Оценка доходности финансовых активов

Саратовский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского
И.Ю. Выгодчикова
ОЦЕНКА ДОХОДНОСТИ
ФИНАНСОВЫХ АКТИВОВ
Учебное пособие для студентов
механико-математического факультета
ИЗДАТЕЛЬСТВО САРАТОВСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
2009
УДК [336 : 330.44] (072.8)
ББК 65.261 : 65.23я73
В92
Выгодчикова И.Ю.
В92
Оценка доходности финансовых активов: Учеб. пособие для студентов мех.-мат. фак. – Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2009. – 92 с.: ил.
ISBN 978-5-292-03952-5
Рассматриваются основные виды доходности финансовых активов и специфические, характерные для наиболее популярных ценных бумаг – акций и облигаций, приводятся приёмы оценки показателей доходности финансовых активов, основанные на
дисконтировании денежных потоков. Дается понятие доходности для портфеля ценных
бумаг. Предлагается способ оптимизации портфеля ценных бумаг с использованием
задачи Марковица. В пособии содержатся тесты, задачи для самостоятельного решения.
Для студентов экономико-математических специальностей в рамках учебных
дисциплин «Специальный курс. Анализ рынка ценных бумаг», «Математическая экономика», «Финансовая математика», «Математические методы в экономике».
Рекомен дуют к печати:
Кафедра математической экономики
механико-математического факультета
Саратовского государственного университета
Доктор физико-математических наук В.Н. Гусятников
Доктор экономических наук В.А. Балаш
УДК [336 : 330.44](072.8)
ББК 65.261 : 65.23я73
Работа издана в авторской редакции
© Выгодчикова И.Ю., 2009
© Саратовский государственный
университет, 2009
ISBN 978-5-292-03952-5
2
ВВЕДЕНИЕ
Финансы обычно ассоциируются с теми процессами, которые на поверхности общественной жизни проявляются в разнообразных формах и
обязательно сопровождаются движением (наличным или безналичным)
денежных средств. Только движение денежных средств и придаёт им форму капитала, заставляет возрастать и приносить доходы владельцу. Именно
из-за динамичности финансовых процессов инвесторам приходится задумываться об итогах своих действий уже сейчас, а значит, оценивать перспективы финансирования того или иного инвестиционного проекта.
Необходимость соизмерять разнесённые во времени финансовые потоки приводит к целесообразности применения методов, основанных на
дисконтировании. Эти методы могли бы служить универсальным способом
оценки результатов инвестиционной деятельности, если бы не приходилось учитывать риск различных финансовых операций. При проведении
оценочной деятельности для учёта степени риска обычно корректируют
ставки альтернативного вложения средств, по которым производится дисконтирование.
Основным фактором, определяющим эффективность финансовых
операций, связанных с инвестированием средств, является доходность, которую можно рассматривать как абсолютную доходность, включающую
размеры дивидендных и процентных выплат и прирост капитала, так и относительную доходность, выраженную процентными и дивидендными
ставками и ставками относительного роста, а также внутреннюю доходность.
Применяемые в настоящее время способы финансирования компаний связаны с привлечением кредитов, продажей активов, выпуском долговых и долевых ценных бумаг.
Финансовыми активами считаются деньги, участвующие в обращении и способные приносить доход, а значит, имеющие форму капитала, а
также ценные бумаги. Самыми популярными ценными бумагами на российском финансовом рынке являются акции и облигации.
В пособии рассматриваются классические приемы оценки доходности финансовых активов, в основном инвестиционных финансовых ресурсов – ценных бумаг.
3
Поскольку любая финансовая сделка сопряжена с риском потерь доходов, то этот риск необходимо так или иначе учитывать. С другой стороны, расширение понятия риска для спекулятивных сделок на финансовых
рынках может учитывать не только нежелательные потери, но и неожиданную выгоду. Если устойчивой тенденции изменения цен и доходов не
наблюдается, то потерять деньги можно с той же вероятностью, что и получить, в связи с чем при анализе инвестиционных решений операционный
риск потерь фактически сводится к процентному риску, который учитывается в ставках альтернативного вложения средств, по которым производится дисконтирование.
В пособии также рассматриваются приёмы оценки финансовых рисков. Под риском обычно понимают возможность экономических потерь,
возникающих при наступлении неблагоприятных событий, часто случайных. В математическом понимании риск – это вероятность таких потерь, и
он возникает при наличии неопределённости в финансовой сфере. При
оценке доходности финансовых активов необходимо измерить возможные
потери в стоимостном (денежном, процентном или долевом) выражении.
Для этого применяют характеристики различного уровня сложности.
К наиболее простым измерителям риска относят меры, характеризующие только неопределённость. Традиционно и вполне обоснованно неопределённость характеризуют с помощью показателя «волатильность»
(изменчивость, неустойчивость во времени финансового показателя, например, рыночных цен акций, дохода). Ее измеряют с помощью стандартного, или среднеквадратического отклонения, дисперсии и коэффициента
вариации. Эти показатели применяют как самостоятельные меры финансового риска, так и как важные параметры ряда математических моделей, например, модели Блэка – Шоулза. В качестве мер риска применяются квантили вариационных рядов.
Также рассматриваются показатели, характеризующие сроки действия финансового инструмента.
Такие статистические показатели взаимосвязи, как коэффициенты
корреляции, детерминации и ковариации, как правило, применяются не
самостоятельно, а в рамках более сложных методов анализа риска. Находят себе применение и коэффициенты регрессии. В качестве примера можно указать на коэффициент бета (beta), который по отношению к акциям
является индикатором степени доходности акций относительно рынка в
целом.
К группе современных измерителей риска относят показатели чувствительности (sensitivity) цен активов и стоимости под риском (Value at
Risk, VaR). Под показателем чувствительности понимают меру риска, которая характеризует степень изменения экономического показателя при
изменении значения одного фактора, как правило, случайного. Например,
чувствительность цены финансового инструмента с фиксированным доходом к изменению рыночной процентной ставки измеряют с помощью мо4
дифицированной дюрации (modified duration). Для измерения чувствительности цен опционов к ряду факторов разработан набор показателей – дельта (delta), гамма (gamma), вега (vega), тета (theta), ро (rho). Совокупность
последних часто называют Греки (Greeks) [1].
Поскольку оценка доходности сделок с ценными бумагами по сравнению с оценкой эффективности денежных операций имеет особенность,
связанную, в первую очередь, с двоякой трактовкой стоимости ценных бумаг, то вводится ряд специфических показателей.
При инвестировании средств экономические агенты могут стремиться получить прибыль или же возможность влиять на дальнейшие финансовые решения относительно развития объекта инвестирования. Оценка целесообразности операций с ценными бумагами предполагает расчет теоретической стоимости акции и сравнения ее с текущей рыночной ценой. Целью оценки является сопоставление ожидаемых результатов с затратами и
выработка рекомендаций инвесторам, какие действия предпринять сегодня, чтобы сохранить и преумножить капитал, и стоит ли осуществлять
капитальные вложения вообще. Ввиду постоянной смены тенденций на
финансовых рынках, полученные оценки необходимо достаточно часто
корректировать. Такие корректировки надо обязательно производить ежеквартально в соответствии со сроками ежеквартальной бухгалтерской отчётности.
5
Глава 1. ОСНОВНЫЕ ПОКАЗАТЕЛИ ДОХОДНОСТИ
ФИНАНСОВЫХ АКТИВОВ
1.1.
Простые и сложные проценты. Эффективная ставка
Для оценки финансовой эффективности стратегических проектов целесообразно применять «динамические» методы, основанные преимущественно на дисконтировании образующихся в ходе реализации проекта денежных потоков. Применение дисконтирования позволяет отразить основополагающий принцип «деньги сейчас дороже, чем завтра» и учесть тем
самым возможность альтернативных вложений по ставке приведения.
Мероприятия по оценке риска инвестирования и применение методов
учета неопределенности в финансовых расчетах, позволяющие уменьшить
влияние неверных прогнозов на конечный результат и тем самым увеличить вероятность правильного решения, могут существенно повысить
обоснованность и корректность результатов анализа.
С течением времени начальная сумма денег S(0) возрастает под влиянием годовой процентной ставки r.
Наращение – это вычисление будущей стоимости S(T) текущей денежной суммы S(0). Для расчётов используются следующие схемы:
а) схема простых процентов –
S (T)  S (0)(1  Tr ) ;
(1.1)
б) схема сложных процентов –
S (T )  S (0)(1  r )T
(1.2)
при начислении сложных процентов ежегодно;
S (T )  S (0)(1 
r Tm
)
m
(1.3)
при начислении сложных процентов m раз в году.
Рассматривают также непрерывное начисление сложных процентов.
Процентную ставку обозначим δ и назовем силой роста. В таком случае
S (T )  S (0) lim (1 
m 
 Tm
1 T  m /  
)  S (0) lim (1 
)
 S (0)eT . (1.4)
m 
m
 m / 
6
Эквивалентный переход к эффективной ставке по сложным процентам
осуществляется по формуле
e  (1  r )    ln 1  r  .
(1.5)
Дисконтирование – вычисление текущей стоимости S(0) будущего
денежного поступления S(T).
Банковское дисконтирование применяется для учета банком краткосрочных векселей. Клиент может обратиться в банк с просьбой погасить
вексель досрочно. Банк может согласиться выплатить ему сумму, однако
её размер будет меньше, чем указано в векселе:
t
S  N (1  d ) ,
(1.6)
T
где S – сумма выплаты по векселю, N – номинал векселя, t – число дней
до срока платежа, отнесенное к длительности года T , d – годовая ставка
дисконтирования, определяемая банком. Дисконт по данной операции составит
N S t
D
 d,
N
T
и именно такой доход получит банк от этой сделки. Обычно размер годовой ставки дисконтирования значительно выше средней банковской ставки
t
по кредитованию, ввиду того что число
значительно меньше единицы, и
T
при меньшей ставке такая операция для банка потеряет смысл.
Математическое дисконтирование –
S (T )
S (0) 
(1.7)
1  Tr
при простых процентах;
S (T )
S (0) 
(1.8)
r Tm
(1  )
m
при сложных процентах с начислением m раз в году, в частности, при m  1
S (T )
S (0) 
.
(1.9)
(1  r )T
Пример 1.1. Векселедержатель предъявил для учёта вексель на сумму 5 млн руб. со сроком погашения 28.09.2007 г. Вексель предъявлен
13.09.2007 г. Банк согласился учесть вексель с дисконтом в 75% годовых.
Какую сумму получит векселедержатель?
t 28  13 1
Решение. Считая, что в году 360 дней, находим


и
T
360
24
применяем формулу (1.5) при N = 5 млн р., d = 0,75:
1


S(13.09.2007)  5  1   0,75  млн р.  4,844 млн р.
 24

7
Пример 1.2. С суммы 5 млн руб. удерживаются сложные проценты
по годовой ставке 25%. Промежуток удержания 2 года. Найти оставшуюся
сумму.
Решение. Пользуясь формулой (1.9), найдем оставшуюся сумму после удержания с суммы S(2) = 5 млн р. процентов r = 0,25 при T = 2:
1
S (0)  5 
млн р. = 3,2 млн р.
(1  0, 25)2
Процентная ставка, которая объявлена в договоре и используется в
расчётах, называется номинальной.
Эффективной называется годовая ставка по сложным процентам,
которая позволяет за указанную в договоре сумму S(0) через T лет получить сумму S(T) независимо от указанной схемы начисления и номинальной процентной ставки. Значение эффективной ставки
1
S (T) T

ref  
(1.10)
 1
S
(0)


позволяет сравнивать между собой сделки, построенные по различным
схемам. Чем выше эффективная ставка, тем (при прочих равных условиях)
выгоднее сделка для кредитора. Если начисление ведётся по схеме сложных процентов m раз в году, то
m
r

ref  1    1 ,
(1.11)
m


в частности, при m = 1 ref  r .
Пример 1.3. Какие условия предоставления кредита более выгодны
банку:
) процентная ставка составляет 28% годовых, сложные проценты
начисляются ежеквартально;
) процентная ставка составляет 30% годовых, сложные проценты
начисляются раз в полгода?
Решение. В случае , r  0,28 , m  4 . По формуле (1.11)
4
 0, 28 
ref  1 
  1  0,31 [31%]. В случае , r  0,3 , m  2 . Находим
4


2
 0,3 
ref  1 
  1  0,322 [32,2%]. Сравнивая эффективные ставки для
2 

случаев  и , делаем вывод о том, что банку более выгоден вариант .
Пример 1.4. В одном банке за использование денег клиента по пластиковой карте ежегодно начисляют сложные 2 % , а в другом банке –
ежемесячно сложные 0,16 % . В каком банке держать кредит?
Решение. Выгоднее первый вариант, поскольку эффективная ставка в
этом случае выше: 0,02  1  0,0016 12  1  0,019 .
8
1.2. Виды доходности финансовых операций
Доходность – это количественная мера эффективности финансовых
операций. При расчёте доходности любой операции производится анализ
затрат и результатов.
Рассмотрим основные виды доходности.
1. Доходность сделки за период, или инвестиционный доход
I  S (T )  S (0) ,
где S(T) – возвращаемая сумма денег через период T; S(0) – начальная
сумма денег, подлежащая инвестированию на время T.
2. Коэффициент прироста капитала, называемый также относительным ростом, или процентной ставкой,
S T   S 0 
,
rT 
S 0 
измеряется в долях или в процентах в зависимости от цели анализа.
3. Коэффициент дисконтирования, или относительная скидка
S (T )  S (0)
.
dT 
S (T )
1
Указанные величины связаны соотношением 1  rT 
.
1  dT
При проведении финансовых операций экономический агент должен
понимать, что скидка делается с большей (наращенной) суммы, а проценты начисляются на меньшую (исходную), поэтому для той же финансовой
операции коэффициент дисконтирования ниже коэффициента прироста
капитала. Например, покупателю выгоднее получить скидку 20% с каждой
единицы товара, чем «довесок» в 20% при сохранении цены, поскольку его
скидка в последнем случае составит лишь 16,67%.
4. Нормированная (эффективная) доходность
1
ref  1  rT  T  1 .
Эффективная ставка доходности совпадает с процентной ставкой,
если срок сделки равен одному году.
5. Инвестиционные критерии позволяют сделать вывод о целесообразности инвестиций. К ним относятся чистый приведённый доход, внутренняя доходность, или доходность, «обещанная» инвестору по данной
сделки, индекс доходности.
1.3. Показатели эффективности инвестиций
Инвестиционный процесс – это финансовый поток, включающий
платежи двух видов: платежи, связанные с вложением капитала (инвестированием), считаются отрицательными и платежи, связанные с последующим получением дохода, считаются положительными. Поскольку капита9
лом считаются деньги, находящиеся в обороте и способные к «самовозрастанию», инвестиции часто называют капитальными вложениями.
Началом процесса инвестиций будем считать момент первого вложения капитала t  0 . Пусть K – объём начальных капиталовложений (относящихся к моменту t  0 ). Считаем, что длительность инвестиционного
проекта составляет n периодов (например, дней, месяцев, лет); t  n – момент последнего поступления инвестиционного дохода. Между первым
вложением средств и первым поступлением доходов должно пройти некоторое время (считаем, не менее одного периода).
Пусть инвестиционные доходы за 1, 2,…, n периоды составляют соответственно
R1, R2 , ..., Rn .
Ясно, что доходы могут быть отрицательными, если за год t требуются
дополнительные вложения капитала, которые не покрываются доходами за этот
год, нулевыми, если в периоде t вложено средств столько же, сколько получено
доходов, или положительными, если доходы выше капиталовложений, но
Rn  0 .
Для «приведения» денежных потоков к начальному моменту используется ставка r , которая называется ставкой приведения. Она устанавливается аналитиком (инвестором) самостоятельно, исходя из ежегодного
процента возврата, который он хочет или может иметь на инвестируемый
им капитал. При выборе r обычно ориентируются на текущий или ожидаемый уровень ссудного процента, а также на степень рисковости финансовой операции.
Перечислим основные показатели эффективности инвестиций.
Чистый приведённый доход (Net Present Value).
Чистым приведённым доходом называется разность дисконтированных показателей чистого дохода и инвестиционных затрат. Фактически это
современная величина инвестиционной прибыли.
Расчёт производится по формуле
n
Rt
.
t
(1

r
)
t 1
NPV   K  
(1.12)
Если Rt  R  const , t  1,n , то

.
R (1  r ) n  1
NPV   K 
(1.13)
r (1  r ) n
Если NPV  0 , то инвестиционный проект следует отклонить, если
NPV  0 , то проект принимается к рассмотрению.
Если проект предполагает не разовую инвестицию, а последовательное инвестирование финансовых ресурсов в течение m лет K 0 ,..., K m 1
(пренумерандо), то формула для расчета NPV модифицируется.
10
m 1
n
Кj
NPV   
j 0 (1  r )
j
Rk
,
k
(1

r
)
k 1

где m  n , m – число периодов инвестирования средств в проект; r – ставка
приведения; n – число периодов получения доходов.
Индекс доходности (Profitability Index).
Индексом доходности называется отношение современной стоимости чистых доходов от инвестиций к современной стоимости осуществляемых капиталовложений.
Этот показатель в отличие от предыдущего является относительным
и измеряется в долях или в процентах.
При единовременном капиталовложении индекс доходности связан с
чистым приведённым доходом соотношением
PI 
NPV  K 1 n Rt
 
.
K
K t 1 (1  r )t
(1.14)
Если Rt  R  const , t  1, n , то

.
R (1  r ) n  1
PI 
Kr (1  r )n
Если проект предполагает не разовую инвестицию, а последовательное инвестирование финансовых ресурсов в течение m лет K 0 ,..., K m 1
(пренумерандо), то формула для расчета PI модифицируется следующим
образом:
m 1 К
n
j
Rk
 (1  r )k NPV  
j
j  0 (1  r )
k 1
,
(1.15)
PI  m 1

m 1 К
Кj
j
 (1  r ) j
 (1  r ) j
j 0
j 0
где m  n , m – число периодов инвестирования средств в проект; r – ставка
приведения; n – число периодов получения доходов.
Если PI  1 , то проект следует отклонить, если PI  1 , то проект принимается к рассмотрению.
Внутренняя норма доходности (Internal Rate of Return, или IRR).
Внутренней нормой доходности инвестиционного процесса называется процентная ставка, при которой чистый приведённый доход по проекту равен нулю. Внутренняя норма доходности является эффективной ставкой по инвестиционному процессу. Однако чаще показатель внутренней
нормы доходности применяется к оценке долгосрочных капитальных вложений, чем для краткосрочных. Рассмотрим сначала долгосрочные процессы.
11
IRR находится из алгебраического уравнения:
n
Rt
K 
.
(1.16)
t
(1

IRR)
t 1
Противоречивость заключается в том, что алгебраическое уравнение
степени n может иметь n действительных положительных корней. В таком
случае выбор нужной величины может быть затруднителен. Но если величины K , R1,..., Rn положительны, то уравнение (1.16) имеет только один
положительный корень x  1  IRR . Если к тому же выполняется неравенство
K  R1  ...  Rn ,
(1.17)
то IRR  0 ( x  1 ). Действительно, при IRR  0 имеем K  R1  ...  Rn , при
дальнейшем увеличении IRR правая часть уравнения (1.16) строго убывает. Ввиду неравенства (1.17) получается только один корень.
Однако часто проект не приносит положительных чистых доходов в
течение всего срока, случаются и убытки, поэтому расчёт IRR может быть
неоднозначен. С другой стороны, внутренняя норма доходности имеет и
весьма существенное преимущество: для её расчёта не нужно знать
ставку приведения, а лишь величины ожидаемых финансовых потоков по
проекту.
В частности, если Ri  R  const для всех t  1,n , то уравнение (1.16)
принимает вид
R IRR(1  IRR)n

.
(1.18)
K (1  IRR)n  1
Проект может быть принят к рассмотрению, только если IRR  rH ,
где rH – минимально привлекательная для инвестора ставка процента.
В случае если n  2 , R1  0, R2  0 , уравнение (1.16) имеет 2 корня,
различных по знаку, и выбор нужного решения очевиден: для решения
уравнения обозначить через x  1  IRR , тогда
R R
K  1  22 ,
x x
отбросить общий знаменатель и решить квадратное уравнение:
Kx 2  R1x  R2  0 ,
(1.19)
а затем вычислить IRR  x  1 и взять положительное значение IRR.
Если проект предполагает не разовую инвестицию, а последовательное инвестирование финансовых ресурсов в течение m лет K 0 ,..., K m 1
(пренумерандо), то формула для расчета IRR модифицируется следующим
образом:
m 1
n
Kj
Rk
0 

,

j
k
j 0 1  IRR 
k 1 1  IRR 
12
где m  n , m – число периодов инвестирования средств в проект, n – число
периодов получения доходов.
Пример 1.5. Требуется проанализировать целесообразность покупки
четырехгодичной облигации за 175 руб., номиналом 15 руб., по которой
ожидаются следующие купонные доходы (постнумерандо): 30, 70, 70, 55.
Рассмотрим два случая: а) цена капитала 12%:
30
70
70
70
NPV = 175 



