Ф И Н А Н С Ы - Нижегородский государственный университет

ФИ Н АН СЫ
ДИНАМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ СПРОСА
И ПРЕДЛОЖ ЕНИЯ НА НЕРАВНОВЕСНОМ
ФОНДОВОМ РЫНКЕ
С.А. Беляков, Е.В. Захарова, С.С. Петров
Нижегородский государственный университет
В теории спроса и предложения на финансовых рынках обычно считается, что
рыночные силы стационарны или изменяются во времени достаточно медленно
[1, 2]. Для фондовой биржи, напротив, характерна высокая изменчивость и, как
правило, неравновесный характер процессов движения капиталов. Во многих существующих работах (см., например [3]) для описания ценовых флуктуаций применяются методы статистической механики. При таком подходе, однако, трудно
последовательно учесть факторы, формирующие спрос и предложение финансовых активов на микроскопическом уровне (на уровне отдельных держателей).
В настоящей работе делается попытка динамического описания покупок и продаж
на рынке в предположении, что как на стороне спроса, так и на стороне предложения имеется лишь один «агрегированный» инвестор (модель «биполярного»
рынка).
Рассмотрим ситуацию, когда на бирже представлены финансовые активы (акции) одного типа, характеризуемые рыночной ценой р (под такими активами
можно подразумевать, например, рыночный индекс). Активы поделены некоторым образом между двумя инвесторами, и пусть ni — их количество у i-ro инвестора (i =1, 2); общее количество активов N = n1 + n2 неизменно. Фактическая рыночная стоимость Si принадлежащих инвестору активов (фактический капитал)
равна Si=p⋅ni.
Положим для простоты, что финансовые активы неограниченно делимы, а
процессы их покупки и продажи происходят непрерывно, что позволяет говорить
о скорости покупок/продаж («потоке капитала»). Тогда при покупке инвестором
некоторого количества активов dn по цене р объем приобретенного им капитала
равен pdn (в случае продажи активов dn < 0).
~
Далее, пусть S i — желаемый инвестором капитал («целевой» капитал инве~
стора) в финансовых активах; будем называть разницу ∆ i = S i − S i «дефицитом
капитала» i-го инвестора.
Сформулируем в терминах желаемого (целевого) и фактического капитала условия, при которых держатели активов выступают на рынке на стороне спроса
либо предложения. Очевидно, инвестор стремится покупать при положительном
~
«дефиците» S i > S i , предположим, что желаемая им скорость приобретения актиdn~
вов p i пропорциональна величине дефицита его капитала ∆ i . Без ограничеdt
ния общности примем, что инвестор 1 вначале является покупателем, а инвестор 2
90
— продавцом. Тогда динамическое уравнение для желаемой скорости покупок
капитала можно представить в форме:
dn~
~
p 1 = α 1 ⋅ ( S1 − p ⋅ n1 ).
(1)
dt
Коэффициент пропорциональности α 1 в этом уравнении характеризует «агрессивность» (активность) покупателя; чем агрессивнее покупатель, тем быстрее он
стремится ликвидировать дефицит своего капитала,
Заметим, что желаемая скорость покупок, фигурирующая в левой части уравнения (1) (в условиях фондовой биржи это, по существу, есть «скорость выставления заявок на покупку»), характеризует рыночный спрос.
~
Напротив, держатель, желающий сократить свои вложения в активы S i < S i
(величина ∆ i в этом случае характеризует «избыток» его капитала), стремится
продать часть из них. Проводя рассуждения, аналогичные изложенным выше для
спроса на активы, приходим к уравнению для желаемого потока капитала продавца:
~
dn~
(2)
p 2 = α 2 ⋅ ( S 2 − p ⋅ n2 ).
dt
Рыночное предложение (желаемая скорость продаж) тогда определяется как
dn~
величина, противоположная по знаку и равная по модулю p 2 . Наконец, когда
dt
~
инвестор «удовлетворен» своим капиталом S i = S i ,он занимает пассивную позицию (выжидает), не выступая ни на стороне спроса, ни на стороне предложения.
