имада й л йгакк ф Ёмф кмй º егйхюгдг а ³ имада й Ёмф афл

EQUILIBRE ET CROISSANCE D'UNE SURFACE
A. MORPHOLOGIE D'EQUILIBRE D'UNE INTERFACE
Dans e premier tutorat traitant de la morphologie des interfaes, nous allons modeliser une interfae d'equilibre entre deux milieux, par exemple un
liquide et une vapeur. Dans un prohain tutorat, on traitera du probleme de
la roissane d'une interfae - hors equilibre par denition - sous une ation
exterieure (deposition de partiules, appliation d'une fore, et...).
Dans un soui de simpliite, nous nous plaerons a deux dimensions, ou
l'interfae est une ligne, que nous allons modeliser ii de deux manieres: tout
d'abord (partie I) en adoptant un formalisme ontinu, puis (partie II) dans
un formalisme disret ou l'interfae separe deux domaines d'aimantations opposees.
I. MODELISATION CONTINUE D'UNE INTERFACE
Nous allons modeliser l'interfae omme une ligne ontinue et derivable y(x).
Nous la supposerons presque plate, 'est-a-dire (dy=dx)2 1. L'energie de
l'interfae est proportionnelle a sa longueur totale L: H = L, ou est une
onstante positive, appelee tension de ligne.
1. Soit L la longeur de l'interfae projetee sur l'axe des x, exprimer L en
fontion de L et de (dy=dx)2.
2. Montrer qu'en hoisissant omme onditions aux limites periodiques: y(0) =
y (L) = 0, la deomposition de Fourier de y (x) peut s'erire:
nx 1
X
y (x) = An sin
L
n=1
Les An representent maintenant les degres de liberte independants du systeme,
et varient de 1 a +1.
Montrer que H s'erit, a une onstante additive pres:
H=
1
2 X
2 2
4L n=1 n An
Que peut-on dire de ette deomposition?
3. Que vaut, a une onstante multipliative pres, la probabilite d'observer la
valeur An pour le mode n? Quelle est la probabilite jointe P (An; Am) entre
1
y
Vapeur
Liquide
L
Fig. 1. Interfae liquide/vapeur a deux dimensions.
l'interfae, L sa longueur developpee.
L est la longueur projetee
de
deux modes n et m ? On en deduira les valeurs moyennes hAni et hAnAm i.
Montrer qu'on retrouve le theoreme d'equipartition de l'energie.
4. Deduire de es resultats la valeur moyenne du produit hy(x)y(x0)i, par
exemple pour x0 x, en utilisant la propriete:
1 1
X
2 jxj x2
os
nx
=
0 x 2
2
6 2 +4
n=1 n
On pose:y = y(x0) y(x) la dierene d'ordonnees entre deux points d'absisses
x et x0 . Quand x et x0 sont eloignes, hy 2i1=2 peut ^etre onsideree omme
l'epaisseur de l'interfae.
2
x
Deduire de l'expression de hy(x)y(x0)i alulee plus haut elle de < y2 >.
Que vaut < y2 > lorsque jx0 xj L ? Montrer que le probleme onsidere
est similaire a elui d'une marhe aleatoire (Tut 1) et expliquer pourquoi. Que
vaut ii le oeÆient de diusion? Pour quelle valeur de jx0 xj la utuation
de y est-elle maximale ? Comment se omporte l'epaisseur de l'interfae en
fontion de L?
II. MODELISATION DISCRETE DE L'INTERFACE
Nous allons maintenant proeder a une modelisation disrete, et supposer que
l'interfae separe deux zones d'aimantations positive (voir Fig. 2, la phase du
bas est onstituee de spins d'Ising pointant vers le haut) et negative (Fig. 2, la
phase du haut est onstituee de spins d'Ising pointant vers le bas). Chaque spin
est suppose se trouver a un noeud d'un reseau arre de maille elementaire a =
1. On supposera l'ehantillon arre, de taille L = N dans les deux diretions.
On a don N 2 spins.
Le Hamiltonien de e systeme s'erit:
X
Si Sj
Si ; Sj = 1
H= J
<ij>
ou la somme des interations n'est etendue qu'aux plus prohes voisins (e
qu'on note par < ij >), et J est une onstante positive.
1. Quelle est l'energie assoiee a une interfae plane (etat fondamental) ?
Montrer que lorsque l'interfae n'est plus retiligne, sa longueur developpee
est egale a :
N
X
L = (1 + jypj)
p=1
ou yp est la hauteur de la marhe au point d'absisse xp. En deduire que
l'energie en exes par rapport au niveau fondamental peut s'erire:
N
X
H = 2NJ + 2J jypj
p=1
pour la onguration omportant des marhes de hauteur yp.
2. On suppose que l'extr^emite gauhe de l'interfae est xe, et que son extr^emite
droite est libre de se positionner n'importe ou. Les hauteurs de marhe sont
supposees ^etre des variables aleatoires independantes pouvant prendre toutes
les valeurs entieres entre 1 et +1. Montrer que la fontion de partition Z
de l'interfae peut se fatoriser, et qu'on a:
Z = N
3
y
Région de spins "down"
Région de spins "up"
L
Fig. 2. Interfae entre la region du bas, d'aimantation positive, et la region du
haut d'aimantation negative, a deux dimensions. L = N est la taille du systeme, la
longueur projetee de l'interfae, le pas du reseau etant hoisi egal a 1.
ou est la fontion de partition d'une marhe:
= e 2J oth(J )
ave = 1=kT , ou k est la onstante de Boltzmann.
Caluler l'energie moyenne par unite de longueur de l'interfae: = E=N et
la tension de ligne f (egale a l'energie libre par unite de longueur: f = F=N ).
Quelles sont les limites de et de f a basse et haute temperature?
3. Montrer que la probabilite pour qu'une marhe soit de hauteur p, asendante
4
x
ou desendante, est egale a:
P (jyj = p) = 2e 2J (1+p)
En deduire que :
et verier que:
Montrer aussi que:
hjyji = sinh12J
= 2J (1 + hjy ji)
hy2i = 2(sinh1 J )2
4. Soit y la dierene de hauteurs entre deux points de l'interfae d'absisses
xp et xp+q :
pX
+q
yi
y =
i=p+1
Utiliser le theoreme de la limite entrale (les yp sont des variables aleatoires
independantes) pour relier la variane 2 y de la distribution des y a elle,
y2 de la distribution des y . On remarquera que y2 = hy 2i puisque hy i = 0. En
deduire h(y)2i1=2 , qui peut ^etre onsideree omme l'epaisseur de l'interfae
lorsque q est grand. Montrer que l'on retrouve, dans ette limite, le resultat
etabli lors de l'approhe ontinue:
h(y)2i / q / jx0 xj
Que vaut dans e modele ?
5