К изучению понятия эластичности в курсе математического

Г.И. ХУДЯКОВА
К изучению понятия эластичности в курсе математического анализа для студентов
экономических специальностей
Попытка дать экономическую интерпретацию производной функции сталкивается с тем,
что студент первого курса не владеет еще в достаточной степени понятиями экономической
теории, и ему достаточно сложно воспринимать такие понятия, как предельная полезность,
предельные издержки, предельная склонность к потреблению и накоплению. Поэтому имеет
смысл использовать более абстрактные термины для того, чтобы выяснить экономический
смысл производной, термины «усилия» и «результат». Пусть непрерывная функция y=f(x)
описывает зависимость между затраченными в экономической деятельности усилиями x и
результатом этих усилий y. Тогда отношение
∆y
∆x
есть средняя эффективность усилий,
∆y
= f ′( x) можно рассматривать как предельную
∆x → 0 ∆x
прилагаемых на уровне x, а предел lim
эффективность экономического процесса f(x) на уровне усилий x. И только после такой
достаточно абстрактной интерпретации понятия производной можно привести следующие
конкретные примеры.
- Если функция y=f(x) описывает зависимость затрат y на производство продукции от объема
выпускаемой продукции x, то производная y = f ′(x) представляет собой предельные
издержки производства при объеме производства x.
- Если функция y=f(x) описывает зависимость полезности y блага от объема потребленного
человеком блага x, то производная y = f ′(x) представляет собой предельную полезность
этого блага при уровне его потребления x.
- Если функция y=f(x) описывает зависимость общей выручки y от объема продаж x, то
производная y = f ′(x) представляет собой предельную выручку при уровне продаж x.
Поскольку при описании динамики экономических процессов удобнее пользоваться не
абсолютными приращениями аргумента и функции, а их относительными приращениями, то
при анализе экономических явлений методами дифференциального исчисления предпочитают
использовать не производную функции, а эластичность функции. Поэтому в курсе
математического анализа для студентов экономических специальностей должно найтись место
для введения понятия эластичности функции, изучения ее свойств и примеров использования
этого понятия в экономической теории.
Понятие эластичности широко используется в экономической теории при анализе
зависимости спроса от доходов покупателей и цены на товар.
Определение. Эластичностью функции E x ( y ) называется предел отношения
относительного приращения функции к относительному приращению аргумента при ∆x → 0 ,
то есть
∆y
E x ( y ) = lim
∆x → 0
∆x
y
x
= lim
∆x → 0
∆y x
∆y x dy ,
x
⋅
= ⋅
= ⋅
y ∆x y lim
y dx
∆x →0 ∆x
x
(1)
⋅ y′ .
y
Экономический смысл эластичности − это процентное приращение величины показателя,
обусловленное увеличением величины на 1%.
Отмечаются следующие свойства эластичности:
- Она является безразмерной величиной.
- Эластичность произведения двух дифференцируемых функций равна сумме эластичностей
этих функций, то есть
E x (uv) = E x (u ) + E x (v) .
E x ( y) =
-
Эластичность частного двух дифференцируемых функций равна разности эластичностей
этих функций, то есть
Ученые – практикам
u
E x   = E x (u ) − E x (v) .
v
После введения понятия эластичности и изучения ее свойств целесообразно остановиться
на некоторых функциях, используемых при моделировании экономических процессов, и
эластичностях этих функций. Основополагающими факторами, влияющими на коммерческую
деятельность в условиях рыночной экономики, являются спрос и предложение товара на рынке.
Именно соотношениями между спросом D и предложением S определяются равновесие,
дефицит или перепроизводство благ. На величины D и S одновременно влияют множество
факторов (цена на товар, доход потребителя и т. д.). При математическом моделировании
анализ явления будет более простым и наглядным, если выделять и описывать влияние на
спрос и предложение каждого фактора в отдельности. Рассмотрим, например, зависимость
спроса D от цены p.
Требования к функции спроса D диктуются следующими экономическими
соображениями.
- Закон понижающего спроса (потребитель склонен покупать больше товара по низким ценам
и меньше – по высоким) требует монотонного убывания функции.
- С уменьшением цены p спрос D на товар либо неограниченно растет, либо ограничен
сверху.
- Либо существует предельная цена, при которой товар уже не пользуется спросом, либо
спрос отличен от нуля при сколь угодно высокой цене товара.
Можно предложить различные варианты моделей спроса, удовлетворяющие различным
комбинациям указанных экономических требований. Студентам можно предложить три
модели.
Линейная модель
D ( p ) = b0 − kp , где b0 > 0, k > o
характерна тем, что спрос равномерно снижается с ростом цены и существует некоторая
предельная цена, начиная с которой спрос на данный товар полностью отсутствует (Рис. 1а).
Экспоненциальная модель
D( p ) = ae − bx , где a > 0, b > 0
характерна тем, что спрос сильнее падает в области малых цен, чем в области больших, и
существует некоторый предельный спрос даже при нулевой цене на данный товар (Рис. 1б).
Гиперболическая модель
D( p) =
k
, где α > 0 ,
pα
характерна тем, что спрос сильнее падает в области малых цен, чем в области больших, и при
неограниченном уменьшении цены спрос становится бесконечно большим (Рис. 1в).
D
D
b0
a
O
а)
b0
k
p
D
O
p
б)
O
p
в)
Рис. 1
После изучения свойств соответствующих функций и построения их графиков можно
обсудить, для какого рода товаров применяется каждая из этих моделей.
Ученые – практикам
Эластичность спроса относительно цены E p (D) показывает, на сколько процентов
изменится спрос D на данный товар, если цена на него p возрастет на 1%. Согласно формуле
(1), имеем
E p ( D) =
p dD
⋅
.
D dp
Поскольку функция спроса D является убывающей, то показатель E p (D) будет всегда
отрицательной величиной. Поэтому на практике в качестве показателя ценовой эластичности
используют функцию
E p ( D) = −
p dD
⋅
,
D dp
(2)
которая всегда принимает положительные значения.
Затем можно определить эластичности E p (D) функций в трех рассмотренных моделях
спроса относительно цены.
В линейной модели
dD
′
= (b0 − kp ) = − k ,
dp
тогда по формуле (1)
E p ( D) = −
kp
b0 − kp
и с учетом (2)
E p ( D) =
В экспоненциальной модели
kp
.
b0 − kp
′
dD
= ae −bx = − abe −bx ,
dp
(
)
тогда с учетом (2) имеем
E p ( D) =
p ⋅ abe − bx
= pb .
ae −bx
В гиперболической модели
dD  k
=
dp  p α
′

αk
 = − α +1 .
p

Тогда по формуле (1) и с учетом (2) эластичность равна
p ⋅ pα α k
E p ( D) =
⋅ α +1 = α .
k
p
В экспоненциальной модели получили, что эластичность спроса относительно цены
прямо пропорционально зависит от цены на товар. В гиперболической модели эластичность
является постоянной величиной.
Далее можно построить графики зависимости эластичности от величины цены для
рассмотренных функций спроса (Рис. 2).
Направлением для дальнейшего изучения применения и использования понятия
эластичности в экономических исследованиях может быть рассмотрение функции предложения
относительно цены, функции спроса относительно дохода и изучение эластичностей этих
функций.
Ученые – практикам
Ep(D)
Ep(D)
Ep(D)
Ep(D)=pb
Ep(D)=α
O
а)
b0
k
p
O
O
p
б)
p
в)
Рис. 2
Библиографический список
1. М.С.Красс, Б.П.Чупрынов. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании. М.,
2003.
2. А.Н.Колесников. Краткий курс математики для экономистов. М., 1999.