9 Ïðèìåð èñïîëüçîâàíèÿ óðàâíåíèé ðàâíîâåñèÿ è äâèæåíèÿ äëÿ îïèñàíèÿ ïðèðîäíûõ ÿâëåíèé Çàäà÷à 9.1 Îïðåäåëèòü ðàñïðåäåëåíèå ãàçîäèíàìè÷åñêèõ ïàðàìåòðîâ (ïëîòíîñòè ρ, äàâëåíèÿ p, òåìïåðàòóðû T ) â íàõîäÿùåéñÿ â ãèäðîñòàòè÷åñêîì ðàâíîâåñèè àòìîñôåðû Çåìëè (ïëàíåò, Ëóíû, Ñîëíöà, çâåçä). Ïðè ðåøåíèè ñ÷èòàòü àòìîñôåðó ñôåðè÷åñêè-ñèììåòðè÷íîé, à ìàññó öåòðàëüíîãî òåëà M . Ãàç â àòìîñôåðå ñ÷èòàòü ñîâåðøåííûì ñ óðàâíåíèåì ñîñòîÿíèÿ P = ρRT . Ðàññìîòðåòü çàäà÷ó äëÿ à) ïðîèçâîëüíîé çàâèñèìîñòè òåìïåðàòóðû n îò ðàññòîÿíèÿ, á) äëÿ ñëó÷àÿ ïîëèòðîïû P/ρ = const, ãäå n - ïîêàçàòåëü ïîëèòðîïû. (×àñòíûé ñëó÷àé n = γ ). Ðåøåíèå: ⃗ = 0) óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ äëÿ æèäêîñòè  ñëó÷àå ðàâíîâåñèÿ (V (èäåàëüíîé èëè âÿçêîé) çàïèøóòñÿ â ñëåäóþùåì âèäå â ñôåðè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò: ∂p GM = −ρ 2 , ∂r r ∂p ∂p = 0, = 0. ∂θ ∂ϕ Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî äàâëåíèå çàâèñèò òîëüêî îò r, ïîýòîìó: dp GM = −ρ 2 dr r Èç ïîñëåäíåãî óðàâíåíèÿ âèäíî, ÷òî è ρ åñòü ôóíêöèÿ ñîñòîÿíèÿ ñëåäóåò, ÷òî è òåìïåðàòóðà åñòü ôóíêöèÿ r, à èç óðàâíåíèÿ r. Èíòåãðèðóÿ óðàâíåíèå ïîëó÷àåì äëÿ îáùåãî ñëó÷àÿ çàâèñèìîñòè òåìïåðàòóðû îò ðàññòîÿíèÿ: [ ∫ GM r dr p = p0 exp − ], R r0 r2 T (r) ãäå à r0 p0 (35) - íåêîòîðîå ðàññòîÿíèå, íàïðèìåð ðàäèóñ ïëàíåòû (ðàäèóñ Çåìëè), - äàâëåíèå ïðè r = r0 (äëÿ Çåìëè ýòî äàâëåíèå íà óðîâíå ìîðÿ). Ïîëó÷åííàÿ ôîðìóëà íàçûâàåòñÿ áàðîìåòðè÷åñêîé.  ñèëó ïîëîæèòåëüíîñòè ïîäèíòåãðàëüíîé ôóíêöèè èç íåå î÷åâèäíî, ÷òî äàâëåíèå äàâëåíèå ïàäàåò ñ óäàëåíèåì îò èñòî÷íèêà ïðèòÿæåíèÿ. Èç áàðîìåòðè÷åñêîé ôîðìóëû âèäíî, ÷òî åñëè òåìïåðàòóðà óáûâàåò áûñòðåå, ÷åì 1/r, òî èíòåãðàë â ïîêàçàòåëå ýêñïîíåíòû íåîãðàíè÷åíî r è limr→∞ = 0. Åñëè æè òåìïåðàòóðà ãàçà, îêðóæàþùåãî ðàñòåò ñ ðîñòîì 37 çâåçäó, ïàäàåò ìåäëåííåå, ÷åì 1/r, òî èíòåãðàë â ïîêàçàòåëå ýêñïîíåíòû ñõîäèòñÿ è äàâëåíèå íà áåñêîíå÷íîñòè ñòðåìèòñÿ ê êîíå÷íîìó ïðåäåëó, çàâèñÿùåìó îò çíà÷åíèé ó îñíîâàíèÿ àòìîñôåðû çâåçäû (ïëàíåòû).  ïîñëåäíåì ñëó÷àå î÷åâèäíî, ÷òî ñòàòè÷åñêàÿ àòìîñôåðà çâåçäû (ïëàíåòû) ìîæåò ñóùåñòâîâàòü òîëüêî â òîì ñëó÷àå, åñëè ïîëó÷àåìîå èç áàðîìåòðè÷åñêîé ôîðìóëû äàâëåíèå íà áåñêîíå÷íîñòè ðàâíî äàâëåíèþ ìåæçâåçäíîé (ìåæïëàíåòíîé) ñðåäû. Çàäà÷à 9.2 Ïîëàãàÿ, ÷òî â àòìîñôåðå Çåìëè òåìïåðàòóðà ñ âûñîòîé óáûâàåò ïî ëèíåéíîìó çàêîíó T = T0 − ãäå T0 δ z, 100 - àáñëþòíàÿ òåìïåðàòóðà ïðè z=0, δ - ýìïèðè÷åñêàÿ âåëè÷èíà, íà êîòîðóþ óáûâàåò òåìïåðàòóðà ïðè ïîäúåìå íà 100 ì, îïðåäåëèòü ïëîòíîñòü, äàâëåíèå