Электоральное равновесие в модели экономического роста с

Кирилл Борисов 1
Европейский университет в Санкт-Петербурге
и Санкт-Петербургский экономико-математический институт РАН
Стефан Ламбрешт
Университет Лилль 1 (Лилль, Франция),
и Центр исследования операций и эконометрики (CORE) (Лувен-ля-Нев, Бельгия)
Тьерри Бреше
Католический университет в Лувене и
Центр исследования операций и эконометрики (CORE) (Лувен-ля-Нев, Бельгия)
Электоральное равновесие в модели
экономического роста с загрязнением
окружающей среды
1
Введение
Подавляющее большинство моделей экономического роста, учитывающих загрязнение окружающей среды, являются моделями оптимального роста, анализ в которых
ведется с точки зрения репрезентативного потребителя. Модели, в которых в явном
виду учитывается неоднородность экономических агентов, встречаются очень нечасто (см., например, Kempf and Rossignol (2007) и Jouvet et al. (2004)).
В нашей работе рассматривается модель рамсеевского типа, в которой процесс
производства ведет к загрязнению окружающей среды, а экономические агенты неоднордны по своим межвременным предпочтениям. А именно, мы предполагаем, что
имеется два типа агентов: «терепеливые» и «нетерпеливые». Вопрос о том, сколько средств тратить на очистку окружающей среды решается с помощью некоторого
условного «голосования». В рамках модели роста задача о голосовании не является одномерной. Поэтому теорему о медианном избирателе нельзя применить напрямую. Для того, чтобы преодолеть эту проблему, мы вводим понятие электоральноравновесной траектории.
Мы показываем, что для стационарных электорально-устойчивых равновесий
верна некоторая версия теоремы о медианном избирателе, а также описываем устройство и некоторые свойства таких равновесий.
1
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант N 08-06-00423.
1
2
2.1
Модель
Производство и загрязнение
Выпуск определяется с помощью неоклассической производственной функции
F (Kt , L) = Lf (kt ), где Kt — это основной капитал в периоде t (он полностью выбывает в течение одного производственного цикла), L — затраты труда, kt = Kt /L,
f (k) = F (k, 1). Выбросы Pt загрязнителей пропорциональны выпуску:
Pt = λF (Kt , L) = λLf (kt ), λ > 0.
(1)
Предельные продукты капитала и труда задают равновесные ставку процента rt и
ставку заработной платы wt : f 0 (kt ) = 1 + rt и f (kt ) − f 0 (kt )kt = wt .
Динамика показателя качества окружающей среды Qt задается соотношением
µΦ(Qt+1 ) = µ(Qt − Pt ) + Mt ,
(2)
где Mt — затраты общества на очистку окружающей среды от загрязнений. Функция
Φ0 (Q) предполагается выпуклой.
2.2
Потребители
Население состоит из нечетного числа потребителей L. Каждый потребитель наделен
одной единицей рабочей силы. Целевая функция потребителя i имеет вид
∞
X
βit [u(cit ) + v(Qt )],
(3)
t=0
где cit — его потребление в периоде t, βi — его коэффициент дисконтирования. Предполагается, что u0 (c) > 0, u00 (c) < 0, u0 (0) = ∞, v 0 (Q) > 0, v 00 (Q) < 0, v 0 (0) = ∞. Каждый
потребитель i является либо терпеливым (βi = β h ), либо нетерпеливым (βi = β l ),
0 < β l < β h < 1. Через Hh мы обозначаем множество терпеливых потребителей, а
через Hl — множество нетерпеливых потребителей.
Для финансирования затрат на очистку окружающей среды каждый потребитель
i платит одинаковый для всех аккордный налог в размере mt = Mt /L. Его сбережения sit в каждый момент времени t должны быть неотрицательными. Тем самым, его
бюджетное ограничение в момент t имеют вид
cit + sit + mt ≤ wt + (1 + rt )sit−1 , cit ≥ 0, sit ≥ 0.
