ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ ГОР

ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ ГОР. МОСКВЫ
Федеральное государственное автономное образовательное
учреждение высшего профессионального образования
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС»
УТВЕРЖДАЮ:
_______________ Д.Е. Капуткин
Председатель Учебно-методической
комиссии по реализации Соглашения
с Департаментом образования
гор. Москвы
"____" ___________ 2015г
Приложение 1.1.
МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ПО РЕАЛИЗАЦИИ ПРОЕКТНОЙ
ФОРМЫ ОБУЧЕНИЯ
для учащихся 10-11 классов
по образовательному модулю
"МАТЕМАТИКА"
Москва – 2015
Проект 2. «Признаки делимости целых чисел»
Существуют правила, которые помогают определить, делится ли число на некоторый
делитель без остатка (признаки делимости). Наиболее известны признаки делимости на 2, 3, 4,
5, 8, 9, 11, 25. Признаки делимости часто используются при решении олимпиадных задач, при
нахождении общего знаменателя дробей, в алгебре – при решении уравнений в целых числах.
Цель проекта: повторить признаки делимости натуральных чисел, изучаемые в школе; найти
признаки делимости, которые не изучаются в школьном курсе математики, рассмотреть
применение признаков делимости натуральных чисел при решении задач.
1. Цели реализации образовательного проекта:
 систематизировать и расширить знания и умения школьников, связанные с
делимостью чисел;
 изучить признаки делимости натуральных чисел и показать их применение в
решении математических задач, фокусов и головоломок;
 привить интерес к математике;
 способствовать развитию наблюдательности;
 научить делать выводы;
 развивать логическое мышление учащихся.
2. Задачи проекта:
 научить решать простейшие задачи с использованием признаков делимости целых чисел;
 обобщение и углубление темы «признаки делимости целых чисел»;
 научить применять знания теории на практике;
 рассказать о неожиданных и удивительных примерах
1. Категории обучающихся:
Учащиеся 10-11 классов средней общеобразовательной школы.
2. Практические умения и навыки:
Учащиеся, выполнившие образовательный проект «Признаки делимости целых
чисел», должны:

знать основные определения теории целых чисел;
 знать признаки делимости целых неотрицательных чисел;
 уметь решать простейшие задачи по теории целых чисел.
3. Объем образовательного проекта (акад. час):
Общая продолжительность – 5 часов.
4. Форма обучения:
Очная.
5. Форма занятий:
Практическо-проектная.
6. Режим проведения занятий:
1 час в неделю
7. Сроки проведения занятий:
13 сентября - 20 декабря 2015 г.
8. Место проведения занятий:
Кафедра математики, аудиторный фонд НИТУ «МИСиС» и средней школы,
компьютерные классы с выходом в Интернет, библиотека.
9.
Форма проведения контроля и аттестация:
Контроль выполнения проводится в форме обсуждения предварительных результатов,
представления презентационного комплекта и подготовки доклада на тему «Признаки
делимости целых чисел».
После выполнения и защиты образовательного проекта по математике проводится
аттестация учащихся. Результаты аттестации передаются педагогам общеобразовательной
школы.
10. План проведения занятий по реализации проекта:
1. Повторить признаки делимости на 2, 3. 5, 9, 10, 11, которые входят в школьную
программу.
2. Исследовать признаки делимости на 4, 6, 8, 20, 25, 27, 30, 50, 10n.
3. Изучить дополнительную литературу, подтверждающую существование других
признаков делимости натуральных чисел (признаки делимости на 7, 13, 17, 19,23, 29, 31,41,
59, 79, 99, 101).
4. Рассмотреть задачи на применение признаков делимости.
5. Тьюторское сопровождение выполнения проекта группой учащихся.
6. Провести анализ полученных результатов и выводы по теме.
11. Структура презентационного комплекта по проведению занятий:
1. Введение (цель и задачи проекта).
2. История основных открытий.
Признаки делимости целых чисел на 2, 3, 5, 9, 10, которые сейчас изучают в начальной
школе, были известны с давних времен. Так, например, признак делимости на 2 знали древние
египтяне за 2 тысячи лет до нашей эры.
