Математические утверждения и их структура

Российская Федерация
Федеральное агентство по образованию
ГОУ ВПО
«Орловский государственный университет»
Факультет документоведения и педагогического образования
Кафедра методики начального обучения
Математика
Специальность: 050708 Педагогика и методика
начального образования,
Квалификация: учитель начальных классов
Составители:
профессор, к.п.н. Л.Б. Шалева
Орел – 2006
Требования
к
обязательному
минимуму
содержания
основной
образовательной программы подготовки учителя начальных классов по
специальности 050708 Педагогика и методика начального образования
Множество -
основное понятие курса математики. Математические
утверждения и их структура. Бинарные отношения и их свойства. Отношения
эквивалентности и разбиение множества на классы – основной подход к
построению множества целых неотрицательных чисел.
Аксиоматическое
построение множества натуральных чисел. Теория чисел – основа вычислительных
действий.
Расширение множества целых неотрицательных чисел. Рациональные и
действительные числа. Геометрическая интерпретация множества действительных
чисел. Функции, уравнения, неравенства.
Величины и их измерение. Различные подходы к введению аддитивноскалярных величин. Величины, изучаемые в начальной школе. Единицы измерения
величин.
Геометрические
величины,
определение, свойства и признаки.
изучаемые
в
начальной
школе,
их
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Существенное изменение структуры начальной школы в связи с введением
обучения шестилетних детей требует повышения уровня профессиональной
подготовки учителей начальных классов. Решение этих задач предполагает и
уточнение содержания математической подготовки учителей на факультетах
педагогики и методики начального обучения.
Целью курса математики является обеспечение студентов этих факультетов
необходимой математической подготовкой для успешного обучения и воспитания
младших школьников, для дальнейшей работы по углублению и расширению
математических знаний.
Основные задачи изучения математики состоят в том, чтобы:
— раскрыть студентам мировоззренческое значение математики, углубить их
представления о роли и месте математики в изучении окружающего мира;
— дать студентам необходимые математические знания, на основе которых
строится начальный курс математики, сформировать умения, необходимые для
глубокого овладения его содержанием;
— способствовать развитию мышления;
— развивать умения самостоятельной работы с учебными пособиями и
другой математической литературой.
Указанные цели и задачи в основном определяют содержание данного курса
математики. Реализация этих целей требует усиления практической, прикладной
его направленности.
Стержнем, базисными понятиями начального курса математики являются:
неотрицательное число, операции над целыми неотрицательными числами,
величины и их измерения. Поэтому в курсе математики они должны занимать
центральное место. Причем число должно рассматриваться с различных позиций
(порядковое, количественное, мера величины, компонент вычислений).
Формирование понятия числа, понятия величины требует от студентов
осознанного владения рядом общих математические понятий, таких, как
множество, отношение, функция и др. Следовательно, курс математики должен
своевременно рассматривать эти понятия. Исходя из обозначенных целей,
необходимо также познакомить студентов с идеей расширения понятия числа, с
рациональными и действительными числами.
Сказанное определяет основное содержание курса математики, который
условно может быть разделен на отдельные части (разделы):
1. Общие понятия.
2. Целые неотрицательные числа.
3. Расширение понятия о числе.
4. Функции, уравнения неравенства.
5. Геометрические преобразования.
6. Аналитическая геометрия на плоскости.
7. Величины и их измерения.
Целью изучения раздела «Общие понятия» является формирование понятий,
применяемых при рассмотрении остальных разделов курса, в первую очередь
раздела "Целые неотрицательные числа». К их числу относятся понятия
множества, отношения, некоторые логические понятия, а также представления об
алгоритмах. Изучение этого раздела целесообразно разделить на темы:
«Множества
и
операции
над
ними»,
"Соответствия»,
«Элементы
комбинаторики и теории вероятностей», «Математические утверждения и их
структура", «Алгоритмы».
В
начальных
классах
происходит знакомство
учащихся
с самыми
разнообразными отношениями между различными объектами, с зависимостью
между, величинами. Познакомить студентов с общим понятием отношения,
научить их классифицировать отношения, определять их свойства — задачи
изучения темы «Соответствия».
