Решения 7 класса

2
Электронная физико-техническая школа
1 Введение
Конкурс «Волшебный сундучок» — это заочный конкурс по математике для
школьников, который проводится Электронной школой еФТШ.
Ученикам 4-9 классов предлагаются нестандартные интересные задачи по
математике, которые они могут решить дома, оформить свои решения и отправить
через Интернет. На решение задач и отправку работы отводится около месяца.
Задания конкурса состоят из двух частей. Решение заданий первой части
сводится к выбору правильного ответа из числа предложенных. Решение задачи
второй части нужно оформить со всеми необходимыми пояснениями и
обоснованиями. Подводя итоги, жюри будет учитывать обоснованность
рассуждений, полноту решения и его оригинальность.
Адрес конкурса в России: http://eftsh.ru/maths/magicbox
«Волшебный сундучок»
3
Решебник для 7 класса
2 Перваячастьзаданий
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
В
Г
Б
Г
В
А
Б
Б
А
В
Задача №1
Один доллар можно продать в обменном пункте за 10 зедов (условная денежная
единица), а купить — за 11 зедов. Стоимость продажи и покупки доллара увеличили на
10%. Сколько примерно долларов можно купить за 1000 зедов и за сколько примерно
зедов можно продать 100 долларов? Выберите самый точный вариант.
В. 82; за 1100.
А. 121; за 820.
Б. 90; за 1210.
Г. 121; за 1100.
Решение
После изменения курса доллара один доллар можно было продать в обменном пункте
за 11 зедов, а купить — за 12,1 зеда. Поэтому за 1000 зедов можно было купить 1000:12,1 
82 (доллара), а продать 100 долларов — за 10011  1100 (зедов).
Ответ: В. 82; за 1100.
Задача №2
По дороге в школу ученик
3
пути едет на трамвае, а остальную
4
часть идёт пешком. На дорогу он обычно тратит 18 минут без учёта
времени ожидания трамвая. Однажды из-за аварии трамваи не
ходили, и ученик добрался до школы пешком за 48 минут, идя с
обычной скоростью. Во сколько раз скорость движения трамвая больше скорости
движения ученика пешком, если их движения считать равномерными?
А. В 9 раз.
Б. В 8 раз.
В. В 7 раз.
Г. В 6 раз.
Решение
Обозначим через s расстояние от дома до школы, v1 — скорость движения трамвая, v2
— скорость движения ученика пешком. Тогда, по условию, имеем уравнения:
3
s
4
v1
+
1
s
4 = 18, s = 48. Отсюда s = 8. Но тогда v1 = 6.
v2
v2
v2
v1
Ответ: Г. В 6 раз.
Задача №3
Каждый шестой автобус в автобусном парке оборудован информационным табло.
Позднее информационные табло установили ещё на 5 автобусах из этого парка, и после
этого четверть автобусов парка имела информационное табло. Сколько автобусов в
парке, если каждый автобус оборудован всего одним табло?
А. 120.
Б. 60.
В. 48.
Г. 42.
4
Электронная физико-техническая школа
Решение
Обозначим количество автобусов в парке через х. Тогда информационным табло
1
оборудовано 6 х + 5 автобусов. Это составляет четверть всех автобусов в парке. Имеем
1
1
уравнение: ( 6 х + 5)4 = х или 3 х = 20. Отсюда х = 60.
Ответ: Б. 60.
Задача №4
В классе, в котором 32 ученика, каждый посещает хотя бы один из трёх
факультативов. При этом факультатив по математике посещают 14 учащихся, по
биологии — 18, по физике — 16. Некоторые из учащихся посещают несколько
факультативов. Пятеро посещают факультативы по математике и биологии, семеро — по
математике и физике, а шестеро — по биологии и физике. Сколько учеников посещает
все три факультатива?
Г. 2.
А. 6.
Б. 4.
В. 3.