Признаки делимости на 2, 3 и 5 были изложены итальянским
математиком Леонардо Фибоначчи (1170 – 1228). Значительную часть
своих знаний он изложил в «Книге абака» ( 1202 год). В сочинении 15
глав (книг). Книга I вводит арабо-индийские цифры, описывает
алгоритм умножения (который в новой системе неизмеримо проще, чем
в старой, римской) и показывает, как преобразовать числа из старой
системы в новую. Книга II содержит практические примеры денежных
расчётов.В III книге даны разнообразные математические задачи —
например, китайская теорема об остатках, совершенные числа, прогрессии и пр. В IV книге
даются методы приближённого вычисления и геометрического построения корней и других
иррациональных чисел. Далее идут разнообразные приложения и решение уравнений. Часть
задач — на суммирование рядов. В связи с контролем вычислений по модулю приводятся
признаки делимости на 2, 3, 5, 9. Изложена содержательная теория делимости, в том числе
наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное. Леонардо впервые в Европе
использовал отрицательные числа, которые рассматривал как долг.
Выдающийся французский математик и физик Блез Паскаль (16231662) еще в раннем возрасте вывел общий признак делимости чисел, из
которого следуют все частные признаки. Признак Паскаля состоит в следующем. Натуральное
число а разделится на другое натуральное число b только в том случае, если сумма
произведений цифр числа а на соответствующие остатки, получаемые при делении разрядных
единиц на число b, делится на это число.
3. Основные определения.
Пусть n – целое число ( n   ), а m –натуральное число ( m
) . Число n делится на m,
если существует такое целое число p ( p   ), что
n  m p .
Признак делимости — алгоритм, позволяющий быстро определить, является ли число
кратным заранее заданному числу.
Признак делимости на 2: последняя цифра данного числа делится на 2, то есть является
чётной.
Признак делимости на 3: сумма цифр данного числа делится на 3. Например, сумма
цифр числа 1245678 равна 1+2+4+5+6+7+8=33. Так как число 33 делится на 3, то и само число
1245678 делится на 3.
Признак делимости на 5: последняя цифра данного числа делится на 5, т. е. если она 0
или 5.
Признак делимости на 9: сумма цифр данного числа делится на 9. Например, сумма
цифр числа 12345678 равна 1+2+3+4+5+6+7+8=36. Число 36 делится на 9 , следовательно, и
само число 12345678 делится на 9.
Признак делимости на 10: число оканчивается на 0.
Признаки делимости на 11: модуль разности между суммой цифр, занимающих
нечётные места, и суммой цифр, занимающих чётные места, делится на 11.
Например, число 19362607 делится на 11. Действительно, сумма цифр, занимающих
нечётные места, равна 1+3+2+0=6, а сумма цифр, занимающих чётные места равна 9+6+6+7=28.
Модуль разности между ними, равный 28 – 6=22, делится на 11.
Число 193626 не делится на 11. Сумма цифр, занимающих нечётные места, равна
1+3+2=6, а сумма цифр, занимающих чётные места равна 9+6+6=21. Модуль разности между
ними, равный 21 – 6=15, не делится на 11.
Существуют другие признаки делимости на 11:
– данное число делится на 11 тогда и только тогда, когда на 11 делится сумма чисел,
образующих группы по две цифры (начиная с единиц). Например, число 19362607 делится на
11, так как число 19  36  26  07  88  8 11 делится на 11.
– модуль разности числа, полученного зачеркиванием в данном числе трех последних
цифр, и числа, образованного оставшимися цифрами, делится на 11. Например, число
19362607 делится на 11, так как на 11 делятся числа 19362 – 607=18755 и
755–18=737= 67 11 .
Признак делимости на 4: две последние цифры данного числа или нули, или
составляют число, которое делится на 4. Например, число 10764 делится на 4, так как две
последние цифры этого числа равны 64, а число 64 делится на 4. Число 999900 делится на 4, так
две последние цифры этого числа нули.
Признак делимости на 6: данное число четное и сумма его цифр делится на 3 (делится
и на 2, и на 3).
Признак делимости на 8: три последние цифры данного числа или нули, или
составляют число, которое делится на 8. Например, числа 56499000 и 92899640 делятся на 8. В
первом случае три последние цифры числа равны нулю, а во втором числе три последние
цифры делятся на 8.