 1,9 (млн р.),
1,12 1,122 1,123 1,124
т.е. проект является приемлемым.
б) ожидается, что цена капитала будет меняться по годам следующим образом: 12, 13, 14, 14%, NPV находится с учётом реинвестирования
капитала:
30
70
70
NPV= 175 



1,12 1,12 1,13 1,12 1,13  1,14
70

 1,8 (млн р.),
1,12  1,13  1,14  1,14
т.е. проект убыточен.
Количественно оценку меры риска для n вариантов вложения капитала с заданной вероятностью реализации каждого варианта можно рассчитать по следующей формуле:
n
S
 (IRR i  ERR)2 pi ,
(1.20)
i 1
n
где ERR   pi IRR – ожидаемая норма доходности, pi – вероятность
i 1
i-го исхода.
Пример 1.6. Возможные нормы доходности (IRR) двух финансовых
проектов А и В находятся в зависимости от будущего состояния экономики
(табл. 1.1). Какой из проектов менее рискован для инвестора?
Таблица 1.1
Состояние экономики
Подъем
Норма
Спад
IRR, %
Вероятность данного состояния
Проект A
35
20
5
Р1= 0,25
Р2 = 0,5
Р3 = 0,25
Проект В
25
20
15
n
Решение. Прежде всего по формуле ERR   pi IRR рассчитаем для
i 1
каждого из проектов ожидаемую норму доходности ERR:
ERRA= 0,25·35% + 0,5·20% + 0,25 (5%) = 20%;
ERRB = 0,25·25% + 0,5·20% + 0,25·15% = 20%.
13
Оказалось, что ожидаемые нормы доходности проектов совпадают,
несмотря на то, что диапазон возможных значений IRR сильно различается: у проекта А от 5 до 35%, у проекта В от 15 до 25%.
Рассчитываем количественные оценки меры риска по формуле
(1.20):
S А  (35  20)2 0, 25  (20  20)2 0,5  (5  20)2 0,25  10,6 %;
S В  (25  20) 2 0,25  (20  20)2 0,5  (15  20)2 0,25  3,5 %.
Оба проекта имеют приемлемый уровень риска (не более 30 %), хотя
проект А более рискованный.
Для расчёта внутренней нормы доходности при краткосрочном инвестировании средств, например, при кредитовании клиентов (в прил. 2 приведён пример расчёта эффективной ставки при потребительском кредитовании на один год с возвратом средств ежемесячно) применяется формула
n
CFi
 0,

( d d )
i
i 1
0
(1  IRR) 365
где n – количество денежных потоков; CFi – сумма i-го денежного потока
соответственно со знаком плюс, если это поступление денег, и со знаком
минус, если это вложение средств, причём для инвестиционных процессов
характерно CF0  0, CFn  0 ; в прежних обозначениях положительные потоки соответствуют R, отрицательные K; di – дата i-го денежного потока;
d 0 – дата начального денежного потока (совпадает с датой первого вложения денежных средств); IRR (EFF) – годовая эффективная процентная
ставка, выраженная в виде десятичной дроби.
1.4. Метод дисконтирования денежных потоков
Сущность метода. При соотнесении финансовых потоков, разнесённых во времени, применяется метод дисконтирования денежных потоков
(ДДП), который позволяет оценить стоимость активов на основе текущей
стоимости дохода, состоящего из прогнозируемых денежных потоков.
Алгоритм расчета метода ДДП.
1. Определение длительности прогнозного периода зависит от объема информации, достаточной для долгосрочных прогнозов. Тщательно выполненный прогноз позволяет предсказать характер изменения денежных
потоков на более долгий срок.
2. Прогнозирование доходов, расходов.
3. Расчет ставки дисконтирования с учетом уровня риска инвестиций. Корректный расчет данного показателя предполагает анализ доходности инвестиций в аналогичные активы, требует от оценщика понимания
уровня инвестиционного риска в стране и конкретном регионе.
14
4. Расчет суммы текущих стоимостей спрогнозированных потоков
доходов.
Расчёт ставки дисконтирования. Ставка дисконтирования – требуемая инвестором ставка дохода на вложенные инвестиции, рассчитывается с
учетом уровня риска на оцениваемом сегменте рынка.
Величина ставки отражает масштабы возможного риска, связанного
с операциями на финансовом рынке, учитывает действительную инфляцию
и возможность альтернативных вложений капитала. Для определения ставки дисконта необходимо понимать, что инвестор, приобретая ценные бумаги, отдает свои деньги в обмен на право вернуть их в будущем с соответствующей прибылью. Вкладывая свой капитал, инвестор рискует не получить эту прибыль и в силу этого он вправе требовать в качестве компенсации соответствующую премию за риск в виде процентных надбавок к
норме прибыли, которую он мог бы получить, вложив свой капитал в более надежное дело, например, положив деньги в банк.
Ставка дисконтирования должна отражать взаимосвязь «риск – доход», а также степень влияния факторов риска, присущих именно этому
виду ценных бумаг.
Задача определения ставки дисконтирования (нормы дисконта) является одной из важных и в то же время наиболее непростых задач, возникающих в процессе оценки стоимости методом дисконтирования денежных потоков.
Ставка дисконтирования используется для приведения денежной
суммы, выплачиваемой или получаемой в будущем, в ее текущую стоимость. С точки зрения экономиста, норма дисконта отражает рискованность инвестиций и одновременно скорректированную с учетом инфляции
минимально приемлемую для инвестора доходность вложенного капитала.
Современная теория и практика оценки стоимости предлагают три
базовых концепции определения ставки дисконтирования. Во-первых,
норма дисконта может быть установлена на основе существующих реально
альтернативных вложений капитала. Данный подход подкупает своей простотой и вследствие этого весьма широко практикуется. Однако вопрос:
существует ли в действительности та или иная альтернатива и насколько
достоверна информация о ней – весьма непростой, а ответ на него во многом субъективен. В случае если бизнес-процессы компании четко определены, норма прибыли не меняется годами и сопоставима с показателями
доходности рынка в целом, а руководство не планирует реализацию сколько-нибудь уникальных проектов, можно использовать, например, ставку
доходности по банковским депозитам (один из наиболее популярных вариантов). Но так как мы имеем дело с различными проектами, данный подход может оказаться нереализуемым.
Вторая концепция исходит из того, что необходима дифференциация
ставок дисконтирования для различных групп проектов – прежде всего, в
15
зависимости от отрасли. Однако среднеотраслевая ставка дисконта обычно
слабо отражает реальные условия конкретного проекта (структуру финансирования, перспективы развития, политические риски). Общие риски,
присущие конкретной отрасли экономики, безусловно, существуют, но в
условиях развивающегося рынка России они редко отражают индивидуальные риски отдельно взятого предприятия.
Наиболее научно обоснованной должна быть признана третья концепция, предполагающая использование в качестве ставки дисконта стоимость капитала проекта или компании в целом. Изучение опыта развитых
стран заставляет признать, что усредненные рыночные оценки инвесторов
все-таки более объективны, чем оценка отдельно взятого аналитика, который зачастую мотивирован на определенный результат.
Из всех методов, существующих в рамках данного подхода, в современной российской практике получили два: метод кумулятивного построения («build up») и расчет средневзвешенной стоимости капитала.
Определение средневзвешенной стоимости капитала. Средневзвешенная стоимость капитала (weighted average cost of capital – WACC) учитывает стоимость собственного (акционерного) капитала и стоимость заемных средств.
Учесть стоимость и собственных, и заемных средств позволяет показатель WACС, который рассчитывается по формуле
WACC = Re (E/V) + Rd (D/V)(1 – tc),
где Re – ставка доходности собственного (акционерного) капитала; E – рыночная стоимость собственного капитала (акционерного капитала), рассчитывается как произведение общего количества обыкновенных акций компании и цены одной акции; V = E + D – суммарная рыночная стоимость
займов компании и ее акционерного капитала; D – рыночная стоимость заемного капитала, на практике часто определяется по бухгалтерской отчетности как сумма займов компании; Rd – ставка доходности заемного капитала компании (затраты на привлечение заемного капитала), в качестве таких затрат рассматриваются проценты по банковским кредитам и корпоративным облигациям компании; tc – ставка налога на прибыль.
Расчет ставки дисконтирования кумулятивным методом. Логика метода проста и основывается на утверждении, что за безрисковое вложение
инвесторы требуют безрисковую ставку доходности на инвестиции. Но так
как большинство инвестиций не являются безрисковыми (т.е. испытывают
влияние факторов риска), то, оценив риск экспертным путем, можно добавить к безрисковой ставке некоторое количество рисковых премий. Обычно конкретная величина премии за каждый из видов риска определяется
экспертным путем в диапазоне вероятного интервала от 0 до 5% годовых
(номинальная ставка в долларах США).
R = Rf + R1 + ... + Rn,
где R – ставка дисконтирования; Rf – безрисковая ставка доходности;
R1 + ... + Rn – рисковые премии по различным факторам риска.
16
Безрисковая ставка доходности – ставка процента в высоколиквидные активы, т.е. отражающая фактические рыночные возможности вложения денежных средств фирм и частных лиц, без какого бы ни было риска
невозврата [2].
Наличие того или иного фактора риска и значение каждой рисковой
премии на практике определяются экспертным путем. Одним из главных
недостатков метода кумулятивного построения является допущение об аддитивности рисков, в то время как все факторы зависят между собой и не
действуют отдельно друг от друга. В связи с этим возникает потенциальная опасность двойного (и более) учета того или иного фактора и соответственно искусственного завышении ставки дисконта. Кроме того, существует вероятность, что аналитик не учтет какой-либо из факторов риска, так
как не существует стандартного набора рисков, общего для всех случаев.
Субъективная интерпретация получаемых результатов со стороны аналитика усиливает погрешность результата.
Для корректного определения текущей стоимости будущих поступлений величина денежного потока и ставка дисконтирования должны быть
выражены в одной валюте (мы используем единую валюту для всех расчетов – доллары США).
Таким образом, несмотря на существенные недостатки (субъективность оценки рисков аналитиков, предположение об аддитивности рисков,
опасность пропустить отдельные виды рисков), метод кумулятивного построения является наиболее популярным способом расчета ставки дисконтирования, используемым российскими компаниями (по оценкам аналитиков, более 75%). Чаще всего метод кумулятивного построения ставки дисконтирования используется в тех случаях, когда заказчик требует соблюдения определенных пожеланий к результатам оценки, так как ставка дисконтирования, рассчитанная данным методом, может варьироваться в диапазоне от чистого значения безрисковой ставки (например, 7%) до максимального риска по всем факторам (при вышеуказанной безрисковой ставке, 42%). Это позволяет по желанию инвестора изменять стоимость, полученную в рамках доходного подхода, в несколько раз.
Однако существует возможность минимизировать подобные недостатки при помощи факторного анализа. Его сущность состоит в том, что
имеются факторы, влияющие на тот или иной показатель метода кумулятивного построения, которые можно выразить в односложных вопросах с
ответами «да», «нет», «нет данных» или «не знаю». Таким образом, для того чтобы достоверно рассчитать ставку дисконтирования, необходимо обладать достоверной исходной информацией об оцениваемом проекте и в
соответствии с ней ответить на ряд простых вопросов, понятных и не специалисту в оценочной деятельности. Это позволяет избежать:
 возможности «подгонки» результата под требования заказчика, так
как правильность ответов на поставленные вопросы может проверить
любой внешний пользователь отчета об оценке;
17
 применения «экспертного» мнения оценщика, снижающего достоверность итоговых результатов;
 лишних трудозатрат по поиску необходимой достоверной информации для точного расчета ставки дисконтирования иными методами.
В соответствии с исходным методом кумулятивного построения
ставки дисконтирования учитываются следующие факторы риска, принимающие значения от 0 до 5%:
 ключевая фигура в руководстве, качество руководства;
 размер компании;
 финансовая структура (источники финансирования компании);
 товарная и территориальная диверсификация;
 диверсификация клиентуры;
 доходы: рентабельность и предсказуемость;
 прочие особые риски.
Таким образом, если топ менеджеры и руководитель оцениваемой
компании имеют необходимые знания (образование), у них накоплен значительный опыт работы в данной области, руководитель имеет значительный опыт руководства подобной компанией, имеется достаточный кадровый резерв, то присутствует минимальное значение фактора риска «ключевая фигура в руководстве, качество руководства».
Как уже было сказано, составляющими каждого фактора риска являются простые вопросы. Следовательно, присвоив каждому ответу соответствующее значение риска, можно рассчитать совокупное значение фактора риска. Если ответу «да» присвоить минимальное значение риска 0%;
ответу «нет» – максимальное значение 5%, а ответу «не знаю» соответственно среднее значение 2,5%, тогда совокупное значение фактора риска
«ключевая фигура в руководстве, качество руководства» можно рассчитать
по следующей формуле:
R1 = (В1 + В2 + В3 + В4 + В5 + В6)/ 6,
где R1 – итоговое значение фактора риска «ключевая фигура в руководстве,
качество руководства»; В1 – B6 – значения составляющих фактора (т.е. соответствующие значения ответов на ключевые вопросы – 0,5 или 2,5%).
Таким образом, ставка дисконтирования, рассчитанная методом кумулятивного построения с учётом факторного анализа, даёт более точные
результаты и не позволяет использовать возможность изменения результатов оценки в соответствии с пожеланиями заказчика, так как проверить
достоверность ответов на односложные вопросы может и не специалист в
оценочной деятельности.
В качестве возможных безрисковых ставок в пределах Российской
Федерации принято рассматривать следующие инструменты:
 депозиты Сбербанка РФ и других надежных российских банков;
 западные финансовые инструменты (государственные облигации развитых стран, LIBOR);
18
 ставки по межбанковским кредитам РФ (MIBID, MIBOR);
 ставку рефинансирования ЦБ РФ.
В оценочной практике часто встречаются случаи использования ставок по депозитам в качестве безрисковых (табл. 1.2).
Таблица 1.2
Ставки по депозитам в долларах США в соответствии
с рейтингом надежности банков России по состоянию
на 1 января 2009 года
Название банка
Ставка, %
Сбербанк РФ
6,75
ВТБ 24
6,5
Газпромбанк
5,5
Транскредитбанк
8,5
Уралсиб
8
Альфа-банк
6,5
Средняя ставка
6,9583
Примечание. Составлено по информации сайтов
Сбербанка РФ (www.sberbank.ru), Внешторгбанка
(www.vtb.ru), Альфа-банка (www.alfa-bank.ru), Газпромбанка (www.gazprombank.ru), а также www.finansmag.ru
Итак, безрисковая ставка дисконтирования составила около 7%.
Факторная модель расчета ставки дисконтирования на основе метода
кумулятивного построения (для инвестирования в ценные бумаги крупной
корпорации) приведена в табл. 1.3.
Согласно проведённым расчётам, в четвертом квартале 2008 года и в
первом полугодии 2009 года ставка дисконтирования (для доллара США)
составляет 13%; согласно прогнозам, для второго полугодия 2009 года и
первого полугодия 2010 года – 12%; для второго полугодия 2010 года и
первого полугодия 2011 года – 10% и, наконец, для второго полугодия
2011 года ставка дисконтирования составит 8%.
Рублёвые ставки для прогнозов приблизительно в 1,5 раз выше долларовых: в четвертом квартале 2008 года и в первом полугодии 2009 года
ставка дисконтирования для расчётах в рублях составляет 19%; для второго полугодия 2009 года и первого полугодия 2010 года – 17%; для второго
полугодия 2010 года и первого полугодия 2011 года – 16% и, наконец, для
второго полугодия 2011 года ставка дисконтирования составит 13%.
19
Таблица 1.3
Ответы
(«да», «нет»,
«не знаю»)
Ключевая фигура в руководстве, качество руководства
Профильное образование топ менеджеров
«да»
Опыт работы топ менеджеров в данной области более 3 лет
«да»
Профильное образование руководителя (генерального директора)
«да»
Опыт работы руководителя в данной области более 5 лет
«не знаю»
Время работы руководителя на должности более 2-х лет
«да»
Имеется достаточный внутренний резерв кадров
«да»
Сумма значений
Количество составляющих факторов
Итоговое значение фактора риска
Размер компании
Объем чистых активов выше или равен среднему значению по
«не знаю»
отрасли
Объем выручки выше или равен среднему значению по отрасли
«не знаю»
Объем чистой прибыли выше или равен среднему значению по
«да»
отрасли
Объем валюты баланса выше или равен среднему значению по
«да»
отрасли
Среднесписочная численность сотрудников выше или равна
«да»
среднему значению по отрасли
Наличие сети филиалов
«да»
Сумма значений
Количество составляющих факторов
Итоговое значение фактора риска
Товарная и территориальная диверсификация
Широкая номенклатура производимой продукции (работ, услуг)
«не знаю»
Постоянный (не сезонный) спрос на производимую продукцию
«не знаю»
(работы, услуги)
В номенклатуре производимой продукции есть товары (работы,
«да»
услуги) первой необходимости
Экспортная продукция (работы, услуги)
«нет»
Наличие региональной сети филиалов (региональной сбытовой
«да»
сети)
Сумма значений
Количество составляющих факторов
Итоговое значение фактора риска
Диверсификация клиентуры
Наличие государственных заказов
«нет»
Наличие корпоративных заказчиков
«да»
Наличие частных заказчиков
«да»
Наличие зарубежных заказчиков
«да»
Равномерное распределение всего объема выручки по заказчикам
(отсутствие одного или нескольких заказчиков, формирующих
«не знаю»
доминирующую часть выручки)
Наличие сети сбыта продукции
«да»
Сумма значений
Количество составляющих факторов
Итоговое значение фактора риска
Факторы риска
20
Значение,
%
0
0
0
2,5
0
0
2,5
6
0,42
2,5
2,5
0
0
0
0
5
6
0,83
2,5
2,5
0
5
0
10
5
2,00
5
0
0
0
2,5
0
7,5
6
1,25
Окончание табл. 1.3
Ответы
(«да», «нет»,
«не знаю»)
Доходы (рентабельность и предсказуемость)
Значение коэффициента рентабельности основного капитала
«да»
выше средних значений по отрасли
Значение коэффициента рентабельности собственного капитала
«не знаю»
выше средних значений по отрасли
Значение коэффициента рентабельности основной деятельности
«не знаю»
выше средних значений по отрасли
Значение коэффициента устойчивости экономического роста
«не знаю»
выше средних значений по отрасли
Равномерность изменения основных финансовых показателей в
«да»
ретроспективе (за 3 – 5 предыдущих лет)
Сумма значений
Количество составляющих факторов
Итоговое значение фактора риска
Прочие особые риски
Умеренная (либо низкая) конкуренция в отрасли (один или не«да»
сколько конкурентов)
Проведение ежегодного (ежеквартального) внутреннего аудита
«да»
Проведение ежегодной переоценки основных средств предпри«да»
ятия
Постоянное повышение квалификации сотрудников (инвестиции
«да»
в профессиональный рост сотрудников)
Затраты на НИОКР выше или равны средним значениям по от«да»
расли
Затраты на переоснащение основных фондов выше или равны
«да»
средним значениям по отрасли
Сумма значений
Количество составляющих факторов
Итоговое значение фактора риска
Безрисковая ставка
Итого ставка дисконта (сумма всех значений рисков и безрисковой ставки)
Факторы риска
Значение,
%
0
2,5
2,5
2,5
0
8
5
1,50
0
0
0
0
0
0
0
6
0
7
13
Тест
Вопрос 1. Дайте определение наращения денег.
а) Наращение – это вычисление процентов от вложения средств, дисконтирование – это вычисление текущей стоимости будущей денежной
суммы;
б) Наращение – это вычисление будущей стоимости текущей денежной суммы;
в) Наращение – это вычисление текущей стоимости будущей денежной суммы;
г) Наращение – это вычисление будущей стоимости текущей денежной суммы только с учётом простых процентов.
21
Вопрос 2. Дайте определение дисконтирования денег.
а) Дисконтирование – это вычисление текущей стоимости будущей
денежной суммы;
б) Дисконтирование – это расчёт эквивалентной денежной суммы по
схеме сложных процентов, начисляемых ежегодно;
в) Дисконтирование – это вычисление будущей стоимости текущей
денежной суммы;
г) Дисконтирование – это вычисление текущей стоимости будущей
денежной суммы только с учётом простых процентов.
Вопрос 3. Рассматриваются 2 альтернативных инвестиционных проекта, рассчитанных на 3 года. По первому проекту доходы будет поступать
ежемесячно (равными суммами в конце каждого месяца), а по второму
проекту – в конце срока реализации. Определите предпочтительность того
или иного проекта, если ставка приведения составляет 15%, а общая
сумма поступлений по второму проекту составляет 120% к поступлениям
по первому проекту и 150% к первоначальной сумме вложений.
а) оба проекта нецелесообразны;
б) оба проекта целесообразны, предпочтительнее первый проект;
в) первый проект целесообразен, второй – нецелесообразен;
г) второй проект целесообразен, первый – нецелесообразен.
Вопрос 4. Из четырех альтернативных инвестиционных проектов
выберете наилучший при ставке приведения 15%.
а) длительность проекта 2 года, в конце срока возврат удвоенной
суммы вложений;
б) длительность проекта 3 года, в конце каждого года возврат 65%
от первоначальной суммы инвестирования;
в) длительность проекта 2 года, в конце каждого года возврат 90%
от первоначальной суммы инвестирования;
г) длительность проекта 1 год, возврат 1,7 долей от первоначальной
суммы инвестирования.
Вопрос 5. Внутренняя норма доходности проекта оценена на уровне
15 или 35% для двух равновероятных исходов. Ожидаемая доходность
проекта: а) 20%; б) 30%; в) 27%; г) 25%.
Вопрос 6. Внутренняя норма доходности проекта оценена на уровне
15 или 35 % для двух равновероятных исходов. Оцените риск проекта (корень из дисперсии). а) 13 %; б) 15%; в) 14 %; г) 12 %.
Вопрос 7. Внутренняя норма доходности проекта определяется:
а) всегда однозначно;
б) всегда неоднозначно;
в) однозначно только при условии, что вложения капитала были
осуществлены единовременно;
г) в некоторых случаях однозначно, например, при условии, что
вложения капитала были осуществлены единовременно.
22
Вопрос 8. При непрерывном начислении сложных процентов темп
роста δ связан с эффективной ставкой r соотношением:
а)   ln 1  r   1; б)   ln 1  r  ; в)   e   1 ; г) r  ln 1    .
Вопрос 9. Если проект предполагает последовательное инвестирование финансовых ресурсов в течение m лет K j (пренумерандо) и получение
чистых доходов Rk (постнумерандо), то IRR будет рассчитываться следующим образом:
1 r
m 1
n
Kj
а) 0  
j  0 1  IRR 

j
Rk
k
k 1 1  IRR 
, где m  n , m – число периодов
инвестирования средств в проект, n – число периодов получения доходов;
m 1
б) 0 

j 0
Kj
n
1  IRR  j
Rk

k 1
1  IRR k
, где m  n , m – число периодов
инвестирования средств в проект, n – число периодов получения доходов;
m 1
в)

j 0
Kj
1  IRR 
n
j


k 1
Rk
1  IRR k
 1, где m  n , m – число периодов ин-
вестирования средств в проект, n – число периодов получения доходов;
m 1
г)

