ЕН.Ф.2 Линейная алгебра_ЗФО

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Мурманский государственный гуманитарный университет»
(ГОУВПО МГГУ)
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС
ДИСЦИПЛИНЫ
ЕН.Ф.2. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
ОСНОВНАЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ПРОГРАММА ПОДГОТОВКИ
СПЕЦИАЛИСТА ПО СПЕЦИАЛЬНОСТИ (специальностям)
040104.65 ОРГАНИЗАЦИЯ РАБОТЫ С МОЛОДЕЖЬЮ
(код и наименование специальности)
Утверждено на заседании кафедры
прикладной математики и
математических методов в
экономике
факультета ФМОИП
(протокол № 1 от 17.09.2009 г.)
Зав.кафедрой ПМ и ММЭ
____________________
Б.М. Верещагин
Структура учебно-методического комплекса дисциплины «Линейная алгебра»
РАЗДЕЛ 1. Программа учебной дисциплины.
Структура программы учебной дисциплины
1.1 Авторы программы: доктор физико-математических. наук, профессор
Маренич Е.Е., кандидат физико-математических наук., доцент Маренич А.С.
1.2. Рецензенты: кандидат физико-математических наук, доцент Мостовской
А.П., кандидат технических наук Ланина Н.Р.
1.3. Пояснительная записка:
 Цель: Заложить фундаментальные знания, необходимые для применения математических методов. Развивать профессиональную компетентность, определяемую как совокупность теоретических и практических навыков, способность осуществлять профессиональные функции.
В ходе изучения курса осуществляется математическая подготовка
студентов на уровне, необходимом и достаточном для:
 усвоения материала специальных дисциплин;
 развития точного научного мышления, повышения математической
культуры;
 практической работы по специальности;
 формирования умения исследовать математические модели, обрабатывать и анализировать экспериментальные данные.
 Задачами преподавания курса являются:
 формирование математической культуры и развитие логического
мышления;
 формирование практических навыков решения задач по алгебре;
 решение прикладных задач математическими методами;
 формирование базы математического образования, позволяющей в
дальнейшем продолжить математическое образование (самообразование);
 формирование умения ставить математические задачи, формулировать задания по реализации их решения.
Данная программа составлена в соответствии с Примерным учебным планом.
Целесообразное соотношение между теоретической и практической составляющими содержания образования – 1:1.
Место курса в общей системе подготовки специалиста.
Курс "Линейная алгебра" входит в раздел «Общие математические и
естественнонаучные дисциплины», федеральный компонент. В профессиональной подготовке математика данная дисциплина занимает особое положение: даёт научное обоснование основных разделов математики, ее приложений и большинства факультативных курсов по математике. Для усвоения
2
курса необходимым условием является прочное усвоение курса элементарной математики, предусмотренного школьной программой, усвоение курсов регионального компонента раздела «Общие математические и естественнонаучные дисциплины»: Р.1. «Вводный курс математики», Р.2. «Алгебра».
Предлагаемый курс имеет естественные межпредметные связи с курсами
математической логики, дискретной математики, элементарной математики,
информационных технологий в математике, геометрии, математического
анализа, физики, информатики. Математический аппарат линейной алгебры
используется во многих экономических курсах специальности ММЭ. Успешное усвоение Линейной алгебры - залог глубокого изучения этих курсов.
 Требования к уровню освоения содержания дисциплины.
В результате изучения курса студенты
должны знать:
понятия и утверждения, входящие в содержание дисциплины, доказательства
теорем.
должны уметь:
решать задачи по разделам курса, применять теоретический материал, творчески подходить к решению профессиональных задач, ориентироваться в нестандартных условиях и ситуациях, анализировать возникающие проблемы.
 Ссылки на авторов и программы, которые использовались в подготовке.
При подготовке программы использовались учебники Кострикина А.И., Куроша А.Г.
Программа составлена на основе государственного образовательного
стандарта высшего профессионального образования по специальности
080116 Математические методы в экономике, утверждённого 14.04.2000 г.
1.4. Курс "Линейная алгебра" является федеральным компонентом раздела «Общие математические и естественнонаучные дисциплины».
ЕН.Ф.02
Линейная алгебра.
Системы линейных уравнений. Элементы аналитической геометрии на прямой, плоскости и в трехмерном пространстве. Определители. Системы векторов, ранг матрицы. N – мерное линейное векторное пространство. Линейные операторы и матрицы. Комплексные
числа и многочлены. Собственные векторы линейных операторов.
Евклидово пространство. Квадратичные формы.
3
1.5. Объем дисциплины и виды учебной работы (для всех специальностей, на
№
п/п
которых читается данная дисциплина:
Шифр и
Курс Семестр
Виды учебной работы в часах
наименование
специальноТрудо- Всего ЛК ПР/ ЛБ Сам.
сти
емкость аудит.
СМ
работа
040104.65 Организация работы с молодежью (ЗФО)
1
2
100
14
6
8
-
86
Вид итогового контроля
(форма отчетности)
зачет
1.6 Содержание дисциплины.
1.6.1.Разделы дисциплины и виды занятий (в часах). Примерное распределение
учебного времени:
№
Наименование раздела темы
2 семестр
Глава 1. Системы линейных уравнений.
§1. Системы линейных уравнений.
§2. Ступенчатые матрицы и системы линейных уравнений.
Глава 2. Матрицы и определители.
§1. Матрицы и определители.
§2. Обратимые матрицы.
§3. Определители.
§4. Системы линейных неравенств. Линейные задачи оптимизации.
§5. Комплексные числа и многочлены.
Глава 3. Векторные пространства.
§1. Векторные пространства.
§2. Подпространства векторного пространства.
§3. Базис и размерность векторного пространства.
§4. Векторное пространство со скалярным умножением.
§5. Евклидовы векторные пространства.
Глава 4. Линейные операторы.
§1. Линейные отображения.
§2. Представление линейных операторов матрицами.
§3. Линейные алгебры.
§4. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора.
Глава 5. Элементы аналитической геометрии.
§1. Элементы аналитической геометрии на прямой.
§2. Элементы аналитической геометрии на плоскости.
§3. Элементы аналитической геометрии в трехмерном пространстве.
§4. Квадратичные формы.
4
Все
го
ауд
ит.
Количество часов
лек прак- конции тиче- троль
ские
ные
заня- работия
ты
2
1
1
самостоятельная
работа
15
2
1
1
15
3
1
2
15
3
1
2
16
4
2
2
20
Итого:
14
6
8
86
1.6..2 Содержание разделов дисциплины.
Глава 1. Системы линейных уравнений.
§1. Системы линейных уравнений.
Системы линейных уравнений однородные и неоднородные. Решения системы линейных уравнений. Следствия системы. Равносильные системы линейных уравнений.
Элементарные преобразования систем линейных уравнений.
Равенство строчечного и столбцового рангов матрицы.
Критерий совместности системы линейных уравнений, теорема Кронекера Капелли.
Связь между решениями неоднородной системы линейных уравнений и
решений ассоциированной с ней однородной системой.
Теоремы о следствии систем линейных уравнений.
§3. Ступенчатые матрицы и системы линейных уравнений.
Ступенчатые матрицы.
Решения систем линейных уравнений методом последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса).
Однородные системы линейных уравнений. Фундаментальная система решений однородные системы линейных уравнений.
Глава 2. Матрицы и определители.
§1. Матрицы и определители.
Операции над матрицами: сложение, умножение и умножения на скаляры
из поля. Свойства операций над матрицами.
Техника матричного умножения. Неравенства для ранга произведения матриц.
Транспонирование произведения матриц.
§2. Обратимые матрицы.
Единичная матрица, обратимая матрица, обратная матрица, группа обратимых матриц.
Элементарные матрицы и их свойства.
Вычисление обратной матрицы с помощью элементарных матриц.
Условия обратимости матриц.
Запись и решение системы n линейных уравнений с n неизвестными в матричной форме.
§3. Определители.
Определитель квадратной матрицы. Простейшие свойства определителей.
Основные свойства определителей. Методы вычисления определителей nго порядка.
5
Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя по строке
или столбцу.
Определитель произведения матриц.
Необходимые и достаточные условия равенства нулю определителя.
Правило Крамера.
Теоремы о ранге матрицы.
§4.Многочлены.
Глава 3. Векторные пространства.
§1. Векторные пространства.
Определение векторного пространства над полем. Примеры векторных
пространств. Простейшие свойства векторных пространств.
Линейная зависимость и независимость векторов векторного пространства.
Свойства линейной зависимости и независимости системы векторов.
§2. Подпространства векторного пространства.
Понятие подпространства. Примеры подпространств. Свойства подпространств. Пересечение подпространств.
Линейная оболочка множества векторов.
Эквивалентные системы векторов.
Сумма подпространств. Свойства суммы подпространств. Прямая сумма
подпространств. Условие того, что сумма двух подпространств прямая.
Условие того, сумма нескольких подпространств прямая.
Линейные многообразия. Свойства линейных многообразий.
§3. Базис и размерность векторного пространства.
Базис и ранг конечной системы векторов. Свойства рангов конечной системы векторов.
Конечномерные векторные пространства. Базис векторного пространства.
Теорема о существовании базиса ненулевых конечномерных пространств,
теорема о том, что все базисы состоят из одинакового числа векторов. Подпространства конечномерных пространств.
Дополнение линейно независимой системы векторов пространства до базиса пространства. Представление пространства в виде прямой суммы двух
подпространств.
Размерность векторного пространства. Свойства размерности. Размерность
прямой суммы. Связь между размерностями суммы и пересечения подпространств.
Координаты вектора в базисе. Координатная строка вектора относительно
данного базиса. Изоморфизм векторных пространств. Свойства изоморфизма.
Изоморфизм n- мерного векторного пространства и n- мерного арифметического векторного пространства.
Тензоры. Операции над тензорами.
§4. Векторное пространство со скалярным умножением.
Скалярное умножение в векторном пространстве. Примеры пространств со
скалярным умножением. Свойства скалярного умножения. Векторные пространства с невырожденным скалярным умножением.
6
Ортогональная система векторов. Ортогональный базис.
Процесс ортогонализации Грамма- Шмидта. Теорема о существовании ортогонального базиса в пространстве с невырожденным скалярным умножением.
Ортогональное дополнение к подпространству. Ортогональное дополнение
подпространства. Теорема о представлении пространства в виде прямой суммы подпространства и его ортогонального дополнения.
§5. Евклидовы векторные пространства.
Определение евклидова векторного пространства. Примеры евклидовых
векторных пространств.
Норма вектора. Свойства нормы. Неравенство Коши - Буняковского, неравенство треугольника. Примеры неравенств в конкретных пространствах.
Ортонормированный базис евклидова пространства. Свойства ортонормированного базиса.
Изоморфизмы евклидовых пространств.
Глава 4. Линейные операторы.
§1. Линейные отображения.
Линейные отображения и операторы, примеры линейных отображений.
Теорема о единственности линейного отображения заданного на базисе.
Ядро и образ линейного оператора. Пространство образов и ядерное пространство. Ранг и дефект линейного оператора. Теорема о сумме ранга и дефекта линейного оператора.
Операции над линейными отображениями. Пространство линейных отображений.
§2. Представление линейных операторов матрицами.
Матрица линейного оператора. Биективное отображение множества всех
линейных операторов на множество всех квадратных матриц.
Связь между координатными столбцами векторов a и f (a ) . Матрица суммы линейных операторов, матрица линейного оператора, умноженного на
скаляр.
Равенство ранга линейного оператора и ранга матрицы этого оператора.
Связь между координатными столбцами вектора относительно различных
базисов.
Связь между матрицами линейного оператора в различных базисах. Подобие матриц и свойства подобия.
§3. Линейные алгебры.
Понятие линейной алгебры. Ранг линейной алгебры. Примеры линейных
алгебр.
Алгебры линейных операторов.
Изоморфизм алгебры линейных операторов полной матричной алгебре.
Условия обратимости линейного оператора. Матрица обратимого оператора.
Полная линейная группа. Изоморфизм полной линейной группы группе обратимых матриц.
7
§4. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора.
Простейшие свойства собственных векторов и собственных значений линейного оператора.
Нахождение собственных векторов и собственных значений линейного
оператора.
Характеристическое уравнение. Подобные матрицы имеют одинаковые характеристические уравнения.
Линейная независимость собственных векторов, принадлежащих различным собственным значениям.
Линейные операторы с простым спектром. Необходимые и достаточные
условия для того, чтобы оператор имел простой спектр.
Условия, при которых матрица подобна диагональной матрице.
Глава 5. Элементы аналитической геометрии.
§1. Элементы аналитической геометрии на прямой.
§2. Элементы аналитической геометрии на плоскости.
§3. Элементы аналитической геометрии в трехмерном пространстве.
§4. Квадратичные формы.
1.6.3 Темы для самостоятельного изучения.
№
Наименование раздела дисциплины.
Тема.
Форма
самостоятельной работы.
2 семестр
Глава 1. Системы линейных уравнений.
§1. Системы линейных уравнений.
§2. Ступенчатые матрицы и системы линейных уравнений.
Глава 2. Матрицы и определители.
§1. Матрицы и определители.
§2. Обратимые матрицы.
§3. Определители.
§4. Системы линейных неравенств. Линейные задачи оптимизации.
§5. Комплексные числа и многочлены.
Глава 3. Векторные пространства.
§1. Векторные пространства.
§2. Подпространства векторного пространства.
§3. Базис и размерность векторного пространства.
§4. Векторное пространство со скалярным умножением.
§5. Евклидовы векторные пространства.
Глава 4. Линейные операторы.
§1. Линейные отображения.
§2. Представление линейных операторов матрицами.
§3. Линейные алгебры.
§4. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора.
Глава 5. Элементы аналитической геометрии.
§1. Элементы аналитической геометрии на прямой.
§2. Элементы аналитической геометрии на плоскости.
§3. Элементы аналитической геометрии в трехмерном
8
Домашние задания;
подготовка к коллоквиуму №1,контр.
работа №1.
Домашние задания;
подготовка к коллоквиуму №1.
Домашние задания;
подготовка к коллоквиуму №2; подготовка к контр. работе № 2
Домашние задания;
подготовка к коллоквиуму №2; подготовка к контр. работе № 2
Домашние задания;
подготовка к коллоквиуму №2.
Ко
лво
ча
со
в
15
15
15
16
20
Форма
контроля выполнения
сам.
работы.
Проверка дом.
задания; проверка контр.
работы №1.
Проверка дом.
задания; прием коллоквиума №1.
Проверка домашнего задания.
Проверка дом.
задания; проверка контр.
работы №2.
Проверка дом.
задания; прием коллоквиума №2.
пространстве.
§4. Квадратичные формы.
1.7 Методические рекомендации по организации изучения дисциплины.
1.7.1 Планы последовательного проведения практических занятий.
Практические занятия по теме «Системы линейных уравнений» - 4 часа.
1) Системы линейных уравнений. – 2 часа.
2) Ступенчатые матрицы и системы линейных уравнений. – 2 часа.
Литература основная:
1. Кострикин А.И. Введение в алгебру. - М.: Наука, 1977.
2. Сборник задач по алгебре. Под редакцией Кострикина А.И. - Факториал, 1995.
3. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. - М.: Высшая школа, 1974.
4. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. - М.: Высшая школа, 1979.
5. Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории чисел. - М.: Просвещение, 1993.
Литература дополнительная:
1. Кострикин А.И. Введение в алгебру, ч.1. Основы алгебры. – М.: Физ.-мат. литература,
2000.
2. Кострикин А.И. Введение в алгебру, ч. 2. Линейная алгебра. – М.: Физ.-мат. литература, 2000.
3. Кострикин А.И. Введение в алгебру, ч. 3. Основные структуры алгебры. – М.: Физ.-мат.
литература, 2000.
4. Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. - М.: 1986.
5. Ильин В., Позняк Э. Линейная алгебра: Учеб. для вузов по спец. “Физика”, “Прикл. математика”. - М., 1978.
Практические занятия по теме «Матрицы и определители» - 6 часов.
1) Матрицы и определители. Обратимые матрицы – 2 часа.
2) Определители – 2 часа.
3) Системы линейных неравенств. Линейные задачи оптимизации. Комплексные числа и многочлены – 2 часа.
Литература основная:
1. Кострикин А.И. Введение в алгебру. - М.: Наука, 1977.
2. Сборник задач по алгебре. Под редакцией Кострикина А.И. - Факториал, 1995.
3. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. - М.: Высшая школа, 1974.
4. Курош А.Г, Курс высшей алгебры. - М.: Наука, 1971.
5. Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. - М.: Наука, 1984.
6. Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. - М.: Наука, 1977.
Литература дополнительная:
1. Кострикин А.И. Введение в алгебру, ч.1. Основы алгебры. – М.: Физ.-мат. литература,
2000.
2. Кострикин А.И. Введение в алгебру, ч. 2. Линейная алгебра. – М.: Физ.-мат. литература, 2000.
3. Кострикин А.И. Введение в алгебру, ч. 3. Основные структуры алгебры. – М.: Физ.-мат.
литература, 2000.
4. Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. - М.: 1986.
5. Ильин В., Позняк Э. Линейная алгебра: Учеб. для вузов по спец. “Физика”, “Прикл. математика”. - М., 1978.
Практические занятия по теме «Векторные пространства» - 8 часов.
9
1) Векторные пространства. Подпространства векторного пространства –
2 часа;
2) Базис и размерность векторного пространства – 2 часа;
3) Векторное пространство со скалярным умножением – 2 часа;
4) Евклидовы векторные пространства – 2 часа.
Литература основная:
1. Кострикин А.И. Введение в алгебру. - М.: Наука, 1977.
2. Сборник задач по алгебре. Под редакцией Кострикина А.И. - Факториал, 1995.
3. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. - М.: Высшая школа, 1974.
4. Курош А.Г, Курс высшей алгебры. - М.: Наука, 1971.
5. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. - М.: Высшая школа, 1979.
6. Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории чисел. - М.: Просвещение, 1993.
Литература дополнительная:
1. Кострикин А.И. Введение в алгебру, ч.1. Основы алгебры. – М.: Физ.-мат. литература,
2000.
2. Кострикин А.И. Введение в алгебру, ч. 2. Линейная алгебра. – М.: Физ.-мат. литература, 2000.
3. Кострикин А.И. Введение в алгебру, ч. 3. Основные структуры алгебры. – М.: Физ.-мат.
литература, 2000.
4. Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. - М.: 1986.
5. Ильин В., Позняк Э. Линейная алгебра: Учеб. для вузов по спец. “Физика”, “Прикл. математика”. - М., 1978.
6. Постников М. Линейная алгебра: Учеб. пособие для студентов вузов, обуч. по спец.
“Математика”. - М., 1986.
7. Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории чисел. – М.: Просвещение, 1993.
Практические занятия по теме «Линейные операторы» - 8 часов.
1) Линейные отображения – 2 часа;
2) Представление линейных операторов матрицами – 2 часа;
3) Линейные алгебры – 2 часа;
4) Собственные векторы и собственные значения линейного оператора – 2
часа.
Литература основная:
1. Кострикин А.И. Введение в алгебру. - М.: Наука, 1977.
2. Сборник задач по алгебре. Под редакцией Кострикина А.И. - Факториал, 1995.
3. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. - М.: Высшая школа, 1974.
4. Курош А.Г, Курс высшей алгебры. - М.: Наука, 1971.
5. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. - М.: Высшая школа, 1979.
6. Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории чисел. - М.: Просвещение, 1993.
Литература дополнительная:
1. Кострикин А.И. Введение в алгебру, ч.1. Основы алгебры. – М.: Физ.-мат. литература,
2000.
2. Кострикин А.И. Введение в алгебру, ч. 2. Линейная алгебра. – М.: Физ.-мат. литература, 2000.
3. Кострикин А.И. Введение в алгебру, ч. 3. Основные структуры алгебры. – М.: Физ.-мат.
литература, 2000.
4. Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. - М.: 1986.
10
5. Ильин В., Позняк Э. Линейная алгебра: Учеб. для вузов по спец. “Физика”, “Прикл. математика”. - М., 1978.
6. Постников М. Линейная алгебра: Учеб. пособие для студентов вузов, обуч. по спец.
“Математика”. - М., 1986.
7. Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории чисел. – М.: Просвещение, 1993.
Практические занятия по теме «Элементы аналитической геометрии» - 6 часов.
1) Элементы аналитической геометрии на прямой. Элементы аналитической геометрии на плоскости – 2 часа;
2) Элементы аналитической геометрии в трехмерном пространстве – 2
часа;
3) Квадратичные формы – 2 часа.
Литература основная:
1. Кострикин А.И. Введение в алгебру. - М.: Наука, 1977.
2. Сборник задач по алгебре. Под редакцией Кострикина А.И. - Факториал, 1995.
3. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. - М.: Высшая школа, 1974.
4. Курош А.Г, Курс высшей алгебры. - М.: Наука, 1971.
5. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. - М.: Высшая школа, 1979.
6. Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории чисел. - М.: Просвещение, 1993.
7. Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. - М.: Наука, 1984.
8. Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. - М.: Наука, 1977.
Литература дополнительная:
1. Кострикин А.И. Введение в алгебру, ч.1. Основы алгебры. – М.: Физ.-мат. литература,
2000.
2. Кострикин А.И. Введение в алгебру, ч. 2. Линейная алгебра. – М.: Физ.-мат. литература, 2000.
3. Кострикин А.И. Введение в алгебру, ч. 3. Основные структуры алгебры. – М.: Физ.-мат.
литература, 2000.
4. Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. - М.: 1986.
5. Ильин В., Позняк Э. Линейная алгебра: Учеб. для вузов по спец. “Физика”, “Прикл. математика”. - М., 1978.
6. Постников М. Линейная алгебра: Учеб. пособие для студентов вузов, обуч. по спец.
“Математика”. - М., 1986.
7. Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории чисел. – М.: Просвещение, 1993.
1.8 Учебно-методическое обеспечение дисциплины.
1.8.1 Рекомендуемая литература.
Литература основная.
1. Карманов В. Г. Математическое программирование: Учеб. пособие. –
М.: Физматлит, 2001
2. Кострикин А. И. Введение в алгебру: Учебник для вузов. Ч. 2.: Линейная алгебра. – М.: Физматлит, 2004
3. Проскуряков, И.В. Сборник задач по линейной алгебре: учеб. пособие
для вузов./И. В. Поскуряков. – 10-е изд., стер.-СПб: Лань, 2007. гриф
11
4. Сборник задач по высшей математике для экономистов: учеб. пособие
для вузов./ под ред. Г. В. Ермакова- М.: ИНФРА- М,2006
5. Бутузов, В. Ф.Линейная алгебра в вопросах и задачах : учеб. пособие
для студ. вузов / В. Ф. Бутузов, Н. Ч. Крутицкая, А. А. Шишкин ; под
ред. В. Ф. Бутузова. - Изд. 3-е, испр. - СПб. : Лань, 2008. - 256с
Литература дополнительная.
1. Кострикин А.И. Введение в алгебру, ч.1. Основы алгебры. – М.: Физ.мат. литература, 2000.
2. Кострикин А.И. Введение в алгебру, ч. 2. Линейная алгебра. – М.: Физ.мат. литература, 2000.
3. Кострикин А.И. Введение в алгебру, ч. 3. Основные структуры алгебры. – М.: Физ.-мат. литература, 2000.
4. Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. - М.: 1986.
5. Ильин В., Позняк Э. Линейная алгебра: Учеб. для вузов по спец. “Физика”, “Прикл. математика”. - М., 1978.
6. Мальцев А.И. Основы линейной алгебры. - М., 1970.
7. Постников М. Линейная алгебра: Учеб. пособие для студентов вузов,
обуч. по спец. “Математика”. - М., 1986.
8. Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории чисел. – М.: Просвещение, 1993.
9. Ляпин Е.С., Евсеев А.Е. Алгебра и теория чисел. - М., Просвещение,
1974 г.
10.Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. - М.: Высшая школа, 1979.
11.Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории чисел. - М.: Просвещение, 1993.
12.Курош А.Г, Курс высшей алгебры. - М.: Наука, 1971.
13.Сборник задач по алгебре. Под редакцией Кострикина А.И. - Факториал, 1995.
14.Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. - М.: Наука, 1984.
15.Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. М.: Наука, 1977.
1.9 Материально-техническое обеспечение дисциплины.
1.9.1 Перечень видео- и аудиоматериалов, программного обеспечения:
Программное обеспечение лабораторий №313 и №314: программы: Математика 5.0.; Maple и др.;
Электронная библиотека компьютерных лабораторий №313 и №3148.1.
1.9.2 Перечень используемых пособий:
А.С. Маренич, Е.Е. Маренич Линейные векторные пространства – Мурманск,
МГПИ. – 2001. -74 с.
А.С. Маренич, Е.Е. Маренич Линейные пространства – Мурманск, МГПУ. –
2003. -74 с.
1.10 Примерные зачётные тестовые задания.
12
Задачи контрольной работы по теме «Векторные пространства».
1) Пусть r , s, v - различные действительные числа. Будет ли линейно зависимой система многочленов от переменной x :
(r  x )(s  x ) , (r  x )(v  x ) , (s  x )(v  x ) ?
2) Образуют ли подпространство векторы X= ( x1, x2 ,, x n ) такие, что
x1  x2  xn  1 ?
2
3) Найти координаты многочлена b = 6  5 x  x в базисе
2
3
 2;  x ; 2x ; x .
4) Найти базис суммы и пересечения (a 1 , a 2 , a 3 ) и
a 1 = ( 1, 2, 1)
b 1 = (2, 2, 1)
a 2 = (-1, 1, 1)
b 2 = (-1, 3, 2)
a 3 = ( 3, 3, 1)
b 3 = (-3, 1, 1) .
(b 1 , b 2 , b 3 ), где
5) Найти базис и размерность ( f 1 , f 2 , f 3 ), где
2
2
2
f 1 = 3x  2x  1 , f 2 = 7 x  5 x  2 , f 3 = 10 x  7 x  3 .
6) Найти ортогональный и ортонормированный базисы пространства
(a 1 , a 2 , a 3 , a 4 ), где
a 1 = ( 1, 2, 0, 1), a 2 = (1, 1, 1, 0), a 3 = ( 1, 0, 1, 0), a 4 =(1, 3, 0, 1).
7) Найти базис и размерность ортогонального дополнения пространства,
натянутого на векторы:
a 1 = ( 1, 3, 0, 2), a 2 = (2, 4, -1, 0), a 3 = ( 3, 7, -1, 2).
Контрольная работа №2 по «Линейным операторам».
1) Пусть V = (V , , , 0, w |   P) - линейное векторное пространство,
f : V  V . Является ли f линейным оператором, если
 X V f (X) = X + 2 ?
2) Для данного линейного оператора определить ранг и дефект. Построить
базисы ядра и образа.
X = ( x1, x2 , x3 )  R 3 ,
f (X) = ( x1  x2  x3, x1  x2  x3, x1  x2 ) .
3) Линейный оператор A в базисе e 1 , e 2 , e 3 имеет матрицу M ( A) . Найти
его матрицу в базисе V 1 , V 2 , V 3 , если:
13
V 1 = 2e 1 + 3e 2
V 2 = e 1 + 3e 2 + 5e 3 ,
V 3 = 3e 1 + 5e 2 + 7e 3
0

