Производственные функции (ПФ) в управлении проектами 1

Институт инноватики. Управление инновационными программами
Производственные функции (ПФ) в управлении проектами
1. Определение и основные характеристики ПФ
А) Объект моделирования
Непосредственным объектом моделирования для ПФ являются процессы производства
продукции в реально функционирующих в течение определенного времени
хозяйственных системах.
Б) Системное описание объекта
Производственный процесс рассматривается с точки зрения преобразования ресурсов в
продукцию. Входы – потоки ресурсов различного вида, полностью или частично
используемые при производстве. Выход – готовая к реализации продукция.
Функционирующие в системе ресурсы, технология и условия организации производства
определяют потенциальные возможности и состояние процесса.
В) Цели моделирования
ПФ строится для решения определенных задач, относящихся к анализу, прогнозированию
и планированию. Применяются как самостоятельно, так и в составе более сложных
моделей.
Цель построения ПФ – анализ факторов роста или прогнозирование объема выпуска
продукции.
Г) аппарат моделирования
Y=f(x1,…,xn), где y – объемный показатель выпуска, x1,…,xn – объемные показатели
производственных ресурсов. Число факторов ПФ обычно не превышает 10. Функция f
должна быть определенной в достаточно широкой области пространства Rn и вычислимой
в области своего определения. Обычно ПФ строится подбором наиболее подходящей
функции из определенного параметрического класса F = {fa(x1,…,xn)}, где a = (a1,…,ak) –
вектор параметров.
Т.о., непосредственным аппаратом моделирования в данной концепции ПФ являются
параметрические классы вычислимых функций от n ≤ 10 переменных (в других
концепциях ПФ основная зависимость представляется в виде регрессии или задачи
математического программирования). Как правило, зависимость функции f от переменных
и параметров задается в явном виде или – реже – в виде функциональных, интегральных
или дифференциальных уравнений.
Д) идентификация и интерпретация модели
Переменные y, x1,…,xn отождествляются с показателями объемов выпуска и основных
ресурсов. Предполагается возможность спецификации параметров a1,…,ak на основе
статистических данных о выпуске и ресурсах, экспертных и др. типах данных. Метод
оценки параметров не определен однозначно и зависит от целей построения ПФ,
особенностей моделируемого процесса и исходных данных. Часто используется метод
наименьших квадратов.
2. Этапы построения ПФ
Таблица.
Этапы
(технологические Содержание этапов
операции) построения модели ПФ
1. Определение границ объекта Фирма, выпускающая продукцию Y, имеющая
управления
основной капитал K и использующая трудовой
ресурс L
2. Описание проблемной ситуации Проблема в распределении инвестиций U между K
иL
3.
Оценка
степени Ненаблюдаемые механизмы и характер взаимного
Под редакцией профессора И.Л.Туккеля
1
Институт инноватики. Управление инновационными программами
ненаблюдаемости объекта
4.
Формирование
частичных
описаний - комплексов данных
для моделирования (отображения)
объекта
5.
Задание
параметров
адекватности модели и объекта
6. Выбор математического метода
для
объединения
комплекса
данных в модель
влияния величин K и L на Y
Наблюдаемы текущие значения K и L.
Комплексы данных представлены в виде
репрезентативной выборки значений K и L за
предшествующие интервалы времени.
Модель должна описывать объект, обеспечивая
соответствие производства продукции Y на модели
и на объекте
Математическая модель объекта строится на
основе мультипликативной функции многих
переменных вида Y = aKαLβ. Для функции КоббаДугласа α+β=1
Отражение альтернатив при замене продукции в
результате НТП Y = aKαLβeλr, где λr - темп НТП
7. Добавление в модель частей,
обеспечивающих
ее
использование в процессе ПР
8. Составление алгоритма и Система линейных уравнений для нахождения а, α
программы моделирования на и β методом наименьших квадратов
ЭВМ
9. Исследование объекта на Y = aKαLβ, α+β = 1
построенной модели
3. Модели экономического развития на базе ПФ
1) Объект моделирования
Взаимодействие:
1. ПФ Y - выпуск, K - капитал.
