Элементы теории Пойя

Элементы теории Пойя
Лемма Бернсайда
Пусть S - непустое конечное множество, а G - действующая на нем группа, т.е.
S . Элементы s, s '  S назовем
некоторая подгруппа симметрической группы
эквивалентными, если для некоторой подстановки   G выполняется s '   ( s) .
Легко проверяется, что тем самым действительно определено отношение эквивалентности
на S . Обозначим его .
G
sS
Gs всех подстановок в
G , для которых s является неподвижной точкой, т.е. Gs  { :  ( s)  s} .
Докажем, что Gs - подгруппа G . Действительно, тождественная подстановка   Gs .
Далее, если  ,  Gs , то  (s)   (  ( s))   ( s)  s , откуда   Gs .
Для произвольно фиксированного
Наконец, при
Gs
  Gs
получаем:
рассмотрим множество
 1 (s)   1 ( (s))  s , т.е.  1  Gs . Подгруппа
называется стабилизатором (или стационарной подгруппой) элемента
Обозначим через G( s, r ) множество всех подстановок, переводящих
Утверждение 1. Число всех подстановок, которые переводят s в
s.
s в r.
r , равно
порядку
s , т.е., | G ( s, r ) | Gs | .
Доказательство. Определим отображение f подгруппы Gs в множество всех
подстановок, переводящих s в r , следующим образом: f ( )   r (для
фиксированной подстановки  r , переводящей s в r ). Легко видеть, что f инъекция
(  r   ' r влечет    ' ). Докажем, что f сюръекция. Если  ' переводит s в r ,
стабилизатора элемента
f ( ' r1 )  ( ' r1 ) r   ' ,
а
так
как
 ' r1 ( s)   r1 ( '( s))   r1 (r )  s , т.е.  ' r1  Gs , то каждая подстановка,
переводящая s в r , есть образ при отображении f некоторого элемента подгруппы Gs .
Итак, f биективно отображает Gs на смежный класс Gs r , и каждая подстановка,
переводящая s в r , есть элемент этого класса. Но, как известно, | Gs || Gs | (для
любой подстановки  ), и | G ( s, r ) | Gs r || Gs | .
Можно заметить, что если r s , то | Gr || Gs | , так как каждой подстановке,
то
G
переводящей s в r , соответствует обратная подстановка, и | G( s, r ) || G(r , s) | . Это
значит, что порядки групп-стабилизаторов всех эквивалентных элементов одинаковы.
Класс эквивалентности [ s ] элемента s называют орбитой этого элемента.
G
Число элементов в орбите
s
будем обозначать
 ( s) .
| G : Gs | подгруппы Gs
элементов в классе эквивалентности (орбите) [ s ] .
Утверждение 2. Индекс
G
в группе
равен числу
 ( s)
G
| G : Gs | равен, как известно, числу левых (или правых)
смежных классов подгруппы Gs . Множество всех правых смежных классов подгруппы
Gs обозначим C (Gs ) . Т.е. C (Gs )  {Gs :   G} .
[ s ] в C (Gs ) следующим образом:
Определим отображение h орбиты
Доказательство. Индекс
G
 r ( s)  r . Отображение h инъективно, так как при t  r
предположение h(t )  h(r ) влечет равенство смежных классов Gs r  Gs t , где
 t ( s)  t . Но тогда в силу утверждения 1 каждая подстановка класса Gs t переводит
s в r и, в частности,  t ( s )  r  t , что невозможно. Но отображение h и
сюръективно, так как класс Gs  h( ( s )) . Итак, h - биекция, и  ( s ) | G : Gs | .
h(r )  Gs r ,
где
Из доказанного вытекает также, что если
s1 , s2  S эквивалентны s , то
равно | Gs | , так как оно составит
число
отображений, переводящих
s1
элементов в смежном классе
Gs111 2 , где s1   1 ( s), s2   2 ( s) . Но | Gs1 || Gs | .
в
s2 ,
также
| G || G : Gs || Gs | .
| G |  ( s ) | Gs | , или | G |  | Gr | ,
число
По теореме Лагранжа получаем, что
Согласно утверждению 2,
так как порядки
r[ s ]
G
стабилизаторов всех эквивалентных элементов одинаковы.
Замечание. Соотношение | G |  ( s ) | Gs | интересно и само по себе, так как
позволяет найти порядок группы G по известным порядку стабилизатора произвольно
выбранного элемента s и числу элементов в орбите s . Так, в частности, можно
вычислить порядок группы автоморфизмов графа.
