гебра в Ð

МИНОБРНАУКИ РОССИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Мордовский государственный университет им. Н. П. Огарёва»
В. Д. Бочкарева
Алгебра в примерах и задачах.
Результант. Дискриминант. Системы двух алгебраических уравнений
с двумя неизвестными и их решение методом исключения
Учебно-методическое пособие
Саранск 2012
Подгруппы, циклические подгруппы. Циклические группы
Подгруппой B группы A относительно внутренней бинарной операции
f называется такое непустое подмножество B множества A , на котором
относительно суженной операции f выполняются все аксиомы групп:
1) для любых элементов x, y  B их композиция x f y  B ,
2) операция f ассоциативна на B ,
3) относительно операции f в B существует нейтральный элемент e B ,
т. е. такой элемент, что x f e B  e B f x  x для любого x  B ,
4) операция f на B симметризуема, т. е. для любого элемента x  B в
B существует симметрический элемент x ' , т. е. такой элемент, что
x f x'  x ' f x  e B .
Необходимое и достаточное условие для того, чтобы B было
подгруппой группы A : если B – непустое подмножество множества A
относительно операции f и для любых a и b  B выполняется a f b  B , то
B – подгруппа группы A .
Задача 57. Определить, является ли B   |   a  b 5 , a, b  
подгруппой аддитивной группы вещественных чисел.
Решение. Применим критерий подгруппы. Пусть m  a1  b1 5 ,


n  a 2  b2 5 ( a1 , a 2 , b1 , b2  )– элементы множества B .
Тогда
 n   a 2    b2  5 –
элемент,
противоположный
к
n.
Проверим, как ведет себя сумма m   n : m   n   a1  a 2   b1  b2  5 ,
a1  a 2  , b1  b2  , т. е. m   n   B . Следовательно, B – подгруппа
аддитивной группы .
Задача 58. Определить будет ли множество положительных
вещественных чисел мультипликативной подгруппой аддитивной группы
вещественных чисел.
Решение. Ответ отрицательный, так как речь идет о различных
операциях.
Пусть дана группа G  f  – группа относительно операции f . Пусть
g  G . Возьмем все целые рациональные степени этого элемента g : g 0   e ,
g 1  g , g 2   g f g , g 3   g f g  f g ,  , g 1  g ' , g 2   g ' f g ' ,  , где e –
нейтральный элемент группы, g ' – элемент симметричный к элементу g в
группе G .
В результате получено множество H   |   g n  , n   , которое
является относительно f подгруппой группы G и называется циклической
подгруппой, порожденной элементом g . Циклическая подгруппа,
порожденная элементом g обозначается символом g  .
Если группа G  f    g  , то она называется циклической группой.


Задача 59. В группе 10   найти циклическую группу, порожденную
элементом 2.
2 3  4  2  6 ,
2 0   0 ,
Решение.
2 2   2  2  4 ,
2 1  2 ,
2 4   6  2  8 ,
2 5   8  2  0 .
Дальше,
при
получении
«целых
рациональных степеней» имеет повторения. Следовательно, мы получим
замкнутое относительно операции сложения множество H  0, 2, 4, 6, 8 ,
причем,  0  0 ,  2  8 ,  4  6 ,  6  4 ,  8  2 . Согласно критерия
подгруппы имеем, что H – подгруппа группы 10 , порожденная элементом
2: H   2 .
Задача 60. Будет ли мультипликативная группа S 2 циклической?
Решение.
Определение. Группа будет циклической, если в ней существует
 1 2 
 1 2 
,   

S 2  e  
порождающий
элемент.
В
в
роли
1
2
2
1






порождающего элемента могут выступать два элемента: l и  . Выясним,
может ли e быть порождающим элементом. Составим целые рациональные
степени элемента e : e 0  e , e1  e , e 2  e,  . Ни одна степень элемента e не
дает элемент  , т. е. e не является порождающим элементом. Проверим
элемент  :  0  e ,  1   ,  2  e ,  3   ,  . Элемент  является
порождающим для S 2 , т. е. S 2    – циклическая группа.
Смежные классы. Разложение группы по подгруппе
Пусть G  f  – группа, A – ее подгруппа, g – произвольный элемент
группы G . Составим множество g f A  x | x  g f a, a  A . Это непустое
множество, называется левым смежным классом группы G по подгруппе A ,
A f g  y | y  a f g , a  A
определяемым элементом
g . Множество
называется правым смежным классом группы G по подгруппе A ,
определяемым элементом g . В общем случае g f A  A f g .
Задача 61. В S 3 найти правый и левый смежные классы, определяе-мые
 1 2 3
элементом g  
 , если подгруппа A  l ,  1 .
 2 3 1
Решение.
 1 2 3 
1 2 3 
1 2 3
 1 2 3
,  1  
,  2  
,  3  
,
S 3  l  
1
2
3
1
3
2
3
1
2
3
2
1