Kj
j
j 0 1  IRR 
n


Rk
k
k 1 1  IRR 
, где m  n , m – число периодов инве-
стирования средств в проект, n – число периодов получения доходов.
Вопрос 10. Если не указана ставка альтернативного вложения
средств, для оценки доходности инвестиций можно использовать:
а) IRR; б) PI; в) NPV; г) одновременно PI и NPV.
Глава 2. ОЦЕНКА ФИНАНСОВЫХ РИСКОВ
2.1. Статистические измерители финансового риска
Рассмотрим следующие статистические показатели:
 средний срок обязательства,
 волатильность.
Простейшей характеристикой финансового риска является срок, оставшийся до погашения финансового инструмента (term to maturity). При
прочих равных условиях бóльшим риском обладает инструмент с бóльшим
сроком. Однако непосредственное сравнение сроков финансовых инструментов с фиксированным поступлением доходов, типичным представителям которых являются облигации, далеко не всегда приведёт к правильным результатам, поскольку здесь не учитываются особенности распреде23
ления (профиль) поступлений денег во времени. Для учёта этого фактора –
распределения сумм погашения обязательства во времени – применяют
средний срок поступлений (average life), который обобщает сроки поступлений денег от инструмента (без учёта процентных платежей) в виде средней взвешенной арифметической величины. В качестве весов берутся суммы поступлений.
Средний срок поступлений для инструмента с фиксированными доходами находят по формуле
n
 tSt
Ta  tn1 ,
 t 1 St
(2.1)
где n – общий срок инструмента, t – сроки платежей, St – суммы поступлений (без купонного дохода).
Целесообразно учитывать ценность денег во времени. Поэтому рассматривают эквивалентный срок инструмента:
n
t
tS
v

t
Te  tn1
,
t
S
v
 t 1 t
(2.2)
где n – общий срок инструмента, t – сроки платежей, St vt – дисконтироt
ванные суммы поступлений, vt  1  r  – дисконтирующий множитель по
ставке r на срок t. Ввиду того что r > 0, Te < Ta .
Пример 2.1. Найдём 2 варианта среднего срока поступлений по обязательству, которое обеспечивает поступление денег через 2, 3 и 5 лет в
размерах 100, 100 и 400 тыс. руб. Находим
 tSt  2500 ,  S
t
 600 .
t
t
Средний срок поступления составит Ta  4,17 года. Если рыночная
ставка r  16% , то с учётом потери стоимости денег во времени получаем
 tSt  1,16t  1293 ,  St  1,16t  329 .
t
t
Средний эквивалентный срок поступления составит Te  3,93 года.
Вариант среднего срока, широко распространённый в современной
практике измерения финансового риска, получил название дюрация (duration). Дюрация – это эквивалентный срок, при расчёте которого учитываются все поступления, включая проценты. В третьей главе будет приведён
приём расчёта дюрации по облигациям.
24
К простым статистическим мерам риска, характеризующим колебания значений экономической переменной (цены, уровня доходности, процентной ставки и т.п), имевшим место в периоде наблюдения, можно отнести ряд показателей. Наиболее элементарным из них является размах –
диапазон значений. Чем шире размах, тем, в общем, ситуация более неопределённая и, вероятно, выше риск. Очевидно, что для финансового анализа размах мало что даёт, поскольку он определяется только двумя крайними значениями переменной. Мера риска, которая в отличие от размаха
обобщает все наблюдавшиеся значения выбранной характеристики, – это
волатильность (volatility). В широком смысле под волатильностью понимают изменчивость, вариацию во времени величины финансового или экономического показателя. Волатильность как меру риска обычно характеризуют с помощью широко распространённого статистического параметра –
стандартного, или среднего квадратического отклонения (σ).
Другая распространённая статистическая мера изменчивости, функционально связанная со стандартным отклонением, – дисперсия ( D  2 ).
Чем больше стандартное отклонение, или дисперсия, тем, очевидно, выше
неопределённость в величине соответствующей характеристики и, следовательно, выше риск. Волатильность в виде стандартного отклонения, или
дисперсии, используется как непосредственная мера риска, так и в качестве одной из важнейших величин, применяемых в более сложных методиках измерения риска, например, при определении чувствительности цен
облигаций и опционов, а также при расчёте стоимости под риском [1].
Стандартное отклонение равно среднему квадрату отклонений от
арифметической средней варьирующего признака. Измеряется оно в тех же
единицах, что и величина этого признака. Набор данных, по которым определяется стандартное отклонение, в финансовом анализе обычно назыn
x
вают выборкой. При определении средней x   i теряется одна степень
i 1 n
свободы, и вместо числа наблюдений n используется величина n  1 . Поэтому для расчёта стандартного отклонения и дисперсии с учётом числа
степеней свободы получаем соответственно формулы
n
 ( xi  x )2

i 1
n 1
, D  2 .
Расчёт средних, дисперсии и стандартного отклонения легко производится с помощью встроенных функций электронных таблиц.
Для сопоставления различных экономических тенденций по степени
волатильности удобнее применять относительный показатель – коэффици
ент вариации, который может измеряться в долях: v  или в процентах:
x
25

100% . Для расчёта волатильности при агрегировании данных во
x
времени обычно допускают, что статистические величины имеют одинаковое распределение и не коррелируют в последовательных интервалах времени. На практике часто применяют следующие формулы агрегирования
во времени показателей волатильности:
v
год  мес 12,
10дневн   дневн 10 ,
год   дневн 252 (если в году 252 торговых дня).
Пример 2.2. Пусть волатильность доходности за месяц равна 10, тогда в расчёте за год она составит 34,65.
2.2. Доходность и волатильность портфеля активов
Целесообразность операций с любым финансовым активом оценивается с помощью двух взаимосвязанных характеристик: доходность – риск.
Одним из важных приёмов сокращения риска, применяемых в инвестиционных решениях, является диверсификация, под которой понимается распределение общей инвестированной суммы между несколькими активами.
Диверсификация базируется на простой гипотезе. Если каждая составляющая портфеля характеризуется некоторой дисперсией дохода, то доход
портфеля в целом имеет дисперсию, определяемую его составом. Таким
образом, изменяя состав портфеля, можно изменять суммарную дисперсию
дохода, а в некоторых случаях свести её к минимуму.
Если нет особых требований к структуре портфеля, то при его формировании принимается во внимание не только волатильность, но также
доходность портфеля. Степень важности каждой из этих характеристик
(приоритет) определяется инвестором в зависимости от целого ряда условий. В некоторых случаях удаётся подобрать структуру портфеля, для которого одна из характеристик зафиксирована, а другая оптимальна
(гл. 4).
Доходность портфеля, очевидно, равна средней взвешенной величине:
n
R   i Ri ,
(2.3)
i 1
где n – число видов активов, i – доля этого актива в портфеле, Ri – доходность i-го актива.
Приведём расчётные формулы для статистических характеристик
портфеля, содержащего n видов активов, которые вытекают из двух основных свойств дисперсии.
1. Если все значения случайной величины x увеличить в  раз, то
дисперсия увеличится в  2 раз:  x 2   2 x 2 .
26
2. Дисперсия суммы двух случайных величин x и y находится как
 x  y 2   x 2   y 2  2 xy  x y ,
где  xy – коэффициент парной корреляции между переменными x и y :
cov  x, y 
1 n
 xy 
, cov  x, y     xi  x  yi  y  ,
x y
n i 1
cov  x, y  – ковариация между этими переменными.
Коэффициент корреляции характеризует степень линейной зависимости между переменными. Значение коэффициента корреляции изменяется от 1 до 1. Если значение приближается к 1 (1), то между переменными существует сильная отрицательная (положительная) линейная зависимость. Если этот коэффициент равен нулю, то говорят, что переменные
статистически независимы (некоррелированы) друг с другом.
Для портфеля, состоящего из двух активов, получаем следующее
значение волатильности (стандартного отклонения портфеля):
 p  1212  22 2 2  21 21212 .
(2.4)
Пусть портфель состоит из n видов активов, в долях соответственно
1,..., n , тогда волатильность (стандартное отклонение портфеля) составит
n
p 

i 1
i2i 2
n 1
 2
i 1
n
 i jij i j .
(2.5)
j 1 i
Пример 2.3. Рассмотрим инвестиционный портфель объёмом
500 тыс. руб., содержащий 2 вида акций – А и В, одинаковой номинальной
цены. Объём акций А в портфеле составляет 100 тыс. руб. Ежемесячные
показатели доходности активов А и В представлены на рис. 2.1.
Заметим, что доходность второго актива немного выше, чем доходность первого, а волатильность второго актива заметно выше. Рассчитаем
доли (удельные веса) активов в портфеле. Доля первого актива
100/500 = 0,2. Соответственно доля второго актива в общей стоимости
портфеля составит 0,8.
Ожидаемая доходность портфеля:
x p  0, 2 x A  0,8xB  7,3885% .
Волатильность портфеля:
 p  0,22 2 A  0,82 2 B  2  0,2  0,8   AB   A B  1,205 .
Если считать, что активы некоррелируют между собой, получим
 p  0,22 2 A  0,82 2 B  1,2331 .
Отрицательная корреляция показателей доходности немного снизила
волатильность портфеля.
27
Ежемесячные показатели доходности
активов A и B, %
t
A
B
1
6,35
9,02
2
6,88
7,65
3
6,99
9,12
4
7,91
7,01
5
7,4
5,69
6
9,12
8,65
7
6,38
6,36
8
6,13
10,23
9
7,55
6,56
10
8,12
7,01
11
6,99
5,23
12
7,19
6,56
Функция (Excel)
Средние уровни доходности
xA 
7,24583
xB 
7,42417
СРЗНАЧ()
Дисперсия (с учетом
степеней свободы)
2A 
0,71904
2B 
2,33088
ДИСП()
A 
0,84797
B 
1,52672
СТАНОТКЛОН()
Стандартные отклонения
Ковариация
cov  x A , xB  
 AB 
Коэффициент корреляции
–0,197
КОВАР()
–0,166
КОРРЕЛ()
Рис. 2.1. Ежемесячные показатели доходности активов А и В
Приведём формулы расчёта волатильности портфеля с двумя видами
активов при разных значениях коэффициента корреляции (табл. 2.1).
Таблица 2.1
Волатильность портфеля с двумя видами активов
( 1 , 2 – волатильности активов)
Структура портфеля
 1; 2 
Коэффициент корреляции 12
0
1
(1;0)
+1
1
(0,75;0,25)
0, 751  0, 252
0, 25 912  2 2
0, 751  0, 25 2
(0,5;0,5)
0,5  1  2 
0,5 12   2 2
0,5 1  2
(0,25;0,75)
0, 251  0, 752
0, 25 12  92 2
0, 251  0, 75 2
(0;1)
2
2
2
28
-1
1
Рассматриваем случаи полной положительной корреляции ( 12  1 ),
полной отрицательной корреляции ( 12  1 ) и отсутствия корреляции
( 12  0 ). Обозначим доли активов в портфеле через 1, 2 . Ясно, что
1  2  1 . В частности, при 1  2   получаем формулы, изображенные
в табл. 2.2. Указанная зависимость графически представлена на рис. 2.2.
Таблица 2.2
Волатильность портфеля с двумя видами активов ( 1  2   )
Структура портфеля  1 ; 2 
(1;0)
(0,75;0,25)
(0,5;0,5)
(0,25;0,75)
(0;1)
Коэффициент корреляции 12
+1
0
-1
σ
σ
σ
σ
0,79 σ
0,5 σ
σ
0,71 σ
0
σ
0,79 σ
0,5 σ
σ
σ
σ
Рис. 2.2. График волатильности портфеля с двумя видами активов ( 1  2   )
Теперь выясним, при какой структуре портфеля достигается минимум дисперсии:
 p 2  1212  222 2  21 2121 2 .
При этом волатильность (2.4) также будет минимальной. Если дисперсии активов одинаковы, то одним из соотношений долей активов, при
котором риск портфеля минимален, будет являться 0,5:0,5 (табл. 2.2). Ясно
также, что если какой-либо актив имеет нулевую дисперсию, то для минимизации риска портфеля все деньги нужно вложить в него. Пусть дисперсии активов положительны и различны. Не ограничивая общности в рассуждениях, будем считать, что 0  1  2 .
29
Используя соотношение 1  2  1 , выразим 2  1  1 и преобразу2
ем дисперсию портфеля:  p 2  1212  1  1   2 2  21 1  1  121 2 . Поскольку функция  p 2 является непрерывной на ограниченном замкнутом
множестве значений переменной 0  1  1 , то она достигает на этом множестве наименьшего значения. Рассмотрим 3 случая.
1. Пусть активы находятся в полной положительной корреляции,
12  1, тогда волатильность портфеля
 p  11  2 2  11  1  1   2   2  1  1  2  .
Поскольку 1  2  0 , риск портфеля будет минимальным при
1  1, соответственно 2  0 .
2. Пусть активы находятся в полной отрицательной корреляции,
12  1 . Тогда волатильность портфеля  p  11  2 2 . Риск будет минимальным при
1  22 / 1 . Учитывая, что 1  2  1 , получаем
1
2
2 
, 1 
. При этом портфель оказывается безрисковым:
 2  1
2  1
p  0.
3. Пусть 12  1. Для нахождения стационарной точки приравниваем
производную дисперсии к нулю:

 p 2  2112  2 1  1  2 2  2 1  1  1212  21 1212 
 


 21 12  2121 2  2 2  2121 2  2 2 2  0 .
Из условия 12  1 вытекает, что производная второго порядка
    2  
2
p
2
1

