = – 2.
P
D
Q
Рис. 1.4. Рыночный спрос как сумма индивидуальных спросов
*№19. Результаты наблюдения за поведением потребителя представлены в таблице.
Наблюдение
(покупки)
1
2
3
PA
PB
QA
QB
3
6
4
6
5
4
10
5
8
15
18
20
24
Покажите, максимизирует полезность или нет данный потребитель.
Рассчитайте индексы Ласпейреса, Пааше и расходов (первый период ко
второму). Почему они различаются?
Решение:
Для ответа на первый вопрос рассчитаем ценность каждого набора товаров в текущих ценах и ценах в других наблюдениях:
Цены
PA = 3, PB = 6
PA = 3, PB = 6
PA = 3, PB = 6
QA = 10, QB = 15
120
135
100
QA = 5, QB = 18
123
120
92
QA = 8, QB = 20
144
148
112
Как видно из таблицы, в момент осуществления первой покупки индивиду были недоступны наборы, которые он приобретал в последующих
покупках. Следовательно, ничего нельзя сказать о его предпочтениях.
Аналогичная ситуация со второй покупкой. При приобретении третьей
покупки он мог купить две предыдущие, но выбрал третью. Следовательно, он ее предпочитает всем остальным. Так как он не нарушал правил
максимизации полезности, то нельзя сказать, что он не максимизирует полезности.
Определим индексы Ласпейреса, Пааше и расходов:
n
IL 
P Q
i 1
n
i ,1
P
i 1
i ,0
i ,0

6 10  5 15
 1,125
3 10  6 15

6  5  5 18
 0,976
3  5  6 18

6  5  5 18
 1, 0
3 10  6 15
Qi ,0
n
IP 
P Q
i 1
n
i ,1
P
i 1
i ,0
i ,1
Qi ,1
n
IR 
P Q
i 1
n
i ,1
P
i 1
i ,0
i ,1
Qi ,0
Как видно из соотношения индексов: IL > IP < IR, следовательно, благосостояние потребителя возросло.
25
Предложение факторов
№ 20. Предпочтения индивида относительно денег и свободного времени отображаются функцией полезности U = (I+ 27)0,5F0,25, где I = wL –
заработная плата, F – свободное время, равное разности между календарным временем (Т) и рабочим временем: F = Т – L. Сколько часов индивид
будет работать в течение календарного времени Т = 33 при цене труда w =
3?
Решение:
Цель индивида − максимизировать функцию U   I  27 0,5 F 0,25 при F =
33 – L и I = wL. Оптимум индивида достигается при:
2 33  L  1
M UI
1
9
 
  LS  22  .
M UF w
wL  27
w
w
Следовательно, при w = 3 индивид будет работать 19 часов.
№ 21. Предпочтения индивида относительно нынешнего (С0) и будущего (С1) потребления благ отображаются двухпериодной функцией полезности U  C00,6C10,4 . Его доход в текущем периоде I0 = 250, в будущем I1 = 120.
Определите объемы его сбережений в текущем периоде и объемы потребления в обоих периодах при ставках процента i = 20%.
Решение:
Индивид
MRTPC 0C1 
максимизирует
MU C 0
 1 i
MU C1
функцию
U  C00,6C10,4
когда
при ограничении на переменные C1 = 120 + (1 + i)(250
– C0), где i – ставка процента, выраженная в долях единицы.
Результаты решения этой задачи при i = 0,2 получаем: C0 = 210; C1 =
168; S0 = 40, т. е. индивид дает взаймы.
Вопросы для обсуждения
1. В каких случаях поведение потребителя следует считать рациональным? Является ли рациональность естественным свойством человека?
2. Что общего между законом убывающей предельной полезности и
закона спроса?
3. Как можно объяснить парадокс высокой ценности алмаза и дешевизны воды на основе законов Госсена?
26
4. Какие предпосылки необходимо сделать, чтобы изобразить кривые
безразличия для некоторого индивида? Нужно ли для этого предполагать
количественную измеримость полезности? Исследуйте ваши собственные
предпочтения в отношении двух потребляемых вами благ. Попробуйте
построить кривые безразличия для различных наборов этих благ, спрашивая себя, предпочитаете ли вы один набор другому или не делаете различия между ними.
5. Почему кривые безразличия для наборов из двух любых благ
должны иметь отрицательный наклон? Что подразумевает положительный
наклон кривой безразличия?
6. Объясните, как уменьшение предельных норм замещения Y на Х
влияет на форму кривых безразличия.
7. Что такое равновесие потребителя? Почему возможны внутренние
и угловые точки равновесия потребителя?
8. Какой экономический смысл имеют линии «доход-потребление» и
кривые Энгеля? Как они отличаются для нормальных и некачественных
благ? Изобразите графически кривые Энгеля для нормальных и некачественных благ?
9. Что такое эффект замены и эффект дохода? Как объясняли действие этих эффектов Е.Е. Слуцкий и Дж. Хикс?
10. Объясните, как наклон кривой безразличия отражает предпочтения покупателя относительно одного из благ?
11. Почему потребитель часто приобретает не тот набор благ, который
предпочитает?
12. Как на основе линии «цена-потребление» можно построить кривую спроса?
13. Если эластичность спроса по доходу «низкая» на продовольствие
и «высокая» на автомобили, то сельское хозяйство или производство автомобилей больше пострадает в результате экономического спада?
14. Почему коэффициент эластичности спроса по цене всегда отрицателен и необходимо рассматривать его абсолютное значение (модуль)?
15. На какие виды подразделяются товары в зависимости от коэффициента эластичности спроса по доходу?
16. Почему мы не измеряем реакцию спроса на изменения цены по угловому коэффициенту кривой спроса, а используем более сложное понятие «эластичность»?
17. Почему надо суммировать индивидуальные кривые спроса горизонтально, а не вертикально, чтобы получить кривую рыночного спроса
для какого-либо блага?
27
18. С помощью эффектов дохода и замены поясните, каким образом
изменение ставки заработной платы влияет на количество предлагаемого
труда.
19. Какие мотивы определяют поведение индивида при распределении текущего дохода на потребляемую и сберегаемую части?
Задачи
Количественный подход к анализу полезности и спроса
№ 1. В таблице представлено, как
индивид оценивает полезность каждой
единицы трех видов благ по мере увеличения их количества. Индивид израсходовал свой бюджет так, что получил
максимум полезности от купленного
набора благ; при этом он купил 4 ед.
блага X по цене PX = 11, а также 5 ед.
блага Y и 6 ед. блага Z. Определите PY,,
PZ и бюджет индивида.
№ 2. В таблице представлено, как
индивид оценивает полезность каждой
единицы трех видов благ по мере увеличения их количества. Имея бюджет I
= 30, он получил максимум полезности, купив 3 ед. блага X, 1 ед. блага Y и
3 ед. блага Z. Определите цены благ.
Количество
блага
1
2
3
4
5
6
Количество
блага
1
2
3
4
5
Предельная
полезность (ютил)
Благо Благо Благо
X
Y
Z
100
80
70
98
75
60
94
70
50
88
65
40
80
60
30
60
55
20
Предельная
полезность (ютил)
Благо Благо Благо
X
Y
Z
30
24
18
25
21
15
20
15
12
15
12
9
10
9
6
№ 3. Предельная полезность
апельсинов для индивида отображается функцией MUА = 100 – 4QА, а предельная полезность бананов MUВ = 60 – QВ. Известны цены благ и доход
индивида: PА = 8; PВ = 2; I = 300. Какое количество каждого из благ
должен купить индивид для максимизации общей полезности?
№ 4. Общая (TU) и предельная (MU) полезности товаров X, Y, Z в зависимости от объема потребления (Q) представлены в таблице:
1. Заполните пропущенные значения в таблице.
2. Представьте функции спроса на товары X, Y, Z таблично и графически, если 1 усл. ед. полезности равна 0,5 ден. ед.
28
Кол-во
товара
(Q)
1
2
3
4
5
Товар
X
Y
Z
TU MU TU MU TU MU
… 14 12 … 11 …
… 11 24 … …
9
…
9
32 … 28 …
…
6
37 … 32 …
…
4
39 … …
2
№ 5. Функция полезности индивида от потребления блага X имеет вид
TU(X) = 12X – X2.
а) Определить функцию предельной полезности на благо X и функцию спроса.
б) Рассчитать объем потребления блага X, если цена равна 7, 8, 10 ден.
ед. за штуку.
в) Произвести расчеты, если функция полезности примет вид: TU(X) =
18X – 2X2.
№ 6. Функция общей полезности индивида от потребления блага X
имеет вид TU(X) = 22X – X2, а от потребления блага Y – TU(Y) = 28Y –
2Y3. Он потребляет 5 ед. блага X и 2 ед. блага Y. Предельная полезность
денег () равна 1/3. Определить цены товаров X и Y.
№ 7. Функция полезности индивидуума от потребления блага X имеет
вид: TU(X) = 24X – X2, а от потребления блага Y: TU(Y) = 36Y – 2Y3. Индивидуум потребляет 4 ед. блага X и 2 ед. блага Y. Цена блага X равна 8
ден. ед. Определите цену товара Y.
№ 8. Функция предельной полезности блага имеет вид: MU(X) = 20 –
2X. Если одна единица полезности равна 1 ден. ед., при какой цене покупатель откажется от приобретения этого блага?
*№ 9. Функция полезности индивида имеет вид: U = X0,4  Y0,5  ×Z0,1,
а бюджет равен I.
а) Вывести функции спроса на блага X, Y, Z.
б) Определить функции спроса, если функция полезности примет вид:
TU = X0,5  Y0,5  Z0,5.
№ 10. Какая из следующих функций предельной полезности противоречит первому закону Госсена и почему?
а) MU (X) = 20/(X + 1);
29
б) MU (X) = 20 + 1/(X + 1);
в) MU (X) = 20 – X;
г) MU (X) = 20 + X.
№ 11. Каждую чашку чая индивид потребляет только с тремя ложками сахара. Какая из следующих функций полезности правильно описывает вкусы индивида и почему (при условии, что единицы измерения соответственно чашки (X) и ложки (Y))?
а) U(X,Y) = 3X  Y;
б) U(X,Y) = X + Y;
в) U(X,Y) = X  Y(3X + Y);
г) U(X,Y) = min {X, 3Y}.
№ 12. Индивид абсолютно безразличен в выборе между равными количествами цейлонского чая (X) и индийского чая (Y). Функция полезности этого индивида будет выглядеть как:
а) U(X, Y) = X  Y;
б) U(X, Y) = X + Y;
в) U(X, Y) = max {X, Y};
г) U(X, Y) = X2.
Поясните ваш ответ.
Порядковый подход к анализу полезности и спроса
№ 13. Допустим, индивид имеет доход 200 ден. ед. в месяц и весь он
должен быть израсходован на покупку двух товаров: товара X ценой 4 ден.
ед. за единицу и товара Y ценой 5 ден. ед. за единицу.
а) Изобразите графически бюджетную линию.
б) Какой будет бюджетная линия, если доход индивида возрастет до
240 ден. ед. в месяц?
в) Какой будет бюджетная линия при доходе 200 ден. ед. в месяц, но
при снижении цены товара X до 2 ден. ед.?
№ 14. Допустим, потребитель имеет доход 300 ден. ед. в месяц и он
весь должен быть израсходован на покупку двух товаров: товара X ценой
3 ден. ед. за штуку и товара Y ценой 5 ден. ед. за штуку.
а) Нарисовать бюджетную линию.
б) Написать уравнение бюджетной линии и определить ее наклон.
в) Какой будет бюджетная линия при доходе 600 ден. ед. в месяц?
30
№ 15 . Индивид покупает 8 ед. товара Х и 4 ед. товара Y. Каков его
бюджет, если РХ = 2, а предельная норма замещения товара Y товаром Х
равна 0,5?
№ 16. Доход индивида составляет 160 ден. ед. в месяц. Он потребляет
два товара: X в объеме 8 шт. и Y в объеме 8 шт. MRSXY = 4. Определить цены товаров X и Y.
№ 17. Индивид располагает доходом 120 ден. ед. в месяц. Цена товара
Y равна 10 ден. ед., │MRSXY│= 4. Определите оптимальную для индивида
комбинацию X и Y, если известно, что X = 1/2Y.
№ 18. При заданном бюджете и ценах индивид имеет следующие
нормы замещения потребляемых им благ: │MRSXY│= 2, │MRSYZ│= 0,5.
Определите его │MRSXZ│.
№ 19. Известна функция полезности индивида U  X 0.6Y 0.3 , его бюджет
I = 150 и цены благ PX=20; PY = 2. Сколько единиц каждого блага купит
индивид?
№ 20. Если X, Y, Z – три различных товара, которые потребитель может упорядочить по степени предпочтения, какое из следующих упорядочений является противоречивым?
1) Если X  Y и Z  Y, то X  Y.
2) Если X  Y и Y  Z, то X  Z.
3) Если Y  X и X  Z, то Y  Z.
4) Если Y  Z и Z  X, то Y  X.
5) Если Y  Z и Z  X, то X  Y.
№ 21. Если на одной оси откладывать количество яда, а на другой –
противоядия, как могут выглядеть кривые безразличия и что они будут
обозначать?
№ 22. Может ли случиться так, что выбор любой точки на бюджетной
линии принесет потребителю одинаковую полезность?
№ 23. Переведите на язык кривых безразличия следующие утверждения:
а) не могу пить чай без двух ложек сахара;
б) ненавижу чай с сахаром;
в) очень люблю художественные фильмы, а к мультфильмам совершенно равнодушен;
31
г) люблю и молоко, и рыбу, но если потребляю их вместе, то всегда
болит живот;
д) терпеть не могу тараканов, но для компенсации морального вреда
от появления дополнительного таракана удовлетворюсь конфетой;
е) можно приготовить два блюда из компонентов А и Б – для первого
нужна смесь в пропорции 1:3, а для второго – 3:1. Пропорции нарушать
нельзя, а сами по себе А и Б – бесполезны.
№ 24. Индивид с функцией полезности U  X 0,6Y 0,4 и бюджетом I =
100 купил 15 ед. блага X и 8 ед. блага Y. Определите цены благ.
№ 25. Индивид имеет 6 ед. блага X и 8 ед. блага Y. Его функция полезности U   X  2Y  4 .
а) За сколько ед. блага X индивид согласится отдать 2 ед. блага Y?
б) Определите │MRSXY │ индивида до и после предложенного ему обмена благами.
№ 26. Функция полезности индивида U  0,5 X  Y 0.5 . Больше какой
суммы денег должен быть бюджет индивида, чтобы он покупал благо X
при PX = 3; PY = 2?
№ 27. Функция полезности индивида имеет вид: U(X, Y) = XY2. Его
доход составляет 200 ден. ед. в месяц. Цена блага X – 20 ден. ед., блага
Y – 15. Как индивид должен израсходовать полностью свой доход, чтобы
получать максимум удовлетворения?
№ 28. Функция полезности индивида имеет вид: U(X, Y) = X0,75 Y0,25.
При имеющемся у него бюджете он приобрел 21 ед. блага X по цене РX = 4.
Сколько денег останется у индивида на покупку блага Y?
№ 29. Функция полезности индивида имеет вид: U(X, Y) = X2Y, где X и
Y – потребляемые им товары. Вывести функцию спроса индивида на товар
X, если его доход равен 100 ден. ед. в месяц.
№ 30. Определите функцию спроса индивида на товар Y, если его доход составляет 140 ден. ед. в месяц, цена товара X равна 7 ден. ед., а функция полезности имеет вид: U(X, Y) = X × Y.
№ 31. При заданных ценах индивид покупает 4 ед. блага X и 5 ед. блага Y. Доход индивида и цена благ вдруг изменились таким образом, что
уравнение его бюджетной линии принимает вид: Y = 14 – 0,75X. Повыси-
32
лось или понизилось благосостояние индивида в результате происшедших
изменений?
№ 32. Известна функция полезности индивида: U  X 0 ,6Y 0 ,3 На сколько
возрастет его объем спроса на товар X при увеличении бюджета на I =
9РX?
№ 33. Индивид предъявляет спрос на два блага, отображающийся
функциями X D  480 PX и Y D  240 PY . Определите общую полезность
благ, купленных индивидом при РX = 19,2 и РY = 15, если известно, что
она измеряется функцией U  X Y  и  +  = 0,75.
№ 34. Индивид с бюджетом 128 ден. ед. при заданных ценах полностью израсходует бюджет, если купит либо 3 ед. блага X и 10 ед. блага Y,
либо 4 ед. блага X и 8 ед. блага Y. Какое количество блага X следует купить данному индивиду для максимизации своей функции полезности U
= X0,25Y0,75?
№ 35. Потребитель с бюджетом 360 ден. ед. при заданных ценах полностью израсходует бюджет, если купит либо 8 ед. блага А и 10 ед. блага
В, либо 10 ед. блага А и 5 ед. блага В. Какое количество блага А следует
купить данному потребителю для максимизации своей функции полезности U = QA0,25QB0,5?
№ 36. Для полного удовлетворения потребности в благе X индивиду
А требуется 6 ед., а индивиду В –30 ед. этого блага. Индивид А покупает
его только при Р < 18, а индивид В – при Р < 10. При какой цене оба индивида купят одинаковое количество блага X?
№ 37. Для полного удовлетворения потребности в благе Х Маше требуется 12 ед., а Даше – 40 ед. этого блага. Маша покупает его только при Р <
36, а Даша – при Р < 24. При какой цене обе девочки купят одинаковое количество блага Х, если известно, что их функции спроса линейны?
№ 38. Спрос индивида на благо отображается функцией QD=60–3P.
Вследствие снижения дохода индивид при любой цене стал покупать на 6
единиц блага меньше. Какова должна быть цена, чтобы индивид после
снижения своего дохода покупал 21 единицу блага?
№ 39. Спрос индивида на благо отображается функцией QD=45–2P.
Вследствие роста дохода индивид при любой цене стал покупать на 4 еди-
33
ницы блага больше. Какова должна быть цена, чтобы индивид после роста
своего дохода покупал 15 единиц блага?
№ 40. Бюджет индивида равен 200 ден. ед. Если при РY = 5 меняется
цена блага X, то уравнение линии «цена–потребление» отображается формулой Y = X + 4. Сколько блага Y будет потреблять индивид при РX = 4?
№ 41. Бюджет индивида равен 100 ден. ед. При РY = 2 его линия «цена–потребление» отображается формулой Y  0,1X 2 . На сколько единиц
индивид изменит потребление каждого блага при повышении цены блага
X с 1 ден. ед. до 8 ден. ед?
№ 42. Бюджет индивида равен 120 ден. ед. При РY = 4 его линия
«цена–потребление» отображается формулой Y = 0,5X. На сколько
единиц индивид изменит потребление каждого блага при снижении цены
блага X с 1 ден. ед. до 0,5 ден. ед?
№ 43. Построить линии «цена-потребление», если доход индивида составляет 100 ден. ед. и если:
а) U(X, Y) = X × Y, PY = 10 ден. ед.;
б) U(X, Y) = X(Y + 10), PY = 5 ден. ед.;
в) U(X, Y) = X  Y , PY = 2 ден. ед.
№ 44. При ценах РX = 4 РY =5 линия «доход – потребление» индивида имеет следующий алгебраический вид: Y = 2X+5. Сколько блага X
будет потреблять индивид при бюджете I = 333?
№ 45. При ценах РX = 2; РY = 1 линия «доход–потребление» индивида
имеет вид: Y  0, 2 X 2 . На сколько единиц индивид изменит потребление
каждого блага при увеличении его бюджета с 120 до 240 ден. ед?
№ 46. При ценах РX = 1; РY = 2 линия «доход–потребление» индивида
имеет вид: Y  0,1X 2 . На сколько единиц индивид изменит потребление
каждого блага при увеличении его бюджета с 100 до 150 ден. ед?
№ 47. Построить линии «доход-потребление», если:
а) U(X, Y) = X × Y, PX = 5 ден. ед., PY = 5 ден. ед.;
б) U(X, Y) = (X + 10)Y, PX = 5 ден. ед., PY = 5 ден. ед.;
в) U(X, Y) = 5X + 4Y, PX = 2 ден. ед., PY = 5 ден. ед.
34
№ 48. Индивид имеет следующую функцию полезности: U = X × ×Y.
Его бюджет равен 140 ден. ед. PX = 7 и PY = 20 ден. ед.
а) Определить равновесную (оптимальную) структуру покупок индивида.
б) Определить функцию спроса индивида на благо Y, если PX = 7 и
не меняется.
в) Определить эффект дохода и эффект замены при снижении PY с 20
до 5 ден. ед. по Хиксу.
№ 49. Функция полезности индивида имеет вид U(X, Y) = X × Y.
а) Какое количество товаров X и Y будет приобретать индивид, если
его доход равен 140 ден. ед., цены товаров X и Y соответственно равны
PX = 7 ден. ед., PY = 20 ден. ед.? Изобразите точку оптимума графически.
б) Найдите количество товаров X и Y, при приобретении которых
максимизируется полезность индивида, если цена товара Y возрастет до 40
ден. ед.
в) Определите величину эффекта замены по Хиксу и по Слуцкому, эффекта дохода и общего эффекта изменения цены для пункта б.
г) Определить компенсирующее и эквивалентное изменение дохода.
№ 50. Определите графически эффект дохода, эффект замены и общий эффект изменения цены для следующих случаев:
а) товар X – нормальный, X и Y дополняют друг друга в потреблении,
цена X снизилась;
б) товар Y – нормальный, X и Y являются взаимозаменяемыми благами, цена Y увеличилась;
в) товар X – низшего качества, X и Y дополняют друг друга в потреблении, цена X снизилась;
г) товар Y – низшего качества, X и Y являются независимыми благами,
цена Y увеличилась;
д) товар X является товаром Гиффена, X и Y являются взаимозаменяемыми благами, цена X возросла;
е) товар X является товаром Гиффена, X и Y являются взаимодополняемыми благами, цена X возросла.
* № 51. Известна функция полезности индивида U   X  5 Y  9 ,
его бюджет I = 120 и цены благ PX = 3; PY = 1. Определить:
1) Сколько единиц каждого блага купит индивид?
2) Сколько единиц каждого блага купит индивид в случае: а) уменьшения его бюджета до 90; б) снижения цены блага Y до PY = 0,5?
0,5
0,25
35
3) Сколько единиц каждого блага купит индивид в случае снижения
цены блага Y до PY = 0,5 под воздействием эффекта замены (без учета эффекта дохода)?
4) Компенсирующее изменение бюджета потребителя в случае снижения цены блага Y до PY = 0,5.
5) Коэффициент перекрестной эластичности спроса на благо X при
исходных значениях бюджета и цен и определите, являются товары X и Y
для данного потребителя взаимозаменяемыми или взаимодополняемыми.
6) Коэффициент эластичности спроса на благо Y по бюджету при исходных значениях бюджета и цен.
№ 52. Функция спроса на благо имеет вид: Q = 9 – 2P. Эффект замены при росте цены товара с 2 до 3 ден. ед. составляет ( -0,75). Определить
эффект дохода.
№ 53. Уравнение кривой Энгеля, выражающей зависимость объема
спроса индивида на картофель от его бюджета при неизменных ценах,
имеет вид:
100 I 2
.
Q
( I  10)3
Каких размеров должен достигнуть бюджет инди-
вида, чтобы он стал относить картофель к некачественным благам?
№ 54. Уравнение кривой Энгеля, выражающей зависимость объема
спроса индивида на маргарин от его бюджета при неизменных ценах,
имеет вид: QМ= 10I – 0,25I2. Каких размеров должен достигнуть бюджет
индивида, чтобы он стал относить маргарин к некачественным благам?
№ 55. Функция полезности индивида имеет вид: U(X, Y) = X × Y. Цены благ: PX = 10 ден. ед., PY =1 ден. ед. Вывести функцию кривой Энгеля
для товара X при уровнях дохода: I1=100, I2= 200, I3 = 300 ден.ед.
Эластичность
№ 56. Функция спроса на товар X имеет вид:
Цена, ден.
ед./шт.
1
2
3
4
5
Объем
спроса, шт.
18
11
10
8
2
36
Определить коэффициент эластичности спроса по цене на участках:
а) 1 и 2 ден. ед./шт.; б) 3 и 4 ден. ед./шт.; в) 4 и 5 ден. ед./шт. и прокомментируйте полученные результаты.
№ 57. Эластичность спроса населения на данный товар по цене равна – 0,15, по доходу + 0,5. В предстоящем периоде доходы населения увеличатся на 5%, а цена данного товара возрастет на 10%. Как изменится
объем спроса на данный товар?
№ 58. Определить коэффициент прямой эластичности спроса по цене,
если известно, что при цене 200 ден. ед. объем спроса на данный товар
40000 шт., а при цене 600 ден. ед. – 30000 шт.
№ 59. Определите коэффициент эластичности спроса по доходу, если
известно, что при доходе 200 ден. ед. в месяц объем спроса на данный товар составит 10 кг, а при доходе 300 ден. ед. – 18 кг в месяц.
№ 60. Индивид потребляет только два вида товаров: X и Y. Куда сместится кривая спроса на товар Y в результате повышения цены товара X,
если спрос на X неэластичный по цене?
№ 61. Функция спроса на товар X имеет вид: QDX = 100 –2PX + 0,8PY.
Цена товара X равна 10 ден. ед., цена товара Y – 5 ден. ед. Определите коэффициенты прямой и перекрестной эластичности спроса по цене на товар
X и сделайте выводы.
№ 62. Функция спроса на товар X имеет вид: QDX = 50 – 4PX + 0,8PY.
Цена товара X равна 5 ден. ед., цена товара Y – 10 ден. ед. Определите коэффициенты прямой и перекрестной эластичности спроса по цене на товар
X и сделайте выводы.
№ 63. Дана функция спроса на товар X: QDX = 2 – PX + 0,8PY. Определить коэффициенты прямой и перекрестной эластичности спроса на товар
X, если известно, что цена товара X (PX) = 1 ден. ед., а цена товара Y (PY) =
2 ден. ед.
№ 64. Дана функция спроса на товар X: QDX = 800 – PX + 0,4PY. Цена
товара X – 400 ден. ед. за единицу, цена товара Y – 500 ден. ед. за единицу.
Определите коэффициент прямой эластичности спроса по цене на товар X
и коэффициент перекрестной эластичности спроса на товар X по цене товара Y.
37
№ 65. Спрос на товар Х зависит от его цены и цены его заменителя:
Q  20  4PX  PY . Определите коэффициент перекрестной эластичности
спроса на товар Х по цене товара Y при PX = 5; PY = 10.
D
X
№ 66. Дана функция спроса: QD = 8 – 0,5P, где QD – объем спроса в
млн. шт., P – цена в ден. ед. При какой цене коэффициент прямой эластичности спроса по цене составит – 0,5?
№ 67. Функция спроса индивида имеет вид: QD = 160 – 4P. При какой
цене коэффициент прямой эластичности спроса по цене составит –3?
№ 68. Потребитель с линейной функцией спроса покупает 50 ед. товара по цене Р = 12; при этом его эластичность спроса по цене eD = – 2.
Определите излишки потребителя.
№ 69. Потребитель с линейной функцией спроса покупает 50 ед. товара по цене Р = 8; при этом его эластичность спроса по цене eD = – 1.
Определите излишки потребителя.
№70. Функция спроса Николая на товар, который он покупает только при Р < 10, линейна. Определите абсолютное значение коэффициента
эластичности спроса Николая по цене при Р = 5.
№ 71. Функция спроса Николая на товар, который он покупает только при Р < 12, линейна. Определите абсолютное значение коэффициента
эластичности спроса Николая по цене при Р = 8.
№ 72. Функция спроса на товар имеет вид: QD = 25 – 4P. В результате
изменения цены на товар эластичность снизилась с -1,75 до -0,3. Как изменилась при этом выручка продавцов?
*№ 73. Индивид покупает только три вида товаров: хлеб, колбасу и
молоко. 20% своего дохода он расходует на хлеб, 50% – на колбасу и
30% – на молоко. Определить эластичность спроса на молоко по доходу,
если эластичность спроса на хлеб по доходу равна – 1, а эластичность
спроса на колбасу по доходу равна 2.
*№ 74. Эластичность спроса на продовольствие по доходу равна 0,8.
Первоначально 50% своих доходов население расходовало на продовольствие. Предположим, доходы населения увеличились на 10%. Определить
долю расходов на продовольствие в доходах населения.
38
Рыночный спрос
№ 75. Дана таблица индивидуального спроса трех потребителей на
рынке:
Цена
Объем спро- Объем спро- Объем спров ден. ед. са первого
са второго
са третьего
за ед.
потребителя, потребителя, потребителя,
шт.
шт.
шт.
10
2
0
0
9
5
1
0
8
8
5
0
7
12
10
5
6
16
14
12
5
21
18
14
4
27
22
12
3
35
25
11
2
45
27
14
1
60
29
10
а) Определить рыночный спрос.
б) Построить графически функции индивидуального спроса каждого
потребителя и функцию рыночного спроса. Прокомментировать полученные графики.
№ 76. Функция спроса Федора на данный товар: QФD = 6 – P. Функция
спроса Трифона на данный товар: QТD = 4 – 0,5P. Построить графически и
аналитически функцию суммарного спроса на данный товар обоих потребителей.
№ 77. На рынке имеются три покупателя со следующими функциями
спроса:
D
QID  12  P; QIID  16  4P; QIII
 13  0, 5P.
Определить:
1. Сколько единиц товара будет продано на рынке при Р = 16?
2. При какой цене можно будет продать 30 единиц товара?
3. Какова эластичность спроса по цене при Р = 10?
4. Какова эластичность спроса по цене при Q = 12,5?
№ 78. На рынке имеются три покупателя со следующими функциями
спроса:
39
D
QID  14  P; QIID  20  4P; QIII
 13  0, 5P.
Определить:
1. Сколько единиц товара будет продано на рынке при
Р = 12?
2. При какой цене можно будет продать 36 единиц товара?
3. Какова эластичность спроса по цене при Р = 4?
4. Какова эластичность спроса по цене при Q = 12?
№ 79. Спрос на товар предъявляют три группы покупателей с различной эластичностью спроса: q1 = 50 – P; q2 = 60 – 2P; q3 = 100 – 2,5P. В
первой группе 50 потребителей, во второй – 100, в третьей 80. Каков объем рыночного спроса при Р = 32?
* № 80. Результаты наблюдения за поведением потребителя представлены в таблице.
Наблюдение
1
2
3
PA
4
6
8
PB
5
3
2
QA
8
8
8
QB
10,4
11
6,5
Покажите, максимизирует полезность или нет данный потребитель.
Рассчитайте индексы Ласпейреса и Паше (первый период ко второму).
Почему они различаются?
* № 81. Наблюдения за покупками потребителя представлены в таблице. Является ли потребитель максимизирующим полезность? Рассчитать все типы индексов.
№
покупки
1
2
3
РA
РВ
QA
Qв
I
2
3
6
5
3
3
10
6
3
15
10
20
…
…
…
Предложение факторов
№ 82. Ответьте на следующие вопросы, используя рисунок:
40
Доход,
дол./день
168
B
120
A
8 10
Свободное время,
час/день
24
а) Какова почасовая ставка заработной платы в точке A?
б) Какое количество труда предложит этот человек, если почасовая
ставка заработной платы 7 дол.
в) Является ли кривая предложения труда этого работника «загибающейся назад»?
г) Каков денежный доход работника в точке B?
д) При росте заработной платы как изменяется полезность свободного
времени для работника?
№ 83. Индивид получает заработную плату в размере 500 ден. ед. в
месяц. На рисунке представлена карта кривых безразличия при межвременном потребительском выборе.
41
Пользуясь рисунком, определите:
а) величину ставки процента;
б) сегодняшнюю ценность потока доходов потребителя;
в) будущую ценность потока доходов потребителя;
г) кем будет данный потребитель (заемщиком или кредитором) в периоде 1, в периоде 2?
№ 84. Функция полезности индивида имеет вид:
U = (I + 80)0,75F0,25, где I = wL – заработная плата, F – свободное время,
равное разности между календарным временем (Т) и рабочим временем:
F = Т – L.
1. Какую ставку зарплаты нужно установить, чтобы индивид согласился в течение календарного времени Т = 24 работать 13 часов?
2. Какова при этом будет эластичность предложения труда по ставке
зарплаты?
№ 85. Функция полезности индивида имеет вид: U = (I + 60)0,5F0,25, где
I = wL – заработная плата, F – свободное время, равное разности между
календарным временем (Т) и рабочим временем: F = Т – L.
1. Сколько времени индивид согласится работать в течение календарного времени Т = 24 при w = 4?
2. Какова при этом будет эластичность предложения труда по ставке
зарплаты?
* 3. Разложите общий эффект изменения ставки заработной платы на
эффект дохода и эффект замены при ее росте с w = 4 до w = 6.
* № 86. Предпочтения индивида относительно величины его дохода и
свободного времени отображаются функцией полезности следующего вида: U = (I+X)0,6F0,2, где: F = (24 – L) – свободное время индивида, I = wL –
трудовой доход индивида, который формируется за счет оплаты его труда
(где: w – ставка зарплаты, L – количество часов труда), Х – нетрудовой
доход индивида, т.е. любой его доход, не связанный с трудовой деятельностью.
1. Определить величину нетрудового дохода индивида, если ставка
зарплаты w=5, а количество часов труда L=12.
2. Выяснить, при какой ставке заработной платы доход индивида составит 126 ден. ед. для случая, когда индивид не имеет нетрудового дохода.
*№ 87. Предпочтения индивида относительно двух благ и свободного
времени отображаются функцией полезности
42
U = (QA – 6)0,5 (QB – 8)0,25F0,25, где F – свободное время, равное разности между календарным временем суток 24 часа и рабочим временем: F =
24 – L. Определите объемы спроса индивида на каждое благо и его объем
предложения труда при цене труда w = 10 и ценах благ PA = 10; PB = 5.
* № 88. Предпочтения индивида относительно двух благ и свободного времени отображаются функцией полезности
U = (QA –2)0,5 (QB – 3)0,25F0,2, где F – свободное время, равное разности
между календарным временем суток 24 часа и рабочим временем: F = 24 –
L. Определите объемы спроса индивида на каждое благо и его объем
предложения труда при цене труда w = 10 и ценах благ PA = 8; PB = 5.
№ 89. Предпочтения индивида относительно нынешнего (С0) и будущего (С1) потребления благ отображаются двухпериодной функцией полезности U  C00,6C10,4 . Его доход в текущем периоде I0 = 400, а в будущем I1
= 200.
Определите объемы его сбережений в текущем периоде и объемы потребления в обоих периодах при i = 20%.
№ 90. Предпочтения индивида относительно нынешнего (С0) и будущего (С1) потребления благ отображаются двухпериодной функцией полезности U  C00,6C10,4 . Его доход в текущем периоде I0 = 360, а в будущем I1
= 200.
1. Определите объемы сбережений индивида в текущем периоде и
объемы потребления в обоих периодах при ставках процента: i =20; 40;
60%. Доволен ли индивид повышением ставки процента? Какая из указанных ставок процента наиболее привлекательна для индивида?
*2. Разложите общий эффект изменения ставки процента на эффект
дохода и эффект замены при ее росте с i = 20% до i = 40%.
43
РАЗДЕЛ 2. ТЕОРИЯ ФИРМЫ
Типовые задачи с решениями
№1
Объем приОбщий
Предельный
Средний
менения певыпуск
продукт пе- продукт переменного продукции, ременного
ременного
ресурса, L
Q
ресурса,
ресурса, АРL
МРL
20
…
…
50
21
…
80
…
22
…
…
53
23
…
99
…
24
…
85
...
Заполнить пропуски в таблице и найти значение коэффициента эластичности выпуска по труду при L = 23.
Решение:
Подобные таблицы целесообразно заполнять по строкам.
Если L = 20, при этом AP = 50, тогда APL 
Q
 Q  APL  L  Q(20)  1000 ед.
L
Значение предельного продукта труда в первой строке определить
нельзя, так как нам неизвестно значение Q при L = 19, что необходимо для
оценки его изменения (Q) .
В строке два нам известно значение предельного продукта труда, тогда
MPL 
Q
Q(21)  1000
 80 
 Q(21)  1080 ед.
L
21  20
APL 
Q
1080
 APL (21) 
 51, 4 ед.
L
21
И так далее до конца таблицы:
44
Объем приОбщий
Предельный
Средний
менения певыпуск
продукт пе- продукт переменного продукции, ременного
ременного
ресурса, L
Q
ресурса,
ресурса, АРL
МРL
20
50
1000
21
80
1080
51,4
22
53
1166
86
23
99
1265
55
24
85
1350
56,25
Рассчитаем значение коэффициента эластичности выпуска по труду
при L = 23:
MPL 99
Q , L 