è òåìïåðàòóðó âîçäóõà íà âûñîòå 10 êì, õàðàêòåðíîé äëÿ ïîëåòîâ ïàññàæèðñêèõ ñàìîëåòîâ. Îïðåäåëèòü íà êàêîé âûñîòå äàâëåíèå ñòàíåò íóëåâûì. δ = 0.65 ãðàäóñîâ, T0 = 288K . Çàäà÷à 9.3 Îïðåäåëèòü õàðàêòåðíóþ âûñîòó íà êîòîðîé äàâëåíèå â àòìîñôåðå Çåìëè, Ñîëíöà, Ìàðñà, Âåíåðû, Ëóíû ïàäàåò â e ðàç ïî ñðàâíåíèþ ñ äàâëåíèåì ó îñíîâàíèÿ àòìîñôåðû. Äëÿ Çåìëè âçÿòü çàâèñèìîñòü òåìïåðàòóðû îò ðàäèóñà êàê â ïðåäûäóùåé çàäà÷å. Äëÿ Ñîëíöà ïðåäïîëîæèòü, ÷òî òåìïåðàòóðà ïàäàåò ïî çàêîíó T = T0 (r0 /r)2/7 . Äëÿ îñòàëüíûõ îáúåêòîâ íàéòè çàâèñèìîñòü òåìïåðàòóðû îò ðàññòîÿíèÿ ïî ñïðàâî÷íîé ëèòåðàòóðå èëè èíòåðíåòó (âûáîð òîé èëè èíîé çàâèñèìîñòè îáîñíîâàòü). Çàäà÷à 9.4 Ðàññìîòðèì ðàñøèðÿþùóþñÿ àòìîñôåðó çâåçäû. Ïóñòü çâåçäíûé âåòåð ÿâëÿåòñÿ ñôåðè÷åñêè ñèììåòðè÷íûì è ñòàöèîíàðíûì. Èññëåäîâàòü õàðàêòåð òå÷åíèÿ çâåçäíîãî âåòðà â çàâèñèìîñòè îò ðàññòîÿíèÿ (îïðåäåëèòü êàê èçìåíÿåòñÿ åãî ñêîðîñòü, ïëîòíîñòü, òåìïåðàòóðà â çàâèñèìîñòè îò ðàññòîÿíèÿ). Ðàññìîòðåòü à) ñëó÷àé èçîòåðìè÷åñêîãî âåòðà T = const, á) ñëó÷àé åñëè òåìïåðàòóðà óáûâàåò ìåäëåíåå, ÷åì 1/r. Çâåçäíûé âåòåð ñ÷èòàòü èäåàëüíûì, ñîâåðøåííûì ãàçîì. Èññëåäîâàòü ðåøåíèÿ ïðè r → ∞. Ðåøåíèå: Óðàâíåíèÿ íåðàçðûâíîñòè è äâèæåíèÿ çàïèøóòñÿ â ñëåäóþùåì âèäå: ρur2 = ρ0 u0 r02 = C, ρu du dp ρGM + + = 0, dr dr r2 38 ãäå u - ðàäèàëüíàÿ êîìïîíåíòà çâåçäíîãî âåòðà, èíäåêñîì çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ íà ðàññòîÿíèè r0 , G 0 îáîçíà÷åíû - ãðàâèòàöèîííàÿ ïîñòîÿííàÿ, Ì - ìàññà çâåçäû. Èñêëþ÷àÿ èç óðàâíåíèé du u dr ãäå aT = √ ( ρ a2 1 − T2 u p è ) ïîëó÷àåì óðàâíåíèå íà d = −r dr ( 2 a2T r2 ) − u: GM , r2 2kT /mp (çàáåãàÿ âïåðåä: ýòî âåëè÷èíà íàçûâàåòñÿ èçîòåðìè÷åñêîé ñêîðîñòüþ çâóêà). Ðàññìîòðèì èçîòåðìè÷åñêèé ñëó÷àé (T = const), êîòîðûé ñîîòâåòñòâóåò àòìîñôåðå çâåçäû ñ î÷åíü âûñîêîé òåïëîïðîâîäíîñòüþ.  ýòîì ñëó÷àå èìååì: du u dr ( a2 1 − T2 u Îáîçíà÷èì ïðàâóþ ÷àñòü ÷åðåç ) = 2a2T GM − 2 . r r A(r): A(r) = 2a2T GM − 2 r r Êà÷åñòâåííûé àíàëèç: Åñëè ó îñíîâàíèÿ àòìîñôåðû 0, A(r0 ) < 0 è u0 < aT , èìååì (du/dr)r=r0 > òî åñòü ïðîèñõîäèò óñêîðåíèå ãàçà, âûòåêàþùåãî èç çâåçäû. Âòîðîé ÷ëåí A(r) ïðè T = T0 (èçîòåðìè÷åñêàÿ àòìîñôåðà) óáûâàåò áûñòðåå ïåðâîãî. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî íà áîëüøèõ ðàññòîÿíèÿõ òî åñòü ôóíêöèÿ A(r) ìåíÿåò çíàê â òî÷êå rc = r = rc , A(r) > 0, ãäå GM . 2a2T ........ Îáùèé õàðàêòåð èíòåãðàëüíûõ êðèâûõ óðàâíåíèÿ ïðåäñòàâëåí íà ðèñ. ...... (ðåøåíèå áóäåò äîïîëíåíî ïîñëå ïðîâåðêè âûïîëíåíèÿ äîìàøíåãî çàäàíèÿ). 39