 2121 2   2 2  0 .
Поэтому в стационарной точке достигается минимум дисперсии:
1*
22  1212
12  1212
*
 2
, 2  2
.
1  21212  2 2
1  21212  2 2
(* указывает на оптимальность результата).
Тест
Вопрос 1. Обязательство обеспечивает поступление денег через
2, 7 и 8 лет в размерах 200, 300 и 400 тыс. руб. Найти средний эквивалентный срок поступления при альтернативной ставке инвестирования 13% годовых.
а) 8,155 лет; б) 9,155 лет; в) 6,155 лет; г) 5,54 лет.
30
Вопрос 2. Дюрация – это:
а) эквивалентный срок, при расчёте которого учитываются все поступления, включая процентные доходы (скажем, купонные доходы по облигациям и проч.);
б) эквивалентный срок, при расчёте которого учитываются все поступления, кроме поступления купонных доходов по облигациям.
в) средний неэквивалентный срок, при расчёте которого учитываются все поступления, включая процентные доходы;
г) общий срок финансового актива.
Вопрос 3. Пусть 1, 2 – волатильности активов. Волатильность
портфеля с двумя видами активов при полной отрицательной корреляции и
соотношении активов в портфеле 50 %:50 % составит:
а) 0,5  1  2  ; б) 0,5 1  2 ; в) 1  2 ; г) 1  2 .
Вопрос 4. Рассмотрим портфель, содержащий в равных долях два актива. При полной положительной корреляции между этими активами волатильность портфеля:
а) зависит лишь от суммы волатильностей входящих в портфель активов;
б) зависит лишь от волатильности менее рискового актива;
в) зависит лишь от волатильности более рискового актива;
г) зависит лишь от среднего геометрического волатильностей входящих в портфель активов.
Вопрос 5. Рассмотрим портфель, содержащий в равных долях два актива. При полной отрицательной корреляции между этими активами волатильность портфеля:
а) зависит лишь от суммы волатильностей входящих в портфель активов;
б) зависит лишь от волатильности менее рискового актива;
в) зависит лишь от волатильности более рискового актива;
г) зависит лишь от разности между большей и меньшей волатильности входящих в портфель активов.
Вопрос 6. Рассмотрим портфель, состоящий из двух активов. При
полной положительной или отрицательной корреляции между этими активами волатильность портфеля:
а) является квадратичной функцией волатильностей входящих в
портфель активов;
б) является линейной функцией волатильностей входящих в портфель активов;
в) не зависит от волатильности менее рискового актива;
г) зависит лишь от среднего геометрического волатильностей входящих в портфель активов.
Вопрос 7. Рассмотрим портфель, состоящий из двух некоррелированных между собой активов. Удельный вес первого актива в портфеле
31
втрое превышает удельный вес второго, а волатильность первого актива
втрое ниже волатильности второго. Оценить волатильность портфеля, если
волатильность первого актива составляет  :
а) 0,25 2 ;
б) 0,5 2 ;
в) 0,75 2 ;
г) 0,25 3 .
Вопрос 8. Рассмотрим портфель, состоящий из двух активов. Удельный вес первого актива в портфеле втрое больше удельного веса второго, а
волатильность первого актива втрое ниже волатильности второго. Оценить
волатильность портфеля при полной положительной корреляции между
этими активами, если волатильность первого актива составляет  :
а) 2, 25 ; б) 2, 25 ; в) 1,5 ; г) 1, 25 .
Вопрос 9. Рассмотрим портфель, состоящий из двух активов. Удельный вес первого актива в портфеле втрое меньше удельного веса второго, а
волатильность первого актива втрое ниже волатильности второго. Оценить
волатильность портфеля при полной положительной корреляции между
этими активами, если волатильность первого актива составляет  :
а) 2,5 ; б) 1,5 ; в) 2 ; г) 2, 25 .
Вопрос 10. Рассмотрим портфель, состоящий из двух активов.
Удельный вес первого актива в портфеле втрое меньше удельного веса
второго, а волатильность первого актива втрое ниже волатильности второго. Оценить волатильность портфеля при полной отрицательной корреляции между этими активами, если волатильность первого актива составляет  :
а) 2 ; б) 1,5 ; в) 2, 25 ; г) 1,75 .
Глава 3. ОЦЕНКА СТОИМОСТИ ЦЕННЫХ БУМАГ
3.1. Оценка стоимости акций
В плане оценки акций наибольшую известность получили исследования
У. Шарпа [3, 4]. Основными являются подходы к оценке с точки зрения дивидендов и с точки зрения прибыли общества-эмитента. Ниже рассматривается
подход к оценке акций с точки зрения дивидендов. Желающим ознакомиться со
вторым подходом рекомендуется обратиться, например, к [3].
Поскольку дивиденд на акцию равняется прибыли на акцию, умноженной
на коэффициент выплаты, то величину дивиденда можно определить на основе
прогнозных величин дохода на акцию и коэффициента выплаты. Иногда между
этими показателями может быть установлена достаточно тесная зависимость,
для определения которой может использоваться эконометрический анализ статистических данных, в том числе с применением частичной корректировки результата (прил.).
В западных странах сложилась практика оценки «качества» акций: акциям
присваивается определённый рейтинг, который говорит о степени их возможной
32
доходности. Его устанавливают аналитические компании. Наиболее известными
из них в мировой практике являются компании «Standart & Poor» и «Moody’s»
(США).
Каждая аналитическая компания использует свои символы для обозначения уровня рейтинга. Например, компания «Standart & Poor» использует следующие обозначения для обыкновенных акций: А+ (высший рейтинг), А (высокий), А– (выше среднего), В+ (средний), В (ниже среднего), В– (низкий), С
(очень низкий). Рейтинг ценной бумаги (цн. б.) определяет отношение к ней инвесторов и соответственно её цену и доходность. В терминологии фондового
рынка встречается понятие «голубые фишки». Оно относится к ведущим в своих
отраслях крупным предприятиям с высоким кредитным рейтингом.
Оценка стоимости акций предприятия представляет собой, по сути, определение стоимости компании (бизнеса). Основой оценки акций является определение их стоимости как финансового инструмента, способного приносить его
владельцу доход. Основными источниками доходов от владения акциями являются дивиденды.
Под стоимостью будем понимать расчётный показатель, а под ценой –
показатель, объявленный в прейскурантах, ценниках или котировках. В любой
момент времени цена однозначна, а стоимость многозначна и зависит от числа
профессиональных участников рынка ценных бумаг, осуществляющих оценку.
Для оценки стоимости акций используют следующие характеристики.
 Номинальная (нарицательная) цена – по этой цене акции размещаются
при учреждении акционерного общества (АО). Сумма номинальных цен всех
размещённых привилегированных и обыкновенных акций составляет стоимость
уставного капитала АО. В соответствии с законодательством сумма всех размещённых привилегированных акций не должна превышать 25% УК АО. Номинальные цены привилегированных акций одного типа должны быть одинаковыми. Номинальные цены обыкновенных акций также должны быть одинаковыми.
 Рыночная цена акций формируется в результате взаимодействия спроса
и предложения на рынке и, как правило, не совпадает с номинальной ценой. Чем
выше ожидаемая прибыль АО, тем выше спрос на акции на фондовом рынке и
тем выше рыночная цена акций. Наоборот, информация о финансовых затруднениях компании приводит к падению спроса на её акции и уменьшению их рыночной цены. В соответствии с этим на вторичном рынке цена акции может быть
выше или ниже её номинальной цены. На первичном рынке акции, как правило,
продают по ценам не ниже их номинальной цены. Однако при размещении дополнительных обыкновенных акций они могут быть реализованы акционерам
данного АО по цене не ниже 90% их рыночной цены. Если же дополнительные
акции размещают через посредника, то их цена может быть ниже рыночной на
размер вознаграждения посредника. Рыночную цену часто называют курсовой
стоимостью (курсом) акции.
 Внутренняя стоимость акции используется при оценке инвестором ситуации, связанной с покупкой или продажей акций. Рыночная цена реально существует, она объективна, внутренняя стоимость субъективна и зависит от оценки инвестора, который должен провести серьёзную аналитическую работу, а затем сравнить её с рыночным курсом. Если текущий рыночный курс оказывается
33
ниже внутренней стоимости, то такая акция считается недооцененной рынком и
является кандидатом на покупку. Если текущий рыночный курс оказывается
выше внутренней стоимости, то такая акция считается переоцененной рынком и
является кандидатом на продажу. Если эти две характеристики совпадают, значит, рыночная цена полностью отражает внутреннюю стоимость цн. б., поэтому
спекулятивные операции по её купле/продаже нецелесообразны.
 Чистая приведённая стоимость (NPV) акции или любого другого актива равна разности между её внутренней стоимостью и затратами на приобретение (например, рыночной ценой). Если NPV < 0, то такая акция является переоцененной, если NPV< 0, то – переоцененной.
 Доход по цн. б. бывает двух видов: купонный (процентный, дивидендный), прирост капитала (разница между ценой погашения или продажи и ценой
покупки).
 Текущая доходность определяется как отношение годового дивиденда к
текущей рыночной цене акции (в долях или в процентах).
 Дивидендная ставка.
 Темп прироста дивиденда определяется на основе статистических данных о выплате дивидендов за предыдущие годы или о темпах прироста прибыли
компании, если коэффициент выплаты дивидендов (отношение суммы дивидендов к полученной прибыли) остаётся постоянным на протяжении ряда лет.
Важной характеристикой акций является капитализация компании, характеризующая объём ее капитала в рыночной оценке, который воплощён в акциях.
Капитализация компании определяется как произведение текущей рыночной цены всех размещённых акций на их число.
Поскольку успешная работа компании в долговременной перспективе
приводит к росту рыночной цены её акций, то акции становятся доступными
меньшему числу инвесторов, то есть они становятся менее ликвидными. Для сохранения ликвидности акций своей компании на прежнем уровне собрание акционеров может принять решение о дроблении размещённых акций.
Дробление – это процедура обмена (конвертации) одной акции на две или
большее число акций той же категории. В результате такой процедуры увеличивается общее число акций данного АО с одновременным уменьшением их номинальной и рыночной цены. Для осуществления дробления должны быть внесены
изменения в устав компании относительно номинальной цены и числа объявленных акций. После данной процедуры владелец одной старой акции получит
взамен две или большее количество новых, номинал которых будет меньше номинала старой акции во столько раз, на сколько акций было осуществлено дробление одной акции. Одновременно следует ожидать и уменьшения рыночной
цены новых акций.
Практика работы западных компаний показывает, что дробление акций,
являющееся следствием продуктивной работы АО, приводит к росту рыночной
цены новых акций относительно номинала.
Пример 3.1. Рыночная цена акции номиналом 100 руб. выросла до 200
руб., и акционеры приняли решение о дроблении каждой акции на две новые.
После такой операции владелец одной старой акции получит две новые акции
номиналом 50 руб. Рыночная цена новой акции может составить 100 руб. или
больше, например, 105 руб. Тогда акционер выиграет от дробления.
34
Операцию, обратную дроблению, называют консолидацией.
Несмотря на то, что акция делает акционера одним из владельцев компании и предоставляет ему право голоса и контроля, на практике положение дел в
АО зависит от того лица (или группы лиц), в руках которого находится контрольный пакет акций, который даёт владельцу возможность проводить свои
решения на собрании акционеров.
Метод капитализации дохода предполагает, что внутренняя стоимость
любого капитала основана на денежном потоке, который инвестор предполагает
получить в будущем в результате обладания этим капиталом. Поскольку денежный поток ожидают в будущем, его величину корректируют с помощью процентной ставки r (доходность по альтернативному вложению, соответствующая
уровню риска для данного финансового потока, выраженная в долях единицы).
Внутренняя (истинная) стоимость капитала (актива, цн. б.)

Rt
V 
,
(3.1)
t
1

r


t 1
где Rt – денежные выплаты по данному финансовому активу в t-м году.
Формула (3.1) фактически представляет собой сумму дисконтированных поступлений и является аналогом уменьшаемого в формуле (1.12)
при n  . Знак бесконечности принимают для цн. б. без ограниченного
срока погашения (например, для обыкновенных акций).
Рассмотрим вопрос о том, каким образом может быть вычислена
внутренняя стоимость обыкновенной акции путём дисконтирования ожидаемого дивиденда по ставке доходности, соответствующей ценной бумаге
данного уровня риска.
Внутреннюю стоимость обыкновенных акций, определяемую акционером, рассчитывают дисконтированием всех возможных дивидендов,
которые будут по ней выплачены. Поскольку акция является цн. б. без ограниченного срока погашения и получение дивидендов теоретически
предполагается бесконечным, формула для расчёта внутренней стоимости
( Pвн ) акции принимает вид
 d
акц, t
Pвн  
,
(3.2)
t
t 1 1  r 
где dакц, t – дивиденд, который ожидают получить по акции в t-м году
(руб.), r – процентная ставка (доходности по альтернативному вложению),
соответствующая уровню риска инвестирования в акции данного АО.
Рассмотрим некоторые частные случаи расчёта внутренней стоимости:
 модель нулевого роста дивидендов;
 модель показательного роста дивидендов во времени;
 модель линейного роста.
35
Модель нулевого роста дивидендов. Если прироста дивидендов не
происходит, то внутренняя стоимость акций является суммой бесконечно
убывающей геометрической прогрессии:
n

Pвн  
t 1
d акц, t
1  r t

 dакц, 0 
t 1
1
1  r t
 1 
1 

1  r   dакц, 0

 d акц, 0 lim

,
n 
r
r
окончательно получаем
Pвн 
d акц, 0
.
(3.3)
r
Показательный рост дивидендов можно рассматривать как вклад начальной суммы дивидендов на некоторый период, при условии наращения
этой суммы по сложным процентам. Если дивиденды растут с постоянной
скоростью, то в t-м году ожидается получить
t
(3.4)
d акц, t  d акц, 0 1  g  .
Здесь g – годовой темп прироста дивиденда. Обозначим через r – ставку
альтернативного вложения средств с тем же уровнем риска, g  r , dакц, 0 –
дивиденд за текущий (базовый) год. Внутренняя стоимость акции при постоянных темпах роста, как и при нулевом росте, является суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии и составляет
 d
 1 g t

  dакц, 0 .
акц, t
Pвн  

d

акц,
0
t
t
rg
t 1 1  r 
t 1 1  r 
Получаем следующую формулу:
dакц, 0
Pвн 
.
(3.5)
rg
Если дивиденды растут во времени по линейному закону (например,
при решении выплачивать дивиденды ежеквартально, каждый квартал,
увеличивая рублёвую ставку дивиденда на 1 руб.):
dакц, t  dакц, 0  gt ,
то внутреннюю стоимость акций можно оценить по формуле [5]

Pвн  
d акц, t
t
t 1 1  r 


t 1

dакц, 0  gt
1  r t
,
 
n 1
n 1

n
g 1  r   1 g 1  r   n
d

((1

r
)

1)
Pвн  lim  акц, 0


n
n
n
2
n 
r

(1

r
)
r  1  r 
r  1  r 


36
  




d акц, 0
r

g  gr
1
g
  d акц, 0   .
2
r
r 1  r  r 
Если инвестор планирует владеть акцией некоторое время, а затем
продать её, то для расчёта внутренней стоимости акции используется формула
n d
Pn
акц, t
,
(3.6)
Pвн  

t
n
1  r 
t 1 1  r 
где Pn – цена акции в конце n-го года, когда инвестор планирует её продать.
При инвестировании средств в акции можно рассчитать все показатели из п. 1.3. Приведём эти формулы с учётом принятых обозначений.
Рассматриваем следующие показатели:
 чистый приведённый доход по акциям;
 индекс доходности;
 внутренняя черта доходности.
Чистый приведённый доход по акции (иногда называют чистой
стоимостью акции) равен разнице между внутренней стоимостью Pвн и
текущей рыночной ценой акции P :
NPV  Pвн  P .
(3.7)
Формула (3.7) с учётом принятых обозначений эквивалентна формуле (1.12).
Также можно рассчитать индекс доходности:
PI  Pвн / P .
Используя процедуру, основанную на методе капитализации дохода,
оценщики приравнивают внутреннюю стоимость акции к её рыночной цене: Pвн  P и находят «обещанную» от операций с акцией доходность
(внутреннюю норму доходности, IRR, см. гл. 1), rоб , из соотношения
n
d акц, t
Pn
.
(3.8)
P

t
n
1  rоб 
t 1 1  rоб 
«Обещанную» доходность оценщики сравнивают с минимально привлекательной, по их мнению, доходностью.
Пример 3.2. Определите внутреннюю стоимость акции и сделайте
вывод, является ли акция кандидатом на покупку или продажу, если компания обещает выплачивать дивиденды в размере 12 руб. на одну акцию в
течение неопределённого периода в будущем, при ставке доходности 20%.
Текущий рыночный курс акции 65 руб.
Решение. Расчёт проводим по формуле (3.3):
d акц, 0 12
Pвн 

 60 (р.).
r
0,2
37
Поскольку полученное значение меньше текущего рыночного курса, то
ввиду (3.7) NPV < 0, и акция считается переоцененной рынком на 5 руб.,
следовательно, будет кандидатом на продажу.
Пример 3.3. Найдите «обещанную» доходность операции с акцией,
если её текущая рыночная цена 90 руб., а инвестор предполагает владеть
ею 3 года, получать дивиденды в размере 6 руб. каждый год и в конце
третьего года продать за 100 руб. Кроме того, инвестор предполагает, что
«правильная» доходность от операции с данной акцией должна составлять
9,5 %.
Решение. Для нахождения rоб решаем уравнение (3.8)
2
90  
t 1
6
t
1  rоб 

106
3
1  rоб 
.
Можно воспользоваться инструментом «Подбор параметра» электронных
таблиц. В версиях MSExcel 2003 и ниже, а также в Open.Office.Calk «Подбор параметра» вызывается прямо из меню «Сервис», в MSExcel 2007 меню «Данные», «Анализ что…если», «Подбор параметра» (рис. 3.1).
Заполняем ячейки, оставляя одну пустой (рис. 3.2).
Далее применяем инструмент «Подбор параметра» и в ячейке B3 получаем результат rоб = 0,10023 (10,023%) (рис. 3.3 а, б).
Рис. 3.1. Подбор параметра в меню MSExcel 2007
Формула в ячейке
Рис. 3.2. Ввод данных для расчётов
38
а
б
Рис. 3.3. Применение «Подбора параметра» и получение результата
Поскольку rоб  10,02% , акция недооценена рынком и является кандидатом на покупку.
Применение функции ВСД()
РЕЗУЛЬТАТ:
39
Считая внутреннюю стоимость акции при ставке 9,5%, получаем
91,21888 руб. (выполнить самостоятельно).
Текущую доходность акции Dтек рассчитывают как отношение размера дивидендов к рыночной цене:
d
Dтек  акц .
(3.9)
P
Замечание 3.1. Если рыночная цена акции равна внутренней стоимости, а дивиденды растут постоянными темпами, то ввиду (3.5) имеем
Dтек  r  g (разность процентной ставки и годового темпа прироста дивидендов).
Если инвестор владеет акцией определённый период времени n, а
потом намерен её продать по цене Рn , ему необходимо оценить среднегодовую доходность операции с акцией за данный период ( Dоп ):
n
P P
d акц, ср  n 0  d акц, t  Pn  P0
n  t 1
Dоп 
.
(3.10)
P0
nP0
Здесь dакц, ср – среднегодовое значение дивиденда, руб., n – число лет от
покупки до продажи акции, P0 – цена покупки акции, или текущая рыночная цена, или цена акции в любой момент времени, являющийся началом
отсчёта.
Большое значение для акционеров имеет отношение чистой прибыли
компании, которую она заработала за рассматриваемый период, к числу
акций. Этот показатель носит название прибыль (доход) на одну акцию при
условии, что вся чистая прибыль к распределению будет выплачена в качестве дивидендов. Прибыль на акцию (Earning per ordinary share) определяют по формуле
П  N обл d куп  N пр. ак d пр. ак
EPS 
,
(3.11)
N об. ак
где П – чистая прибыль, dкуп – купонный доход по облигации, dпр. ак –
дивиденд по привилегированной акции, N обл , N пр. ак , N об. ак – число облигаций, размещённых привилегированных и обыкновенных акций соответственно. EPS показывает, насколько высока рыночная стоимость компании, поскольку выражает долю чистой прибыли в денежных единицах,
приходящейся на одну обыкновенную акцию. Увеличение этого показателя свидетельствует о росте компании – эмитента. Покупка акций такой
компании выгодна, поскольку, помимо дивидендов, можно ожидать также
роста курса акций.
Однако общая сумма дивидендов по обыкновенным акциям, которую АО выплачивают своим акционерам, бывает меньше чистой прибыли
к распределению. Оставшуюся часть называют нераспределённой прибы40
лью, ее определяют по данным бухгалтерской отчётности. Она может быть
направлена в резервный фонд АО.
Пример 3.4. Прибыль компании в текущем году после уплаты налогов составила 1 млн руб. У компании размещено 50 тыс. обыкновенных
акций. Определите прибыль на одну акцию и размер нераспределённой
прибыли, если в текущем году дивиденд на одну обыкновенную акцию составит 15 руб.
По формуле (3.11) EPS  1млн р. / 50 тыс. р.  20 р. Нераспределённая
прибыль на одну акцию составит 5 руб., а общая сумма нераспределённой
прибыли составит 250 тыс. руб.
Рассмотрим также другие критерии эффективности инвестиций в
акции.
Дивиденды на акцию (Dividends per ordinary share):
Дивиденты по обыкновенным акциям
DPS 
.
Число обыкновенных акций
Этот коэффициент показывает, какая сумма дивидендов распределяется на каждую обыкновенную акцию. Повышение дивидендов, как правило, свидетельствует о росте прибыли компании и является сигналом повышения курсовой стоимости акций.
Соотношение рыночной цены обыкновенной акции и прибыли на акцию (Price to Earning):
P/E 
P
Рыночная цена одной обыкновенной акции

.
EPS
Прибыль на одну обыкновенную акцию
(3.12)
P/E показывает, за сколько лет прибыль на одну акцию окупает её
цену (если первый показатель рассчитан по годовой отчётности). Если на
рынке цн. б. уверены в хороших перспективах компании, срок окупаемости её акций возрастает, так как увеличивается рыночная цена акции
вследствие увеличения спроса на неё. Для компании такая ситуация является благоприятной, поскольку создаются условия для увеличения её рыночной капитализации. Высокие значения показателя позволяют инвестору
рассчитывать на высокие темпы прироста дивидендов. Показатель P/E
считается специалистами наиболее широко используемым на рынке цн. б.,
его значения публикуют в котировке акций в газетах и журналах. Однако
сопоставлять по этому показателю можно только компании одной отрасли.
Соотношение рыночной цены обыкновенной акции и выручки от
реализации на акцию (Price to Turnover):
PT 
Рыночная цена одной обыкновенной акции
.
Выручка от реализации на одну обыкновенную акцию
(3.13)
Соотношение рыночной цены обыкновенной акции и собственных
средств предприятия на акцию (Price to Equity):
41
PE 
Рыночная цена одной обыкновенной акции
. (3.14)
Собственные средства на одну обыкновенную акцию
Коэффициент выплаты (Payout Ratio):
PR 
Дивиденты на все акции
Чистая прибыль
показывает, какая доля чистой прибыли идёт на выплату дивидендов акционерам.
Рекомендуемое значение этого показателя 0,25 – 0,5.
Поток наличности (Cash Flow):
CF = чистая прибыль + износ внеоборотных активов –
– прирост внеоборотных активов + нерегулярные доходы
(поток наличности со знаком «плюс» от операционной деятельности) –
– нерегулярные расходы
(поток наличности со знаком «минус» от операционной деятельности)
показывает, какая сумма оборотных активов остаётся в распоряжении
компании после вычета расходов.
Поток наличности на одну акцию (Cash Flow per share):
CFS =
CF
.
количество акций
При оценке часто используют показатель общая доходность компании за период n:
Рк. п  Рн. п  dакц n
Dоб. к 
,
(3.15)
Рн. п
где Рк. п , Рн. п – рыночная цена акций компании на конец (цена продажи)
и на начало (цена покупки) периода n.
3.2. Оценка стоимости облигаций
Облигация (лат. obligatio – обязательство; англ. bond – долгосрочная,
note – краткосрочная) – эмиссионная долговая ценная бумага, закрепляющая право её владельца на получение от эмитента облигации в предусмотренный в ней срок её номинальной стоимости или иного имущественного
эквивалента, право инвестора на получение регулярного или разового
вознаграждения за предоставленные средства в виде процента от номинальной цены облигации или разницы между ценой покупки и ценой погашения.
Покупая облигацию, инвестор становится кредитором её эмитента и
получает преимущественное, по сравнению с акционерами, право на его
активы в случае ликвидации или банкротства.
42
Как правило, облигации приносят владельцам доход в виде фиксированного процента от номинала (купонный доход), который должен выплачиваться независимо от размера прибыли и финансового состояния заёмщика. Периодическая выплата доходов по облигациям в виде процентов
производится по купонам. Купон представляет собой вырезной талон с
указанной на нём цифрой купонной (процентной) ставки. По способам выплаты купонного дохода облигации подразделяются на облигации
 с фиксированной купонной ставкой;
 с плавающей купонной ставкой, когда купон зависит от уровня
ссудного процента;
 с равномерно возрастающей купонной ставкой по годам займа
(индексируемые);
 бескупонные (бескупонная облигация не имеет купонов, а доход
инвестора возникает за счёт разницы между ценой погашения и
ценой приобретения);
 смешанного типа.
В зависимости от эмитента выделяют государственные, муниципальные (местных органов управления), корпоративные (предприятий и
АО) и иностранные (зарубежных заёмщиков) облигации.
Облигации могут выпускаться с условием досрочного отзыва или
погашения. В таком случае эмитент устанавливает условия востребования
– по номиналу или с премией.
Конвертируемая облигация допускает обмен на акции того же эмитента или другие облигации. Конверсионный коэффициент показывает, какое количество акций можно получить в обмен на такую облигацию. Например, коэффициент 10:1 показывает, что при конверсии одной облигации можно получить 10 акций. Конверсионная цена представляет собой
отношение номинальной цены облигации (например, 100 руб.) к конверсионному коэффициенту (10) и в данном случае равняется 10 руб.
Существуют и другие виды облигаций. Однако самыми распространёнными являются облигации, дающие право их владельцам на получение
периодически выплачиваемого фиксированного дохода, а номинальной
цены облигации – в будущем, при её погашении.
Пример 3.5. Номинал облигации 1 тыс. руб., годовой купон 20%.
Определить размер купона в рублях.
Решение. Рассчитываем размер годового купонного дохода
1000  20%  200 (р.)
Как правило, размер купона объявляется на год. Однако он может
выплачиваться чаще (раз в полгода, раз в квартал). Ясно, что чем чаще
платежи по облигации, тем выгоднее её владельцу.
Пример 3.6. Облигация номиналом 1 000 руб. имеет годовой купон
36 %. По какой минимальной ставке должен выплачиваться ежеквартальный доход, чтобы владелец облигации не проиграл от смены схемы выплат?
43
Решение. Рассчитываем эквивалентную квартальную ставку:
1  0,361 / 4  1  0,0799 , или 7,99%.
В зависимости от ситуации на рынке купонная облигация может
продаваться по цене как ниже, так и выше номинала. Разность между номиналом облигации и ценой, если она ниже номинала, называют скидкой,
или дисконтом. Например, номинал облигации 1 000 руб., цена 960 руб.,
тогда скидка 40 руб. Разность между ценой облигации и номиналом, если
цена выше, называют премией. Например, цена облигации 1020 руб., премия 20 руб.
Котировку облигации принято давать в процентах. При этом номинал принимают за 100%. Чтобы узнать по котировке цену облигации, нужно номинал умножить на котировку.
Изменение доходности часто измеряют в базисных пунктах. Базисный пункт – это одна сотая часть процента. Таким образом, в одном проценте насчитывается 100 базисных пунктов. Например, если доходность
облигации выросла с 20 до 20,4%, то в таком случае можно сказать, что
доходность увеличилась на 40 базисных пунктов.
Доход по бескупонной облигации, если её не предполагается продавать, представляет собой разницу между номиналом и ценой приобретения
бумаги. Доход по купонной облигации – сумма купонных платежей и
скидки (разница купонных платежей и премии). Премия уменьшает доход
инвестора. Например, вкладчик купил облигацию с погашением через год
номиналом 1000 руб. и купоном 20% за 960 руб. В конце года ему выплатят 200 руб. по купону. Поскольку облигация погашается по номиналу,
вкладчик выиграет ещё 40 руб. за счёт разности между номиналом и уплаченной ценой. В зависимости от состояния рынка цена купонной облигации может быть выше или ниже номинала, однако к моменту её погашения
она должна ему равняться.
Оценка внутренней стоимости облигаций, так же как и оценка внутренней стоимости акций, основана на принципе дисконтирования всех доходов, которые она принесёт:
n
Pвн  
t 1
d куп, t