 1,8.
APL 55
№ 2. Зависимость выпуска продукции от количества используемого
труда отображается функцией:
Q  50L  5L2  0, 5L3 .
1. При каком количестве используемого труда достигается максимум:
а) общего выпуска; б) предельной производительности (предельного продукта) труда; в) средней производительности (среднего продукта) труда.
2. Определите эластичность выпуска по труду при использовании 5
ед. труда.
Решение:
1а. Функция от одной переменной достигает максимума, когда ее
производная равна нулю. С учетом того, что L > 0, получаем:
dQ dL  50  10L  1, 5L2  0  L  10 .
1б. Предельная производительность труда
M PL  50  10L  1, 5L2
достигает максимума при 10 = 3L  L = 10/3.
1в. Средняя производительность труда
APL  50  5L  0, 5L2
достигает максимума при L = 5.
2. По определению Q,L  M PL APL . При L = 5 средняя и предельная
производительности равны 62,5; следовательно, Q,L  1.
45
№ 3. Фирма работает по технологии, отображаемой производственной функцией Q = L0,75K0,25. Факторы производства она покупает по
неизменным ценам: w = 144; r = 3. Определите в состоянии равновесия фирмы: а) среднюю производительность труда (продукт труда);
б) среднюю производительность капитала (продукт капитала); в) предельную производительность труда; г) предельную производительность
капитала.
Решение:
а) APL  Q/ L   K L 0,25 . Условие равновесия фирмы MRTSL,K = w/r.
0, 75K 144

 K  16 L .
0, 25L
3
Следовательно: APL  16L L 0,25  2 .
б) APK  Q/ K   L K 0,75 → APK   L 16L 0,75  0, 125 ;
в) M PL  dQ/ dL  0, 75  K L 0,25  0, 75 16L L 0,25  1, 5 ;
г) M PK  dQ/ dK  0, 25  L K 0,75  0, 25  L 16L 0,75  0, 03125 .
№ 4. Технология производства фирмы задана производственной
функцией: Q = 20L0,5. Цена труда w = 2, а цена продукции фирмы Р = 5.
Определите: а) выпуск фирмы; б) общие затраты на выпуск; в) средние затраты; г) предельные затраты; д) объем спроса фирмы на труд.
Решение:
а) В соответствии с технологией L  Q2 400 . Поэтому TC  Q2 200 и
M C  Q 100 .
По условию максимизации прибыли
M C  P  Q 100  QS  100P  100  5  500 ;
б) TC = 5002/200 = 1250; в) AC = 1250/500 = 2,5;
г) MC = 500/100 = 5; д) L = 5002/400 = 625.
№ 5. Фирма, максимизирующая прибыль, работает по технологии Q =
L K0,25. Факторы производства она покупает по неизменным ценам: w =
2; r = 8 и продает свою продукцию по цене Р = 320. Определите: а) выпуск
фирмы; б) общие затраты на выпуск; в) средние затраты; г) предельные
затраты; д) объем спроса фирмы на труд; е) объем спроса фирмы на капитал; ж) прибыль фирмы; з) излишки продавца.
0,25
46
Решение:
а) Условие равновесия фирмы:
MPL w
 
MPK
r
0, 25K 2
  K  0, 25L .
0, 25L
8
В
0, 25L 
соответствии
с
Q4
 L  2Q2 ; K  0, 5Q2 .
L
технологией:
Тогда
K 
Q4
L
.
Следовательно,
LTC  8Q2 ; LM C  16Q .
Из условия
максимизации прибыли следует QS  P 16  320 16  20 ;
б) LTC = 8202 = 3200; в) LAC = 3200/20 = 160;
г) LMC = 1620 = 320; д) L = 2400 = 800;
е) K = 0,5400 = 200; ж) 20320 – 3200 = 3200;
з) 0,5•20•320 = 3200.
№ 6. Предприятие работает по технологии, описываемой производственной функцией: Q = LαKβ, бюджетное ограничение имеет вид: C(Q) = wL
+ rK. Найти оптимум производителя (минимизация затрат в длительном
периоде) методом Лагранжа.
Решение:
1. Функция Лагранжа имеет вид:
Ф = wL + rK + μ(Q – LαKβ), где μ – множитель Лагранжа, переменная.
2. Продифференцировать функция Лагранжа по L, K, μ:
 dФ
0.5 0.5
 dL  w    MPL  w  0.5 L K  0

 dФ
 r    MPK  r  0.5 L0.5 K 0.5  0

 dK
 dФ
0.5 0.5
d  Q  L K  0

Последнее уравнение представляет собой производственное ограничение.
3. Решить уравнения для L, K и μ. В результате получаем:
L  r 0.5 w0.5Q
K  w0.5 r 0.5Q
  2w0.5 r 0.5
C (Q)  wL  rK  2r 0.5 w0.5Q
47
№ 7. Фирма с функцией общих затрат TC  8  8Q  2Q2 может продать
любое количество своей продукции по цене Р = 20.
1. Определите выпуск фирмы: а) минимизирующий средние затраты;
б) максимизирующий прибыль.
2. Рассчитайте максимальную величину: а) прибыли; б) излишка
производителя.
3. Определите эластичность предложения фирмы по цене, когда она
получает максимум прибыли.
Решение:
1а. AC  8 Q  8  2Q; AC   8 Q2  2  0  Q  2 .
1б. M C  P; 8  4Q  20  Q  3 .
2а.  = 203 – 8 – 83 – 29 = 10.
2б.  = 203 – 83 – 29 = 18.
3. QS  2  0, 25P; dQ dP  0, 25; eS  0, 25  20 / 3  5 / 3 .
№ 8. При цене 8 ден. ед. за 1 кг фермер, имеющий линейную функцию предложения, продал 10 кг яблок. Эластичность предложения по цене
равна 1,6. Сколько кг яблок продаст фермер, если цена будет равна 12 ден.
ед?
Решение:
Общий вид линейной функции предложения: QS = m + nP. Для нее
eS = nP*/Q*  n = eSQ*/P*; m = Q*(1 – eS).
В условиях задачи n = 2; m = 6; следовательно, функция предложения
имеет вид:
QS = – 6 + 2P; при цене 12 объем предложения равен 18.
№ 9. На рынке имеются три продавца со следующими функциями
предложения:
S
QIS  2P; QIIS  4  0, 5P; QIII
 4  P.
Определите эластичность рыночного предложения по цене, когда на
рынке продается 11 ед. товара.
48
Решение:
Для определения интервалов цен, соответствующих различным наклонам кривой рыночного предложения, перейдем от индивидуальных
функций предложения к индивидуальным функциям цены предложения:
PI S  0, 5Q; PIIS  8  2Q; PIIIS  4  Q.
Следовательно, в интервале 0 < P  4 рыночное предложение представлено продавцом I; в интервале 4 < P  8 рыночное предложение равно
сумме предложения I и III продавца, и только после P > 8 рыночное предложение равно сумме всех трех продавцов:
2 P; 0  P  4

Q  4  3 P; 4  P  8
8  3, 5 P; P  8

S

Отсюда видно, что 11 ед. товара будет продано по цене Р = 5; тогда
e = 35/11 = 15/11.
S
P
S
Q
Рис. 2.1. Рыночное предложение
как сумма индивидуальных предложений
№ 10. Определите капитальную цену бензопилы, которая в течение
трех лет обеспечивает чистые годовые доходы 1 = 135 руб., 2 = 202,5
руб., 3 = 100 руб и к концу 3-го года имеет ликвидационную ценность
82,25 руб., если годовая ссудная ставка процента i = 12,5%.
49
Решение:
Так как представленный поток доходов будет получен в будущих периодах, а капитальная цена бензопилы определяется в текущем периоде,
то для ее расчета используем формулу дисконтирования:
Cn
C1
C2

 ... 