Заметим, что трёхзначное число делится на 8, если число единиц, сложенное с
удвоенным числом десятков и учетверённым числом сотен, делится на 8. Например, число 792
делится на 8 так как число 2  2  9  4  7  48 делится на 8 .
Признак делимости на 20: последняя цифра данного числа равна 0, а предпоследняя
цифра должна быть чётной.
Признак делимости на 25: две последние цифры данного числа составляют число,
которое делится на 25.
Признак делимости на 27: сумма чисел данного числа, образующих группы по три
цифры (начиная с единиц) делится на 27. Например, число 1886139 делится на 27, так как на 27
делятся числа 139+886+1=1026 и 026+1=27 .
Признак делимости на 30: число заканчивается на ноль и сумма всех цифр делится на
3. Например: 16920 делится на 30, а 68590 – не делится (сумма всех его цифр не делится на 3).
Признак делимости на 50: две последние цифры данного числа либо нули, либо
образуют число, которое делится на 50 .
Признак делимости на 10n: число оканчивается на n нулей.
Признак делимости на 7: сумма числа, полученного зачеркиванием последней цифры
данного числа, и умноженного на три, с числом единиц, делится на 7. Например, число 6888
делится на 7, так как на 7 делятся 688  3  8  2072 ; 207  3  2  623 ; 62  3  3  189 и
18  3  9  63  7  9 .
Существуют и другие признаки делимости на 7.
– Число делится на 7, если модуль суммы чисел, образующих нечётные группы по три
цифры (начиная с единиц), взятых со знаком «+», и чётных со знаком «–» делится на 7
Например, число 6888 делится на 7, так как на 7 делится число 888  6  882  7 126 . Другой
пример, число 861779247 делится на 7, так как на 7 делится 247  779  861  329  7  47
– Число делится на 7, если, модуль разности числа, полученного зачеркиванием в данном
числе трех последних цифр, и числа, образованного оставшимися цифрами, равен нулю или
делится на 7.
Признак делимости на 13: сумма числа, полученного зачеркиванием последней цифры
данного числа с числом единиц, умноженным на четыре, делится на 13. Например, число 3757
делится на 13, так как на 13 делятся и 375  4  7  403; 40  4  3  52; 5  4  2  13 .
Существуют и другие признаки делимости на 13:
– разность числа, полученного зачеркиванием последней цифры данного числа с числом
единиц, умноженным на 9, делится на 13. Например, число 3757 делится на 13, так как на 13
делятся числа 375  9  7  312 и 31  9  2  13 .
– модуль разности числа, полученного зачеркиванием в данном числе трех последних
цифр, и числа, образованного оставшимися цифрами, делится на 13. Например, число 3757
делится на 13, так как на 13 делится число 3  757  754  13  58 .
Признак делимости на 17:
–модуль разности числа, полученного зачеркиванием последней цифры данного числа, с
числом единиц, умноженным на 5, делится на 17. Например, число 6086 делится на 17, так как
числа 608  5  6  578 и 57  5  8  17 делятся на 17.
– модуль суммы числа, полученного зачеркиванием последней цифры данного числа, с
числом единиц, умноженным на 12, делится на 17. Например, число 6086 делится на 17, так как
числа 608  12  6  680 и 68  12  0  68  4 17 делятся на 17.
Признак делимости на 19: сумма числа, полученного зачеркиванием последней цифры
данного числа, с числом единиц, умноженным на 2, делится на 19. Например, число 12388
делится на 19, так как числа 1238  2  8  1254;125  2  4  133 и 13  2  3  19 делятся на 19 .
Признаки делимости на 23: сумма числа, полученного зачеркиванием двух последних
цифр данного числа, с утроенным числом, образованным двумя последними цифрами этого
числа, делится на 23. Например, число 26059 делится на 23, так как числа
260  3  59  437; 4  3  37  115 и 1  3 15  46  2  23 делятся на 23.
Другой признак делимости на 23: сумма числа, полученного зачеркиванием последней
цифры данного числа, с числом единиц, умноженным на 7, делится на 23. Например, число
26059 делится на 23, так как числа 2605  7  9  2668; 266  7  8  322 и
32  7  2  46  2  23делятся на 23.