M ( A)   1

0
1
0
0
0

0

1
4) Найти собственные значения и собственные векторы матрицы
 4 4 2 .


A 2 2 1 


  4 4  2
~
5) Подобна ли матрица A диагональной матрице A ? Если подобна, то найти
~
1
T такую, что T  A  T  A .
  4 6 0

.
A    3  5 0


  3  6 1
Содержание аттестационной контрольной работы по проверке остаточных знаний по дисциплине «Линейная алгебра».
Системы линейных уравнений
№1. Найти общее решение системы линейных уравнений методом Гаусса.
I вариант:
6 x1  4 x2  5 x3  2 x4  3x5  1,
3x1  2 x2  2 x3  x4
 -7,
9x  6 x  x  3x  2 x  2,
3x1  2 x 2  4 x 3  x4  2 x5  3.
2
3
4
5
 1
Ответ: ( x1, x2 ,13,34,19  3x1  2 x2 ).
II вариант:
 x1  2 x2  3x3  2 x4  x5  4,
3x1  6 x2  5 x3  4 x4  3x5  5,
 x  2 x  7 x  4 x  x  11,
2 x1  4 x2  2 x3  3x4  3x 5  6.
2
3
4
5
 1
9
25
15


Ответ:  x1, x2 ,   x1  2 x2 ,   2 x1  4 x2 ,   2 x1  4 x2 
2
2
2


III вариант:
6 x1  3x2  2 x3  3x4  4 x5  5,
4 x1  2 x2  x3  4 x4  3x5  4,
4 x  2 x  3x  2 x  x  0,
2 x1  x2  7 x3  3x4  2 x5  1.
2
3
4
5
 1

Ответ:  x1, x2 ,

4
2
14
7
x1  x2 ,  x1  x2  1,
3
3
3
3
14
4
2

x1  x2  2 
3
3

№2. Решить системы уравнений методом обратной матрицы и по формулам
Крамера.
I вариант:
3x1  x2  2 x3  6,
5 x1  3x2  2 x3  4,
4 x1  2 x2  3x3  2.
Ответ: (1;3;0).
II вариант:
3x1  5 x2  3x3  46,
 x1  2x 2  x3  8,
 x1 - 7x 2 - 2x 3  5.
III вариант:
 x1  4 x2  2 x3  0,
3x1  5 x2  6 x3  21,
3x1  x2  x3  4.
№ 3. Найти фундаментальную систему решений однородной системы линейных уравнений.
I вариант:
5 x1  6 x2  2 x3  7 x4  4 x5  0,
2 x1  3x2  x3  4 x4  2 x5  0,
7 x  9 x  3x  5 x  6 x  0,
5 x1  9 x 2  3x3  x4  6 x5  0.
2
3
4
5
 1
x  2 x5
Ответ: x1  0, x2  3
, x4  0 - общее решение.
3
2
 1


Фундаментальная система решений:  0, ,1,0,0 ,  0, ,0,0,1
3


 3
II вариант:
3x1  4 x2  x3  2 x4  3x5  0,
5 x1  7 x2  x3  3x4  4 x5  0,
4 x  5 x  2 x  x  5 x  0,
7 x1  10 2x  x3  6 x4  5 x5  0.
2
3
4
5
 1
Ответ: x1  3x3  5 x5 , x2  2 x3  3x5 , x4  0 - общее решение .
Фундаментальная система решений: (-3;2;1;0;0), (-5,3,0,0,1).
III вариант:
3x1  2 x2  5 x3  2 x4  7 x5  0,
6 x1  4 x2  7 x3  4 x4  5 x5  0,
3x  2 x  x  2 x  11x  0,
6 x1  4 x2  x 3  4 x 4  13 x 5  0.
2
3
4
5
 1
15
Элементы аналитической геометрии
№1. Даны уравнения сторон треугольника
( AB) : 3x  4 y  24  0 ,
( BC ) : 4 x  3 y  32  0 ,
( AC ) : 2 x  y  4  0 .
I вариант: Составить уравнение высоты, проведенной из вершины В, и
найти ее длину;
II вариант: Составить уравнение медианы, проведенной из вершины В, и
найти ее длину;
III вариант: Составить уравнение биссектрисы, проведенной из вершины В,
и найти ее длину.
Ответ: Уравнение высоты ВД: x  2 y  8  0, длина высоты: 4 5, уравнение медианы: 2 x  11y  16  0, длина медианы: 5 5,
сы: x  7 y  8  0, длина биссектрисы:
уравнение биссектри-
20 2
3.
№2.
I вариант: Написать уравнение гиперболы с асимптотами y  
дящей через точку (6;
3
x , прохо4
3
). Найти расстояние между её вершинами.
2
x2 y 2
Ответ: уравнение гиперболы:

 1 , расстояние между вершинами ги32 18
перболы равно 2a  8 2.
II вариант: Уравнение эллипса x2  2 y 2  4 x  16 y  0
ческом виде. Найти полуоси и координаты центра.
Ответ:
( x  2)2
6
2

( y  4)2
(3 2)
липса в точке (2;4).
2
записать в канони-
 1-эллипс с полуосями a  6, b  3 2. Центр эл-
III вариант: Для гиперболы 3x 2  4 y 2  12 найти действительную и мнимую
полуоси; координаты фокусов; эксцентриситет; уравнения асимптот.
7
7
,y
x.
Ответ: a  2, b  3 , F1  ( 7, 0), F2  ( 7, 0),  
2
2
№3.
I вариант: Составить уравнение параболы, проходящей через точки (0;0) и (1; -3) симметрично относительно оси абсцисс.
Ответ: y 2  9 x .
II вариант: Составить уравнение параболы, проходящей через точки (0;0) и
(2; -4) симметрично относительно оси ординат.
16
Ответ: x 2   y.
III вариант: Найти уравнение параболы и её директрисы, если известно, что
парабола симметрична относительно оси абсцисс и что точка пересечения
прямых y  x и x  y  2  0 лежит на параболе.
1
Ответ: y 2  x, x   .
4
№4. Даны координаты трёх точек: А=(-5; 2; -2), В=(-1; 4; -6),
С=(-4; 1; -6).
I вариант: Найти каноническое уравнение прямой АВ.
II вариант: Найти уравнение плоскости, проходящей через точку С, перпендикулярно прямой АВ и точку пересечения этой плоскости с прямой АВ.
III вариант: Найти расстояние от точки С до прямой АВ.
x5 y2 z 2
Ответ:


,
4
2
4
2 x  y  2 z  5  0, D  (-3, 3, - 4),
расстояние от точки С до прямой АВ равно 3.
Определители
№1. Вычислить определители.
I вариант:
1
2
3
...
n 1
n
2
3
4
...
n
n
3
4
5
...
n
n
... n  2 n  1
... n  1
n
...
n
n
... ...
...
...
n
n
...
n
n
n
n
n
n
n
n
2 2 3
1 1 0 .
1 2 0
,
II вариант:
1 2 3
1 0 3
1 2 0
... ... ...
1 2 3
...
...
...
...
...
n
n
n ,
...
0
2 1 3
5 3 2.
1 4 3
III вариант:
x1 a12
x1 x2
x1 x2
... ...
x1 x2
a13
a23
x3
...
x3
... a1n
... a2 n
... a3n ,
... ...
... xn
3 0 1
5 2 4 .
0 3 7
17
Системы векторов, ранг матрицы, n -мерное линейное векторное
пространство. Евклидово пространство.
№1. Будет ли данная система векторов линейно зависимой или линейно независимой? Найти ранг, базис системы векторов. Будет ли вектор a4 линейной комбинацией векторов a1, a2 , a3 ?
I вариант: a1  (2;1; 3;1) , a2  (4;2; 6;2) , a3  (6;3; 9;3) , a4  (1;1;1;1) ;
II вариант: a1  (4; 1;3; 2) , a2  (8; 2;6; 4) , a3  (3; 1; 4; 2) , a4  (6; 2;8; 4) ;
III вариант: a1  (1; 2;3; 2) , a2  (2;1; 2; 5) , a3  (1; 1; 1;1) , a4  (1;2;1; 2) .
№2. Найти ортогональный и ортонормированный базисы пространства
(a 1 , a 2 , a 3 , a 4 ).
I вариант:
a 1 = ( 1, 2, 0, 1), a 2 = (1, 1, 1, 0), a 3 = ( 1, 0, 1, 0), a 4 =(1, 3, 0, 1).
II вариант:
a 1 = ( 1, 1, 1, 1), a 2 = (1, -1, 1, 4), a 3 = ( 1, 3, 1, 3), a 4 =(1, 2, 0, 2).
III вариант:
a 1 = ( 1, 1, 1, 1), a 2 = (2, 4, 2, 0), a 3 = ( -2, 1, 0, -3), a 4 =(3, 6, 3, -2).
№3.
I вариант: Найти базис и размерность ортогонального дополнения пространства, натянутого на векторы:
a 1 = ( 1, 3, 0, 2), a 2 = (2, 4, -1, 0), a 3 = ( 3, 7, -1, 2).
II вариант: Найти базис и размерность ортогонального дополнения пространства, натянутого на векторы:
a 1 = ( 2, -1, 5, 7), a 2 = (2, -1, -1, -5), a 3 = ( 4, -2, 7, 5).
III вариант:
Пусть L есть пространство решений однородной системы линейных уравнений
2 x1  x 2 5 x3 7 x 4  0,

2 x1  x 2  x3 5 x 4  0,
4 x1 2 x 2 7 x3 5 x 4  0.
Найти базис и размерность ортогонального дополнения пространства L .
Линейные операторы и матрицы. Собственные векторы линейных операторов.
№1. Пусть V  (V ,,,0,w |  R) - линейное векторное пространство,
Функция f : V  V . Является ли функция f линейным оператором?
I вариант: x V , f ( x)  2 x.
II вариант: x V , f ( x)  x  2.
18
III вариант: x V , f ( x)  x  5.
№2. Для данного линейного оператора определить ранг и дефект. Построить
базисы ядра и образа. X  ( x1, x2 , x3 )  R3.
I вариант: f (X )  (x1  x2  x3 ,  x1  x2  x3 ,  x1  x2  x3 ) .
II вариант: f (X )  ( x1  x2  x3 , x1  x2  x3 , x1  x2 ) .
III вариант: f (X )  (  x1  x2  x3 ,  x1  x2  x3 , x1  x2  x3 ) .
№3. Линейный оператор в базисе e1, e2 , e3 имеет матрицу M ( A) . Найти его
матрицу в базисе v1, v2 , v3 если:
I вариант:
v1  2e1  3e2 ,
v2  e1  3e2  5e3 ,
v3  3e1  5e2  7e3.
II вариант:
v1  e1  3e2  5e3 ,
v2  2e2  3e3 ,
v3  3e1  5e2  7e3.
III вариант:
v1  2e1  3e2 ,
v2  e1  3e2  5e3 ,
v3  3e1  5e2  7e3.
0 0 1
M ( A)   0 1 0 .
1 0 0


0 0 1
M ( A)   0 1 0 .
1 0 0


0 1 0
M ( A)   1 0 0 .
0 0 1


№4. Найти собственные векторы и собственные значения линейных операторов, заданных в естественном базисе матрицами.
I вариант:
 4 1 1


A   2 4 1 .


 0 1 4
II вариант:
19
 4 4 2 


A 2 2 1  .


  4 4  2
III вариант:
 2  5  3


A    1  2  3 .


 3 15 12 
~
№5. Подобна ли матрица A диагональной матрице A ? Если подобна, то
~
1
найти матрицу перехода T такую, что T  A  T  A .
I вариант:
2
0
 1


A 0
2
0.


  2  2  1
II вариант:
  4 6 0


A    3  5 0 .


  3  6 1
III вариант:
 7  12  2


A 3
4
0 .


0
 2
 2
Комплексные числа и многочлены
№1. Какие части плоскости заданы условиями?
I вариант: z  i  z - i  2.
II вариант: z  i  1  z  i  2.
III вариант: Re z  0  z  3.
№2. Вычислить.
I вариант:
а) (1  i)26 ;
б)
5i
.
1 2i
20
II вариант:
а) (1  i)25 ;
б)
1 2i
.
3 2i
III вариант: а) (1  i )27 ; б)
2  3i
.
4  3i
№3. Вычислить все значения корней.
I вариант: Вычислить все значения корней второй степени из 1, третьей степени из числа 1  i .
II вариант: Вычислить все значения корней третьей степени из 1, третьей
степени из числа 1  i .
III вариант: Вычислить все значения корней четвёртой степени из 1, второй
степени из числа 1  i .
№4. Найти необходимое и достаточное условия делимости многочлена на
многочлен.
I вариант:
x3  px  g на x 2  1.
II вариант:
x3  px  g на
III вариант:
x 4  px2  g
x 2  ax  1.
на x 2  ax  1.
№5. Решить кубическое уравнение по формулам Кардано:
I вариант:
z 3  6 z  9  0.
II вариант:
z3  12 z  63  0.
III вариант:
z3  9 z 2  18 z  28  0.
№6. Найти НОД многочленов.
I вариант:
II вариант:
f ( x)  x 5  x 4  x 3  2 x  1, g(x)  3x 4  2 x 3  x 2  2 x  2.
f ( x)  x 4  x 3  3x 2  4 x  1, g(x)  x 3  x 2  x  1.
III вариант:
f ( x)  x 6  7 x 4  8 x 3  7 x  7, g(x)  3x 5  7 x 3  3x 2  7.
№7. Пользуясь схемой Горнера, разложить многочлены по степеням
x  x0 .
21
I вариант:
II вариант:
III вариант:
f ( x)  x 4  2 x 3  3x 2  4 x  1,
x 0  1.
f ( x)  x 4  8 x 3  24 x 2  50 x  90,
x0  2.
f ( x)  x 5  9 x 4  7 x 3  2 x 2  11x  7,
x0  4.
№8.
Решить уравнение четвертой степени методом Феррари.
I вариант:
II вариант:
III вариант:
z 4  2 z 3  2 z 2  4 z  8  0.
z 4  2 z 3  2 z 2  6 z  15  0.
z 4  z 3  z 2  2 z  2  0.
Квадратичные формы.
№1. Привести к каноническому виду квадратичную форму.
I вариант: x12  3x1 x 2  4 x1 x3  2 x 2 x3  x32 .
II вариант: x12  5 x22  4 x32  2 x1x2  4 x1x3 .
III вариант: 4 x12  x22  x32  4 x1x2  4 x1x3  3x2 x3 .
№2. Исследовать на знакоопределенность квадратичные формы.
I вариант: х12  4 х22  3х32  2 х1х2 .
II вариант: 2 х22  х12  х1х3  2 х2 х3  2 х32 .
III вариант: 13 х12  6 х1х2  5х22 .
Системы линейных неравенств. Линейные задачи оптимизации.
№1. Будет ли система линейных неравенств совместной ? В случае совместности выяснить, будет ли множество всех решений системы ограниченным, и
найти какое-нибудь частное решение.
I вариант:
 2 x1  2 x 2  3x3  1  0,
 x1  x 2
 2  0,
 x  2 x  x
 0,
 1  8 x 2  x 3  2  0.
2
3

Ответ: Система совместна. Частное решение систе1
14
мы: x1  2, x 2   , x3  . Множество решений системы ограничено.
8
8
II вариант:
22
 x1  x 2  2 x3  2 x 4  1  0,
 x1
 x 3  x 4  1  0,
 x  x
 x
 0,
2x 1  2 x2  x - x 4  2  0.
2
3
4
 1
Ответ: Система совместна. Частное решение: x1  1, x 2  0, x3  1, x 4  1.
Множество решений системы неограничено.
III вариант:
3x1  3x 2  x3  1  0,
 2 x1  x 2  x3  1  0,