Pн
1  r t 1  r n
.
(3.16)
Здесь n – число лет, которые остаются до погашения бумаги (например,
если облигация выпущена на 10 лет, а 7 лет уже прошло, то следует взять
n = 3); dкуп, t – годовой купонный доход; r – доходность по альтернативному варианту (или доходность до погашения облигации); Pн – номинальная
цена.
Если купонные доходы из года в год постоянны, то из формулы
(3.16) получаем:
44
n
Pвн  
t 1
dкуп
1  r 
t

Pн
1  r 

n


n
d куп 1  r   1
1  r 
n
r
Pн
1  r 
n
.
(3.17)
Здесь dкуп – годовой купонный доход, r – доходность по альтернативному
варианту (или доходность до погашения облигации), Рн – номинальная
цена.
Если купон по облигации выплачивается m раз в году, то внутренняя
стоимость облигации рассчитывается по формуле
mn
Pвн  
d куп / m
tm
t 1 1  r / m 

Pн

1  r / m nm

dкуп 1  r / m 
1  r / m
mn
mn
r

Pн
1
1  r / m mn
. (3.18)
Вывод формулы (3.18). Пользуясь суммой nm членов геометричеd куп / m
1
ской прогрессии с первым членом
и
знаменателем
,
m
1

r
/
m


1  r / m 
получаем
mn

d куп m
t 1 (1 
r m) t

d куп m
(1  r m)

d куп m
d куп m
1
1
 ... 


(1  r m) (1  r m)
(1  r m) (1  r m) mn1

1
1
d куп m (1  r m) mn  1
(1  r m) mn





1
(1  r m)
(1  r m) (1  r m) mn 1 r m
1
(1  r m)
d куп m
(1  r m) mn  1


.
r
(1  r m) mn
Пример 3.7. Номинал облигации равен 1 тыс. руб., купон, выплачиваемый 1 раз в год, – 20 %, до погашения остаётся 3 года. На рынке доходность инвестиций с уровнем риска, соответствующим данной облигации,
оценивают в 15 %. Определить внутреннюю стоимость бумаги.
Решение. Непосредственно по формуле (3.17) получаем
d куп

  1000  1114,15 (р.).
200 1,153  1
Pвн 
1,153  0,15
1,153
Поскольку купонные облигации имеют 2 вида дохода, они характеризуются купонной, текущей и валовой доходностью. Купонная доходность задаётся при выпуске и определяется ставкой купона. Её размер зависит от двух факторов: срока займа и надёжности эмитента. Как правило,
наиболее надёжным заёмщиком считается государство.
«Чистой» ценой облигации называют её текущую рыночную цену.
45
Накопленный купонный доход:
d куп / m t P kt
H КД 
 н ,
(3.19)
T /m
T
где dкуп – купонный доход за 1 год, m – число выплат купонов в год, t –
число дней со дня последней выплаты купона до дня продажи (покупки),
T – используемая временная база (360, 365, 366), часто в мировой банковской практике применяется понятие «финансовый год» (360 дней в году,
30 дней в месяце), Pн – номинал, k – ставка купона. Последнее правило
применяется в Российской Федерации для расчётов процентных выплат по
облигациям внутреннего валютного (ОВВЗ) займа и еврооблигациям.
Рассчитанное значение купонного дохода представляет собой часть
купонного дохода, на которую будет претендовать продавец. Своё право
на получение части купонного дохода он может реализовать путём включения накопленного купонного дохода в цену облигации. «Грязная» цена
равна сумме текущей цены и накопленного купонного дохода.
Курс продажи облигации («грязная цена»/рыночная цена покупки)
Р  Н КД
К
,
(3.20)
Рн.п


где Рн.п – рыночная цена на начало периода (покупки). Если облигация
куплена по номиналу, то Рн.п  Рн .
Текущая доходность облигаций с фиксированной ставкой купона
определяется по формуле
d куп
,
(3.21)
D тек 
Р
где Р – текущая рыночная цена облигации.
Доходность к погашению (валовая доходность) представляет собой
годовую доходность, которую обеспечит себе инвестор, если, купив облигацию, продержит её до погашения.
d куп   Рн  Р  / nпог
Dпог 
,
(3.22)
Р
где dкуп – купонный доход за 1 год, Рн – номинал, Р – текущая рыночная
цена, nпог – число лет до погашения.
Пример 3.8. Облигация государственного сберегательного займа пятой серии номиналом 100 руб., выпущенная 10 апреля 2000 г., была продана 18 марта
2001 г. Дата предыдущей выплаты купона – 10 января 2001 г., дата ближайшей
выплаты купона – 10 апреля 2001 г. Текущая купонная ставка – 33,33% годовых.
Число выплат – 4 раза в год. Определить накопленный купонный доход и курс
продажи, предположив, что облигация была приобретена продавцом по номиналу.
Решение. Поскольку облигация продавалась 18 марта 2001 г., т.е. за
23 дня до следующей выплаты, купонный доход, равный 33,33% годовых,
46
был получен 10 апреля 2001 г. новым хозяином бумаги – покупателем. Определим абсолютную величину купонного дохода
dкуп  100  0,333 / 4  8,3325 (р.).
С момента предыдущей выплаты, 10 января 2001 г., до заключения сделки,
18 марта, прошло 67 дней. Считая финансовый год, равным 360 дням, определим накопленный купонный доход:
8,3325  67
Н КД 
 6,2 (р.),
90
получили часть купонного дохода, на которую будет претендовать продавец. Своё право на получение части купонного дохода он может реализовать путём включения накопленного купонного дохода в цену облигации.
Тогда курс продажи составит
100  62
К
 1,062 .
100
Повышение этого курса принесёт продавцу дополнительный доход, понижение – убыток.
Пример 3.9. Текущая цена облигации – 150 руб., годовая ставка купона
10%, номинальная стоимость облигации – 100 руб. Определить текущую доходность для случая падения рыночной цены облигации в 2 раза и при рыночной
цене, равной номиналу.
Решение.
Находим
абсолютное
значение
купонного
дохода
dкуп  100  0,1  10 р. Тогда Dтек 
10
 6,67% . Если бы рыночная цена обли150
гации упала до 75 руб., то текущая доходность операции с такой облигацией составляла бы 13,33%. При рыночной цене, равной номиналу, текущая доходность
составит 10%.
Пример 3.10. Рыночная цена облигации с периодом погашения
10 лет составляет 75 руб. Номинальная цена равна 100 руб., годовой купон – 10%. Рассчитать доходность к погашению.
Решение. По формуле (3.22) находим
Dпог 
10  100  75  / 10
 16,67% .
75
ИТОГ (IRR)
47
Дюрация. Дюрация – средневзвешенная продолжительность платежей по
облигации. Дюрация подобна эквивалентному сроку (2.2), однако при её расчёте
учитываются все поступления, включая проценты.
Понятие «дюрация» (англ. duration – длительность) впервые было введено
американским учёным Фредериком Маколи (F. Macaulay) в 1938 г. Этот показатель играет важную роль при анализе долгосрочных ценных бумаг с фиксированным доходом. Дюрация применяется в качестве одного из косвенных подходов к количественной оценке риска долговых инструментов. В целях упрощения
предположим, что купонный платёж осуществляется 1 раз в год. Тогда дюрацию
Маколи ( DM ) с учётом процентной ставки r определяют следующим образом:
n

DM 
n


t 1
n

t 1
t 1
t d куп, t
пРн
1  r t
п
1 r


Pвн
Pвн
t d куп, t
пРн
t
1  r 
d куп, t
t
1  r 


1  r п

Рн
1  r 
n

п
t 1
d куп, t
t
1  r 

Рн
,
(3.23)
1  r п
или
n

DM 
t 1
n

t 1
t St
1  r t
,
St
(3.24)
1  r t
где dкуп, t – величина платежа по купону за t-й период, руб., n – число лет
(срок) погашения, r – процентная ставка, равная доходности к погашению
или рыночной процентной ставке, Pвн – текущая (внутренняя) стоимость
потока доходов и поступлений по облигации:
n d
Рн
куп, t
,
Pвн  

t
п
1  r 
t 1 1  r 
Рн – номинальная цена облигации, St – доход по облигации в конце года t:
St  d куп, t , t  1, ..., n  1 ; S n  d куп, n  Pн .
В расчётах удобно использовать дисконтирующий множитель
1
v  1  r  .
Перепишем формулу (3.24) в виде
n
 t St vt
DM 
t 1
Pвн
48
.
(3.25)
При расчете дюрации часто используют условие равенства текущей
рыночной цены и внутренней стоимости облигации, т.е. в качестве процентной ставки рассматривают внутреннюю норму доходности по облигации. Тогда формула дюрации примет вид
n
 t St vt
DM 
t 1
P
.
(3.26)
Здесь Р – рыночная цена облигации.
Пример 3.11. Облигация номиналом 1 000 руб. и ставкой купонного
дохода 7%, выплачиваемого 1 раз в год, имеет срок обращения 3 года. Определим дюрацию данного обязательства, принимая рыночную процентную ставку (доходность к погашению), равной 10%. Для расчёта составим
таблицу.
t
1
2
3
dкуп t, руб.
70
70
70
Pн
1000
St
70
70
1070
ν = (1+r)–1
0,90909
0,90909
0,90909
νt
0,90909
0,82645
0,75131
St ν t
63,6364
57,8512
803,907
925,394
t St ν t
63,6364
115,702
2411,72
2591,06
Дюрация = 2591,06/925,394 = 2,79995.
Таким образом, средняя продолжительность платежей по 3-летней
купонной облигации равна приблизительно 2,8 года.
Пример 3.12. Теперь предположим, что процентная ставка в условиях предыдущего примера такова, что внутренняя стоимость облигации
равна номинальной цене. Такое равенство возможно, если процентная
ставка, как и ставка купона, составляет 7%. В таком случае расчёт дюрации следующий.
t
1
2
3
dкуп t, руб.
70
70
70
Pн
1000
St
70
70
1070
ν = (1+r)–1
0,93458
0,93458
0,93458
νt
0,93458
0,87344
0,8163
St ν t
65,4206
61,1407
873,439
1000
t St ν t
65,4206
122,281
2620,32
2808,02
Дюрация = 2808,02/1000= 2,808.
Как видно, после снижения процентной ставки дюрация облигации
возросла. Вообще, с ростом процентной ставки r на рынке и соответственно доходности операций, дюрация купонной облигации уменьшается, и
наоборот.
Замечание 3.2. Из формулы 3.23 можно сделать следующие выводы:
 дюрация облигации с нулевым купоном всегда равна сроку её погашения:
49
пРн
DM
п
1 r 


Рн
n;
1  r п
 дюрация купонной облигации всегда меньше срока погашения:
n
DM 
ndкуп, t
пРн
 1 r t
t 1
n

dкуп, t
 1 r t 
t 1



Рн
1  r п

1  r п
n
d
t

 1куп,
t
r
t 1


Рн
1  r п
 n dкуп,t
Рн 

n 

 t 1 1  r t 1  r  п 
  n.
 n
d t
Рн

 1куп,
t
1  r п
t 1   r 
Дюрацию часто интерпретируют как средний срок обязательства с учётом
его текущего (современного) значения или как срок эквивалентного обязательства без текущих выплат (бескупонной облигации). Облигация с более высоким
купоном имеет меньшую дюрацию.
Для портфеля, состоящего из финансовых активов с фиксированным доходом (например, из облигаций), дюрация находится как средняя взвешенная величина дюраций составляющих портфеля:
n
DM   i DM ,i ,
(3.27)
i 1
где n – число видов активов, i – удельный вес i-го актива в стоимости портфеля, DM ,i – дюрация этого актива.
При оценке стоимости облигаций важно установить зависимость между
изменением цены облигации и изменением процентных ставок за определённый
период. Изменение цены облигации зависит от размера купона и периода времени, оставшегося до погашения. Наиболее изменчивыми по цене являются облигации с низким купоном, а наименее изменчивыми – краткосрочные облигации с
высоким купоном.
Критериями чувствительности облигаций к уровню процентных ставок
являются модифицированная дюрация Маколи и критерий «одна восьмая».
Модифицированная дюрация является показателем чувствительности цены облигации к уровню рыночной процентной ставки r и находится по формуле
DM
,
(3.28)
r
1
m
где m – число выплат купонных доходов в году, в частности, для выплаты
купона 1 раз в году, получаем
D
DM *  M .
(3.29)
1 r
Модифицированная дюрация, вычисляемая по формуле (3.26), позволяет измерить риск изменения цены облигации при обратном изменении уровня процентной ставки. Для вывода формулы (3.29) можно восDM * 
50
пользоваться разложением прироста цены относительно процентной ставки по формуле Тейлора:
dP
1 d 2 P 2 1 d 3P 3
P 
r   2 r   3 r  ...
dr
2 dr
6 dr
В правой части этой формулы отбросим все слагаемые, кроме первого:
dP
P 
r .
(3.30)
dr
Поскольку подразумеваем, что P  Pвн , то, учитывая (3.30), получаем
t
P dP dPвн d  St 1  rоб 




r dr
dr
dr
1 r
tS t v t  3.26  PD M df

*

 
  PD M
,
1 r
1 r
где
P DM

.
Pr 1  r
Из соотношений (3.30) и (3.31) вытекает формула
*
DM

(3.31)
P   PDM* r .
(3.32)
Пример 3.13. Приведём данные по облигации внутреннего валютного займа, выпущенной в 1997 г.
Указание. Выполнить расчёты дюрации и показателей доходности
самостоятельно.
В примере 3.13 фигурирует показатель модифицированной дюрации
D
M
*

 9,394 / 1,12  8,39 .
51
Пример 3.14. Оценить влияние на цену облигации предполагаемого
повышения рыночной процентной ставки с 10 до 10,5%, считая, что
Р = 925,394 .
Решение. Облигация из примера 3.11 характеризуется модифицированной дюрацией
2,79995
DM* 
 2,5454 года.
1  0,1
Используя полученное значение модифицированной дюрации, оценим влияние на цену облигации предполагаемого повышения рыночной
процентной ставки с 10 до 10,5% при Р = 925,394. По формуле (3.33) получаем
P  925,394  2,5454   0,105  0,1  11,77753 (д.е.).
Как видим, цена облигации сократится на 11,77753 д.е., или
на 1,27 %.
Для измерения уровня чувствительности облигаций к величине r
применяют также критерий «одна восьмая», который показывает, на
сколько долей должен измениться уровень процентной ставки, чтобы цена
облигации изменилась на 1/8 д.е. (12,5 %). Чем больше значение этого критерия, тем менее чувствительна облигация, поскольку существенные изменения процентной ставки приведут к изменению цены лишь на 1/8.
Если процентные ставки растут, цены на облигации обычно падают.
Рассмотрим именно такую ситуацию.
Пример 3.15. Облигация имеет цену 925,394 руб. и доходность 10%.
Критерий «1/8» равен 0,00525 %. Как изменится цена облигации, если процентная ставка возрастёт до 10,5%?
Решение. При каждом 0,025%-м изменении процентных ставок цена
облигации будет меняться на 1/8 рубля. Поскольку процентные ставки выросли на 0,5%, то цена облигации должна уменьшиться на
1/8· 0,5/0,00525 = 11,9 рубля и составить 913,494 рубля.
Указание. Сопоставить результат с примером 3.14.
Пример 3.16. Облигация имеет цену 95 руб. и доходность 12%. Критерий «1/8» равен 0,15%. Как изменится цена облигации, если процентная
ставка возрастёт до 12,9%?
Решение. При каждом 0,15%-м изменении процентных ставок цена
облигации будет меняться на 1/8 рубля. Поскольку процентные ставки выросли на 0,9%, то цена облигации должна уменьшиться на
1/8 · 0,9/0,15=3/4 рубля и составить 94,25 рубля.
Мера выпуклости. Снова воспользуемся разложением прироста цены
относительно процентной ставки по формуле Тейлора:
dP
1 d 2P
1 d 3P
P 
r   2 r 2   3 r 3  ... ,
dr
2 dr
6 dr
но рассмотрим уже второе слагаемое. Производная второго порядка цены
по процентной ставке, делённая на цену, даст меру выпуклости (convexity):
52
1 d 2P
C  
.
P dr 2
(3.34)
Подсчитаем эту величину:
1 d 2P
C  2 
P dr
 t  t  1 S t v t   t  t  1 S t v t  2 .
P 1  r 
2
P
(3.35)
Мера выпуклости уточняет зависимость изменения цены облигаций
от динамики процентной ставки. Эта зависимость ввиду положительности C является строго выпуклой функцией.
Пример 3.17. Для примера 3.11 рассчитаем меру выпуклости. Составим таблицу.
t
1
2
3
dкуп t,
руб.
70
70
70
Pн
St
ν = (1+r)–1
νt
St ν t
t St ν t
t (t+1)St νt+1
1000
70
70
1070
0,90909
0,90909
0,90909
0,90909
0,82645
0,75131
63,6364
57,8512
803,907
925,394
63,6364
115,702
2411,72
2591,06
105,184
286,866
7972,63
8364,68
C = 8364,68/925,394 = 9,03904.
Оценка стоимости среднесрочной и долгосрочной бескупонной облигации. Из формулы (3.16) получаем выражение для расчёта внутренней
стоимости бескупонной облигации:
Pн
.
(3.36)
Pвн 
n
1  r 
Рыночная цена бескупонных облигаций всегда ниже номинальной
цены.
Пример 3.18. Номинальная цена облигации 10 000 руб., процентная
ставка 20%, срок погашения 3 года. Определяем внутреннюю стоимость
этой бескупонной облигации.
10000
Решение. По формуле (3.36) получаем Pвн 
 5787 р.
3
1  0,2
При оценивании бескупонных облигаций, по которым процент выплачивают m раз в году, используем следующую формулу:
Pн
Pвн 
.
(3.37)
1  r / m nm
Оценка стоимости ГКО. Внутренняя стоимость ГКО определяется по
формуле
Pн
,
(3.38)
Pвн 
1  rпt /365
53
где Pн – номинальная цена ГКО, rп – доходность до погашения (или рыночная ставка доходности), t – число дней от момента сделки до погашения ГКО.
Пример 3.19. ГКО номиналом 1 тыс. руб. будет погашена через
60 дней, доходность к погашению 15%. Оценить внутреннюю стоимость.
Решение. По формуле (3.38) внутренняя стоимость составит
1000
Pвн 
= 975,9 (р.).
1  0,15  60/365
Тест
Вопрос 1. Дайте определение процедуре «дробление акций».
а) Дробление – это процедура обмена нескольких акции на одну акцию той же категории, большей номинальной цены;
б) Дробление – это процедура обмена одной акции на две или большее число акций той же категории, той же номинальной цены;
в) Дробление – это процедура обмена одной акции на две или большее число акций той же категории с учётом кратного снижения номинальной цены новой акции;
г) Дробление – это процедура обмена одной обыкновенной акции на
одну привилегированную акцию того же эмитента.
Вопрос 2. Если прироста дивидендов не происходит, дивиденды сохраняются из года в год на уровне d акц,0 , то внутренняя стоимость акций
при ставке альтернативного вложения r рассчитывается по формуле
а) Pвн 
d акц, 0
1 r
; б) Pвн  d акц, 0 r ; в) Pвн  dакц, 0 1  r  ; г) Pвн 
d акц, 0
r
.
Вопрос 3. Дайте определение чистого приведённого дохода от инвестиций в акции:
а) Чистый приведённый доход от инвестиций в акции равен разнице
между внутренней стоимостью и текущей рыночной ценой акции;
б) Чистый приведённый доход от инвестиций в акции равен разнице
между внутренней стоимостью и текущей доходностью;
в) Чистый приведённый доход от инвестиций в акции равен разнице
между внутренней стоимостью и годовыми дивидендами;
г) Чистый приведённый доход от инвестиций в акции равен разнице
между ценой продажи и ценой покупки.
Вопрос 4. В мае 2009 г. цена обыкновенной акции ЛУКОЙЛА составила 1500 руб., через год (май 2010 г.) планируется получить дивиденды
42 руб. на акцию. В течение последующих двух лет (май 2011 г. и май
2012 г.) предполагается получать 60 руб. и 70 руб. в качестве дивидендов
соответственно. Найдите «обещанную» доходность операции с акцией и
сделайте вывод о целесообразности операции, если инвестор покупает ак54
цию в мае 2009 г., предполагает владеть ею 3 года, получать дивиденды и
продать затем за 1800 руб. Кроме того, инвестор предполагает, что «правильная» доходность от операции с данной акцией должна составлять
9,5 %.
а) обещанная доходность 10,82 %, операция целесообразна;
б) доходность 10,82 %, операция целесообразна;
в) доходность 9,12 %, операция нецелесообразна;
г) доходность 9,82 %, операция целесообразна.
Вопрос 5. Рыночная цена облигации с периодом погашения 8 лет составляет 800 руб. Номинальная цена равна 1000 руб., годовой купон 5 %.
Рассчитать доходность к погашению.
а) 9,375%;
б) 12,375%;
в) 11,375%;
г) 10,375%.
Вопрос 6. Дайте определение текущей доходности облигаций с фиксированной ставкой купона, выплачиваемого ежегодно.
а) Текущая доходность облигаций с фиксированной ставкой купона
равна отношению размера годового купона к средней цене за предыдущий
год;
б) Текущая доходность облигаций с фиксированной ставкой купона
равна отношению текущей рыночной цены к размеру купонного годового
дохода;
в) Текущая доходность облигаций с фиксированной ставкой купона
равна отношению размера годового купона к разнице между текущей рыночной ценой и номинальной ценой;
г) Текущая доходность облигаций с фиксированной ставкой купона
равна отношению размера годового купона к текущей рыночной цене.
Вопрос 7. Номинал облигации равен 1 тыс. руб., купон, выплачиваемый 1 раз в год, – 15%, до погашения остаётся 8 лет. На рынке доходность
инвестиций с уровнем риска, соответствующим данной облигации, оценивают в 13,5 %. Определить внутреннюю стоимость бумаги.
а) 1072,766 pуб.; б) 1070,766 pуб.; в) 1073,766 pуб.; г) 1069,766 pуб.;
Вопрос 8. Пусть dкуп, t – величина платежа по купону в период t ,
руб., n – число лет (срок) погашения, r – процентная ставка, равная доходности к погашению или рыночной процентной ставке, Рн – номинальная
цена облигации, Рвн – текущая (внутренняя) стоимость потока доходов и
поступлений по облигации. Формула дюрации (по F.Macaulay):
n