2
(1  i) (1  i)
(1  i) n
135
202.5
100
82.25




 408 ден. ед.
1
2
3
(1  12.5) (1  12.5) (1  12.5) (1  12.5)3
Pкап  PV 
Pкап
Вопросы для обсуждения
1. Какую конфигурацию могут иметь изокванты? Приведите примеры взаимозаменяемых и взаимодополняемых ресурсов в практических ситуациях. Какое значение при этом может иметь показатель предельной
нормы технической замены?
2. Как согласуются между собой показатели общего выпуска, предельной производительности и средней производительности фактора производства? В каких случаях фирма (отрасль) может преследовать цели
максимизации каждого из перечисленных показателей?
3. Проанализируйте разницу между убывающей отдачей от масштаба и убывающей предельной производительностью фактора. Приведите
примеры рассматриваемых процессов. Может ли специализация (разделение труда) привести к положительному эффекту масштаба?
4. Что представляет собой эластичность выпуска от переменных
факторов производства? Как данные показатели согласуются с эластичностью выпуска от масштаба для производственной функции КоббаДугласа?
5. Может ли функция предельной производительности труда демонстрировать возрастающий характер? Приведите практические примеры.
6. Как трактуется понятие «технический прогресс» в теории микроэкономики? Какими допущениями теории это обусловлено? В чем основные недостатки такой трактовки?
7. Проанализируйте понятия «затраты», «издержки», «стоимость».
Каковы, на ваш взгляд, различия между данными понятиями и можем ли
мы с точки зрения микроэкономики использовать какие-то из них в качестве синонимов?
8. Какие затраты могут быть отнесены к постоянным для целлюлозно-бумажного комбината, фермы по разведению карпов, фирмы, осуществляющей грузовые перевозки, газетного киоска, интернет-магазина. Какой
временной промежуток может составлять короткий период для перечисленных фирм?
50
9. Почему функции затрат короткого периода всегда располагаются
выше функции затрат длительного периода? Всегда ли огибающая снизу
функция LATC касается соответствующей функции SATC в точке минимума последней?
10. Как согласуется эластичность предложения по цене с различными
параметрами рыночной конъюнктуры и особенностями товара? Обоснованно предположите уровень коэффициента эластичности предложения
для следующих категорий товаров: мороженое, елочные игрушки, старинные монеты, меховые шапки из норки, лак для волос Taft, малолитражные
автомобили, ядерные ракетоносцы?
11. Что лежит в основе спроса на факторы производства?
12. Как устанавливается прокатная цена труда на рынке монополии?
13. Как связаны между собой понятия «дисконтирование» и «капитальная цена фактора производства»?
Задачи
№ 1. Заполните пропуски в следующей таблице:
Объем приОбщий
Предельный
Средний
менения певыпуск
продукт пе- продукт переменного продукции, ременного
ременного
ресурса, L
Q
ресурса,
ресурса, АРL
МРL
3
…
...
20
4
…
15
…
5
100
…
…
6
…
5
…
7
…
…
13
1. Изобразите линии общего выпуска, предельного и среднего продуктов труда.
2. Объясните, почему полученные линии имеют такие конфигурации.
3. Всегда ли равенство среднего и предельного продуктов переменного фактора указывает на максимальное значение среднего продукта? Почему?
4. Выделите на графике три стадии производства.
5. Всегда ли предельный продукт положителен? Почему?
6. Найдите значение эластичности выпуска по труду при L = 5.
№ 2. Заполните пропуски в следующей таблице:
Объем при-
Общий
Предельный
Средний
51
менения певыпуск
продукт переменного продукции, ременного
ресурса, L
Q
ресурса,
МРL
3
70
4
…
12
5
100
…
6
…
…
7
118
…
продукт переменного
ресурса, АРL
...
…
...
19
...
№3
Объем приОбщий
Предельный
Средний
менения певыпуск
продукт пе- продукт переменного продукции, ременного
ременного
ресурса, L
Q
ресурса,
ресурса, АРL
МРL
3
90
...
4
…
10
…
5
…
5
...
6
…
…
18
7
109
…
...
Найти значение предельного продукта 7-й единицы фактора
№4
Объем приОбщий
Предельный
Средний
менения певыпуск
продукт пе- продукт переменного продукции, ременного
ременного
ресурса, L
Q
ресурса,
ресурса, АРL
МРL
1
…
…
15
2
…
17
…
3
…
…
18
4
…
3
…
5
…
1
...
Найти значение общего выпуска при L = 5.
№ 5. Зависимость выпуска продукции от количества используемого
труда отображается функцией:
Q  240L  25L2  L3 .
1. При каком количестве используемого труда достигается максимум:
а) общего выпуска; б) предельной производительности (предельного
52
продукта) труда; в) средней производительности (среднего продукта) труда.
2. Найдите максимальные значения общего выпуска, предельного и
среднего продуктов труда.
3. Изобразите линии общего выпуска, предельного и среднего продуктов труда.
4. Объясните, почему полученные линии имеют такие конфигурации.
5. Всегда ли равенство среднего и предельного продуктов переменного
фактора указывает на максимальное значение среднего продукта?
Почему?
6. Выделите на графике три стадии производства.
7. Всегда ли предельный продукт положителен? Почему?
8. Определите эластичность выпуска по труду при использовании 5 ед.
труда.
№ 6. Зависимость выпуска продукции от количества используемого
труда отображается функцией: Q  100L  25L2  0, 5L3 . Определите максимум: а) общего выпуска; б) предельной производительности труда; в)
средней производительности труда.
№ 7. Фирма работает по технологии, отображаемой производственной
функцией Q = 10L0,75K0,25. Факторы производства она покупает по неизменным
ценам: w = 24; r = 8. Определите в состоянии равновесия фирмы: а) среднюю производительность труда (продукт труда); б) среднюю производительность капитала (продукт капитала); в) предельную производительность труда; г) предельную производительность капитала.
№ 8. Фирма работает по технологии, отображаемой производственной функцией Q = 10L0,75K0,25. Факторы производства она покупает по
неизменным ценам: w = 5; r = 1. Определите в состоянии равновесия
фирмы: а) среднюю производительность труда (продукт труда); б) среднюю производительность капитала (продукт капитала); в) предельную
производительность труда; г) предельную производительность капитала.
№ 9. Фирма работает по технологии, отображаемой производственной
функцией Q = 20L0,7K0,3. Факторы производства она покупает по неизменным ценам: w = 7; r = 3072. Определите в состоянии равновесия фирмы:
а) среднюю производительность труда (продукт труда); б) среднюю производительность капитала (продукт капитала); в) предельную производительность труда; г) предельную производительность капитала.
№ 10. Процесс производства на некотором предприятии описывается
производственной функцией:
53
Q = 2L2/3 × K1/3,
где Q – объем производства, L – объем используемых трудовых ресурсов;
K – объем используемого оборудования.
1. Каков экономический смысл показателей степеней при переменных
L и К?
2. Найдите алгебраическое выражение для изокванты при Q = 4. Нарисуйте эту изокванту.
3. Объясните взаимосвязь между конфигурацией изокванты и значениями показателей степеней; что произойдет с изоквантой, если показатели степеней станут равны?
4. Допустим, ставка арендной платы за оборудование (r) вдвое выше
ставки оплаты труда (w). Предприятие использует две единицы оборудования и две единицы труда. Может ли предприятие, изменив комбинацию
используемых ресурсов, уменьшить затраты, не уменьшая выпуск продукции? Ответ представьте графически и алгебраически.
5. Какое значение имеют цены факторов и показатели степеней в производственной функции при оптимизации предприятия-производителя.
№ 11. Процесс производства на некотором предприятии описывается
производственной функцией:
Q = 3L1/3 × K2/3,
где L – объем используемых трудовых ресурсов; K – объем используемого
оборудования.
1. Найдите алгебраическое выражение для изокванты при Q = 6. Нарисуйте эту изокванту.
2. Ставка арендной платы за оборудование вдвое выше ставки оплаты
труда. Предприятие использует две единицы оборудования и две единицы
труда.
3. Может ли предприятие, изменив комбинацию используемых ресурсов, уменьшить затраты, не сокращая выпуск?
4. Почему для предприятия так важно достижение оптимума в производстве?
5. Какие последствия грозят предприятию, если оно не достигает оптимума в производстве?
№ 12. Предприятие производит объем продукции Q, используя такие
объемы ресурсов, при которых предельный продукт оборудования превышает предельный продукт труда в 2 раза. Ставка оплаты за аренду единицы оборудования превышает ставку оплаты труда в 3 раза.
Может ли предприятие уменьшить затраты, не сокращая объема выпуска? Если да, то в каком направлении следует изменить соотношение
54
между объемами используемого оборудования и труда? Поясните ответ с
помощью изокванты и изокосты.
№ 13. Используя изображенный ниже рисунок, ответьте на следующие вопросы:
1. Какова предельная норма технической замены в точке A?
2. Если в точке B w = 4, r = 6 и фирма, находясь в этой точке, применяет 50 единиц капитала и 30 единиц труда, какова величина средних затрат для производства 100 единиц продукции?
3. Отражают ли точки C и D комбинацию факторов производства, которые используются для определения долгосрочных средних затрат при
установлении цены на 80 единиц продукции? Объясните.
4. Что общего между точками С и D и чем они различаются?
5. О чем говорит конфигурация изоквант, представленных на рисунке?
6. Как изменилась бы конфигурация изоквант, если бы факторы характеризовались бы абсолютной заменяемостью? Дополняемостью? Приведите примеры подобных производств.
№ 14. Производственная функция имеет вид: Q = K × L.
а) Постройте на графике изокванту, соответствующую выпуску Q= = 2.
б) Найдите предельные нормы технической замены при L1 = 1/2 и
L2 = 2. Объясните, чем обусловлено различие предельной нормы технической замены в этих точках.
в) Какова будет предельная норма технической замены при L = 2 чел.часа и какой она станет, если затраты труда будут измеряться в чел.-днях
(1чел.-день = 8 чел.-час.)?
г) Как объяснить, что практически при одинаковых трудозатратах
предельная норма технической замены оказывалась разной?
55
№ 15. Производственная функция фирмы имеет вид: Q = K  L . Пусть
уровень выпуска равен 50 ед. Какой будет оптимальная комбинация ресурсов K и L, если ставка зарплаты (w) равна 10 ден. ед., а ставка арендной
платы за оборудование (r) равна 5 ден. ед.
№ 16. Фирма работает по технологии, отображаемой производственной функцией Q = L1/4K1/4. Цена труда – 4 ден. ед., а цена капитала – 16
ден. ед. Сколько капитала будет использовать фирма при выпуске 20 ед.
продукции?
№ 17. Фирма работает по технологии, отображаемой производственной функцией Q = L0,75 K0,25. Цена труда –15 ден. ед., а цена капитала – 5
ден. ед. Сколько труда будет использовать фирма при выпуске 75 ед. продукции?
№ 18. Фирма работает по технологии, отображаемой производственной функцией Q = L0,6K0,4. Цена труда – 9 ден. ед., а цена капитала – 3 ден.
ед. Какова будет капиталовооруженность труда на этой фирме?
№ 19. Бюджет фирмы равен 200 ден. ед. Она работает по технологии,
соответствующей производственной функции Q = L × K, при ценах на
факторы: w = 2; r = 4.
а) При каких значениях L и K фирма достигает максимума выпуска?
б) Как изменится капиталовооруженность труда на фирме, если при
той же цене труда цена капитала возрастет в 1,5 раза?
№ 20. Фирма может потратить на производство товара 900 ден. ед.
Чтобы производить продукцию с минимальными средними затратами,
фирма использует 120 ед. капитала по цене r = 5 и при этом предельная
норма замещения капитала трудом равна –1,5. Сколько единиц труда нанимает фирма?
№ 21. Бюджет фирмы равен 300 ден. ед. Она работает по технологии,
соответствующей производственной функции Q = L0,6 K0,4, при ценах на
факторы: w = 12; r = 18. При каких значениях K и L фирма достигает
максимума выпуска?
№ 22. Производственная функция фирмы имеет вид: Q  K  L . Прокатные цены факторов производства составляют: ставка зарплаты 4 ден.
ед., арендная плата за оборудование 2 ден. ед. На основании этих данных
построить линию оптимального роста производства по трем точкам при
уровнях выпуска:
а) Q = 1,
56
б) Q = 2,
в) Q = 3.
№ 23. Предположим, фирма имеет следующие характеристики производственного процесса в коротком периоде: МРК=12, МРL= 20. Ставка заработной платы равна 8 ден. ед., а ставка арендной платы – 2 ден. ед. Как
надо изменить количество применяемого труда и капитала, чтобы добиться оптимального их сочетания?
№ 24. Предельная норма технического замещения трудом капитала
равна 4. На сколько необходимо сократить использование труда для того,
чтобы обеспечить прежний объем производства при увеличении капитала
на 8 единиц.
№ 25. Предположим производственная функция фирмы описывается
уравнением Q=L1/2K. На сколько процентов снизится Q, если L снизится
на 19%, а К снизится на 10%?
№ 26. Производство товара представляет собой такой процесс, при
котором труд и капитал используются в соотношении 5 час. труда на 1 час
машинного времени. При удвоении факторов объем производства возрастает втрое (с 10 до 30 ед.). Когда факторы производства увеличиваются
наполовину (с 10 до 15 ч труда и с 2 до 3 ч машинного времени), выпуск
удваивается (с 30 до 60 ед.) какой эффект масштаба демонстрирует производственная функция?
№ 27. Предположим, что когда фирма увеличивает применяемый капитал с 120 до 150 ед. и используемый труд с 500 до 625 ед., выпуск продукции увеличится с 200 до 220.
Какая отдача от масштаба производства (возрастающая, убывающая,
постоянная) имеет место в данном случае?
№ 28. Допустим, фирма работает по технологии Q = L0,6 K0,4, при этом
уменьшает объемы труда и капитала в два раза. Как изменится объем выпускаемой продукции?
№ 29. Если процесс производства в фирме характеризуется убывающей отдачей от масштаба при любом объеме производства, что произойдет с прибылью фирмы, если она разделится на два завода, каждый из которых будут производить одинаковый объем продукции?
Теория затрат и предложения благ
57
№ 30. В таблице даны общие затраты предприятия по вариантам:
1. Рассчитать постоянные, переменные, предельные, средние общие,
средние постоянные и средние переменные затраты и построить их графики.
2. Затраты какого периода (короткого или длительного) представлены
в таблице, почему?
3. Объясните, почему эти линии имеют такие конфигурации.
4. Что лежит в основе линии переменных затрат?
5. Перечислите виды затрат, которые можно отнести к переменным,
постоянным затратам.
6. Допустим, перед нами мебельная фабрика, которая сталкивается с
такими фактами: повышение стоимости отопления, удешевление древесины, повышение налога на прибыль, повышение оплаты труда своим рабочим. Как указанные изменения отразятся на линиях общих, переменных,
постоянных затрат?
7. Определить координаты точки безубыточности и точки закрытия
фирмы.
Выпуск,
шт.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Общие затраты по вариантам, ден.
ед.
I
II
III
IV
V
VI
40
50
50
10 100
50
120 115 75
15 150 100
160 135 100 20 180 125
220 145 125 25 210 150
300 150 150 30 250 225
400 175 210 40 315 325
520 225 275 55 400 450
660 320 360 75 500 590
820 420 460 100 620 740
58
№ 31. Заполните пропуски в таблице:
Q
0
1
2
3
FC
VC
4
AVC
AFC
MC
4
12
35
№ 32. Заполните пропуски в таблице:
Q
0
1
2
3
FC
VC
14
AVC
AFC
MC
-
2
18
56
№ 33. Функция общих затрат предприятия имеет вид: TC = 100 +
+4Q + 0,25Q2.
Определить выражения для FC, VC, ATC, AFC, AVC, MC как функции
от Q. При каком значении Q средние общие затраты достигают минимума?
№ 34. При производстве 5 тыс. стульев в месяц предельные затраты
равны 10, а средние – 15 ден. ед. Следует ли фирме расширить или сократить выпуск для увеличения прибыли?
№ 35. Известно, что постоянные затраты фирмы равны 55 ден. ед.,
функция предельных затрат имеет вид: MC = 22 – 8Q + 3Q2 + 2Q3. Определить функцию общих затрат фирмы и рассчитать эти затраты при выпуске 3 ед. продукции.
№ 36. Функция средних общих затрат имеет вид: ATC = 8Q + 100/Q.
Вывести функцию предложения фирмы. Почему кривая предложения является восходящей? Какие еще факторы, кроме цены, влияют на величину
предложения?
№ 37. Средние издержки конкурентной фирмы описываются формулой АС = 40+2Q. Как изменится объем выпуска фирмы, если цена на продукцию с 200 руб. за шт. упадет до 100 руб. за шт.?
59
№ 38
На рисунке представлены линии предельных, средних общих и средних
переменных затрат.
C
MC
42
AТC
AVC
18
15
40
80
Q
Определите величину общих постоянных затрат в представленном на рисунке случае при выпуске 80 ед. продукции.
№ 39. Процесс производства на некоторой фирме описывается производственной функцией вида: Q  5 L  K , где L – переменный, а K – постоянный факторы производства. Цены ресурсов одинаковы (r = w) и равны
15 ден. ед. Найти алгебраическое выражение для функции затрат в коротком и длительном периоде.
№ 40. Технология производства фирмы задана производственной
функцией: Q = 10L0,75. Цена труда w = 5, а цена продукции фирмы Р = 2.
Определите: а) выпуск фирмы; б) общие затраты на выпуск; в) средние затраты; г) предельные затраты; д) объем спроса фирмы на труд.
№ 41. Технология производства фирмы задана производственной
функцией: Q = 10L0,75. Цена труда w = 5, а цена продукции фирмы Р = 4.
Определите: а) выпуск фирмы; б) общие затраты на выпуск; в) средние затраты; г) предельные затраты; д) объем спроса фирмы на труд.
№ 42. Производственная функция фирмы Q = L0,5. Ставка заработной
платы – 2 ден. ед. Каков объем предложения фирмы при Р = 44?
№ 43. Фирма, максимизирующая прибыль, работает по технологии
Q = L0,5K0,25. Факторы производства она покупает по неизменным ценам:
w = 10; r = 5 и продает свою продукцию по цене Р = 100. Определите: а)
выпуск фирмы; б) общие затраты на выпуск; в) средние затраты; г) предельные затраты; д) объем спроса фирмы на труд; е) объем спроса фирмы
на капитал; ж) прибыль фирмы; з) излишки производителя.
№ 44. Фирма, максимизирующая прибыль, работает по технологии
Q = L0,5K0,25. Факторы производства она покупает по неизменным ценам:
w = 1; r = 4 и продает свою продукцию по цене Р = 20. Определите: а) выпуск фирмы; б) общие затраты на выпуск; в) средние затраты; г) предель-
60
ные затраты; д) объем спроса фирмы на труд; е) объем спроса фирмы на
капитал; ж) прибыль фирмы; з) излишки производителя.
№ 45. Продукция производится по технологии вид Q= K0,5L0,5. Ставка оплаты труда 2 ден. ед., цена капитала – 8 ден. ед. независимо от количества используемых факторов. По какой цене будет продаваться продукция в длительном периоде?
№ 46. Продукция производится по технологии вид Q= K0,5L0,5. Ставка оплаты труда 9 ден. ед., цена капитала – 25 ден. ед. независимо от количества используемых факторов. По какой цене будет продаваться продукция в длительном периоде?
№ 47. Фирма с функцией общих затрат TC  8  4Q  2Q2 может продать любое количество своей продукции по цене Р = 24.
1. Определите выпуск фирмы: а) минимизирующий средние затраты;
б) максимизирующий прибыль.
2. Рассчитайте максимальную величину: а) прибыли; б) излишка производителя.
3. Определите эластичность предложения фирмы по цене, когда она
получает максимум прибыли.
№ 48. Фирма с функцией общих затрат TC  16  4Q  Q2 может продать любое количество своей продукции по цене Р = 20.
1. Определите выпуск фирмы: а) минимизирующий средние затраты;
б) максимизирующий прибыль.
2. Рассчитайте максимальную величину: а) прибыли; б) излишка
производителя.
3. Определите эластичность предложения фирмы по цене, когда она
получает максимум прибыли.
№ 49. Определите эластичность предложения по цене фирмы с общими затратами TC = 2 + 8Q + 2Q2, когда она производит продукцию с минимальными средними затратами.
№ 50. Определите эластичность предложения по цене фирмы с общими затратами TC =32 + 8Q + 2Q2, когда она производит продукцию с минимальными средними затратами.
№ 51. Фирма с функцией общих затрат TC  16  4Q  Q2 может продать любое количество своей продукции по цене Р = 20. Рассчитайте максимальную величину прибыли.
61
№ 52. Фирма с функцией общих затрат TC  16  4Q  Q2 может продать любое количество своей продукции по цене Р = 20. Рассчитайте максимальную величину излишка производителя.
№ 53. Фирма с линейной функцией предложения продает свой товар
только при цене Р > 30. Определите коэффициент эластичности ее предложения по цене, когда Р = 40.
№ 54. Фирма с линейной функцией предложения продает свой товар
только при цене Р > 5. Определите коэффициент эластичности ее предложения по цене, когда Р = 10.
№ 55. Фирма с функцией общих затрат TC  30  10Q  2Q2  Q3 6 может
продать любое количество своей продукции по цене Р = 20.
1. Насколько объем выпуска, максимизирующий прибыль, больше
объема выпуска, минимизирующего средние затраты?
2. Во сколько раз максимальные излишки производителя превышают
максимальную прибыль?
№ 56. Общие затраты конкурентной фирмы равны TC  8  2Q  0, 25Q2 .
Рассчитайте, насколько при повышении цены на продукцию фирмы с 10
до 12: а) возрастет излишек производителя; б) уменьшится эластичность
предложения по цене.
№ 57. При цене 8 ден. ед. за 1 кг фермер, имеющий линейную функцию предложения, продал 10 кг яблок. Эластичность предложения по цене
равна 2.
1. Сколько кг яблок продаст фермер, если цена будет равна 12 ден.
ед.?
2. При какой цене фермер предложит 30 кг яблок?
№ 58. При цене 10 ден. ед. за 1 кг фермер, имеющий линейную функцию предложения, продал 15 кг яблок. Эластичность предложения по цене
равна 2.
1. Сколько кг яблок продаст фермер, если цена будет равна 16 ден. ед?
2. При какой цене фермер предложит 45 кг яблок?
* № 59. Фирма, максимизирующая прибыль, работает по технологии
Q = L0,5K0,25. Факторы производства она покупает по неизменным ценам.
Определите эластичность предложения фирмы по цене.
62
* № 60. Фирма, максимизирующая прибыль, работает по технологии
Q = L0,25K0,25. Факторы производства она покупает по неизменным ценам.
Определите эластичность предложения фирмы по цене.
№ 61. Фермер желает организовать производство в регионе, в котором имеется 80 га земли и можно нанять 120 ед. труда. Технология производства сельскохозяйственной продукции отображается функцией Q =
L0,3K0,6. Приняв ставку заработной платы за 1, установите такую ставку
арендной платы за землю, чтобы фермер производил максимально возможный объем продукции.
№ 62. Фермер желает организовать производство в регионе, в котором имеется 80 га земли и можно нанять 200 ед. труда. Технология производства сельскохозяйственной продукции отображается функцией Q =
L0,3K0,6. Приняв ставку заработной платы за 1, установите такую ставку
арендной платы за землю, чтобы фермер производил максимально возможный объем продукции.
№ 63. Технология производства фирмы описывается производственной функцией: Q = 2L . Ставка заработной платы равна 4. Вывести функцию предложения фирмы.
№ 64. Технология производства фирмы представлена формулой:
Q = 2 L . Труд она оплачивает по фиксированной ставке: w = 2. Вывести
функцию предложения фирмы на конкурентном рынке.
№ 65. Производственная функция фирмы имеет вид: Q = L0,5 × K0,5.
Ставка заработной платы равна 1, а ставка арендной платы – 2.
а) Вывести функцию предельных затрат фирмы.
б) Вывести функции затрат короткого периода для Q = 10, 11, … 30
при объеме K = 10, 14, 16, 20.
в) При какой цене на продукцию фирма будет выпускать 200 ед. продукции?
№ 66. Функция общих затрат конкурентной фирмы: TC = 48 + 10Q –
Q + 0,5Q3. Во вторник фирма продала 10 ед. продукции, а в среду 12 ед.
Насколько в указанный период возросла: а) цена продукции; б) прибыль
фирмы?
2
№ 67. Функция общих затрат конкурентной фирмы: TC = 100 + 10Q –
2Q + 0,5Q3. Во вторник фирма продала 13 ед. продукции, а в среду 15 ед.
Насколько в указанный период возросла: а) цена продукции; б) прибыль
фирмы?
2
63
№ 68. При цене муки 10 ден. ед. за т на рынке присутствуют два продавца, функции предложения которых линейны. Первый из них предлагает 12 т, а его эластичность предложения по цене равна 1,5; второй – 14 т,
его эластичность равна 1.
а) Определить индивидуальные функции предложения и рыночную
функцию.
б) Рассчитать коэффициент эластичности рыночного предложения по
цене, если Р = 15.
№ 69. На рынке имеются три продавца со следующими функциями
предложения:
S
QIS  2P; QIIS  6  0, 5P; QIII
 8  P.
1. Сколько единиц товара будет продано на рынке при Р = 10?
2. При какой цене можно будет продать 35 единиц товара?
3. Какова эластичность предложения по цене при Р = 11?
4. Какова эластичность предложения по цене при Q = 32?
№ 70. На рынке имеются три продавца со следующими функциями
S
S
S
предложения: QI  1  2P; QII  16  0, 5P; QIII  18  2P. При какой цене можно будет продать 20 единиц товара?
№ 71. При цене помидоров 45 руб./кг спрос на них равен 100 кг.
Предлагают помидоры два фермера по 50 кг каждый. Из-за различий в
плодородии земли затраты на оплату аренды земли, семян, труда, материалов и амортизации в расчете на 1 кг помидоров у 1-го фермера 41 руб.,
а у 2-го – 37 руб. Определите разность между бухгалтерской и экономической прибылью 2-го фермера.
№ 72. Для удовлетворения спроса на электроэнергию в регионе при
цене 9 руб./кВт/ч приходится использовать гидроэлектростанцию и тепловую электростанцию. Затраты на 1 кВт/ч у первой станции 6 руб., а у второй – 8 руб. Определите разность между бухгалтерской и экономической
прибылью в расчете на 1 кВт/ч у гидроэлектростанции.
№ 73. В течение года предприятие, оцениваемое в 2 млрд ден. ед., затратило 300 млн ден. ед. на сырье и материалы, 100 млн ден. ед. на топливо и энергию и 400 млн ден. ед. на зарплату персонала. Выручка от реализации продукции за тот же период составила 1 млрд ден. ед. Владелец
предприятия, являющийся одновременно его управляющим, мог бы в случае закрытия дела найти работу с месячной зарплатой в 1 млн ден. ед. Годовая ставка процента составляет 10%. Рассчитать бухгалтерскую и экономическую прибыль.
64
№ 74. Владелец небольшой фирмы работает сам и нанимает двух помощников, выплачивая им по 400 тыс. ден. ед. в месяц и 200 тыс. ден. ед.
себе. Затраты на сырье составляют 3 млн ден. ед., аренда помещения обходится в 1 млн ден. ед. в месяц. Собственный капитал мог бы приносить
владельцу при ином варианте его использования 500 тыс. ден. ед. в месяц,
а работа по специальности в крупной корпорации – 600 тыс. ден. ед. Месячная выручка фирмы составляет 6 млн ден. ед. Стоит ли предпринимателю продолжать дело?
№ 75. В конце года бухгалтер говорит вам, что ваша прибыль – 50000
ден. ед. Управляя своей фирмой, вы упускаете зарплату в 30000 ден. ед.,
которую могли получить, работая в другом месте. У вас также 100000
ден.ед. собственных средств, вложенных в ваш бизнес. Предполагая, что
вы упускаете 15% годовых с этих средств, определите экономическую
прибыль. Останетесь ли вы в этом бизнесе на следующий год?
Спрос на факторы
№ 76. Фирма является совершенным конкурентом на товарном и факторном рынках. Производственная функция имеет вид Q =28L – L2.
а) Вывести функцию спроса фирмы на труд.
б) Сколько труда будет использовать фирма при цене труда 150 ден.
ед. в час и цене на продукцию 15 ден. ед.?
№ 77. Объясните, как может повлиять на кривую спроса на ресурс А,
используемый в производстве продукта Б, каждое из следующих событий:
а) увеличение спроса на Б;
б) уменьшение количества товаров-заменителей Б;
в) изменение технологии производства Б, которое повлекло сокращение использования А относительно других ресурсов;
г) резкий рост качества и улучшение технологических характеристик
одного из ресурсов, используемого вместе с А в производстве продукта Б;
д) снижение цены одного из ресурсов, используемого вместе с А в
производстве Б.
№ 78. Если бы вам предложили на выбор два варианта: а) получать
пожизненно 1000 д.е. в год или б) получить 2400 ден. ед. через год, 2800
ден. ед. – в конце второго года и 12400 ден. ед. – в конце четвертого, какой из вариантов вы предпочтете? Ставка процента – 10%.
№ 79. Введение нового оборудования дает возможность инвестору
получить годовой денежный поток в размере 1200 ден. ед. в год в течение
5 лет.
65
1. Определите максимальную цену, которую заплатит инвестор за
оборудование, если в течение пяти лет ставка процента по банковским
вкладам будет 6% годовых.
*2. Какая будет максимальная цена оборудования, если в течение пяти
лет годовая ставка по банковским вкладам будет иметь следующую динамику (%): 6; 7; 9; 10; 14?
№ 80. Прокатная цена земельного участка (арендная плата за год)
составляет 450 ден. ед. Годовая ставка процента составляет 7%. Рассчитайте капитальную цену земельного участка.
№ 81. Определите капитальную цену бензопилы, которая в течение
трех лет обеспечивает чистые годовые доходы 1 = 120 руб., 2 = 144 руб.,
3 = 100 руб. и к концу 3-го года имеет ликвидационную ценность 72,8
руб., если годовая ссудная ставка процента i = 20%.
№ 82. Определите капитальную цену грузовика, который в течение
трех лет обеспечивает чистые годовые доходы 1 = 220 руб., 2 = 302,5
руб., 3 = 250 руб и к концу 3-го года имеет ликвидационную ценность
149,3 руб., если годовая ссудная ставка процента i = 10%.
№ 83. Подсчитайте полные затраты на древесину, заготовленную в
2004 году, если известно, что непосредственно на ее заготовку в 2004 году
было затрачено 400 млн руб., на подготовительные работы в 2002 и 2003
годах соответственно – 200 и 300 млн руб. и на рекультивацию земельного
участка в 2005 году будет затрачено 345,6 млн руб. Ссудная ставка процента в указанные годы i = 20%.
№ 84. Подсчитайте полные затраты на добычу угля в некотором месторождении, если известно, что непосредственно на его добычу в 2004
году было затрачено 400 млн руб., на подготовительные работы в 2002 и
2003 годах соответственно – 200 и 250 млн руб. и на рекультивацию земельного участка в 2005 году будет затрачено 345 млн руб. Ссудная ставка процента в указанные годы i = 15%.
№ 85. Определите рыночную цену облигации, приносящей купонный
доход в размере 20 д.е. в год и имеющей сумму погашения через 4 года в
размере 100 д.е. Ставка процента – 20%.
№ 86. Если до момента погашения облигации с купонным доходом 15
ден. ед. и суммой погашения 150 ден. ед. остается 4 года, то как изменится рыночная цена этой облигации при росте ставки процента с 5 до 10% годовых.
66
РАЗДЕЛ 3. СТРУКТУРА РЫНКОВ БЛАГ И ФАКТОРОВ
3.1. Рынок совершенной конкуренции
Типовые задачи с решениями
№ 1. На рынке совершенной конкуренции установилось равновесие
при спросе QD = 150 – 3P и предложении QS = –15 + 12P. В результате
увеличения доходов потребителей они стали покупать на 30 ед. товара
больше при каждой цене.
1. Насколько возрастет: а) цена в мгновенном периоде; б) цена в коротком периоде; в) объем продаж в длительном периоде при неизменных
ценах на факторы и технологии производства?
2. Рассчитайте коэффициенты эластичности спроса и предложения по
цене: а) до увеличения доходов потребителей; б) после увеличения их доходов в коротком периоде.
Решение:
1а. В исходных условиях 150 – 3P = –15 + 12P  P0 = 11;
Q0 = 117. В мгновенном периоде объем предложения не изменится
(Q0 = 117), а объем спроса увеличивается на 30 ед. (при каждой цене), поэтому 180 – 3P = 117  Pм = 21; P = 10.
1б. В коротком периоде 180 – 3P = –15 + 12P  Pк = 13;
P =2.
1в. В длительном периоде цена вернется к исходному уровню P0, поэтому Q = 180 – 311= 147; Q = 30.
2а. eD = –0,282; eS = 1,128; 2б) eD = –0,277; eS = 1,106.
Рис. 3.1.1. Равновесие в мгновенном,
коротком и длительном периодах
67
№ 2. На рынке установилось равновесие при спросе QD = 20 – P
и предложении QS = –4 + 2P. Для пополнения бюджета государство обязало производителей платить 3 ден. ед. с каждой единицы проданной продукции. Определите: а) насколько изменились цена и объем продаж; б)
насколько сокращение суммы излишков производителей и потребителей
превышает сумму собранных налогов; в) долю налога, уплачиваемую потребителями; г) чистые потери общества от введения налога.
Решение:
а) До введения налога 20 – P = –4 + 2P  P = 8;
Q = 12; после введения налога 20 – P = –4 + 2(P – 3) 
P = 10; Q = 10. Следовательно, P = 2; Q = –2;
б) собрано налогов 310 = 30. Сумма излишков до введения налога:
(20 – 8)12/2 + (8 – 2) 12/2 = 108; после
(20 – 10)10/2 + (7 – 2) 10/2 = 75. Следовательно,
(108 – 75) – 30 = 3;
в) P/t = 2/3;
г) чистые потери общества: (10 – 7) ∙ (12 – 10)∙1/2 = 3.
P
S1
S0
D
Q
Рис. 3.1.2. Последствия введения акциза
№ 3. Функция спроса на товар имеет вид: QD = 9 – P, а функция его
предложения QS = – 3 + 3P.
1. Сколько единиц товара будет продано, если установить такую ставку налога на единицу товара, чтобы сумма собранного налога была максимальной?
2. Какова будет сумма налогов?
Решение:
Пусть с каждой проданной пачки взимается t ден. ед. Тогда условие
равновесия на рынке достигается при 9 – P = – 3 + 3(P – t); P = 3 + 0,75t;
68
Q = 6 – 0,75t. Сумма собранных налогов равна T = tQ = 6t – 0,75t2. Она
достигает максимума при 6 – 1,5t = 0  t = 4. Тогда P* = 6; Q* = 3, а
сумма T = 43 = 12.
*№ 4. Потребности в благе А 200 покупателей с одинаковой у всех
функцией полезности U   QA  20 0,25  QB  150,5 и одинаковым бюджетом –
I=500 удовлетворяют 40 фирм с одинаковой у всех производственной
функцией QA  10L0A,5 ; фирмы могут покупать любое количество труда по
цене w = 4. Определите: а) цену и объем продаж блага А при РВ = 10; б)
объем рыночного спроса на благо В.
Решение:
а) Выведем функцию спроса на благо А каждого покупателя из условия равновесия потребителя и бюджетного уравнения (см., например, решение задачи № 4 темы 2):
QAD 
40 350

3 3PA
и функцию предложения каждой фирмы из условия максимизации прибыли (см., например, решение задачи № 4 темы 1): QAS  12, 5PA . Тогда
 40 350 
200 