Пусть теперь
N
- число классов эквивалентности по отношению
,и
G
s1 ,..., sN
попарно неэквивалентные представители этих классов. Тогда
N  | G |  ( s1 ) | Gs1 | ...   ( sN ) | GsN | . В этой сумме суммируются порядки
стабилизаторов всех элементов множества S , разбитого на классы эквивалентности, т.е.
N | G |  Gs . Отсюда следует, что число классов эквивалентности по отношению
G
sS
составит
N
1
 | Gs | .
| G | sS
Стоящая в записанном выражении сумма есть число всех элементов группы G ,
оставляющих неподвижным какой-либо элемент множества S . Но это же число можно
получить, суммируя по всем подстановкам, оставляющим неподвижными некоторый ёё
элемент S (в указанной выше сумме каждая подстановка учитывается столько раз,
сколько элементов множества S она оставляет неподвижным1). Тогда получим
1
 ( ) ,
| G |  G
через  ( ) обозначено
N
где
число всех элементов множества
неподвижными точками подстановки  .
Полученный результат известен как лемма Бернсайда о подсчете.
Примеры. 1) Пусть
являющихся
S  {1,2,3,4} , а группа G порождается подстановками (12) и (34).
 ( )  4, ((12))   ((34))  2, ((12)(34))  0 .
Тогда
S,
Следовательно,
1
N  (4  2  2)  2, S /  {{1, 2},{3, 4}}.
G
4
G1  { ,(34)}  G2 , G3  G4  { ,(12)} ,
Стабилизаторы:
и
по
другому
способу
подсчета
1
N  (2  2  2  2)  2.
4
 0  (12) , тогда все элементы, переводящие 1 в 2, суть элементы правого
смежного класса G1 (12)  {(12),(34)(12)} , а | G | 2  2  4 .
A
2) Пусть множество S  B есть множество функций из конечного множества A в
конечное множество B , G - группа, действующая на множестве A . Определим действие
Далее, пусть
G
группы
на множестве функций
эквивалентность функций
f
и
g
S
 ( f )(a)  f ( 1 (a)) ,
g  g   ( f ),  G .
следующим образом:
определим так:
f
G
и
Пусть A  {1,2,3}, B  {К ,Ч } (содержательно, первое множество есть множество
вершин треугольника, а второе – множество «цветов», {красное, черное}).
Все 8 функций из A в B опишем в виде такой формальной суммы:
( К , К , К ) (Ч ,Ч ,Ч ) ( К , К ,Ч )  ( К ,Ч , К ) 
f1
f2
f3
f4
(Ч , К , К ) (Ч ,Ч , К )  (Ч , К ,Ч )  ( К ,Ч ,Ч ).
f5
f6
G определяется
G f1  G f2  G ,
Группа
f7
f8
как симметрическая группа степени 3, т.е.
G  S3 .
Тогда
G f3  { ,(12)}  G f6 , G f4  { ,(13)}  G f7 , G f5  { ,(23)}  G f8 . Тогда по
1
лемме Бернсайда получается N  (6  6  6  2)  4 . Классы эквивалентных
6
функций: { f1},{ f 2 },{ f 3 , f 4 , f 5 },{ f 6 , f 7 , f8 } . Тогда, например, порядок группы = 6
  {(s, ) :  (s)  s}  S  G . Тогда сумма
 | Gs | равна числу всех пар в соответствии  , а сумма  ( ) равна числу пар в обратном
1
Можно рассуждать и так: введем соответствие
sS
соответствии, что, как легко заметить, есть то же самое.
 G
G f1 , равного 6, на число
функций, эквивалентных f1 , т.е. единицу; или произведение порядка стабилизатора G f ,
3
равного 2, на число функций, эквивалентных f 3 , т.е. 3, и т.д. Подстановка (23) переводит
функцию f 3 в функцию f 4 , а все подстановки, переводящие f 3 в f 4 , образуют
смежный класс G f (23)  {(23),(132)} , а подстановки, переводящие f 3 в f 5 ,
3
может быть получен как произведение порядка стабилизатора
образуют смежный класс
G f3 (13)  {(13),(123)}.
Сопоставим каждой «краске» (или «цвету», т.е. элементу множества B ) вес в виде
рациональной переменной: К  r ,Ч  b . Тогда каждой функции из S можно
сопоставить вес как произведение весов ее значений. Нетрудно сообразить, что
эквивалентными могут быть только функции одинакового веса (обратное неверно, как
скоро будет показано!). С учетом этого описание классов эквивалентных функций данного
примера может быть представлено таким полиномом: r  b  r b  rb . Здесь все
функции одинакового веса оказались эквивалентными.
В последующем изложении мы обобщим результаты этого простого примера.
