Числовые системы - Учебно

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Институт математики и компьютерных наук
Кафедра алгебры и математической логики
Иванов Д.И.
Числовые системы.
Учебно-методический комплекс.
Рабочая программа для студентов очной формы обучения,
направление 44.03.01 «Педагогическое образование»,
профиль подготовки «Математическое образование».
Тюменский государственный университет
2014
2
Иванов Д.И. Числовые системы. Учебно-методический комплекс. Рабочая программа для
студентов направления 44.03.01 «Педагогическое образование», профиль подготовки
«Математическое образование», форма обучения – очная. Тюмень, 2014, 18 стр. Рабочая
программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО с учетом рекомендаций
и ПрООП ВПО по направлению и профилю подготовки.
Рабочая программа дисциплины (модуля) опубликована на сайте ТюмГУ: «Числовые системы» [электронный ресурс] / Режим доступа: http://www.umk3.utmn.ru, раздел «Образовательная деятельность», свободный.
Рекомендовано к изданию кафедрой алгебры и математической логики. Утверждено директором Института математики и компьютерных наук.
ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР: Кутрунов В.Н., д.ф.-м.н., профессор
© Тюменский государственный университет, 2014.
© Иванов Д.И., 2014.
3
1. Пояснительная записка.
1.1. Цели и задачи дисциплины (модуля).
Задачей курса «Числовые системы» является логическое обоснование основных систем натуральных, целых, рациональных, действительных и комплексных чисел. Система натуральных чисел служит фундаментом, на котором строятся все другие числовые системы. Каждая из перечисленных систем является расширением
предыдущей.
Цель курса «Числовые системы» состоит в последовательном построение и
развитии основных числовых систем математики. Поэтому числовые системы целесообразно рассматривать в порядке увеличения множества содержащихся в них чисел.
Цели дисциплины:
 ознакомление студентов с историей возникновения и развития понятия
числа;
 показать взаимосвязи множеств рациональных чисел и действительных
чисел с множеством натуральных чисел;
 сформировать у студентов представление о необходимости аксиоматического построения систем натуральных, целых, рациональных, действительных чисел и комплексных чисел;
 способствовать развитию математического мышления.
Задачи изучения дисциплины:
 способствовать воспитанию у студентов математической культуры (простота, ясность, полнота устной и письменной математической речи);
 сформировать у студентов навыки построения сложных математических
структур;
 сформировать представление о важности теории числовых систем для
осуществления профессиональной деятельности.
1.2. Место дисциплины в структуре образовательной программы.
Дисциплина «Числовые системы» входит в вариативную часть профессионального цикла программы бакалавриата по направлению «Педагогическое образование».
Дисциплина «Числовые системы» базируется на знаниях, полученных в рамках
школьного курса математика и предшествующих дисциплинах: алгебра; элементарная математика.
Из курса алгебры требуется знание основных алгебраических структур: понятия группы, кольца, поля.
Данная дисциплина тесно связана с историей математики. Знание основных
этапов развития понятия о числе способствует изучению теории.
Дисциплина «Числовые системы» имеет методологическое значение. В ней
обосновывается «законность» применения известных из курса элементарной математики свойств арифметических операций над числами.
4
После ее изучения становится понятным, почему можно применять метод математической индукции при доказательстве утверждений.
Знание дисциплины может быть использовано при изучении предмета: практикум по решению задач.
Таблица 1.
Разделы дисциплины и междисциплинарные связи с обеспечиваемыми (последующими) дисциплинами.
№
п/п
1.
2.
Наименование обеспечиваемых (последующих) дисциплин
Элементарная математика
Алгебра
Темы дисциплины необходимые для изучения обеспечиваемых (последующих) дисциплин
1.1
1.2
2.1
2.2
3.1
3.2
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
1.3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения данной образовательной программы.
В результате освоения ОП выпускник должен обладать следующими компетенциями:
владеет культурой мышления, способен к обобщению, анализу, восприятию информации, постановке цели и выбору путей её достижения (ОК-1);
способен логически верно устную и письменную речь (ОК-6);
способен использовать систематизированные теоретические и практические знания гуманитарных, социальных и экономических наук при решении социальных и профессиональных задач (ОПК-2);
способен реализовывать учебные программы базовых и элективных курсов в различных образовательных учреждениях (ПК-1).
