Гидравлическое сопротивление в трубопроводах. Расчет диаметра трубопроводов Гидравлическое сопротивление при ламинарном движении Рассмотрим трубопровод круглого сечения длиной L L P1 d P2 z1 z2 0 0 Рис.1 Трубопровод круглого сечения длиной L Решение уравнения Навье-Стокса для ламинарного течения жидкости в трубе круглого сечения приведено в лекции 3, где получен профиль скорости по радиусу трубыуравнение Пуазейля (уравнение 56 в лекции 3): wx P 2 R r2 4L И средняя скорость по поперечному сечению трубы S: w P 2 R 8L (1) Преобразуем уравнение Бернулли для этого случая : z=z1=z2 ; S=const ;w=w1=w2 P1 P 2 hn , g g P1 P2 Pтр hn , тр = То Pтр (2) g есть, на преодоление гидравлического сопротивления трубопровода затрачивается пьезометрический или напор давления жидкости. Выразим величину Pтр из уравнения (1) : P 8wL R2 и подставим ее в выражение (2), заменив радиус R трубы ее диаметром d и умножив числитель и знаменатель на величину средней скорости w: hn , тр = Pтр g 8L w w 64 L w 2 wd gR 2 w d 2g или hn , тр Pтр 64 L w 2 = g Re d 2 g (3) Это уравнение, выражающее гидравлическое сопротивление при ламинарном движении жидкости в трубе круглого поперечного сечения, получено теоретически. В этом уравнении: L/d - геометрическая характеристика канала (геометрический симплекс); 64/Re= - коэффициент гидравлического трения (коэффициент трения) для круглой цилиндрической трубы. Уравнение (3) тогда можно представить: hn , тр = Pтр g L w2 d 2g (4) или Pтр = hn , тр g тр - L w 2 w 2 тр d 2 2 коэффициент сопротивления (5) трению. Определяется критерием Re, шероховатостью стенок, кривизной канала. Для каналов некруглого поперечного сечения =а/Re; для квадратного а=57; для кольцевого а=96. Гидравлическое сопротивление при турбулентном движении При турбулентном течении аналитически получить уравнение для расчета коэффициента трения невозможно, т.к. в этом случае система уравнений Навье-Стокса делается незамкнутой из-за наличия пульсационных составляющих и, следовательно, не имеет решения. Поэтому при турбулентном движении значения коэффициента трения, как функции критерия Re, находят экспериментально, с помощью теории подобия. Т.е. находят конкретный вид уравнения Eu=A RemFrn Г1q1 Г2q2 и отсюда выражают Так, для круглой прямой гладкой трубы при 3∙103<Re>105 0,3164 Re 0, 25 формула Блаузиуса (6) или Eu=0,158 Re-0,25l/d hn , тр = 0,316 L w 2 Rе 0, 25 d 2 (7) Таким образом, при ламинарном течении hn , тр ~ w1, а при турбулентном течении по гладким трубам эта потеря напора в большей степени зависит от скорости hn , тр ~ w1,75 При турбулентном движении коэффицинт трения зависит в общем случае не только от характера движения (Re), но и от шероховатости стенок труб. Шероховатость труб может быть количественно оценена некоторой усредненной величиной абсолютной шероховатости ∆, представляющей собой среднюю высоту выступов шероховатости на внутренней поверхности трубы. Для новых труб: ∆ =0,06-0,1 мм Для бывших в употреблении: ∆ =0,1-0,2 мм Для загрязненных и чугунных труб: ∆ до2 мм Для латунных, медных, свинцовых и стеклянных труб ∆ =0,0015-0,01 мм. Их обычно считают гладкими и определяют коэффициент трения по формуле Блаузиуса. Относительная шероховатость стенок ∆/dср dср - средний внутренний диаметр трубопровода. Определение коэффициента трения для шероховатых труб при турбулентном течении. Экспериментально было установлено, что: 1. Критическое значение числа Re для жидкости, движущейся по шероховатым трубам, остается тем же, что и для гладких - 2320. 2. Коэффициент трения увеличивается с увеличением относительной шероховатости . 3. При больших числах Re величина коэффициента трения приближается к постоянной величине тем быстрее, чем больше шероховатость . Влияние шероховатости на величину определяется соотношением между средней высотой выступов шероховатости ∆ и толщиной вязкого подслоя , движение жидкости в котором практически ламинарное. В некоторой начальной области турбулентного течения толщина вязкого подслоя больше высоты выступов шероховатости ( >∆) и жидкость плавно обтекает эти выступы, т.е. влиянием шероховатости на величину можно пренебречь. Эту область называют областью гладкого трения и коэффициент трения вычисляют по формуле Блаузиуса. При возрастании Re толщина вязкого подслоя уменьшается и, когда она становится сравнимой с абсолютной шероховатостью ( ∆), значение коэффициента трения начинает зависеть от шероховатости. При этом , а, следовательно, и потеря напора на трение возрастает под действием сил инерции, возникающих вследствие дополнительного вихреобразования вокруг выступов шероховатости. Таким образом, с увеличением числа Re область гладкого трения переходит сначала в область смешанного трения, где на коэффициент трения влияют уже и критерий Re, и шероховатость, а затем, в так называемую автомодельную по отношению к Re область. В автомодельной области коэффициент практически не зависит от Re, а определяется лишь шероховатостью. В этой области потери на трение пропорциональны квадрату скорости (поскольку в уравнении hn , тр L w2 коэффициент f (Re), то d 2g hn , тр ~ w2). Поэтому автомодельную область также называют областью квадратичного закона сопротивления. lg Рис.2. Зависимость коэффициента трения от критерия и степени шероховатости 1/ dэ/ ∆; кривые 1,2,3,4 соответствуют 1 > 2 > 3 > 4 I Ламинарный режим, Re< Re1; (Re1 =2320); ~Re-1 I' Переходная область, перемежающейся турбулентности, Re1<Re< Re2; (Re2 =10000); ~Re-1 или ~Re-0,25 II Область смешанного трения. Нижняя прямая - прямая Блаузиуса Re2<Re< Re3; (Re3 =100000); ~Re-0,25 III Область квадратичного закона сопротивления (автомодельная по отношению к Re); Re> Re3); = f ( ), В 1841 году Ж. Пуазейль, исследуя течение крови в венах и капиллярах, показал, что сопротивление жидкости R, текущей в трубе, прямо пропорционально ее вязкости , скорости течения w и обратно пропорционально квадрату диаметра трубы d: R ~ w/d2 Эта формула совпала с формулой Гагена. Примерно в это же время уроженец Дижона А.