9 x 2  x3  6  0.
Ответ: Система несовместна.
№2. Для следующих задач сформулировать двойственную задачу и решить
обе задачи:
I вариант:
min (6 x1  4 x 2  7 x3 )
3x3  x4 
5  0,
 x1 

x5  2  0,
3x1  x2  x3 

x6  1  0,
 x1  x2 
 x , x , x , x , x , x  0.
1 2 3 4 5 6
Ответ: (0,1,5/3,0,2/3,0), 47/3.
II вариант:
min ( x 4  x5 )
x4  2 x5  1  0,
 x1 

x2 
2 x4  x5  2  0,


x3  3x4  x5  3  0,

 x , x , x , x , x  0.
1 2 3 4 5
Ответ: ( 28/5, 0, 0, 1/5, 12/5), -11/5.
III вариант:
min (  x1  x 2 )
1 0
 x1  x2  x3 

x4  2  0
 x1  2 x2 
x , x , x , x  0
1 2 3 4
Ответ: решений нет.
23
Основная литература.
1. Артамонов В.А., Бахтурин Ю.А. и др. «Сборник задач по алгебре» под ред.
А.И. Кострикина. М.: Факториал, 1995 г.
2. Икрамов Х.Д. Задачник по линейной алгебре. – М.: Наука, 1975.
3. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть 1, 2. Основы алгебры. – М.:
Физматлит, 2000.
4. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть 3. Основные структуры алгебры. - М.: Физматлит, 2000.
5. Сборник задач по алгебре. Под редакцией А.И. Кострикина. – М.: Факториал, 1995.
6. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. – М.: Высшая школа, 1979.
7. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. – М.: Наука, 1971.
8.Маренич Е.Е. Алгебра и теория чисел. Комплексные числа. Теория и практика. –Мурманск: МГПИ, 1998.
9. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. - М.: Наука,
1978.
10. Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. – М.: Наука,1984.
11. Шафаревич И.Р. «Основные понятия алгебры», Ижевск, 1999 г.
Дополнительная литература.
1. Бурбаки Н. Алгебра. Многочлены и поля. Упорядоченные группы. –
М.: Наука, 1965.
2. Ван дер Варден Б.Л. Алгебра. – М.: Наука, 1976.
3. Винберг Э.Б. Алгебра многочленов. – М.: Просвещение, 1980.
4. Зубелевич Г.И. Сборник задач московских математических олимпиад. –
М.: Просвещение, 1967.
5. Леман А.А. Сборник задач московских математических олимпиад. Под
редакцией В.Г. Болтянского. – М.: Просвещение, 1965.
6. Ленг С. Алгебра. – М.: Мир, 1968.
7. Моденов П.С. Сборник задач по специальному курсу математики. – М.:
Высшая школа, 1960.
8. Морозова Е.А., Петраков И.С., Скворцов В.А. Международные математические олимпиады. – М.: Просвещение, 1976.
9. Пойа Дж., Килпатрик Ж. Конкурсные задачи по математике Станфордского Университета. – М.: «Микротех», 1964.
Коллоквиум №1.
Системы линейных уравнений однородные и неоднородные.
Решения системы линейных уравнений. Следствия системы. Равносильные
системы линейных уравнений.
Элементарные преобразования систем линейных уравнений.
24
Равенство строчечного и столбцового рангов матрицы.
Критерий совместности системы линейных уравнений, теорема Кронекера Капелли.
Связь между решениями неоднородной системы линейных уравнений и решений ассоциированной с ней однородной системой.
Теоремы о следствии систем линейных уравнений.
Ступенчатые матрицы.
Решения систем линейных уравнений методом последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса).
Однородные системы линейных уравнений. Фундаментальная система решений однородные системы линейных уравнений.
Операции над матрицами: сложение, умножение и умножения на скаляры из
поля. Свойства операций над матрицами.
Техника матричного умножения. Неравенства для ранга произведения матриц.
Транспонирование произведения матриц.
Единичная матрица, обратимая матрица, обратная матрица, группа обратимых матриц.
Элементарные матрицы и их свойства.
Вычисление обратной матрицы с помощью элементарных матриц.
Условия обратимости матриц.
Запись и решение системы n линейных уравнений с n неизвестными в матричной форме.
Определитель квадратной матрицы. Простейшие свойства определителей.
Основные свойства определителей. Методы вычисления определителей n-го
порядка.
Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя по строке
или столбцу.
Определитель произведения матриц.
Необходимые и достаточные условия равенства нулю определителя.
Правило Крамера.
Теоремы о ранге матрицы.
Определение векторного пространства над полем. Примеры векторных пространств. Простейшие свойства векторных пространств.
Линейная зависимость и независимость векторов векторного пространства.
Свойства линейной зависимости и независимости системы векторов.
Понятие подпространства. Примеры подпространств. Свойства подпространств. Пересечение подпространств.
Линейная оболочка множества векторов.
Эквивалентные системы векторов.
Сумма подпространств. Свойства суммы подпространств.
Прямая сумма подпространств. Условие того, что сумма двух подпространств прямая. Условие того, сумма нескольких подпространств прямая.
Линейные многообразия. Свойства линейных многообразий.
25
Базис и ранг конечной системы векторов. Свойства рангов конечной системы
векторов.
Конечномерные векторные пространства. Базис векторного пространства.
Теорема о существовании базиса ненулевых конечномерных пространств,
теорема о том, что все базисы состоят из одинакового числа векторов. Подпространства конечномерных пространств.
Дополнение линейно независимой системы векторов пространства до базиса
пространства. Представление пространства в виде прямой суммы двух подпространств.
Размерность векторного пространства. Свойства размерности.
Размерность прямой суммы. Связь между размерностями суммы и пересечения подпространств.
Координаты вектора в базисе. Координатная строка вектора относительно
данного базиса. Изоморфизм векторных пространств. Свойства изоморфизма.
Изоморфизм n- мерного векторного пространства и n- мерного арифметического векторного пространства.
Тензоры. Операции над тензорами.
Скалярное умножение в векторном пространстве. Примеры пространств со
скалярным умножением. Свойства скалярного умножения. Векторные пространства с невырожденным скалярным умножением.
Ортогональная система векторов. Ортогональный базис.
Процесс ортогонализации Грамма-Шмидта. Теорема о существовании ортогонального базиса в пространстве с невырожденным скалярным умножением.
Ортогональное дополнение к подпространству. Ортогональное дополнение
подпространства. Теорема о представлении пространства в виде прямой суммы подпространства и его ортогонального дополнения.
Определение евклидова векторного пространства. Примеры евклидовых векторных пространств.
Норма вектора. Свойства нормы. Неравенство Коши - Буняковского, неравенство треугольника. Примеры неравенств в конкретных пространствах.
Ортонормированный базис евклидова пространства. Свойства ортонормированного базиса.
Изоморфизмы евклидовых пространств.
Коллоквиум №2.
Линейные отображения и операторы, примеры линейных отображений. Теорема о единственности линейного отображения заданного на базисе.
Ядро и образ линейного оператора. Пространство образов и ядерное пространство. Ранг и дефект линейного оператора. Теорема о сумме ранга и дефекта линейного оператора.
Операции над линейными отображениями. Пространство линейных отображений.
Матрица линейного оператора. Биективное отображение множества всех линейных операторов на множество всех квадратных матриц.
26
Связь между координатными столбцами векторов a и f (a ) . Матрица суммы
линейных операторов, матрица линейного оператора, умноженного на скаляр.
Равенство ранга линейного оператора и ранга матрицы этого оператора.
Связь между координатными столбцами вектора относительно различных базисов.
Связь между матрицами линейного оператора в различных базисах. Подобие
матриц и свойства подобия.
Понятие линейной алгебры. Ранг линейной алгебры. Примеры линейных алгебр.
Алгебры линейных операторов.
Изоморфизм алгебры линейных операторов полной матричной алгебре.
Условия обратимости линейного оператора. Матрица обратимого оператора.
Полная линейная группа. Изоморфизм полной линейной группы группе обратимых матриц.
Простейшие свойства собственных векторов и собственных значений линейного оператора.
Нахождение собственных векторов и собственных значений линейного оператора.
Характеристическое уравнение. Подобные матрицы имеют одинаковые характеристические уравнения.
Линейная независимость собственных векторов, принадлежащих различным
собственным значениям.
Линейные операторы с простым спектром. Необходимые и достаточные
условия для того, чтобы оператор имел простой спектр.
Условия, при которых матрица подобна диагональной матрице.
1.11 Примерный перечень вопросов к экзамену:
Системы линейных уравнений однородные и неоднородные.
Решения системы линейных уравнений. Следствия системы. Равносильные
системы линейных уравнений.
Элементарные преобразования систем линейных уравнений.
Равенство строчечного и столбцового рангов матрицы.
Критерий совместности системы линейных уравнений, теорема Кронекера Капелли.
Связь между решениями неоднородной системы линейных уравнений и решений ассоциированной с ней однородной системой.
Теоремы о следствии систем линейных уравнений.
Ступенчатые матрицы.
Решения систем линейных уравнений методом последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса).
Однородные системы линейных уравнений. Фундаментальная система решений однородные системы линейных уравнений.
Операции над матрицами: сложение, умножение и умножения на скаляры из
поля. Свойства операций над матрицами.
27
Техника матричного умножения. Неравенства для ранга произведения матриц.
Транспонирование произведения матриц.
Единичная матрица, обратимая матрица, обратная матрица, группа обратимых матриц.
Элементарные матрицы и их свойства.
Вычисление обратной матрицы с помощью элементарных матриц.
Условия обратимости матриц.
Запись и решение системы n линейных уравнений с n неизвестными в матричной форме.
Определитель квадратной матрицы. Простейшие свойства определителей.
Основные свойства определителей. Методы вычисления определителей n-го
порядка.
Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя по строке
или столбцу.
Определитель произведения матриц.
Необходимые и достаточные условия равенства нулю определителя.
Правило Крамера.
Теоремы о ранге матрицы.
Определение векторного пространства над полем. Примеры векторных пространств. Простейшие свойства векторных пространств.
Линейная зависимость и независимость векторов векторного пространства.
Свойства линейной зависимости и независимости системы векторов.
Понятие подпространства. Примеры подпространств. Свойства подпространств. Пересечение подпространств.
Линейная оболочка множества векторов.
Эквивалентные системы векторов.
Сумма подпространств. Свойства суммы подпространств.
Прямая сумма подпространств. Условие того, что сумма двух подпространств прямая. Условие того, сумма нескольких подпространств прямая.
Линейные многообразия. Свойства линейных многообразий.
Базис и ранг конечной системы векторов. Свойства рангов конечной системы
векторов.
Конечномерные векторные пространства. Базис векторного пространства.
Теорема о существовании базиса ненулевых конечномерных пространств,
теорема о том, что все базисы состоят из одинакового числа векторов. Подпространства конечномерных пространств.
Дополнение линейно независимой системы векторов пространства до базиса
пространства. Представление пространства в виде прямой суммы двух подпространств.
Размерность векторного пространства. Свойства размерности.
Размерность прямой суммы. Связь между размерностями суммы и пересечения подпространств.
Координаты вектора в базисе. Координатная строка вектора относительно
данного базиса. Изоморфизм векторных пространств. Свойства изоморфизма.
28
Изоморфизм n- мерного векторного пространства и n- мерного арифметического векторного пространства.
Тензоры. Операции над тензорами.
Скалярное умножение в векторном пространстве. Примеры пространств со
скалярным умножением. Свойства скалярного умножения. Векторные пространства с невырожденным скалярным умножением.
Ортогональная система векторов. Ортогональный базис.
Процесс ортогонализации Грамма-Шмидта. Теорема о существовании ортогонального базиса в пространстве с невырожденным скалярным умножением.
Ортогональное дополнение к подпространству. Ортогональное дополнение
подпространства. Теорема о представлении пространства в виде прямой суммы подпространства и его ортогонального дополнения.
Определение евклидова векторного пространства. Примеры евклидовых векторных пространств.
Норма вектора. Свойства нормы. Неравенство Коши - Буняковского, неравенство треугольника. Примеры неравенств в конкретных пространствах.
Ортонормированный базис евклидова пространства. Свойства ортонормированного базиса.
Изоморфизмы евклидовых пространств.
Линейные отображения и операторы, примеры линейных отображений. Теорема о единственности линейного отображения заданного на базисе.
Ядро и образ линейного оператора. Пространство образов и ядерное пространство. Ранг и дефект линейного оператора. Теорема о сумме ранга и дефекта линейного оператора.
Операции над линейными отображениями. Пространство линейных отображений.
Матрица линейного оператора. Биективное отображение множества всех линейных операторов на множество всех квадратных матриц.
Связь между координатными столбцами векторов a и f (a ) . Матрица суммы
линейных операторов, матрица линейного оператора, умноженного на скаляр.
Равенство ранга линейного оператора и ранга матрицы этого оператора.
Связь между координатными столбцами вектора относительно различных базисов.
Связь между матрицами линейного оператора в различных базисах. Подобие
матриц и свойства подобия.
Понятие линейной алгебры. Ранг линейной алгебры. Примеры линейных алгебр.
Алгебры линейных операторов.
Изоморфизм алгебры линейных операторов полной матричной алгебре.
Условия обратимости линейного оператора. Матрица обратимого оператора.
Полная линейная группа. Изоморфизм полной линейной группы группе обратимых матриц.
29
Простейшие свойства собственных векторов и собственных значений линейного оператора.
Нахождение собственных векторов и собственных значений линейного оператора.
Характеристическое уравнение. Подобные матрицы имеют одинаковые характеристические уравнения.
Линейная независимость собственных векторов, принадлежащих различным
собственным значениям.
Линейные операторы с простым спектром. Необходимые и достаточные
условия для того, чтобы оператор имел простой спектр.
Условия, при которых матрица подобна диагональной матрице.
1.12 Комплект экзаменационных билетов.
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального
образования «Мурманский государственный педагогический университет»
(МГПУ)
Кафедра: алгебры, геометрии и прикладной математики
Наименование дисциплины: Линейная алгебра, 1 курс, ММЭ, 2 семестр
Экзаменационный билет №1
1. Теорема о ранге матриц.
2. Понятие векторного пространства.
3. Линейные отображения и операторы
Зав. кафедрой АГ и ПМ
Утверждено на заседании кафедры.
Протокол № 4 от 25.12.2007г.
Е.Е. Маренич
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального
образования «Мурманский государственный педагогический университет»
(МГПУ)
Кафедра: алгебры, геометрии и прикладной математики
Наименование дисциплины: Линейная алгебра, 1 курс, ММЭ 2 семестр
Экзаменационный билет №2
1. Условия, при которых система «n» линейных однородных уравнений с «n» неизвестными имеет ненулевое решение.
2. Простейшие свойства векторных пространств.
3. Ядро и образ линейного оператора.
Зав. кафедрой АГ и ПМ
Утверждено на заседании кафедры.
Е.Е. Маренич
30
Протокол № 4 от 25.12.2007г.
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального
образования «Мурманский государственный педагогический университет»
(МГПУ)
Кафедра: алгебры, геометрии и прикладной математики
Наименование дисциплины: Линейная алгебра, 1 курс, ММЭ 2 семестр
Экзаменационный билет №3
1. Правило Крамера.
2. Линейная зависимость и независимость системы векторов.
3. Операции над линейными отображениями.
Зав. кафедрой АГ и ПМ
Утверждено на заседании кафедры.
Протокол № 4 от 25.12.2007г.
Е.Е. Маренич
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального
образования «Мурманский государственный педагогический университет»
(МГПУ)
Кафедра: алгебры, геометрии и прикладной математики
Наименование дисциплины: Линейная алгебра, 1 курс, ММЭ 2 семестр
Экзаменационный билет №4
1. Вычисление обратной матрицы с помощью присоединенной.
2. Понятие подпространства.
3.Матрица линейного оператора.
Зав. кафедрой АГ и ПМ
Утверждено на заседании кафедры.
Протокол № 4 от 25.12.2007г.
Е.Е. Маренич
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального
образования «Мурманский государственный педагогический университет»
(МГПУ)
Кафедра: алгебры, геометрии и прикладной математики
Наименование дисциплины: Линейная алгебра, 1 курс, ММЭ 2 семестр
Экзаменационный билет №5
1. Необходимые и достаточные условия равенства нулю определителя.
2. Линейная оболочка множества векторов.
3. Связь между координатными столбцами векторов a и f(a).
Зав. кафедрой АГ и ПМ
Е.Е. Маренич
31
Утверждено на заседании кафедры.
Протокол № 4 от 25.12.2007г.
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального
образования «Мурманский государственный педагогический университет»
(МГПУ)
Кафедра: алгебры, геометрии и прикладной математики
Наименование дисциплины: Линейная алгебра, 1 курс, ММЭ 2 семестр
Экзаменационный билет №6
1. Определитель произведения матриц.
2. Эквивалентные системы векторов.
3. Ранг линейного оператора.
Зав. кафедрой АГ и ПМ
Утверждено на заседании кафедры.
Протокол № 4 от 25.12.2007г.
Е.Е. Маренич
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального
образования «Мурманский государственный педагогический университет»
(МГПУ)
Кафедра: алгебры, геометрии и прикладной математики
Наименование дисциплины: Линейная алгебра, 1 курс, ММЭ 2 семестр
Экзаменационный билет №7
1. Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя по строке или столбцу.
2. Базис конечной системы векторов.
3. Связь между координатными столбцами вектора относительно различных базисов.
Зав. кафедрой АГ и ПМ
Утверждено на заседании кафедры.
Протокол № 4 от 25.12.2007г.
Е.Е. Маренич
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального
образования «Мурманский государственный педагогический университет»
(МГПУ)
Кафедра: алгебры, геометрии и прикладной математики
Наименование дисциплины: Линейная алгебра, 1 курс, ММЭ 2 семестр
Экзаменационный билет №8
1. Основные свойства определителей (свойства 1 – 3).
2. Линейные многообразия.
3. Связь между матрицами линейного оператора в различных базисах.
32
Зав. кафедрой АГ и ПМ
Утверждено на заседании кафедры.
Протокол № 4 от 25.12.2007г.
Е.Е. Маренич
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального
образования «Мурманский государственный педагогический университет»
(МГПУ)
Кафедра: алгебры, геометрии и прикладной математики
Наименование дисциплины: Линейная алгебра, 1 курс, ММЭ 2 семестр
Экзаменационный билет №9
1. . Основные свойства определителей (свойства 4 –8).
2. Ранг конечной системы векторов.
3. Понятие линейной алгебры. Алгебры линейных операторов.
Зав. кафедрой АГ и ПМ
Утверждено на заседании кафедры.
Протокол № 4 от 25.12.2007г.
Е.Е. Маренич
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального
образования «Мурманский государственный педагогический университет»
(МГПУ)
Кафедра: алгебры, геометрии и прикладной математики
Наименование дисциплины: Линейная алгебра, 1 курс, ММЭ, 2 семестр
Экзаменационный билет №10
1. Определитель Вандермонда.
2. Базис векторного пространства (определение, примеры, теорема 1).
3. Изоморфизм алгебры линейных операторов и полной матричной группы.
Зав. кафедрой АГ и ПМ
Утверждено на заседании кафедры.
Протокол № 4 от 25.12.2007г.
Е.Е. Маренич
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального
образования «Мурманский государственный педагогический университет»
(МГПУ)
Кафедра: алгебры, геометрии и прикладной математики
Наименование дисциплины: Линейная алгебра, 1 курс, ММЭ 2 семестр
Экзаменационный билет №11
33
1.Формула вычисления определителя, у которого нули ниже побочной диагонали.
2. Базис векторного пространства (теорема 2).
3. Обратимые операторы.
Зав. кафедрой АГ и ПМ
Утверждено на заседании кафедры.
Протокол № 4 от 25.12.2007г.
Е.Е. Маренич
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального
образования «Мурманский государственный педагогический университет»
(МГПУ)
Кафедра: алгебры, геометрии и прикладной математики
Наименование дисциплины: Линейная алгебра, 1 курс, ММЭ 2 семестр
Экзаменационный билет №12
1. Определитель квадратной матрицы.
2. Дополнение линейно независимой системы векторов пространства до базиса пространства.
3.Полная линейная группа.
Зав. кафедрой АГ и ПМ
Утверждено на заседании кафедры.
Протокол № 4 от 25.12.2007г.
Е.Е. Маренич
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального
образования «Мурманский государственный педагогический университет»
(МГПУ)
Кафедра: алгебры, геометрии и прикладной математики
Наименование дисциплины: Линейная алгебра, 1 курс, ММЭ 2 семестр
Экзаменационный билет №13
1. Операции над матрицами. Ассоциативность умножения матриц.
2. Размерность векторного пространства; свойства 1 – 4 размерности.
3. Собственные векторы и собственные значения
Зав. кафедрой АГ и ПМ
Утверждено на заседании кафедры.
Протокол № 4 от 25.12.2007г.
Е.Е. Маренич
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального
образования «Мурманский государственный педагогический университет»
(МГПУ)
Кафедра: алгебры, геометрии и прикладной математики
Наименование дисциплины: Линейная алгебра, 1 курс, ММЭ 2 семестр
34
Экзаменационный билет №14
1. Свойства 2 – 4 умножения матриц.
2. Свойства 5 – 6 размерности векторного пространства.
3.Нахождение собственных векторов и собственных значений линейного оператора.
Зав. кафедрой АГ и ПМ
Утверждено на заседании кафедры.
Протокол № 4 от 25.12.2007г.
Е.Е. Маренич
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального
образования «Мурманский государственный педагогический университет»
(МГПУ)
Кафедра: алгебры, геометрии и прикладной математики
Наименование дисциплины: Линейная алгебра, 1 курс, ММЭ 2 семестр
Экзаменационный билет №15
1. Транспонирование проведения матриц.
2. Координатная строка вектора относительно данного базиса.
3. Характеристическое уравнение.
Зав. кафедрой АГ и ПМ
Утверждено на заседании кафедры.
Протокол № 4 от 25.12.2007г.
Е.Е. Маренич
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального
образования «Мурманский государственный педагогический университет»
(МГПУ)
Кафедра: алгебры, геометрии и прикладной математики
Наименование дисциплины: Линейная алгебра, 1 курс, ММЭ 2 семестр
Экзаменационный билет №16
1. Обратимые матрицы.
2. Изоморфизм векторных пространств. Свойства изоморфизма пространств; теорема 1.
3. Линейная независимость собственных векторов линейного оператора, принадлежащих
попарно различным собственным значениям.
Зав. кафедрой АГ и ПМ
Утверждено на заседании кафедры.
Протокол № 4 от 25.12.2007г.
Е.Е. Маренич
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального
образования «Мурманский государственный педагогический университет»
35
(МГПУ)
Кафедра: алгебры, геометрии и прикладной математики
Наименование дисциплины: Линейная алгебра, 1 курс, ММЭ 2 семестр
Экзаменационный билет №17
1. Элементарные матрицы.
2. Изоморфизм векторных пространств. Теоремы 2, 3.
3. Линейные операторы с простым спектром.
Зав. кафедрой АГ и ПМ
Утверждено на заседании кафедры.
Протокол № 4 от 25.12.2007г.
Е.Е. Маренич
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального
образования «Мурманский государственный педагогический университет»
(МГПУ)
Кафедра: алгебры, геометрии и прикладной математики
Наименование дисциплины: Линейная алгебра, 1 курс, ММЭ 2 семестр
Экзаменационный билет №18
Вычисление обратной матрицы.
2. Скалярное умножение в векторном пространстве.
3. Ядро и образ линейного оператора
Зав. кафедрой АГ и ПМ
Утверждено на заседании кафедры.
Протокол № 4 от 25.12.2007г.
Е.Е. Маренич
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального
образования «Мурманский государственный педагогический университет»
(МГПУ)
Кафедра: алгебры, геометрии и прикладной математики
Наименование дисциплины: Линейная алгебра, 1 курс, ММЭ 2 семестр
Экзаменационный билет №19
1. Условия обратимости матриц.
2. Ортогональная система векторов.
3. Условия, при которых матрица подобна диагональной.
Зав. кафедрой АГ и ПМ
Утверждено на заседании кафедры.
Протокол № 4 от 25.12.2007г.
Е.Е. Маренич
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального
образования «Мурманский государственный педагогический университет»
36
(МГПУ)
Кафедра: алгебры, геометрии и прикладной математики
Наименование дисциплины: Линейная алгебра, 1 курс, ММЭ 2 семестр
Экзаменационный билет №20
1.Запись решения системы n-линейных уравнений с «n» неизвестными в матричной форме.
2. Процесс ортогонализации Грамма-Шмидта.
3.Операции над линейными отображениями.
Зав. кафедрой АГ и ПМ
Утверждено на заседании кафедры.
Протокол № 4 от 25.12.2007г.
Е.Е. Маренич
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального
образования «Мурманский государственный педагогический университет»
(МГПУ)
Кафедра: алгебры, геометрии и прикладной математики
Наименование дисциплины: Линейная алгебра, 1 курс, ММЭ 2 семестр
Экзаменационный билет №21
1.Теорема о ранге матриц.
2. Ортогональное дополнение к подпространству.
3. Матрица линейного оператора.
Зав. кафедрой АГ и ПМ
Утверждено на заседании кафедры.
Протокол № 4 от 25.12.2007г.
Е.Е. Маренич
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального
образования «Мурманский государственный педагогический университет»
(МГПУ)
Кафедра: алгебры, геометрии и прикладной математики
Наименование дисциплины: Линейная алгебра, 1 курс, ММЭ 2 семестр
Экзаменационный билет №22
1. Элементарные матрицы.
2. Определение евклидова векторного пространства.
3. Линейные отображения и операторы.
Зав. кафедрой АГ и ПМ
Утверждено на заседании кафедры.
Протокол № 4 от 25.12.2007г.
Е.Е. Маренич
1.13 Примерная тематика рефератов.
Базис и ранг конечной системы векторов.
37
Связь между решениями неоднородной системы линейных уравнений и решений ассоциированной с ней однородной системой.
Однородные системы линейных уравнений. Фундаментальная система решений однородные системы линейных уравнений.
Техника матричного умножения. Неравенства для ранга произведения матриц.
Основные свойства определителей. Методы вычисления определителей n-го
порядка.
Линейные многообразия. Свойства линейных многообразий.
Тензоры. Операции над тензорами.
Изоморфизмы евклидовых пространств.
Понятие линейной алгебры. Ранг линейной алгебры. Примеры линейных алгебр.
Алгебры линейных операторов.
Полная линейная группа. Изоморфизм полной линейной группы группе обратимых матриц.
Теорема о наибольшем возможном числе корней многочлена в области целостности. Интерполяционная формула Лагранжа.
Простейшие дроби. Теорема о единственности разложения рациональной
дроби в сумму простейших дробей.
Степенные суммы. Формулы Ньютона.
1.14 Примерная тематика курсовых работ.
Бинарные и n-местные операции и их применение.
Композиция бинарных отношений, полугруппа бинарных отношений относительно композиции. Операторы замыкания. Соответствия Галуа.
Группы и их применение.
Свойства симметрических групп.
Кольца и их применение.
Поля и их применение. Конечные поля.
Комплексные числа и их применение.
Теорема о мультисекции многочленов.
Применение комплексных чисел в геометрии.
Квадратичные формы.
Жорданова нормальная форма.
Литература:
1. Б.Л. ван дер Варден. Алгебра. - М.: Наука, 1976.
2. Кострикин А.И. Введение в алгебру. - М.: Наука, 1977.
3. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. - М.: Высшая школа, 1979.
4. Курош А.Г, Курс высшей алгебры. - М.: Наука, 1971.
5. С. Ленг. Алгебра. Алгебра. - М.: Мир, 1968.
6. Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. - М.: Наука, 1984.
1.15 Примерная тематика квалификационных (дипломных) работ.
Теория Галуа.
38
Конечные подгруппы SO(3).
Математический аппарат теории кодирования
Применение теории матроидов в прикладных задачах
Прикладные задачи дискретной математики
Алгоритмы и их применение
Практический курс алгоритмических задач
Математические методы и модели в экономике