1.4. Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине (модулю):
В результате освоения дисциплины обучающийся должен:

Знать: основные числовые системы и связи между ними.

Уметь: работать с математической литературой Решать задачи вычислительного и теоретического характера в области математики.

Владеть: математическими методами при решении профессиональных задач.
2. Структура и трудоемкость дисциплины.
Семестр – восьмой. Форма промежуточной аттестации зачет. Общая трудоемкость дисциплины составляет 2 зачетные единицы, 72 академических часа, из них 45,9
часов, выделенных на контактную работу с преподавателем, 26,1 часа, выделенных на
самостоятельную работу.
5
Таблица 2.
Вид учебной работы
Всего часов
Контактная работа со студентами
Аудиторные занятия (всего)
В том числе:
Лекции
Практические занятия (ПЗ)
Семинары (С)
Лабораторные работы (ЛР)
Иные виды работ
Самостоятельная работа (всего)
Вид промежуточной аттестации (зачет, экзамен)
Общая трудоемкость
час.
зач. ед.
45,9
44
22
22
1,9
26,1
зачет
72
2
3. Тематический план
Таблица 3.
Лекции
недели семестра
Тема
1
1.1
.
1.2
.
2.1
.
2.2
.
3.1
.
3.2
.
2
Модуль 1
Количественная теория
натуральных чисел.
Аксиоматическая теория
натуральных чисел.
Всего*
Модуль 2
Система целых чисел.
Система рациональных
чисел.
Всего*
Модуль 3
Система действительных
чисел.
Система комплексных чисел.
Всего*
3
4
Самостоятельная работа*
Виды учебной работы и
самостоятельная работа, в
час.
Семинарские (практические)
Лабораторзанятия*
ные работы
№
Ит Из
ого них
чав
сов инпо тер
те акме тив
ной
фо
рме
Итого
количество
баллов
5
7
8
9
10
1–2
3
3
4
10
2
0 – 15
3–4
3
3
5
11
2
0 – 15
6
6
9
21
0 – 30
5–6
4
4
4
12
0 – 15
7-8
4
4
5
13
8
8
9
25
9
4
4
5
13
10 – 11
4
4
5
13
0 – 20
8
8
10
26
0 – 40
6
2
0 – 15
0 – 30
2
0 – 20
Итого (часов, баллов)*:
22
Из них часов в интерактивной форме
22
28
0–
100
72
8
8
* - с учетом иных видов работ
4. Виды и формы оценочных средств в период текущего контроля
Таблица 4.
Модуль 1
1.1.
1.2.
Всего
Модуль 2
2.1.
2.2.
Всего
Модуль 3
3.1.
3.2.
Всего
Итого
Итого количество баллов
реферат
тест
Компьютерное
моделирование
Письменные работы
контрольная работа
ответ на
семинаре
дискуссии
Устный опрос
собеседование
№ темы
0-5
0-5
0-10
0-10
0-5
0-15
0-5
0-5
0 – 15
0 – 15
0 – 30
0-5
0-5
0-10
0-10
0-5
0-15
0-5
0-5
0 – 15
0 – 15
0 – 30
0-10
0-10
0-20
0-40
0-10
0-5
0-15
0-45
0-10
0 – 20
0 – 20
0 – 40
0 – 100
0-5
0-5
0-5
5. Содержание дисциплины.
Модуль 1.
Тема 1.1. Количественная теория натуральных чисел. Эквивалентные множества.
Кардинальные числа и действия над ними. Конечные и бесконечные множества. Натуральное число как эквивалент класса равномощных конечных непустых множеств.
Упорядоченность множества натуральных чисел. Операции на множестве натуральных
чисел.
Тема 1.2. Аксиоматическая теория натуральных чисел. Система аксиом Пеано.
Сложение и умножение натуральных чисел. Свойства операций. Отношение порядка на
множестве натуральных чисел. Независимость, категоричность и непротиворечивость
системы аксиом натуральных чисел.
7
Модуль 2.