2. Функции потребления ept, где p - цены, t - время.
3. Функции предложения труда L.
Условие: капвложения обеспечивают непрерывную полную занятость.
2) Проблемная ситуация
Альтернативы: вложения капитала в инвестиции; цен; количества рабочих мест
3) Ненаблюдаемые параметры
Тип функции связи между параметрами объекта моделирования; параметры решения
функционального уравнения связи.
4) Наблюдаемые параметры
- состояния полной занятости;
- монотонный рост выпуска;
- параметры НТП;
- рост населения, накопление капитала.
5) Параметры адекватности
Y - выпуск продукции, реальный чистый доход;
K - вложенный капитал, равновесный спрос.
6) Математический аппарат
Нелинейная мультипликативная функция связи объектов моделирования:
L = eptF(Y,K),
L - численность рабочей силы;
Y - реальный чистый доход или выпуск продукции;
K - объем капитала;
p - равновесная цена.
Свойства функции: F - непрерывная функция; первые частные производные: F по Y положительны; F по K - отрицательны; F(Y,K) → ∞ при Y→∞ и F(Y,K)→0 при Y→0.
Под редакцией профессора И.Л.Туккеля
2
Институт инноватики. Управление инновационными программами
Ограничения: Темпы убывания количеств труда и роста выпуска продукции независимы
от Y и K, L и K соответственно. С учетом этого можно сформировать систему:
1. L = Be-ptybK(1-b) при b<1.
2. Реальное потребление C = (1 - S)Y, где S - сбережения.
3. Реальное предложение труда Ls = L0et, где e - константа.
7. Результат моделирования
1. F(Y,K) = L0e(p+1)t
2. DK = SY, где символ D - дифференцирование. Условия равновесия следуют из системы:
Y = Y*e(p+1) и K = K*e(p+1),
где Y*, K* - константы, (p+1) - темп равновесного роста. Этим определяются равновесные
траектории роста выпуска продукции Y и капитала K.
3. Y = C + DK.
4. L = Ls - что соответствует полной занятости в условиях роста предложения труда (в
геометрической прогрессии).
4. Модели роста: использование НТП
Для достоверного моделирования развития современной экономики необходимо введение
специального сектора, производящего дополнительные научные и технические знания,
которые оказывают реальное воздействие на производительность труда. В этом случае
производственная функция будет иметь вид
Y=F(K,L,k,h),
где К — совокупный производственный капитал, L — совокупные производственные
затраты, k —совокупный интеллектуальный каптал, h — совокупные затраты
интеллектуального труда. Соответственно равенство Эйлера будет иметь расширенный
вид
F(K,L,k,h) = ∂F/∂K×K + ∂F/∂L×L + ∂F/∂k×k + ∂F/∂h×h,
где ∂F/∂K - равновесная процентная ставка на производственный капитал; ∂F/∂L равновесная ставка реальной заработной платы производственного персонала; ∂F/∂k равновесная процентная ставка на интеллектуальный капитал; ∂F/∂h - равновесная ставка
реальной заработной платы работников интеллектуального труда.
Разделение капитала и оплаты труда на две составляющие с разными показателями отдачи
является причиной создания специального механизма управления для интеллектуального
капитала и интеллектуального труда.
Примерами производственных функций, включающих показатели уровня знаний,
являются разработки Узавы, Ромера, Эрроу, Барро.
Г. Морби изучал связь между долей расходов на НИОКР в объеме продаж и ростом
прибыли у 800 крупнейших американских корпораций за период с 1976 по 1985 г.
Положительная корреляция была выявлена только для предприятий химической и
целлюлозно-бумажной промышленности, в машиностроении и в области вычислительной
техники. В других отраслях подобной корреляции не было обнаружено. Вывод: рост
прибыли зависит в первую очередь от других факторов, нежели затраты на исследования
и разработки.
М. Бреннер и Б. Раштон рассмотрели деятельность 54 химических компаний с 1971 по
1986 г. и пришли к выводу о наличии стратегических преимуществ, которое дает
финансирование НИОКР для предприятий, и повышение риска при отставании компании
по этому показателю от своих конкурентов. Оказалось, что у компаний с ростом выручки
выше среднего по выборке предшествующий уровень затрат на НИОКР был также выше
среднего.