Композиция бинарных отношений, полугруппа бинарных отношений относительно композиции. Операторы замыкания. Соответствия Галуа.
Группы и их применение.
Свойства симметрических групп.
Кольца и их применение.
Поля и их применение. Конечные поля.
Комплексные числа и их применение.
Теорема о мультисекции многочленов.
Применение комплексных чисел в геометрии.
Дополнение по Шуру.
Симметрические функции и их применение.
Степенные суммы и числа Бернулли.
Двойственное пространство. Ортогональное дополнение.
Ядро и образ оператора. Фактор пространство.
Базисы. Линейная независимость.
Подпространства. Ортогонализация.
Унитарные пространства.
След и собственные значения оператора.
Жорданова нормальная форма.
Минимальный многочлен и характеристический многочлен.
Каноническая форма Фробениуса.
Нормальная форма Смита. Элементарные делители матриц.
Тензоры. Операции над тензорами. Симметрические и кососимметрические
тензоры.
Перестановочные матрицы.
Коммутаторы. Кватернионы и числа Кэли. Алгебры Клиффорда.
Обобщённая обратная матрица. Скелетное разложение. Матричные уравнения.
Функции от матриц. Дифференцирование матриц.
Матрицы с предписанными собственными значениями.
Многочлены и их применение.
Интерполяционные формулы. Интерполяционная формула Ньютона. Интерполяционная формула Лагранжа.
Теорема Лукаса о сравнениях для биномиальных коэффициентов. Условия,
при которых биномиальный коэффициент сравним с нулём по простому модулю.
Кольцо многочленов над полем евклидово, кольцо главных идеалов, факториально.
39
Неприводимые над данным полем многочлены. Условия неприводимость
многочленов. Свойства неприводимых многочленов.
Вычисление наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного
в кольце многочленов над полем. Свойства наибольшего общего делителя и
наименьшего общего кратного.
Формальная производная и её применения.
Кратность корня многочлена.
Простейшие дроби. Теорема о единственности разложения рациональной
дроби в сумму простейших дробей.
Кольцо многочленов от многих переменных. Свойства многочленов от многих переменных.
Симметрические многочлены. Элементарные симметрические многочлены.
Формулы Виетта.
Степенные суммы. Формулы Ньютона.
Дискриминант многочлена.
Результант.
Теоремы о числе комплексных корней многочлена с комплексными коэффициентами степени n.
«Нестандартные» методы решения алгебраических уравнений. «Нестандартные» методы решения задач с параметрами.
Неприводимые над полем действительных чисел многочлены.
Система многочленов Штурма и её свойства. Отделение действительных
корней многочлена с действительными коэффициентами.
Делимость и её применение.
Простые числа и их применение.
Дзета-функция Римана. Асимптотический закон распределения простых чисел. Элементарное доказательство асимптотического закона.
Теорема Дирихле о простых числах в арифметических прогрессиях.
Разложение действительных чисел в цепные дроби.
Разложение числа e в цепную дробь.
Разложение квадратических иррациональностей в цепные дроби.
Приближение действительных чисел подходящими дробями. Оценки сверху
и снизу для приближения действительного числа подходящей дробью.
Теорема Туэ.
Трансцендентные числа. Трансцендентность числа e.
Сравнения в кольце целых чисел, и их применение.
Мультипликативные функции и их свойства. Функция Мёбиуса и её свойства.
Функция Эйлера.
Теорема Эйлера, теорема Ферма и их применение.
Суммы Гаусса.
Квадратичные вычеты и невычеты. Критерий Эйлера.
Символ Лежандра. Закон взаимности.
Арифметические применения теории квадратичных вычетов.
Решение диофантовых уравнений.
40
Арифметические свойства комбинаторных последовательностей.
Числа Стирлинга первого и второго рода. Числа Белла.
Числа Каталана, их свойства и применение.
Число пересечений графа.
Комбинаторные свойства отношения пересечения. Теорема Эрдёша -Ко - Радо.
Теорема Шпернера для частично упорядоченных множеств.
Комбинаторика частично упорядоченных множеств.
Операторы замыкания упорядоченных множеств.
Алгебра пересечений.
Свойства решётки расширений.
Комбинаторные свойства разбиений.
Кольца формальных степенных рядов от многих переменных, их свойства и
применение.
Алгебраические свойства кольца формальных степенных рядов.
Изоморфизмы кольца формальных степенных рядов и колец последовательностей, свойства изоморфизмов.
Формула Варинга. Формула Фоа ди Бруно.
Характеризация рациональных формальных степенных рядов от одной переменной через свойства производящих последовательностей.
Комбинаторные применения формальных степенных рядов.
Комбинаторика в примерах и задачах.
Линейные рекуррентные уравнения и их применение.
Применение однородных рекуррентных линейных уравнений второго порядка к решению перечислительных задач.
Числа Фибоначчи, их свойства и применение.
Применение однородных рекуррентных линейных уравнений второго порядка к решению перечислительных задач.
Асимптотическое решение рекуррентных уравнений.
Задача о числе ожерелий.
Комбинаторные свойства числовых разбиений.
Теорема Минковского - Фаркаса.
Теорема двойственности.
Симплекс - метод решения задач линейного программирования.
Транспортная задача.
Нелинейное программирование. Дискретное программирование. Динамическое программирование.
Классические неравенства.
1.16 Методика(и) исследования (если есть) - Фундаментальные методы
исследования.
1.17 Для оценивания знаний студентов по дисциплине «Алгебра» применяется предусмотренная нормативными документами система оценок: «отлично», «хорошо», «удовлетворительно», «неудовлетворительно».
41
РАЗДЕЛ 2. Методические указания по изучению дисциплины и контрольные задания для студентов заочной формы обучения.
Освоение дисциплины студентами заочной формы обучения происходит в соответствии с учебным планом и предполагает проведение лекционных занятий, семинаров, а также самостоятельную работу студента.
Лекции являются одним из важнейших видов учебных занятий и составляют фундамент теоретической подготовки обучаемых по данной дисциплине. Цель лекций - дать обучаемым основу теоретических знаний по дисциплине, на базе которых в последующем вырабатываются умения и навыки,
сконцентрировать у них внимание на наиболее сложных и узловых вопросах,
стимулировать их самостоятельную активную познавательную деятельность.
Семинары проводятся по основным и наиболее сложным темам учебного курса. Цель семинара - воспитать у обучаемых углубить и закрепить
теоретические знания, полученные на лекциях и в процессе самостоятельной
работы над проблемными вопросами, формировать и развивать у них научное мышление, умения анализировать, обобщать полученную информацию,
аргументировано излагать и отстаивать свое мнение, умение активно участвовать в творческой дискуссии.
Практические занятия проводятся с целью выработки у обучаемых
практических умений и приобретения навыков в решении конкретных задач
в различных условиях.
Подготовка к семинару и практическому занятию требует от обучаемых серьезной предварительной работы, которая заключается в полном и
глубоком усвоении содержания рассматриваемой темы и осуществляется на
основе задания (плана занятия). Задание (план занятия) разрабатывается преподавателем и доводится до обучаемых до проведения первых занятий по
теме семинара или практического. Темы семинаров и практических занятий
определяются рабочей учебной программой дисциплины. Как правило, семинару и практическому занятию предшествуют лекции по той же теме. Недопустимо заблаговременное распределение вопросов семинара и практических
занятий между обучающимися. Это снижает качество подготовки к нему и не
способствует развитию у студентов творческого мышления. Семинар проводится не ранее 5-6 дней после завершения последнего занятия по теме семинара. Продолжительность семинара не менее 2 часов.
План проведения семинарского и практического занятий включает тему, перечень основных вопросов, вопросы для обсуждения, задания для самостоятельной работы, список основной и дополнительной литературы.
Работа над литературой состоит из трёх этапов – чтения работы, её
конспектирования, заключительного обобщения сути изучаемой работы. Поэтому для того, чтобы должным образом сориентироваться в сути задания,
сначала следует ознакомиться с соответствующим текстом учебника – вне
зависимости от того, предусмотрена ли лекция в дополнение к данному семинару или нет. Для полноценной подготовки к практическому занятию чтения учебника недостаточно – в учебных пособиях излагаются только принципиальные основы, в то время как в монографиях и статьях на ту или иную
42
тему поднимаемый вопрос рассматривается с разных ракурсов или ракурса
одного, но в любом случае достаточно подробно и глубоко. Готовясь к практическим занятиям, следует активно пользоваться справочной литературой:
энциклопедиями, словарями, альбомами схем и др. Владение понятийным
аппаратом изучаемого курса является необходимостью.
К любому выступлению студента на семинаре (практическом занятии)
предъявляются следующие требования:
- четкость, логичность, структурированность изложения материала,
точность формулировок;
- самостоятельность в подборе фактического материала и аналитическое отношение к нему, умение рассматривать примеры и факты во взаимосвязи и взаимообусловленности, отбирать наиболее существенные из них;
- в тексте выступления должна быть прослежена связь с предшествующими изучаемыми темами и вопросами;
- должна быть раскрыты сущность излагаемого вопроса/ проблемы;
- должно быть показано методологическое значение для научной, профессиональной и практической деятельности.
Недопустимо дословное чтение с листа или материала из учебника.
Затем следуют вопросы к выступающему, обсуждение содержания доклада, его теоретических и методических достоинств и недостатков, дополнения и замечания по нему; затем следует заключительное слово докладчика
и заключение преподавателя.
Контрольные работы выполняются в виде письменных ответов на
вопросы, выполнения контрольных заданий или практической проверки выполнения обучающимися упражнений или приемов. Содержание заданий на
контрольную работу (занятие) и порядок ее выполнения устанавливаются
преподавателем.
Важное значение в период обучения студентов имеют групповые и
индивидуальные консультации, проводимые преподавателем. На консультациях обучающиеся получают сведения об источниках, в которых можно
найти ответы на ту или иную теоретическую проблему, ответы о путях преодоления затруднений, с которыми они могут встретиться при изучении
сложных вопросов дисциплины, узнают о более целесообразных способах
организации самостоятельной работы по отдельным темам. Однако консультация не должна превращаться в натаскивание и повторение материала прослушанных лекций.
РАЗДЕЛ 3. Содержательный компонент теоретического материала.
Планы последовательного проведения лекций.
Лекции по теме «Системы линейных уравнений» - 4 часа.
3) Системы линейных уравнений. – 2 часа.
4) Ступенчатые матрицы и системы линейных уравнений. – 2 часа.
Литература основная:
1. Кострикин А.И. Введение в алгебру. - М.: Наука, 1977.
43
2. Сборник задач по алгебре. Под редакцией Кострикина А.И. - Факториал, 1995.
3. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. - М.: Высшая школа, 1974.
4. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. - М.: Высшая школа, 1979.
5. Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории чисел. - М.: Просвещение, 1993.
Литература дополнительная:
1. Кострикин А.И. Введение в алгебру, ч.1. Основы алгебры. – М.: Физ.-мат. литература,
2000.
2. Кострикин А.И. Введение в алгебру, ч. 2. Линейная алгебра. – М.: Физ.-мат. литература, 2000.
3. Кострикин А.И. Введение в алгебру, ч. 3. Основные структуры алгебры. – М.: Физ.-мат.
литература, 2000.
4. Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. - М.: 1986.
5. Ильин В., Позняк Э. Линейная алгебра: Учеб. для вузов по спец. “Физика”, “Прикл. математика”. - М., 1978.
Лекции по теме «Матрицы и определители» - 6 часов.
4) Матрицы и определители. Обратимые матрицы – 2 часа.
5) Определители – 2 часа.
6) Системы линейных неравенств. Линейные задачи оптимизации. Комплексные числа и многочлены – 2 часа.
Литература основная:
1. Кострикин А.И. Введение в алгебру. - М.: Наука, 1977.
2. Сборник задач по алгебре. Под редакцией Кострикина А.И. - Факториал, 1995.
3. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. - М.: Высшая школа, 1974.
4. Курош А.Г, Курс высшей алгебры. - М.: Наука, 1971.
5. Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. - М.: Наука, 1984.
6. Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. - М.: Наука, 1977.
Литература дополнительная:
1. Кострикин А.И. Введение в алгебру, ч.1. Основы алгебры. – М.: Физ.-мат. литература,
2000.
2. Кострикин А.И. Введение в алгебру, ч. 2. Линейная алгебра. – М.: Физ.-мат. литература, 2000.
3. Кострикин А.И. Введение в алгебру, ч. 3. Основные структуры алгебры. – М.: Физ.-мат.
литература, 2000.
4. Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. - М.: 1986.
5. Ильин В., Позняк Э. Линейная алгебра: Учеб. для вузов по спец. “Физика”, “Прикл. математика”. - М., 1978.
Лекции по теме «Векторные пространства» - 8 часов.
5) Векторные пространства. Подпространства векторного пространства –
2 часа;
6) Базис и размерность векторного пространства – 2 часа;
7) Векторное пространство со скалярным умножением – 2 часа;
8) Евклидовы векторные пространства – 2 часа.
Литература основная:
1. Кострикин А.И. Введение в алгебру. - М.: Наука, 1977.
2. Сборник задач по алгебре. Под редакцией Кострикина А.И. - Факториал, 1995.
3. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. - М.: Высшая школа, 1974.
4. Курош А.Г, Курс высшей алгебры. - М.: Наука, 1971.
44
5. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. - М.: Высшая школа, 1979.
6. Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории чисел. - М.: Просвещение, 1993.
Литература дополнительная:
1. Кострикин А.И. Введение в алгебру, ч.1. Основы алгебры. – М.: Физ.-мат. литература,
2000.
2. Кострикин А.И. Введение в алгебру, ч. 2. Линейная алгебра. – М.: Физ.-мат. литература, 2000.
3. Кострикин А.И. Введение в алгебру, ч. 3. Основные структуры алгебры. – М.: Физ.-мат.
литература, 2000.
4. Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. - М.: 1986.
5. Ильин В., Позняк Э. Линейная алгебра: Учеб. для вузов по спец. “Физика”, “Прикл. математика”. - М., 1978.
6. Постников М. Линейная алгебра: Учеб. пособие для студентов вузов, обуч. по спец.
“Математика”. - М., 1986.
7. Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории чисел. – М.: Просвещение, 1993.
Лекции по теме «Линейные операторы» - 8 часов.
5) Линейные отображения – 2 часа;
6) Представление линейных операторов матрицами – 2 часа;
7) Линейные алгебры – 2 часа;
8) Собственные векторы и собственные значения линейного оператора – 2
часа.
Литература основная:
1. Кострикин А.И. Введение в алгебру. - М.: Наука, 1977.
2. Сборник задач по алгебре. Под редакцией Кострикина А.И. - Факториал, 1995.
3. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. - М.: Высшая школа, 1974.
4. Курош А.Г, Курс высшей алгебры. - М.: Наука, 1971.
5. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. - М.: Высшая школа, 1979.
6. Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории чисел. - М.: Просвещение, 1993.
Литература дополнительная:
1. Кострикин А.И. Введение в алгебру, ч.1. Основы алгебры. – М.: Физ.-мат. литература,
2000.
2. Кострикин А.И. Введение в алгебру, ч. 2. Линейная алгебра. – М.: Физ.-мат. литература, 2000.
3. Кострикин А.И. Введение в алгебру, ч. 3. Основные структуры алгебры. – М.: Физ.-мат.
литература, 2000.
4. Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. - М.: 1986.
5. Ильин В., Позняк Э. Линейная алгебра: Учеб. для вузов по спец. “Физика”, “Прикл. математика”. - М., 1978.
6. Постников М. Линейная алгебра: Учеб. пособие для студентов вузов, обуч. по спец.
“Математика”. - М., 1986.
7. Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории чисел. – М.: Просвещение, 1993.
Лекции по теме «Элементы аналитической геометрии» - 6 часов.
4) Элементы аналитической геометрии на прямой. Элементы аналитической геометрии на плоскости – 2 часа;
45
5) Элементы аналитической геометрии в трехмерном пространстве – 2
часа;
6) Квадратичные формы – 2 часа.
Литература основная:
1. Кострикин А.И. Введение в алгебру. - М.: Наука, 1977.
2. Сборник задач по алгебре. Под редакцией Кострикина А.И. - Факториал, 1995.
3. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. - М.: Высшая школа, 1974.
4. Курош А.Г, Курс высшей алгебры. - М.: Наука, 1971.
5. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. - М.: Высшая школа, 1979.
6. Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории чисел. - М.: Просвещение, 1993.
7. Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. - М.: Наука, 1984.
8. Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. - М.: Наука, 1977.
Литература дополнительная:
1. Кострикин А.И. Введение в алгебру, ч.1. Основы алгебры. – М.: Физ.-мат. литература,
2000.
2. Кострикин А.И. Введение в алгебру, ч. 2. Линейная алгебра. – М.: Физ.-мат. литература, 2000.
3. Кострикин А.И. Введение в алгебру, ч. 3. Основные структуры алгебры. – М.: Физ.-мат.
литература, 2000.
4. Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. - М.: 1986.
5. Ильин В., Позняк Э. Линейная алгебра: Учеб. для вузов по спец. “Физика”, “Прикл. математика”. - М., 1978.
6. Постников М. Линейная алгебра: Учеб. пособие для студентов вузов, обуч. по спец.
“Математика”. - М., 1986.
7. Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории чисел. – М.: Просвещение, 1993.
РАЗДЕЛ 4. Словарь терминов.
(страницы указаны в соответствии с учебником: Л. Я. Куликов.
Алгебра и теория чисел.- М.: Высшая школа;1979)
А
Абсолютное значение элемента 151
Абелева группа 94
Автоморфизм алгебры 84
- группы 99
- кольца 107
Аддитивная группа 95, 96, 135
--векторного пространства 246
--классов вычетов 356, 400
--кольца 104
--поля 146
Аддитивный моноид натуральных чисел 123
Аксиома математической индукции 119, 120
Алгебра 82
-кватернионов 299
-линейная 298
46
-линейных операторов 300
-матриц 299
Алгебраическая замкнутость поля 510
-независимость элементов 487
-система 112, 113
Алгебраический элемент 528
Алгебраическое расширение поля 531, 533
-число 537
Алгоритм Евклида 379
Арифметический корень n-ой степени 154
Арифметическое векторное пространство 175
Ассоциативность 76, 347
Ассоциированные элементы 445, 446
Б
Базис векторного пространства 256
--ортогональный 271
--ортонормированный 278
--системы векторов 182
Бинарная операция 75
Бинарное отношение 48,49
В
Вектор нормированный 277
-собственный 307, 309
Векторное пространство 245, 246
--арифметическое 175
--действительное 276
--евклидово 276
--конечномерное 256
--со скалярным умножением 270
Взаимно-простые числа 372, 375
Включения знак 40
Вполне упорядоченное множество 73
Выпуклый конус пространства 318
Высказывания 3-5
Г
Геометрическое представление комплексных чисел 164
Главные операции алгебры 82
-элементы алгебры 83
Гомоморфизм 84
-алгебраической системы 114
47
-алгебры 84
-векторного пространства 283
-группы 99
-кольца 107
Граф 52
-бинарного отношения 53
График предиката 52
Группа 94
-абелева 94
-симметрическая 96, 350
-циклическая 102, 355
Д
Делимость элементов 445
Делитель 445
-нуля 104, 105
-общий наибольший 372, 453, 454
-собственный 447
Дефект оператора 286
Диагональная матрица 227, 313, 314
Диаграммы Эйлера-Венна 45
Дизъюнкция 6
Дистрибутивность 76, 128, 129
Доказательство косвенное 19, 20
-от противного 19, 20
-по индукции 121
Дополнение множества 45
Дополнение ортогональное 273
Е
Евклидово пространство 276
Единица группы 95
-кольца 104
Единичный идеал 430
Естественное отображение 70
Естественный гомоморфизм 92
З
Зависимость линейная 176
Закон двойного отрицания 12
-Де Моргана 45
-исключенного третьего 10
-контрапозиции 12
-сокращения 98, 125
48
Замкнутое подмножество 80, 87
Знак включения 40
-подстановки 224
-принадлежности 39
-числа 224
И
Идеал 430
-главный 431, 448
-единичный 430
-нулевой 430
Изоморфизм алгебры 84
--линейных операторов 301
-алгебраической системы 111
-векторного пространства 266, 283
-группы 99
-евклидова пространства 280
-кольца 364, 430
Изоморфные алгебры 84
-алгебраические системы 114
-векторные пространства 266
-группы 99
-евклидовы пространства 280
-кольца 107
Импликация 7
Индекс числа по модулю 417
Исключение переменных 502, 503
Истинностная таблица 6, 7, 13
К
Канонические задачи линейного программирования 328, 335
Каноническое разложение на простые множители 367, 474
Квантор общности 28
-существования 28, 29
Класс вычетов 397, 432
- смежный 352
-эквивалентности 68
Кольцо 104
-главных идеалов 448
-евклидово 451
-коммутативное 104
-нулевое 104
-полиномов 489
-факториальное 450, 478
49
-целых чисел 139-141
-числовое 163
Коммутативная группа 94
Коммутативность 76, 124, 129
Комплексные числа 161
Композиция отображений 50, 56-58
Конгруэнция 81
Конечное расширение поля 533
Конъюнкция 6
Координатная строка вектора 265
Корень из единицы 159
-полинома 467
--кратный 483
--простой 483
Кратность корня 483
Критерий неприводимости Эйзенштейна 527
-несовместности системы неравенств 323
-совместности системы линейных уравнений 191
Л
Лексикографическое упорядочение 72, 493
Лемма Гаусса 476
-Даламбера 509
Линейная зависимость системы векторов 176, 247
-независимость системы векторов 176, 247
Оболочка 176, 251
Линейно упорядоченное множество 72
Линейное многообразие 253
-отображение векторного пространства 283
Линейный оператор обратимый 303, 304
--пространства 283
--с простым спектром 312
-порядок 72
Логика высказываний 8
Логическое следствие 14, 26
М
Математическая индукция 121
Матрица 210
-квадратная 210
-линейного оператора 289, 290
-обратимая 215, 240
-транспонированная 213
50
Многообразие линейное 253
Множество 39
-вполне упорядоченное 73
-замкнутое относительно операции 80
-линейно упорядоченное 72, 150
-упорядоченное 72
-частично упорядоченное 72
Модуль комплексного числа 163
Моноид 83, 346
-натуральных чисел (мультипликативный) 130
Мономорфизм алгебры 84
Н
Наибольший общий делитель 327, 453, 454
Наименьшее общее кратное 376, 455
-подкольцо кольца 437
Натуральные числа 119, 120
Независимость линейная 247, 248
Неприводимый полином 472
-элемент кольца 447
Неравенство треугольника 277
-Чебышева 392
Нейтральный элемент 77
НОД 372, 453
НО К 376, 455
Норма вектора 277
Нормальный делитель группы 358
Нулевое кольцо 104
Нулевой идеал 430
-элемент 80
Нуль 120, 146
О
Область целостности 104
-значений 50, 55
-определений 50, 55
Образ линейного оператора 286
Обратимый элемент 81, 98
Обратимая матрица 215
Объединение множеств 41
Однотипные алгебры 83
Операция бинарная 75
-n-местная 75
-сложения 80
51
-умножения 81
-унарная 75
Определитель матрицы 227
Ортонормированная система векторов 278
Отношение 49, 52
-антирефлексивное 66
-антисимметричное 66
-бинарное 49
-делимости 143
-изоморфизма 86, 99
-конгруэнтности 81, 91
-линейного порядка 72
-n-местное 52
-порядка 71, 131,148
-рефлексивное 65
Отношение симметричное 66
-строгого порядка 71
-транзитивное 66
-эквивалентности 65, 67, 68
Отображение 54,55
-инъективное 59
-линейное 283
Отрицание высказывания 6
П
Пара упорядоченная 48
Первообразный корень 415, 416
Переменная свободная 22
-связанная 28,29
-предметная 33
Пересечение множеств 42
Период систематической дроби 421
Подалгебра 87
Подгруппа 100, 350
Подкольцо 109
-наименьшее 437
Подмножество 40
-замкнутое в алгебре 87, 89
Подобные матрицы 297, 313
Подполе 146
-простое 146
Подпространство векторного пространства250
Подстановка 221
-нечетная 223
52
-обратная 222
-четная 223
Подсистема алгебраической системы 115
Поле 146
-алгебраически замкнутое 510, 537
-алгебраических чисел 537
-действительных чисел 153
-классов вычетов 404
-комплексных чисел 157, 161
-простое 146
-рациональных чисел 148
-скаляров 245
Поле упорядоченное 150
-частных 148, 439
-числовое 162
Полином минимальный 529
-неприводимый 472
-нормированный 466
-от нескольких переменных 486
-приводимый 472
-примитивный 475
-симметрический 459, 498
Полная линейная группа 305
-система вычетов 399
Полугруппа 346
Порядок 71, 72
-группы 94
-классов вычетов 413
-нестрогий 71
-строгий 71
-числа по модулю 413
-элемента группы 354
Правила введения и удаления 18
Правило Крамера 241
-отделения 19
Предикат 23, 25, 26, 27
Предикатные формулы 34
Предметные переменные 33
Принадлежности знак 39
Принцип математической индукции 121
Произведение матриц 211
Производная полинома формальная 480
Простое алгебраическое расширение поля 528, 531
-поле 146
-расширение поля 459
53
-трансцендентное расширение кольца 459, 461
-число 365
Простой корень полинома 483
Простой элемент области целостности 446
Противоположный элемент 80, 95
Противоречие 10
Процесс ортогонализации 272
Прямая сумма подпространств 252
Прямое произведение множеств 48, 49
Пустое множество 41
Р
Равенство полиномов алгебраическое 468
-функциональное 468
-множеств 39
Равносильные формулы 15
-предикаты 26
-системы уравнений 186
Разбиение множества 68
Разложение на простые множители 366, 450, 473, 478
-определителя 235
Размерность векторного пространства 260
Разность множеств 42
Ранг линейного оператора 294
-матрицы 189, 199, 200
-операции 75
-системы векторов 183
Распределение простых чисел 389
Расширение поля алгебраическое 533
--конечное 533
--простое 528
--составное 533, 534
--трансцендентное 459
Рациональные числа 148
Результант 502
Рефлексивное отношение 65
Решение системы линейных неравенств 335
---уравнений 185, 206-208, 220
Решение уравнений 515, 520
С
Свободная переменная 22
Свойства группы 97
-кольца 106
54
-поля 146
Связанная переменная 28, 29
Симметрическая группа 96, 350
Симметрический полином 495
Симплекс-метод 335
Система действительных чисел 150, 153
-алгебраическая 112
-векторов ортогональная 271
-линейных неравенств 317
--уравнений 185
---однородная 192, 203
Скалярное произведение 270
Следствие систем линейных уравнений 180, 195, 196
---неравенств 318
Смежный класс 352, 433
--левый 353
--правый 352
Собственное значение 307, 309
Собственный вектор 307, 309
-делитель элемента 447
Сравнение по идеалу 432
-по модулю 397
Стандартные задачи линейного программирования 327, 328, 335
Старший коэффициент полинома 460
Степенные вычеты 419
Степень полинома 446, 492
-элемента 529
Строгий порядок 71
Ступенчатая матрица 198
--приведенная 201
Сужение функции 63
Сумма пространств 251, 252
Т
Таблица истинности 6, 7
Тавтология 10
Теорема двойственности 330, 333
-Кронекера-Копелли 193
-Кэли 351
-Лагранжа 353
-Минковского 321
-о гомоморфизмах 362
-о делении с остатком 141, 142, 469
-Ферма 408
55
-Штурма 523
-Эйлера 408
Тождественно истинная формула 10
-ложная формула 10
Транзитивное отношение 66
Трансцендентное расширение кольца 459, 488
Тригонометрическая форма комплексного числа 166, 168
Трисекция угла 541
У
Удвоение куба 541
Универсальное множество 44
Упорядочение лексикографическое 493
Упорядоченное множество 72
-поле 150
Уравнения третьей степени 515
-четвертой степени 520
Условие с одной свободной переменной 23
-с несколькими свободными переменными 23
Ф
Фактор-алгебра 91
Фактор-группа 359, 360
Фактор-кольцо 433, 434
Фактор-множество 68
Формула логики высказываний 8
Формулы Крамера 242
Фундаментальная система решений 204
Функция 54, 55
-инъективная 59
-обратная 60-62
-Эйлера 406
Х
Характеристика кольца 436
Характеристическое уравнение 310, 311
Ц
Целые числа 135, 139
Циклическая группа 102, 355
Ч
Числа алгебраические 537
56
-действительные 153
-комплексные 161
-сопряженные 163
-натуральные 119, 120
-простые 365
-рациональные 148
-целые 135, 139
Э
Эквивалентности отношение 65,67,68
Эквивалентность 67
-логическая 15
Эквивалентные системы векторов 180
Эквиваленция 8
Элемент алгебраический 528
-множества 39
-нейтральный 77
-обратный по умножению 81
-противоположный по сложению 80
-симметрический 78, 79
Элементарные преобразования системы векторов 181
-симметрические полиномы 496
Эндоморфизм алгебры 84
Эпиморфизм 84
Я
Ядро гомоморфизма 361
-линейного оператора 286
РАЗДЕЛ 5. Практикум по решению задач.
Глава 1. Системы линейных уравнений.
Задача №1.Описать линейные оболочки системы векторов:


a1  (1, 0, 0, 0, 0)
a1  (1, 0, 0, 1, 0)
a

(0,
0,
1,
0,
0)
а)  2
;
б) a 2  (0, 1, 1, 0, 0) ;


a 3  (0, 0, 0, 0, 1)
a 3  (0, 0, 1, 0,  1)
a1  (1, 0, 0, 0, 1)
a  (0, 1, 0, 1, 0)
в) a 2  (0, 0, 1, 0, 0) ;
a 3  (0, 0, 0, 1,  1)
 4
57
a1  (1, 0, 0, 0,
a  (0, 1, 0, 0,
г) a 2  (0, 0, 1, 0,
a 3  (0, 0, 0, 1,
 4
 1)
 1)
 1) .
 1)
Решение:
А) L(a1 , a2 , a 3 )  {1a1  2a 2  3a 3 | i  }  {1 (1, 0, 0, 0, 0) 
2 (0, 0, 1, 0, 0)  3 (0, 0, 0, 0, 1) | i  } {( 1, 0, 2, 0, 3) | i  }
– система векторов, у которой вторая и четвертая координаты
равны 0.
в) L(a1 , a2 , a3 , a4 )  {1a1  2a2  3a3  4a4 | i  } 
 {1 (1, 0, 0, 0, 1)  2 (0, 1, 0, 1, 0)  3 (0, 0, 1, 0, 0) 
4 (0, 0, 0, 1,  1) | i  }  {(1, 2 , 3 , 2  4 , 1  4 ) | i  } –
система векторов, у которой четвертая координата зависит от второй, пятая – от первой и четвертой.
Задача №2. Пусть a1 , a2 , a3 , a4 – система векторов, где
a1  (2, 1,  3, 1),
a 2  (4, 2,  6, 2),
a3  (6, 3,  9, 3),
a 4  (1, 1, 1, 1).
а) Будет ли данная система векторов линейно зависимой?
б) Найти какой-нибудь базис и ранг системы векторов;
в) Можно ли вектор a 4 представить в виде линейной комбинации
остальных векторов?
Решение:
а) Составим линейную комбинацию системы векторов:
1a1  2a1  3a3  4a4  0 .
Это равносильно системе уравнений:
 21  42  63  4  0
   2  3    0

1
2
3
4

.
31  62  93  4  0
 1  22  33  4  0
58
4
6 1  1
2
3
2

 
2
3 1  2
4
6
1
 3  6  9 1   3  6  9

 
2
3 1  1
2
3
1
.
1  22  33  4  0

 4  0

1 , 4 – главные переменные, 2 , 3
1  22  33

4  0
1

1
1

1
1

0
0

0
2 3 1  1
 
0 0  1  0
0 0 4  0
 
0 0 0  0
2 3 1 

0 0  1
0 0 0 

0 0 0 
– свободные переменные.
Имеем {(22  33 , 2 , 3 , 0) | 2 , 3  }
Если 2 , 3 одновременно не обращаются в 0, то система линейно
зависима. При 2  3  0 система линейно не зависима.
2 1

4 2
rank
(
a
,
a
,
a
,
a
)

rank
1
2
3
4
б)
6 3

1 1
2 1 3 1 


0 0 0 0

 rank
 2. В базисе
0 0 0 0


 0 1 5 1
сом
могут
являться
(a1 , a2 ), (a1 , a3 ), (a1 , a4 ), (a2 , a3 ),
3 1
2


 6 2
2
 rank 
2
9 3 


1 1
1
1  3 1

1  3 1

1  3 1

1 1 1
содержится два вектора. Базиследующие
(a2 , a 4 ), (a3 , a 4 ) .
системы:
 2 1  3 1
1 1 1 1 
rank (a1 , a 4 )  rank 

rank



1 1 1 1 
 2 1  3 1
1 1 1 1 
 rank 
  2.
0

1

5
1


Значит, a1 , a 4 – базис.
в) Пусть a4  1a1  2a1  3a3 , что равносильно системе линейных
уравнений с расширенной матрицей:
4
6 1  1
2
3 1 1 2
3 1  1 2
 2

 
 
 
3 1  2
4
6 1  0 0
0 1  0 0
1 2
 3  6 9 1  3  6 9 1  0 0
0 4  0 0

 
 
 
4 1  1
2
3 1  0 0
0 1  0 0
1 2
.Ранг основной матрицы равен 1, ранг расширенной матрицы равен
59
3 1

0 4
0 0

0 0
3. По теореме Кронекера-Капелли система несовместна, то есть не
существует таких 1 , 2 , 3 , при которых вектор a 4 был бы линейной комбинацией a1 , a2 , a3 .
Задача №3. Установить совместна ли система линейных уравнений и решить ее методом Гаусса:
Решение.
 x1  x2  x3  x4  x5  7
3x  2 x  x  x  3x  2
 1
2
3
4
5

а)
x2  2 x3  2 x4  6 x5  23

5 x1  4 x2  3x3  3x4  x5  0
 x1  2 x2  x3  x4  1

x  2 x2  x3  x4  1
б)  1
 x  2 x  x  5x  5
2
3
4
 1
 x1  2 x2  4 x3  3x4  0
3x  5 x  6 x  4 x  0
 1
2
3
4

в) 4 x1  5 x2  2 x3  3x4  0

3x1  8 x2  24 x3  19 x4  0
0
 x1  x2  x3  x4

x2  x3  x4  x5  0

2
 x1  2 x2  3x3
г) 
x2  2 x3  3x4
 2


x3  2 x4  3x5  2
Решение
а) По теореме Кронекера-Капелли система линейных уравнений
совместна, когда ранг основной матрицы A равен рангу расширенной матрицы B .
60
7 
1
1 1
1 1 1 1 1
1 1



3 2 1 1 3 2 
0  1  2  2 6

rank
 rank 
0 1 2 2 6
0 1 2
23 
2 6



 5 4 3 3 1 12 
 0  1  2  2 6
1 1 1 1 1 7 


0
1
2
2
6
23

 rank 
0 0 0 0 0 0 .


0 0 0 0 0 0 
rank A  rank B  2  система совместна.
7 

23 

23 

23 
 x1  x2  x3  x4  x5  7

x2  2 x3  2 x4  6 x5  23

Подчеркиваем первую реально встречающуюся переменную в
каждом уравнении. Это главные переменные, остальные переменные – свободные, то есть x1 , x2 – главные, x3 , x4 , x5 – свободные. Выразим главные переменные через свободные, начиная с
последнего уравнения.
 x1  16  x3  x4  5 x5

.
 x2  23  2 x3  2 x4  6 x5
x1  7  x2  x3  x4  x5  7  23  2 x3  2 x4  6 x5  x3  x4  x5 
 16  x3  x4  5 x5 .
Ответ: {(16  x3  x4  5 x5 , 23  2 x3  2 x4  6 x5 , x3 , x4 , x5 ) |
x3 , x4 , x5  } – общее решение системы.
Замечание. Придавая свободным переменным различные значения,
получим частные решения системы уравнений.
б) По теореме Кронекера-Капелли система линейных уравнений
совместна, когда ранг основной матрицы A равен рангу расширенной матрицы B .
1  2 1 1 7 
1  2 1 1 1 




rank 1  2 1 1 1  rank 1 0 0 2 2  
1  2 2 5 5 
1 0 0 4 4 




1  2 1 1 1 


 rank 1 0 0 2 2   2.
1 0 0 0 0 


61
rank A  rank B  2  система совместна.
 x1  2 x2  x3  x4  1

 2 x4  2

x1 , x3 – главные, x2 , x4 – свободные переменные.
 x1  1  2 x2  x3  x4
 x1  2 x2  x3



 x4  1
 x4  1
Ответ: {(2 x2  x3 , x2 , x3 , 1) | x2 , x3  } – общее решение системы.
Задача №4. Найти фундаментальную систему решений следующих однородных систем линейных уравнений:
3x4  x5  0
 x1  x2 
 x  x  2x  x
0
 1
2
3
4
а) 4 x1  2 x2  6 x3  3x4  4 x5  0

2 x1  4 x2  2 x3  4 x4  7 x5  0
2 x1  4 x2  5 x3  3x4  0

3x  6 x2  4 x3  2 x4  0
б)  1
4 x  8 x  17 x  11x  0
2
3
4
 1
Решение:
а)
1 1 0  3  1  1

 
1

1
2

1
0

 0
4 2 6
3  4 0

 
2 4  2 4 7  0
1

0
0

0
1 0  3  1  1
 
 2 2 2 1  0
 6 6 15 0   0
 
2  2 10  5   0
1 0  3 1 

2 2 2 1 
0
0 9 3

0
0 12  4 
1 0  3  1

2 2 2 1
0
0 3  1 .

0
0 0 0
3x4  x5  0
 x1  x2 

  2 x2  2 x3  2 x4  x5  0

3x4  x5  0

x1 , x2 , x4 – главные, x3 , x5 – свободные переменные.
62
Одной свободной переменной придаем значение 1, остальным свободным – значение 0. При этом выборе свободных переменных
найдем решение, которое будет вектором фундаментальной системы решений.
 x4  0
x3  1 

   x2  1  S1  (1, 1, 1, 0, 0).
x5  0
 x  1
 1
1

x

 4 3

x3  0 
5
7 5
1

   x2   S 2  ( , , 0, , 1).
x5  1 
6
6 6
3

7

x

 1 6

Ответ: S1 , S 2 – фундаментальная система решений.
Глава 2. Матрицы и определители.
Задача №1. Вычислить А В, где
1 2


A  3 4 ;
5 6


 1 2 
B
.
 3 4 
Решение. Так как число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B ,
то произведение A  B существует (но B  A в этом случае не существует).
1 способ. По определению произведения матриц:
1 2
 1  (1)  2  3 1  2  2  (4)   5 6 

  1 2  
 

 3 4    3 4    3  (1)  4  3 3  2  4  (4)    9 10  .
  5  (1)  6  3 5  2  6  (4)  13 14 
5 6 



 

2 способ. Известно, что j -й столбец матрицы A  B есть произведение матрицы A на j -й столбец матрицы B . Поэтому столбцы A  B вычисляем поочередно. Обозначим через M ( i ) i -ю строку матрицы M , а через M ( j ) - j -й столбец матрицы M . Тогда ( A  B)( j )  A  B( j ) . Подробная запись такая:
1 2
5

  1  
 A  B  A  B   3 4      9  ;
 5 6   3  13 


 
1
1
63
 A  B
2
1 2
 6 

 2 

 A  B   3 4       10  .
 5 6   4   14 




2
Тогда
 5 6 


A  B   9 10  .
13 14 


3 способ. Поскольку i -я строка матрицы A  B есть произведение i -й строки
матрицы A на матрицу B , строки произведения вычисляем поочередно:
 1 2 
2  
   5, 6  ;
 3 4 
 1 2 
 A  B 2  A  B2   3, 4   
   9, 10  ;
 3 4 
 1 2 
 A  B 3  A  B3   5, 6   
  13, 14  .
 3 4 
 A  B 1  A  B1  1,
Тогда
 5 6 


A  B   9 10  .
13 14 


Задача №2. Вычислить обратную матрицу:
 1 3 2 


A   2 3 4  .
 3 7 5 


Решение.
1

A E  2
3

3 2 1 0 0   1 3 2 1 0 0 
 

5 4 0 1 0   0 1 0 2 1 0 
7 5 0 0 1   0 2 1 3 0 1 
 

 1 3 0 3 4 2 


 0 1 0 2 1 0 
 0 0 1 1 2 1 


1 0

0 1

0 0
 1 3

0 1

0 0
2 1 0 0

0 2 1 0 

1 1 2 1 
0 3 1 2   1 0 0 3 1 2 
 

0 2 1 0   0 1 0 2 1 0  
 

1 1 2 1   0 0 1 1 2 1
 3 1 2 


 A   2 1 0  .
 1 2 1


1
Вычислить обратные матрицы:
64
 2 5 3 


2) 4 1 2 ;


2 0 3 


 1 2 3


1) 4 5 6 ;


7 8 9


0

0
3) 
2

1
2

5) 6

5

0 1 1

3 1 4
;
7 6 1

2 2 1
5 7

3 4 ;
2 3 
1 2 2 


4) 2 1 2 ;


 2 2 1 


 3 4 5 


6) 2 3 1 ;


 3 5 1


Задача №3.
Решить матричные уравнения вида A  X  B  C ,
1)
 3 1 

 X
 5 2 
2)
2 1

 X
 3 2
где
 5 6  14 16 


;
 7 8   9 10 
 3 2   2 4 


;
 5 3   3 1
 2 3 1 


3) 4 5 2  X


 5 7 3 


 9 7 6   2 0 2 

 

  1 1 2    18 12 9  ;
 1 1 1   23 15 11 

 

0 3 0


4) 4 0 0  X


0 0 2


 4 0 0  12 9 6 

 

  0 0 2   16 12 8  ;
0 3 0  8 6 4

 

1 0 0


5) 0 0 2  X


0 3 0


0 5 0  4 5 2

 

  4 0 0    8 10 4  ;
 0 0 2  12 15 6 

 

 0 0 3


6) 0 4 0  X


5 0 0


0 2 0  6 6 6 

 

  0 0 2   8 8 8  .
 2 0 0  10 10 10 

 

Решение.
A  X  B  C  A1  A  X  B  B 1  A1  C  B 1  X  A1  C  B 1 .
 A E
3

5
1 1 0   3 1 1 0   3 0 6 3   1 0 2 1 
 
 
 

2 0 1   0 1 5 3   0 1 5 3   0 1 5 3 
65
 2 1 
 A1  
,
 5 3 
5

7
B E
6 1 0 5
 
8 0 1 0
6 1 0   5 0 20 15 
 

2 7 5   0 2 7 5 
 4 3 
 1   8 6  ,
 B  7
5



  2  7 5 
 2
2
 2 1  14 16   19 22 
A1  C  


,
 5 3   9 10   43 50 
1
A1  C  B 1 

2) A E

2

3
1 2
1  19 22   8 6   1 2 



 X 
.
2  43 50   7 5   3 4 
3 4
1 1 0  2
 
2 0 1 0
1 1 0   2 0 4 2   1 0 2 1
 
 
 
1 3 2   0 1 3 2   0 1 3 2 
 2 1
 A1  
,
 3 2 
 3 2 1 0   3

 
 5 3 0 1   0
3 2
 B 1  
,
5 3
B E
2 1 0

1 5 3
 3 0 9 6   1 0 3 2 

 

 0 1 5 3  0 1 5 3
 2 1  2 4   7 9 
A1  C  


,
 3 2   3 1  12 14 
 7 9   3 2   24 13 
 24 13 
A1  C  B 1  


 X 
.
 12 14   5 3   34 18 
 34 18 
Задача №4. Найти обратную матрицу A1 с помощью присоединённой матрицы, используя формулу: A1 
1)
1 3

;
 4 2
a b
3) 
;
c d 
2)
1
ad j A , где
A
 1 1

;
 1 1
a 0 a


4) 0 a 0 ;


a 0 a


66
0 b 0


5) b 0 b ;


0 b 0


1

6) a

 a2

0 0 1


7) 1 0 0 ;


0 1 0


0

0
8) 
1

0
0

9) 1

0

2

11) 3

1

1 0

0 0 ;
0 1 
1 1

1 1
2 1
10)
1
b
b2
1

c ;
c 2 
0 1 0

0 0 1
;
0 0 0

1 0 0
 2 1

;
 4 3
 2 1 8 


12) 3 5 1 ;