Тема 2.1. Система целых чисел. Расширение системы натуральных чисел. Кольцо
целых чисел. Категоричность и непротиворечивость системы аксиом целых чисел.
Свойства целых чисел.
Тема 2.2. Система рациональных чисел. Основные понятия. Построение модели.
Категоричность и непротиворечивость системы аксиом рациональных чисел. Свойства
рациональных чисел.
Модуль 3.
Тема 3.1. Система действительных чисел. Основные понятия. Построение модели.
Категоричность системы аксиом действительных чисел. Непрерывность поля действительных чисел. Свойства действительных чисел.
Тема 3.2.. Система комплексных чисел. Построение модели. Категоричность и
непротиворечивость системы комплексных чисел. Алгебраическая форма комплексных
чисел. Тригонометрическая форма комплексных чисел.
6. Планы семинарских занятий.
Модуль 1.
Тема 1.1. Количественная теория натуральных чисел. Эквивалентные множества.
Кардинальные числа и действия над ними. Конечные и бесконечные множества. Натуральное число как эквивалент класса равномощных конечных непустых множеств.
Упорядоченность множества натуральных чисел. Операции на множестве натуральных
чисел.
Тема 1.2. Аксиоматическая теория натуральных чисел. Система аксиом Пеано.
Сложение и умножение натуральных чисел. Свойства операций. Отношение порядка на
множестве натуральных чисел. Независимость, категоричность и непротиворечивость
системы аксиом натуральных чисел.
Модуль 2.
Тема 2.1. Система целых чисел. Расширение системы натуральных чисел. Кольцо
целых чисел. Категоричность и непротиворечивость системы аксиом целых чисел.
Свойства целых чисел.
Тема 2.2. Система рациональных чисел. Основные понятия. Построение модели.
Категоричность и непротиворечивость системы аксиом рациональных чисел. Свойства
рациональных чисел.
8
Модуль 3.
Тема 3.1. Система действительных чисел. Основные понятия. Построение модели.
Категоричность системы аксиом действительных чисел. Непрерывность поля действительных чисел. Свойства действительных чисел.
Тема 3.2. Система комплексных чисел. Построение модели. Категоричность и непротиворечивость системы комплексных чисел. Алгебраическая форма комплексных
чисел. Тригонометрическая форма комплексных чисел.
7. Темы лабораторных работ (Лабораторный практикум).
Не предусмотрены
8. Примерная тематика курсовых работ
Не предусмотрены
9. Учебно-методическое обеспечение и планирование самостоятельной
работы студентов.
Таблица 5.
№
Модули и темы
Модуль 1
1.1 Количественная теория
натуральных чисел.
Аксиоматическая теория
натуральных чисел.
Всего по модулю 1*
Модуль 2
2.1 Система целых чисел.
2.2 Система рациональных
чисел.
1.2
Всего по модулю 2*
Модуль 3
3.1 Система действительных
чисел.
3.2
Система
чисел.
комплексных
Виды СРС
обязательные
дополнительные
Проработка
лекций, работа
с литературой,
решение
типовых задач.
Проработка
лекций, работа
с литературой,
решение
типовых задач.
Проработка
лекций, работа
с литературой,
решение
типовых задач.
Подготовка
рефератов,
составление задач.
Чтение дополнительной литературы.
Знакомство
с содержанием электронных
источников.
Неделя
семестра
Объем
часов
1–2
4
3–4
5
0-10
9
0-10
4
5
0-5
0-5
9
0-10
5–6
7–8
9
5
10 – 11
5
Колво
баллов
0-10
9
Всего по модулю 3*
ИТОГО*
* - с учетом иных видов работ
10
28
0-10
0-30
10.Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации
по итогам освоения дисциплины (модуля).