Для дальнейшего анализа необходимо включить в модель не только желаемые,
но и фактические потоки капитала. Естественно допустить, что при различных
потоках заявок на покупку и продажу активов фактический поток активов (объем
заключенных сделок в единицу времени) будет равен наименьшему из них. Это
позволяет связать фактическую скорость покупок/продаж с теми, которые желали
бы покупатель и продавец:
 dn~ dn~ 
dn1
= min  1 ; 2 
(3а)
dt
dt 
 dt
dn 2
dn
=− 1.
(3б)
dt
dt
Соотношения (3а), (3б) справедливы до тех пор, пока первый инвестор является покупателем, а второй продавцом, как и считается в настоящей работе
dn~1
dn~2
(предполагается, что
≥ 0, а
≤ 0 ); если инвесторы меняются ролями, то в
dt
dt
этих соотношениях следует поменять местами индексы. Соотношение (3б) является следствием того, что общее количество активов при совершении сделок не
изменяется.
Исследуем факторы рыночного спроса на капитал в активах Vd и предложения
капитала в активах V s в рамках описанной модели. Из уравнения (1) вытекает линейная зависимость спроса от цены активов:
V d = α 1 ⋅ ( S1 − p ⋅ n1 ).
(4)
91
При этом факторами спроса оказываются целевой капитал инвестора в активах
~
S1 , а также агрессивность покупателя α 1 . Влияние этих факторов на спрос несколько различно и качественно отражено на рис. 1 и 2. На рис. 1 показаны линии
спроса на капитал при различной агрессивности покупателя (у второго покупателя она больше, чем у первого, а у третьего больше, чем у второго). Из рис. 2
видно, что при повышении желания покупателя держать капитал в финансовых
активах линия спроса смешается в область более высоких цен параллельно самой
себе (из положения 1 в положение 2).
Реакция рыночных цен на
появление информационных сигналов зависит от
эластичности спроса. Це~
новая эластичность E d (отношение процентного изменения спроса при колебаниях цены актива к процентному изменению цены)
легко находится из уравнения (4):
Рис. 1. Изменение спроса на капитал при повы1
шении агрессивности покупателя
. (5)
Ed = − ~
S1 / S 1 − 1
(α 1(1) < α 1( 2) < α 1(3) )
Представляет интерес
также эластичность спроса
~
~
E d по величине целевого капитала покупателя S1 (отношение процентного изменения спроса при колебаниях целевого капитала к процентному изменению целевого капитала). Пользуясь соотношениями (4, 5), ее можно связать с ценовой эла~
стичностью: E d = 1 − E d .
Согласно уравнению (5),
эластичность спроса определяется лишь соотношением желаемого и фактического капитала покупателя
~
S1 / S1 ; его агрессивность
α 1 формально не входит в
формулы для эластичностей. В действительности,
вероятно, дело обстоит более сложным образом, так
Рис. 2. Изменение спроса на капитал при повышении
как спрос и предложение на
«желаемого» покупателем капитала в активах
рынке могут быть сущест~
~
( S1( 2) > S1(1) )
венно нестационарны. Даже
если неценовые факторы
~
спроса S1 и α 1 остаются приблизительно постоянными в течение некоторого времени, покупки и продажи, путем которых держатели активов стремятся довести
свой капитал до желаемого значения (в ходе торгов могут изменяться цены р, ко92
личества активов n и фактические капиталы инвесторов S), будут изменять спрос
и предложение, а вместе с ними и эластичность. Время, в течение которого
«удовлетворяются» спрос и предложение инвесторов (если остаются постоянными прочие факторы), зависит от «агрессивности» α 1 и α 2 . Поэтому в среднем по
~
времени эластичность спроса, зависящая от параметра S1 / S1 , должна существенно (хотя и неявно) зависеть от агрессивностей покупателя и продавца α 1 и α 2 .