  40  12, 5 PA  PA  10; QA  5000.
3
3
P

A 
б) Спрос каждого покупателя QBD  5 
200
PB
при заданной цене 25 ед.
Тогда рыночный спрос равен 5000 ед.
№ 5. Функция спроса на розы имеет вид QtD  200  Pt , а функция их
предложения QtS  0, 5Pt 1  10 , где
t = 0, 1, ... ,6 (дни недели от понедельника до субботы).
1. Определить равновесную цену роз.
2. Какие цены на розы будут по дням недели, если в воскресенье на
рынке была равновесная цена, а в понедельник спрос возрос таким
образом, что при каждом значении цены покупали на 30 роз больше?
3. Какова равновесная цена после увеличения спроса?
Решение:
QtS  QtD ,
1. Цену равновесия найдем из равенства
которое
выполняется при Pt = Pt–1. В этом случае получим 0,5P – 10 = 200 – P 
P* = 140; Q* = 60.
2. Понедельник: Q1D = 230 – P1, а Q1S = 60, отсюда P1= 230 – 60 = 170.
Вторник: Q2S = 0,5170 – 10 = 75; P2= 230 – 75 = 155. Среда: Q3S = 0,5155 –
69
10 = 67,5; P3= 230 – 67,5 = 162,5. Четверг: Q4S = 0,5162.5 – 10 = 71,3; P4=
230 – 71,3 = 158,8. Пятница: Q5S = 0,5158,8 – 10 = 69,4; P5 = 230 – 69,4
=160,6. Суббота: Q6S = 0,5160,6 – 10 = 70,3; P6= 230 – 70,3 = 159,7.
3. Равновесная цена определяется из выражения
0,5P – 10 = 230 – P  P* = 160; Q* = 70.
Дни недели
QSt-1 = QDt
Pt
S
Понедельник
Q 0 = 60
P1 = 170
S
Вторник
Q 1 = 75
P2 = 155
S
Среда
Q 2 = 67,5
P3 = 162,5
S
Четверг
Q 3 = 71,25
P4 = 158,75
S
Пятница
Q 4 = 69,375
P5 = 160,625
S
суббота
Q 5 = 70,3125 P6 = 159,6875
№ 6. Отраслевой спрос на продукцию характеризуется функцией
Q =120 – 3P.
1. По какой цене и сколько единиц продукции будет продано, если в
отрасли работают 20 конкурирующих фирм с одинаковой у всех
функцией общих затрат TC = 10 + 8q – 4q2 + q3?
2. Сколько таких фирм будет в отрасли в длительном периоде?
D
Решение:
1. Выведем функцию предложения фирмы по цене из условия
максимизации прибыли MC(Q) = P:
8  8q  3q2  P  qS 
4

3
P 8
 .
3 9
Когда в отрасли будет работать 20 фирм, тогда функция отраслевого
предложения примет вид
4
QS  20  
3

P 8
 .
3 9 
При заданном спросе на рынке установится равновесие с ценой,
обеспечивающей равенство
4
120 – 3P = 20 
3

P 8
   P* = 16,7; Q* = 69,9.
3 9 
2. В условиях совершенной конкуренции в длительном периоде
отраслевое равновесие устанавливается при P = MC = ACmin. Определим,
при каком значении Q средние затраты минимальны:
(AC) = 2q – 4 –10/q2 = 0  q = 2,69.
При таком объеме выпуска:
AC = 2,692 – 42,69 + 8 + 10/2,69 = 8,2. Следовательно, в длинном
периоде цена будет равна 8,2 ден. ед., а объем спроса составит 120 – 38,2 =
95,4 ед. Число фирм, удовлетворяющих при такой цене отраслевой спрос,
определится из равенства
70
4
n 
3

P
MC
P 8
   95, 4  n  35, 5 .
3 9 
P
AC
S0
S1
q
Q
Рис. 3.1.3. Равновесие фирмы и отрасли
№ 7. В зависимости от объема используемого капитала общие затраты
фирмы, продающей продукцию в условиях совершенной конкуренции,
равны либо ТС1 = 4 + 6q + q2 либо ТС2 = 256 – 25q + q2. Определите цену
и объем продаж в длительном периоде при отраслевом спросе; а) QD =
12,5 – 0,25Р; б) QD = 35,5 – 0,5Р.
Решение:
а) В длительном периоде P = min AC. Минимум AC1 достигается при
dAC1
4
 1 2  q  2 ,
dq
q
то есть min AC1 = 4/2 + 6 + 2 = 10. Минимум AC2 достигается при
dAC2
256
 1  2  q  16 ,
dq
q
то есть min AC2 = 256/16 – 25 + 16 = 7. Следовательно, при P = 10 объем
спроса должен быть не меньше 2 единиц, а при P = 7 – не меньше 16 единиц. При заданном спросе по цене P = 7 спрашивают только 10,75 ед. Поэтому фирмы будут использовать технологию с затратами TC1. Равновесие
установится при P = 10; Q = 10;
б) теперь по цене P = 7 спрашивают 32 ед. Равновесие установится
при P = 7; Q = 32.
Вопросы для обсуждения
1. Назовите основные черты рынка совершенной конкуренции.
2. При равенстве каких параметров рынка обеспечивается его равновесие? Что здесь первичного, а что вторичного?
71
3. В чем различие точек зрения Маршалла и Вальраса на механизм
восстановления рыночного равновесия? Когда между ними возникает
противоречие и в чем его сущность?
4. Раскройте особенности равновесия рынка и фирмы в мгновенном
коротком и длительном периодах.
5. Чем вызвано появление «паутинообразной» модели ценообразования и каковы принципы ее функционирования?
6. Чем отличается равновесие рынка и фирмы от их оптимума?
7. Почему фирмам, стремящимся к максимуму прибыли, следует учитывать не одно, а два условия: необходимое и достаточное? Как выглядят
аналитические записи этих условий и что они собой представляют?
8. Может ли кривая рыночного предложения, полученная путем горизонтального сложения кривых предельных затрат функционирующих на
этом рынке фирм, являться в то же время кривой средних экономических
затрат? Покажите это на условном примере.
9. В чем необходимость и каковы методы воздействия государства на
рынок?
10. Принципы воздействия потоварного налога и дотации на рыночное равновесие и излишки потребителей и производителей.
Задачи
№ 1. На рынке совершенной конкуренции установилось равновесие
при спросе QD = 200 – 2P и предложении QS = –10 + 6P. В результате
увеличения доходов потребителей они стали покупать на 40 ед. товара
больше при каждой цене. Определить:
1. Насколько возрастет: а) цена в мгновенном периоде; б) цена в коротком периоде; в) объем продаж в длительном периоде при неизменных
ценах на факторы и технологии производства?
2. Рассчитайте коэффициенты эластичности спроса и предложения по
цене: а) до увеличения доходов потребителей; б) после увеличения их доходов в коротком периоде.
3. С учетом полученных данных представьте графически функцию
рыночного предложения в трех периодах: в мгновенном, коротком и длительном периодах.
4. Объясните, каким образом формируется равновесная цена в указанных периодах.
№ 2. На рынке пива установилось равновесие при спросе QD = 200 –
5P и предложении QS = –10 + 5P, а на рынке минеральной воды – при
QD = 150 – 8P и предложении QS = –4 + 2P. Государство обязало производителей пива платить 4 ден. ед. с каждой проданной бутылки, а произ-
72
водителям минеральной воды стало доплачивать 2 ден. ед. за каждую
проданную бутылку. Определите чистые экономические потери общества
в результате указанных фискальных мероприятий государства.
№ 3. Функция спроса на данный товар имеет вид: QD = 12 – P. Функция предложения: QS = – 3 + 4P. Введен налог на производителя в размере
2 ден. ед. за проданную единицу. Определить:
а) равновесные цену и объем продаж до введения налога;
б) излишки покупателей и продавцов до введения налога;
в) новые равновесные объем продаж и цену (после введения налога);
г) излишки покупателей и продавцов после введения налога;
д) сумму налоговых отчислений в бюджет;
е) чистые общественные потери;
ж) распределение налогового бремени между покупателями и продавцами.
№ 4. Функция спроса на данный товар имеет вид: QD = 12 – P. Функция предложения: QS = – 3 + 4P. Определить равновесную цену и объем
продаж. Введен акциз на продавцов в размере 20% от объема продаж (выручки). Определите новые равновесные объем продаж и цену. Какую величину налогового сбора получит государство?
№ 5. Функция спроса на данный товар имеет вид: QD = 5 – P. Функция предложения: QS = – 1 + P. Определить:
а) равновесную цену и объем продаж,
б) излишки продавцов и покупателей.
Введен налог на покупателей в размере 3 ден. ед. на единицу. Определить:
в) равновесный объем, цену, излишки продавцов и покупателей, а
также чистые потери общества.
№ 6. Имеются три функции спроса и соответствующие им функции
предложения:
а) QD = 12 – P, QS = – 2 + P;
б) QD = 12 – 2P, QS = – 3 + P;
в) QD = 12 – 2P, QS = – 24 + 6P.
Государство вводит субсидию производителям в размере 3 ден. ед. за
каждую штуку. В каком случае большую часть субсидии получат потребители? Почему?
№ 7. В какой ситуации большая часть налогового бремени ляжет на
производителей?
73
а) QD = 5 – 2P, QS = P + 1;
б) QD = 5 – P, QS = 1 + P;
в) QD = 5 – P, QS = 1 + 2P.
№ 8. Функция спроса на данный товар имеет вид: QD = 8 – 2P. Функция предложения: QS = 4 + P. Определите ставку и размер потоварной
субсидии, которую нужно выделить производителям, чтобы товар стал
распространяться как «свободное благо». Какое количество товара будет
при этом распространяться?
№ 9. Функция спроса на данный товар имеет вид: QD = 7 – 2P. Функция предложения: QS = P – 5. Определите равновесную цену и объем продаж. Рассчитайте размер потоварной дотации, необходимой для продвижения товара на рынок и достижения объема продаж в 3 единицы.
№ 10. Функция спроса на данный товар: QD = 7 – P, функция предложения данного товара: QS = – 5 + 2P. Определить равновесную цену и
равновесный объем продаж. Предположим, определена фиксированная
цена на уровне: а) 5 ден. ед. за единицу; б) 3 ден. ед. за единицу. Проанализировать полученные результаты. В каком из указанных случаев объем
потребления будет наибольшим?
№ 11. Функция спроса на товар имеет вид: QD = 5 – P, функция предложения товара имеет вид: QS = – 1 + 2P. Предположим, что установлена
квота на производство данного товара в размере 2 тыс. единиц. Каковы
будут последствия этого решения? Рассчитать излишки продавцов и покупателей до и после введения квоты.
№ 12. На рынке с линейными функциями спроса и предложения установилось равновесие при P =20; Q = 150; eD = –2; eS = 1,5. Определите: а)
излишки потребителей; б) излишки производителей; в) акциз на единицу
продукции, максимизирующий сумму налогов.
№ 13. На рынке яиц установилось равновесие при P = 160 и Q = 40.
При этом eD= – 0,5, а eS= 1. Какова будет цена яиц, если спрос на них
возрастет на 10%, а их предложение – на 5% при предположении, что в
пределах указанных изменений спроса и предложения их графики
линейны?
№ 14. Функция спроса на товар QD = 9 – P, функция предложения товара QS = – 3 + 3P. При какой ставке налога на единицу товара общая
сумма налога окажется максимальной?
74
№ 15. На рынке с линейными функциями спроса и предложения установилось равновесие при P =20; Q = 80; eD = –2; eS = 1,25. Определите:
а) излишки потребителей; б) излишки производителей; в) акциз на единицу
продукции, максимизирующий сумму налогов; г) цену и объем продаж
после введения такого акциза; д) чистые экономические потери общества
от введения акциза.
№ 16. На рынке товара А спрос и предложение отображаются линейными функциями. При цене 15 ден. ед. QS = 30, а QD = 50; когда цена повышается до 25 ден. ед., тогда QS = 50, а QD = 10. На сколько объем предложения будет превышать объем спроса, если цена будет в 1,5 раза выше
равновесной.
*№ 17. Потребности в благе А 200 покупателей с одинаковой у всех
функцией полезности вида U   QA  230,75  QB  10 0,5 и одинаковым бюджетом – I=500 удовлетворяют 40 фирм с одинаковой у всех производственной функцией QA  10L0A,5 ; фирмы могут покупать любое количество труда
по цене w = 1. Определите: а) цену и объем продаж блага А при РВ = 10;
б) объем рыночного спроса на благо В.
*№ 18. Потребности в благе А ста покупателей с одинаковой у всех
функцией полезности – U  QA0 ,25QB0 ,5 и одинаковым бюджетом – I = 120
удовлетворяют 80 фирм с одинаковой у всех производственной функцией
короткого периода QA  10 LA ; фирмы могут купить любое количество
труда по цене w = 4. Определите цену блага А.
*№ 19. В двух соседних регионах выращивают и потребляют
картофель при следующих функциях спроса и предложения:
Q1D  50  0, 5P1; Q1S  10  P1 .
Q2D  120  P2 ; Q2S  20  P2 .
Перевозка единицы картофеля из одного региона в другой обходится
в 9 ден. ед.
1. Насколько больше выращивается картофеля, когда его перевозка
разрешена, по сравнению с тем, когда она запрещена?
2. Какая цена транспортировки картофеля эквивалентна запрету на
его перевозку?
*№ 20. В регионе I функция спроса на некоторый товар имеет вид:
QD1 = 50 – 0,5P1, функция предложения: QS1 = – 10 + P1, где QD1, QS1 – со-
75
ответственно объем спроса и объем предложения в регионе I, P 1 – рыночная цена в регионе I (ден. ед./кг). Для региона II функция спроса на тот же
товар: QD2 = 120 – P2, функция предложения: QS2 = – 20 + P2.
а) Предположим, перевозки данного товара между двумя регионами
запрещены. Определить рыночные цены, объем продаж в каждом регионе.
Определить избыток потребителей, избыток производителей для каждого
региона, суммарный избыток для каждого региона, суммарный избыток
для двух регионов.
б) Допустим, перевозки разрешены. Транспортные расходы ничтожны. Определить то же, что и в пункте «а». Кроме того, определить объемы
производства в каждом регионе, объем перевозок. Кому выгодно снятие
запрета на перевозки, кому оно не выгодно? Увеличивается ли общая выгода от снятия запрета или нет?
в) Перевозки разрешены. Транспортные расходы составляют 10 ден.
ед. на 1 кг, перевозимый из одного региона в другой. Определите то же,
что и в пункте «б».
г) Перевозки разрешены. Транспортные расходы ничтожны. Правительство региона I установило «экспортную» пошлину в размере 10 ден.
ед. на 1 кг вывозимой продукции. Определить то же, что в пункте «в».
Кроме того, определить суммарный избыток каждого региона, включая
получаемую пошлину.
д) Что изменится, если пошлина устанавливается не правительством I
региона, а правительством II региона («импортная» пошлина в размере 10
ден. ед. на 1 кг ввозимой продукции)?
№ 21. Рыночный спрос отображается формулой QtD  60  2Pt , а рыночное предложение QtS  3  Pt 1 . В нулевом периоде на рынке существовало равновесие, а в 1-м периоде из-за повышения доходов покупателей
объем спроса увеличился на 10 ед. при любой цене.
1. Определите цену и объем продаж в 3-м периоде в соответствии с
паутинообразной моделью ценообразования.
2. Насколько возросла равновесная цена в результате увеличения
спроса?
№ 22. Рыночный спрос QtD  200  2Pt , а рыночное предложение
QtS  10  3Pt 1 . В нулевом периоде на рынке существовало равновесие, а в
1-м периоде из-за повышения доходов покупателей объем спроса увеличился на 40 ед. при любой цене.
Определите цены на рынке с 1-го по 5-й периоды включительно в соответствии с паутинообразной моделью ценообразования.
76
№ 23. Предприятие находится в условиях совершенной конкуренции.
Функция общих затрат от выпуска продукции представлена в таблице:
Выпуск продукции
в единицу времени
(Q), шт.
0
1
2
3
4
5
Общие
затраты
(ТС),
ден. ед.
6
10
12
16
22
30
а) Если цена товара 7 ден. ед., какой объем производства следует выбрать?
б) Ниже какого уровня должна снизиться цена, чтобы остановилось
производство?
№ 24. Предприятие находится в условиях совершенной конкуренции.
Функция общих затрат от выпуска продукции представлена в таблице:
Выпуск продукции
в единицу времени
(Q), шт.
0
1
2
3
4
5
Общие
затраты
(ТС),
ден. ед.
16
24
34
46
60
76
а) Если цена товара 9 ден. ед., какой объем производства следует выбрать?
б) Ниже какого уровня должна снизиться цена, чтобы прекратилось
производство? Проанализируйте полученный результат.
№ 25. Предприятие находится в условиях совершенной конкуренции.
Функция общих затрат в коротком периоде представлена в таблице.
77
Выпуск продукции
в единицу времени
(Q), шт.
Общие
затраты
(ТС),
ден. ед.
0
1
2
3
4
5
8
10
14
20
28
38
В отрасли занято 1000 одинаковых предприятий. Функция рыночного
спроса представлена в таблице:
Цена (Р), ден. ед.
3
5
7
9
Объем
спроса (Q),
шт.
4000
2000
1600
1000
а) Какова равновесная цена?
б) Каков будет выпуск каждым предприятием?
в) В длительном периоде будут предприятия переходить в данную отрасль или уходить из нее?
№ 26. Предприятие находится в условиях совершенной конкуренции.
Функция общих затрат в коротком периоде представлена в таблице.
Выпуск продукции
в единицу времени
(Q), шт.
0
1
2
3
4
5
Общие затраты (ТС),
ден. ед.
8
14
22
32
44
58
В отрасли занято 10000 одинаковых предприятий. Функция рыночного спроса представлена в таблице:
78
Цена (Р), ден. ед.
3
5
7
9
11
Объем
спроса (Q),
шт.
90000
80000
70000
65000
30000
а) Какова равновесная цена?
б) Каков будет выпуск каждым предприятием?
в) В длительном периоде будут предприятия переходить в данную отрасль или уходить из нее?
№ 27. Фирма находится в условиях совершенной конкуренции. Функция общих затрат имеет вид: TC = 9q3 + 200q + 30. Определить:
а) Какой объем выберет фирма, если цена товара 308 ден. ед.?
б) Прибыль фирмы.
Будут ли в данную отрасль стремиться войти новые фирмы в длительном периоде?
№ 28. Отраслевой спрос на продукцию характеризуется функцией
Q = 270 – 5P.
1. По какой цене и сколько единиц продукции будет продано, если в
отрасли работает 31 конкурирующая фирма с одинаковой у всех функцией общих затрат TC = 48 + 10q – 5q2 + q3?
2. Сколько таких фирм будет в отрасли в длительном периоде?
3. По какой цене и сколько единиц продукции будет продано в
длительном периоде?
D
№ 29. Отраслевой спрос отображается функцией QD = 40 – 2Р. Предложение товара поступает от конкурирующих между собой фирм с одинаковыми функциями затрат LTC = 6,25 + 5q + q2 . Определите суммарные излишки производителей в длительном периоде.
№ 30. Продукцию, продающуюся на рынке совершенной конкуренции, могут производить две группы фирм, различающиеся общими затратами: ТС1 = 256 – 25q + q2; ТС2 = 16 + 2q + q2. Какая цена установится на
рынке в длинном периоде при отраслевом спросе QD = 22 – Р; QD = 87 – Р?
№ 31. Отраслевой спрос отображается функцией QD = 250 – 10Р. Отрасль функционирует в условиях совершенной конкуренции.
79
1. Какое количество фирм будет работать в этой отрасли в длительном периоде, если общие затраты на производство продукции равны
LTC = 30q – 10q2 + q3?
2. Определите цену и объем продаж на рынке в длительном периоде.
№ 32. Рыночный спрос отображается функцией QD = 12,5 –
0,25Р. В зависимости от объема используемого капитала общие затраты
фирмы, продающей продукцию в условиях совершенной конкуренции,
равны либо ТС1 = 4 + 6q + q2 либо ТС2 = 98 – 10q + 0,5q2. Насколько возрастет объем продаж в длительном периоде, если в результате увеличения
доходов потребителей они будут спрашивать на 16,5 ед. больше при каждой цене?
*№ 33. Какую сумму налогов получит государство при введении акциза на сахар в размере 2 руб. за кг, если известно, что: а) сахар производят 120 конкурентных фирм; фирмы работают по технологии QC  4 LK и
могут покупать труд и капитал в любом количестве по фиксированным
ценам w = 2, r = 18; б) покупают сахар 54 потребителя с одинаковыми
функциями полезности U  QCQB и одинаковыми бюджетами I = 60?
*№ 34. На рынке подсолнечного масла имеется 50 бедных покупателей с бюджетом 80 ден. ед. у каждого и 25 зажиточных покупателей, у каждого из которых бюджет равен 120 ден. ед. Предпочтения подсолнечного
масла растительным жирам у всех покупателей одинаковые и характери0,4
зуются функцией полезности U   Qm  5 0,6  Qg  2  , где Qm – количество
масла в литрах; Qg – количество жира в килограммах. Масло производится
по технологии Qm  LK конкурентными фирмами, которые могут покупать труд и капитал в любом количестве по фиксированным ценам w=20,
r = 5. Сколько растительного масла купит каждый бедный и каждый богатый покупатель, если цена растительного жира равна 10 ден. ед?
3.2. Рынки несовершенной конкуренции
(монополия, монополистическая конкуренция, олигополия)
Типовые задачи с решениями
№ 1. Определить выпуск и цену, максимизирующие прибыль и выручку монополиста, а также размер максимальной прибыли, если функция
общих затрат имеет вид: TC = 200 + 60Q + 1,5Q2. Функция спроса на продукцию монополии: Q = 240 – 2P.
80
Почему Q не совпадает при нахождении максимума прибыли и максимума выручки фирмы?
Решение:
Условие максимизации прибыли монополии MC = MR.
MC = TC’(Q) = 60 + 3Q;
MR = TR’(Q) = (P∙Q)' = ((120 – 0,5Q)Q)’ = (120Q – 0,5Q2)’ = 120 – Q.
Тогда: 60 + 3Q = 120 – Q, следовательно максимизирующий прибыль монополии объем продаж Q = 15ед.; P = 120 – 0,5∙15 = 112,5 ден. ед.
Условие максимизации выручки монополии: MR = 0. Тогда: 120 – Q =
0; Q = 120 ед. P = 60 ден. ед.
πmax = TR – TC = 15∙112,5 – (200 + 60∙15 + 1,5∙152) = 250 ден. ед.
Несовпадение объема выпуска при максимизации прибыли и выручки
легко объяснить геометрически: максимизация предполагает равенство
тангенсов углов наклона касательных к соответствующим функциям. При
максимизации прибыли – это касательные к функциям выручки и затрат, а
при максимизации выручки – угол наклона касательной к функции выручки равен нулю.
№ 2. При линейной функции спроса монополия получает максимум
прибыли, продавая 10 ед. продукции по цене 10 ден. ед. Функция общих
затрат монополии TC = 4Q + 0,2Q2. Насколько сократится объем продаж,
если с каждой проданной единицы продукции взимать налог в размере 4
ден. ед.?
Решение:
Используем формулу MR  P(1 
1
),
eD
и так как при максимизации при-
были MC = MR, то MC = 4 + 0,4Q = 4 + 0,4∙10 = 8 = MR. Тогда
8  10(1 
1
)  eD  5 .
eD
Если линейный спрос описать как QD = a – bP, то, ис-
пользуя формулу для расчета коэффициента эластичности спроса, получим: 5  b 
10
 b  5.
10
Тогда получаем: 10 = а – 5∙10, следовательно а = 60.
1
5
2
5
Функция спроса имеет вид: QD = 60 – 5P  P  12  Q  MR  12  Q .
Предельные затраты монополии после включения в них налога примут вид: MC = 8 + 0,4Q. Тогда оптимум монополии в условиях налога будет иметь вид:
2
12  Q  8  0, 4Q  Q  5  Q  5ед.
5
81
№ 3. Монополия, максимизирующая прибыль, производит продукцию
при неизменных средних затратах и продает ее на рынке с линейным спросом. На сколько единиц изменится выпуск монополии, если рыночный спрос
возрастет так, что при каждой цене объем спроса увеличится на 30 ед.?
Решение:
1) Неизменные средние затраты означают, что функция общих затрат
у монополии линейна, а значит, предельные затраты – тоже постоянны и
равны средним: MC = AC = Const. Следовательно, функция предельных
затрат – параллельна оси Q.
2) Увеличение объема спроса при каждой цене на 30 ед. означает, что
график функции спроса сдвигается по оси Q на 30 ед. без изменения наклона. Следовательно, график предельного дохода MR сдвинется по оси Q
на 15 ед. также без изменения наклона.
3) Точка Курно (MR = MC) сдвинется по графику MC на 15 ед., а
следовательно и её координата по оси Q, определяющая выпуск монополии, тоже сдвинется на 15 ед.
Ответ: Q=15.
№ 4. Рыночный спрос, отображаемый функцией QD = 180 – 3P, удовлетворяет монополия, которая производит продукцию с неизменными
средними затратами. Стремясь к достижению максимума прибыли, монополия установила цену Р = 40.
а) Определите объем продаж и цену, если рыночный спрос возрастет
так, что при каждой цене объем спроса увеличится на 30 ед.
б) Определите прибыль монополии при указанном изменении спроса.
Решение:
1) Неизменные средние затраты означают, что функция общих затрат
у монополии линейна, а значит, предельные затраты – тоже постоянны и
равны средним: MC = AC = Const. Следовательно, функция предельных
затрат – параллельна оси Q.
2) При функции спроса Q1D = 180 – 3P и цене Р1 = 40 объем продаж
монополии составляет Qм1 = 180 – 340 = 60 ед. Функция предельного дохода при этом выглядит как MR1 = 60 – 2Q/3. Предельный доход MR1 =
60 – 2*60/3 = 20. Следовательно, предельные затраты монополии MC =
20 = Const.
3) Увеличение спроса на 30 ед. при каждой цене означает изменение
функции спроса до вида Q2D = 210 – 3P. Функция предельного дохода
примет при этом вид MR2 = 70 – 2Q/3. Из условия максимизации прибыли
MR = MC следует 70 – 2Q/3 = 20, отсюда выпуск монополии составит
Qм2 = 75 ед. Цена при этом в соответствии с новой функцией спроса будет
P2 = 70 – 75/3 = 45.
82
4) Для нахождения прибыли необходимо выразить функцию общих
затрат монополии. Поскольку AC = MC = 20, то общие затраты монополии выглядят TC = AC*Q = 20Q. Следовательно, прибыль монополии будет П = 45*75 – 20*75 = 1875 д.е.
Ответ: а) Q=75, P=45; б) П=1875.
*№ 5. Максимизирующая прибыль монополия с функцией затрат
TC = 40 + 10Q + 0,25Q2 может продавать свою продукцию на отечественном рынке, спрос на котором отображается функцией q1D = 60 – P1, и на
мировом рынке по цене P2 = 30.
Определите объем продаж на обоих рынках, цену на отечественном
рынке и прибыль монополии.
Решение:
Объемы продаж монополии на обоих рынках определяются из условия максимизации прибыли при сегментации рынка: MR1(q1) = MR2(q2) =
MC(Q), где Q = q1 + q2 . Предельный доход с отечественного рынка MR1 =
60 – 2 q1 . Цена на мировом рынке является для монополии внешне заданной, поэтому MR2 = P2 = 30. Предельные затраты монополии выглядят
MC = 10 + 0,5Q. Отсюда находим q1 = 15 и Q = 40, следовательно, объем
продаж на мировом рынке q2 = 25. Цена на отечественном рынке будет
P1 = 60 – 15 = 45. Прибыль монополии находится как разница между суммой выручки с обоих рынков и общими затратами монополии: П =
(45*15 + 30*25) – (40 + 10*40 + 0,25*402) = 585 д.е.
Ответ: q1=15, q2=25, P1=45, П=585.
*№ 6. Спрос на товар отображается линейной функцией, а технология
его производства – функцией Q=АLK1–. На рынке этого товара совершенная конкуренция сменилась монополией, максимизирующей прибыль.
В результате цена товара повысилась на 2 ден. ед., а объем продаж сократился на 100 ед. Насколько ден. ед. сократились излишки потребителей?
Решение:
1) Для данной производственной функции коэффициенты эластичности выпуска по труду и по капиталу L = , K = 1- . Сумма этих коэффициентов L + K = 1 означает, что данной технологии присуща постоянная
отдача от масштаба, а следовательно, долгосрочные средние затраты постоянны.
2) Постоянные средние затраты означают, что функция общих затрат
при данной технологии линейна, а значит предельные затраты – тоже постоянны и равны средним: MC = AC = Const. Следовательно, функция
предельных затрат – параллельна оси Q.
83
3) Функция отраслевого предложения при совершенной конкуренции
совпадает с функцией предельных затрат при монополизации отрасли.
4) Изменение излишков покупателей определяется графически как
площадь трапеции, представляющей собой разность между излишками
покупателей при совершенной конкуренции и при монополии.
Ответ: Rпок=300
№ 7. При линейном рыночном спросе монополия достигает максимума прибыли с предельными затратами MC = 20 и эластичностью спроса по
цене eD = -3. Для полного удовлетворения потребностей в товаре, производимом монополией, требуется 60 ед. Определите объем продаж, цену на
рынке монополии и излишки покупателей продукции монополии.
Решение:
1) Общий вид линейной функции спроса QD = a – bP. Параметр “a”
определяет максимальный объем спроса для данной функции (при P = 0).
Следовательно, по условию, a = 60. Тогда из соотношения a = Q*(1 – eD)
можно найти объем продаж на рынке: Q = 60/(1 + 3) = 15.
2) Для монополии предельный доход и цена связаны соотношением
MR = P(1 + 1/ eD), кроме того, при максимизации прибыли MR = MC. Следовательно, цена на рынке будет P = 20/(1 – 1/3) = 30.
3) Зная объем продаж, цену и эластичность, можно найти параметр
“b” в функции спроса: b = – eD*Q/P = 3*15/30 = 1,5. Следовательно, функция спроса имеет вид QD = 60 – 1,5P. Излишки покупателя находятся графически.
Ответ: Q=15, P=30, Rпок=75.
*№ 8. В отрасли работают 10 фирм с одинаковыми функциями затрат
TCi = 4 + 2qi + 0,5 qi2 . Отраслевой спрос задан функцией: QD = 52 – 2P.
Собственник одной из фирм предложил своим конкурентам передать ему
все предприятия, обещая за это выплачивать им регулярный доход, в 2
раза превышающий получаемую ими прибыль.
1. Насколько возрастет прибыль инициатора монополизации отрасли,
если его предложение будет принято?
2. Насколько сократятся излишки потребителей?
Решение:
1. Определим функцию предложения отдельной фирмы 2 + qi = P 
S
qi = –2 + P.
Тогда совместное предложение 10 фирм:
10
q
i 1
S
i
 20  10 P .
84
В отрасли установится равновесие при:
– 20 +10Р = 52 – 2Р  P =6; Q = 40; qi =4;  = 64 – 4 – 24 – 0,516 = 4.
Когда все фирмы будут принадлежать одному продавцу, цена определится из равенства MR = MC. При выведении функции затрат монополии
нужно учитывать, что
Q = 10qi., тогда qi. = 0,1Q. Поэтому ТСмон =
10×ТСi = 40 + 2 q i+ 5qi2 =
40  20
Q
Q2
5
 40  2Q  0,05Q 2 .
10
100
Тогда МСмон = 2 +
0,1Q. Исходя из условия оптимума монополии МС = МR получаем: 26 –
Q = 2+0,1Q, тогда Q = 21,81; P = 26 – 0,5∙21,81 = 15,1; TR = 329,33; ТС =
40 +2∙21,81+ 0,05∙475,67 = 107,4.
Прибыль монополиста:
 = TR – TC = 329,33 – 107,4 = 221,9.
После выплат каждому из бывших конкурентов по 8 ден. ед. у монополиста останется (221,9 – 72) = 149,9, то есть его прибыль возрастет в
149,9/4 = 37,5 раза.
2. Излишки потребителей в результате монополизации отрасли сократились с 400 до 119 ден. ед.
№ 9. При линейной функции спроса монополия получает максимум
прибыли, реализуя 10 ед. продукции по цене 24 ден. ед. Функция общих затрат монополии
TC = 100 + 4Q + 0,25Q2.
1. Насколько возрастет цена, если с каждой единицы товара будет
взиматься налог в размере 7 ден. ед.?
2. Насколько изменится прибыль монополии до уплаты акциза?
3. Какова сумма получаемого налога?
4. Насколько сократятся излишки потребителей?
5. Насколько возрастет объем продаж, если при наличии указанного
налога потребители при каждой цене будут спрашивать на 7 ед. товара
больше?
Решение:
1. Определим значение eD и выведем функцию отраслевого спроса:
PM 
MC
4  0, 5  10
8
 24 
 eD   .
D
D
5
11 e
11 e
8
8 10 2
2