10.1 Перечень компетенций с указанием этапов их формирования в процессе освоения образовательной программы (выдержка из матрицы компетенций):
10
Основы общей педагогики*
Алгебра
Геометрия
Математический анализ
Индекс
компетенции
+
+
+
+
ОК -6
+
+
+
ОПК-2
+
+
ПК-1
+
+
+
Циклы, дисциплины (модули)
учебного
плана ООП
бакалавра
+
ОК-1
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Дифференциальные уравнения и уравнения с
частными производными
3 семестр
Возрастная психология*
Иностранный язык в профессиональной сфере*
Математический анализ
+
Геометрия
+
Алгебра
2 семестр
Основы дидактики*
Естественнонаучная картина мира*
Иностранный язык в профессиональной сфере*
Иностранный язык*
Математический анализ
Геометрия
1 семестр
Алгебра
Иностранный язык в профессиональной сфере*
Иностранный язык*
Иностранный язык в профессиональной сфере*
Иностранный язык*
Культура речи*
Б.1-Б3. Дисциплины (модули)
4 семестр
+
+
+
+
ОК-1
+
+
+
+
+
ОК -6
+
+
+
+
ОПК-2
+
+
+
ПК-1
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Практикум по решению математических. задач
Практикум по решению математических задач
Дискретная математика
6 семестр
Системы компьютерной математики
Методика обучения и воспитания*
Экономика образования*
Элементарная математика я
Теория функций комплексного переменного
Практикум по решению математических. задач
5 семестр
Методика обучения и воспитания*
Основы математической обработки информации*
+
Философия*
Элементарная математика
Теория функций действительного переменного
4 семестр
Теория вероятностей и математическая статистика
Методика обучения и воспитания*
Циклы, дисциплины (модули)
учебного
плана ООП
бакалавра
Педагогическая психология*
Математический анализ
Индекс
компетенции
Элементарная математика
Б.1-Б3. Дисциплины (модули)
7 семестр
8 семестр
12
8 семестр
Педагогическая практика
Учебная практика
6 семестр
Педагогическая практика
Педагогическая практика
5 семестр
Учебная практика
4 семестр
Педагогическая практика
Индекс
компетенции
2 семестр
Учебная практика
Циклы, дисциплины (модули)
учебного
плана ООП
бакалавра
Б.6. Итоговая государственная аттестация
ОК-1
8 семестр
Выпускная квалификационная работа
Б.5. Учебная и производственная практики
+
ОК -6
ОПК-2
ПК-1
+
+
+
+
+
+
+
* - дисциплина относится к базовой части.
13
10.2 Описание показателей и критериев оценивания компетенций на различных этапах их формирования, описание шкал оценивания:
Таблица 7.
Карта критериев оценивания компетенций
Код компетенции
Критерии в соответствии с уровнем освоения ОП
пороговый
(удовл.)
61-75 баллов
базовый (хор.)
76-90 баллов
ОК-1
Знает: основы тео- Знает: способы акрии числовых си- сиоматического
стем.
построения основных числовых систем.
Умеет: решать за- Умеет: доказывать
дачи по теории утверждения теочисловых систем.
рии числовых систем.
ОК-6
Владеет: термино- Владеет: разными
логией теории чис- способами
предловых систем.
ставления информации из теории
числовых систем.
Знает: воспроизво- Знает: имеет преддит основные свой- ставление об аксиства числовых си- оматическом метостем.
де в математике.
Умеет: аргументировано обосновать
основные положения теории числовых систем.
Умеет: аргументирует выбор формы
метода математической индукции
при решении задач.
повышенный
(отл.)
91-100 баллов
Знает: устанавливает
связи между основными идеями числовых систем и другими математическими
теориями.
Умеет:
оценивает
различные методы
решения задачи и
выбирает оптимальный.
Владеет: профессиональным
языком
теории числовых систем.
Знает: понимает широту и ограниченность
применения
теории числовых систем к исследованию
процессов и явлений
в природе.
Умеет: обосновывает
решения школьных
задач с применением
теории числовых систем.
Виды
занятий
(лекции,
семинар
ские,
практические,
лабораторные)
Лекции,
практические
занятия
Оценочные
средства
(тесты,
творческие
работы,
проекты и
др.)
Контрольные
работы, тесты,
домашние
задания.
Лекции,
практические
занятия
Контрольные
работы, тесты,
домашние
задания.
Владеет: термино- Владеет: способен
логией теории чис- представлять зналовых систем.
ния в математической форме.