Решение
Если сложить количества учащихся, посещающих факультативы по математике,
биологии и физике, то получим 14 + 18 + 16 = 48 – число, большее количества учеников в
классе. Это произошло потому, что количества учеников, посещающих два факультатива,
мы сложили дважды. Нужно это количество вычесть из полученной суммы. Два
факультатива посещают 5 + 7 + 6 = 18 (учащихся). Если это число вычесть из 48, то
получим 30 – число, меньшее количества учащихся в классе. Это произошло потому, что
количества учеников, посещающих три факультатива, мы трижды прибавили и трижды
вычли, то есть ни разу не учли в выражении 14 + 18 + 16 – 5 – 7 – 6 = 30. Следовательно,
три факультатива посещают 32 – 30 = 2 (ученика).
Ответ: Г. 2.
Задача №5
Сыр первого, второго и третьего сорта соответственно стоит 80 зедов, 60 зедов и 40
зедов за килограмм (зед – условная денежная единица). Какую наибольшую массу сыра
можно купить за 124 зеда, если сыра первого сорта должно быть не менее, чем в полтора
раза больше, чем второго, а сыра второго сорта должно быть не менее, чем в полтора раза
больше, чем третьего?
А. 1 кг 400 г.
Б. 1 кг 600 г.
В. 1 кг 900 г.
Г. 2 кг 400 г.
Решение
Если обозначить через x, y, z массы всех купленных сыров соответственно по 40 зедов,
60 зедов и 80 зедов за килограмм, то, по условию, 40х + 60у + 80z = 124.
Чем больше более дешёвого сыра купим, тем больше будет масса купленного сыра. Но
по условию у  1,5х, z  1,5у  2,25х. Следовательно, если массы купленных сыров будут
удовлетворять условиям у = 1,5х, z = 2,25х, то слагаемое 40х в приведенном равенстве
примет наибольшее допустимое значение. Имеем:
40х + 90х + 180х = 124 или 310х = 124, х = 0,4 (кг), тогда у = 0,41,5 = 0,6 (кг), z = 0,61,5 =
0,9 (кг). Следовательно, за 124 зеда можно купить 1 кг 900 г сыра.
Ответ: В. 1 кг 900 г.
«Волшебный сундучок»
5
Задача №6
Сравните длину пути l, преодолеваемого концом минутной стрелкой механических
часов за 10 минут, с длиной этой стрелки l1.
А. l > l1.
Решение
Б. l = l1.
В. l < l1.
За 10 минут минутная стрелка сделала
путь, равный
Г. Сравнить нельзя.
1
оборота. Следовательно, её конец пройдет
6
1
1
 2 l1 =   l1 , что больше l1 , так как   3 .
6
3
Ответ: A. l  l1 .
Задача №7
На
диаграмме
изображена
начисленная фирмой общая сумма
заработной платы всем своим
сотрудникам в январе, феврале и
марте 2013 года (зед — условная
денежная единица). В январе на
фирме работали 15 сотрудников, в
феврале — 18, а в марте — 25. Как
изменилась средняя начисленная
заработная плата в этой фирме в
марте по сравнению с январём?
Б. Увеличилась
В. Уменьшилась
Г. Уменьшилась менее
А. Увеличилась
менее чем на
более чем на 4000
более чем на 4000
чем на 4000 зедов.
4000 зедов.
зедов.
зедов.
Решение
Из диаграммы видно, что в январе общая заработная плата на фирме составляла 120
тыс. зедов, а в марте — 280 тыс. зедов. Так как в январе на фирме работали 15
сотрудников, а в марте — 25, то средняя зарплата одного сотрудника в январе составила
120 000:15 = 8 000 (зедов), а в марте — 280 000: 25 = 11 200 (зедов), то есть она увеличилась
на 3 200 зедов, что меньше 4 000 зедов.
Ответ: Б. Увеличилась менее чем на 4000 зедов.
Задача №8
В классе есть девочки и мальчики. Какое из утверждений может быть истинным?
А. Каждый мальчик ниже какой-то девочки, и каждая девочка не выше любого
мальчика.
Б. Каждый мальчик ниже какой-то девочки, и какая-то девочка не выше любого
мальчика.
6
Электронная физико-техническая школа
В. Каждый мальчик не выше какой-то девочки, и любая девочка ниже любого
мальчика.
Г. Какой-то мальчик ниже любой девочки, и какая-то девочка не выше любого
мальчика.
Решение
Каждое из утверждений, приведённых в ответе, состоит из двух более простых
утверждений. Истинным может быть то утверждение, в котором оба простых
утверждения не противоречат друг другу.
