МЕТОДЫ ПОДДЕРЖКИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ DECISION

МЕТОДЫ ПОДДЕРЖКИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ
DECISION SUPPORT METHODS
decision-making under certainty
hierarchies analysis method
ШИМАНЧУК Дмитрий Викторович
[email protected]
Санкт-Петербургский государственный университет
Факультет прикладной математики – процессов управления
Санкт-Петербург – 2013 г.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013 г.
1 / 23
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013 г.
2 / 23
Метод исследования иерархий I
Модели линейного программирования являются примером принятия решений в
условиях определённости, но эти модели применимы лишь в тех случаях, когда
альтернативные решения можно связать между собой точными линейными
функциями.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013 г.
3 / 23
Метод исследования иерархий II
Метод анализа иерархий
Рассмотрим подход к принятию решений в ситуациях, когда для идей, чувств,
эмоций определяются некоторые количественные показатели, обеспечивающие
числовую шкалу предпочтений для возможных альтернативных решений.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013 г.
4 / 23
Пример 1 I
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013 г.
5 / 23
Пример 1 II
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013 г.
6 / 23
Пример 1 III
Замечание
Общая структура метода может включать несколько иерархических уровней со
своими критериями.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013 г.
7 / 23
Пример 1 IV
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013 г.
8 / 23
Определение весовых коэффициентов I
Особенность
Сложность метода заключается в определении относительных весовых
коэффициентов для оценки альтернативных решений.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013 г.
9 / 23
Определение весовых коэффициентов II
Определение
Если имеется n критериев на заданном уровне иерархии, соответствующая
процедура создает матрицу A размерности n × n, которую называют матрицей
парных сравнений.
Матрица парных сравнений отражает суждение лица, принимающего
решение, относительно важности разных критериев...
критерий в строке i(i = 1, 2, . . . , n) оценивается относительно каждого из
критериев, представленных n столбцами.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013 г.
10 / 23
Парное сравнение I
Пусть aij элемент матрицы A, находящийся на пересечении i-й строки и
j-го столбца
В соответствии с методом для описания оценок используются целые числа от 1
до 9. При этом aij = 1 означает, что i-й и j-й критерии одинаково важны, aij = 5
отражает то, что i-й критерий значительно важнее, чем j-й, а aij = 9 указывает,
что i-й критерий чрезвычайно важнее j-го. Другие промежуточные значения от
0 до 9 интерпретируются аналогично. Согласованность таких обозначений
1
обеспечивается следующим условием: если aij = a, то aji = . Диагональные
a
элементы aii = 1, т. к. они выражают оценку критериев относительно самих себя.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013 г.
11 / 23
Пример 2 I
Определим матрицу сравнения A для задачи выбора Мартина:
A=
1
5
1
5
1
!
.
Нормализованая матрица A
N=
0, 1667
0, 8333
wR = (0, 8333 + 0, 8333)/2 = 0, 8333,
0, 1667
0, 8333
.
wL = (0, 1667 + 0, 1667)/2 = 0, 1667
Замечание
Столбцы матрицы N одинаковы, что имеет место лишь в случае, когда ЛПР
проявляет идеальную согласованность в определении элементов матрицы A.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013 г.
12 / 23
Пример 2 II
Относительные веса альтернативных решений, соответствующих университетам A, B и C, вычисляются в пределах каждого критерия R и L с использованием
следующих двух матриц сравнения:

1

AL = 
 2
5
1
2
1
2
Суммы элементов столбцов
1
5
1
2
1


,

[8, 0000; 3, 5000; 1, 7000],
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
1
 1
AR = 
 2
1
3