 
 1 2 3
 1 2 3 
,  5  
 .
 4  
2
3
1
2
1
3




Составим классы
 1 2 3 

 1 2 3
   4 , 
   3    4 ,  3  .
g  A  g  l , g   1   
 3 2 1
 2 3 1 

 1 2 3 

 1 2 3
   4 , 
   5    4 ,  5  .
A  g  l  g ,  1  g  
 2 1 3
 2 3 1 

Заметим, A  g  g  A .
Пусть G  f  – группа и A – ее подгруппа.
Если G  A , то говорят, что группа G по подгруппе A разложена на
один смежный класс.
Если G  A , то в G существует элемент a  A и тогда составим класс
a f A.
Если A  a f A  G , то говорят, что группа G по подгруппе A
разложена на два левых смежных класса b f A .
Если A  a f A  b f B  G , то имеем разложение группы G на три
смежных класса по подгруппе A и т. д.
Процесс разложения группы G по подгруппе A на левые смежные
классы может быть конечным, может быть бесконечным.
Аналогично можно получить разложение группы G по подгруппе A на
правые смежные классы: A  A f   A f  ,  .
Правое разложение не обязано совпадать с левым разложением.
В результате мы получаем два множества классов:
A, a f A, b f A,  и A, A f  , A f  ,  – левое и правое фактор-множества
множества G по подмножеству A . Длина этих множеств называется
индексом подгруппы A в группе G .
Задача 62. Найти фактор-множество множества 8 по подгруппе
A  0, 2, 4, 6 относительно операции сложения.
Решение. Операция сложения в 10 коммутативная, поэтому левое и
правое разложения 8 по A будут одинаковые. Разложим 10 на A на
левые смежные классы.
10  A , например, a  1 A . Строим 1  A  1  0, 1  2, 1  4, 1  6 
 1, 3, 5, 7. A  1  A  0, 2, 4, 6, 1, 3, 5, 7  10 . Имеем разложение 10 по A
на два смежных класса. Фактор-множество: A, 1  A.
Задача 63. В мультипликативной группе

1 2 3 
1 2 3 
 1 2 3
 1 2 3
 ,  2  
S 3   1  l  
 ,  3  
 ,
 ,  4  
1 2 3 
1 3 2 
 2 3 1
 2 1 3

1 2 3
 1 2 3 
 возьмем подгруппу A   1  l ,  6 . Найти
 ,  6  
 5  
3
2
1
3
1
2




фактор-множество множества S 3 по A .
Решение. При левостороннем разложении S 3 по A имеем:
A   1 ,  6  ,  2  A   2 ,  5  ,  3  A   3 ,  4  , т. е. левосторонний фактормножество A,  2  A,  3  A .
При правостороннем разложении S 3 по A имеем:
A   1 ,  6  , A   2   2 ,  4  , A   3   3 ,  5  , т. е. правостороннее фак-тормножество A,  2  A,  3  A , причем A   2   2  A ,  3  A  A   3 .
Индекс подгруппы A в S 3 равен 3.
Задача 64. Найти разложение аддитивной группы  по подгруппе A
целых чисел, кратных 3.
Решение. A  x | x  3q, q   .
 A , например, 1 A . Составим 1  A   |   1  a, где a  A 
  |   1  3q, q  . Следовательно, класс 1  A состоит из всех целых
чисел, которые при делении на 3 дают в остатке 1. A  1  A  , например, 2  A , 2 1  A . Составим 2  A  y | y  2  a, a  A  y | y  2 
 3q, q   . Следовательно, класс 2  A состоит из всех целых чисел,
которые при делении на 3 дают в остатке 2. Итак, в A находятся все целые
числа, которые при делении на 3 дают в остатке 0, в классе 1  A – все целые
числа, которые делятся на 3 дают в остатке 1, в классе 2  A – все числа с
остатком 2. Но при делении на 3 возможны только остатки 0, 1, 2. Значит, все
целые числа распределились по классам A, 1  A, 2  A , т. е. разложение на
смежные классы по A имеет вид:  A  1  A  2  A . Так как сложение
в  коммутативное, то левостороннее разложение совпадает с
правосторонним. Индекс подгруппы A в  равен 3.
Нормальный делитель группы. Фактор-группа
Если в группе G  f  относительно подгруппы H x f H  H f x при
любом элементе x  G , т. е. если любой элемент x группы G
перестановочен с подгруппой H , то подгруппа H называется нормальным
делителем группы G .
Если операция f в группе G коммутативна, то любая подгруппа в
группе G является нормальным делителем. Если при левостороннем и при
правостороннем разложении группы G по подгруппе H смежные классы, на
которые распадается группа G , получаются одинаковыми, то H –
нормальный делитель группы G . Верно и обратное: если H – нормальный
делитель в группе G , то при левостороннем и при правостороннем
разложении группы G по подгруппе H смежные классы, на которые
распадается группа G , получаются одинаковыми.
H является нормальным делителем группы G  f  тогда и только тогда,
когда при любом x  G и любом h  H элемент x f h f x 1  H .
Задача 65. Если индекс подгруппы H группы G  f  равен 2, то H –
нормальный делитель группы G .
Решение. Если подгруппа H имеет индекс 2 в группе G , то
G  H  a f H , где a  H и G  H  H f a , т. е. a f H  H f a . Следовательно,
классы
смежности
левостороннего
разложения
совпадают
с
соответствующими классами правостороннего разложения, т. е. H –
нормальный делитель группы G .
Задача 66. Будет ли группа A в задаче 63 нормальным делителем в
группе S 3 ?
Решение. Левостороннее разложение группы S 3 по подгруппе A
состоит из классов A   1 ,  6  ,  2  A   2 ,  5  и  3  A   3 ,  4  .
A   1 ,  6  ,
Правостороннее
разложение
состоит
из
классов
A   2   2 ,  4  , A   3    3 ,  5 , но  2  A  A   2 ,  3  A  A   3 , т. е.
подгруппа A не является нормальным делителем группы S 3 .
Задача 67. Найти фактор-группу группы   по подгруппе H всех
чисел, кратных 3.
Решение. Так как сложение в  коммутативно, то H – нормальный
делитель. Найдем разложение  по H :  H  H  1  H  2 . Фактормножество A состоит из классов H , H  1, H  2 . Зададим на A операцию
сложения:

H
H 1 H  2
H
H
H 1
H 2
H 1
H 1
H 2
H
H 2
H 2
H
H 1
Заполнение таблицы Кэли осуществляется по правилу:
H     H     H      .
Например, H  1  H  2  H  1  2  H  3 . Это множество состоит
из всех целых чисел x  h  3 , где h  H , т. е. h  3q , q  . Тогда
H  3  x | x  3q  3  3q  1  H . Итак, мы получили фактор-группу
   H , H  1, H  2, операция сложения в которой задана вышеукаH
занной таблицей Кэли.
Задача 68. Найти фактор-группу группы   по подгруппе H  .
Решение. H – нормальный делитель, т. к. сложение в  коммутативно.
Найдем разложение  по H :   H   . Действительно, изобразим  на
0;1
числовой оси, а элементы H отметим на ней точками:
Построим H   , где   0; 1 . Если   0 , то H  0  H , если   0, 1 , то
элементы H  0, 1 отметим звездочками. Тогда H  H  0, 1 состоит из
элементов, отмеченных точками и звездочками. В это множество не попадает
элемент, например, 0, 2 . Тогда строим множество H  0, 2 , элементы
которого обозначим штрихом. Тогда H  H  0, 1  H  0, 2 состоит из
элементов, обозначенных точками, звездочками и штрихами, но не совпадает
с . Очевидно, чтобы  H   совпало с , необходимо, чтобы   0; 1 .
Мы построили фактор-множество   . Согласно процедуры

факторизации, операция сложения определяется следующим образом:
H     H      H      , где   0; 1 ,   0; 1 .
Гомоморфизм и изоморфизм групп
Гомоморфизмом группы G1  f 1  в группу G 2  f 2  называется такое
отображение h множества G1 и в множество G 2 , при котором композиция
любых двух элементов x и y  G1 относительно операции f 1 отображается в
композицию образов элементов x и y относительно операции f 2 , т. е.
h x f1 y   h x  f 2 h y  . При гомоморфизме групп: 1) нейтральный элемент l G1
группы G1 отображается в нейтральный элемент l G2 группы G 2 , т. е.
h l G1  l G2 . 2) пара симметричных элементов x , x' группы G1 отображаются
 
в пару симметричных элементов h x  , h x'  h x ' группы G 2 .
Множество всех элементов группы G1 , которые при гомоморфизме h
отображаются в нейтральный элемент l G2 группы G 2 относительно сужений
операции f 1 образует подгруппу группы G1 , которая является нормальным
делителем группы G1 и называется ядром гомоморфизма h : Ker h .
Задача 69. Определить, является ли отображение h :
  в группу
Решение. 4 1  1;  1; i;  i.
гомоморфизмом группы
4
   4 1 
чет.a 1
нечет.a 1
1  . Если «да», то найти Ker h .
При отображении h возможны следующие случаи:
1) x – чет, y – чет; 2) x – нечет, y – чет; 3) x – чет, y – нечет; 4) x – нечет, y –
нечет. Проверим, как ведут себя h x  y  . В первом случае x  y – чет,
следовательно h x  y   1 . Но h x   1 , h y   1 , т. к. x и y – четные. Тогда
h x  y   h x   h y  . Во втором случае x  y – нечетные, следовательно
h x  y   1 . Но h x   1, h y   1 и h x   h y   1 , т. е. h x  y  
 h x   h y  . В третьем случае h x   1 , h y   1 , h x  y   1 , т. е.
h x  y   h x   h y  . В четвертом случае h x   1, h y   1 , h x  y   1 , т. е.
h x  y   h x   h y  . В итоге можно сказать, что для любых x, y   верно:
h x  y   h x   h y  . Следовательно, h – гомоморфизм группы   в группу
1  .
Ядром гомоморфизма h является множество всех четных чисел, т. е.
Ker h  2.
Если при гомоморфизме h : G1  f 1   G 2  f 2  отображение h
взаимооднозначно, т. е. Ker h  lG1 , то h называется изоморфизмом группы
4
 