Утверждение А не может быть истинным, так как если каждый мальчик ниже какой-то
девочки, то каждая девочка не может быть ниже любого мальчика или совпадать по росту
с любым мальчиком: одна девочка выше всех мальчиков.
Утверждение В не может быть истинным, так как если каждый мальчик не выше
какой-то девочки, и любая девочка не может быть ниже любого мальчика.
Утверждение Г не может быть истинным, так как если какой-то мальчик ниже любой
девочки, то все девочки не могут быть не выше любого мальчика.
Утверждение Б истинно, так как если каждый мальчик ниже какой-то девочки, то это
не исключает того, что какая-то другая девочка не выше любого мальчика.
Ответ: Б.
Задача №9
Робот начинает движение в некоторой точке, в начале движения он выбирает
направление перемещения. Далее робот движется прямолинейно 10 м, затем
поворачивает на 90 вправо или влево и движется прямолинейно 10 м, далее снова
поворачивает на 90 вправо или влево и движется прямолинейно 10 м и т. д. Сколько
различных расстояний может отделять робота от начала пути, если он остановился на
месте 6-го поворота?
А. 3.
Б. 4.
В. 5.
Г. 6.
Решение
Изобразим первое перемещение робота горизонтальным отрезком.
Тогда дальнейшее движение робота будет проходить по сторонам
квадратной сетки, изображённой на рисунке, со стороной 10 м. Точка О —
начало движения.
Возможные варианты расположения робота непосредственно перед 6м поворотом отмечены на рисунке жирными точками. Возможные
расстояния от начала движения до места 6-го поворота могут равняться:
ОА, ОВ, ОС. Всего их 3.
Ответ: А. 3.
Задача №10
Имеется набор фигур, составленных из спичек. На
рисунке показано, как следующая фигура составляется
из предыдущей. Длина каждой стороны треугольника
равна длине спички. Каков номер фигуры, для
составления которой потребовалось 545 спичек?
А. №170.
Решение
Б. №169.
В. №136.
Г. №138.
«Волшебный сундучок»
7
Каждая следующая фигура получается из предыдущей добавлением фигуры №1,
причём одна сторона предыдущей фигуры совпадает с одной стороной добавляемой
фигуры № 1. Так как фигура №1 содержит 5 спичек, то каждая последующая фигура
будет содержать на 4 спички больше, чем предыдущая. Количества спичек, необходимых
для составления фигур, соответственно равны: 5, 9, 13, 17, … . Эти числа при делении на 4
дают в частном номер фигуры, а в остатке 1: 5 = 41 + 1, 9 = 42 + 1, 13 = 43 + 1, 17 = 44 + 1,
… . Следовательно, чтобы найти искомый номер, нужно от заданного количества спичек
— числа 545 — отнять 1 и полученную разность разделить на 4: (545 – 1):4 = 136.
Ответ: В. №136.
8
Электронная физико-техническая школа
3 Втораячастьзаданий
Задача №1
Можно ли с помощью измерений обычной линейкой обнаружить, что из стопки
бумаги высотой 5 см, содержащей 500 листов, вынули: 1) ровно 1 лист; б) ровно 10 листов;
3) четверть стопки (с точностью до 10 листов)?
Решение
Из условия вытекает, что толщина одного листа равна 5 см:500 = 0,01 см, то есть 0,1 мм,
что нельзя измерить с помощью обычной линейки. Поэтому измерение любого
количества листов с точностью до 1 листа невозможно.
Четверть стопки, то есть 125 листов имеет толщину 12,5 мм, а 10 листов —
0,1 мм10 = 1 мм. Поэтому уменьшение толщины стопки на 12,5 мм с точностью до 1 мм с
помощью измерений обычной линейкой обнаружить можно.
Ответ: 1) Нет; 2) нет; 3) да.
Задача №2
Квадратный лист бумаги сложили по линии, параллельной одной из границ листа, на
две равные части, а потом ещё раз по линии, параллельной одной из границ
образовавшихся частей, на две равные части. Затем образовавшийся кусок бумаги
разрезали по прямой. Сколько частей могло образоваться при этом?