a  10  1    26; b  
  QD  26  P.
5
5 24 3
3

Поскольку в исходных условиях MC = 4 + 0,5Q, то после введения акциза MC = 11 + 0,5Q; максимум прибыли монополия получает при 11 +
0,5Q = 39 – 3Q 
Q* = 8; P* = 27, то есть цена возросла на 3 ден. ед.
85
2. В исходных условиях  = 2410 – 100 – 40 – 25 = 75. После введения акциза  = 278 – 100 – 32 – 16 = 68. Таким образом, прибыль уменьшилась на 7 ден. ед.
3. Сумма налога: (87) = 56 ден. ед.
4. Теперь отраслевой спрос QD  33  2P 3 , а MR = 49,5 – 3Q. Максимум прибыли монополия получает при 11 + 0,5Q = 49,5 – 3Q  Q* = 11;
P* = 33, то есть объем продаж возрос на 3 ед.
№ 10. Монополия может продавать продукцию на двух сегментах
рынка с различной эластичностью спроса:
Q1D =160 – P1; Q2D = 160– 2P2. Ее функция общих затрат TC = 10 + 12Q
+ 0,5Q2.
1. При каких ценах на каждом из сегментов рынка монополия получит
максимум прибыли?
2*. Сколько продукции продавала бы монополия на каждом из сегментов в случае запрета ценовой дискриминации?
3*. Сколько продукции продавала бы монополия на каждом из сегментов при запрете ценовой дискриминации, если бы ее затраты были в 2
раза меньше?
Решение:
1. Условие максимизации прибыли при осуществлении ценовой дискриминации третьей степени таково:
160  2q1  12  q1  q2
 q1  45, 6; q2  11, 2.

80  q2  12  q1  q2
Оптимальные цены на сегментах рынка:
P1 = 160 – 45,6 = 114,4; P2 = 80 – 0,511,2 = 74,4.
2. Для определения условий достижения максимума прибыли при запрете ценовой дискриминации выведем функцию суммарного спроса:
160  P, 80  P  160;
QD  
320  3P, 0  P  80.
Соответственно,
160  Q, 0  Q  80;
PD  
320 3  Q 3, 80  Q  320;
160  2Q, 0  Q  80;
MR  
320 3  2Q 3, 80  Q  320.
86
В этом случае линия MC = 12 + Q пересекает MR в интервале 0 < Q 
80; выпуск и цена определяются из равенства 160 – 2Q = 12 + Q  Q* =
148/3; P* = 332/3. Таким образом, в случае запрещения ценовой дискриминации на втором сегменте рынка продукция продаваться не будет.
3. Теперь кривая предельных затрат MC = 6 + 0,5Q пересекает ломаную MR два раза:
160 – 2Q = 6 + 0,5Q  Q* = 61,6; P* = 98,4;  = 98,461,6 – 5 – 661,6 –
0,561,62 = 3789,56;
320/3 – 2Q/3 = 6 + 0,5Q  Q* = 86,3; P* = 77,9;  = 77,986,3 – 5 –
686,3 – 0,586,32 = 2476,13.
Следовательно, на втором сегменте рынка продукция опять продаваться не будет.
P
MC0
MC1
D
MR
Q
Рис. 3.2.1. Ценовая дискриминация третьей степени
№ 11*. Спрос на продукцию отображается функцией QD =
140 – 4P. Общие затраты на ее производство типичной фирмы: TC = 100 +
10Q + Q2. Продукция продается на рынке совершенной конкуренции в
длительном периоде. Во сколько раз должны снизиться переменные затраты, чтобы при переходе от совершенной конкуренции к монополии цена не изменилась?
Решение:
В длительном периоде при совершенной конкуренции цена установится на уровне минимума средних затрат. Поскольку:
AC  100 Q  10  Q , то  AC  100 Q2  1  0  Q  10 . Значит, каждая фирма-конкурент будет выпускать 10 единиц продукции, АС = Р = 30. При
такой цене объем рыночного спроса равен 20 ед. Монополия, максимизи-
87
рующая прибыль, выберет сочетание Р = 30; Q = 20, если при этом предельная выручка равна предельным затратам. Поскольку MR = 35 – 0,520
= 25, то производная от переменных затрат тоже должна быть равна 25:
(10 + 220)/x = 25  x = 2; следовательно, переменные затраты должны
быть в 2 раза ниже, то есть общие затраты TC = 100 + 5Q + 0,5Q2.
№ 12. В данный момент спрос на продукцию монополистического
конкурента отображается функцией QD  55  0, 25P , а общие затраты –
TC  450  40Q  0, 5Q2 .
Изменение числа конкурентов в отрасли смещает кривую спроса на
продукцию фирмы без изменения ее наклона. Насколько сократится выпуск данной фирмы в состоянии длительного равновесия по сравнению с
текущим моментом?
Решение:
Цена в исходных условиях выводится из равенства MR = MC: 220 –
8Q = 40 + Q  Q = 20; P = 140.
В длительном периоде линия отраслевого спроса станет касательной к
кривой средних затрат (АС = Р) и сохранится равенство MR = MC. Из системы этих двух равенств определяются запретительная цена длительного
периода (обозначим ее x) и выпуск:
x  4Q  450 Q  40  0, 5Q
  x  130; Q  10.
x  8Q  40  Q

Следовательно, выпуск фирмы сократится вдвое.
P
MR0
MC
AC
MR1
D1
D0
Q
Рис. 3.2.2. Монополистический конкурент
в коротком и длительном периодах
88
№ 13. Монополистический конкурент с функцией общих затрат TC =
80 + 5Q в состоянии длительного равновесия продает свой товар по цене
13 ден. ед. Определите эластичность спроса по цене и излишки покупателей данного товара, если функция спроса линейна.
Решение:
Для монополистического конкурента в длительном периоде должны
выполняться два условия: MR = MC (1) и P = AC (2).
1) Из первого условия и соотношения MR = P(1 + 1/ eD) получаем 5 =
13(1 + 1/ eD). Отсюда находим эластичность спроса eD = -1,625.
2) Из второго условия получаем 13 = 80/Q + 5, откуда получаем объем
продаж на рынке Q = 10.
3) Если функция спроса линейна QD = a – bP, то параметры “a” и “b”
находятся из соотношений: a = Q*(1 – eD) = 10(1 + 1,625) = 26,25; b = –
eD*Q/P = 1,625*10/13. Восстановив функцию спроса, излишки покупателя
находим графически.
Ответ: eD = -1,625; Rпок=40.
№ 14. Отраслевой спрос задан функцией P = 50 – 0,25Q; в отрасли
работают две максимизирующие прибыль фирмы I и II со следующими
функциями затрат: TCI = 10 + 0,15q2I и TCII = 25 + 10qII. Какая установится
цена в соответствии с: а) моделью Курно; б) моделью Штакельберга; в)
картельным соглашением?
Решение:
а) Выведем уравнение реакции для фирмы I. Ее прибыль I = 50qI –
0,25q2I – 0,25qIqII – 10 – 0,15q2I достигает максимума при 50 – 0,8qI – 0,25qII
= 0. Поэтому уравнение реакции фирмы I имеет следующий вид:
qI = 62,5 – 0,3125 qII.
Прибыль фирмы II II = 50qII – 0,25q2II – 0,25qIqII – 25 – 10qII и достигает максимума при 40 – 0,25qI – 0,5qII = 0. Отсюда выводится ее уравнение реакции: qII = 80 – 0,5 qI.
Если фирмы ведут себя как равноправные конкуренты, то равновесные значения цены и объемов предложения определятся из следующей
системы уравнений:
 P  50  0, 25  qI  qI I 



qI  62, 5  0, 3125qI I  qI  44, 45; qI I  57, 78 ; P*  24,5; .
q  80  0, 5q
I
 II
89
В состоянии равновесия прибыли фирм соответственно будут:
I = 24,544,44 – 10 – 0,1544,442 = 780,4;
II = 24,557,78 – 25 – 1057,78 = 809,9.
б) Пусть фирма I выступает в роли лидера, а фирма II –последователя.
Тогда прибыль фирмы I с учетом уравнения реакции фирмы II будет:
I = 50qI – 0,25q2I – 0,25qI(80 – 0,5qI) – 10 – 0,15q2I = 30qI – 0,275q2I – 10.
Она достигает максимума при 30 – 0,55qI = 0. Отсюда
qI = 54,54; qII = 80 – 0,554,54 = 52,7;
P = 50 – 0,25(54,54 + 52,7) = 23,2;
I = 23,254,54 – 10 – 0,1554,542 = 809;
II = 23,252,7 – 25 – 527 = 529.
Таким образом, в результате пассивного поведения фирмы II ее прибыль снизилась, а фирмы I – возросла.
В случае лидерства фирмы II ее прибыль
II = 50qII – 0,25q2II – 0,25qII(62,5 – 0,3125qII) – 25 – 10qII = 24,4qII –
0,17q2II – 25 становится максимальной при 24,4 – 0,34qII = 0  qII = 70,9.
Тогда
qI = 62,5 – 0,312570,9 = 40,3;
P = 50 – 0,25(40,3 + 70,9) = 22,2;
I = 22,240,3 – 10 – 0,1540,32 = 641;
II = 22,270,9 – 25 – 709 = 840.
в) Прибыль картеля определяется по формуле:
к = (50 –0,25qI – 0,25qII)(qI + qII)– 10 – 0,15q2I – 25 – 10qII =
= 50qI – 0,4q2I – 0,5qIqII + 40qII– 0,25q2II – 35.
Она принимает максимальное значение при
 к
 q  50  0, 8qI  0, 5qI I  0  qI  62, 5  0, 625qI I ;
 I

 к  40  0, 5qI  0, 5qI I  0  qI I  80  qI .
 qI I

Решив эту систему уравнений, найдем:
qI = 33,3; qII = 46,7; Q = 80; P = 30; I = 823; II = 908.
90
qI
RII
RI
qII
Рис. 3.2.3. Зависимость конъюнктуры рынка
от типа поведения дуополистов
№ 15. В отрасли функционируют 80 мелких фирм с одинаковыми
функциями затрат TCi = 2 + 8 qi2 и еще одна крупная фирма, выступающая
в роли лидера, с функцией затрат TCл = 20 + 0,275 qл2 . Отраслевой спрос
представлен функцией QD = 256 – 3P. Какая цена сложится на рынке и как
он будет поделен между лидером и аутсайдерами?
Решение:
Поскольку для аутсайдеров цена является экзогенным параметром, то
условием максимизации прибыли для них служит равенство MCi = P. Выведем из него функцию предложения отдельного аутсайдера: 16qi = P 
qiS = P/16. Тогда суммарная функция предложения аутсайдеров QаS =
80P/16 = 5P. Теперь определим функцию спроса на продукцию лидера как
разность между отраслевым спросом и предложением аутсайдеров: QлD =
QD – QаS = 256 – 3P – 5P = 256 – 8P. В соответствии с этой функцией предельная выручка MRл = 32 – 0,25Qл. Прибыль лидера максимальна при
MRл = MCл:
32 – 0,25Qл = 0,55Qл  Qл = 40; P = 32 – 0,12540 = 27.
По такой цене аутсайдеры предложат 527 = 135 ед. продукции. Объем спроса составит (256 – 327) = 175; таким образом, 22,8% спроса удовлетворит лидер и 77,2% – аутсайдеры.
91
P
MCл
Sa
D
Dл
MRл
Q
Рис. 3.2.4. Ценообразование за лидером
№ 16. Рыночный спрос отображается функцией QD = 90 – 2P. Товар
на рынке продают одна крупная фирма, выступающая в роли ценового лидера, и несколько мелких фирм, совокупное предложение которых отображается функцией QaS = –10 + 2P.
Определите цену на рынке, совокупный объем предложения аутсайдеров и излишек покупателей, если крупная фирма захочет максимизировать свою выручку?
Решение:
1) Функция спроса на продукцию лидера определяется как разность
между отраслевым спросом и совокупным предложением аутсайдеров:
QЛD = QD – QаS = (90 – 2P) – (-10 + 2P) = 100 – 4P. Следовательно, функция
предельного дохода лидера выглядит MRЛ = 25 – qЛ/2. По условию максимизации выручки лидера 25 – qЛ/2 = 0 находим объем продаж лидера qЛ =
50. Лидер, как монополист на своей доле рынка, установит цену в соответствии с функцией спроса на свою продукцию: P = 25 – 50/4 = 12,5. Для
аутсайдеров полученная цена – внешне заданная; ориентируясь на неё,
они предложат QaS = – 10 + 2*12,5 = 15 ед. продукции.
2) Общий объем продаж на рынке QD = 50 + 15 = 65 ед. Излишки покупателя находятся графически в соответствии с отраслевой функцией
спроса.
Ответ: P=12,5; QaS =15; Rпок=1056,25.
№ 17. На рынке с отраслевым спросом QD = 100 – 2P установилась
монопольная цена вследствие того, что продавцы образовали картель с
92
общими затратами TC = 72 + 4Q. После того как руководству картеля стало известно, что еще одна фирма с такими же общими затратами намеревается войти в отрасль, картель решил снизить цену настолько, чтобы у
потенциального конкурента исчезло желание входить в отрасль.
1. Какую максимальную цену может установить картель в этой ситуации?
2. Какой минимальной суммой прибыли придется поступиться картелю?
Решение:
1. Искомая цена должна быть такой, чтобы остаточный спрос (неудовлетворенная часть рыночного спроса) оказался ниже кривой средних
затрат (PDост  AC). Для этого к кривой средних затрат нужно провести касательную, параллельную линии рыночного спроса. Поскольку касательная имеет общую точку с кривой AC и в точке касания наклон обоих линий одинаковый, то искомая цена определяется из решения системы уравнений:
72 Q  4  Plim  0, 5Q
  Plim  16 .
72 Q2  0, 5

Функция остаточного спроса QD = 32 – 2P лежит ниже кривой АС.
2. Определим прибыль картеля до появления угрозы потенциального
конкурента:
50 – Q = 4  Q = 46; Р = 27;  = 2746 – 72 – 446 = 986
и при лимитной цене: 1668 – 72 – 468 = 744; следовательно,  = 242.
P
AC
MR
D
MC
Q
Рис. 3.2.5. Лимитная цена картеля
93
*№ 18. В регионе имеется единственное овощехранилище, закупающее картофель у 50 фермеров, выращивающих картофель с одинаковыми затратами TCi = 5 + 0,25q2i, где qi – количество выращенного
картофеля i-м фермером. Хранилище сортирует и фасует картофель по
технологии, отображаемой производственной функцией Qf = 16Q0,5,
где Qf – количество расфасованного картофеля; Q = qi – количество закупленного картофеля. Определите закупочную цену картофеля при
стремлении овощехранилища к максимуму прибыли, если: а) оно может
продавать любое количество картофеля по фиксированной цене Pf = 20;
б) спрос на фасованный картофель отображается функцией
QfD  420  10 Pf .
Решение:
а) Чтобы получить функцию затрат овощехранилища, нужно вывести
функцию цены предложения картофеля. Функция предложения каждого
фермера qis  2P . Следовательно, рыночное предложение QS = 100P, соответственно PS = Q/100. Тогда общие затраты TCxp = 0,01Q2, а прибыль хр =
2016Q0,5 – 0,01Q2. Она достигает максимума при Q =400. Такое количество картофеля можно закупить по цене PS = 400/100 = 4.
б) Определим выручку и прибыль овощехранилища:
Pf Qf = (42 – 0,1Qf)Qf = (42 – 0,116Q0,5)16Q0,5.
хр = (42 – 0,116Q0,5)16Q0,5 – 0,01Q2.
Прибыль достигает максимума при Q = 140. Цена предложения такого
количества PS = 140/100 = 1,4.
P
PMP
MRMP
MCмонопс.
S
Q
Рис. 3.2.6. Цена монопсонии
94
*№ 19. В городе имеется единственный молокозавод, закупающий
молоко у двух групп фермеров, различающихся затратами на литр молока
стандартной жирности: TC1  2q1  0, 25q12 и TC2  0, 5q22 , где qi – количество
молока произведенного одним фермером i-й группы. В первой группе 30
фермеров, во второй – 20. Молокозавод обрабатывает молоко по технологии, отображаемой производственной функцией Qu = 8Q0,5, где Qu – количество пакетов молока; Q = qi – количество закупленного молока, и может продавать любое количество молока по фиксированной цене Pu = 10.
При закупке сырья молокозавод может проводить ценовую дискриминацию.
1. По какой цене молокозавод должен закупать молоко у каждой
группы фермеров для максимизации своей прибыли?
2. Какую цену установил бы молокозавод, если бы нельзя было проводить ценовую дискриминацию?
Решение:
1. Выведем функции предложения каждой группы фермеров; эти
функции для молокозавода являются функциями средних затрат при закупке молока у соответствующей группы фермеров:
!
M C1  2  0, 5q1 = P  q1S  4  2P  Q1S  30q1S  120  60 P 
Q
 P1S  2  1  АCm1 .
60
!
Q
M C2  q2 = P  q2S  P  Q2S  20q2S  20 P  P2S  2  АCm 2 .
20
Прибыль завода есть разность между выручкой и общими затратами:
m  10  8  Q1  Q2 
0 ,5
 2Q1 
Q12 Q22

.
60 20
Она достигает максимума при:
d m

dQ1
d m

dQ2
40
Q

 2  1  0
30
Q1  Q2

  Q1  60; Q2  40.
40
Q2


0

Q1  Q2 10
У первой группы фермеров такое количество молока можно купить по
цене 2 + 60/60 = 3, а у второй – по 40/20 = 2 ден. ед.
95
P
PMP
MC2
MC1
AC2
MC
AC1
Q
Рис. 3.2.7. Ценовая дискриминация монопсонии
2. В этом случае функция предложения молока имеет вид:
20 P  0  P  2
.
QmS  
120  80 P  P  2
Соответственно функция цены предложения (функция средних затрат
завода): PS  1, 5  Q 80  ACm . Прибыль завода:
m  10  8Q
0 ,5
Q2
 1, 5Q 
.
80
Она достигает максимума при
40
Q
 1, 5 
 Q  100 .
40
Q
Такое количество молока можно купить за 1,5 + 100/80 = 2,75 ден. ед.
По такой цене первая группа фермеров предложит 55, а вторая – 45 литров.
P
PMP
AC2
AC1
MC
AC
Q
Рис. 3.2.8. Единая цена монопсонии на двух сегментах рынка
96
*№ 20. Известны функция спроса на продукцию монополистического
конкурента QA = 30 – 5PA + 2 PB и функция затрат TCA = 24 +3QA.
Определить цены двух благ после установления отраслевого равновесия в
длительном периоде.
Решение:
Поскольку рынок монополистической конкуренции в длительном периоде, то равновесие фирмы будет характеризоваться равенствами: ACA =
PA, MCA = MRA. Тогда:
3  24 / QA  6  0, 4 PB  0, 2QA ;

3  6  0, 4 PB  0, 4QA .
Решив систему уравнений, получаем: QA = 10,95; ACA = 5,19; PA =
5,19; PB = 3,45.
*№ 21. Функция спроса на продукцию монополии имеет вид: Р = 24 –
1,5Q. Общие затраты монополии ТС = 50 + 0,3Q2. Определить максимально возможный объем прибыли монополии при продаже всей продукции
по единой цене и при продаже выпуска партиями, первая из которых содержит 3 шт.
Решение:
Если бы ценовой дискриминации 2-й степени не существовало бы, то
условие максимизации прибыли имело вид: 24 – 3Q = 0,6Q. Тогда Q* =
20/3; P*= 14; π = 30.
При ценовой дискриминации нужно помнить, что условие максимизации прибыли приобретает вид: MR1 = P2, MR2 = P3, …, MRn = MC. Первые 3 ед. можно продавать по цене P1 = 24 – 1,5×3 = 19,5. Так как MR1 =
24 – 3Q1, то при Q = 3, значение MR1 = 15. Следовательно, вторую партию,
еще 3 ед., можно продать по цене P2 = 15.
Для определения MR2 необходимо учитывать сокращение спроса –
укорочение линии функции спроса: P2 = 24 – 1,5(Q – 3); MR2 = 28,5 – 3Q,
при Q = 6 величина MR2 = 10,5. Это означает, что третью партию нужно
продавать по цене 10,5.
Найдем функцию MR3. Для этого необходимо определить новую
функцию спроса: P2 = 24 – 1,5(Q – 6); MR2 = 33 – 3Q. При Q = 9, величина
MR3 = 6. Но 4-ю партию нужно продавать не по цене 6. Это связано с тем,
что точка Курно (пересечение функций MC и MR4) расположена выше.
Определим координаты точки Курно из равенства: 37,5 – 3Q = 0,6Q. Отсюда Q = 10,4. Этому выпуску соответствует цена 24 – 1,5×10,4 = 8,4.
Следовательно, размер 4-й партии 1,4 ед., а цена P2 = 8,4. Прибыль фирмы
составит:
π = 3×(19,5 + 15 + 10,5) + 8,4 × 1,4 – 50 – 0,3×10,42 = 64,3.
97
*№ 22. На рынке действуют 5 фирм, данные об объемах продаж,
ценах и предельных затратах приведены в таблице.
Фирма
Объем
продаж,
тыс. шт
250
100
90
40
30
А
Б
В
Г
Д
Предельные
затраты, тыс.
долл.
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
Цена товара 8 тыс. долл. Определить коэффициента бета и
эластичность спроса по цене.
Решение:
При решении задачи следует учесть, что индекс Лернера для фирмы
(Li), который вычисляется как Li = (P – MC)/P, в соответствии с моделью
связан линейной зависимостью с рыночной долей yi: Li = a +byi.
Дополнительные расчеты сведем в таблицу.
Фирма
А
Б
В
Г
Д
Cумма
Q
250
100
90
40
30
510
MC
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
X
yi
0,490
0,196
0,176
0,078
0,058
0,998
yi2
0,24
0,04
0,03
0,006
0,003
0,319
Li
0,875
0,812
0,75
0,688
0,625
3,75
Li×yi
0,429
0,159
0,132
0,054
0,036
0,81
Для нахождения линейной зависимости между индексом Лернера и
долей рынка в соответствии с методом наименьших квадратов необходимо составить систему их двух уравнений:
 Li  an  b yi
.