ПК-1
ОПК-2
Знает: способы по- Знает: способы построения числовых строения числовых
систем.
систем и умеет их
применять на практике.
Умеет: разработать
исследовательские
задания на материале школьного курса математики.
Владеет: способностью организовать
локальную исследовательскую деятельность учащихся.
Знает: способы аксиоматического построения числовых
систем.
Умеет: сформулировать цель, гипотезу, предложить
пути решения задачи.
Владеет: способностью оценить полученные результаты и наметить пути
дальнейшего
исследования.
Знает: свойства системы аксиом Пеано и умеет их применять на практике.
Умеет:
выделять
главные смысловые
аспекты в доказательстве утверждений теории числовых систем.
Владеет методами
решения школьных
задач с применением теории числовых
систем.
Умеет: распознавать ошибки в рассуждениях о свойствах объектов теории числовых систем.
Владеет: методами
доказательства
утверждений теории числовых систем.
Владеет:
способен
передавать результат
проведенных исследований в виде конкретных рекомендаций в терминах теории числовых систем.
Знает: темы, связанные с теорией числовых систем, и
подходящие для разработки исследовательских проектов.
Умеет: выбрать тему
исследовательского
проекта.
Лекции,
практические
занятия
Контрольные
работы, тесты,
домашние
задания.
Лекции,
практические
занятия
Контрольные
работы, тесты,
домашние
задания.
Владеет: основами
организации работы
над проектом.
Знает: методы решения типовых задач
по темам «свойства
арифметических
операций в множестве
натуральных
чисел» и умеет их
применять на практике.
Умеет:
применять
методы теории числовых систем в незнакомых ситуациях.
Владеет: способностью проявить свою
компетентность
в
теории числовых систем в различных
ситуациях.
15
10.3 Типовые контрольные задания или иные материалы, необходимые для оценки
знаний, умений, навыков и (или) опыта деятельности, характеризующей этапы формирования компетенций в процессе освоения образовательной программы.
Вариант контрольной работы:
1. Удовлетворяют ли системе аксиом Пеано множества:



Однозначных натуральных чисел;
Отрицательных целых чисел;
N 2 k  2,4,6,8,...,2k ,....
2. Методом математической индукции докажите справедливость следующих
утверждений:



a, b, c  N a  c  b  c  a  b ;
a, b, c  N a  b  a  c  b  c ;
a, b, c  N a  bc  ac  bc .
3. Если в последовательности натуральных чисел а  непосредственно следует
за а , то а   1  а и а   а  1. Доказать.
Темы рефератов:
1. История формирования представлений о числе.
2. Метод математической индукции.
3. Аксиоматический метод в математике.
4. Упорядоченные кольца.
5. Упорядоченные множества.
6. Систематические дроби как аппарат для представления действительных чисел.
7. Конечные и бесконечные цепные дроби.
Вопросы к зачету:
1. Эквивалентные множества.
2. Кардинальные числа. Действия над ними.
3. Бесконечные и конечные множества.
4. Натуральное число как эквивалент класса равномощных конечных непустых
множеств.
16
5. Упорядоченность множества натуральных чисел.
6. Операции на множестве натуральных чисел.
7. Аксиоматическая теория натуральных чисел. Система аксиом Пеано.
8. Сложение натуральных чисел. Простейшие свойства натуральных чисел.
9. Умножение натуральных чисел. Свойства операции умножения.
10. Отношение порядка на множестве натуральных чисел.
11. Независимость, категоричность и непротиворечивость системы аксиом натуральных чисел.
12. Расширение системы натуральных чисел. Кольцо целых чисел.
13. Упорядоченность кольца целых чисел.
14. Свойства целых чисел.
15. Категоричность и непротиворечивость системы аксиом целых чисел.
16. Расширение системы целых чисел. Поле рациональных чисел.
17. Свойства рациональных чисел.
18. Категоричность и непротиворечивость системы аксиом рациональных чисел.
19. Поле действительных чисел.
20. Непрерывность поля действительных чисел.
21. Категоричность и непротиворечивость системы аксиом действительных чисел.
22. Основные понятия. Построение поля комплексных чисел.
23. Алгебраическая форма комплексных чисел.