(4)
Предположим, сбережения si−1 потребителя i в некоторый начальный момент времени −1 заданы. Предположим также, что заданными для данного потребителя являются начальный уровень качества окружающей среды Q0 , будущий поток загрязнений, представленный последовательностью (Pt )∞
t=0 , а также политика государства
2
по поводу затрат на очистку окружающей среды, представленная некоторой последовательностью m = (mt )∞
t=0 . В этом случае данный потребитель решает задачу о
максимизации своей целевой функции (3) при ограничениях (2) и (4).
Подчеркнем, что при решении этой задачи последовательности (Pt )∞
t=0 и m =
(mt )∞
являются
для
нашего
потребителя
заданными.
Тем
самым
последовательt=0
ность (Qt )∞
t=0 полностью для него предопределена. Значит, предопределена и та
полезность, которую он получает от качества окружающей среды, т.е. величина
P∞
t
t=0 βi v(Qt ).
2.3
Равновесные траектории и стационарные равновесия
Предположим, что политика государства по поводу затрат на очистку окружающей
среды m = (mt )∞
заданным является
t=0 является заданной. Предположим также, что
PL
L
i
некоторое начальное состояние экономики {(s−1 )i=1 , k0 , Q0 }, i=1 si−1 = k0 . В этом
случае мы естественным образом определяем равновесные траектории, исходящие из
данного начального состояния, как траектории, на которых каждый из потребителей достигает своего максиму полезности при соответствующих бюджетных ограничениях, а также в каждый момент имеет место равенство спроса и предложения на
рынках труда, капитала и выпускаемой продукции.
В случае, если политика государства m = (mt )∞
t=0 стационарна, т.е. mt =
m, t = 0, 1, ..., то естественным образом определяется и стационарное равновесие
E m = {k ∗ , 1 + r∗ , w∗ , (si∗ , ci∗ )Li=1 , P ∗ , Q∗ }. Как обычно в такого типа ситуациях (см.,
например, Becker (1980, 2006)), стационарные равновесия устроены следующим образом:
• равновесная капиталовооруженность k ∗ задается модифицированным золотым
1
∗
правилом: β h = 1+r
— равновесная ставка процента, удовлетворяющая
∗ , где r
∗
0 ∗
равенству 1 + r = f (k );
• все «нетерпеливые» потребители находятся в одинаковом положении: они не
делают никаких сбережений и всю заработную плату тратят на потребление;
• весь капитал принадлежит «терпеливым» потребителям, которые могут различаться по уровню своих доходов, поскольку распределение капитала между
ними может быть произвольным.
3
Электорально-устойчивые равновесия
Поскольку потребители в нашей модели неоднородны, можно ожидать, что их отношение к затратам на очистку окружающей среды будет различаться. В такой ситуации одним из возможных способов определения этих затрат является голосование. В
нашем случае задача голосования не является одномерной, поскольку объемы затрат
3
на очистку окружающей среды нужно определять для всех моментов времени. Поэтому непосредственное применение теоремы о медианном избирателе невозможно и
необходимо предлагать какой-то другой подход, что мы и делаем.
Возьмем какую-нибудь равновесную траекторию и при равновесных значениях
ставок процента и ставок заработной платы рассмотрим оптимальное значение задачи потребителя i о максимизации своей целевой функции (3) при соответствующих
бюджетных ограничениях как функцию Vi (m), аргументом которой которой является последовательность m = (mt )∞
t=0 , задающая политику государства, и будем счиi (m)
тать, что данный потребитель желает увеличить mt , если ∂V∂m
> 0, и уменьшить
t
∂Vi (m)
mt , если mt > 0 и ∂mt < 0. Данная траектория, рассматриваемая в совокупности
с политикой m = (mt )∞
t=0 , называется электорально-устойчивой, если ни для какого t нет большинства агентов, которые желали бы увеличения или уменьшения mt .
Естественным образом определяются и стационарные электорально устойчивые равновесия.
Мы не занимаемся вопросом о существовании и свойствах электоральноустойчивых равновесий в общем виде, а исследуем только стационарные
электорально-устойчивые равновесия. Для них справедлива некоторая версия теоремы о медианном избирателе.