Решение
При указанном в задаче сложении квадратного листа бумаги может получиться кусок
прямоугольной формы, состоящий из четырёх слоёв или кусок квадратной формы.
На рисунке 1 изображён квадратный лист бумаги, на котором вертикальные тонкие
линии изображают линии сгиба, а штриховые линии — линии разреза бумаги. На
рисунке 2 изображён квадратный лист бумаги, на котором штриховыми линиями
отмечены линии, по которым разрезается бумага.
В обоих случаях могут получиться 2, или 3, или 4 части, или 5 частей в зависимости от
направления разреза.
Так как в первом случае линии разреза в каждой четверти листа между двумя
соседними линиями сгиба попарно симметричны, то не могло образоваться более 5
частей.
«Волшебный сундучок»
9
Невозможность получения большего количества частей во втором случае следует из
того, что след от разрезов симметричен относительно осей симметрии квадрата и его
центра.
Ответ: От двух до пяти частей.
Задача №3
По окружности расположено n кружочков, занумерованных числами 1, 2, …, n. Будем
закрашивать кружочки, начиная с кружочка с номером 2, через один незакрашенный
кружочек (кружочки с номерами 2, 4, 6, …) до тех пор, пока останется один
незакрашенный. Каков его номер при n, равном: 1) 261; 2) 520?
Решение
Если кружочков было бы 256 = 28 или 512 = 29, то незакрашенным остался бы кружочек
с номером 1. При каждом прохождении окружности количество незакрашенных
кружочков уменьшается вдвое и оставшиеся кружочки разбиваются на пары. Так как в
паре закрашивается второй кружочек, то кружочек с номером 1 никогда не будет
закрашен.
Если кружочков 261 = 256 + 5, то, закрасив 5 кружочков с номерами 2, 4, 6, 8, 10,
получим 256 незакрашенных кружочков, и первым из них будет кружочек с номером 11.
Он и останется после всех закрашиваний.
Если кружочков 520 = 512 + 8 = 29 + 8, то, закрасив 8 кружочков с номерами 2, 4, 6, 8, 10,
12, 14, 16, получим 512 незакрашенных кружочков, и первым среди них будет кружочек с
номером 17. Он и будет последний незакрашенный.
Ответ: 1) 11; 2) 17.
Задача №4
Виталий закупает газеты по 4 зеда за номер, которые затем реализует по 5 зедов (зед —
условная денежная единица). Если у него остаются нераспроданные газеты, то он их
сдаёт на следующий день в киоск по 2 зеда за номер.
1) Какое количество проданных в первый день газет обеспечивает: а)
неубыточность деятельности Виталия; б) прибыльность его деятельности?
2) На сколько процентов нужно увеличить цену реализации газет, чтобы продажа
половины закупленных по цене 4 зеда газет обеспечивала прибыльность
деятельности Виталия?
Решение
1) Пусть Виталий закупает ежедневно х газет, а продаёт в тот же день у (у  х)
газет. Тогда на следующий день он сдаёт в киоск х – у газет. Его расходы
составляют 4х (зедов), а получает он 5у + 2(х – у) = 3у + 2х (зедов).
Электронная физико-техническая школа
10
a. Деятельность Виталия будет неубыточной, если доходы не меньше
расходов, то есть если 3у + 2х  4х, или у 
должен продавать по цене 5 зедов не менее
2
х. Следовательно, Виталий
3
2
купленных газет.
3
b. Деятельность Виталия будет прибыльной, если его доходы превышают
расходы, то есть если у >
по цене 5 зедов более
2
х. Следовательно, Виталий должен продавать
3
2
купленных газет.
3
2) Пусть по-прежнему Виталий закупает ежедневно х газет, а продаёт их по цене а
зедов за номер. Его расходы составляют 4х (зедов), а получает он при продаже
x
x
половины закупленных газет а
+ 2
(зедов). Прибыльной будет
2
2
x
x
деятельность Виталия, если 4х < а + 2 , или а > 6. Следовательно, цену
2
2
реализации нужно увеличить более чем на 6 – 5 = 1 (зеда) или более чем на
1
100% = 20%.
5
Ответ: 1) а) Не менее
2) Более 20%.
2
2
закупаемых газет; б) более
закупаемых газет.
3
3
«Волшебный сундучок»
11