 4 7 0 


 1 0 2 


13) 3 0 4 ;


 1 0 5 


 1 0 0


14) 5 2 0 ;


 3 6 4 


1 1 1 


15) 2 3 1 ;


 4 1 5 


2 1

3 2
16) 
1 1

 2 1
0 0

0 0
.
3 4

2 3
Решение задания 10).
10) Вычислим определитель матрицы:
2 1
 2  3  1 4  2  0 ,
4 3
Найдем присоединенную матрицу по формуле:
A
ad j A   11
 A12
A21 
 , где A i j - алгебраическое дополнение элемента a i j .
A22 
 3 1
ad j A  
.
 4 2 
Тогда
67
A1 
1  3 1
 
.
2  4 2 
Решение задания 15). Найдем определитель матрицы:
1
1
1
2 3 1  15  2  4  12  1  10  42  0 ;
4 1 5
Вычислим алгебраические дополнения:
A11   1 
3 1
 14 ;
1 5
A23   1 
1 1
 3;
4 1
A12   1 
2 1
 14 ;
4 5
A31   1 
1 1
 4;
3 1
A13   1 
2 3
 14 ;
4 1
A32   1 
1 1
1;
2 1
A21   1 
1 1
 6;
1 5
A33   1 
1
A22   1 
1 1
 9 ;
4 5
2
3
4
3
4
5
4
5
6
1
2 3
 5 ;
Тогда
 A11

ad j A   A12
A
 13
A21
A22
A23
A31  14 6 4 
 

A32   14 9 1  .
A33  14 3 5 
Следовательно
14 6 4 
1 

A 
 14 9 1  .
42 

14 3 5 
1
Решение задания 16). Найдем определитель матрицы:
2
3
1
1
2
1
0 0
2 0 0
3 0 0
0 0
 2  1 3 4  1  1 3 4  2  18  16    27  24   4  3  1  0 ;
3 4
1 2 3
2 2 3
2 1 2 3
68
2
0 0
1
A11   1  1 3 4  18  16  2 ;
1 2 3
4
3 0 0
2 0 0
A12   1  1 3 4    27  24   3 ;
2 2 3
A32   1  3 0 0  0 ;
2 2 3
3
3
2
5
0
2
A13   1  1 1 4  9  16  12  6  31 ;
2 1 3
2
0
2
A14   1  1 1 3  6  12  9  4  23 ;
2 1 2
A34   1  3 2 0  2 ;
2 1 2
A41   1  2 0 0  0 ;
1 3 4
5
2 0 0
2 0 0
A22   1  1 3 4  2 ;
2 2 3
A42   1  3 0 0  0 ;
1 3 4
4
6
0
2 1 0
A43   1  3 2 0  4 ;
A23   1  1 1 4  19 ;
2 1 3
5
2
1
7
1 1 4
0
2 1 0
A24   1  1 1 3  14 ;
2 1 2
A44   1  3 2 0  3 ;
1 1 3
6
 A11

A
ad j A   12
 A13

 A14
A21
A31
A22
A23
A24
A32
A33
A34
0
1 0 0
A21   1  1 3 4  1 ;
1 2 3
1
1
7
0 0
3
2
0
6
5
1
1
A33   1  3 2 0  3 ;
2 1 3
4
3
0 0
A31   1  2 0 0  0 ;
1 2 3
2
A41 

A42 
;
A43 

A44 
8
Тогда
1 0 0 
 2


3
2
0 0
1

A 
.
 31 19 3 4 


 23 14 2 3 
69
Задача №5. Вычислить определители n -го порядка:
2
1
1) 1

1
1
2
1

1
1
1
2

1
1
1
2) 1

1
1
0
1

1
1
1
0

1
a1
x
3) x

x
x
a2
x

x
1
1
1;

2


x
x
a3

x
1
1
1;

0

x
x
x .

an
Решение.
1 способ:
1. Приведем определитель к треугольному виду. Тогда он будет равен произведению диагональных элементов. Выполняем преобразования:
а) к первой строке прибавили все строки и результат записали в первой строке;
б) из первой строки определителя вынесли множитель n  1 ;
в) вычли первую строку из всех остальных;
получим
n 1 n 1 n 1
1
2
1
1
1
2



1
1
1

n 1
1
1
1
1   n  1  1


1
1
1
2
1

1
1
1
2

1

1
1
1   n  1 

2
1
0
0

0
1
1
0

0
1
0
1

0

1
0
0  n 1.

1
2 способ:
Обозначим определитель через d n . Выразим d n через d n  1 .
Первую
строку
представим
как
сумму
двух
строк
1  1 1 1
1  1 0 0
0  . В соответствии с этим разло2 1 1
жим d n на сумму двух определителей:
70
1
1
dn  1

1
1
2
1

1
1
1
2

1

1 1 0
1 1 2
1 1 1
  
2 1 1
0
1
2

1

0
1
1.

2
Первое слагаемое приведем к треугольному виду, вычтя первый столбец из
всех остальных. Второе слагаемое после понижения порядка равно d n  1 :
1
0
dn  0

0
1
1
0

0
1
0
1

0

1
2 1
0
1 2
0
 

1 1
1

1
1
 1  dn  1 .

2
Получено рекуррентное соотношение dn  1  dn1 , т.е. d n является членом
арифметической прогрессии с разностью 1 . Для вычисления некоторого члена
этой прогрессии рассмотрим d 2 
2 1
 3.
1 2
Итак, d 2  3 . Поэтому d3  1  d2  4 тогда dn  1  n .
Задача №6. Решить системы уравнений по правилу Крамера и методом обратной матрицы.
2  x1  2  x2  x3  x4  4,
4  x  3  x  x  2  x  6,
 1
2
3
4
1) 
8  x1  5  x2  2  x3  4  x4  12,
3  x1  3  x2  2  x3  2  x4  6,
2  x1  x2  x3  2  x4  5,
 x  3  x  x  5  x  4,
 1
2
3
4
2) 
 2,
5  x1  4  x2  3  x3
3  x1  3  x2  x3  6  x4  6,
 x1  2  x2  3  x3  x4  8,
2  x  3  x  x  5  x  19,
 1
2
3
4
3) 
4  x1  x2  x3  x4  1,
3  x1  2  x2  x3  2  x4  2,
 x1  x2  2  x3  11,

4)  x1  2  x2  x3  11,
4  x  3  x  3  x  24,
2
3
 1
71
 x1  3  x2  4  x3  4,

5) 2  x1  x2  3  x3  1,
3  x  2  x  x  11.
2
3
 1
Решение по правилу Крамера.
1) Найдем определитель системы:
d
2 2
1
1
0
0
1 0
4 3
1
2
2
1
1 1
8 5
3
4
2
1 3 1
3 3
2
2

2
 2
1
1
0
0
1 1  2   1
1 2
1 1   2
1 1 0
1 1 2 0
2
1 1 0
2
1
1 0
20
Вычислим определители, заменяя столбцом свободных членов поочередно
столбцы основного определителя:
d1 
d2 
4
2
1
1
4
2
1 0
6
3
1
2
2
1
1 1
12 5
3
4
0
1 3 1
6
3
2
2
2
4
1
1
2
4 1 1
4
6
1
2
4
6 1 2
8 12 3
4
0
0 1 0
2
2
3
6

2
1
1
 0
1
1   2 1 1  2 
2
1
0
2 1 2 0

2
4 1
 4
1
1
0 1 0
0
6 2  2
1 0 0
1 0 1 0
0
2
0
1 1 
1 1 0
1
1
1 0
4 1
6 2
 2;
 2;
2 2 4 1 1 1 2 1
1 2 1
4 3 6 2
1 0 0 0
2 1
d3 

  1 0 0  
 2 ;
8 5 12 4
2 1 0 0
6 2
3 6 2
3 3 6 2
3 3 6 2
d4 
2 2
1
4
2
2
1
4
4 3
1
6
2
1
0
2
8 5
3 12
2
1
0
0
3 3
2
1 1
0
2
6

2
 2
1
2
1
0   2 1 0  2 
1 1 2
72
2
1
1
0
2
0
2 1
1
0
 2 ;
x1 
d1 2
  1;
d 2
x2 
d2 2
  1;
d 2
x3 
d3
2
   1;
d
2
d4
2
   1;
d
2
Получим 1, 1,
x4 
 1,
 1 .
Глава 3. Векторные пространства.
Задача №1. Примеры векторных пространств.
1)
Арифметическое n - мерное векторное пространство. Рассмотрим


алгебру P n  Pn , , , 0,   P .


Имеем V  P n   a1,..., an  a1,..., an  P , т.е. векторами являются кортежи из n - элементов поля P , / или n - мерные арифметические векторы /.
В алгебре P n определены операции:
 операция сложения n - мерных арифметических векторов, задана равенством: (a1,..., an )  (b1  bn )  (a1  b1,..., an  bn ) ;
 операция вычисления противоположного вектора, задана равенством:
(a1,..., an )  (a1,..., an ) ;
нулевой вектор 0 задан равенством: 0  (0,...,0) ;
n
операция умножения скаляра  на вектор задана равенством:
 (a1,..., an )  ( a1,...,  an ) .
Мы проверяли, изучая арифметические пространства, что для алгебры
 Pn , , , 0,   P выполнены аксиомы 1 и 2, поэтому арифметическое
n - мерное векторное пространство P n является примером векторного пространства.
2) Под вектором плоскости мы будем понимать направленный отрезок
с началом в начале координат. Обозначим через V множество векторов плоскости. Рассмотрим алгебру: V  V , , , 0,   R . В алгебре V заданы


операции: операция сложения векторов " " производится по правилу параллелограмма; операция " " каждому вектору a ставит в соответствие проти73
воположный вектор a , 0 -вектор изображается точкой – началом координат; операция умножения вектора a на скаляр  определяется как обычно.
Из курса геометрии известно, что для алгебры V выполнены аксиомы векторного пространства, / 1 и 2 /. Поэтому алгебра V является векторным пространством над полем действительных чисел.


3) Рассмотрим алгебру Mm,n  M m,n ( P ), , ,0,   P ,
где M m,n ( P ) - множество всех m  n матриц над полем P . В алгебре Mm, n
определены операции: " " это обычная операция сложения матриц; " " это
обычная операция вычислении противоположной матрицы; 0 - это нулевая
матрица; операция  - умножения скаляра  на матрицу, определяется
единственным образом. В главе 3, /«Матрицы и определители»/, мы проверяли, что для алгебры Mm, n выполнены аксиомы 1 и 2. Поэтому алгебра


Mm,n  M m,n ( P ), , ,0,   P является примером векторного простран-
ства.
4) Пусть V   f f : R  R , т.е. векторами являются функции. Рас-


смотрим алгебру V  V , , , 0,   R , где в алгебре V определены
операции:
def
 это операция сложения функций:  f  g  ( x)  f ( x)  g ( x) ,  это операция
вычисления
противоположной
функции,
заданная
равенством:
def
( f )( x)   f ( x) , для x R ;
0 - нулевая функция, значение которой задается равенством: 0( x)  0 для
x R .
Операция умножения функций на скаляр задается равенством:
def
( f )( x)   f ( x) для x R .
Легко проверяется, что для алгебры V выполняется аксиомы векторного
пространства, значит алгебра V - пример векторного пространства.
5) Рассмотрим алгебру C, , ,0,   R , /т.е. векторами являются


комплексные числа, скалярами являются действительные числа/, где операции заданы следующим образом:  это операция сложения комплексных чи74
сел;  это операция вычисления противоположного комплексного числа; 0 это нулевое комплексное число; умножение действительного скаляра на
комплексное число производится обычным образом.
Очевидно, что для алгебры C, , ,0,   R выполнены все акси-




омы векторного пространства. Поэтому алгебра C, , ,0,   R является примером векторного пространства над полем действительных чисел.
Задача №2. Рассмотрим пространство многочленов с действительными коэффициентами от переменной x степени, не превосходящей 2. Базисом этого пространства являются многочлены:
1, x, x 2
/*/.
Поэтому равномерность этого пространства равна 3 и это пространство изоморфно трехмерному арифметическому векторному пространству над полем
действительных чисел. Изоморфизмом является отображение f , которое
каждому многочлену ставит в соответствие его координатную строку относительно базиса /*/. Вычислим ранг системы многочленов и найдем какойнибудь базис:
a1   x2  x, a2   x2  3, a3   x2  2 x, a4   x2  x, a5  x  1.
Имеем
f  a1    0,1, 1 , f  a2    3,0, 1 , f  a3    0,2, 1 , f  a4    0, 1, 1 ,
f  a5   1,1,0  .
По свойствам изоморфизма:
rank  a1, a2 , a3 , a4 , a5   f  f  a1  , f  a2  , f  a3  , f  a4  , f  a5   
0
3
 rank  0
0
1

1
0
2
1
1
1
1
1  3.
1
0 
f  a1  ,..., f  a5 
Базисом
системы
векторов
являются
векторы
f  a3  , f  a4  , f  a5  .
Базисом системы многочленов a1,..., a5 являются многочлены a3 , a4 , a5 .
Задача 3. Систему многочленов
a1  x5  x4 , a2  x5  3x3, a3  x5  2 x2 , a4  x5  x дополнить до базиса пространства многочленов степени, не превосходящей 5.
Решение. Выберем в пространстве многочленов степени меньше или
равной 5 базис:
1, x, x 2 , x3 , x 4 , x5
/1/.
По доказанному в теореме 1, отображение f , ставящее в соответствие каждому многочлену его координатную строку относительно базиса /1/, является
75
изоморфизмом пространства многочленов меньше или равной 5 с действительными коэффициентами на шестимерное векторное пространство:
R , , , 0,   R .
6
a1  x5  x 4  0  1  0  x  0  x 2  0  x3  1  x 4  1  x5  f  a1    0,0,0,0,1,1 ,
a2  x5  3x3   0,0,0, 3,0,1  f  a2  ,
a3  x5  2 x 2   0,0,2,0,0,1  f  a3  ,
a4  x5  x   0, 1,0,0,0,1  f  a4 .
Дополним систему векторов
R , , , 0,   R .
f  a1  ,..., f  a4 
до базиса пространства
6
0
0

rank  0
0
1
0

0
0
0
1
0
0
0
0
2
0
0
0
0
3
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
1
1
0
1   rank  0
0
1
0
0

0
1

0
1
0
0
0
0
0
0
2
0
0
0
0
0
0
3
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
1   6.
1
1
1 
Векторы:
f  a1    0,0,0,0,1,1 , f  a2    0,0,0, 3,0,1 , f  a3    0,0,2,0,0,1 ,
f  a4    0, 1,0,0,0,1 , f  a5   1,1,0,0,0,0  , f  a6    0,0,0,0,0,1
являются
базисом
пространства
R , , , 0,   R .
6
Видим,
что
a5  1, a6  x5 . По свойству 3 изоморфизма векторы a1, a2 , a3 , a4 , a5 , a6 - базис
пространства многочленов степени меньше или равной 5.
Задача 4. Для системы многочленов: 3x 2  2 x  1,4 x 2  3x  2,
3x2  2 x  3 найти ранг и какой-нибудь базис.
Имеем пространство многочленов степени ме6ньше или равной 2.
Выберем базис:
1, x, x 2
/2/.
dimV  3 и это пространство изоморфно трехмерному арифметическому
пространству над полем действительных чисел. Изоморфизмом является
отображение f , которое каждому многочлену ставит в соответствие его координатную строку относительно базиса /2/. Имеем:
a1  3x 2  2 x  1  f  a1   1,2,3 ; a2  4 x 2  3x  2  f  a2    2,3,4  ;
a3  3x 2  2 x  3  f  a3    3,2,3 ; a4  x 2  x  1  f  a4   1,1,1 ,
a5  4 x 2  3x  4  f  a5    4,3,4 .
76
1
2
rank  3
1
4

2
3
2
1
3
3
1
4
0
3   rank  0
0
1
0
4 

2
1
4
1
5
3
1
2 
0
6   rank  0
0
2 
0
6 

Базисом
системы
векторов
f  a1  , f  a2  , f  a3  .
Базисом системы многочленов
rank  a1, a2 , a3 , a4 , a5   3 .
2
1
0
0
0
3
1
2
0
2   rank  0
0
0
0
2 

f  a1  ,..., f  a5 
являются
2
1
0
0
0
3
2
2  3.
0
0 
является
многочлены
система
a1, a2 , a3 .
Задача №5. Найти координаты многочлена b  x5  x4  x3  x2  x  1 в
базисе: 1, x  1, x 2  1, x3  1, x 4  1, x5  1 пространства многочленов.
Выберем в пространстве многочленов степени меньшей или равной 5
базис:
1, x, x 2 , x3 , x 4 , x5
/3/.
По доказанному в теореме 1, отображение f , ставящее в соответствие каждому многочлену его координатную строку относительно базиса /3/, является
изоморфизмом пространства многочленов степени меньшей или равной 5 с
действительными коэффициентами на шестимерное арифметическое векторное пространство:
R , , , 0,   R . Имеем:
6
a1  1  f  a1   1,0,0,0,0,0  , a2  x  1  f  a2   1,1,0,0,0,0  ,
a3  x 2  1  f  a3   1,0,1,0,0,0  , a4  x3  1  f  a4   1,0,0,1,0,0  ,
a5  x 4  1  f  a5   1,0,0,0,1,0  , a6  x5  1  f  a6   1,0,0,0,0,1.
По свойству 3 изоморфизма система f  a1  ,..., f  a6  - базис пространства
R , , , 0,   R .
6
b  x5  x4  x3  x2  x  1, тогда f  b   1, 1, 1,1, 1,1 . Разложим вектор
f  b  по базису: f  a1  ,..., f  a6  :
f  b   1 f  a1   2 f  a2   ...  6 f  a6  . Это равенство равносильно системе
с матрицей:
 1 1 1 1 1 1 1  1  2  3  4  5  6  1
 0 1 0 0 0 0 1 2  1


0 0 1 0 0 0 1 3  1
A

 0 0 0 1 0 0 1  4  1
 0 0 0 0 1 0 1 5  1
 0 0 0 0 0 1 1    1
.

  6
77
Замечание: в первом столбце матрицы А расположены координаты вектора
f  a1  , во втором – координаты вектора f  a2  , ….. , в шестом - координаты
вектора f  a6  , в седьмом – координаты вектора f  b  .
Получили, что:
f  b   2 f  a1   1  f  a2   1  f  a3   1  f  a4   1  f  a5   1  f  a6  . Так как f -
изоморфизм, то последнее равенство равносильно равенству:
b  2a1  a2  a3  a4  a5  a6 , т.е.

 
 

x5  x 4  x3  x 2  x  1  2  1  1 x  1  1  x 2  1  1  x3  1  1  x 4  1 


1  x  1 .
5
Задача №6. Показать, что в пространстве:
R2 , , , 0,  R
скалярное произведение можно задать формулой:
def
a  b  2a1b1  5a2b2 для любых векторов a   a1, a2  ; b   b1, b2  ; a, b  R2 .
Для решения задачи нужно проверить два свойства скалярного умножения. Пусть c   c1, c2   R2 .
a  b  2a1b1  5a2b2
b  a  2b1a1  5b2a2
 a b  ba .
Для любых  ,  R ,имеем:
 a   b  c    a  c     b  c    a1   b1, a2   b2  c1, c2   2  a1   b1  
c1  5  a2   b2   c2    2a1c1  5a2c2     2b1c1  5b2c2     a  c     b  c .
ледовательно, скалярное произведение можно задать такой формулой.
Задача №7. Применяя процесс ортогонализации, построить ортогональный базис пространства:
L  x1, x2 , x3 , x4  , ãäå x1   2,3, 4, 6  , x2  1,8, 2, 16  , x3  12,5, 14,5  ,
x4   3,11,4, 7  .
Выберем какой-нибудь базис этого пространства.
78
С
2
1
rank 
12
3

3
8
5
11
1
0
 rank 
0
0

4
2
14
4
8
13
0
0
6 
1
0
16 
  rank 
5 
0
0
7 

2
0
10
0
8
13
91
13
2
0
10
10
16 
1
0
26 
  rank 
197 
0
0
41 

8
13
0
0
2
0
10
10
16 
26 

15 
15 
16 
26 
3 .
15 
0 
Следовательно, x1, x2 , x3 - базис.
Применим к базису процесс ортогонализации.
b1  x1   2,3, 4, 6  , b2  x2  1b1 ; 1 находится из условия ортогональности
векторов b1, b2 .
x b 2  24  8  96
b2  b1  0   x2  1b1   b1  0  x2b1  1b1b1  0  1  2 1 

b1b1 4  9  16  36 Т
130

 2.
65
огда, b2  x2  2x1  1,8, 2, 16    4,6, 8, 12    3,2,6,4  . Для проверки результата нужно вычислить скалярное произведение векторов b1 è b2 .
b1  b2  6  6  24  24  0 , значит, векторы b1, b2 - ортогональны.
b3  x3  1 ' b1  2b2 . Скаляры 1 ', 2 находятся из условия ортогональности
векторов b3 è b1 ; b3 è b2 .
b3  b1  0   x3  1 ' b1  2b2  b1  0  x3b1  1 ' b1  b1  2b2  b1  0 
 1 ' 
x3  b1 24  15  56  30 65


 1.
b1  b1
65
65
b3  b2  0   x3  1 ' b1  2b2  b2  0  x3b2  1 ' b1  b2  2b2  b2  0 
 2 
x3  b2 36  10  84  20

 2.
b2  b2
9  4  36  16
Тогда, b3  12,5, 14,5   2,3, 4, 6    6,4,12, 8    4,6,2,3 .
b1  b3   4,6,2,3   2,3, 4, 6   8  18  8  18  0 ,
Проверка.
b1  b3 . Аналогично b2  b3  0  b2  b3 .
Построили ортогональный базис b1, b2 , b3 .
79
значит
Задача №8. Построить ортонормированный базис пространства L1 ,
натянутого на следующую систему векторов пространства
x1   2,1,3, 1, x2  7,4,3, 3 , x3  1,1, 6,0 , x4  5,7,7,8  .
Найдем сначала базис пространства L1 :
 2 1 3 1 
 1 1 6 0 
 1 1 6 0 
 7 4 3 3 
 2 1 3 1 
 0 1 15 1 
rank 
  rank 
  rank 

 1 1 6 0 
 7 4 3 3 
 0 3 45 3 
5 7 7 8 
5 7 7 8 
 0 2 37 8 






1
0
 rank 
0
0

1
1
0
0
6
15
0
67
R4 :
0
1
  3.
0
6 
Следовательно, x1, x3 , x4 - базис.
Применяя процесс ортогонализации к найденному базису, получим ортогональный базис.
b1  x1   2,1,3, 1 , b2  x3  1b1 . Вычислим 1 , используя ортогональность векторов b1 è b2 .
x  b 1,1, 6,0    2,1,3, 1 15
b1  b2  b1  b2  0  1  3 1 

 1 .
b1  b1
4 1 9 1
15
Тогда, b2  1,1, 6,0    2,1,3, 1   3,2, 3, 1 .
b3  x4  1 ' b1  2b2 , вычислим 1 ' , используя ортогональность векторов
b1 è b3 .
x  b  5,7,7,8   2,1,3, 1
b3  b1  b3  b1  0  1 '  4 1 
 2.
b1  b1
15
Вычислим 2 , используя ортогональность векторов b2 è b3 .
x b
2  4 2  0 .
b2  b2
Тогда, b3   5,7,7,8  2   2,1,3, 1  1,5,1,10  .
Для проверки вычислим скалярные произведения: b3  b1  0 , b3  b2  0 .
Построим ортонормированный базис:
80
a1 
b1
b1
b
1
3
1 
 2

 1 
,
,
,
;
|| b1 ||
b1  b1
15  15 15 15 15 
a2 
b2
b2
b
2
3 1 
 3

 2 
,
,
,
;
|| b2 ||
b2  b2
23  23 23 23 23 
a3 
b3
5
1
10 
 1

,
,
,
.
|| b3 ||  27 27 27 27 
Ответ: b1, b2 , b3 - ортогональный базис,
a1, a2 , a3 - ортонормированный базис.
Глава 5. Линейные операторы.
п. 1. Определение линейного оператора.
Задача №1. Пусть
f
 . Является ли
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
1.6.
1.7.
x V
x V
x V
x V
x V
x V
x V
– векторное пространство;
f линейным оператором, если:
( f ( x)  a , где a V , a фиксировано);
( f ( x )  x  a , где a V , a фиксировано);
(  P) ( f ( x )  x ) ;
( f ( x )  xa , где a V , a фиксировано);
( f ( x)  ax  x , где a V , a фиксировано);
( f ( x )  ax  a , где a V , a фиксировано);
( f ( x)  x 2 ).
Решение: Для решения задачи нужно показать, что выполнены два условия
линейного оператора: 1) f ( x  y)  f ( x)  f ( y) , 2) f (x )  f ( x ) .
1.1. Проверим, что f ( x  y)  f ( x)  f ( y)
Имеем
f ( x  y)  a

  f ( x  y)  f ( x )  f ( y) , при a  0 ,
f ( x )  f ( y)  a  a  2a 
Значит, f не является линейным оператором при ( f ( x)  xa ; f – линейный оператор, если a V .
1.2. Проверим, что f ( x  y)  f ( x)  f ( y)
Имеем
f ( x  y)  x  y  a

  f ( x  y)  f ( x)  f ( y) .
f ( x )  f ( y )  ( x  a )  ( y  a )  x  y  2a 
Значит, f не является линейным оператором при a  0 ; f – линейный оператор, если a  0 .
81
1.3. Проверим, что f ( x  y)  f ( x)  f ( y)
Имеем
f ( x  y)   ( x  y)  x  y 
  f ( x  y)  f ( x)  f ( y) .
f ( x )  f ( y)  x  y

Проверим, что f (1 x )  1 f ( x )
f (1 x )   (1 x )  1 x 
  f (1 x )  1 f ( x ) .
1 f ( x )  1 (x )  1 x 
Значит, f – линейный оператор.
1.4. Проверим, что f ( x  y)  f ( x)  f ( y)
f ( x  y)  ( x  y)a  xa  ya 
  f ( x  y)  f ( x)  f ( y) .
f ( x )  f ( y)  xa  ya

Проверим, что f (x )  f ( x )
f (x )  (x )a   ( xa)
  f (x )  f ( x ) .
f ( x )   ( xa)

Значит, f – линейный оператор.