Дарси (1803-1858) проектировал и строил городской водопровод. необычайный успех этого сооружения принес инженеру славу, он был приглашен для сооружения водопровода в Брюсселе. В ходе этих работ Дарси провел свои знаменитые научные исследования течения жидкости в трубах. Но, удивительное дело, найденная им зависимость не имела ничего общего с зависимостью Гагена-Пуазейля: R ~ w2/d Многие добросовестнейшие экспериментаторы Англии, Швейцарии, Германии не могли устранить расхождение между формулами, что привело к напряженной драматической конфронтации, разделившей гидравликов на два лагеря. Вода подчинялась то одному, то другому закону. Разрешить эту загадку удалось только в 1880 годах, когда О. Рейнольдсом были введены понятия о ламинарном и турбулентном течениях. Рейнольдс получил безразмерную величину - число Рейнольдса, которое как раз и управляет движением вязких жидкостей в трубах. Если, Re < 2300 течение ламинарное. В области 2300 < Re < 10 000движение является неустойчивым турбулентным и при Re 10 000 течение устойчивое турбулентное. Стало ясно, почему получились разительные расхождения в опытах ГагенаПуазейля и Дарси. Гаген и Пуазейль проводили свои измерения в капиллярных трубках, при Re < 2300 и выведенная ими формула оказалась справедливой при ламинарном течении. Дарси же проводил свои эксперименты над течениями, для которых Re > 10 000, его формула справедлива для турбулентных течений. Потери напора в трубопроводе в общем случае обусловлена как сопротивлением трения, так и местными сопротивлениями. В различных местных сопротивлениях происходит изменение скорости по величине или направлению. При этом возникают дополнительные (кроме трения) потери энергии (напора) вследствие ударов, местных завихрений и т.д. (см.рис.3) R d d в г Рис.3. Некоторые местные сопротивления: а - внезапное расширение; б - внезапное сужение; в - плавный поворот на 900 (отвод); г - резкий поворот на 900 (колено). Потери напора на местные сопротивления, как и потери на трение, выражают в долях от скоростного напора. Отношение потери напора в данном местном сопротивлении hм.с. скоростному напору w2/2g называется коэффициентом местного сопротивления и обозначают м.с. . Итак, hм.с. = м.с. w2/2g для каждого местного сопротивления, и, суммарно, для всех местных сопротивлений: hм.с. = м.с. w2/2g (8) м.с. - величина, определяемая опытным путем, находится в справочниках. Итак: hn ( L w2 w2 ; м .с . ) ( тр м.с. ) d 2g 2g Pп = hn g ( м.ст.ж. L w 2 w 2 м .с . ) ( тр м.с. ) d 2 2 (9) ; н/м2 (10) Расчет диаметра трубопроводов Диаметр трубопровода может быть определен по уравнению расхода (26, 27 см.лекцию 1). Так, для несжимаемой жидкости, было получено: Q wi S i Для канала круглого сечения: S= d2/4 (cм. ур откуда: d= 4Q w То есть, величина диаметра трубопровода определяется выбором значения скорости движущейся в нем жидкости. Согласно уравнению, чем выше скорость, тем меньше диаметр трубопровода, тем меньше затраты на его изготовление и его стоимость, а также стоимость монтажа и ремонта трубопровода. Вместе с тем, при увеличении скорости растут потери напора в трубопроводе (ур. 4), т.е. увеличивается перепад давления, необходимый для перемещения жидкости, следовательно, растут затраты энергии на ее перемещение. Поэтому для расчета оптимального диаметра трубопровода необходим технико-экономический подход. При оптимальном диаметре трубопровода обеспечиваются минимальные затраты на его эксплуатацию. Суммарные годовые расходы на эксплуатацию трубопровода (кривая 3 на рис.4) складываются из годовых расходов на амортизацию, ремонт (кривая 1) и стоимости энергии, необходимой для перемещения жидкости по трубопроводу (кривая 2). Диаметр трубопровода, отвечающий оптимально выбранной скорости движения жидкости, соответствует минимуму на кривой 3. Рис.4. К определению оптимального диаметра трубопровода На основе технико-экономических соображений установлены рекомендуемые пределы изменения скоростей жидкостей, газов и паров в промышленных трубопроводах: - для маловязких капельных жидкостей скорости не должны превышать 3 м/c; - для вязких жидкостей - 1 м/c; - при движении жидкости самотеком - 0,1-0,5 м/c; - в нагнетательных трубопроводах - 1-3 м/c; - для газов при небольших избыточных давлениях (до 0,1 бар) - 8-15 м/c; - для газов под давлением (выше 0,1 бар) - 15-20 м/c; - для насыщенного водяного пара - 20-30; - для перегретого водяного пара - 30-50 м/c. Для справки: скорость ветра при урагане 28-70 м/c.