2
L
y

a
y

b
y
 i i
 i  i
В условиях примера система уравнений примет вид:
3, 75  5a  0,998b
.

0,81  0,998a  0,319b
Решив систему, находим, что a = 0,65; b = 0,5. Следовательно, β =
0,65/(0,65 + 0,5) = 0,56.
98
Эластичность спроса по рынку определяется по формуле: e = HH/Lср,
где HH – индекс Герфиндаля-Хиршмана, а Lср – средний индекс Лернера
для отрасли. e = 0,319/(3,75:5) = 0,425.
*№ 23. Длина города равна 35 км. Магазин первого дуополиста
расположен в точке А на расстоянии 4 км от левого конца города (точка
М). Магазин второго – в точке В на расстоянии 1 км от правого конца
города. Стоимость перевозки равна 1 ден. ед. за км. Дуополисты
максимизируют выручку. Потребители проживают равномерно по всей
длине города. Найти расположение точки Е, в которой проживает
потребитель, затраты которого на покупку единицы товара
(включающие транспортные расходы) одинаковы для обоих магазинов.
Решение:
Найдем расположение точки Е, в которой находится потребитель и
где затраты на покупку единицы товара, включая транспортные
расходы, одинаковы для обоих магазинов. Если через x и y обозначить
расстояния от безразличного покупателя до первого и второго магазина
соответственно, то условие безразличия примет вид: P1 + x = P2 + y и,
кроме того: 4 + 1 + x + y = 35. Решив совместно эти два уравнения
относительно x и y, получим:
x = 15 + 0,5(P1 – P2), y = 15 – 0,5(P2 – P1).
Обозначим объем продаж каждого дуополиста через Q1 и Q2. Тогда:
Q1 = x + 4и Q2 = y + 1. Выручка первого равна: TR1 = P1Q1 = 19P1 +
0,5P1P2 – 0,5P22. Она достигает максимума, когда
P1 – 0,5P2 – 19 = 0.
(1)
Аналогично для второй фирмы, составив функцию выручки и взяв
производную по P2, получаем:
–0,5P1 + P2 – 16 = 0.
(2)
Решив систему уравнений (1) и (2), находим цены: P1 = 36; P2 = 34.
Тогда легко найти x и y: x = 15 + 0,5×2 = 16 км, y = 15 – 0,5×2 = 14 км.
№ 24. Фирма является совершенным конкурентом на рынке блага и на
рынке труда. При заданном объеме капитала ее производственная функция имеет вид: Q = 240L – 5L2.
а) Вывести функцию спроса фирмы на труд.
б) Сколько труда будет использовать фирма при цене труда (w) =
=120 и цене блага (P) = 2?
Решение:
1) Определим предельный продукт труда:
99
MPL 
dQ
 240  10L.
dL
Поскольку на рынке блага совершенная конкуренция, то предельная
выручка от предельного продукта труда будет равна:
MRPL = MPL × P = 240P – 10P × L;
Так как на рынке труда совершенная конкуренция, то:
MIC = w; 240P – 10PL = w; 240 – 10L = w .
P
Следовательно: LD = 24 – 0,1
w

P
.
2) Подставим w и P в функцию спроса фирмы на труд:
L = 24 – 0,1  120 = 18.
2
№ 25. Технология производства продукции описывается производственной функцией: Q = 2L.
1) Фирма является монополистом на рынке данного блага и монопсонистом на рынке труда. Функция предложения труда имеет вид: LS = w,
функция спроса на благо: Q = 12 – P.
Определить объем выпуска, цену блага, количество используемого
труда и ставку зарплаты.
2) Фирма является монополистом на рынке данного блага и совершенным конкурентом на рынке труда. Функция спроса на благо имеет
вид: Q = 12 – P, а ставка зарплаты равна 3.
Определить объем выпуска, цену блага и количество используемого
труда.
3) Фирма является совершенным конкурентом на рынке данного блага
и монопсонистом на рынке труда. Функция предложения труда имеет вид:
LS = w, а цена блага равна 4.
Определить объем выпуска, количество используемого труда и ставку
зарплаты.
Решение:
1) Определим предельный продукт труда:
MPL 
Q
 2.
L
Определим предельную выручку на рынке блага:
P = Q – 12; MR = 12 – 2Q.
Поскольку фирма монополист на рынке блага, то
MRPL = MR × MPL = (12 – 2Q)2 = 24 – 4Q.
Подставив из производственной функции Q, получим:
MRPL = 24 – 4(2L) = 24 – 8L.
Общие затраты фирмы на фактор равны:
TICL = L × w = L × L = L2.
100
Предельные затраты равны:
MICL = 2L.
Максимум прибыли достигается при равенстве: MRPL = MICL. Следовательно: 24 – 8L = 2L. Отсюда: L = 2,4; w = 2,4; Q = 4,8; P = 7,2.
2) MPL = 2; MRPL = MR × MPL = (12 – 2Q)2 = 24 – 4Q или MRPL = 24 –
8L.
Поскольку на рынке труда совершенная конкуренция, то MICL = w.
Для максимизации прибыли необходимо: MRPL = MICL. Значит: 24 –
8L = L. Отсюда: L = 2,67; Q = 5,34; P = 6,66.
3) MPL = 2.
Поскольку фирма совершенный конкурент на рынке блага, то
MRPL = P × MPL = 4 × 2 = 8.
MICL = 2L. Для максимизации прибыли необходимо: MRPL = MICL.
Значит: 8 = 2L. Отсюда: L = 4; w = 4; Q = 8.
Вопросы для обсуждения
1. Сравнение рынка монополии и рынка совершенной конкуренции.
Понятие рыночной власти и ущерба от монополии.
2. Покажите разницу между поведением монополии в коротком и в
длительном периодах на графической модели. Могут ли в длительном периоде в функции затрат присутствовать величины, не зависящие от объема выпуска?
3. Обсудите гомогенность и гетерогенность товарных рынков. Могут ли существовать гетерогенные товарные рынки в условиях чистой монополии?
4. Объясните, почему при максимизации выручки, прибыли и нормы
прибыли монополией объемы выпуска различаются. Возможно ли при
разных целевых установках максимизации этих параметров у фирм совпадение объемов выпуска? Покажите это графически.
5. Виды и особенности государственного регулирования рынка монополии. Сравнение с рынком совершенной конкуренции.
6. Почему в микроэкономическом анализе выделяют три основных
типа ценовой дискриминации? Покажите сходство и различие ценовой
дискриминации 1-й и 2-й степени.
7. Объясните, почему в модели естественной монополии предполагается возрастающая отдача от масштаба производства. Может ли в ситуации естественной монополии быть постоянная и убывающая отдача?
8. Монополистическая конкуренция как промежуточная рыночная
структура: сходства и различия с совершенно-конкурентным рынком и
рынком монополии в коротком и длительном периодах.
101
9. Сравните модели монополистической конкуренции Гутенберга и
Чемберлина. В чем различие подходов в этих моделях?
10.Что произойдет в отрасли, если в моделях олигополии Курно и
Штакельберга количество фирм будет расти?
11.Объясните, как устроена модель Бертрана, и ответьте на вопрос,
почему она описывает процесс ценовой войны. С чем связана скоротечность ценовых войн?
12.Ценовые ограничения для входа в отрасль: необходимые условия,
потенциальные возможности картеля (монополиста), последствия для
рынка.
13. Каким образом изменяется роль экономических субъектов на рынках факторов производства по сравнению с рынком потребительских благ
и к каким последствиям это изменение приводит?
14. Почему теория ценообразования факторов производства одновременно является теорией распределения рыночного дохода в национальной
экономике?
15. Почему на рынке труда ставка заработной платы у «профсоюза»
выше, а занятость ниже, чем при совершенной конкуренции?
16. Что определяет понятие «двойная эксплуатация» на рынке двусторонней монополии?
Задачи
Монополия
№ 1. Фирма выращивает и продает помидоры. Ее характеристики
приведены в таблице. Постоянные затраты на производство составляют
14500 ден. ед.
Q, тыс.
1
кг
AVC,
ден. ед. / 3,0
кг
2
2,75 2,5
3
4
2,625
5
3,1
6
3,75
7
4,5
8
5,31
а) Если цена на рынке установилась на уровне 6 ден. ед. за 1 кг, то какой объем производства выберет предприятие, какую получит прибыль?
б) Определить то же самое при условии, что цена составляет 12 ден.
ед. за 1 кг.
в) Правительство установило «потолок» цен на уровне 4 ден. ед. за 1
кг. Определить поведение фирмы.
102
г) При каком уровне цены фирма уйдет с рынка?
д) Предположим, что фирма является монополистом. Какой объем
производства она выберет, какую цену назначит и какую получит прибыль, если функция спроса на помидоры имеет вид:
Q, тыс. кг
Р, ден. ед.
1
18
2
16
3
14
4
12
5
10
6
8
7
6
8
4
е) Все этапы расчета изобразить графически. Показать на рисунке
ущерб, причиняемый монополией.
№ 2. Информация о функции спроса на продукцию монополиста и его
общих затратах приведена в таблице:
Выпуск Цена (Р), Общие затраты
(Q), ед. ден. ед.
(ТС), ден.ед.
1
10
20
2
9
21
3
8
22
4
7
23
5
6
24
6
5
25
7
4
27
8
3
30
а) При каком выпуске монополист максимизирует прибыль? Какую
цену назначит монополист?
б) Нарисуйте кривую общей выручки и кривую общих затрат.
в) Нарисуйте кривую предельной выручки и кривую предельных затрат.
№ 3. Общие затраты монополиста в длительном периоде при объеме
выпуска, равном 1 шт., составляют 4 ден. ед. При объеме выпуска 2 шт. и
более они хорошо описываются функцией: LTC = 4 + Q. Функция спроса
на продукцию монополиста: Q = 6 – P.
а) Изобразите кривую средних затрат длительного периода
(LAC),кривую предельных затрат длительного периода (LMC), кривую
спроса (D), кривую предельной выручки (MR);
б) При каком выпуске монополист максимизирует прибыль? Какую
цену назначит монополист? Какова будет его прибыль?
в) Предположим, правительство установило цену, равную LMC при
выпуске, достаточном для удовлетворения спроса. Каковы достоинства
такой цены и каковы ее недостатки?
103
№ 4. При фиксированном количестве применяемого труда выпуск
монополии характеризуется производственной функцией: Q = 2K, где K –
количество капитала. Функция затрат монополии имеет вид: TC = 50 +
Q + Q2, а функция спроса на ее продукцию: Q = 200 – P. Определить объем выпуска монополии когда она стремится максимизировать: а) прибыль,
б) выручку, в) среднюю норму прибыли.
№ 5. Функция общих затрат фирмы имеет вид:
TC = 30000 + 50Q. Цена на ее продукцию меняется по формуле: P =
100 – 0,01Q.
а) Определить цену, при которой фирма получит максимум прибыли,
и размер этой прибыли.
б) Определить те же параметры, если фирма должна будет уплачивать
налог в размере 10 ден. ед. с каждой реализованной единицы продукции.
в) Определить те же параметры, если фирма должна уплачивать налог
на капитал в размере 200 ден. ед.
№ 6. Рыночный спрос, отображаемый функцией QD = 200 – 4P, удовлетворяет монополия, которая производит продукцию с неизменными
средними затратами. Стремясь к достижению максимума прибыли, монополия установила цену Р = 30.
а) Определите объем продаж и цену, если рыночный спрос возрастет
так, что при каждой цене объем спроса увеличится на 40 ед.
б) Определите прибыль монополии при указанном изменении спроса.
*№ 7. Спрос на товар отображается линейной функцией, а технология его производства – функцией Q=АLK1–. На рынке этого товара
совершенная конкуренция сменилась монополией, максимизирующей
прибыль. В результате цена товара повысилась на 3 ден. ед., а объем
продаж сократился на 10 ед. На сколько ден. ед. сократились излишки
потребителей?
№ 8. Функция спроса на продукцию монополии имеет вид: Q = 400 –
P, а функция общих затрат монополии: TC = 5Q + 0,25Q2. Как изменится
цена на данном рынке, если за каждую проданную единицу товара монополия будет получать дотацию в размере 2 ден. ед?
№ 9. Даны функции общих затрат двух заводов монополии TC1 =
=10Q1 + 5; TC2 = 2Q22 + 60. Функция спроса на продукцию монополии
имеет вид Q = 360 – 2P. Определить общий выпуск и цену, максимизирующие прибыль. Как распределится выпуск по двум заводам?
104
№ 10. Монополия владеет двумя предприятиями, функции затрат которых даны: TC1 = 10Q1, TC2 = 0,25Q22. Функция спроса на продукцию:
Q = 200 – 2P. Определить оптимальную для монополии цену, объемы
производства на каждом предприятии и сумму прибыли.
№ 11. Известны функция спроса на продукцию монополии QD = 120 –
4P, и функция ее затрат TC = 220 + 3Q + 0,125Q2. Определить:
а) Насколько больше прибыли получит монополия при стремлении к
максимуму прибыли по сравнению со стремлением к максимуму выручки?
б) Насколько возрастут излишки потребителей при стремлении монополии к максимуму выручки по сравнению со стремлением к максимуму
прибыли?
№ 12. При максимизации прибыли монополия с функцией общих затрат: TC =100 +2Q + 0,5Q2 продает 10 ед. продукции, а при максимизации
выручки 16 ед. С каждой единицей проданной продукции монополия платит акциз в размере 5 ден. ед. Сколько ед. продукции будет продано при
максимизации прибыли монополии?
№ 13. Товар производится по технологии, отображающейся производственной функцией Q = L0,8K0,2, а рыночный спрос – функцией QD =
40 – 2P. В условиях совершенной конкуренции на рынке продается 36 ед.
товара. Насколько сократятся излишки покупателей, если на этом рынке
возникнет монополия, максимизирующая прибыль?
№ 14. При линейной функции спроса монополия получает максимум
прибыли, продавая 12 ед. продукции по цене 40 ден. ед. Функция общих затрат монополии:
TC = 50 + 10Q + 0,5Q2.
а) Насколько возрастут суммарные излишки производителей и потребителей, если при тех же затратах продукция будет продаваться в условиях совершенной конкуренции?
б) Насколько снизится цена монополии, если за каждую проданную
единицу продукции ей доплачивать 5 ден. ед?
в) Насколько с учетом дотации увеличится прибыль монополии?
№ 15. Отраслевой спрос QD = 180 – 2P удовлетворяет единственная
фирма с функцией общих затрат: TC = 120 + 12Q + 0,5Q2.
1. Определите цену и объем продаж, если фирма максимизирует:
а) прибыль; б) выручку; в) объем продаж.
105
2. Насколько максимальная прибыль превышает прибыль при максимизации объема продаж?
3. Определите величину дотации за каждую проданную единицу товара, при которой фирма, стремясь максимизировать прибыль, будет продавать 45 ед.
*4. Определите цену и объем продаж, если фирма максимизирует
прибыль при наличии 20%-го налога на выручку.
№ 16. Даны функция затрат монополии и функция спроса: TC = 50 +
20Q, P = 100 – 4Q. Определить объем производства, цену и сумму максимальной прибыли монополии. Как изменится объем производства и сумма
прибыли, если монополия будет осуществлять совершенную ценовую
дискриминацию?
№ 17. Дана функция спроса монополии: Q = 180 – 2P. Функция общих затрат имеет следующий вид: TC = 2Q2 + 90. Определить объем выпуска и цену, максимизирующие прибыль монополии. Определить объем
выпуска, если монополист получит возможность применять совершенную
ценовую дискриминацию.
№ 18*. Спрос на продукцию монополии отображается функцией
Q  200  10P , а ее затраты − функцией TC  5Q  0, 025Q2 . Монополия может проводить ценовую дискриминацию 2-й степени при условии, что 1-я
партия продукции состоит из 25 ед. Определить:
а) Какую максимальную прибыль может получить монополия в этом
случае?
б) Насколько возросла бы прибыль монополии, если бы она могла
проводить ценовую дискриминацию 1-й степени?
D
№ 19*. Функция спроса на продукцию монополии имеет вид: Q = 24 –
1,5Р. Общие затраты монополии ТС = 50 + 0,1Q2. Определить максимально возможный объем прибыли монополии при продаже всей продукции
по единой цене и при продаже выпуска партиями, первая из которых содержит 3 шт.
№ 20. Монополия, максимизирующая прибыль, может продавать продукцию на двух сегментах рынка, имеющих следующие функции спроса
q1 = 100 – 2P1 и q2 = 60 – 2P2. Функция общих затрат монополии имеет
вид: TC = 14Q; q1 + q2 = Q. Определить:
а) Какими будут цены, объемы продаж и прибыль монополии при использовании ценовой дискриминации?
106
*б) Какими будут цена, объем выпуска и прибыль монополии при отсутствии условий для ценовой дискриминации?
№ 21. Монополия может продавать продукцию на двух сегментах
рынка с различной эластичностью спроса: Q1D = 200 – 4P1; Q2D = 160 –
2P2. Ее функция общих затрат TC = 10 + 12Q + 0,5Q2. Определить:
а) При каких ценах на каждом из сегментов рынка монополия получит
максимум прибыли?
*б) Какую цену установит монополия в случае запрета ценовой дискриминации?
*№ 22. Потребности жителей города в молоке отображаются функцией QD = 280 – 4P и удовлетворяются одним заводом с функцией общих
затрат TC = 100 + 10Q + 0,25Q2. Половина жителей города – дети. За каждый проданный детям литр молока муниципалитет платит заводу 10 ден.
ед. Определить:
а) Как молокозаводу распределить свой выпуск между детьми и
взрослыми, чтобы получить максимум прибыли?
б) Какая цена будет установлена для детей и для взрослых?
в) Насколько меньше молока производил бы завод без дотации?
№ 23. Спрос на продукцию монополии, максимизирующей прибыль,
отображается функцией QD = 240 – 4P; функция общих затрат TC = 120 +
10Q + Q2. Насколько изменится выпуск монополии, если установить верхний предел цены: а) Р = 52; б) Р = 50; в) Р = 48.
№ 24. Функция спроса на продукцию естественной монополии:
Q = 6 – 0,1P; функция общих затрат TC = 48Q – 12Q2 + Q3. Определить:
а) Сумму дотации монополии, чтобы она могла работать безубыточно
при директивной цене Р = МС.
б) Насколько меньше был бы выпуск монополии без государственного регулирования цены?
в) Какую минимальную директивную цену можно установить, чтобы
монополия могла работать безубыточно без дотации?
D
*№ 25. Спрос на продукцию отображается функцией QD = 140 –
4P, а общие затраты на ее производство – функцией TC = 80 + 5Q + Q2.
Продукция продается на рынке совершенной конкуренции в длительном
периоде. Во сколько раз должны снизиться переменные затраты, чтобы
при переходе от совершенной конкуренции к монополии цена не изменилась?
107
*№ 26. В регионе имеется единственное овощехранилище, закупающее картофель у 100 фермеров, выращивающих картофель с одинаковыми
затратами TCi = 2 + 0,25q2i, где qi – количество картофеля, выращенного iм фермером. Хранилище сортирует и фасует картофель по технологии,
отображаемой производственной функцией Qf = 8Q0,5, где Qf – количество расфасованного картофеля; Q = qi – количество закупленного картофеля. Определите суммарную прибыль фермеров при стремлении овощехранилища к максимуму прибыли, если: а) оно может продавать любое
количество картофеля по фиксированной цене Pf = 20; б) спрос на фасованный картофель отображается функцией QfD  165  5Pf .
*№ 27. В городе имеется единственный элеватор, закупающий зерно у
двух групп фермеров, различающихся затратами: TC1  2, 5q1  0, 5q12 и
TC2  0, 75q22 , где qi – количество зерна, произведенного одним фермером i-й
группы. В первой группе 40 фермеров, во второй – 20. Элеватор производит муку по технологии, отображаемой производственной функцией Qz =
8Q0,5, где Qz – количество муки; Q = qi – количество закупленного зерна,
и может продавать любое количество муки по фиксированной цене Pz =
16. При закупке сырья элеватор может проводить ценовую дискриминацию. Насколько больше прибыли получит элеватор при проведении ценовой дискриминации по сравнению с закупкой зерна по единой цене?
Монополистическая конкуренция
№ 28. Фирма в условиях монополистической конкуренции имеет
функцию спроса:
до 10 ед.:
Р = 36 – 0,2Q,
от 10 до 20 ед.:
Р = 44 – Q,
более 20 ед.:
Р = 34 – 0,5Q
Определить объем выпуска, максимизирующий прибыль фирмы, цену,
общую сумму прибыли, если функция затрат имеет вид: TC = 70 + 8Q.
№ 29. Монополистический конкурент, производящий продукцию с
затратами: TC = 9,5Q, установил, что цена на его продукцию меняется по
формуле: P = 23,5 – 0,5Q, если он продает больше 11, по формуле: P =
25 – 1/3Q, если он продает не больше 6 ед., по формуле: P = 29 – Q, если
он продает больше 6, но не больше 11 ед. Определить объем выпуска данной фирмы, максимизирующий прибыль, и размер этой прибыли.
№ 30. Функция спроса на продукцию фирмы имеет вид:
108
160  4 P;32,5  P  40