Задача №2. Пусть f : R 3  R 3 , x  ( x1 , x2 , x3 ) . Является ли f линейным
оператором, если:
def
2.1. f ( x )  ( x1 , x2 , x32 ) ;
def
2.2. f ( x )  ( x3 , x1 , x2 ) ;
def
2.3. f ( x )  ( x3 , x1 , x2  1) ;
def
2.4. f ( x )  ( x1  2 x2  3x3 ,3x1  x2  3x3 ,2 x1  3x2  3x3 ) ;
def
2.5. f ( x )  ( x2  x3 ,2 x1  x3 ,3x1  x2  x3 ) ;
def
2.6. f ( x )  ( x1 , x2  1, x3  2) ;
def
2.8. f ( x )  ( x1  x2  x3 , x3 , x2 ) .
Решение примера 2.1.: Проверим, что f ( x  y)  f ( x)  f ( y)
Имеем
f ( x  y )  ( x1  y1 , x2  y 2 , ( x3  y3 ) 2 )


f ( x )  f ( y )  ( x1 , x2 , x32 )  ( y1 , y 2 , y 23 )  ( x1  y1 , x2  y 2 , x32  y32 )
 f ( x  y)  f ( x)  f ( y)
Значит, f не является линейным оператором.
82
Решение примера 2.2.: 1). Проверим, что f ( x  y)  f ( x)  f ( y)
f ( x  y )  ( x3  y3 , x1  y 1 , x2  y 2 )


f ( x )  f ( y )  ( x3 , x1 , x2 )  ( y3 , y1 , y 2 )  ( x3  y3 , x1  y1 , x2  y 2 )
 f ( x  y)  f ( x)  f ( y)
2). Проверим, что f (x )  f ( x ) , имеем:
f (x )  (x3 , x1 , x2 )

  f ( x )   f ( x )
f ( x )   ( x3 , x1 , x2 )  (x3 , x1 , x2 )
Значит, f – линейный оператор.
Решение примера 2.3.: Проверим, что f ( x  y)  f ( x)  f ( y) , имеем:
f ( x  y )  ( x3  y3 , x1  y1 , x2  y 2  1)


f ( x )  f ( y )  ( x3 , x1 , x2  1)  ( y3 , y1 , y 2  1)  ( x3  y3 , x1  y1 , x2  y 2  2)
 f ( x  y)  f ( x)  f ( y)
Значит, f не является линейным оператором.
Решение примера 2.4.: 1). Проверим, что f ( x  y)  f ( x)  f ( y) , имеем:
( x  y )  ( x1  y1 , x2  y 2 , x3  y3 )
f ( x  y )  ( x1  y1  2( x2  y 2 )  3( x3  y3 ),3( x1  y1 )  ( x2  y 2 )  3( x3  y3 ),
2( x1  y1 )  3( x2  y 2 )  3( x3  y 3 ))  ( x1  y1  2 x2  2 y 2  3x3  3 y3 ,3x1  3 y1
 x2  y 2  3x3  3 y3 ,2 x1  2 y1  3x2  3 y 2  3x3  3 y3 )
f ( x )  f ( y )  ( x1  2 x2  3x3 ,3x1  x2  3x3 ,2 x1  3x2  3x3 )  ( y1  2 y 2  3 y3 ,
3 y1  y 2  3 y3 ,2 y1  3 y 2  3 y3 )  ( x1  y1  2 x2  2 y 2  3x3  3 y3 ,3x1  3 y1 
x2  y 2  3x3  3 y3 ,2 x1  2 y1  3x2  3 y 2  3x3  3 y3 )
Таким образом f ( x  y)  f ( x)  f ( y) .
2). Проверим, что f (x )  f ( x ) , имеем:
f (x )  (x1  2x2  3x3 ,3x1  x2  3x3 ,2x1  3x2  3x3 )
f ( x )  ( ( x1  2 x2  3x3 ),  (3x1  x2  3x3 ),  (2 x1  3x2  3x3 )) 
(x1  2x2  3x3 ,3x1  x2  3x3 ,2x1  3x2  3x3 )
Таким образом f (x )  f ( x ) ,
Значит, f – линейный оператор.

п. 2. Дефект и ранг линейного оператора.
Задача №3. Для указанных линейных операторов определить ранг и дефект.
Построить базисы ядра и образа.
x  ( x1 , x2 , x3 )  R 3 .
def
3.1. f ( x )  ( x1  x2  x3 , x1  x2  x3 , x1  x2  x3 ) ;
83
3.2.
3.3.
3.4.
3.5.
3.6.
def
f ( x )  (2 x1  x2  x3 , x1  2 x2  x3 , x1  x2  2 x3 ) ;
def
f ( x )  ( x1  x2  x3 , x1  x2  x3 , x1  x2  x3 ) ;
def
f ( x )  (2 x1  x2 , x1  x3 , x32 ) ;
def
f ( x )  (2 x1  3x2  3 x3 , x1  2 x2  3x3 ,3x1  x2  2 x3 ) ;
def
f ( x )  ( x1  x2  2 x3 ,2 x1  2 x2  4 x3 , x1  x2  2 x3 ) .
Решение примера 3.1.:
Ker f  a | f (a )  0
f ( x )  0  ( x1  x2  x3 , x1  x2  x3 , x1  x2  x3 )  (0,0,0) 
 x1  x2  x3  0

  x1  x2  x3  0  x1  x2  x3  0
x  x  x  0
2
3
 1
Найдем фундаментальную систему решений этой системы:
x1 – главная переменная,
x2 , x3 – свободные переменные,
x  1
Пусть 2   x1  1  S 1  (-1,1,0)   1 ,
x3  0 
x 2  0
  x1  1  S 2  (1,0,1)  1 ,
x3  1 
векторы (1,1,0) и (1,0,1) – фундаментальная система решений, тогда
Kerf  (1,1,0), (1,0,1)
Ker f  ((1,1,0), (1,0,1),,,0,   |   P)
дефектf  dim Kerf
дефектf  рангf  dimV , V  R 3
рангf  dim R 3  дефектf  3  2  1
Базис ядра:   (1,1,0) ,   (1,0,1) 
Дополним  до базиса пространства:
0
  1 1 0  w(1)
  1 1 0
1 1






rank  1 0 1 
 rank 0  1 1  w(1)  rank 0  1 1   3
  1 0 0
 0  1 0
0
0  1





(третью строчку написали сами так чтобы rank  3 ).
Тогда   (1,0,0) , значит  ,  ,  – базис V , тогда f ( ) – базис Ymf – базис
образа оператора f .
Пусть
84
f ( )  (1,1,1) (чтобы посчитать нужно координаты  подставить в f ( x ) )
 1,1,1) – базис Ymf .

п. 3. Матрица линейного оператора.
Задача №4. Оператор f действует в пространстве ( R 3 ,,,0, |   R) . f
переводит линейно независимые векторы a 1 , a 2 , a 3 в векторы b1 , b2 , b3 , где
4.1. a 1  (5,3,1) , a 2  (1,3,2) , a 3  (1,2,1) ,
b1  (2,1,0) , b2  (1,3,0) , b3  (2,3,0) .
4.2. a 1  (0,0,1) , a 2  (0,1,1) , a 3  (1,1,1) ,
b1  (2,3,5) , b2  (1,0,0) , b3  (0,1,1) .
Найти матрицу оператора в базисе:
а). a 1 , a 2 , a 3 ;
б). e 1 , e 2 , e 3 .
Решение примера 4.1.: а). f переводит линейно независимые векторы
a 1 , a 2 , a 3 в векторы b1 , b2 , b3 , это значит, что:
f (a 1 )  b1
f (a 2 )  b2 ()
f ( a 3 )  b3
b1 , b2 , b3 разложим по базису a 1 , a 2 , a 3 :
b1  1a 1  2 a 2  3 a 3 – это равносильно системе с расширенной матрицей
5 1 1  2


3  3 2 1 
1  2 1 0 


b2  1a1  2a 2  3a 3 – это равносильно системе с расширенной матрицей
 5 1 1  1


3  3 2 3 
1  2 1 0 


b3  1a1  2a 2  3a 3 – это равносильно системе с расширенной матрицей
5 1 1  2


 3  3 2  3
1  2 1 0 


Чтобы уменьшить вычисления, объединим эти матрицы в одну:
85
 5 1 1  2  1  2   1  2 1 0 0 0  w(3), (5)


3

3
2
1
3

3
~

 ~ 3  3 2 1 3  3


1  2 1 0 0 0  5 1 1  2  1  2

 

1  2 1 0 0 0 
1  2 1 0 0 0 




~  0 3  1 1 3  3  w(4) ~  0 3  1 1 3  3 
~




 0 11  4  2  1  2 
 0  1 0  6  13 10  w(3)
1  2 1 0 0 0 


~  0 0  1  17  36 27 


0

1
0

6

13
10


1  5

1)   2  6
  17
 3
b1  5a1  6a 2  17a 3 ;
1  22  3  0
1  10


2)   3  36   2  13
     13
    36
2

 3
b2  10a1  13a 2  36a 3 ;
1  22  33  0
 1  7


 3  27
  2  10
3) 

   27
 2  10

 3
b3  7a1  10a 2  27a 3 ;
f (a1 )  b1  5a1  6a 2  17a 3  f (a1 )  (5,6,17) ;
f (a 2 )  b2  10a1  13a 2  36a 3  f (a1 )  (10,13,36) ;
f (a 3 )  b3  7a1  10a 2  27a 3  f (a1 )  (7,10,27) ;
7 
  5  10


M(f )   6
13  10  в базисе a 1 , a 2 , a 3 .
 17 36  27 


86
б). e1  (1,0,0) ; e 2  (0,1,0) ; e 3  (0,0,1) .
Найдем матрицу M ( f ) в этом базисе. Поскольку f (e1 ) , f (e 2 ) , f (e 3 ) мы не
знаем, то разложим векторы e 1 , e 2 , e 3 по базису a 1 , a 2 , a 3 :
e 1  1a 1  2 a 2  3 a 3 ;
e 2  1a 1  2a 2  3a 3 ;
e 3  1a 1  2a 2  3a 3 .
5 1 1 1 0 0
 0 11  4 1 0  5 




3  3 2 0 1 0
~  0 3  1 0 1  3  w(4) ~




1

2
1
0
0
1
w
(

5
),
(

3
)
1

2
1
0
0
1




 0  1 0 1  4 7  w3  0  1 0 1  4 7 




~  0 3  1 0 1  3  ~  0 0  1 3  11 18 




1

2
1
0
0
1
1

2
1
0
0
1




Тогда
 2  1

2  1


 3  3
 3  3  e1  a1  a 2  3a 3 ;
1) 
  2    0    1
2
3
 1
 1
 2  4
  2  4


2)   3  11   3  11  e 2  3a1  4a 2  11a 3 ;
   2      0    3
2
3
 1
 13
 2  7

 2  7


 3  18  e 3  5a1  7a 2  18a 3 ;
3)   3  18
   2      1     5
2
3
 1
 1
f (e1 )  f (a1  a 2  3a 3 )  f (a1 )  f (a 2 )  3 f (a 3 )  b1  b2  3b3  (5,7,0) 
 5e1  7e 2  0e 3 ;
f (e 2 )  f (3a1  4a 2  11a 3 )  3 f (a1 )  4 f (a 2 )  11 f (a 3 )  3b1  4b2  11b3 
 (20,24,0)  20e1  24e 2  0e 3 ;
f (e 3 )  f (5a1  7a 2  18a 3 )  5 f (a1 )  7 f (a 2 )  18 f (a 3 )  5b1  7b2  18b3 
 (33,38,0)  33e1  38e 2  0e 3 ;
87
 5  20 33 


M ( f )   7  24 38  в базисе e 1 , e 2 , e 3 .
0
0
0 


Задача №5. В пространстве квадратных матриц порядка 2 фиксирован базис,
состоящий из матриц:
1 0
0 1
 0 0
 0 0
 , e 2  
 , e3  
 , e 4  
 ,
e1  
0
0
0
0
1
0
0
1








найти в этом базисе:
5.1. Матрицу оператора транспонирования A , где
a12   a11 a 21 
a
  
 ;
A 11
 a 21 a 22   a12 a 22 
5.2. Матрицу оператора A , где
x12   a11 a12  x11 x12  b11 b12 
x
  


 ;
A 11
 x 21 x 22   a 21 a 22  x 21 x 22  b21 b22 
5.3. Матрицу оператора A , где
x12   a11 a12  x11 x12 
x
  

 ;
A 11
x
x
a
a
x
x
 21
 21
22 
22  21
22 
5.4. Матрицу оператора A , где
x12   a11 a21  x11 x12 
x
  

 .
A 11
x
x
a
a
x
x
 21
 12
22 
22  21
22 
Решение примера 5.1.:
 1 0
 ,
A(e1 )  
 0 0
1 0
 или
A(e 4 )  
0
0


A(e1 )  1  e1  0  e 2  0  e 3  0  e 4 ,
A(e 2 )  0  e1  0  e 2  1  e 3  0  e 4 ,
A(e 3 )  0  e1  1  e 2  0  e 3  0  e 4 ,
A(e 4 )  0  e1  0  e 2  0  e 3  1  e 4 .
1

0
M ( A)  
0

0
0 0 0

0 1 0
.
1 0 0

0 0 1  e 1 , e 2 , e 3 , e 4
Решение примера 5.2:
88
1 0
 ,
A(e 2 )  
 0 0
1 0
 ,
A(e 3 )  
 0 0
a
Ae1    11
 a 21
a12  1 0  b11 b12   a11



a 22  0 0  b21 b22   a 21
0  b11 b12   a11b11


0  b21 b22   a 21b21
a11b12 

a 21b22 
 1 0
 0 1
 0 0
 0 0
  a11b21 
  a21b11 
  a21b12 
 
 a11b11 
0
0
0
0
1
0
0
1








 a11b11e1  a11b21e 2  a 21b11e 3  a 21b12 e 4 ,
a
A(e 2 )   11
 a 21
a12  0 1  b11 b12   0 a11  b11 b12   a11b21





a 22  0 0  b21 b22   0 a 21  b21 b22   a 21b21
a11b22 

a 21b22 
 a11b21e1  a11b22 e 2  a 21b21e 3  a 21b22 e 4 ,
a
A(e 3 )   11
 a 21
a12  0 0  b11 b12   a12



a 22  1 0  b21 b22   a 22
0  b11 b12   a12 b11


0  b21 b22   a 22 b11
a12 b12 

a 22 b12 
 a12 b11e1  a12 b12 e 2  a 22 b11e 3  a 22 b12 e 4 ,
a
A(e 3 )   11
 a 21
a12  0 0  b11 b12   0 a12  b11




a 22  0 1  b21 b22   0 a 22  b21
b12   a12 b21

b22   a 22 b21
a12 b22 

a 22 b22 
 a12 b21e1  a12 b22 e 2  a 22 b21e 3  a 22 b22 e 4 ,
 a11b11 a11b21 a12 b11 a12 b21 


a
b
a
b
a
b
a
b

11 22
12 12
12 22 
M ( A)   11 12
.
a 21b11 a 21b21 a 22 b11 a 22 b21 


 a 21b12 a 21b22 a 22 b12 a 22 b22  e 1 , e 2 , e 3 , e 4
п. 4. Действия с линейными операторами.

Задача №6.1. Оператор A в базисе a1  (1,2) , a 2  (2,3) имеет матрицу
 3 5

. Оператор B в базисе b1  (3,1) , b2  (4,2) имеет матриM ( A)  
a
,
a
4
3

 1 2
 4 6
цу M ( B)  
. Найти матрицу оператора ( A  B)

b
,
b
6
9

 1 2
6.1.1. в базисе b1 , b2 ;
6.1.2. в базисе a 1 , a 2 ;
Задача №6.2. Оператор A в базисе a1  (3,7) , a 2  (1,2) имеет матрицу
89
 2  1
. Оператор B в базисе b1  (6,7) , b2  (5,6) имеет

M ( A)  
 5  3  a1 , a 2
 1 3
матрицу M ( B)  
. Найти матрицу оператора ( A  B)

 2 7  b1 , b2
6.2.1. в базисе b1 , b2 ;
6.2.2. в базисе a 1 , a 2 ;
Задача №6.3. Оператор A в базисе a1  ( 2,1) , a 2  (1,1) имеет матрицу
 3 5
. Оператор B в базисе b1  (5,2) , b2  (1,0) имеет матрицу

M ( A)  
a
,
a
2
3

 1 2
 7,5 3,5 
. Найти матрицу оператора ( A  B)

M ( B)  
 4,5 1,5  b1 , b2
6.3.1. в базисе b1 , b2 ;
6.3.2. в базисе a 1 , a 2 ;
Решение примера 6.1.(I способ):
M ( A  B)
 M ( A)
 M ( B)
.
b1 , b 2
b1 , b 2
b1 , b 2
Вычислим M (A) в базисе b1 , b2 по определению матрицы оператора:
разложим векторы b1 , b2 по базису a 1 , a 2 :
 1 2 3 4  w(2)  1 2 3 4 
b1  1a1  2 a 2


 
~ 


b2  1a1  2a 2
2
3
1
2
0

1

5

6




1  22  3 1  7

 b1  7a1  5a 2 ,

  2  5
 2  5
1  2 2  4 1  8

 b2  8a1  6a 2 .