24. Тригонометрическая форма комплексных чисел.
25. Категоричность и непротиворечивость системы комплексных чисел.
10.4 Методические материалы, определяющие процедуры оценивания знаний,
умений, навыков и (или) опыта деятельности характеризующих этапы формирования компетенций.
Текущая аттестация:
 контрольные работы; В семестре проводятся контрольные работы (на семинарах).
Промежуточная аттестация:
 зачет (письменно-устная форма). Зачет выставляется после решения всех задач контрольных работ и выполнения самостоятельной работы.
Текущий и промежуточный контроль освоения и усвоения материала дисциплины
осуществляется в рамках рейтинговой (100-бальной) системы оценок.
17
11.
Образовательные технологии.
При организации самостоятельной работы применяются технологии проблемного
обучения, проблемно-исследовательского обучения (в частности, при самостоятельном
изучении теоретического материала), дифференцированного обучения, репродуктивного обучения, проектная технология, а также современные информационные технологии
обучения.
В процессе проведения аудиторных занятий используются следующие активные и
интерактивные методы и формы обучения: проблемное практическое занятие, работа в
малых группах, дискуссия, самостоятельная работа с учебными материалами, представленными в электронной форме, защита проектов.
12. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
(модуля).
12.1 Основная литература:
1. Вся высшая математика: учеб. для студ. втузов : в 7 т./ М. Л. Краснов [и др.]. Москва: УРССТ. 7: Теория чисел; Общая алгебра; Комбинаторика; Теория
Пойа; Теория Графов; Паросочетания; Матроиды. - 2006. - 208 с.
2. Смолин, Ю.Н. Числовые системы : учебное пособие / Ю.Н. Смолин. - М. :
Флинта, 2009. - 112 с. - ISBN 978-5-9765-0794-4 ; То же [Электронный ресурс]. - URL: http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=54576 (27.12.2014).
12.2 Дополнительная литература:
1. Гонин, Е.Г. Теоретическая арифметика / Е.Г. Гонин. - М. :
Государственное учебно-педагогическое издательство, 1959. - 233 с. ISBN
978-5-4458-5175-2
;
То
же
[Электронный
ресурс].
URL:http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=222255 (27.12.2014).
12.3 Интернет-ресурсы:
1.
Электронная библиотека Попечительского совета механико-математического факультета Московского государственного университета http://lib.mexmat.ru
2. eLIBRARY – Научная электронная библиотека (Москва) http://elibrary.ru
13. Перечень информационных технологий, используемых при осуществлении образовательного процесса по дисциплине (модулю), включая перечень программного обеспечения и информационных справочных систем (при необходимости).
1.
2.
3.
Microsoft Word.
Microsoft Excel.
Microsoft PowerPoint.
18
14. Технические средства и материально-техническое обеспечение дисциплины (модуля).
Учебные аудитории для проведения лекционных и практических занятий, в частности, оснащенные интерактивной доской и/или проектором.
15. Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины
(модуля).
Для более эффективного освоения и усвоения материала рекомендуется ознакомиться с теоретическим материалом по той или иной теме до проведения семинарского
занятия. Работу с теоретическим материалом по теме с использованием учебника или
конспекта лекций можно проводить по следующей схеме:
- название темы;
- цели и задачи изучения темы;
- основные вопросы темы;
- характеристика основных понятий и определений, необходимых для усвоения
данной темы;
- список рекомендуемой литературы;
- наиболее важные фрагменты текстов рекомендуемых источников, в том числе
таблицы, рисунки, схемы и т.п.;
- краткие выводы, ориентирующие на определенную совокупность сведений, основных идей, ключевых положений, систему доказательств, которые необходимо усвоить.
В ходе работы над теоретическим материалом достигается
- понимание понятийного аппарата рассматриваемой темы;
- воспроизведение фактического материала;
- раскрытие причинно-следственных, временных и других связей;
- обобщение и систематизация знаний по теме.
При подготовке к экзамену рекомендуется проработать вопросы, рассмотренные
на лекционных и практических занятиях. и представленные в рабочей программе, используя основную литературу, дополнительную литературу и интернет-ресурсы.
19