Q D  95  2 P;22,5  P  32,5
162,5  5P;0  P  22,5

а функция общих затрат TC = 50 + 12Q + 0,125Q2.
1. При какой цене прибыль фирмы максимальна?
2. Насколько изменится цена при взимании акциза в размере 2 ден. ед.
с каждой проданной единицы продукции?
3. Насколько изменится цена при предоставлении дотации в размере 1
ден. ед. за каждую проданную единицу продукции?
4. Определите максимум прибыли при TC = 500 + 0,05Q2.
№ 31. Монополистический конкурент с функцией общих затрат TC =
300 + 30Q + 2Q2 в состоянии длительного равновесия производит продукцию со средними затратами на 21 ден. ед. больше, чем минимально возможные.
1. Определите цену и объем продаж данной фирмы.
2. Насколько больше продавала бы каждая фирма, если бы вследствие
стандартизации продающегося на рынке продукта монополистическая
конкуренция сменилась совершенной конкуренцией?
№ 32. Когда фирма с функцией затрат TC = 128 + 10Q + 0,5Q2 на
рынке монополистической конкуренции достигла долгосрочного равновесия, коэффициент эластичности спроса по цене на ее товар eD = –2,5.
Сколько единиц товара продавала фирма?
№ 33. Монополистический конкурент с функцией общих затрат TC =
300 + 10Q + 0,5Q2 в состоянии длительного равновесия продает свою продукцию по цене Р = 45. До прихода в отрасль новых конкурентов он мог
по каждой цене продавать на 12 ед. своей продукции больше. Какова тогда была его прибыль?
№ 34. Текущий спрос на продукцию монополистического конкурента
отображается
функцией
а
общие
затраты
Q D  55  0,25P ,
2
TC  450  40Q  0,5Q . Увеличение числа конкурентов в отрасли смещает
кривую спроса на продукцию фирмы без изменения ее наклона. Определить:
1. Насколько изменится цена в отрасли и объем продаж данной фирмы
в состоянии длительного равновесия по сравнению с текущим периодом?
2. На сколько единиц меньше будут спрашивать продукцию данной
фирмы при любой цене в состоянии длительного равновесия по сравнению с текущим периодом?
109
3. На сколько снизится цена спроса на данную продукцию за любой ее
объем в состоянии длительного равновесия по сравнению с текущим периодом?
№ 35. В данный момент спрос на продукцию монополистического
конкурента отображается функцией QD  120  P ,
а общие затраты
2
TC  50  20Q  Q . Увеличение числа конкурентов в отрасли смещает кривую спроса на продукцию фирмы без изменения ее наклона. Определить,
насколько в состоянии длительного равновесия:
а) снизятся цена и выпуск данной фирмы по сравнению с текущим
моментом;
б) средние затраты превышают минимально возможные?
№ 36. Монополистический конкурент с функцией общих затрат TC =
100 + 10Q в состоянии длительного равновесия продает 20 ед. своей продукции. Определите эластичность спроса по цене и излишки покупателей
данного товара, если функция спроса линейна.
Олигополия
№ 37. Спрос на продукцию монополии отображается функцией
Q  200  10P . Предприятие-картель может производить продукцию на
двух заводах, различающихся функциями затрат: TC1  5q1  0, 025q12 и
TC2  0, 05q22 ; q1 + q2 = Q . Как распределить выпуск между заводами, чтобы прибыль была максимальной?
D
№ 38. Отраслевой спрос задан функцией цены спроса P = 200 – Q; в
отрасли работают две максимизирующие прибыль фирмы I и II со следующими функциями затрат: TCI = 100 + 0,5q2I и TCII = 50 + 40qII. Определите прибыль каждой фирмы в соответствии с: а) моделью Курно; б)
моделью Штакельберга при лидерстве фирмы I; в) картельным соглашением при распределении прибыли пропорционально выпуску.
*№ 39. Отраслевой спрос QD = 120 – 2P удовлетворяет монополия,
максимизирующая прибыль и имеющая неизменные средние затраты. Она
установила цену Р = 40. Еще одна фирма с функцией затрат ТС = 0,25q2
вошла в отрасль. На сколько единиц сократится выпуск бывшей монополии после установления долгосрочного равновесия в отрасли в соответствии с моделью дуополии Курно?
*№ 40. Отраслевой спрос на рынке дуополии представляет функция
Q = 70 – 0,5P; обе фирмы имеют одинаковые затраты: TCi = 20 + q2i. Насколько снизится цена и насколько возрастет объем продаж, если фирмы
D
110
перейдут от поведения в соответствии с моделью Курно к поведению в
соответствии с моделью Штакельберга?
№ 41. На рынке дуополии спрос существует только при Р < 50 и достигает полного удовлетворения при Q = 200. Известны уравнения реакции
обоих дуополистов, ведущих себя в соответствии с моделью Курно: q1 =
60 – 0,25q2; q2 = 100 – 0,5q1. Какая цена установится на рынке?
№ 42. В отрасли функционируют 120 мелких фирм с одинаковыми
функциями затрат TCi = 20 + 10 qi2 и еще одна крупная фирма, выступающая в роли лидера, с функцией затрат TCл = 50 + 0,5 qл2 . Отраслевой спрос
отображается функцией QD = 400 – 2P.
1. Определите прибыль лидера и каждого из аутсайдеров.
2. Вследствие увеличения доходов покупателей они стали спрашивать
на 40 ед. товара больше. Насколько возрастет объем продаж и как прирост
выпуска распределится между лидером и аутсайдерами?
№ 43. Отраслевой спрос отображается функцией QD = 256 – 3P. В отрасли функционируют одна крупная фирма, выступающая в роли лидера, с
функцией затрат TCл = 50 + 0,25 qл2 и мелкие фирмы-аутсайдеры с одинаковыми функциями затрат TCi = 2 + 15 qi2 . Лидер установил цену Р = 60 и
продает 20 ед. продукции. Сколько аутсайдеров работает в этой отрасли?
№ 44. Рыночный спрос отображается функцией QD = 130 – 4P. Товар
на рынке продают одна крупная фирма, выступающая в роли ценового лидера, и несколько мелких фирм, совокупное предложение которых отображается функцией QaS = –10 + P. Определите цену на рынке, совокупный объем предложения аутсайдеров и излишек покупателей, если крупная фирма захочет максимизировать свою выручку?
*№ 45. На рынке совершенной конкуренции с отраслевым спросом
Q  940  10P
торговали
фирмы
с
одинаковыми
затратами
2
TCi  98  10q  0, 5q . В определенный момент 20 фирм образовали картель,
став ценовым лидером.
1. Насколько в результате этого возросла цена и сократился объем
продаж?
2. Насколько бы возросла цена и сократился объем продаж, если бы в
картель вошли 30 фирм?
D
№ 46. На рынке с отраслевым спросом QD = 120 – P установилась монопольная цена вследствие того, что продавцы образовали картель с общими затратами TC = 450 + 12Q + Q2. После того, как руководству карте-
111
ля стало известно, что еще одна фирма с такими же общими затратами
намеревается войти в отрасль, картель решил снизить цену на столько,
чтобы у потенциального конкурента исчезло желание входить в отрасль.
1. Какую максимальную цену может установить картель в этой ситуации?
2. Насколько больше продукции будет продавать картель ввиду потенциальной угрозы конкурента?
3. Какой суммой прибыли готов пожертвовать картель, чтобы не допустить прихода конкурента?
№ 47. На рынке с отраслевым спросом Q = 200 – 5P установилась
монопольная цена вследствие того, что продавцы образовали картель с
общими затратами TC = 125 + 10Q . После того, как руководству картеля
стало известно, что еще одна фирма с такими же общими затратами намеревается войти в отрасль, картель решил снизить цену настолько, чтобы у
потенциального конкурента исчезло желание входить в отрасль. Какой
минимальной величиной прибыли придется поступиться картелю, чтобы
не пустить на рынок конкурента?
*№ 48. Производственная функция фирмы имеет вид: Q = 40L – L2.
Постоянные издержки фирмы равны 10. Определить при P = 2 объем продаж, число занятых и ATC, если фирма а) максимизирует прибыль (w =
20), б) управляется работниками и максимизирует чистую выручку на одного занятого, в) управляется менеджерами, стремящимися максимизировать выплаты административно-управленческому персоналу (I). Зависимость выплат имеет вид: I (π, L) = 10 + 0,1π + L. Построить функцию предложения фирмы, если она совершенный конкурент, и сравнить ее с функцией предложения для фирмы, управляемой работниками.
Что произойдет, если постоянные затраты возрастут до 20?
*№ 49. Ниже приведены данные о
энергетических компаний региона (в млн кВт).
Компания Мощность
А
Б
В
Г
Д
Е
Ж
57,439
12,914
1,136
5,351
8,113
1,827
0,16
0,59
мощности
крупнейших
112
Рассчитать показатели концентрации рынка: индекс концентрации для
3-х и 4-х компаний, индекс Херфиндаля-Хиршмана, дисперсию рыночных
долей, индекс энтропии и построить кривую Лоренца.
*№ 50. На основе приведенных данных о долях продаж на рынках А и
Б и ценовой эластичности спроса рассчитать индекс ХерфиндаляХиршмана и индекс Лернера для двух рынков (без учета согласованности
ценовой политики и с учетом согласованности) при условии, что на первом коэффициент β составляет 0,5, а на втором – 0,05.
Рынок А
Эластичность спроса –4
Фирма
Доля
1
60
2
30
3
5
4
5
Рынок Б
Эластичность спроса –1,5
Фирма
Доля
1
30
2
25
3
25
4
20
*№ 51. На рынке некоторого товара действует 4 фирмы. Каждая из
них контролирует по 25 процентов рынка. Пакеты акций этих фирм можно
продать вдвое дороже номинала. Акционерный капитал каждой компании
составляет 100 млн долл. Прибыль – 25%. Нормальная прибыль для
отрасли 10% на акционерный капитал. Эластичность рыночного спроса –
1,5.
Рассчитать показатели монопольной власти: индексы Бейна, Тобина,
Лернера.
*№ 52. На рынке действуют 5 фирм, данные об объемах продаж,
ценах и предельных затратах приведены в таблице.
Фирма
А
Б
В
Г
Д
Объем
продаж,
тыс. шт
1350
1125
900
675
450
Предельные
затраты, тыс.
долл.
3,55
3,625
3,7
3775
3,85
Цена товара 5 тыс. долл. Определить коэффициент бета и
эластичность спроса по цене.
113
*№ 53. Имеется информация о выпуске компаний, действующих на
рынке. Рассчитать индекс Линда и определить нарушение
непрерывности.
Фирма
А
Б
В
Г
Д
Е
Ж
З
Итого
Выпуск,
шт.
351824
59805
23889
8943
4156
3805
3483
3264
459172
*№ 54. Спрос на продукцию монополии отображается функцией
Q  200  10P , а ее затраты − функцией TC  5Q  0, 025Q2 . Монополия может проводить ценовую дискриминацию 2-й степени при условии, что 1-я
партия продукции состоит из 25 ед. Определить:
а) Какую максимальную прибыль может получить монополия в этом
случае?
б) Насколько возросла бы прибыль монополии, если бы она могла
проводить ценовую дискриминацию 1-й степени?
D
*№ 55. На рынке два типа покупателей – А и Б. Функция спроса
группы А имеет вид: P1 = 20 – q1, а группы Б: P2 = 4 – q2. Всего на рынке
100 покупателей, причем группы А – 60, а группы Б – 40. Средние
издержки на производство товара (AC) равны 2. Построить схему
двухчастного тарифа по двум схемам и определить величину прибыли в
двух случаях.
*№ 56. Известны функция спроса на продукцию монополистического
конкурента QA = 30 – 4PA + 2 PB и функция затрат TCA = 20 +2QA.
Определить цены двух благ после установления отраслевого равновесия в
длительном периоде.
*№ 57. Маркетинговый отдел фирмы установил следующую
зависимость числа покупателей, готовых покупать товар по разным
ценам в разном количестве (в сутки):
114
Цена
2
3
4
5
1 кг
90
80
65
45
2 кг
75
65
50
30
3 кг
55
45
30
10
4 кг
30
20
5
0
5 кг
5
0
0
0
Товар закупается фирмой по цене 1 ден. за шт. Определить схему
ценообразования а) при единой цене, б) при нелинейном
ценообразовании. Рассчитать цены и прибыль.
*№ 58. Пусть функция спроса имеет вид: P = a – q1 – q2. Первая фирма
точно знает, чему равен параметр «а», а вторая знает лишь, что с
вероятностью 0,5 он равен 4, с вероятностью 0,3 равен 8, с вероятностью
0,2 равен 10. Фирмы выбирают между объемами продаж 2 и 6. Представить
дерево решений, если фирмы взаимодействуют по Штакельбергу.
*№ 59. Предположим, что рыночный спрос определяется функцией P
= 60 – q1 – q2. Затраты двух фирм имеют вид: TC1 = 5q1, TC2 = 4q2. В
момент принятия решения об объеме выпуска 1-я фирма полагает, что с
вероятностью 60% затраты 2-й фирмы TC2 = 4q2, а с вероятностью 40%:
TC2 = 6q2. Вторая фирма считает, что с вероятностью 50% затраты первой
фирмы TC1 = 5q1, а с вероятностью 50%: TC1 = 10q1. Каждый участник
знает, как оценивает его затраты конкурент. Выведите уравнения реакции
первой и второй фирмы исходя из асимметричности информации.
*№ 60. Длина города равна 40 км. Магазин первого дуополиста
расположен в точке А на расстоянии 6 км от левого конца города (точка
М). Магазин второго – в точке В на расстоянии 2 км от правого конца
города. Стоимость перевозки равна 1 ден. ед. за км. Дуополисты
максимизируют выручку. Потребители проживают равномерно по всей
длине города. Найти расположение точки Е, в которой проживает
потребитель, затраты которого на покупку единицы товара (включающие
транспортные расходы) одинаковы для обоих магазинов. Каковы должны
быть цены у этих дуополистов?
*№ 61. Фирма, продает стиральный порошок определенной марки и
стремится к определению оптимальной стратегии в области рекламы. В
январе фирма увеличила цену на порошок с 20 до 25 руб., а объем продаж
сократился с 30 до 26 тыс. пачек. В феврале фирма увеличила расходы на
рекламу на 20% по сравнению с январем. Объем продаж возрос с 26 тыс.
до 28 тыс. Определите оптимальную долю расходов на рекламу в выручке
фирмы.
115
3.3. Рынки факторов производства
№ 62. При изменении объема использования переменного фактора L в
интервале от 10 до 25 ед. выпуск продукции фирмы определяется по формуле Q = 150L – 3L2. Единица переменного фактора обходится фирме в 90
ден. ед. независимо от количества приобретения этого фактора, а цена
блага, по которой фирма может продавать его в любом количестве, равна
5 ден. ед. Определить оптимальный для фирмы объем выпуска.
К каким последствиям для фирмы приведет рост стоимости переменного фактора при прочих неизменных условиях?
№ 63. Производственная функция фирмы Q = 4L0,5. Определите объем
спроса фирмы на труд, если она является совершенным конкурентом на
рынке своего продукта при Р = 5 и рынке труда при w = 2.
№ 64. Производственная функция монополии, максимизирующей
прибыль, имеет вид: Q = 8L0,5. Спрос на ее продукцию отображается
функцией: QD = 120 – 4P. Определите объем спроса на труд этой монополии при цене труда w = 14.
№ 65. Спрос на продукцию монополии, максимизирующей прибыль,
отображается функцией QD = 80 – 2P, а технология производства – функцией Q = 2L0,5. Монополия может нанять любое количество труда по фиксированной цене. Найдите прибыль монополии, если она использует 16
ед. труда.
№ 66. Спрос на продукцию монополии, максимизирующей прибыль,
отображается функцией QD = 100 – P, а технология производства – функцией Q = 2L0,5. Монополия может нанять любое количество труда по цене
w = 6. Определите количество труда, которое использует данная фирма, и
ее выпуск.
*№ 67. Монополия производит продукцию по технологии Q = AL0,5 и
продает ее на рынке с функцией спроса QD = a – bP. Параметры A, a, b
больше 1 и a > b. Любое количество труда монополия может купить по
неизменной цене. Определите, что будет с объемом спроса монополии на
труд, если увеличится значение параметра b при прочих неизменных условиях.
№ 68. Спрос на труд предъявляет единственная максимизирующая
прибыль фирма с производственной функцией Q = 150L – L2, которая может продавать любое количество своей продукции по цене Р = 1. Предло-
116
жение труда отображается функцией LS = 2w. Сколько труда наймет данная фирма?
№ 69. Фирма является монопсонистом на рынке труда. Какой спрос
она предъявит на труд и какую ставку заработной платы назначит, если
цена ее продукта на конкурентном рынке равна 3 ден. ед. за штуку? Исходные данные представлены в таблице:
Кол-во фак14 15 16 17
тора (ед.), L
Объем прод 80 87 93 98
(ед.), ТР
Общие затр 200 210 222 237
(ден.
ед.),
ТСL
18
19
20
102
105
107
257
280
305
№ 70. Спрос на труд предъявляет единственная максимизирующая
прибыль фирма с производственной функцией Q = 20L0,5, которая может
продавать любое количество своей продукции по цене Р = 100. Предложение труда отображается функцией LS = 2w. Какая цена труда установится
на рынке?
№ 71. Фирма, являющаяся монополистом на рынке блага и монопсонистом на рынке труда, имеет производственную функцию Q = 5L и
функцию спроса на свою продукцию QD = 100 – P. Предложение труда
имеет вид: LS = 0,2w – 4.
Определить:
а) сколько работников будет нанимать фирма;
б) какую ставку зарплаты фирма установит;
в) сколько единиц продукции произведет;
г) по какой цене фирма будет продавать продукцию;
д) величину максимальной прибыли.
№ 72. Фирма является монополистом на рынке данного товара и монопсонистом на рынке труда и имеет производственную функцию: Q = 4L.
Функция спроса на продукцию этой фирмы имеет вид: QD=85–P, а функция предложения труда: LS = 0,1w – 8, где w – ставка зарплаты. Определить объем выпуска и цену товара, а также ставку зарплаты и количество
используемого труда.
№ 73. Спрос на труд предъявляет единственная максимизирующая
прибыль фирма с производственной функцией Q = L/3; спрос на ее про-
117
дукцию отображается функцией QD = 60 – 4P, а предложение труда –
функцией LS = –4 + 6w. Определите объем спроса на труд и цену продукции данной фирмы.
№ 74. Фирма является совершенным конкурентом на факторном рынке и монополистом на товарном рынке. Определить объем закупки фактора при цене на труд 4 ден. ед. Данные о технологии (производственная
функция) и спросе представлены в следующей таблице:
L
Q
P
1
3
10
2
4
9
3
5
8
4
6
7
5
7
6
№ 75. Владелец столярной мастерской, производящей стулья, может
нанять дополнительных рабочих, только предложив им более высокую заработную плату. При этом автоматически повышается заработная плата
уже нанятых рабочих. Информация о ставке заработной платы, численности рабочих и объемах производства представлена в таблице:
Заработная
плата, ден.
ед./день
1000
1200
1400
1600
1800
2000
2200
Объем
Количество
производства,
рабочих
шт./день
1
10
2
19
3
27
4
34
5
40
6
46
7
49
Цена одного стула – 500 ден. ед. Предположим, что других переменных факторов производства, кроме труда, не существует.
а) Какое количество рабочих должен нанять владелец, чтобы максимизировать прибыль? Какова будет дневная ставка заработной платы?
б) Если правительство установит минимальную ставку заработной
платы 1800 ден. ед./день, какое число рабочих будет занято? Что произойдет если ставка минимальной заработной платы будет повышена до 2200
ден. ед./день?
№ 76. Фирма является монопсонистом на рынке труда. На товарном
рынке она может продавать благо в любом количестве по цене P= 45 ден.
118
ед. Данные о ставке заработной платы, численности рабочих и объемах
производства представлены в таблице:
Заработная
плата,
ден.ед./день,
w
110
130
150
170
190
210
230
Количество
рабочих, L
1
2
3
4
5
6
7
Объем
производства,
шт./день, Q
69
78
86
93
99
104
108
Определить:
а) Каким будет объем спроса фирмы на труд (L)?
б) Какую заработную плату установит фирма в состоянии равновесия
(w)?
в) Какой оптимальный для фирмы объем выпуска (Q)?
г) Какую прибыль получит фирма в состоянии равновесия (П)?
№ 77. Кривая рыночного спроса на труд отображается функцией
LD = 80 – w, а кривая рыночного предложения труда – функцией LS =
–2 + 0,25w. Определите объем безработицы (избытка на рынке труда), если рабочие образуют профсоюз с целью максимизации прибыли от продажи труда.
№ 78. Кривая рыночного спроса на труд отображается функцией
LD = 92 – 2w, а кривая рыночного предложения труда – функцией
LS = –10 + w. Определить:
а) Какой максимальной цены труда могут добиться рабочие, образовав профсоюз?
б) Каков будет объем спроса на труд, если рабочие образуют профсоюз с целью максимизации ставки зарплаты?
№ 79. Кривая спроса на труд в отрасли LD = 80 – 2w. Кривая предложения труда LS = -5 + 0,5w. На сколько изменится суммарный доход рабочих, если они образуют профсоюз?
*№ 80. Спрос на труд предъявляют 200 фирм с одинаковыми производственными функциями Q = 8L0,5, продающих свою продукцию на рын-
119
ке совершенной конкуренции при Р = 5. Предлагают труд 2000 рабочих с
одинаковыми предпочтениями относительно денег и свободного времени
U = (I + 36)0,5F0,25, где I = wL – заработная плата, F – свободное время,
равное разности между календарным временем Т = 24 и рабочим временем: F = 24 – L. Определите цену труда на этом рынке.
*№ 81. Спрос на труд предъявляют 100 фирм с одинаковыми производственными функциями Q = 2L0,5, продающих свою продукцию на рынке совершенной конкуренции при Р = 10. Предлагают труд 1000 рабочих с
одинаковыми предпочтениями относительно денег и свободного времени
U = (I + 18)0,5F0,25, где I = wL – заработная плата, F – свободное время,
равное разности между календарным временем Т = 24 и рабочим временем: F = 24 – L. Определите величину безработицы (превышение объема
предложения труда над объемом спроса) при w = 1,25.
№ 82. Технология производства фирмы, имеющей монопольную
власть при продаже своей продукции, отображается функцией Q =
L0,75K0,25 . Фирма покупает факторы производства по фиксированным ценам w = 3; r = 1. Спрос на ее продукцию отображается функцией QD
= 60 – 2P. Определить:
1. Фонд оплаты труда.
2. Общие затраты фирмы.
3. Как созданная ценность продукции будет распределена на доходы
факторов производства.
№ 83. В экономике при совершенной конкуренции используется 120
ед. труда и 20 ед. капитала. Технология производства отображается производственной функцией Q = L0,75K0,25. Определить:
1. Фонд оплаты труда при прокатной цене капитала r = 8.
2. В какой пропорции ценность произведенной продукции распределится между трудом и капиталом.
3. Как изменится пропорция распределения ценности произведенной
продукции между трудом и капиталом, если прокатная цена капитала вырастет с r = 8 до г=16.
120
РАЗДЕЛ 4. ОБЩЕЕ ЭКОНОМИЧЕСКОЕ РАВНОВЕСИЕ
И ЭКОНОМИКА БЛАГОСОСТОЯНИЯ
Типовые задачи с решениями
№ 1. Первый индивид произвел 200 ед. блага А, а второй – 240 ед.
блага В. Предпочтения индивидов относительно данных благ отображаются функциями полезности: U1  QA0,15QB0,125 , U2  QA0,225QB0,275 . Индивиды договорились о распределении блага А: QA1 = 120; QА2 = 80.
1. Сколько блага В должен получить 1-й индивид для достижения оптимального, по Парето, распределения благ?
2. При какой цене блага А рынок обеспечивает оптимальное, по Парето, распределение, если РВ = 1?
Решение:
1. Условие оптимального, по Парето, распределения
0, 5QB1 0, 25QB 2 0, 25 240  QB1 
240QA1


 QB1 
 48 .
0, 25QA1 0, 75QA 2 0, 75 200  QA1 
1200  5QA1
2. Условие равновесия потребителя:
II
M RSIA, B  M RSA
,B :
0, 5QB1
0, 5  48
P

 A  PA  0, 8 .
0, 25QA1 0, 25  120
1
Бюджет 1-го индивида 0,8120 + 48 = 144; бюджет 2-го 0,880 + 192 =
256.
0I
I

0I
tg =
1,25
Рис. 4.1. Парето-оптимальность в обмене
№ 2. Кривая производственных возможностей описывается уравнением QA  800  QB2 , а функция общественной полезности: U  QA0,25QB0,5 . Определите оптимальные объемы производства каждого блага.
Рассмотрим два способа решения.
121
Первый способ:
MRS B , A 
MU B 2Q A

QB
MU A
MRPTBA=( QA  800  QB2 )′= [ – 2 QB ]=2 QB
MRSBA=MRPTBA
QA =400
QB =20
Второй способ:
Решение:
Производственные возможности выступают в роли бюджетного ограничения при максимизации функции полезности:
  QA0 ,25 QB0 ,5    QA  800  QB2   max .



  QA  400; QB  20.
 2QB  0 


0, 25QB0 ,5

 0
QA
QA0 ,75

0, 5QA0 ,75

QB
QB0 ,5
QA
T
U
T
QB
Рис. 4.2. Оптимум в производстве и обмене
№ 3. Опрос показал, что готовность жильцов трех домов платить за
озеленение их двора выражается следующими функциями: P1 = 80 – Q;
P2 = 60 – Q; P3 = 40 – Q, где Pi – максимальная сумма денег, которую согласны заплатить жильцы i-го дома за очередное дерево. Общие затраты
на озеленение определяются по формуле TC = 10 + 2Q + 0,5Q2. Определите Парето-оптимальное число деревьев во дворе дома.
122
Решение:
Оптимальное количество деревьев определяется точкой пересечения
линий предельных затрат MC = 2 + Q и предельной общественной полезности. Последняя образуется в результате вертикального сложения графиков цен спроса жителей трех домов:
180  3Q, 0  Q  40

P  140  2Q, 40  Q  60
80  Q, 60  Q  80

Координаты точки пересечения определяются из равенства: 2 + Q =
140 – 2Q  Q =46. Приравнивание к другим участкам кривой общественной полезности дает решение, не совпадающее с соответствующими интервалами выпуска: 2 + Q = 180 – 3Q  Q = 44,5; 2 + Q = 80 – Q  Q = 39.
P
D
P
MC
Q
Рис. 4.3. Оптимальный объем выпуска общественного блага
№ 4. Готовность платить за обучение в вузе описывается функцией
P = 60 – 0,4N, где P – размер оплаты (млн ден. ед.), а N – число готовых
платить (млн чел.). Предельная внешняя выгода от образования, выраженная в деньгах, имеет вид: MU = 80 – 0,4N. Общие затраты образовательного учреждения по подготовке специалистов: TC = 20N + N2.
а) Определить величину внешнего эффекта.
б) Рассчитать число студентов, соответствующее максимуму полезности молодежи и максимуму общественной полезности.
в) Рассчитать величину платы за обучение и дотации, соответствующие максимальной общественной полезности от обучения в вузе.
Решение:
а) Величина внешнего эффекта (80 – 0,4N)-(60 – 0,4N) = 20.
б) Из равенства Р = МС число студентов будет
123
60 – 0,4N = 20 + 2N → N = 16.
Из равенства MU = МС следует, что
80 – 0,4N = 20 + 2N → N = 25.
в) (60 – 0,4*25) = 50.
(20 + 2*25) = 70.
Следовательно, величина дотации будет 20 ден. ед.
№ 5. Спрос на напитки в жестяных банках в условиях совершенной
конкуренции отображается функцией QD = 200 – 2P. Общие затраты всех
фирм на выпуск напитков соответствуют функции TCn = 2Q + 0,25Q2, а зависимость затрат на уборку городского мусора от количества купленных
напитков выражается функцией TCm = 0,2Q2. Насколько выпуск напитков
превышает общественный оптимум, когда расходы на уборку мусора финансирует муниципалитет?
Решение:
Q D  200  2 P
P  100  0,5Q
TC n  2Q  0,25Q 2
MC  TC   2  0,5Q
MC  P
2  0,5Q  100  0,5Q
Qn  98
 TC n  TC m 