6


6

 2
2
A(b1 )  A(7a1  5a 2 )  7 A(a1 )  5 A(a 2 )  7(3a1  4a 2 )  5(5a1  3a 2 ) 
 4a1  13a 2  4(1,2)  13(2,3)  (22,31) ,
A(b1 )  A(8a1  6a 2 )  8 A(a1 )  6 A(a 2 )  8(3a1  4a 2 )  6(5a1  3a 2 ) 
 6a1  14a 2  6(1,2)  14(2,3)  (22,30) .
Разложим векторы A(b1 ) , A(b2 ) по базису b1 , b2 :
 3 4  22  22 
 0  2 71 68 
A(b1 )  1b1   2 b2



 
~
 w(3)  0 2  31  30  .
A(b2 )  1b1   2 b2
1
2

31

30




90
71

  2 2  71
71
 2  


2  A(b1 )  40b1  b2 ,
2
1  2 2  31 
 1  40
  2 2  68
 2  34

 A(b2 )  38b1  34b2 ,








2


30


38
 1
 1
2
71
A(b1 )  40b1  b2 , A(b2 )  38b1  34b2 .
2
38 
 40

,
71
M ( A)

 34 
b1 , b2  
 2

M ( A  B)
38   4 6   44
 40

   59
  71



34
b1 , b2 
 6 9  
 2
 2

44 
.
 25 

(II способ): M ( A  B)
 M ( A)
 M ( B)
,
b1 , b 2
b1 , b 2
b1 , b 2
Вычислим M (A) в базисе b1 , b2 :
M ( A)
 T  1  M ( A)
 T , где T – матрица перехода от базиса
b1 , b2
a1 , a 2
(1) a 1 , a 2 к базису ( 2) b1 , b2 .
Разложим векторы базиса ( 2) по векторам базиса (1) . Имеем (из I способа
решения этой задачи):
b1  7a1  5a 2 ,
b2  8a1  6a 2 .
  7  8
Тогда T  
 , | T | 2 ,
5
6


T
1
8    3  4 
1  T11 T21 
1 6
7 ,

   
 5


| T |  T12 T22 
2   5  7  
 2
2 
  3  4  3 5   7  8    25  27   7  8 

7 

   43

 5
23
b1 , b2 
 4 3  5
 5
6  
6 
 2
 2

2 
38 
 40

,
71

 34 

 2

M ( A)
91
 44
M ( A  B)
  59
b1 , b2  
 2
44 
.
 25 

п. 5. Матрица перехода.
Задача №7. Даны два базиса. Найти матрицу перехода от базиса (1) к базису
( 2) .:
7.1. a1  (3,7) , a 2  (1,2) (1) ,
b1  (6,7) , b2  (5,6) ( 2) ;
7.2. a1  (1,2,1) , a 2  (2,3,3) , a3  (3,7,1) (1) ,
b1  (3,1,4) , b2  (5,2,1) , b3  (1,1,6) ( 2) ;
7.3. 1, x, x 2 , x 3 (1) ,
1, ( x  1), ( x  1) 2 , ( x  1)3 ( 2) ;
7.4. e1  (1,0,0) , e 2  (0,1,0) , e3  (0,0,1) (1) ,
e1  (1,1,0) , e 2  (0,1,1) , e3  (1,0,1) ( 2) ;
Решение примера 7.1.: разложим векторы базиса ( 2) по векторам базиса (1) :
b1  1a1   2 a 2 ,
b2  1a1  2a 2 .
  3 1 6  5  w(2)   3 1 6  5 
 0 1 21  17 






~
~
 7 27 6 
 1 0 5  4  w(3)  1 0 5  4 






2  21
 b1  5a1  21a 2 ,



5
 1
2  17
 b2  4a1  17 a 2 ,





4
 1
 5 4 
Тогда T  
 .
 21  17 
Задача №8. Оператор A в базисе a 1 , a 2 имеет матрицу M ( A)
матрицу этого оператора в базисе b1 , b2 . Если M ( A)
торов имеют вид:
 2  1
,
 
a1 , a 2  5  3 
a1  (3,7) , a 2  (1,2) , b1  (6,7) , b2  (5,6) ;
8.1. M ( A)
92
a1 , a 2
. Найти
a1 , a 2
и координаты век-
 3 5
,
 
a1 , a 2  4 3 
a1  (1,2) , a 2  ( 2,3) , b1  (3,1) , b2  ( 4,2) ;
 3 5
8.3. M ( A)
,
 
a1 , a 2  2 3 
a1  ( 2,1) , a 2  (1,1) , b1  (5,2) , b2  (1,0) .
8.2. M ( A)
Решение примера 8.1.:
M ( A)
 T  1  M ( A)
T
b1 , b2
a1 , a 2
1  T11 T21 

.
T 1 
| T |  T12 T22 
 5 4 
Из задачи №7 имеем T  
 ,
21

17


5 4
det T | T |
 5  (17)  4  21  1 ,
21  17
 T11 T21    17 4 

  
 ,
 T12 T22    21 5 
  17 4  17  4 
  
 ,
T 1  1  

21
5
21

5

 

M ( A)
17  4  2  3  5  4  14  5  5  4 





 
b1 , b2  21  5  5  1  21  17  17  6  21  17 
  35 29 
 .
 
  41 34 

Задача №9.1. Линейный оператор A в базисе e 1 , e 2 , e 3 имеет матрицу
 15  11 5 


M ( A)
  20  15 8  . Найти его матрицу в базисе
e1 , e 2 , e 3 

 8  7 6
v1  2e1  3e 2  e3 ,
v 2  3e1  4e 2  e3 ,
v 3  e1  2e 2  2e3 .
Задача №9.2. Линейный оператор A в базисе e1 , e 2 , e 3 , e 4 имеет матрицу
93
1 2

3 0
M ( A)

e1 , e 2 , e 3 , e4
2 5

1 2
9.2.1. v1  e1 ,
v 2  e1  e 2 ,
v 3  e1  e 2  e3 ,
v 4  e1  e 2  e3  e 4 ;
0 1

 1 2
. Найти его матрицу в базисе:
3 1

1 3 
9.2.2. v1  2e1  e 2  e3  e 4 ,
v 2  3e1  2e 2  e3  e 4 ,
v 3  4e1  3e 2  2e3  e 4 ,
v 4  5e1  4e 2  3e3  2e 4 ;
9.2.3. v1  2e1  e 2  2e3  3e 4 ,
v 2  3e1  2e 2  2e3  2e 4 ,
v 3  2e1  2e3  2e 4 ,
v 4  2e1  e 2  e3  2e 4 ;
9.2.4. v1  2e1  3e 2  4e3  5e 4 ,
v 2  3e1  3e 2  4e3  5e 4 ,
v 3  4e1  4e 2  3e3  5e 4 ,
v 4  5e1  5e 2  5e3  5e 4 ;
Решение примера 9.1.:
M ( A)
 T 1  M ( A)
T .
v1 , v 2 , v 3
e1 , e 2 , e 3
Имеем:
2 3 1


T   3 4 2  – матрица перехода от базиса e 1 , e 2 , e 3 к базису v 1 , v 2 , v 3 .
1 1 2


| T | 2  6  3  4  1  (1)  12  12  1  1,
 6 5 2    6 5  2

 

T 1  1    4 3  1   4  3 1  ,
  1 1  1  1  1 1 

 

94
  6 5  2  15  11 5  2 3 1 




M ( A)
  4  3 1  20  15 8  3 4 2  
v1 , v 2 , v 3 



 1  1 1  8  7 6  1 1 2 
  6 5  2  2 3 1   1 0 0 


 

  8  6 2  3 4 2    0 2 0  .
 3  3 3  1 1 2   0 0 3 


 


в базисе (1) : a1  (8,6,7) ,
 1  18 15 


a 2  (16,7,13) , a 3  (9,3,7) имеет матрицу   1  22 20  . Найти его
 1  25 22 


матрицу в базисе ( 2) b1  (1,2,1) , b2  (3,1,2) , b3  (2,1,2) .
Задача №10.1. Линейный оператор
A
10.2. Линейный оператор A в базисе (1) : e 1 , e 2 , e 3 имеет матрицу
 15  11 5 


20

15
8

 . Найти его матрицу в базисе ( 2) f1  2e1  3e 2  e3 ,
 8  7 6


f 2  3e1  4e 2  e3 , f 3  e1  2e 2  2e3 .
10.3. Линейный оператор A в базисе (1) : e1 , e 2 , e 3 , e 4 имеет матрицу
1 2 0 1


 3 0  1 2
 2 5 3 1  . Найти его матрицу в базисе ( 2) :


1
2
1
3


10.3.1. e1 , e 3 , e 2 , e 4 ;
10.3.2. e1 , e1  e 2 , e1  e 2  e3 , e1  e 2  e3  e 4 .
Решение примера 10.1:
M ( A)
 T 1  M ( A)
T
b1 , b2 , b3
a1 , a 2 , a 3
Найдем матрицу перехода T :
b1  1a1  2 a 2  3 a3
b2  1a1  2a 2  3a3
b3  1a1  2a 2  3a3
95
 8  16 9 1 3 2 
 8  16 9 1 3 2 




 6 7
 3  2  1 1  w(1) ~   6 7
 3  2 1 1 ~




7

13
7
1
2
2
1

6
4

1
1
3



w
 0 32  23 9  5  22 


~  0  29 21  8 5 19  ,


4  1 1 3 
1  6

1  6 2 43  1
 1  6 2 43  1  1  6 2 43  1 

1  23


2 

 292  213  8   292  213  8  
3
 32  23  9
 3  2  1

2
3
2
3


32( 1 (1  23 ))  233  9
 3
 1  1

 2  1  b1 a 1 a 2  a3 ;
  1
 3
1  62  43  1  1  1


 292  213  5  2  2  b2 a 1 2a 2  3a3 ;
 32   23   3     3
2
3

 3
 1  62  43  3
 1  3


 292  213  19  2  5  b3  3a 1 5a 2  6a 3 ;
32   23   22    6
2
3

 3
1 1  3 


T  1 2  5  .
1 3  6 


 T11 T21 T31 


1
Вычислим T 1 
 T12 T22 T32  ,
|T |

 T13 T23 T33 
| T | 1  3  1  (1)  3  1  1,
T11  3 T21  3 T31  1
T12  1 T22  3 T32  2
T13  1 T23  2 T33  1
96
 3  3 1  1  18 15 1 1  3   7  13 7 1 1  3 



 


T 1  1   1  3 2   1  22 20 1 2  5    6  2  1 1 2  5  
 1  2 1  1  25 22 1 3  6   4 1
 3 1 3  6 



 
2 
1 2


  3  1  2.

2  3 1 


Задача №11.1. Оператор A в базисе a1  (3,7) , a 2  (1,2) имеет
 2  1

 . Оператор B в базисе b1  (6,7) , b2  (5,6) имеет
5

3


 1 3
 . Найти матрицу оператора A B в базисе e1 , e 2 .
M ( B)
 
b1 , b2  2 7 
Задача №11.2. Оператор A в базисе a1  (1,2) , a 2  ( 2,3) имеет
 3 5

 . Оператор B в базисе b1  (3,1) , b2  ( 4,2) имеет
4
3


 4 6
 . Найти матрицу оператора A B в базисе e1 , e 2 .
M ( B)
 
b1 , b2  6 9 
Указание: M ( A)
e1 , e 2
 M ( B)
e1 , e 2
 M ( A  B)
e1 , e 2
.
Решение примера 11.1.:
M ( A)
 T 1  M ( A)
T
e1 , e 2
a1 , a 2
  3 1 1 0  w(2)   3 1 1 0 
 0 1 7 3
e1  1a1  2 a 2





 
~
~

 1 0 2 1  w(3)  1 0 2 1 
e 2  1a1  2a 2
7
2
0
1






2  7
 e1  2a1  7a 2 ,

 1  2
2  3
 e 2  a1  3a 2 .




1
 1
 2 1
 ,
T  
 7 3
2 1
det T | T |
 6  7  1 ,
7 3
 3  1   3 1 
  
 .
T 1  1  

7
2
7

2

 

97
матрицу
матрицу
матрицу
матрицу
M ( A)
M ( B)
  3 1  2  1  2 1    1 0  2 1    2  1





.
 
e1 , e 2  7  2  5  3  7 3   4  1 7 3   1
1 
e1 , e 2
 T 1  M ( B)
b1 , b2
T
 6  5 1 0 w  6  5 1 0
 0 1 7 6
e1  1b1   2 b2
 ~



 
~

  1 1 1 1  w(6)   1 1 1 1 
e 2  1b1   2 b2

7
6
0
1






  1   2  1  1  6

 e1  6b1  7b2 ,

 2  7
 2  7
 1   2  1  1  5

 e 2  5b1  6b2 .





6


6

 2
2
 6 5
 ,
T  
7
6


6 5
det T | T |
 36  35  1,
7 6
 6  5  6  5
  
 .
T 1  1  

7
6

7
6

 

M ( B)
 6  5  1 3  6 5    4  17  6 5    143  122 





.
 
e1 , e 2   7 6  2 7  7 6   5
21  7 6   177
151 
M ( A  B)
  2  1  143  122  109 93 


.
 
e1 , e 2  1
1  177
151   34 29 

п. 6. Собственные векторы. Собственные значения.
Задача №12. Найти собственные векторы и собственные значения линейных
операторов, заданных в базисе e 1 , e 2 , e 3 матрицами:
 2 1 2 


  5  3 3 ;
12.1. M ( A)
e1 , e 2 , e 3 

  1 0  2
 0 1 0


   4 4 0 ;
12.2. M ( A)
e1 , e 2 , e 3 

  2 1 2
98
12.3.
12.4.
12.5.
12.6.
 0 1 0


M ( A)
   3 4 0 ;
e1 , e 2 , e 3 

  2 1 2
1  3 4


M ( A)
 4  7 8 ;
e1 , e 2 , e 3 

6  7 7
 7  12 6 


M ( A)
 10  19 10  ;
e1 , e 2 , e 3 

12  24 13 
 1 1 2


M ( A)
  1 2 2;
e1 , e 2 , e 3 

 2 1 0
 3 6 9 


  1  2 3 .
12.7. M ( A)
e1 , e 2 , e 3 

  3 6  9
Решение примера 12.1.: Найдем собственные значения оператора A . Они
являются корнями уравнения E  M (A)  0 
 2
1
2
 0 0   2 1 2 

 

 0  0   5  3 3   0   5   3  3  0 
 0 0     1 0  2
1
0
2

 

 (  2) 
 3
3
0
2
 1
5
3
1
2
2
5  3
1
0
0
 (  2)  (  2)  (  3)  5  (  2)  3  2(  3)  0 
 3  32  4  12  7  13  0  3  32  3  1  0  (  1)3  0 
   1 – собственное значение.
Найдем собственные векторы. Координаты собственных векторов, принадлежащих собственному значению   1, являются ненулевыми решениями
однородной системы линейных уравнений с основной матрицей
(E  M ( A)) , где   1.
1 0 0  2  1 2    3 1  2

 
 

 1  0 1 0   5  3 3     5 2  3 ,
 0 0 1   1 0  2  1 0 1 

 
 

99
  3 x1  x2  2 x3  0

 5 x1  2 x2  3 x3  0 ,

x1  x3  0

  3 1  2
 0 1 1  w(2)  0 1 1 







5
2

3
~
0
2
2
~
0
0
0





,
 1 0 1  w(3,5)  1 0 1 
1 0 1






 x2  x3  0  x1  x3  0
, 
, x1 , x2 – главные переменные, x 3 – свободная пере
x

x

0
x

x

0
 1
3
 2
3
менная.
 x1    x3 
  1
  

 
 x1   x3
, x   x2     x3   x3   1 , где x3  0 , x3  R .

 x 2   x3
x   x 
1
 3  3 
 
  1
 
Собственный вектор x  x3   1 , принадлежит собственному значению
1
 

  1.
Задача № 13. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы
A:
 4  5 2


13.1. A   5  7 3  ;
 6  9 4


 1 3 3 


13.2. A    2  6 13  ;
 1  4 8 


 4  5 7


13.3. A   1  4 9  ;
  4 0 5


 2  1  1


13.4. A   1 1  1 ;
1 1 1 


 2 1 0


13.5. A   0 2 1  ;
 2 1 3


100
1

0
13.6. A  
0

1
3

1
13.7. A  
3

4
0 0 0

0 0 0
;
0 0 0

0 0 1 
1 0 0 

1 0 0 
.
0 5  3

 1 3  1 
Решение примера 13.1.:
Найдем собственные значения
4
5
2
  0 0   4  5 2

 

| E  A | 0   0  0    5  7 3   0   5   7  3  0 
 0 0    6  9 4
6
9
 4

 

 (  4)
 7
3
9
 4
 5
5
3
6  4
 2
5  7
6
9
0
 (2  8  16)  (  7)  27  (  4)  25  (4)  90  90  12  (  7)  0 
 (  7)  (2  8  16  12)  52  (  4)  180  0 
 3  82  16  12  72  56  28  52  208  180  0 
 3  2  0  2  (  1)  0  1  0, 2  1 – собственные значения.
Найдем собственные векторы:
 0
  4 5  2


(E  A)    5 7  3 
  6 9  4


  4 5  2  w(1)   4 5  2 
 0 3 2   0 3 2 





 

~   1 2  1  w(4), (6) ~   1 2  1 ~   1 2  1
  5 7  3
  6 9  4
  6 9  4
 0 1 2   0
0
0 





 
 x1  2 x2  x3  0
, x1 , x2 – главные переменные, x 3 – свободная переменная.

  3 x 2  2 x3  0
101
2

x

x3
2

3 , x  ( x , x x )  ( 1 x , 2 x , x )  x ( 1 , 2 , 1), x  R, x  0 .

1
1
2 3
3
3
3
3
3
3
1
3 3
3 3
 x1  x3
3

 1
1 0 0  4  5 2   3 5  2

 
 

(E  A)   0 1 0    5  7 3     5 8  3 
0 0 1  6  9 4   6 9  3

 
 

  3 5  2  w(2)   3 5  2 
 0  1 1  0  1 1 





 


5
8

3
~
1

2
1
w
(
3
)
~
1

2
1
~
1

2
1





 

  6 9  3
 0 1 1 
 0  1 1  0 0 0 





 

 x1  2 x2  x3  0
, x1 , x2 – главные переменные, x 3 – свободная переменная.


x

x

0

2
3
 x 2  x3
, x 2  ( x1 , x2 x3 )  ( x3 , x3 , x3 )  x3 (1, 1, 1), x 3  R, x3  0 .


 x1  x3
п. 7. Матрица, подобная диагональной.
Задача №14. Подобна ли матрица диагональной? Если да, то найти матрицу
T такую, что T 1  A  T – диагональная матрица.
  1 3  1


14.1. A    3 5  1 ;
 3 3 1 


 6  5  3


14.2. A   3  2  2  ;
2  2 0 


 8 15  36 


14.3. A   8 21  46  ;
 5 12  27 


1
6 
 3


2
6 ;
14.4. A   3
 3  2  7


 6  5  3


14.5. A   3  2  2  ;
2  2 0 


102
1 0 1 


14.6. A   1 2 0  ;
 8 0  1


1 
 2
14.7. A  
 .

5

2


Решение примера 14.1.: Найдем собственные значения и собственные векторы матрицы A :
1
  0 0    1 3  1   1  3

 

E  A   0  0     3 5  1  3
 5
1 
 0 0    3 3 1 
3
 3  1

 

 (  1)  (  5)  (  1)  3  (  1)  3  (3  (  1)  3)  (9  3  (  5)) 
 (3  52    5)  3  3  9  9  9  3  15  9  3  52  8  4 
 (  1)  (2  4  4)  (  1)  (  2) 2 ,
E  A  0  (  1)  (  2) 2  0  1  1, 2  2 .
Найдем собственные векторы, соответствующие собственным значениям
1  1 и  2  2 . В этой задаче нам не нужны все собственные векторы. Нам
нужна хотя бы одна линейно независимая система собственных векторов.
Поэтому находим фундаментальную систему решений.
Найдем собственные векторы, соответствующие собственному значению
  1. Строим основную матрицу:
 2  3 1  w(1)  2  3 1   0  1 1 



 

E  A   3  4 1 
~  1  1 0 ~ 1  1 0 ,
 3  3 0
 3  3 0  0 0 0



 

 x 2  x3  0
, x1 , x2 – главные переменные, x 3 – свободная переменная.

 x1  x2  0
Пусть x3  1  x2  1, x1  1
a1  (1,1,1) – собственный вектор, соответствующий собственному значению
  1.
Найдем собственные векторы, соответствующие собственному значению
  2 . Строим основную матрицу:
 3  3 1 w(1)  3  3 1 




E  A   3  3 1
~  0 0 0 ,
 3  3 1
 0 0 0




3x1  3x2  x3  0 , x1 – главная переменная, x2 , x3 – свободные переменные.
Пусть x2  1, x3  0  x1  1
a 2  (1,1,0) – собственный вектор, соответствующий собственному значению
  2.
103
Пусть x2  0, x3  1  x1  
1
3
1
a3  ( ,0,1) – собственный вектор, соответствующий собственному значе3
нию   2 .
Векторы a 1 , a 2 , a 3 – базис пространства собственных векторов. Значит, матрица A подобна диагональной, так как есть базис.
Найдем матрицу T (ее столбцами являются собственные векторы a 1 , a 2 , a 3 )
1

1 1   1 1  1
3 


T  1 1 0  ~ 1 1 0  .
1 0 1  1 0 3 




Действительно имеем:
1 0 0


1
T  A  T   0 2 0  . На главной диагонали – собственные значения. 
 0 0 2


Задача №15. Выясним, можно ли матрицу A , линейного отображения  ,
вещественного пространства L , привести к диагональному виду путем перехода к новому базису, и, если можно, то найдем этот базис и соответствующую ему диагональную матрицу. Если матрица A :
1 0 2 


15.1. A   1 1  1 ;
0 0 2


 5 0  2


15.2. A   8 1  4  ;
12 0  5 


 4 1  6


15.3. A   4 0  4  ;
 4 0  6


1
1
1 1


1 1  1  1
15.4. A  
;
1  1 1  1


1

1

1
1


104
4

5
15.5. A  
6

1
0

0
15.6. A  
0

1
3
8
 12
3
0 0
0 1
1 0
0 0
1 2

5 4
;
8 5

2 2 
1

0
.
0

0 
Решение примера 15.1.: Находим характеристический многочлен матрицы A :
1 
0
2
A  E  1
1 
 1  3  22    2  (  1)  (  2)  (  1) .
0
0
2
Он имеет три корня 1 , 2 и  1 , т.е. отображение  имеет столько различных
собственных значений из поля R , какова размерность пространства L над
полем R . Следовательно, его матрица приводится к диагональному виду –
элементами ее главной диагонали будут собственные значения 1 , 2 и  1 .
1 0 0 


0 2 0  .
 0 0  1


Для отыскания базиса, нужно найти собственные векторы, отвечающие полученным собственным значениям.
При   1
 1 0 0    1 0 2   2 0  2  2 x1  2 x3  0

 
 
 
(E  A)   0 1 0    1 1  1    1 0 1     x1  x3  0
0 0 1  0 0 2   0 0 1   x  0
3

 
 
 
 2 0  2
0 0 0





1
0
1
w
(
2
)
~

1
0
1



,
 0 0 1
 0 0  1




 x1  x3  0
, где x1 , x3 – главные переменные, x 2 – свободная переменная.

x

0

3
Пусть x2  1  a1  (0,1,0) – собственный вектор, принадлежащий собственному значению   1.
При   2
105
 2 0 0   1 0 2   3 0  2

 
 
  3x1  2 x3  0
(E  A)   0 2 0    1 1  1    1 1 1   
 0 0 2   0 0 2   0 0 0   x1  x2  x3  0

 
 

 3 0  2
 0 3 1




  1 1 1  w(3) ~   1 1 1  ,
0 0 0 
 0 0 0




 3 x 2  x3  0
, где x1 , x2 – главные переменные, x 3 – свободная перемен

x

x

x

0
 1
2
3
ная.
1
2
2 1
Пусть x3  1  x2   , x1   a 2  ( , ,1) – собственный вектор, принад3
3
3 3
лежащий собственному значению   2 .
При
  1
0  1 0 2   0
0  2 
 2 x3  0
1 0

 
 
 
E  A   0  1 0    1 1  1    1  2 1    x1  x3  2 x2  0
0
0  1  0 0 2   0
0  3  
 3 x3  0

0  2  w(3)  0
0  2
0




~ 1  2 1 ,
1  2 1 
0
0  3  w(2)  0
0
0 

 2 x3  0

, где x1 , x3 – главные переменные, x 2 – свободная пере
 x1  2 x2  x3  0
менная.
Пусть x2  1  x1  2  a3  (2,1,0) – собственный вектор, принадлежащий
собственному значению   1.
Все векторы заданы своими координатами в том же базисе, в каком задана
матрица A . Эти векторы и составляют искомый базис.

РАЗДЕЛ 6. Изменения в рабочей программе, которые произошли после
утверждения программы.
Характер
изменений в
программе
Номер и дата
протокола заседания кафедры,
Подпись заведующего кафедрой,
утверждающего
106
Подпись декана факультета (проректора
по учебной работе),
на котором было
принято данное
решение
внесенное изменение
утверждающего данное изменение
РАЗДЕЛ 7. Учебные занятия по дисциплине ведут:
Ф.И.О., ученое звание и степень
преподавателя
Шупова Г.М., ст. преподаватель
Учебный год Факультет
2008-2009
107
СГФ
Специальность
040104.54 Организация работы с молодежью (ЗФО)