Признак делимости на 29: сумма числа, полученного зачеркиванием последней цифры
данного числа, с числом единиц, умноженным на 3, делится на 29. Например, число 35699
делится на 29, так как числа 3569  3  9  3596; 359  3  6  377 и 37  3  7  58  2  29 делятся на
29.
Признак делимости на 31: модуль разности числа, полученного зачеркиванием
последней цифры данного числа, и числа единиц, умноженным на 3, делится на 31. Например,
число 30597 делится на 31, так как числа 3059  3  7  3038; 303  3  8  279 и
27  3  9  0 делятся на 31.
Признак делимости на 37: при разбиении данного числа на группы по три цифры
(начиная с единиц) сумма этих групп делится на 37. Например, число 331705 делится на 37, так
как числа 331  705  1036 и 036  1  37 делятся на 37.
Признак делимости на 41: модуль разности числа, полученного зачеркиванием
последней цифры данного числа, и числа единиц, умноженного на 4, делится на 41. Например,
число 23124 делится на 41, так как числа 2312  4  4  2296; 229  4  6  205 и
20  4  5  0 делятся на 41.
Признак делимости на 59: сумма числа, полученного зачеркиванием последней цифры
данного числа, с числом единиц, умноженным на 6, делится на 59. Например, число 19175
делится на 59, так как числа 1917  6  5  1947; 194  6  7  236 и 23  6  6  59 делятся на 59.
Признак делимости на 79: сумма числа, полученного зачеркиванием последней цифры
данного числа, с числом единиц, умноженным на 8, делится на 79. Например, число 44872
делится на 79, так как числа 4487  8  2  4503; 450  8  3  474 и 47  8  4  79 делятся на 79.
Признак делимости на 99: сумма чисел, образующих группы по две цифры (начиная с
единиц) делится на 99. Например, число 11979 делится на 99, так как число 79  19  1  99
делится на 99 .
Признак делимости на 101: модуль суммы чисел, образующих нечётные группы по две
цифры (начиная с единиц), взятых со знаком «+», и чётных чисел, взятых со знаком «–» делится
на 101. Например, число 66054 делится на 101, так как число 54  60  6  0 делится на 101 .
Признаки делимости применяются в различных числовых фокусах. Например, признаки
делимости на 7, 11, 13 можно применить при следующем числовом фокусе. Загадаем
трехзначное число и припишем к нему его же еще раз. Затем разделим полученное
шестизначное число на 7 ( число нацело разделится на 7). Потом полученное число разделим на
11, а результат – на 13. В результате получится загаданное число.
Пример 1. Найдите наибольшее четырехзначное число, все цифры которого различны и
которое делится на 2, 5, 9 и 11.
Решение:
Заметим, что числа 2, 5, 9 и 11 взаимно-простые (не имеют общих делителей), а значит,
искомое число должно делиться на произведение этих чисел, то есть на 2  5  9 11  990 .
Число 9900 является наибольшим четырехзначным числом, которое делится на 990. В
полученном числе есть совпадающие числа, поэтому оно не удовлетворяет условию задачи.
Предыдущее число, которое делится на 2, 5, 9 и 11 равно 9900  990  8910 . Все цифры ЧИСЛА
8910 различны и оно делится на 2, 5, 9 и 11.
Пример 2. Произведение цифр некоторого трехзначного числа равно 135. Найти сумму
цифр этого числа.
Решение.
Так как число 135 делится на 3, 5 и 9, то искомое число состоит из этих цифр, сумма
которых равна 17.
Пример 3. Можно ли число 1010 представить в виде разности квадратов двух
натуральных чисел?
Решение.
Предположим, что число 1010 можно представить в виде разности квадратов двух
натуральных чисел. Тогда
. 1010  a 2  b2  (a  b)(a  b)
Так как число 1010 – четное, то (a  b)(a  b) тоже четное число. Тогда или a  b , или
a  b должно быть четным числом. Но, если a  b – четное, то и a  b тоже четное. И наоборот,
если a  b – четное, то и a  b четное. А, значит, (a  b)(a  b) делится на 4. Но число 1010 на 4
не делится. Получили противоречие. Следовательно, число 1010 представить в виде разности
квадратов двух натуральных чисел нельзя.