3. Грилихес изучал связь между уровнем расходов на НИОКР и ростом
производительности труда в фирмах обрабатывающей промышленности США в 70-х гг.
Для анализа статистических данных по 1000 фирм использовалась производственная
Под редакцией профессора И.Л.Туккеля
3
Институт инноватики. Управление инновационными программами
функция Кобба-Дуглaca, учитывающая аккумулированные затраты на НИОКР в предыдущие годы Результирующим показателем служило изменение объема продаж или
добавленной стоимости. Выводы: затраты на НИОКР оказывают положительное влияние
на производительность труда; в структуре затрат на НИОКР наиболее важное значение
для производительности труда имеет финансирование фундаментальных исследований, на
уровне фирмы частное финансирование НИОКР более эффективно, чем государственное.
В модели Узавы (1965 г.) выделяются материальное производство и образование. Выпуск
продукции в год дописывается зависимостью
Y(t)=F(K(t),A(t)L1(t)),
где K(t) — капитал в год t; A(t) — эффективность труда; L1(t) — количество труда в
материальном секторе в год t.
Воздействие образовательного сектора проявляется через воздействие на величину A(t),
для изменения которой вводится условие
dA/dt = A(t)ƒ(L2(t)/L(t)),
где L2(t) — количество труда, занятого в образовательном секторе, L(t) — общее
количество труда в год t.
В модели Узавы предполагается, что первая производная от функции ƒ больше нуля, а ее
вторая производная меньше нуля.
Траектория изменения выпуска продукции полностью определяется распределением труда
между материальным производством и образованием, а выпуск продукции распределяется
между инвестициями и потреблением. В качестве предпочтительной траектории развития
экономики введен интегральный дисконтированный показатель душевого потребления.
Рекомендации, вытекающие из модели Узавы:
- если в начальный момент времени K(0)/A(0)L(0) меньше некоторого
сбалансированного значения, то весь выпуск инвестируется (после чего экономика
переходит в сбалансированное состояние);
- если в начальный момент K(0)/A(0)L(0) больше некоторого сбалансированного
значения, то весь выпуск потребляется (после чего экономика переходит в
сбалансированное состояние);
- в сбалансированном состоянии оптимальный рост достигается посредством
перераспределения труда и выпуска таким образом, что темп роста эффективности
труда (dA/dt/A) равен темпу роста капиталоемкости (dK/dt/K).
Статистические модели изменения валового внутреннего продукта с учетом
интеллектуального уровня общества получены в модели Барро (1991 г ), где человеческий
капитал оценивался через отношение числа учащихся к общему числу жителей страны
y(t) = 0,0302 - 0,0075 y(0) + 0,025 h0(t) + 0,0305 h1(t) - 0,119 g(t),
где y(0) — начальный уровень душевого потребления; h0(t) — степень охвата населения
начальным образованием, h1 (t) — степень охвата населения средним образованием; g(t)
— доля правительственного потребления.
Барро выполнил на базе показателей большого числа стран статистический анализ
взаимосвязи среднего уровня образования населения и валового внутреннего продукта.
В модели Эрроу (1962 г.) вводится показатель масштаба производства. Чем выше
концентрация объемов производства, тем больше показатель эффективности
t
A(t) = ∫ Υ(τ)dτ.
0
Модель П. Ромера — модель эндогенного научно-технического прогресса, основанная на
идее накопления человеческого капитала. В модели предполагается, что важнейшим
фактором экономического роста являются технологические изменения, которые
происходят благодаря целенаправленной деятельности людей; дальнейшее использование
созданных технологий не требует дополнительных затрат со стороны производителя.
Под редакцией профессора И.Л.Туккеля
4
Институт инноватики. Управление инновационными программами
Ромер разделил экономику на три сектора (рис. 1). В исследовательском секторе в
результате использования сконцентрированного в нем человеческого капитала НА и
существующего запаса знаний А получается новое знание, которое затем материализуется
в виде новых технологий. Прирост нового знания выражается формулой:
А = δНАА,
где δ — параметр научной продуктивности.