Элементы комбинаторики изучаются с опорой на теоретико-множественные
понятия, причем среди задач, решаемых на практических занятиях, должны быть
задачи комбинаторного характера из учебников математики для начальных
классов. Изложение теории вероятностей ведется на базе рассмотрения задач
практического содержания.
Тема «Математические утверждения и их структура» включает материал,
изучение которого должно способствовать совершенствованию логической
грамотности студентов. Здесь рассматривается логическая структура различных
предложений и простейших рассуждений, используемых в математике.
Материал второго раздела программы "Целые неотрицательныe числа" важен
как в профессиональном отношении, так и в плане математического развития
студентов — при изучении данного раздела студенты углубляют свои знания о
различных подходах к числу и знакомятся с примером аксиоматического
построения теории. Изучение этого раздела целесообразно начинать с теоретикомножественного построения множества целых неотрицательных чисел, что
больше соответствует тому подходу, который принят в школьное курсе. Кроме
того, создается возможность применения знаний, полученных при изучении
первого раздела. После этого рассматриваются аксиоматическое построение
множества целых неотрицательных чисел и натуральное число как результат
измерения величины.
При изучении темы «Системы счисления» основное внимание должно быть
обращено на особенности десятичной системы счисления и алгоритмы действии
над числами в этой системе.
Изучение темы «Делимость чисел» связана с решением двух задач. Первая —
дать обоснование тем вопросам, которые необходимы учителю для понимания
ряда приемов вычислений, изучаемых в начальных классах, и вторая — обобщить
знания студентов о делимости чисел, полученные ими ранее.
Задачи изучения радела «Расширение понятия о числе» — обобщить и
углубить знания студентов о целых, рациональных и действительных чисел,
показать перспективу использования в курсе математики средней школы понятия
целого неотрицательного числа и операций над такими числами. В ходе изучения
данного раздела следует обратить внимание на его прикладную направленность
— действия с дробями, правила округления и действия с приближенными
числами.
Задачей изучения раздела «Функции, уравнения, неравенства» является
обобщение знаний студентов полученных ими в курсе математики средней
школы. Обобщение идет на материале тем «Множества и операции над ними" и
«Математические утверждения и их структура» Теоремы о равносильности
уравнений и неравенств с одной переменной доказываются. Особое внимание
должно быть обращено на правильное употребление студентами терминов
«числовое выражение», «выражение с переменной», «числовое равенство»,
«уравнение», «неравенство с переменной».
Изучение раздела «Геометрические преобразования» имеет целью не только
обобщить и систематизировать геометрические знания и умения, но и дать
глубокие
теоретические
знания
по
геометрическим
преобразованиям
с
формированием навыков геометрических построений у будущих учителей
начальной школы.
Изучение раздела «Аналитическая геометрия на плоскости» способствует
усилению практической, прикладной направленности данного курса математики.
В начальном курсе математики принят физический взгляд на понятие
величины: величины рассматриваются как свойства объектов реального мира. В
связи с этим в разделе «Величины и их измерение» изучение величин должно
проходить на той же основе. Аксиоматическое определение скалярной величины
может быть дано на заключительном этапе изучения данного раздела. Включение
в
программу
таких
величин,
как
масса
и
время,
диктуется
целями
профессиональной подготовки учителя начальных классов.
При выборе той или иной последовательности изучения тем курса
необходимо учитывать распределение часов не только по разделам, но и по
семестрам - в каждом из них должна изучаться логически завершенная часть
материала.
Время проведения контрольных работ и коллоквиумов включено в число
часов, отведенных на проведение практических занятий.
Тематика контрольных работ и коллоквиумов приведена в программе по
каждому разделу.
ПРОГРАММА
1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ
Множество – основное понятие курса математики
Понятие множества. Элемент множества. Пустое множество. Примеры конечных
и бесконечных множеств. Способы заданий множеств. Равные множества.
Подмножество. Универсальное множество. Круги Эйлера.