Для того, чтобы объяснить смысл этой теоремы, предположим, что нам заданы
некоторая стационарная политика государства m∗ = (m∗ , m∗ , ...) и некоторое стационарное равновесие {k ∗ , 1 + r∗ , w∗ , (si∗ , ci∗ )Li=1 , P ∗ , Q∗ }, построенное при этой политике.
Зададимся вопросом, составляет ли эта политика в совокупности с данным состояние равновесия электорально-устойчивое стационарное равновесие. Для того, чтобы ответить на этот вопрос, расположим всех потребителей в порядке возрастания
их коэффициентов дисконтирования, а тех потребителей, у которых коэффициенты
дисконтирования одинаковы — в порядке возрастания их сбережений. После этого
спросим у медианного потребителя, какова, по его мнению, оптимальная политика государства по поводу затрат на очистку окружающей среды. Если он укажет на
политику m∗ = (m∗ , m∗ , ...), то наша экономика находится в состоянии электоральноустойчивого стационарного равновесия.
Качественное устройство электорально-устойчивого равновесия зависит от того,
является ли большинство потребителей «нетерпеливым» или «терпеливым». В первом случае равновесное значение показателя качества окружающей среды Q∗ , посуществу, определяется только коэффициентом дисконтирования «нетерпеливого»
потребителя. Во втором случае на качество окружающей среды оказывает влияние
не только коэффициент дисконтирования, но и равновесный уровень дохода медианного потребителя. В обоих случаях затраты на очистку могут быть нулевыми или
положительными в зависимости от параметров модели.
Нами проведен анализ сравнительной статики, показывающий, как зависит равновесное значение качества окружающей среды Q∗ от параметров модели.
Характер зависимости Q∗ от показателя совокупной производительности факторов (СПФ), отражающего уровень технологического развития экономики, имеет
перевернутую U-образную форму: при низком уровне технологического развития затраты на очистку равны нулю и рост СПФ ведет только к увеличению выпуска,
4
потока загрязнений и ухудшению качества окружающей среды, а при более высоком
уровне технологического развития рост СПФ ведет к увеличению затрат на очистку
и улучшению качества окружающей среды.
Увеличение коэффициента дисконтирования «терпеливых» потребителей ведет
к уменьшению Q∗ при низких значениях СПФ и к росту Q∗ при высоких значениях СПФ. Увеличение коэффициента дисконтирования «нетерпеливых» потребителей
приведет к росту Q∗ в случае, когда большинство потребителей «нетерпеливы», а затраты на очистку положительны.
В случае, когда большинство потребителей «терпеливы», а затраты на очистку
положительны, Q∗ монотонно-возрастающим образом зависит от доходов медианного
потребителя. Отсюда следует, что при некоторых условиях неравенство в распределении доходов отрицательно влияет на качество окружающей среды.
Интересно сравнить равновесие в нашей модели с равновесием в модели с репрезентативным потребителем. Оказывается, при естественных предположениях последняя предсказывает более высокий уровень качества окружающей среды, чем наша
модель.
В рамках нашей модели можно анализировать влияние на качество окружающей
среды некоторых макроэкономических политик. В частности, при некоторых предположениях оказывается, что увеличение государственного долга может оказать отрицательное воздействие на качество окружающей среды.
4
Литература
• Becker, R. A. (1980) ”On the long-run steady-state in a simple dynamic model of
equilibrium with heterogeneous households” Quarterly Journal of Economics, Vol.
94, pp. 375-383.
• Becker, R. A. (2006) "Equilibrium dynamics with many agents in: Dana R.-A., Le
Van, C., Mitra, T. and Nishimura, K. (Eds.) Handbook of Optimal Growth 1. Discrete
Time. Springer, 2006.
• Jouvet, P.-A., Ph. Michel and P. Pestieau (2004) “Public and private environmental
spending. A political economy approach.”, CORE Discussion Paper 2004/68.
• Kempf, H. and S. Rossignol (2007), “Is inequality harmful for the environment in a
growing economy?”, Politics and Economics, vol. 19(1), pp. 53-71
5