G1  f 1  в группу G 2  f 2  . Если при этом имеется наложение множества G1 на
множество G 2 , то группы G1  f 1  и G 2  f 2  называются изоморфными.
Задача 70. Изоморфны ли группа 2   и мультипликативная группа
кольца 4 ?
Решение. 2    0, 1. A  1, 3– множество обратимых элементов из
4 . Взаимооднозначных отображений 2 на A несколько. Из них надо
выбрать то (если оно существует), которое удовлетворяет определению
изоморфного отображения. Для удобства рассуждений построим таблицы
Кэли для 2 и A :
2 : 
A:
0
3
1
1

0
0
1
1
1
3
1
1
0
3
3
1
Зададим такое отображение h : 2  A , при котором нейтральный эле-мент
l 2 отобразится в нейтральный элемент l A (по свойству изоморфиз-ма), т. е.
0  1 . Тогда остается только одна возможность для отображения h : 1  3 .
Итак,
h : 2  A
0 1 .
1 3
Проверим, будет ли верно: h x  y   h x   h y  при  x, y  2 .
h0  0  h0  1  1  1  h0  h0
h0  1  h1  3  1  3  h0  h1
h1  0  h1  3  3  1  h1  h0
h1  1  h0  1  1  1  h1  h1 , т. к. 3  3  1 по mod 4 .
Итак, h x  y   h x   h y  при  x, y  2 , т. е. h – изоморфизм. Следовательно, группа 2   и мультипликативная группа кольца 4 – изоморф-ны.
Задача 71. Доказать изоморфизм групп 2  и 3  .
Решение. 1 способ. Отображение
h : 2 3
2a  3a
взаимооднозначным отображением 2 на 3. Действительно, 2k  2 p
влечет k  p , отсюда 3k  3 p . Любое целое число вида 3k имеет прообраз, а
именно: 2k . При этом отображение h x  y   h x   h y  , т. к. h2k   3k ,
h2 p   3 p , h2k  2 p   h2k  p   3 p   3k  3 p . Следовательно, h –
изоморфизм 2 и 3.
ЛИТЕРАТУРА
1. Бочкарева В.Д. Алгебра. Саранск: СВМО, 2002. – 40 с.
2. Бухштаб А.А. Теория чисел. М.: Учпедгиз, 1960 – 376 с.
3. Варпаховский Ф.Л., Солодовников А.С. Алгебра. М.: Просвещение, 1974. –
160 с.
4. Варпаховский Ф.Л., Солодовников А.С. Задачник-практикум по алгебре.
Ч.1. М.: Просвещение, 1982. – 79 с.
5. Варпаховский Ф.Л., Солодовников А.С. Алгебра. М.: Просвещение, 1978. –
144 с.
6. Винберг Э.Б. Алгебра многочленов. М.: Просвещение, 1980. – 176с.
7. Виноградов И.А. Основы теории чисел. М.: Наука, 1972. – 168 с.
8. Глухов М.М., Солодовников А.С. Задачник-практикум по алгебре. М.:
Просвещение, 1969. – 276 с.
9. Кострикин А.И. Введение в алгебру. М.: Наука, 1977. – 495 с.
10.Куликов Л.Я Алгебра и теория чисел. М.: Высшая школа, 1979. – 559 с.
11.Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Физматгиз, 1959. – 431 с.
12.Окунев Л.Я. Высшая алгебра. Ч.2. Методические указания. М.: Изд-во
МГУ, 1965. – 40 с.
13.Окунев Л.Я. Сборник задач по высшей алгебре. М.: Просвещение, 1964. –
183 с.
14.Практические занятия по алгебре и теории чисел. Мн.: Высш. шк., 1986. –
302 с.
15.Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. М.: Наука, 1962. –
332 с.
16.Фадеев Д.К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984. – 416 с.
17.Фадеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. М.:
Наука, 1977. – 228 с.
18.Шнеперман Л.Б. Сборник задач по алгебре и теории чисел. Мн.: Высш.
шк., 1982. – 223 с.