Пересечение, объединение множеств, разность двух множеств. дополнение до
универсального. Декартово произведение множеств Законы операций над
множествами.
Понятие разбиения множества на попарно непересекающиеся подмножества
(классы). Разбиение множества на классы с помощью одного, двух, трех свойств.
Соответствия
Соответствия между элементами множеств. Граф и график соответствия. Взаимно
однозначное отображение множества на множество. Равномощные множества.
Бинарные отношения на множестве, их свойства. Отношения эквивалентности.
Связь отношения эквивалентности с разбиением множества на классы. Отношение
порядка.
Элементы комбинаторики и теории вероятностей
Комбинаторные задачи. Правила суммы и произведения. Размещения,
перестановки с повторениями и без повторений. Сочетания без повторений. Число
подмножеств конечного множества. События и вероятность. Понятие вероятности.
Невозможные и достоверные события. Понятия суммы и произведения событий.
Теоремы сложения и умножения. Условные вероятности. Полная вероятность.
Формула Бейеса. Схема испытаний Бернулли.
Математические утверждения и их структура
Определяемые и неопределяемые понятия. Способы определения понятий.
Структура определения через род и видовое отличие. Примеры таких определений.
Понятие высказываний и высказывательной формы (предиката). Отрицание
высказываний. Отношения следования и равносильности между предложениями.
Необходимые и достаточные условия рассуждения от противного. Правильные и
неправильные рассуждения.
Алгоритмы
Понятие алгоритма. Основные свойства алгоритмов. Примеры алгоритмов,
используемых в начальной школе.
Контрольная работа: «Множества и отношения»
Коллоквиум на тему: «Математические утверждения и их структура».
2. ЦЕЛЫЕ НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
Краткие сведения о возникновении понятия натурального числа и нуля.
Различные подходы к построению множества целых неотрицательных чисел.
Теоретико-множественный подход к построению множества целых
неотрицательных чисел
Отношения эквивалентности и разбиение множества на классы – основной подход
к построению множества целых неотрицательных чисел. Понятие натурального
числа и нуля. Отношение «равно, "меньше», «больше» на множестве целых
неотрицательных чисел.
Определение суммы, ее существование и единственность. Законы сложения.
Определение разности, ее существование и единственность. Теоретикомножественный смысл правил вычитания числа из суммы и суммы из числа.
Определение произведения, его существование и единственность. Законы
умножения. Определение произведения через сумму.
Определение частного целого неотрицательного числа на натуральное, его
существование и единственность. Теоретико-множественный смысл правил деления
суммы и произведения на число.
Аксиоматическое построение множества целых неотрицательных чисел
Понятие об аксиоматическом методе построения теории.
Аксиомы Пеано. Аксиоматическое построение множества натуральных чисел.
Определение целого неотрицательного числа, сложения и умножения целых
неотрицательных чисел. Таблицы сложения и умножения.
Определения вычитания и деления. Невозможность деления на нуль. Деление с
остатком. Теории я чисел – основа вычислительных действий.
Свойства множества целых неотрицательных чисел. Понятие отрезка
натурального ряда чисел и счета элементов конечного множества. Порядковые и
натуральные количественные числа.
Метод математической индукции.
Натуральное число как результат измерения величины
Натуральное число как мера отрезка. Определение арифметических действий над
числами, рассматриваемыми как меры отрезков.
Контрольная работа на тему «Целые неотрицательные числа. Различные
подходы к построению множества целых неотрицательных чисел».
Системы счисления
Понятие системы счисления Непозиционные и позиционные
системы счисления. Запись и название чисел в десятичной системе счисления,
Алгоритмы арифметических действий над целыми неотрицательными числами в
десятичной системе счисления.
Позиционные системы счисления, отличные от десятичной:
запись чисел, арифметические действия, переход от записи чисел в одной системе
к записи в другой. Применение двоичной системы счисления.
Техника устного и письменного выполнения арифметических действий над
целыми неотрицательными числами. Русские счеты.
Делимость чисел
Определение отношения делимости на множестве целых неотрицательных чисел.