а) DM 
t 1
n

t 1
n
St

t
1  r 
tSt
t
1  r 
;
б) DM 
t 1
n

t 1
55
t St
1  r t ;
St
1  r t
n

в) DM 
t 1
n

t 1
n
tSt
t
1  r 
St
;
г) DM 
t 1
n

1  r t
S
 t 1 t r t
t 1


St
.
1  r t
Вопрос 9. Пусть DM – дюрация Маколи. Модифицированная дюрация облигации с выплатой купона 1 раз в году при рыночной процентной
ставке r находится по формуле
а) DM * 
D
DM
; б) DM *  M ; в) DM *  DM 1  r  ; г) DM *  DM r .
r
1 r
Вопрос 10. Для портфеля, состоящего из финансовых активов с фиксированным доходом (например, из облигаций), пусть DM ,i – дюрация
i-го актива, i – удельный вес этого актива в стоимости портфеля, n – число видов активов. Дюрация портфеля находится по формуле
n
а) DM   i DM ,i ;
n
б) DM   1  i  DM ,i ;
i 1
i 1
n
n
в) DM   1  i  DM , i ; г) DM   i DM ,i .
i 1
i 1
Глава 4. ОПТИМИЗАЦИЯ ДОХОДНОСТИ ПОРТФЕЛЯ
4.1. Оптимизация портфеля финансовых активов по Марковицу
Портфель – это набор различных ценных бумаг одного владельца,
которые выбраны на основе учёта целей данного инвестора по результатам
анализа.
При выборе стратегии вложения средств все инвесторы определяют
для себя принципы формирования инвестиционного портфеля, который
представляет собой комбинацию разных типов инвестиций. Инвестиционный портфель должен быть сформирован диверсифицировано: чтобы снизить общий риск потерь и чтобы потери от одной инвестиции не повлияли
на состояние портфеля в целом.
При формировании портфеля нужно учитывать желаемую норму
прибыли, то есть портфель должен обеспечивать приращение стоимости
произведенных инвестиций.
56
Управление портфелем, или размещение активов, сводится к нахождению таких пропорций в структуре инвестиционного портфеля, чтобы
обеспечить наиболее высокую норму прибыли и максимально снизить
уровень риска. В некоторых случаях добиться этой цели можно с помощью
несложных расчётов. Одним из таких случаев является наличие в портфеле
лишь двух типов финансовых активов, тогда достаточно воспользоваться
формулами (2.3), (2.4).
Пример 4.1. Рассмотрим портфель, состоящий из двух видов ценных
бумаг: акций с ожидаемой доходностью 12% и облигаций, доходность по
которым равна 5,1%. Стандартное отклонение акций 21,2%, облигаций —
8,3%.
Риск портфеля из двух активов будет рассчитываться по формуле
где ак
2 2
2 2
  2V акобакоб  ак
ак  об
об ,
= 21,2%, об = 8,3%, ак , об – доли акций и облигаций в портфе-
ле, причём сумма долей равна 1. Ожидаемая доходность портфеля = доля
акций  12%+доля облигаций  5,1% (табл. 4.1).
Несложно видеть, что увеличение удельного веса акций в портфеле
увеличивает его доходность, но усугубляет показатель риска.
Портфель 0 состоит только из облигаций, тогда как портфель 21 –
только из акций. Портфель, состоящий только из облигаций, имеет ожидаемую доходность 5,1%, а его стандартное отклонение равно 8,3%. Портфель, состоящий только из акций, имеет ожидаемую доходность 12%, а
стандартное отклонение – 21,2%.
Портфель, состоящий на 60% из акций и на 40% из облигаций, будет
иметь ожидаемую доходность 9,2%, стандартное отклонение доходности
по такому портфелю составит 13,71%, если корреляция между изменениями доходностей по облигациям и акциям равна 0,18.
Таблица 4.1
Расчёты риска и доходности портфеля при значениях коэффициента корреляции
между активами –1; –0,7; 0; 0,18; 1
57
В настоящее время управление инвестиционным портфелем осуществляется на основе концепции эффективного рынка, согласно которой все
ценные бумаги имеют на рынке реальную (правильную) стоимость, а рынок ценных бумаг быстро и эффективно уточняет цены. Для оценки активности рынка могут использоваться модели поведения произвольно выбранных ценных бумаг, которые характеризуются рыночными индексами,
а по ним можно оценивать и прогнозировать состояние фондового рынка.
Отбирая ценные бумаги для инвестиционного портфеля посредством индексирования, инвесторы стремятся привести в соответствие структуру
своих инвестиций с состоянием рынка.
Рассмотрим математическую формализацию задачи формирования
оптимального портфеля, которую предложил американский экономист
Г. Марковиц (H. Markovitz) в 1952 г.
Пусть в портфель планируется включить n видов активов. Обознаn
чим доли активов в портфеле через    1,, n  . Ясно, что
 i  1. Кроi1
ме того, считаем i  0, i  1, n .
Последнее ограничение в некоторых случаях можно опустить. Если
доля некоторого актива отрицательна, то содержательно это означает провести операцию «short sale» (короткая продажа). В таком случае можно
рассматривать произвольные знаки неизвестных    1,, n  . Если такие
операции невозможны, то необходимо ввести ограничения i  0 . Инвестор, формирующий портфель, обязуется через какое-то время поставить
58
ценные бумаги i-го вида (вместе с доходом, какой они принесли бы их
владельцу за это время). А сейчас он получает их денежный эквивалент,
который присоединяет к своему капиталу, и покупает рекомендуемые оптимальным решением ценные бумаги. Так как ценные бумаги других видов (не i-го) более эффективны, то инвестор оказывается в выигрыше.
Собственно, можно обойтись и без операции «short sale», если инвестору
доступны займы денежных средств по безрисковой ставке.
Через несколько лет после исследования Марковица другой крупнейший американский экономист Д. Тобин заметил, что если на рынке есть
безрисковые ценные бумаги (к таким можно отнести государственные
ценные бумаги), то решение задачи об оптимальном портфеле сильно упрощается. Считается, что безрисковые бумаги некоррелированы с остальными. Портфель Тобина – это портфель Марковица, включающий безрисковые ценные бумаги.
Приведём математическую формализацию задачи Марковица.
Пусть Ri – случайная величина, характеризующая доходность
i-го актива при условии, что все средства вложены только в него. Математическое ожидание доходности i-го актива обозначим mi ( mi  E  Ri  ). Доn
ходность портфеля – это случайная величина R p   Ri i с математичеi 1
n
n
   bij i j .
ским ожиданием m p   mi i и дисперсией D R p 
i 1
Мерой
i , j 1
риска может служить корень квадратный из дисперсии – волатильность
(см. гл. 2).
Минимизируем квадрат риска (дисперсию портфеля):
n
   biji j ,
F    : D R p 
i , j 1


где bij  cov Ri , R j .
Если в портфель включены статистически независимые друг от друга
активы, то ковариационная матрица B  bij
n
i , j 1
является диагональной,
по диагонали стоят выборочные дисперсии активов.
Предположим, что требуемый уровень доходности портфеля задан и
составляет m p .
В результате получаем оптимизационную задачу:
n
F    :
 bij i j  min ,
i , j 1
n
n
 i  1,
 mii  m p ,
i1
i 1
59
i  0 , i  1, n ,
(4.1)
для решения которой можно применить один из известных методов, например, метод множителей Лагранжа, графический метод или метод исключения переменных, а также можно воспользоваться одной из стандартных математических программ или электронных таблиц, включающих инструментарий численных методов решения задач квадратичного программирования.
Двойственной к задаче Марковица минимального риска (4.1) является задача максимальной эффективности ( F * – минимальное значение целевой функции задачи (4.1)):
n
Ef    :  mi i  max ,
i 1
n
n
 i  1,
i1
 bij i j  F * ,
i  0 , i  1, n .
(4.2)
i , j 1
Задачи (4.1) и (4.2) являются задачами субоптимизации (оптимизируем проблему по одному критерию, фиксируя другой) и позволяют решать двухкритериальную проблему: снизить риск – увеличить доходность,
поскольку увеличение доходности обычно сопровождается повышением
риска. При этом m p  Ef * , где Ef * – максимальное значение целевой
функции задачи (4.2).
Замечание 4.1. В целях упрощения решения, можно уменьшить число переменных на 2, воспользовавшись ограничениями.
Пример 4.2. Найти портфель минимального риска, состоящий из некоррелированных между собой акций и облигаций из предыдущего примера. Требуемая от портфеля доходность 9,6 %.
Решение. Обозначим через 1, 2 доли акций и облигаций в портфеле соответственно. Получаем несложную задачу:
F    : 2122 12  832 2 2  min ,
1  2  1 , 121  5,12  9,6 , i  0 , i  1,2 .
Решение единственно: 1  1  2 , 12 1  2   5,12  9,6 , откуда
2  0,35, 1  0,65 (табл. 4.1, портфель 14). Целевая функция при этом несущественна
и
служит
лишь
для
оценки
уровня
риска
( 21, 22  0,652  8,32  0,352  14, 08 ).
В более сложных задачах целевая функция весьма существенна.
Пример 4.3. Рассмотрим портфель, состоящий из трёх видов независимых
ценных бумаг с ожидаемыми доходностями 10, 20 и 15 % и рисками (корень
квадратный из дисперсии) 15, 40 и 12 соответственно. В таком случае ковариационная матрица является диагональной (по диагонали стоят дисперсии):
0
0 
 225
B   0 1600 0  .
 0
0
144 

60
Требуется сформировать портфель из трёх видов ценных бумаг с минимальным
риском потерь капитала и ожидаемой доходностью 15%. Следовательно, нужно
найти, в каких долях ( 1, 2 , 3 ) должны входить ценные бумаги в портфель. Получаем следующую задачу:
F    : 22512  160022  14432  min ,
3
 i  1,
101  202  153  15 , i  0 , i  1,3 .
i1
Решая задачу методом множителей Лагранжа, приходим к системе
2  2251    10  0 ,
2  16002    20  0 ,
2  1443    15  0 ,
3
 i  1,
i1
101  202  153  15 , i  0 , i  1,3 .
Ответ: 1  0,12 ; 2  0,12 ; 3  0,76 .
Используя надстройку MSExcel «Поиск решения» для примера 4.3 (рис.
4.1, а, б), получаем такие же результаты (рис. 4.1, в).
Рис. 4.1: а – ввод формул в ячейки В11, В12, F11
61
Рис. 4.1: б – вызов надстройки «Поиск решения»;
Риск
актива
Ожидаемая
доходность
15.0
40.0
12.0
10
20
15
109.5
15
1
0.119950021
Целевая функция
Ограничение по доходности
Ограничение по сумме долей
0.11995
0.760099958
Результаты
в
Рис. 4.1: в – результат решения задачи Марковица в MSExcel
В примере 4.3 ожидаемые доходности и риски активов были заданы.
В реальных задачах их требуется предварительно рассчитать.
Следующий пример демонстрирует приём расчёта параметров портфеля для упрощённой трехпериодной модели. На практике при таких расчётах, даже после применения приёмов сглаживания, приходится учитывать не менее 10 периодов (например, торговых дней, включающих переход через выходной день).
62
Пример 4.4. Рассматривается динамика доходностей (абсолютные
показатели, измеряемые в денежных единицах) трёх активов за 3 последовательных периода времени (табл. 4.2).
Таблица 4.2
Периоды
1
2
3
первого
1
1
2
Доходности активов
второго
1
2
1.2
третьего
1.8
1.8
1.2
Требуется:
а) сформировать портфель минимального риска из этих активов, взяв
в качестве ожидаемых доходностей линейные оценки доходностей к третьему периоду, полученные по методу наименьших квадратов. Доходность
портфеля должна быть не менее 1.6;
б) сформировать портфель максимальной эффективности из этих активов, взяв в качестве границы риска минимальное значение целевой
функции для задания а).
Далее рассматриваются задачи субоптимизации: а) минимального
риска, б) максимальной эффективности.
Решение. Воспользовавшись функциями ОТРЕЗОК, НАКЛОН электронной таблицы MSExcel (в других электронных таблицах эти функции
могут называться иначе, например, в OpenOfficeCalk, intercept и slope), находим оценки доходностей: p11 t   0.33  0.5t ,
p12 t   1.2  0.1t ,
p13  t   2.2  0.3t .
Вычисляем
ожидаемые
доходности
для
третьего
периода:
p11 3  1.83 , p12 3  1.5 , p13 3  1.3 .
Рассчитываем дисперсии, используя функцию ДИСП, соответственно имеем 0.33, 0.28, 0.12.
Получаем две задачи субоптимизации: а), б).
а) Задача минимального риска:
0.3312  0.2822  0.1232  min, 1  2  3  1,
1.831  1.52  1.33  1.6, 1  0, 2  0, 3  0.
Решаем эту задачу в MSExcel (рис. 4.2).
0.462066
0.275524
θ1
θ2
Ограничения:
1.6 (доходность)
1 (сумма долей)
0.262409
θ3
0.0999756
кв. cигмаp
(кв. риска)
Рис. 4.2. Результат применения «Поиска решения» в Excel
63
Итак, получаем доли активов в оптимальном портфеле 46,2, 27,6,
26,2%, квадрат риска этого портфеля 0.0999756.
Самостоятельное задание. Если в качестве ожидаемых доходностей
активов брать выборочные средние доходностей: 1.33, 1.3, 1.6 соответственно, результаты расчётов существенно изменятся. Провести расчёты и
сопоставить результаты.
б) Задача максимальной эффективности:
1.831  1.52  1.33  max ,
0.3312  0.2822  0.1232  0,0999756 ,
1  2  3  1 , 1  0, 2  0, 3  0 .
Решаем эту задачу в MSExcel (рис. 4.3).
0,46175
θ1
Ограничения:
0,09998
1
0,27637
θ2
0,262
θ3
1,6
mp
(риск в квадрате)
(сумма долей)
Рис. 4.3. Результаты решения задачи максимальной эффективности
Несложно видеть, что доли активов оптимального портфеля в задаче
максимальной эффективности с заданным уровнем квадрата риска, оптимальным для задачи минимального риска, в точности (с учётом погрешности численных вычислений) совпадают с долями активов оптимального
портфеля для задачи а), при этом максимальное значение целевой функции
(ожидаемой доходности портфеля) совпадает с ограничением по доходности для задачи а). Таким образом, задачи а) и б) можно считать взаимодвойственными.
4.2. Модель оценивания финансовых активов
Модель Capital Asset Pricing Model (CAPM) была предложена Уильямом Шарпом в 1964 г. Эту модель иногда называют SLM-моделью
(Sharpe, Lintner, Mossin), поскольку считается, что она была независимо от
Шарпа получена Джоном Линтнером (1965 г.) и Яном Моссином (1966 г.).
Рассматривается абстрактный рыночный инвестиционный портфель,
включающий все котируемые на рынке ценные бумаги, причём пропорция
вложения в конкретную бумагу равна её доле в общей капитализации рынка. Модель CAPM является однофакторной регрессионной моделью, в которой в качестве единственного универсального фактора выбрана доходность рыночного портфеля.
Мерой риска служит коэффициент «бета» (β), определяющий соотношение доходности рассматриваемого актива или портфеля с уровнем
доходности рыночного инвестиционного портфеля. Предполагается также,
64
что по всем ценным бумагам имеются исторические данные о доходностях, на основании которых могут быть получены оценки математических
ожиданий и дисперсий.
Формальная запись итогового уравнения данной модели выглядит
следующим образом:
mi  ai  i mr   i ,
(4.3)
где mi  E Ri  – ожидаемый доход (математическое ожидание случайной
величины доходности Ri на конкретную, i-ю, ценную бумагу) при условии равновесия рынка; i -коэффициент акции i – мера рыночного риска
акции (измеряет изменчивость доходности акции по отношению к доходности среднерыночного портфеля); mr  E Rr  – средняя рыночная доходность.
С точки зрения предельного анализа  i -коэффициент равен производной mi по mr . Он приближенно показывает, насколько изменится ожидаемая доходность i-й ценной бумаги при изменении рыночной доходности на единицу, и является коэффициентом наклона характеристической
линии акции, представляющей собой графическое изображение уравнения
регрессии, построенного по статистическим данным о доходности i-й акции и среднерыночной доходности.
Пусть m f – ставка доходности безрисковой ценной бумаги (примером гарантированных ценных бумаг с фиксированным доходом являются,
в частности, государственные облигации). Ясно, что для безрискового ак-
 
тива доходность постоянна, то есть m f  R f  E R f . Можно показать
(см., например, [5, с. 50]), что
i 
mi  m f
mr  m f
или

,
(4.4)

(4.5)
mi  m r   i m r  m f .
Формула (4.5) устанавливает связь между ожидаемой доходностью
ценной бумаги и её бета-коэффициентом. Очевидно, что  f  1, причём