2
1
2
3

3
3 

2 ,
1
[1, 8333; 3, 6667; 5, 5000]
2013 г.
13 / 23
Пример 2 III

1, 1250
NL =  0, 2500
0, 6250
1, 1429
0, 2867
0, 5714

0, 1176
0, 2941  ,
0, 5882

0, 5455
NR =  0, 2727
0, 1818
0, 5455
0, 2727
0, 1818

0, 5455
0, 2727  ,
0, 1818
Средние значения элементов строк
wLA = (0, 1250 + 0, 1429 + 0, 1176)/3 = 0, 1285, wLB = (0, 2500 + 0, 2857 +
0, 2941)/3 = 0, 2766, wLC = (0, 6250 + 0, 5714 + 0, 5882)/3 = 0, 5949.
wRA = (0, 5455 + 0, 5455 + 0, 5455)/3 = 0, 5455, wRB = (0, 2727 + 0, 2727 +
0, 2727)/3 = 0, 2727, wRC = (0, 1818 + 0, 1818 + 0, 1818)/3 = 0, 1818.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013 г.
14 / 23
Согласованность матрицы сравнений I
Замечание
Если столбцы матрицы N одинаковы, то результирующие относительные веса
сохраняют одно и то же значение независимо от того, как выполняется
сравнение. В этом случае говорят, что исходная матрица сравнения A является
согласованной.
Согласованность означает, что решение будет согласовано с
определениями парных сравнений критериев или альтернатив
с математической точки зрения согласованность матрицы A означает, что
aij ajk = aik для любых i, j и k.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013 г.
15 / 23
Согласованность матрицы сравнений II
Принимая во внимание, что такие матрицы строятся на основе
человеческих суждений, можно ожидать некоторую степень
несогласованности
к ней следует относиться терпимо при условии, что она не выходит за
определенные допустимые рамки.
Замечание
Для определения допустимого уровня согласованности, необходимо определить
соответствующую количественную меру для матрицы сравнения A.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013 г.
16 / 23
Согласованность матрицы сравнений III
Замечание
Идеально согласованная матрица A порождает нормализованную матрицу N .
w1
 w2

N =
 ...
wn

w1
w2
...
wn
...
...
..
.
...

w1
w2 

.
... 
wn
Тогда матрица A может быть получена из матрицы N путем деления элементов i-го столбца на wi (процесс, обратный к нахождению матрицы N из A).

1
w2
w1



A=

 ...

wn
w1
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
w1
w2
1
...
wn
w2
...
...
..
.
...
w1
wn
w2
wn




.

... 

1
2013 г.
17 / 23
Согласованность матрицы сравнений IV
Из определения матрицы A

1
 w2

 w
 1

 ...

wn
w1
w1
w2
1
...
wn
w2
...
...
..
.
...
w1
wn
w2
wn


w1

 w
 2
 .
 .
.
... 

wn
1

nw1
  nw2
 
= .
  ..
nwn


w1

 w2


 = n .

 ..
wn




.

Замечание
Матрица A будет согласованной тогда и только тогда, когда
Aw = nw,
где w – вектор столбец относительных весов wi , i = 1, 2, . . . , n.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013 г.
18 / 23
Согласованность матрицы сравнений V
Когда матрица A не является согласованной, относительный вес wi аппроксимируется средним значением n элементов i-ой строки нормализованной матрицы
N.
Если w вычисленная оценка (среднее значение), можно показать, что
Aw = nmax w,
где nmax > n.
Чем ближе nmax к n, тем более согласованной является матрица сравнения A.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013 г.
19 / 23
Согласованность матрицы сравнений VI
Вычисляется коэффициент согласованности в виде CR =
CI
RI
nmax − n
– коэффициент согласованности матрицы A,
n−1
1, 98(n − 2)
RI =
– стохастический коэффициент согласованности матрицы A.
n
где CI =
Если CR 6 0, 1, то уровень несогласованности является приемлемым
иначе ЛПР рекомендуется проверить элементы попарного сравнения aij
матрицы A в целях получения более согласованной матрицы.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013 г.
20 / 23
Согласованность матрицы сравнений VII
Значение nmax вычисляется на основе матричного уравнения Aw = nmax w,
i-ое уравнение этой системы имеет вид:
n
X
aij wj = nmax wi , i = 1, 2, . . . , n.
j=1
Поскольку
Pn
i=1
wi = 1, то
n
X
i=1
n
X
j=1
aij wj
!
= nmax
n
X
wi = nmax .
i=1
Замечание
Величину nmax можно определить путем вычисления вектор-столбца Aw с
последующим суммированием его элементов.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013 г.
21 / 23
Пример 3 I
Исследуем согласованность матрицы AL .
Вычислим значение nmax .
w1 = 0, 129; w2 = 0, 277; w3 = 0, 595.

1

AL w = 
 2
5
1
2
1
2
1
5
1
2
1


 

0, 3858
0, 1285

  0, 2766  =  0, 8311  .

1, 7906
0, 5949
Получаем nmax = 0, 3858 + 0, 8311 + 1, 7906 = 3, 0075.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013 г.
22 / 23
Пример 3 II
Для n = 3 имеем
CI =
RI =
3, 0075 − 3
nmax − n
=
= 0, 0037,
n−1
3−1
1, 98(n − 2)
1, 98(3 − 2)
=
= 0, 6600,
n
3
CR =
CI
0, 0037
=
= 0, 0056.
RI
0, 66
CR < 0, 1, следовательно уровень несогласованности матрицы AL является
приемлемым.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013 г.
23 / 23