Сектор производства средств производства не располагает своим человеческим
капиталом, а оплачивает труд ученых по созданию новых технологий в первом секторе.
Плата за использование единицы человеческого капитала в исследовательском секторе
вычисляется как
ϖH = PAδA,
где РА — цена новой технологии.
После приобретения и освоения новой технологической идеи фирма второю сектора
защищает патентом свое монопольное право на ее использование и налаживает выпуск
соответствующих средств производства для фирм третьего сектора. Для производства
одной единицы оборудования расходуется η единиц конечной продукции третьего
сектора. Средства производства не продаются, а представляются в аренду за арендную
плату Р1.
В третьем секторе на основе имеющихся средств производства x1, затрат труда L и
человеческого капитала НY обеспечивается выпуск конечной продукции потребительского
назначения. Производственная функция имеет вид:
∞
Y(HY ,L, x) = HYα × Lβ × ∑ xi1-α-β,
i=1
где α и β — технологические параметры.
Изменение общего капитала всей трехсекторной системы определяется формулой:
∞
K(t) = Y(t) – C(t) = η ∑ xi,
i=1
где C(t) — агрегированная функция потребления.
Рис. 1. Блок-схема эндогенного научно-технического прогресса
Под редакцией профессора И.Л.Туккеля
5
Институт инноватики. Управление инновационными программами
Фирмы — производители конечной продукции строят свои отношения с производителями
средств производства исходя из задач максимизации прибыли (выпуск продукции минус
затраты на оборудование):
∞
∞
HYα× Lβ × ∑ xi1-α-β - ∑ Pixi → max
i=1
i=1
Отсюда обратная функция спроса на новые технологии в условиях рыночного равновесия:
Pi = (1 - α − β)ΗΥα × Lβ × xi−α−β.
Фирмы второго сектора, оплачивающие работу по созданию новых технологий в
исследовательском секторе, определяют объем выпуска продукции для третьего сектора xi
с учетом максимизации своего дохода за вычетом переменных издержек:
π = max P(x)x - rηx = max (1-α-β)HYα × Lβ × x1-α-β - rηx,
где г — норма процента на капитал.
Для любого момента времени превышение дохода над предельными издержками в
единицу времени должно покрывать процентные выплаты на величину инвестиций в
разработку новой технологии:
π(t) = r(t)PA.
Для равновесной траектории сбалансированного роста переменные A, K и Y
увеличиваются экспоненциально с одинаковой постоянной скоростью g, а величины L, HY
и среднее значение

X1-α−β = K/ηA фиксированы.
Тогда ожидаемый темп роста оценивается:
g = δHA = δH – γr, γ = α/(1−α−β)(α+β),
где Н — суммарный человеческий капитал первого и третьего секторов: γ - некоторая
постоянная, зависящая только от технологических параметров α и β.
Темп экономического роста находится в обратной зависимости от ставки банковского
процента и в прямой зависимости от величины человеческого капитала, сосредоточенного
в сфере получения нового знания.
Таким образом, сфера НИОКР влияет на экономику не только непосредственно через
новые прикладные идеи и разработки. Само ее существование является необходимым, но
недостаточным условием экономического роста, поскольку обеспечивает накопление
человеческого капитала. Не поощряя получение нового знания ради знания как такового,
вряд ли можно рассчитывать на ощутимую практическую отдачу от науки в будущем.
В модели Ромера (1986 г.) главными параметрами исследования стали знания. Он
рассматривает совокупность предприятий, характеризующихся производственной
функцией вида F (h, Н, x), где h — интеллектуальные знания предприятия. Причем
совокупные знания H равны сумме знаний предприятий. Ресурсы предприятий x характеризуются двумя видами: капитал и труд. В модели принято, что совокупность факторов
x является постоянной. Это позволяет рассмотреть влияние на выпуск интеллектуального
потенциала, для чего введена специфическая производственная функция
ƒ= kaKb,
где а и b больше нуля, а их сумма больше 1.