обычно mr  m f  0 . Бета-коэффициент оценивает изменения в доходности отдельных акций в сопоставлении с динамикой доходности рыночного
портфеля. Ценные бумаги, имеющие коэффициент выше единицы, характеризуются как агрессивные и являются более рискованными, но и более
доходными, чем рынок в целом. Бета-коэффициент может быть положительным или отрицательным. Если он положителен, то доходность соответствующих ценных бумаг будет аналогична динамике рыночной доходности. При отрицательном β-коэффициенте эффективность данной ценной
бумаги будет снижаться при возрастании эффективности рынка.
65
При использовании коэффициента β необходимо учитывать, что в
каждом конкретном случае качество оценки определяется адекватностью в
рассматриваемых условиях предпосылок, заложенных в CAPM, а именно:
 эффективностью рынков, т.е. ситуация, когда рыночная цена отражает всю имеющуюся общедоступную информацию о состоянии экономики, финансовых рынков и конкретных компаний, что обеспечивается, в
свою очередь, выполнением следующих условий:
– наличием большого количества относительно небольших участников рынка, каждый из которых в отдельности не имеет возможности влиять на рыночную цену;
– возможностью свободного перетекания финансовых ресурсов между инструментами, обращающимися на рынке;
– отсутствием (или относительно невысокой величиной) входных
барьеров при доступе на рынок и адекватной рыночной инфраструктурой;
– высоким уровнем информационной прозрачности рынка (в том
числе, как минимум, наличием стандартного набора раскрываемых сведений по обращающимся инструментам и данных об объемах и ценах заключенных сделок);
 возможностью неограниченного проведения двусторонних операций (привлечения и размещения ресурсов) по безрисковой ставке;
 ситуацией, когда при оценке рыночной конъюнктуры и выработке торговой стратегии все инвесторы:
– ориентируются на однопериодный горизонт прогнозирования;
– характеризуются рациональной склонностью к избежанию рисков
(risk-aversity);
– используют одинаковые подходы и данные (в том числе в части величины безрисковой ставки и основных показателей рыночной статистики)
для оценки риска и имеют однородные прогнозные ожидания;
 отсутствием сдвигов рыночной конъюнктуры (как в отношении
рынка в целом, так и по отдельному инструменту), позволяющим распространять данные об исторически выявленных закономерностях на прогнозируемый период.
Оценка параметров регрессионной модели (4.3) осуществляется с
помощью метода наименьших квадратов:
cov  Ri , Rr 
ˆ i 
;
(4.6)
 2r
ˆ  m  ˆ m ,
(4.7)
i
i
i
r
где cov  Ri , Rr  – ковариация между доходностью акции i-й бумаги и доходностью рыночного портфеля; 2r – дисперсия доходности рыночного
портфеля; β-коэффициент для рынка в целом всегда равен единице.
Для получения оценок уравнения регрессии (4.3) можно воспользоваться прикладными программами («Регрессия» пакета анализа MSExcel,
66
инструментарием программы Gretl, статистическими функциями любых
электронных таблиц).
Пример 4.5. Определить коэффициенты бета и дополнительные статистические параметры, характеризующие надёжность уравнения регрессии в целом, и стандартные ошибки коэффициентов регрессии двух акций
(А и В).
Данные о динамике ежемесячных показателей текущей доходности
этих акций и доходности некоторого базового портфеля акций (рыночной
доходности) приведены в таблице 4.3.
Таблица 4.3
Ежемесячные характеристики доходностей акций
Месяцы
Итого
A
2
0,8
2,3
3,5
3,2
4,2
16
Средняя доходность
2,67
1
2
3
4
5
6
Доходность акций
B
2,8
1,8
3,2
4,5
4,2
2,5
19
3,17
Рыночная
2,5
1
3
4,1
3,7
4
18,3
3,05
Решение. На основе приведённых в табл. 4.3 данных с помощью
функций MSExcel (ОТРЕЗОК, НАКЛОН, рис. 4.4) строим уравнения регрессий для акций А и В соответственно (в качестве независимой переменной выбираем рыночную доходность):
mˆ A  0,36  0,99mr , mˆ B  1,21  0,64mr .
Для вычисления коэффициента детерминации нужно возвести в
квадрат коэффициент корреляции Присона, полученный применением
формулы КОРРЕЛ, или же воспользоваться функцией КВПИРСОН, для
расчёта волатильности можно взять корень квадратный из числа, полученного с помощью функции ДИСП – дисперсии, или воспользоваться функцией СТАНДОТКЛОН (рис. 4.5).
Для вычисления ошибок коэффициентов пользуемся формулами:
(стандартное отклонение коэффициента отрезка (  )) 2 =
= (сумма квадратов значений зависимой переменной 
 квадрат стандартной ошибки регрессии) /
/ (число наблюдений  сумма квадратов отклонений от среднего);
(стандартное отклонение коэффициента наклона (  )) 2 =
= (квадрат стандартной ошибки регрессии) /
/ (сумма квадратов отклонений от среднего);
функции СТОШYX, СУММКВ, КВАДРОТКЛ – стандартные статистические функции MSExcel (рис. 4.6).
67
Рис. 4.4. Демонстрация применения функции ОТРЕЗОК для акций В
Рис. 4.5. Демонстрация применения функции СТАНДОТКЛОН для акций В
68
Рис. 4.6. Демонстрация применения функции СТОШYX для акций В
Полученные результаты сведём в таблицу 4.4.
Таблица 4.4
Результаты регрессионного анализа
69
Замечание 4.2. Пример 4.5. в значительной мере условен, так как ряды наблюдений существенно короче, чем это необходимо для практического анализа.
Замечание 4.3. Текущая доходность по акциям, выраженная в процентах, в некоторых источниках называется коэффициентом дивидендной
отдачи. Этот показатель быстро меняется, поскольку рыночная цена акций
динамична, в то время как размер дивидендов обычно устанавливается по
итогам года или квартала: например, из отчёта ОАО «Газпромнефть», по
результатам деятельности компании в третьем квартале 2001 г. на основании решения Совета директоров от 16.08.2001 г. выплачены промежуточные дивиденды в размере 3,79 руб. на одну акцию, по результатам деятельности компании в четвертом квартале 2001 г. на основании решения
Совета директоров от 12.11.2001 г. выплачены промежуточные дивиденды
в размере 2,32 руб. на одну акцию, по результатам деятельности компании
за 2002 г. общим годовым собранием акционеров 15.05.2003 г. принято
решение выплатить дивиденды в размере 7,22 руб. на одну акцию, по результатам деятельности компании в первом полугодии 2003 г. на внеочередном общем собрании акционеров 15.09.2003 г. принято решение выплатить дивиденды в размере 6,44 руб. на одну акцию (www.gazpromneft.ru/investor/dividends/).
Исходя из рыночной модели (4.3), общий риск ценной бумаги i, измеряемый ее дисперсией i2 , состоит из двух частей: 1) рыночный (или
систематический) риск (market risk); 2) собственный (или несистематический) риск (unique risk).
Таким образом, i2 определяется следующим выражением:
i2  i22r  2 ,
(4.8)
где i  r – рыночный риск ценной бумаги i;  – собственный риск ценной
бумаги i, мерой которого является среднеквадраическое отклонение случайной погрешности i .
Рассмотрим в этой ситуации портфель ценных бумаг. Оказывается,
доходность (рисковой части) портфеля с зафиксированными долями бумаг
также линейно зависит от доходности рынка. В самом деле, пусть доля i-й
бумаги есть i , тогда доходность портфеля
m p   i (i  i mr  ) .
(4.9)
Общий риск портфеля аналогично общему риску отдельной ценной
бумаги состоит из двух компонент: рыночного риска и собственного риска:
2p  2p  2r  2 .
(4.10)
Увеличение диверсификации (рост количества ценных бумаг в портфеле) приводит к снижению общего риска портфеля. Это происходит в
следствие сокращения собственного риска портфеля, в то время как рыночный риск портфеля остается приблизительно таким же.
70
Для портфеля β-коэффициент находится как средневзвешенное
β-коэффициентов, входящих в портфель активов:
 p   ii .
(4.11)
Концепция β-коэффициентов составляет основу модели оценки финансовых активов. При помощи этого показателя может быть рассчитана
величина премии за риск, требуемой инвесторами по вложениям, имеющим систематический риск выше среднего.
Из сказанного вытекает соотношение, известное под названием линия рынка капитала (CML), которое отражает зависимость «риск – доходность», т.е. тр и  p  (m p  m p ,  p  m ) , для портфелей, сочетающих рисковые и безрисковые активы:
 mr  m f 
mp  m f  
(4.12)
p ,


r

где m p – ожидаемая доходность (эффективность) портфеля акций; m f –
доходность безрисковых ценных бумаг; r – волатильность (среднеквадратическое отклонение) доходности рыночного портфеля ценных бумаг;
 p – волатильность (среднеквадратическое отклонение) доходности акций
портфеля.
Уравнение (4.12) показывает, что ожидаемая доходность эффективного портфеля (т.е. портфеля, лежащего на линии CML) равна сумме безрисковой ставки и премии за риск, которая исчисляется умножением
mr  m f
коэффициента Шарпа
на среднеквадратическое отклонение
r
портфеля  p
Следует заметить, что САРМ разрабатывалась на основе не вполне
реалистичных предпосылок, поэтому эта модель, скорее всего, не отражает
в полной мере реальной ситуации. Ряд специалистов подвергают сомнению возможность точной концептуальной проверки САРМ. Поэтому ее
применение на практике ограничено.
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
1. Облигации АО выпущены 10 января 2009 г. Срок обращения – 2 года,
годовой купон – x % (см. ниже а – г), номинальная цена – 1 000 руб. При первичном размещении цена составила 985 руб. Какова должна быть минимальная банковская ставка, при которой инвестору, купившему облигацию в ходе
первичного размещения (налогообложение не учитывать), было бы выгоднее
положить деньги в банк на 2 года?
а) 8%; б) 7%; в) 9%; г) 12%.
71
2. АО с уставным капиталом 2 млн руб. выпустило дополнительно
10 тыс. обыкновенных акций на 1 млн руб. и 500 облигаций – на 500 тыс. руб.
С годовым купоном x % (см. ниже а – г). Чистая прибыль АО составляет
280 тыс. руб. Определите сумму прибыли на одну акцию. Рассчитайте срок
окупаемости цены акции, если на рынке она стоит 90 руб. Как изменится срок
окупаемости, если прибыль на акцию увеличится на 20%.
а) 12%; б) 11%; в) 9%; г) 10%.
3. Рассчитайте, как изменится курс акции в размере 150 руб., если её текущая доходность увеличиться с x до y % (см. ниже а – г), а размер дивиденда останется прежним.
а) 12 до 14%; б) 11 до 14%; в) 9 до 11%; г) 10 до 15%.
4. Предположим, инвестор имеет возможность составить портфель из
четырех видов некоррелированных ценных бумаг, эффективности и риски которых даны в таблице.
а) i (вид)
1
1
3
2
4
4
3
8
5
4
12
7
1
1
1
2
4
3
3
8
5
4
12
6
mi, % (доходность)
σi (риск)
1
3
2
2
4
3
3
8
5
4
12
6
i (вид)
mi, % (доходность)
σi (риск)
1
4
1
2
5
3
3
8
4
4
12
6
mi, % (доходность)
σi (риск)
б) i (вид)
mi, % (доходность)
σi (риск)
в) i (вид)
г)
Найти оптимальный портфель из этих ценных бумаг с ожидаемой доходностью 5%.
5. Рассмотрим портфель, состоящий из двух видов ценных бумаг: акций с ожидаемой доходностью 10% и облигаций, доходность по которым
равна 8,5%. Стандартное отклонение акций 25,2%, облигаций – 12,1%.
Рассчитать риск и доходность портфеля при значениях коэффициента корреляции между активами –1; –0,7; 0; 0,18; 1, если доли активов составляют
x% и (100 – x)%, x = 0, 10, 20, …, 100.
6. Рыночная цена облигации – 95% номинальной стоимости, годовой
купон – 8%. Рассчитайте «грязную» цену облигации в процентах от номинала
по истечении 4 месяцев с момента выплаты последнего купона.
7. Рассчитайте внутреннюю стоимость облигации номиналом 1000 руб.
с выплатой ежегодного купонного дохода 8% и сроком погашения 2 года, если
процентная ставка по вкладу в банк составляет 11% годовых.
72
8. Чистая прибыль АО составляет 5 млн руб., дивиденд по привилегированной акции, номинал которой 100 руб., составляет 20 руб., число привилегированных акций – 100 тыс. шт. Удельный вес стоимости этих акций соответствует норме, установленной законом. Определите показатель EPS и P/E, если
рыночная цена обыкновенных акций равна 120 руб. Номинальные цены обыкновенных и привилегированных акций равны.
9. Инвестор, имеющий в 300 тыс. руб., может вложить свой капитал в
акции А, В, С. Дивидендные ставки по акциям являются независимыми случайными величинами с математическими ожиданиями 8, 10 и 12% и стандартными отклонениями (  ), 1, 2 и 4% соответственно. Как нужно скомбинировать покупку разных акций, чтобы за первый год получить в среднем 30 тыс.
руб. дивидендов при минимальной дисперсии?
10. Определить коэффициенты бета и дополнительные статистические параметры, характеризующие надёжность уравнения регрессии в целом, и стандартные ошибки коэффициентов регрессии двух акций (А и В).
Данные о динамике ежемесячных показателей текущей доходности
этих акций и доходности некоторого базового портфеля акций («рыночная
доходность») приведены в таблицах а) – г).
а)
Месяцы
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
б)
Месяцы
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
A
2
0,8
2,3
3,5
3,2
2,5
3,9
3,5
2,8
4,2
4,1
4,2
Доходность акций
B
Рыночная
2,8
2,5
1,8
1
3,2
3
4,5
4,1
4,2
3,7
2,9
4,1
4,1
4
3,8
3,6
2,6
3,9
3,6
3,6
3,2
3,7
2,5
3,8
A
2,2
0,7
1,8
2,4
2,0
1,4
1,9
2,2
1,5
2,1
4,1
4,2
Доходность акций
B
Рыночная
2,8
2,5
2,9
2,8
3,2
3,2
4,1
4,1
4,2
3,7
2,9
4,1
3,7
4
3,8
3,6
2,6
3,9
3,3
3,6
3,2
3,7
2,5
3,8
73
в)
Месяцы
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
г)
Месяцы
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
A
2,5
1,1
2,2
2,9
2,5
1,6
2,3
2,6
1,7
2,5
4,4
4,4
Доходность акций
Рыночная
B
2,8
2,5
3,1
2,8
3,2
3,1
4,1
4,1
4,2
3,7
2,9
4,1
3,7
4
3,8
3,6
2,6
3,9
3,3
3,6
3,2
3,7
2,5
3,8
A
2,8
1,0
1,7
2,0
1,5
0,9
1,2
1,7
1,0
1,3
2,7
4,1
Доходность акций
Рыночная
B
2,5
2,5
2,9
2,6
3,2
3,2
4,1
4,1
4,2
3,8
2,9
4,1
3,7
4
3,8
3,9
2,6
4,1
3,3
3,9
3,2
3,7
3,1
3,9
11. Определите внутреннюю («обещанную») доходность облигации, если купонный процент по ней равен 5% годовых, рыночная цена облигации составляет 92,5%, срок обращения – 1 год.
12. Бескупонная облигация была приобретена в порядке первичного
размещения (на аукционе) по цене 79,96; срок обращения 91 день. По какой
цене должна быть продана облигация спустя 30 дней после аукциона, с тем
чтобы доходность к аукциону оказалась равной доходности к погашению.
13. Номинальная цена акции АО – 100 руб., текущая рыночная цена –
60 руб. Компания выплачивает квартальный дивиденд в размере 12 руб. на одну акцию. Определите текущую доходность операции с акцией и внутреннюю
стоимость, если через 2 года инвестор продаст её за 75 рублей.
14. Рассматривается динамика доходностей (абсолютные показатели,
измеряемые в денежных единицах) трёх активов за 3 последовательных периода времени.
74
Периоды
первого
1
1
2
1
2
3
Доходности активов
второго
1
1.3
1.2
третьего
1.8
1.8
1.2
Требуется сформировать портфель минимального риска из этих активов,
взяв в качестве ожидаемых доходностей линейные оценки, полученные по методу наименьших квадратов. Доходность портфеля должна быть не менее 1.6.
15. Рассчитайте внутреннюю стоимость облигации номиналом 500 руб.
с выплатой ежегодного купонного дохода 10% и сроком погашения 3 года, если ставка процента по вкладу в банке составляет 9,5% годовых.
16. Бескупонная облигация была приобретена в порядке первичного
размещения (на аукционе) по цене 81,56 руб.; срок обращения – 82 дня. По какой цене должна быть продана облигация спустя 65 дней после аукциона,
чтобы доходность к аукциону оказалось равной доходности к погашению?
17. Номинал векселя – 250000 руб., по нему начисляют 30% годовых.
Период с момента начала начисления процентов до погашения бумаги равен
80 дням. Определите доходность операции для инвестора, если он купит вексель за 50 дней до погашения по цене 300000 тыс. руб. и предъявит его к погашению по истечении срока.
18. Рассматривается динамика доходностей двух активов за 3 последовательных периода времени:
Периоды
1
2
3
Доходности активов
первого
второго
1
1
1
2
2
1.2
Требуется сформировать портфель минимального риска из этих двух активов.
75
КРАТКИЙ СЛОВАРЬ АНАЛИТИКА
Активная операция – операция по размещению средств, в частности, вложение денег в ценные бумаги (в процессе изложения термин «актив» означает «ценная бумага», хотя в бухгалтерском учёте этот термин
значительно шире).
Акционерное общество – коммерческая организация, уставный капитал которой разделён на определённое число акций, удостоверяющих
обязательственные права участников общества (акционеров) по отношению к обществу.
Акция – именная ценная бумага, закрепляющая право её владельца
(акционера) на получение части прибыли акционерного общества (АО) в
виде дивидендов, на участие в управлении акционерным обществом (если
это обыкновенная акция) и на часть имущества, остающегося после ликвидации АО. Такой вид ценных бумаг наиболее распространён. По сути, акция является свидетельством о внесении доли в акционерный капитал корпорации и представляет собой долю в собственности.
Акции подразделяются на привилегированные и обыкновенные. По
своим характеристикам привилегированные акции во многом сходны с
долговыми инструментами. Как правило, владельцы привилегированных
акций имеют право на получение фиксированных дивидендов (аналогично
процентам по облигациям) до того, как будут выплачены какие-либо дивиденды держателям обыкновенных акций. Регулярная выплата дивидендов
по привилегированным акциям не является контрактным обязательством
эмитента и производится по решению Совета директоров корпорации. Ситуация, когда дивиденды по привилегированным акциям не выплачиваются вовсе, бывает очень редко. Поэтому в определённой степени дивиденды
по привилегированным акциям можно рассматривать как процентные платежи. Вместе с тем, в отличие от долговых ценных бумаг, привилегированные акции не имеют фиксированного срока. В случае банкротства корпорации держатели привилегированных акций имеют преимущество перед
владельцами обыкновенных акций в оплате своих требований, однако уступают в очерёдности держателям долговых обязательств. Акционеры избирают директоров корпорации и тем самым контролируют в конечном
счёте распределение чистых прибылей корпорации, направляя всю чистую
прибыль или её часть на выплату дивидендов, либо соглашаясь с реинвестированием в расширение предприятия.
Бар – представление развития цены за определённый торговый период (день, неделю, месяц и т.п.) на гистограмме.
Бык – участник рынка ценных бумаг, ожидающий повышения их
курса.
76
Вексель – документ, содержащий безусловное обязательство векселедателя выплатить векселедержателю определённую сумму денег к определённому моменту (обычно вексель выдаётся в качестве оплаты за поставленный товар).
Деньги – товар особого рода, являющийся всеобщим эквивалентом.
Депозитный сертификат – свидетельство банка о приёме денежных
средств вкладчика, представляющее собой двустороннее обязательство:
вкладчика – не изымать деньги некоторое время и банка – уплатить через
этот срок достаточно высокий процент по вкладу.
Диверсификация – распределение, рассредоточение вложений капитала.
Дивиденд – доход, который может получить акционер за счёт части
чистой прибыли текущего года акционерного общества, которая распределяется между держателями акций в виде определённой доли их номинальной цены. Дивиденды могут выплачиваться деньгами или, по усмотрению
общества, другим имуществом (как правило, акциями дочерних предприятий или собственными акциями). Если дивиденд выплачивается собственными акциями, говорят о «капитализации дохода».
Доджи – японская свеча, у которой цены открытия и закрытия торгового периода совпадают, либо диапазон между ними очень мал.
Доходность финансового актива – годовая процентная ставка, отражающая отдачу на капитал, вложенный в данный актив. В самом общем
виде рассчитывается отношением годового дохода, генерируемого данным
активом, к величине исходных инвестиций в него (начальной цене, по которой актив может быть куплен). Общая доходность равна сумме текущей
(дивидендной, процентной) доходности и капитализированной доходности. Последняя возникает в результате изменения (роста) цены актива и
находится отношением изменения цены к цене приобретения (начальной
цене) актива. Текущая доходность равна отношению годового дохода
(дивидендного или процентного) к цене приобретения (начальной цене)
актива.
Доходность (обещанная, внутренняя) – ставка, при которой дисконтированные средства, вложенные в финансовый актив, полностью возвращаются владельцу.
Дробление акций – это процедура обмена (конвертации) одной акции на две или большее число акций той же категории с учётом кратного
снижения номинальной цены новой акции. Процедура, обратная дроблению, называется консолидацией.
Инвестиции (экон.) – представленные в стоимостной оценке расходы, сделанные в ожидании будущих доходов. Инвестиции подразделяются
на 2 вида – финансовые и реальные. Финансовые инвестиции представляют собой вложение капитала в долгосрочные финансовые активы – паи,
акции, облигации. Вложением средств в набор финансовых активов, осуществляется портфельное инвестирование. Реальные инвестиции – вложе77
ния капитала в развитие материально-технической базы предприятия, производственной и непроизводственной сфер.
Инвестиция (юрид.) – это денежные средства, ценные бумаги, иное
имущество, в том числе имущественные права, иные права, имеющие денежную оценку, вкладываемые в объекты предпринимательской и (или)
иной деятельности в целях получения прибыли и (или) достижение иного
полезного эффекта.
Инвестиционная деятельность (юрид.) – вложение инвестиций и
осуществление практических действий в целях получения прибыли и (или)
достижение иного полезного эффекта.
Инвестиционный проект – план или программа мероприятий, связанных с осуществлением капиталовложений с целью их последующего
возмещения и получения прибыли.
Инвестиционный процесс – поток платежей, в котором инвестиции
(капиталовложения) отрицательны, а доходы положительны.
Инвестор – лицо, вкладывающее на долгосрочной основе в некоторый проект собственные средства в предположении их возврата с прибылью.
Капитализация компании определяется как произведение текущей
рыночной цены всех размещённых акций на их число.
Капитальные финансовые активы являются инструментами формирования капитала фирмы, одновременно и объектами, и способами как
мобилизации (путём эмиссии), так и инвестирования средств. К таковым
относятся акции и облигации.
Конъюнктура – текущее соотношение спроса и предложения на
рынке.
Котировка ценных бумаг – определение курса их покупки и продажи на определённый момент времени, то есть определение наивысшей
цены, предлагаемой за ценную бумагу покупателем и наименьшей цены,
по которой продавец готов её уступить.
Купонная ставка – ставка дохода по облигации, выраженная в фиксированном проценте к ее номинальной стоимости.
Курс ценной бумаги – её рыночная цена.
Ликвидность – способность предприятия в полной мере и в установленный срок выполнить свои обязательства.
Лицами, принимающими решение, называются руководители, инвесторы, кредиторы и прочие юридические и физические лица, способные
влиять на финансовое состояние предприятия и заинтересованные в этом.
Медведь – участник рынка ценных бумаг, ожидающий понижения
их курса.
Номинал акции – это то, что указано на её лицевой стороне, поэтому иногда именуется нарицательной (лицевой) стоимостью. Из суммы всех
78
номиналов акций, находящихся в обращении, складывается уставный капитал акционерного общества.
Облигация – одностороннее обязательство эмитента вернуть через
определённый срок номинальную стоимость плюс проценты, это форма
займа, не предполагающая движения товара, к которой приходится прибегать государству, органам местной власти и предприятиям при наличии
временных финансовых трудностей.
Оборот – общее количество акций определённого вида, на которые
заключены кассовые сделки купли-продажи в течение одной биржевой
сессии.
Объём – общая стоимость заключённых кассовых сделок куплипродажи по одной акции в денежном выражении во время данной биржевой сессии.
Окно – разрыв в ценовом чарте с японскими барами.
Опцион (англ. option – выбор) – ценная бумага, оформленная в виде
контракта, дающая владельцу право (но не обязательство) купить, если это
опцион «колл» (англ. call – затребовать), или продать, если это опцион
«пут» (англ. put – выложить), определённое количество акций по определённой цене в течение определённого времени или на определённую дату.
Опционный контракт имеет две стороны – продавец (выписыватель) и покупатель (подписчик) опциона. Покупатель опциона имеет право купить
или продать определённое количество акций по определённой цене и за
это право он платит продавцу определённую премию (цену опциона). Продавец опциона несёт перед покупателем соответствующее обязательство:
например, если покупатель воспользуется опционом «пут», то продавец
опциона обязан купить у него указанное количество акций по указанной в
опционе цене.
Открытый интерес – это сумма всех открытых фьючерсных контрактов на покупку того или иного вида ценных бумаг в каждый момент
биржевой сессии.
Портфель (инвестиционный, рыночный) – набор различных ценных
бумаг одного владельца, которые выбраны на основе учёта целей данного
инвестора и результатов анализа.
«Пробой» линии ценового тренда означает, что график развития
цен пересёк линию тренда снизу вверх при понижательной тенденции или
сверху вниз при повышательной тенденции.
Рынок – сфера купли-продажи товаров.
Рынок финансовый состоит из трёх частей: рынка ценных бумаг,
рынка банковских ссуд и валютного рынка. Рынок ценных бумаг часто называют также фондовым рынком.
Риск – возможность экономических потерь, возникающих при наступлении неблагоприятных событий, часто случайных. Для управления
рисками можно пользоваться надстройкой @RISK for Microsoft Excel.
79
Средняя цена акции по итогам торгового периода – отношение
объёма торговли к обороту за этот период.
Стоимость под риском – Value at Risk (VaR) – стоимостная мера
риска, абсолютный максимальный размер потерь, которые можно ожидать
при владении финансовым инструментом (или их портфелем) на протяжении некоторого фиксированного периода времени (временнóго горизонта)
в нормальных рыночных условиях при заданном уровне доверительной вероятности.
Текущая доходность облигации – отношение годового купонного
дохода к цене покупки облигации.
Технический анализ является способом анализа тенденций изменения цен и объёмов торговли ценными бумагами в прошлом для предвидения изменения цен в будущем. Технический анализ, главным образом,
применяется для анализа цен на рынке ценных бумаг – фондовом рынке.
Однако точно так же он может применяться для анализа валютного рынка
и рынка ссудных капиталов. В последнем случае аналогом цен акций будут
курсы валют или динамика процентов за использование денег.
Товарный варрант (англ. warrant – полномочие, правомочие) – свидетельство, выдаваемое товарными складами о приёме товара на хранение,
этот документ даёт владельцу право получить заем под залог указанного
товара.
Трейдер – участник рынка ценных бумаг, осуществляющий их покупку и продажу, в том числе брокер, дилер, инвестор, доверительный
управляющий ценными бумагами (англ. trade – торговля).
Трейдинг – проведение сделок купли и продажи с ценными бумагами.
Тренд – направление развития цен в виде линии.
Финансовые активы, согласно международным стандартам финансовой отчётности (МСФО), включают: денежные средства, договорное
право требования денежных средств или других финансовых активов (например, дебиторская задолженность), прочие долговые обязательства перед субъектом (например, купленные облигации), договорное право на обмен финансовых инструментов (например, опцион), долевой инструмент
(например, акции).
Фондовая биржа – организатор торговли на рынке ценных бумаг,
причём участниками торгов на фондовой бирже являются только брокеры,
дилеры и управляющие.
Формации разворота (Reversal Patterns) – графические фигуры,
сигнализирующие о глобальном изменении тренда.
Формации продолжения (Continuation or Sideways Patterns) – графические фигуры, появляющиеся внутри долговременных тенденций, после завершения которых ожидается движение цен в том же направлении,
которое предшествовало их формированию.
80
Фундаментальный анализ рынка ценных бумаг (ФуА) представляет собой метод классификации компаний на основе экономических факторов. Важнейшей его целью является определение реальной стоимости
акций. Если реальная стоимость акций компании оказывается ниже их текущей рыночной цены, то компания считается переоцененной, в противном случае – недооцененной. Для оценки реальной стоимости акций используются данные о финансовом состоянии компании, перспективах развития бизнеса и внешние факторы – влияние конкурентов, контрагентов и
государства.
Цена – денежное выражение стоимости. С точки зрения фундаментального анализа цена отличается от стоимости актива: «цена – это то, что
ты платишь, а стоимость – это то, что ты получаешь».
Ценные бумаги – это особым образом оформленные документы или
записи в системе ведения реестра ценных бумаг (при без документарной
форме), свидетельствующие о правах их владельца на определённое имущество или денежную сумму.
Чарт – графическое представление динамики рыночных цен на фондовой бирже.
Чистый приведённый доход от инвестиций в акции равен разнице
между внутренней стоимостью Pвн и текущей рыночной ценой акции P :
NPV  Pвн  P .
81
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Четыркин Е.М. Финансовые риски. М.: Дело, 2008.
2. Савицкая Г.В. Экономический анализ: Учебник. 11 изд., испр. и доп. М.: Новое знание, 2006.
3. Шарп У.Ф., Александер Г.Дж., Бейли Д.Б. Инвестиции.М.: Инфра-М, 2007.
4. Sharpe W.F., Alexander G.J. Investments. 4-Th ed. Prentice-Hall Intern. Inc., 1990.
5. Дудов С.И. Оптимальное портфельное инвестирование. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2008.
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Бабешко Л.О. Основы эконометрического моделирования. М.: КомКнига, 2006.
Выгодчикова И.Ю., Трошина Н.Ю. Финансовая математика: процентный анализ.
Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2003.
Выгодчикова И.Ю. Наилучшее приближение динамики экономических показателей фундаментального и технического анализа рынка ценных бумаг алгебраическими
полиномами. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2007.
Выгодчикова И.Ю. Процентный анализ финансовых потоков. Саратов: Изд-во
Сарат. ун-та, 2008.
Дудов С.И., Сидоров С.П. Курс математической экономики. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2002.
Ковалёв В.В. Управление активами фирмы. М.: Проспект, 2007.
Политковская И.В. Оценка стоимости ценных бумаг. М.: Академия, 2008.
Рынок ценных бумаг /.Под ред. В.А. Галанова, А.И. Басова. М.: Финансы и статистика, 2006.
Финансовая математика: математическое моделирование финансовых операций.
Учеб. пособие / Под ред. В.А. Половникова, А.И. Пилипенко. М.: Вузовский учебник,
2007.
Хаертфельдер М., Лозовская Е., Хануш Е. Фундаментальный и технический анализ рынка ценных бумаг. СПб.: Издат. дом «Питер», 2005.
Хорн Дж. Основы управления финансами. М., 1997.
www.palisade.com. (@Risc 5.5)
82
ПРИЛОЖЕНИЯ
Приложение 1. Эффективная ставка при краткосрочном кредитовании
по потребительской схеме с учётом ускоренной амортизации процентов
В соответствии с Положением № 254-П от 26 марта 2004 г. Центрального Банка
Российской Федерации о порядке формирования кредитными организациями резервов
на возможные потери по ссудам (банковском кредитном риске), по ссудной и приравненной к ним задолженности производится расчет эффективной ставки по формуле
n

