ПЕРКОЛЯЦИЯ, МАРКИРОВКА ПЕРКОЛЯЦИОННЫХ

ПЕРКОЛЯЦИЯ, МАРКИРОВКА ПЕРКОЛЯЦИОННЫХ
КЛАСТЕРОВ И ЗАДАЧА СФЕР
Жоламан А., Куандык Г.
студенты, Евразийский национальный университет имени Л.Н. Гумилева, г. Астана
Универсальность применения перколяционных моделей в различных областях
физики при описании критических явлений, в частности, при рассмотрении примесной
электропроводности полупроводников. Рассмотрены различные подходы к описанию
перколяционных явлений, перколяционная модель проводимости полупроводников и
переход Мотта диэлектрик-металл, программы в средах Excel и Delphi, позволяющие
изучать явление перколяции и возникновение перколяционных кластеров в случае ячеечной
перколяции и в задаче сфер.
Перколяция - явления, описываемые теорией перколяции или протекания (поанглийски percolation – протекание), относятся к так называемым критическим явлениям.
Эти явления характеризуются наличием критической точки, в которой определенные
свойства системы резко изменяются. В качестве простейшего примера явления перколяции
(или протекания среды) можно рассмотреть модель протекания (например электрического
тока) в двумерной квадратной решетке, состоящей из узлов, которые могут быть
проводящими или непроводящими.(рис.1)
рис.1
(рис.1) Опыт Ватсона и Лиса может быть описан с помощью модели ячеечной
перколяции
Имеется прямоугольная решетка состоящая из одинаковых прямоугольных ячеек.
Каждая ячейка может быть «занята» с вероятностью р либо «свободна» с вероятностью 1 – р
независимо от состояния соседних ячеек. Эта модель и называется ячеечной перколяцией.
Занятые ячейки либо изолированы друг от друга, либо образуют группы (кластеры),
состоящие из ближайших соседей. Определен кластер, как группу занятых ячеек решетки,
связанных с ближайшим соседом по стороне ячейки. Две занятые ячейки принадлежат
одному кластеру, если они соединены путем, состоящим из занятых ячеек.
295
Лист ―Запуск‖ программы Перколяция Ячеечная перколяция в Excel Рис.2
«Занятые» ячейки окрашены в синий цвет. Если существует непрерывный кластер,
соединяющий левую и правую границы исследуемой области, то говорят, что имеется
горизонтальное протекание. Протекание происходит при определенном значении
вероятности р>pc. При больших N pc примерно равно 0,59. (Рис.2)
Визуальный поиск путей протекания на большой решетке - сложная задача.
Для этого разработан алгоритм, позволяющий проводить поиск путей протекания и
создана компьютерная программа для выявления горизонтального и вертикального
протекания. Разработан алгоритм и создана программа для выявления перколяционных
кластеров. Рис.3
Горизонтальное протекание в случае ячеечной перколяции рис.3
296
Маркировка перколяционных кластеров Рис.4
Подсчет количества кластеров (рис.4) Большой протекающий «красный» кластер
на решетке 15х15 содержит 79 ячеек, «желтый» кластер – 25, «фиолетовый» – 9, имеется
также 2 кластера по 4 ячейки, 2 кластера по 3 ячейки и 4 кластера по одной ячейке
Продемонстрируем работу программы на решетке 50х50 при р>pc и p<pc.
Лист «Запуск» задачи сфер Задача сфер рис.5
На плоскости нарисованы одинаковые окружности радиуса R. Координаты центров
окружностей являются случайными числами внутри прямоугольника со сторонами Lх и
Lу. Окружности могут сколь угодно перекрываться друг с другом. Введем величину N количество окружностей на единице площади. Задача состоит в нахождении критической
концентрации N=Nc, при которой возникает протекание.
Литература
1. Соболь И.М. Метод Монте-Карло. – М.: Наука, 1968. – 64 с.
2. Эфрос А.Л. Физика и геометрия беспорядка - М.: Наука, 1982. – 175 с.
3. Гульд Х., Тобочник Я. Компьютерное моделирование в физике (в 2-х частях).
Часть вторая. - М., Мир, 1990. – 390 с.
4. А.Гладкий, А.Чиртик Трюки и эффекты-М.:Питер,2006.- 369с.
297