Выпуск предприятия распределяется на потребление и инвестиции в исследования (в
прирост знаний). На основании своей модели Ромер выполнил сравнение развития
экономики при централизованном управлении вложениями в исследования и рыночными
конкурентными вложениями.
Ромер сформулировал четыре основных признака природы экономического роста:
Под редакцией профессора И.Л.Туккеля
6
Институт инноватики. Управление инновационными программами
-
знания являются благом “без соперничества”, так как их могут использовать
одновременно многие, но фирма или индивид могут временно получать
монопольную ренту на открытия (знания);
- технический прогресс происходит благодаря деятельности людей;
- физическая деятельность допускает копирование;
- в рыночной экономике функционирует большое число фирм.
В модели Лукаса (1988 г.) в качестве факторов роста приняты L — численность рабочей
силы: k - уровень знаний работника моделируемого предприятия; k0 - уровень знании
среднего работника в cтpaнe; u(t) — доля труда в материальном производстве, К(t) —
физический каптал в год t. Введенная производственная функция имеет вид
Y = rKa(ukL)1-bk0c,
где r, a, b и с статистические параметры.
Изменение физического капитала описывается уравнением
dK(t)/dt = Y(t) - L(t)p(t), где p(t) — душевое потребление.
Управляющим фактором модели является u(t). Его величина идет на материальное
стимулирование производства, а соответственно (1 - u(t)) направляется на развитие
человеческого капитала (обучение)
dh/dt = q (1 –u(t))h(t).
Оценкой траектории развития принято интегральное дисконтированное душевое
потребление.
Среди траектории развития экономики Лукас ввел понятия равновесной и
сбалансированной траекторий. Равновесной траекторией определено развитие экономики
предприятия, при котором максимизируется функция полезности и знания работника
фирмы равняются заданному уровню знаний работающих в стране (k{t) = k0(t)).
Сбалансированной траекторией названа стратегия развития предприятия, при которой физический и человеческий капитал имеют определенные (постоянные) темпы роста.
Полная модель. При полноценном учете в производственной функции интеллектуальных
знаний необходимо предусмотреть: разделение исследовании на фундаментальные и
прикладные; наличие сектора образования; запаздывание между вложением средств в
получение знаний и повышением эффективности труда; зависимость эффективности
труда от суммы накопленных капитала и знаний, а также от текущих затрат на трудовые
ресурсы и прирост капитала; необходимость обновления капитала и знаний работников.
Реализовать весь подобный набор требований можно только в достаточно сложной
оптимизационной модели. Выделяя три сектора в функционировании фирмы, можно
сформулировать
модель
взаимодействия
фундаментальных
исследований,
технологических разработок и производства.
В секторе фундаментальных исследовании прирост новых знаний вычисляется на основе
существующего запаса знаний — V, вовлеченного объема человеческого капитала — Х и
нормативной научной продуктивности а:
dV/dt = aVX.
В секторе технологических разработок прирост научно-технического результата
пропорционален имеющемуся запасу разработок и реализации W, вовлеченного объема
человеческого капитала Y и нормативной продуктивности b:
dW/dt = (bW + cV)Y.
В секторе производства создается конечный продукт на основе имеющихся средств
производства, вовлеченного объема человеческих ресурсов Z, производительности труда
q:
H = qWZ.
Конечный продукт распределяется между тремя секторами, как X, Y, Z:
H = X+Y+Z.
Под редакцией профессора И.Л.Туккеля
7
Институт инноватики. Управление инновационными программами
В эту модель необходимо добавить влияние физического капитала на результаты
деятельности, затраты на образование, запаздывание на этапе реализации знаний и
целевую функцию.
При вероятностном описании результатов фундаментальных исследований и
технологических разработок необходимо ввести соответствующие законы распределения
для показателей продуктивности труда.
Список литературы:
1. Глухов В.В., Коробко С.Б., Маринина Т.В. Экономика знаний. - Спб.: Питер, 2003.
2. Клейнер Г.Б. Производственная функция: теория, методы, применение. - М.: Финансы и
статистика, 1986.
3. Колемаев В.А. Математическая экономика. - М.: ЮНИТИ, 2003.
Под редакцией профессора И.Л.Туккеля
8