i 1
CFi
( di  d 0 )
(1  IRR) 365
 0,
где di – дата i-го денежного потока; d0 – дата начального денежного потока (совпадает с
датой перечисления денежных средств заемщику (потребителю)); n – количество денежных потоков; CFi – сумма i-го денежного потока по договору о размещении денежных средств; IRR (EFF) – годовая эффективная процентная ставка, выраженная в виде
десятичной дроби.
Разнонаправленные денежные потоки (приток и отток денежных средств) включаются в расчет с противоположными математическими знаками: предоставление заемщику ссуды на дату ее выдачи включается в расчет со знаком «минус», возврат заемщиком ссуды, уплата процентов по ссуде включаются в расчет со знаком «плюс»
Пример. Сумма 12 000 выдана в долг на год на условиях расчётов по схеме потребительского кредитования под 30 % годовых (основная сумма выплачивается в рассрочку равными платежами ежемесячно, а процентный годовой платёж начисляется
сразу и также погашается ежемесячно). Рассматриваются схемы с ускоренным и замедленным списанием процентов по методу 78-х: 1/78+2/78+…+12/78=1. Рассчитать ref.
Решение. Поскольку проценты начисляются сразу на всю сумму (потребительские условия кредитования), то за год они составляют 3600=12000  30%. Рассмотрим
следующие варианты возврата процентной части долга (ежемесячно):
а) в долях 12/78, …, 1/78;
б) в долях 1/78, …, 12/78.
Расчёт эффективной ставки осуществляется применением программы «Подбор
параметра» MSExcel (в других электронных таблицах расчёты производятся аналогично) (рис. П1). На первом этапе вводим формулы в ячейки электронной таблицы
MSExcel (рис. П2). Далее, в целях упрощения расчётов выполняем замену x=1/(1+ref) и
вводим формулу (рис. П3).
Для поиска эффективной ставки решается уравнение (расчёты выполнены с помощью замены x=1/(1+ref)):
1553,846 1507 ,692
1046,154

 ... 
 12000 ,
1
2
1
1  ref
1  r 12 1  r 12

ef

1
12
1553,846 x

ef


2
12
 1507 ,692 x

12
 ...  1046,154 x12
83
 12000 .
Рис. П1
Рис. П2
84
Рис. П3
В результате получаем x (рис. П4).
Рис. П4
Наконец, пересчитываем эффективную ставку (рис. П5).
85
Рис. П5
Аналогичные действия выполняем для случая б) (рис. П6).
Рис. П6
В первом случае эффективная ставка составила 71,85 %, во втором – 60,08 %.
86
Приложение 2. Модели частичной корректировки
В моделях частичной корректировки предполагается, что поведенческое уравнение описывает не фактическое значение зависимой переменной y, а её желаемое (целевое) значение
(*)
yt *     xt   t , t ~ N (0,  2 ) .
Предполагается также, что фактическое значение зависимой переменной не выходит мгновенно за желаемый уровень, а изменяется только на долю  в нужном направлении:
yt  yt 1    yt*  yt 1  , 0    1 .
(**)
Перепишем (**) в виде
yt   yt *  (1   ) y t 1 .
(***)
Из (***) видно, что yt получается как взвешенное среднее (выпуклая комбинация) желаемого уровня и фактического значения этой переменной в предыдущем периоде с параметром  .
Параметр  называется корректирующим коэффициентом. Чем больше  , тем
быстрее происходит процесс корректировки.
Если  = 1, то yt  yt * и полная корректировка происходит за 1 период. Если
 = 0, то корректировка yt не происходит совсем.
Подставляя (*) в (***), получаем
(****)
yt    xt  (1   ) yt 1  t .
Применяем метод наименьших квадратов к оценке составных параметров уравнения.
Пример. Производственные компании распределяют прибыль П, оставшуюся
после уплаты налогов: одну часть на выплату дивидендов D, другую – на финансирование инвестиций. Известны данные о деятельности производственных компаний за ряд
предыдущих лет (усл. ед.).
t
D
П
t
D
П
1
100
400
6
800
1100
2
300
600
7
900
1300
3
450
700
8
1000
1400
4
550
800
9
1100
1500
5
700
1000
10
1200
1700
Предположим, что у фирмы имеется целевая долгосрочная доля выплат γ и же*
лаемый объём дивидендов Dt соотносится с текущей прибылью  t как
Dt *     t  t . Однако реальный объём дивидендов подвержен процессу частичной
корректировки:
Dt  Dt 1   Dt *  Dt 1 , или Dt     t  1    Dt 1  t , 0    1 .


На основе данных о деятельности производственной компании за ряд лет построим уравнение регрессии.
Воспользуемся программой «Регрессия» MSExcel. Вводим исходные и вспомогательные данные с временным сдвигом на 1 год (рис. П7).
87
t
D
Π
1
100
400
2
300
600
100
3
450
700
300
4
550
800
450
5
700
1000
550
6
800
1100
700
7
900
1300
800
8
1000
1400
900
9
1100
1500
1000
10
1200
1700
1100
Рис. П7
Затем применяем программу «Регрессия» (рис. П8, П9).
Рис. П8
88
Dt 1
Рис. П9
Получаем результат (рис. П10).
Рис. П10
Используя найденные коэффициенты, строим уравнение регрессии:
Dt  0.29 t  0.58 Dt 1  68 . Из соотношения 1    0.58 определяется корректирующий
коэффициент   0.42 , а из соотношения   0.29 – оценка доли выплат   0.69 .
Приложение 3. Стоимость под риском (VAR)
Value at Risk (VaR) – стоимостная мера риска, абсолютный максимальный размер потерь, которые можно ожидать при владении финансовым инструментом (или их
портфелем) на протяжении некоторого фиксированного периода времени (временнóго
горизонта) в нормальных рыночных условиях при заданном уровне доверительной вероятности.
89
Это выраженная в денежных единицах оценка величины, которую не превысят
ожидаемые в течение данного периода времени потери с заданной вероятностью. Еще
называется показателем «16:15», ибо это время, в которое он должен был быть на столе
у главы правления банка J.P. Morgan. В этом банке показатель VaR и был впервые введен в обиход с целью повышения эффективности работы с рисками.
VaR характеризуется тремя параметрами:
 временным горизонтом, который зависит от рассматриваемой ситуации. По
базельским документам – 10 дней, по методике Risk Metrics – 1 день. Чаще распространен расчет с временным горизонтом 1 день. 10 дней используется для расчета величины
капитала, покрывающего возможные убытки;
 доверительным интервалом (confidence level) – уровень допустимого риска.
По базельским документам используется величина 99%, в системе RiskMetrics – 95%.
 базовой валютой, в которой измеряется показатель.
VaR – это величина убытков, которая с вероятностью, равной уровню доверия
(например, 99%), не будет превышена. Следовательно, в 1% случаев убыток составит
величину, большую, чем VaR.
Проще говоря, вычисление величины VaR проводится с целью заключения утверждения подобного типа: «Мы уверены на X% (с вероятностью X/100), что наши потери не превысят Y долларов в течение следующих N дней». В данном предложении
неизвестная величина Y и есть VaR.
Для оценивания VaR применяются преимущественно параметрический и непараметрический методы. При непараметрическом оценивании непосредственно используются данные статистического ряда распределения финансовой характеристики (цены,
дохода, валютного курса и т.д.). Приведём формулу VaR, основанную на применении,
пожалуй, самого распространённого параметрического метода. В последнем случае при
оценивании VaR используются параметры распределения вероятностей экономических
характеристик.
Имеем
VaR  V    z  ,
где μ – ожидаемая доходность, т.е. средняя величина доходности актива; σ – среднее
квадратическое отклонение; V – текущее значение стоимости актива (в денежных единицах)
Предположение о нормальности распределения доходностей позволяет нам вычислить z-уровень для данного доверительного уровня. Так, для 95%-ного доверительного уровня имеем z = 1.645 – квантиль нормального распределения для вероятности в
95%.
Замечание. Для получения значения z при заданном уровне вероятности в
MSExcel можно воспользоваться функцией НОРМСТОБР(0,95)=1,644485 или обратной
к ней НОРМСТРАСП(1,645)=0,95.
Рассмотрим оценивание VaR для портфеля из двух составляющих. Пусть VaRA
является рисковой стоимостью для составляющей A портфеля, а VaRB является рисковой стоимостью для составляющей B портфеля. И пусть корреляции доходов составляющих будет равна ρ. Тогда общая рисковая стоимость удовлетворяет формуле
(VaRtotal)2 = (VaRA)2 + (VaRB)2 + 2 × ρ × VaRA × VaRB .
Заметим, что:
 если эти две составляющие полностью коррелированны (ρ = +1), то VaRtotal
является суммой рисковых стоимостей этих двух составляющих, если ρ = –1, то модулем разностей;
 в любом другом случае имеется расхождение прибыли, и VaRtotal портфеля тогда меньше, чем сумма VaR двух составляющих.
90
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение ...................................................................................................
Глава 1. Основные показатели доходности финансовых активов ......
1.1. Простые и сложные проценты. Эффективная ставка .................
1.2. Виды доходности финансовых операций ....................................
1.3. Показатели эффективности инвестиций .....................................
1.4. Метод дисконтирования денежных потоков ...............................
Тест ......................................................................................................
Глава 2. Оценка финансовых рисков ......................................................
2.1. Статистические измерители финансового риска ........................
2.2. Доходность и волатильность портфеля активов .........................
Тест ......................................................................................................
Глава 3. Оценка стоимости ценных бумаг ..............................................
3.1. Оценка стоимости акций ..............................................................
3.2. Оценка стоимости облигаций .......................................................
Тест ......................................................................................................
Глава 4. Оптимизация доходности портфеля .........................................
4.1. Оптимизация портфеля финансовых активов по Марковицу .....
4.2. Модель оценивания финансовых активов....................................
Задачи для само сто ятельно го решения.............................................
Краткий словарь аналитика ........................................................................
Библиографический спи сок ..................................................................
Списо к рекомен дуем ой литера туры ................................................
Прило жения ..............................................................................................
Приложение 1 ......................................................................................
Приложение 2 ......................................................................................
Приложение 3 ......................................................................................
91
3
6
6
9
9
14
21
23
23
26
30
32
32
42
53
56
56
64
71
76
82
82
83
83
87
89
Учебное издание
Выгодчикова Ирина Юрьевна
ОЦЕНКА ДОХОДНОСТИ
ФИНАНСОВЫХ АКТИВОВ
Учебное пособие для студентов
механико-математического факультета
Ответственный за выпуск О. Л. Б а г а е в а
Технический редактор Л. В. А г а л ь ц о в а
Корректор Е. Б. К р ы л о в а
Оригинал-макет подготовлен О. Л. Б а г а е в о й
Подписано в печать 29.10.2009. Формат 60  84 1/16.
Бумага офсетная. Гарнитура Таймс. Печать офсетная.
Усл. печ. л.5,35(5,75). Уч.-изд. л. 5,1. Тираж 150 экз. Заказ 93.
Издательство Саратовского университета.
410012, Саратов, Астраханская, 83.
Типография Издательства Саратовского университета.
410012, Саратов, Астраханская, 83.
92