 2Q  0,25Q 2  0,2Q 2  2Q  0,45Q 2
MC  TC   2  0,9Q
MC  P
2  0,9Q  100  0,5Q
1,4Q  98
Q  70

TC
Q  Q  Qn  98  70  28

№ 6. На двух взаимосвязанных рынках спрос и предложение отображаются следующими функциями:
QAD  36  3PA  2PB ; QAS  10  2PA  PB ;
QBD  40  2PB  PA ; QBS  5  PB  0, 5PA .
При каких ценах на обоих рынках одновременно устанавливается
равновесие?
124
Решение:
Уравнение линии цен частичного равновесия на рынке блага А:
36-3 PA +2 PB = -10+2 PA - PB .
Уравнение линии цен частичного равновесия на рынке блага В:
40 – 2 PB + PA = -5+ PB - 0,5 PA .
Общее равновесие достигается при:
PA =26
PB =28
№ 7. При существовании двух изолированных рынков спрос на них
отображался соответственно:
QD A= 100 – 4РA; QS A= -20 + 2РA;
QD B= 80 – 3РB;
QS B= -10 + 3РB.
Когда оба товара стали продаваться в одном и том же месте, то функции спроса и предложения приобрели следующий вид:
QD A= 100 – 4РA + 3РB; QS A= -20 + 2РA – РB;
QD B= 80 – 3РB + 2РA; QS B= -10 + 3РB – 2РA.
Определить:
а) На сколько единиц изменился объем продаж товара А?
б) Как изменились цены товаров?
Решение:
а) 100-4 PA = – 20+2 PA
80-3 PB = – 10+3 PB
PA = 20
QA = 20
PB = 15
QB = 35
80-3 PB +2 PA = – 10+3 PB -2 PA
PA =54
PB =51
QA =37
 QA =17
б)  PA =34
 PB =36
Вопросы для обсуждения
1. Проанализируйте общее и частичное равновесие. В чем сходства
и отличия?
2. Объясните, почему многие оптимальные, по Парето, распределения можно назвать несправедливыми?
125
3. Используя концепцию общего равновесия, объясните, почему совершенная конкуренция на всех рынках приводит к оптимальному, по Парето, распределению благ?
4. Дайте вашу оценку следующему утверждению:
«Если в экономике, функционирующей в условиях совершенной конкуренции, установилось общее равновесие, то достигнута Паретоэффективность, т.е. никакие изменения в производстве и распределении
не могут повысить благосостояние хотя бы одного субъекта без снижения
благосостояния других».
5. При каких условиях достигается Парето-эффективность в производстве?
6. При каких условиях достигается Парето-эффективность в обмене?
7. Что подразумевал А. Смит под интересами общества?
8. Опишите модель Вальраса.
9. Что подразумевается под внешним эффектом экономической активности субъекта?
10. Раскройте понятие «безбилетник».
Задачи
№ 1. Предположим, что экономика включает только два предприятия.
Одно из них производит товар X, другое – товар Y. На рисунке изображена диаграмма Эджуорта для двух предприятий в пространстве ресурсов
«а» и «b».
а) Предположим, что распределение ресурсов между предприятиями
характеризуется точкой B. Какое из необходимых условий
126
Парето-оптимального состояния при этом нарушается?
б) Нарисуйте три точки границы производственных возможностей.
№ 2. На рисунке изображена граница возможных благосостояний для
двух индивидуумов.
а) Укажите точки, которые являются Парето-оптимальными.
б) Укажите точки, которые являются Парето-предпочтительными по
отношению к точке A.
в) Укажите точки, которые являются Парето-предпочтительными по
отношению к точке B.
№ 3. Предположим, два потребителя живут в одном городе. Один из
продуктов они покупают по одинаковым ценам, а другой – по разным. К
нарушению какого из необходимых условий Парето-оптимальности это
может привести?
№ 4. Для двух потребителей товары X и Y служат совершенными заменителями в пропорции 1:1. Общее количество товара X – 10 ед., товара
Y – 20 ед. Первоначальное распределение товаров таково, что первому потребителю принадлежат 8 ед. товара X и 3 ед. товара Y.
Является ли это распределение Парето-оптимальным?
№ 5. Предположим, два предприятия расположены в одном городе.
Один из ресурсов они приобретают по одинаковым ценам, а другой – по
разным. К нарушению какого из необходимых условий Паретооптимальности это может привести?
127
№ 6. В хозяйстве, располагающем 24 единицами производственного
фактора F, продукция Q1 производится по технологии Q1 = 4 F , а продукция Q2 – по технологии Q2 = 2F + 3. Вывести уравнение кривой производственных возможностей.
№ 7. Производство товаров A и B описывается производственной
функцией: QА = 2KL, QВ = 0,5KL. Общий объем используемого труда –
100 ед., капитала – 60 ед.
Построить кривую производственных возможностей.
№ 8. Первый индивид произвел 120 ед. блага А, а второй – 200 ед.
блага В. Предпочтения индивидов относительно данных благ отображаются функциями полезности: U1  QA0,125QB0,15 , U2  QA0,25QB0,225 . Индивиды договорились о распределении блага А поровну.
1. Сколько блага В должен получить 1-й индивид для достижения оптимального по Парето распределения благ?
2. При какой цене блага А рынок обеспечивает оптимальное, по Парето, распределение, если РВ = 1?
№ 9. Предпочтения двух потребителей относительно благ А и В
представлены функциями полезности: U1  QA0,15QB0,125 , U2  QA0,25QB0,25 . Первый
потребитель имеет 30 ед. блага А, а второй – 120 ед. блага B. Первый потребитель хочет получить от второго 30 ед. блага B в обмен на определенное количество блага А при РВ = 3. Какую максимальную цену он может
установить на благо А?
№ 10. Предпочтения двух потребителей относительно благ А и В
представлены функциями полезности: U1  QA0,15QB0,125 , U2  QA0,275QB0,225 . Первый
потребитель имеет 150 ед. блага А, а второй – 120 ед. блага B. Первый потребитель хочет получить от второго 60 ед. блага B в обмен на определенное количество блага А при РВ = 2. Определите бюджет (ценность имеющихся благ) 1-го потребителя после обмена.
№ 11. В экономике при совершенной конкуренции производятся два
блага по технологиям QA  L A и QB  5L0B,5 при LA + LB = 500. Функция общественной полезности имеет вид U  QA0,5QB0,25 . Если цену блага А принять за
1, то чему должна быть равна цена блага В, чтобы рынок поддерживал в
экономике оптимальность по Парето?
№ 12. В экономике при совершенной конкуренции производятся два
блага по технологиям, представленным производственными функциями
128
короткого периода: QA  L0A,5 ; QB  5L0B,5 . Из общего количества трудовых
ресурсов L = 100 в данный момент в производстве блага А используется 80
ед., а в производстве блага В – 20 ед. труда. Какое количество труда перейдет из одной отрасли в другую, если потребительские предпочтения
отображаются функцией полезности U  QA0,75QB0,25 ?
№ 13. В экономике при совершенной конкуренции производятся два
блага по технологиям, представленным производственными функциями
короткого периода: QA  2L0A,5 ; QB  L0B,5 . Из общего количества трудовых
ресурсов L = 500 в данный момент в производстве блага А используется
176 ед., а в производстве блага В – 324 ед. труда. На сколько единиц изменится объем выпуска блага В, если потребительские предпочтения отображаются функцией полезности U  QA0,2QB0,8 ?
№ 14. Для производства двух благ А и В имеется 240 ед. труда и 160 ед.
капитала. Технологии производства представлены функциями QA  L0A,75 K A0,25 ;
QB  L0B,4 K B0,6 . При производстве блага А используется 16 ед. капитала, а при
производстве блага В – 144 ед. Сколько ед. труда должно быть в отрасли А,
чтобы обеспечить эффективность по Парето в производстве?
№ 15. Для производства двух благ А и В имеется 300 ед. труда и
100 ед. капитала. Технологии производства представлены функциями:
0,25
0 , 25
0 ,5
QA  L0,5
A K A ; QB  LB K B . Рабочие распределились между отраслями поровну. Сколько капитала должно быть в отраслях А и В, чтобы обеспечить эффективность по Парето в производстве?
№ 16. Кривая производственных возможностей описывается уравнением QA  450  QB2 , а функция общественной полезности U = QAQB. Определить оптимальный объем производства товара А.
№ 17. Кривая производственных возможностей описывается уравнением QA  1250  0,25QB2 , а функция общественной полезности U  QA0,25QB0,5 .
Определить оптимальный объем производства товара А.
№ 18. Кривая производственных возможностей описывается уравнением QA  128  0,25QB2 , а функция общественной полезности U  QA0,25QB0,5 .
Определить оптимальный объем производства товара В.
№ 19. В хозяйстве, состоящем из двух отраслей, спрос и предложение
представлены следующими функциями:
129
QAD
=32-3 PA +2 PB ;
D
QB =43-2 PB + PA ;
=- 10+ 2 PA – PB ;
Q = – 5+ PB – 0,5 PA .
QAS
S
B
1. При каких ценах на обоих рынках одновременно устанавливается
равновесие?
2. Является ли оно устойчивым и почему?
№ 20. На двух взаимосвязанных рынках спрос и предложение отображаются следующими функциями:
QAD  36  2 PA  3PB ; QAS  50  PA  2 PB ;
QBD  40  PB  2 PA ; QBS  45  0,5PB  PA .
1. При каких ценах на обоих рынках одновременно устанавливается
равновесие?
2. Является ли равновесие устойчивым?
№ 21. При существовании двух изолированных рынков спрос и предложение на них отображались соответственно функциями:
QDA = 64 – 4PA; QSA = – 20 + 2PA;
QDB = 56 – 3PB; QSB = – 10 + 3PB.
Когда оба товара стали продаваться в одном и том же месте, то функции спроса и предложения приобрели следующий вид:
QDA = 64 – 4PA + 2PB; QSA = – 20 + 2PA – PB;
QDB = 56 – 3PB + PA; QSB = – 10 + 3PB – 2PA.
На сколько ден. ед. повысилась цена на товар А?
№ 22. Опрос показал, что готовность жильцов трех домов платить за
озеленение их общего двора выражается следующими функциями: P1 =
20 – Q; P2 = 30 – Q; P3 = 40 – Q, где Pi – максимальная сумма денег, которую согласны заплатить жильцы i-го дома за Q-е дерево; Q – количество посаженных деревьев. Общие затраты на озеленение определяются по
формуле TC = 0,125Q2. Определите:
а) оптимальное число деревьев во дворе трех домов;
б) оптимальную сумму затрат на посадку 1-го дерева.
№ 23. Общество состоит из трех индивидуумов: A, B и C. Функции
индивидуального спроса на некоторое общественное благо имеют вид:
QА = 80 – P, QВ = 70 – P, QС = 30 – P. Предельные затраты на производст-
130
во общественного блага постоянны (не зависят от объема производства) и
равны 120 ден. ед. на каждую единицу.
а) Определить Парето-оптимальный объем производства общественного блага.
б) Если это общественное благо продавать потребителям по индивидуальным ценам, то какими они должны быть?
в) Допустим, производство общественного блага финансирует правительство за счет налогов. Каждый индивидуум платит налог в размере 40
ден. ед. за каждую единицу общественного блага. На голосование поставлен вопрос об увеличении производства общественного блага сверх Парето-оптимального объема на 5 единиц. Какими будут итоги голосования?
г) Определить равновесный объем производства общественного блага
в результате прямого голосования по принципу большинства.
№ 24. Готовность абитуриентов платить за учебу в вузах выражается
функцией P = 50 – 0,5N, где Р – сумма платы; N – число абитуриентов, тыс.
чел. Выраженная в деньгах предельная общественная полезность (внешняя
выгода) высшего образования отображается функцией MU = 70 – 0,5N, где
MU – предельная общественная полезность. Общие затраты вузов на подготовку специалистов заданы функцией TC = 10N + N2. Определите:
а) величину внешнего эффекта подготовки одного специалиста с
высшим образованием;
б) число студентов, соответствующее максимуму общественной полезности.
№ 25. Рассматривается возможность постройки автомобильного моста через реку. Предполагается, что ежемесячные затраты на содержание
моста (включая амортизацию и нормальную прибыль на вложенный капитал) составят 300000 ден. ед. Если установить плату за проезд, то ее величина будет оказывать влияние на число желающих использовать мост.
Предполагается, что функция спроса на использование моста имеет вид:
Q = 20000 – 500P, где Q – число поездок через мост в течение месяца, P –
плата за одну поездку через мост (в ден. ед.).
а) Определить, оправдано ли строительство моста с точки зрения экономической эффективности.
б) Будет ли осуществлять и финансировать данный проект какаянибудь частная фирма?
*№ 26. Функция затрат завода по производству удобрений имеет вид:
TC1 = 20 + 20Q1 + 0,5Q12. Удобрения можно продавать по цене P1 = 30.
Затраты птицефермы, использующей то же озеро, что и завод, имеют вид:
TC2 = 4 + 5Q2 + 0,4Q22 + Q12. Они растут с увеличением выпуска удобре-
131
ний. Птицеферма может продавать продукцию по цене P2 = 85. Оба предприятия стремятся к максимизации прибыли.
а) Определить объем выпуска и прибыль каждого предприятия, если
озеро – бесплатное общественное благо.
б) Птицеферма приобрела право взимать фиксированную плату с завода за каждую единицу выпуска. Какая плата будет установлена и каковы будут объемы выпуска и прибыль у фермы и завода?
в) Завод по производству удобрений приобрел право на загрязнение
озера в необходимых для него размерах. Какую фиксированную плату
птицеферма сможет предложить заводу за каждую единицу уменьшения
выпуска? Каковы будут объемы выпуска и величина прибыли?
г) Что произойдет, если завод и птицеферма объединятся в единый
комбинат?
№ 27. Спрос на жевательную резинку в условиях совершенной конкуренции отображается функцией QD = 200 – 2P. Общие затраты всех фирм
на ее выпуск соответствуют функции TCn = 4Q + 0,5Q2, а зависимость затрат на уборку тротуаров от количества купленных резинок выражается
функцией TCm = 0,25Q2. Насколько выпуск жевательной резинки превышает общественный оптимум, когда расходы на уборку мусора финансирует муниципалитет?
*№ 28. В одном из двух соседних фермерских хозяйств выращивают
кроликов, а в другом – капусту. Затраты на выращивание кроликов отображаются функцией: ТС1 = 8Q1 + 0.2Q12 – 0.05Q22, где Q1 – количество кроликов, Q2 – количество капусты. Функция затрат на выращивание капусты:
ТС2 = 10Q2 + 0.3Q22 + 0,05Q12. Оба фермера стремятся максимизировать
свою прибыль и могут продавать любое количество продукции по неизменным ценам Р1 = 28; Р2 = 15. Насколько количество выращенных в этих
условиях кроликов превышает общественно оптимальное их количество?
*№ 29. Одно из двух соседних фермерских хозяйств выращивает яблоки, а другое занято пчеловодством с целью получения меда. Пчеловодство создает для производства яблок положительный внешний эффект посредством опыления яблонь, а производство яблок для производства меда – отрицательный внешний эффект из-за применения химикатов. Поэтому затраты на выращивание яблок отображаются функцией: ТС1 =
10Q1 + 0,25Q12 – 0,15Q22, где Q1 – количество яблок, Q2 – количество меда.
Функция затрат на производство меда: ТС2 = 10Q2 + 0.2Q22 + 0,05Q12. Оба
фермера стремятся максимизировать свою прибыль и могут продавать
любое количество своей продукции по неизменным ценам Р1 = 40; Р2 =
38. Насколько количество произведенного в этих условиях меда меньше
общественно оптимального его количества?
132
ОТВЕТЫ
Раздел 1. Теория поведения потребителя
№ 1. РY=7,5; РZ = 2,5; I = 96,5.
№ 2. РX = 5; РY = 6; РZ= 3.
№ 3. QA =23; QB = 58.
№ 5. б) X1 = 2.5; X2 = 2; X3 = 1.
в) X1 = 2.75; X2 = 2.5; X2 = 2.
№ 6 Ответ: PX = 36; PY = 12.
№ 7 Ответ: PY = 6.
№ 8. Р = 20.
№ 15. I = 32.
№ 16. PX = 16;
PY = 4.
№ 17. X = 2;
Y = 4.
№ 18. MRS XZ  1 .
№ 19. X = 5;
Y = 25.
№ 24. PX = 4;
PY = 5.
№ 25. а) X = 4;
б) MRSXY = 1;
№ 26. I = 7,5.
№ 27. X = 3,3;
Y = 8,8.
№ 28. PYQY = 28.
200 .
№ 29. DX =
3PX
№ 30. DY 
70
.
PY
№ 32. ΔX = 6.
№ 33. U=10.
№ 34. Х=2.
№ 35. 4.
№ 36. P = 9.
№ 37. Р = 21.
№ 38. Р=11.
№ 39. Р=17.
№ 40. Y = 24.
№ 41 ΔX = 10; ΔY = 30.
№ 42. ΔX = 8;
ΔY = 4.
№ 44. X = 22.
№ 45. ΔX = 10; ΔY = 100.
№ 46. ΔX = 5; ΔY = 22,5.
MRSXY = 1/4.
133
№ 48. а) X1 = 10;
Y1 = 3,5; б) DY 
в) X2=10, Y2=14;
ОЭ – X  0 ,
70
PY
;
X3 =5, Y3 = 7.
Y  10,5
ЭЗ –
X  5 ,
Y  3,5
ЭД –
X  5 ,
Y  7 .
№ 49. а) X1 = 10; Y1 = 3,5.
б) X2 = 10; Y2 = 1,75.
в) X3H  14 ; Y3H  2,5 ;
Х3S=15, Y3S=2,625
по Хиксу
по Слуцкому ОЭ такой
же, как и по Хиксу
ОЭ – ΔX = 0
ΔY = -1,75
ЭЗ – X  4 ;
ЭЗ – X  5;
Y  0,875 ;
Y  10 ;
ЭД – X  4 ;
ЭД- X  5;
Y  0,75 ;
Y  0,875 .
Экв. дох. =98; экв. изм. =42. Компенс. по Хиксу – 58, по Слуцкому – 70.
№ 51. 1)X = 27; Y = 39.
2а) X= 61/3; Y = 29;
2б) X = 26; Y = 84.
3) X = 20,4; Y = 67,2.
4) ΔIкомп. = -25,2.
5) еX(Y) = 2/27.
6) e(I) = 40/39.
№ 52.
№ 53.
№ 54.
№ 55.
№ 56.
№ 57.
№ 58.
№ 59.
№ 60.
№ 61.
№ 62.
№ 63.
№ 64.
Э.Д. = -1,25.
I≥20.
I≥20.
Х=0,05I.
a) е = -0,72, е = -0,78, е = -5,4.
ΔQ = 1%.
eX(X) = -0,29.
eI = 1,43.
К нач. коорд.
eX(X) = -0,24, еX(Y) = 0,05.
eX(X) = -0,53, еX(Y) = 0,21.
eX(X) = -0,38, еX(Y) = 0,62.
eX(X) = -0,67, еX(Y) = 0,33.
134
№ 65. еX(Y) = 1.
№ 66. P = 5,3.
№ 67. P = 30.
№ 68. 150.
№ 69. 200.
№ 70. 1.
№ 71. 2.
№ 72. ΔTR = -8,37.
№ 73. e = 0,67.
№ 74. 49%.
№ 77. Q = 5; P = 2; e = -1,5; e = -1.
№ 78. Q = 9; P = 2; e = -0,88; e = -1,25.
№ 79. Q = 2500.
№ 84. w = 4; e = 5/13.
№ 85. L = 11; e = 5/11.
№ 86. X=120; w=7.
№ 87. Qа = 13; Qв = 15; L = 20,5.
№ 89. S0 = 60; C0 = 340; C1 = 272.
Раздел 2. Теория фирмы
№ 1.eQ(L) = 1,25.
№ 3. 1.
№ 4. 58.
№ 5. 1а) 20,56; 1б) 8,33; 1в) 12,5; 2) Qmax = 6811,25; MPmax = 448,33;
APmax = 396,25.
8) 1,22.
№ 6. а) 12689; б) 516,7; в) 412,5.
№ 7. а) 10;
б) 10;
в) 7,5;
г) 2,5.
№ 8. а) 11,36;
б) 6,82;
в) 8,52; г)1,7.
№ 9. APL = 2,5, APK = 2560; MPL = 1,75; MPK = 768.
№ 13. 1) 1,5; 2) 4,2.
№ 15. К = 71; L = 35,5.
№ 16. 200.
№ 17. 75.
№ 18. 2.
№ 19. а) К = 25; L = 50; б) 1250.
№ 20. 40.
№ 21. К = 20/3; L = 15.
№ 24. L= 2.
№ 25. 19%.
135
№ 33. 20.
№ 35. 152,5.
№ 37. Q=-15.
№ 38 1920.
№ 40. а) 270; б) 405; в) 1,5; г) 2; д) 81.
№ 41. а) 2160; б) 6480; в) 3;
г) 4; д) 1296.
№ 42. 11.
№ 43. а) 125; б) 9375; в) 75;
г) 100; д) 625; е) 625;
ж) 3125; з) 6250.
№ 44. а) 125; б) 1875; в) 15;
г) 20; д) 1250;
е) 156,25; ж) 625; з) 1250.
№ 45. 8.
№ 46. 30.
№ 47. 1а) 2;
1б) 5;
2а) 42;
2б) 50;
3. 1,2.
№ 48. 1а) 4; 1б) 8.
2а) 48; 2б) 64.
3) 1,25.
№ 49. 3.
№ 50. 1,5.
№ 51. 48.
№ 52. 64.
№ 53. 4.
№ 54. 2.
№ 55. 1) 2,43; 2) 1,29.
№ 56. а) 36; б) 0,05.
№ 57. 1) 20; 2) 16.
№ 58. 1) 33; 2) 20.
№ 59. 3.
№ 60. 1.
№ 61. 3.
№ 62. 5.
№ 66. а) 62; б) 684.
№ 67. а) 76; б) 1066.
№ 68. 1,14.
№ 69. 1) 22; 2) 14; 3) 1,32; 4) 1,43.
№ 70. 9,25.
№ 71. 200.
№ 72. 2.
№ 73. 1) 200; 2) -12.
№ 75. 5000.
136
№ 76. L = 9.
№ 78. Второй.
№ 79. 5055, 4817.
№ 80. 6428.6.
№ 81. 300.
№ 82. 750.
№ 83. 1336.
№ 84. 1252.
№ 85.100.
Раздел 3. Структура рынков благ и факторов
3.1. Рынок совершенной конкуренции
№ 1. 1а) 20; б) 5; в) 40;
2а) еD = -0,356; еS = 1,068;
2б) еD = -0,352; еS = 1,056.
№ 2. 23,2.
№ 3. а) Pе = 3; Qе = 9; б) RD = 40,5; RS = 10,125;
в) Р+ = 4,6; Р – = 2,6; Q’ = 7,4; г) RD э= 27,38; RS э= 6,85
д) Т = 14,8; е) ч.п.о. = 1,6;
ж) н/бремя на покуп. = 80%; н/бремя на прод. = 20%.
№ 4. Pе = 3; Qе = 9;
Р+ = 3,57; Q’ = 8,4
Т = 6.
№ 5. а) Pе = 3; Qе = 2; ; б) RD = 2; RS = 2 в) Р- = 1,5; Q’ = 0,5; ч.п.о. =
2,25; RD’ = 0,125; RS’ = 0,125.
№ 8. v = 4; V = 32; Q = 8.
№ 9. 6.
№ 10. Pе = 4; Qе = 3; а) QD = 2, б) QS =1, в случае «а».
№ 11. RD = 4,5; RS = 2,25; RD’ = 2; RS’ = 4.
№ 12. а) 750;
б) 1000;
в) 11,67.
№ 13. 165.
№ 14. 4.
№ 15. а) 400; б) 640; в) 13; г) P = 25; Q = 40; д) 260.
№ 16. 55.
№ 17. а) PА = 5; QА = 1000; б) 3125.
№ 18. 2.
№ 19. 1) 3; 2) 30.
№ 21. 1) P = 24,75; Q = 20,5; 2) 10/3.
№ 22. P1 = 62; P2 = 32; P3 = 77; P4 = 9,5; P5 = 110,75.
137
№ 23. а) 4; б)3.
№ 24. а) 1.
№ 25. а) Pе = 5; б) q = 2.
№ 26. а) Pе = 11; б) q = 3.
№ 27. а) 2; б) 114.
№ 28. 1) P = 26; Q = 140; 2) 45; 3) P = 18; Q = 180.
№ 29. 50.
№ 30. 10; 7.
№ 31. 1) 40; 2) P = 5; Q = 200.
№ 32. ΔQ = 18.
№ 33. 170.
№ 34. 3,8; 5.
3.2. Рынки несовершенной конкуренции
Монополия
№ 3. б) Q = 2,5; P = 3,5; П = 2,25.
№ 4. а) 49,75; б) 100; в) 5.
№ 5. а) P = 75; П = 32500; б) P = 80; П = 10000; в) P = 75; П = 32300.
№ 6. а) Q=100, P=35; б) П=2500.
№ 7. Rпок=45.
№ 8. ΔP = -0,8.
№ 9. Q = 170; q1 = 167,5; q2 = 2,5; P = 95.
№ 10. Q = 90; q1 = 70; q2 = 20; P = 55.
№ 11. а) 216; б) 288.
№ 12. 8,3.
№ 13. 243.
№ 14. а) 64,8; б) 1,875; в) 63,1.
№ 15. 1а) P = 70,5; Q = 39; 1б) P = 45; Q = 90;
1в) P = 64; Q =  = 15,625.52;
2)  = 169;
3) d = 12;
4) P = 73,33; Q = 33,33.
№ 16. Q = 10; Р = 60; π = 350; ΔQ = 10; Δ π = 400.
№ 17. Q1 = 18; Р = 81; Q2 = 20.
№ 20. а) q1 = 36; P1 = 32; q2 = 16; P2 = 22; П = 776;
б) P = 27; Q = 52; П = 676
№ 21. а) Р1 = 49; Р1 = 64; б) Р = 63.
№ 22. 1) Для детей 37,5 литров; для взрослых – 27,5 литров.
2) Для детей 51,25; для взрослых – 56,25.
3) На 5 литров.
№ 23. а) Q = 1; б) Q = 0;
в) Q = –1.
138
№ 24. а) 34,6;
б) Q = –2,63; в) Р = 12,3.
№ 25. 12,5.
№ 26. а) 200; б) 641.
№ 27.  = 15,625.
Монополистическая конкуренция
№ 28. Q = 26; P = 21;  = 268.
№ 29. Q = 14; P = 16.5;  = 98.
№ 31. 1) Р = 100; Q = 5. 2) Q = 1,5.
№ 32. 8.
№ 33. 375.
№ 34. 1) ΔР = -50; ΔQ = -10;
2)ΔD = 22,5
3) ΔРD = 90.
№ 35. а) Р = 60; Q = 20. б) 0,858.
№ 36. eD = -3; Rпок=50.
Олигополия
№ 37. Q1 = 14.3; Q2 = 57.
№ 38. а) 1 = 3356; 2 = 3086. б) 1 = 3500; 2 = 2450;
в) 1 = 3900; 2 = 3150.
№ 39. 16.
№ 40. Р = –11/3; Q = 5/3.
№ 41. 20.
№ 42. 1) л = 950; а = 30,625. 2) Q = 31; qл = 4; qa = 27.
№ 43. 28.
№ 44. P=14; QaS =4; Rпок=684,5.
№ 45. 1) Р = 1,75; Q = – 17,5; 2) Р = 14/3; Q = – 140/3.
№ 46. 1) Р = 72; 2)  Q = 21; 3) 882.
№ 47. 125.
3.3. Рынки факторов производства
№ 61. 1848.
№ 62. 25.
№ 64. 16.
№ 65. 160.
№ 66. 100.
№ 68. 50.
139
№ 69. 17; 13,9.
№ 70. 50.
№ 71. L = 8; w = 60; Q = 40; P = 60; П = 1920.
№ 72. L = 5; w = 130; Q = 20; P = 65.
№ 73. L = 11,1; Р= 14.
№ 74. 3.
№ 75. L = 6; w = 2000.
№ 76. L = 5; w = 190. Q = 99; П = 4396.
№ 77. 3.
№ 78. 37; 18.
№ 79. 250.
№ 80. w = 2.
№ 81. 4800.
№ 81. ФОТ=78; ТС=104; ФОТ=78, ФОК=26, МонопДоход=338.
№ 83. ФОТ=480; доля труда = 0,75%, доля капитала = 0,25%; не изменится.
Раздел 4. Общее экономическое равновесие
и экономика благосостояния
№ 8. 1) 160; 2) 4/3.
№ 9. 15.
№ 10. 360.
№ 11. 4.
№ 12. 5.
№ 13. 2.
№ 14. 80.
№ 15. 20; 80.
№ 16. 15.
№ 17. 625.
№ 18. 16.
№ 19. Pа = 25,7; Pв = 28,9.
№ 20. Pа = 4,4; Pв = 5,4.
№ 21. ΔРА = 12.
№ 22. а) 32; б) 4.
№ 23. а) 20; б) Р1 = 60; P2 = 50; P3 = 10; г) 70.
№ 24. а) 20; б) N = 24.
№ 26. а) Q1 = 10; π1 = 30; Q2 = 100; π2 = 996.
№ 27. 16.
№ 28. 10.
№ 29. 210.
140
Учебное издание
МИКРОЭКОНОМИКА
Практикум
Редактор О.А. Масликова
Подписано в печать 10.10.13. Формат 60х84 1/16.
Усл. печ. л. 8,75. Уч.-изд. л. 8,0. Тираж 510 экз. Заказ 439.
Издательство СПбГЭУ. 191023, Санкт-Петербург, Садовая ул., д. 21.
Отпечатано на полиграфической базе СПбГЭУ.
141