В предельном случае α 1 , α 2 → ∞ рынок реагирует на «желания» инвесторов
мгновенно, и их фактический капитал в активах S1 «успевает» следить за желае~
мым S1 , в результате чего эластичность спроса получается очень высокой, что
согласуется с наблюдаемыми результатами [2].
Изложенный выше анализ факторов спроса на капитал и его эластичности может быть выполнен аналогично и для предложения, которое, как указывалось выше, определяется из уравнения (2).
Заметим, что описанная модель спроса и предложения учитывает две характерные особенности рынка финансовых активов, отличающие его от рынка товаров:
1. Динамический характер спроса и предложения, проистекающий из того,
что дефицит (избыток) капитала инвесторов, порождающий сделки на рынке финансовых активов, сам уменьшается в результате этих сделок.
2. Существенное «перекрестное» влияние неценовых факторов предложения
(таких, как «агрессивность » продавца) на рыночный спрос и его эластичность и,
наоборот, влияние факторов спроса на предложение.
Модель покупок и продаж финансовых активов, определенная уравнениями
(1)–(3), в общем случае описывает неравновесные процессы на рынке, когда спрос
на капитал и его предложение различны. Равновесие на рынке означает, что желаемые покупателями и продавцами скорости реализации активов совпадают по
dn~1
dn~2
величине
=
и противоположны по знаку. Выясним, при каких условиях
dt
dt
возможно (хотя бы в некоторый момент времени) равенство спроса и предложения капитала.
Пользуясь выражениями для спроса и предложения (1) и (2) и обозначая отношение «агрессивностей» инвесторов ρ =
α2
, получаем выражение для цены
α1
активов, уравнивающей потоки капитала, желаемые покупателем и продавцом:
~
~
S1 + ρ ⋅ S 2
p=
.
(6)
n1 + ρ ⋅ n 2
Для дальнейшего удобно ввести безразмерные параметры v и σ — отношения
фактических капиталов инвесторов (пропорциональных количеству активов у
каждого из них)
n
v= 2
(7)
n1
и отношения их «желаемых» капиталов
~
S
σ = ~2 .
(8)
S1
93
Обозначая
~ ~
S1 + S 2
P0 =
(9)
,
N
можно привести выражение (6) для равновесной цены к виду
1 + ρσ 1 + v
(10)
.
p = P0 ⋅
×
1 + σ 1 + ρv
Соотношение (10) показывает, что при постоянстве факторов спроса и пред~ ~
ложения S1 , S 2 , α 1 и α 2 цена, уравнивающая желаемые скорости покупки и продажи активов, в общем случае зависит от того, в каких пропорциях они поделены
в данный момент между инвесторами (параметр v). В процессе рыночных торгов
активы перераспределяются между держателями, поэтому с течением времени
будет динамически изменяться и равновесная цена. В отдельных случаях, однако,
равновесная цена может быть стационарной.
1) Если агрессивности покупателя и продавца равны, то ρ = 1 , и при цене
p = P0 (см. соотношение (9)) равновесие спроса и предложение будет сохраняться
с течением времени в процессе перехода активов от продавца к покупателю.
2) Если активы распределены между инвесторами в той же пропорции, в которой относятся желаемые ими капиталы ( v = σ ), то при цене равновесия (9) как
спрос на активы, так и предложение будут отсутствовать (покупатель и продавец
«удовлетворены), поэтому сделки на рынке не совершаются.
В заключение заметим, что динамическая модель описания спроса и предложения, развитая в настоящей работе, позволяет подойти к решению целого ряда
вопросов, имеющих научный и практический интерес. Эти задачи, однако, выходят за рамки настоящей публикации и составляют предмет отдельного исследования.
Литература
1. Bennet T. McCallum. Monetary economics: theory and policy. New York:
Macmillan publishing company, 1989.
2. Friend I. and Blume M.E. The demand for riscy assets // American Economic review. 1975. V. 65. P. 900–922.
3. Ingber L. Statistical mechanics of nonlinear nonequilibrium financial markets //
Math. Modelling. 1984. V. 5 (6). P. 343–361.
94