Свойства отношения делимости. Делимость суммы, разности и произведения целых
неотрицательных чисел. Признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 9, 25
Простые и составные числа. Решето Эратосфена. Бесконечность
множества простых чисел.
Наименьшее общее кратное и наибольший делитель чисел, их основные свойства.
Признак делимости на составное число.
Основная теорема арифметики. Алгоритмы нахождения наибольшего общего
делителя и наименьшего общего кратного данных чисел.
Контрольная работа: «Системы счисления и делимость".
Коллоквиум на тему: «Различные подходы к построению множества целых и
отрицательных чисел».
3. РАСШИРЕНИЕ МНОЖЕСТВА ЦЕЛЫХ НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
Задача расширения понятия числа. Краткие исторические
возникновении понятия дроби и отрицательного числа.
сведения
о
Целые числа
Отрицательные целые числа. Свойства множества целых чисел и их
геометрическая интерпретация.
Понятие дроби. Рациональные числа. Арифметические действия над
рациональными числами. Законы сложения и умножения. Свойства множества
рациональных чисел.
Десятичные дроби. Алгоритмы арифметических действий над ними.
Рациональные числа как бесконечные десятичные периодические дроби.
Действительные числа
Понятие иррационального числа. Бесконечные десятичные непериодические
дроби. Множество действительных чисел. Геометрическая интерпретация
множества действительных чисел. Арифметические действия над действительными
числами. Законы сложения и умножения. Свойства множества действительных
чисел. Правила округления действительных чисел и действия с приближенными
числами. Вычисления с помощью микрокалькуляторов.
Контрольная работа: «Действия над действительными числами».
Коллоквиум на тему: «Рациональные числа и действия над ними».
4. ФУНКЦИИ, УРАВНЕНИЯ, НЕРАВЕНСТВА
Определение числовой функции. Способы задания функции. График функции
Прямая и обратная пропорциональность, линейная и квадратичная функции, их
свойства и графики.
Числовое выражение и его значение. Числовые равенства и неравенства, их
свойства.
Выражение с переменной, его область определения. Тождественные
преобразования выражений. Тождество.
Уравнения и неравенства с одной переменной. Равносильные уравнения и
неравенства. Теоремы о равносильности уравнений и неравенств.
Уравнения с двумя переменными. Уравнение линии. Уравнение окружности.
Система уравнений с двумя переменными. Графическое решение неравенств и
систем неравенств с двумя переменными.
Контрольная работа: «Уравнения и неравенства».
Коллоквиум на тему: «Функции и графики».
5. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Элементы геометрии
Возникновение геометрии. О геометрии Лобачевского и аксиоматике евклидовой
геометрии. Геометрическая фигура как точечное множество. Отрезки. Лучи. Углы.
Параллельность
и
перпендикулярность
прямых.
Четырехугольники.
Многоугольники. Окружность.Построение геометрических фигур. Элементарные
задачи на построение на плоскости.Изображение пространственных фигур на
плоскости.
Геометрические преобразования.
Отображение точечных множеств. Понятие геометрического преобразования.
Параллельный перенос. Свойства параллельного переноса.
Поворот на плоскости. Свойства поворота.
Симметрия на плоскости относительно оси. Симметрия на плоскости
относительно точки как поворот на 180°
Определение и основные свойства гомотетии. Подобие. Гомотетия как частный
случай подобия.
Контрольная работа: «Виды геометрических преобразований».
6. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
Предмет и метод аналитической геометрии. Метод координат на прямой.
Расстояние между двумя точками на прямой. Метод координат на плоскости.
Основные задачи, решаемые методом координат на плоскости.
Линии и их уравнения. Линии первого порядка. Различные вилы уравнения
прямой. Общее уравнение прямой и его исследование. Уравнение пучка прямых.
Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух
прямых. Точка пересечения двух прямых.
Общее уравнение линии второго порядка. Окружность и ее уравнение. Эллипс и
его уравнение. Гипербола.
Контрольная работа: «Линии первого порядка и их уравнения".
7. ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ИЗМЕРЕНИЕ
Отражение свойств реального мира через понятие величины. Различные подходы
к введению аддитивно-скалярных величин. Основные свойства скалярных величин.
Понятие измерения величины. Величины, изучаемые в начальной школе. Единицы
измерения величин. Геометрические величины, изучаемые в начальной школе, их
определение, свойства, признаки
Длина отрезка, ее основные свойства. Измерение длины отрезка.
Стандартные единицы длины, отношения между ними.
Площадь фигуры. Способы измерения площадей фигуры. Равновеликие и
равносоставленные фигуры. Нахождение площади прямоугольника и других фигур.
Объем тела и его измерение.
Другие величины, рассматриваемые в начальном курсе математики: масса,
стоимость, время, скорость, путь. Единицы их измерения. Зависимости между ними.
Коллоквиум: «Измерение величин».
Требования к знаниям студентов
Студенты должны знать: понятие «множество», определение и свойства
теоретико-множественных
операций
и
отношений
между
множествами;
определение соответствия и отношения на множестве, их свойства и способы
задания, основные отношения, изучаемые в начальном курсе математики;
определение числовой функции, числовые функции, рассматриваемые в
начальном курсе математики; свойства прямой и обратной пропорциональности и
уметь их использовать при решении конкретных арифметических задач.
Основные правила и методы решения комбинаторных задач: простейшие
схемы рассуждений и определять правильность рассуждения.
Теоретико-множественное обоснование арифметики целых неотрицательных
чисел.
Основы
аксиоматического
метода,
аксиоматическое
обоснование
арифметики целых неотрицательных чисел.
Различные подходы к понятию натурального числа, в том числе как мере
величины, компоненте арифметического действия.
Основы построения позиционной и непозиционной системы счисления,
десятичной системы счисления как одной из позиционных систем счисления,
алгоритмы арифметических действий в десятичной системе счисления.
Определение и свойства отношения делимости, основные теоремы и
признаки делимости.
Определение рационального числа и действий над рациональными числами.
Определение действительного числа как десятичной бесконечной дроби и
действий над действительными числами.
Определение основных геометрических понятий, в том числе работающих в
курсе математики начальной школы; основные задачи на построение; некоторые
геометрические преобразования. Основные вопросы, рассматриваемы в курсе
аналитической геометрии и приложения аналитических методов решения
геометрических и алгебраических задач.
Важнейшие величины, изучаемые в курсе математики начальной школы, их
свойства, способы измерения и нахождения, единицы измерения, величин,
зависимости между величинами.
Критерии оценки знаний
Оценка 5 («отлично») ставится за глубокие знания теоретического
материала, умение применять его при решении практических задач, умение дать
теоретическое
обоснование
математическому
факту
начального
курса
математики.
Оценка 4 («хорошо») ставится за глубокие знания теории и практики,
однако при ответе студент допускает некоторые неточности.
Оценка 3 («удовлетворительно») ставится за удовлетворительное знание
материала: студент не может применить хорошо изложенный теоретический
материал при выполнении практического задания.
Оценка 2 («неудовлетворительно») ставится, если студент показал
неудовлетворительные знания теории и не смог применить ее на практике.
ЛИТЕРАТУРА
1.Виленкин Н.Я., Пышкало А. М., Рождественская В. Б., Стойлова Л. П
Математика — М,, 1977.
2.Пышкало А. М., Стойлова Л. П., Лаврова Н.Н. Ирошников Н.П. Сборник задач
по математике. — М., 1979.
3.Виленкин Н. Я.. Лаврова Н. Н.. Рождественская В. Б.. Стойлова Л. П. Задачникпрактикум по математике. — М., 1977.
4.Мерзон А. Е, Добротворский. А. С.,Чекин А.Л. Пособие по математике для
студентов факультетов начальных классов - М., 1998.
5.Стойлова Л.П. Математика. – М :, 1999.
6. Стойлова Л.П. Математика. – М :, 2005.
7. Тонких А.П. Математика Ч.1,ч.2- М:, 2002