Пример 4. Припишите к числу 1 000 000 три цифры справа так, чтобы полученное число
делилось на 7, 8 и 9.
Решение.
Чтобы искомое число делилось на 8, число, составленное из приписанных цифр должно
делиться на 8; чтобы делилось на 9 – сумма цифр искомого числа должна делиться на 9.
Получить такое число (делится на 8 и 9), например, можно приписав 008. Получится число
1 000 000 008. Проверим, делится ли оно на 7. Число делится на 7, если, модуль разности числа,
полученного зачеркиванием в данном числе трех последних цифр, и числа, образованного
оставшимися цифрами, делится на 7. Действительно,
1000000  008  999992;
999  992  7.
Итак, по признаку делимости число 1 000 000 008 делится на 7. Получили искомое число.
4.Задачи.
Чтобы выполнить практическую работу по заданной теме необходимо уметь решать
следующие задачи.
Задача 1.Вычеркните в числе 123456 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на
38.
Задача 2. Вычеркните в числе 123456 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на
52.
Задача 3. Вычеркните в числе 123456 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на
27.
Задача 4. Вычеркните в числе 123456 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на
35.
Задача 5. Вычеркните в числе 123456 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на
29.
Задача 6. Найдите наименьшее и наибольшее пятизначные натуральные числа, которые
записываются только цифрами 0, 5 и 7 и делятся на 120.
Задача 7. Найдите наименьшее четырехзначное натуральное число, кратное 11, произведение
цифр которого равно 12.
Задача 8. Найдите шестизначное натуральное число, которое записывается только цифрами 0
и 1 и делится на 24.
Задача 9. Сумма цифр трехзначного натурального числа А делится на 12. Сумма цифр числа
А+6 также делится на 12. Найдите наименьшее число А, удовлетворяющее условию.
Задача 10. Сумма цифр трехзначного натурального числа А делится на 13. Сумма цифр числа
А+5 также делится на 12. Найдите наименьшее число А, удовлетворяющее условию.
Задача 11. Найдите набольшее пятизначное натуральное число, кратное 55, произведение
цифр которого больше 40, но меньше 70.
Задача 12. Найдите наименьшее пятизначное натуральное число, кратное 55, произведение
цифр которого больше 50, но меньше 75.
Задача 13. Может ли число, записанное при помощи 100 нулей, 100 единиц и 100 двоек, быть
квадратом целого числа?
Задача 14. Найти количество трехзначных чисел, делящихся на 5 или на 7 (возможно
одновременно), но не делящихся на 3.
12. Учебно-методическое обеспечение

Пользование Интернетом и библиотекой во время обучения

Комплект раздаточного материала для каждого учащегося (программа, методические
рекомендации и разработки, комплект заданий и задач разного уровня сложности, тесты,
презентации, другие мультимедийные разработки)
15. Литература:
 Ященко И.В. ЕГЭ 2015. Математика. Типовые тестовые задания. Базовый уровень.
Издательство « Экзамен», 2015 г.
 Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Задачи на целые числа (от учебных задач до
олимпиадных)
 Бахтина Т.П. Раз задачка, два задачка Пособие для учителей. Минск, Асар, 2001 г.
 Воробьев Н.Н. Признаки делимости. – М.: Наука, 1980.
 Горбачев Н.В. Сборник олимпиадных задач по математике. – М.: МЦНМО, 2004.
 Московские математические олимпиады 1993 – 2005 г. Под редакцией В.М. Тихомирова.
– М.: МЦНМО, 2006.
 Шклярский Д.О. и др. Избранные задачи и теоремы элементарной математики. Часть 1,
арифметика и алгебра. – М – Л.: Гос. изд. техн.-теор. литературы, 1950.
 www.alexlarin.narod.ru – сайт по оказанию информационной поддержки абитуриентам
при подготовке к ЕГЭ, поступлению в ВУЗы и изучении различных разделов высшей
математики.
 Материалы из Википедии.
 Яндекс-картинки