3
3
2
2
Функции разметки
Пусть на множестве S задана функция C : S  R , отображающая S в множество
меток (красок, цветов) R . Такая функция называется функцией разметки, или
функцией раскраски (или просто раскраской). Действие группы G на множестве S
S
R всех раскрасок:
распространяется на множество
 (C)(s)  C( (s)) (для каждого s  S ). Эквивалентность раскрасок C , C '
означает тем самым, что для некоторой подстановки  имеет место равенство
стандартным
образом
C '   (C ) , т.е. для каждого s  S
выполняется C '( s)  C ( ( s))    C ( s) .
Число классов эквивалентности на множестве раскрасок определяется по лемме
Бернсайда.
1
1
Каждому элементу множества r  R , называемому запасом (это, образно говоря, некое
множество «красок», или «цветов») сопоставим вес w(r ) в виде рациональной
переменной. Тогда каждой функции разметки
в виде произведения
C  RS
может быть также сопоставлен вес
W (C )   w(C ( s)) ,
sS
S
а всему множеству R сопоставляется так называемый перечень в виде полинома над
полем рациональных чисел:
Invt ( R S ) 
 W (C )
CR S
(обозначение Invt производится от английского слова inventory – перечень, инвентарь).
RS
Invt ( R S )  [ w(r )]|S| .
Можно показать, что перечень
rR
может быть представлен также в виде:
(Сумма в квадратных скобках называется перечнем запаса).
Действительно, получаем | S | одинаковых сомножителей, а при раскрытии скобок
каждое слагаемое (произведение
|S|
сомножителей) отвечает некоторому выбору
элемента запаса по номеру элемента множества S , т.е. номеру сомножителя (скобки), и,
тем самым, это слагаемое есть не что иное, как вес некоторой функции разметки.
Например, при раскраске вершин квадрата двумя цветами получим
Invt ( RS )  (r  b)4  r 4  4r 3b  6r 2b2  4rb3  b4 ,
где
R  {red , blue}, S  {1,2,3,4} , w(red )  r, w(blue)  b ,
что отвечает всем возможным способам окраски вершин квадрата двумя цветами
3
(красным (red) и голубым (blue)). Например, слагаемое 4r b означает, что существует
четыре функции разметки, при которых три вершины покрашены в голубой, а одна – в
красный цвет (что очевидно).
Нетрудно показать, что эквивалентные функции (раскраски) имеют одинаковый вес.
Действительно, если некоторая функция
подстановка
g
эквивалентна функции
f
, то найдется такая
 , что g (a)  f ( (a)) и
w( g )  w( f ( (1))...w( f ( (n))
где мы полагаем, что
 (1),..., (n) ,
S  {1,2,...n}.
Очевидно, что возникает перестановка элементов
S
в виде
а так как веса, как рациональные переменные, коммутируют, то записанное выше
произведение совпадет с произведением
w( f (1))...w( f (n))  w( f ) ,
что и требовалось.
Заметим, что обратное неверно, т.е. могут быть неэквивалентные функции одинакового веса.
Наша задача состоит теперь в том, чтобы найти перечень классов эквивалентности
(по отношению ) раскрасок.
G
Рассмотрим частный случай, когда множество S разбито на подмножества
T1 ,..., Tk ,| T j | p j , j  1,..., k , и все такие функции разметки, каждая из которых
постоянна на любом подмножестве
Tj .
Вес какой-либо из таких функций может быть
wi1p1 wip2 2 ...wipk k , где через wq обозначен вес «цвета» rq  R . Т.е., все
элементы множества T1 «покрашены» цветом wi и т.д. Тогда структурный перечень
1
множества D всех таких функций может быть представлен произведением
представлен термом
k
Invt ( D)   ( w1 j  ...  wm j ) ,
p
p
j 1
где предполагается, что | R | m .
Имея в виду лемму Бернсайда, примем во внимание следующее соображение.
Пусть подстановка   G разложена на независимые циклы:   1 2 ... K ( ) .
Нетрудно сообразить, что для того, чтобы цикл сохранял раскраску (т.е. оставлял ее
неподвижной), необходимо и достаточно, чтобы все его элементы были одного цвета, т.е.,
более формально, чтобы функция разметки принимала на нем постоянное значение.
Таким образом, каждый цикл сохраняет | R | раскрасок, а вся подстановка  сохранит
раскрасок, т.е.  ( ) | R |
, причем перечень всех функций разметки,
сохраняемых подстановкой  , будет иметь вид:
K ( )
| R |K ( )
tˆ  ( w1  ...  wm )q1 ( w12  ...  wm 2 )q2 ...( w1n  ...  wm n ) qn ,
где
q j - число циклов длины j
в разложении  ,
n
q
j 1
j
 K ( ) .
Теорема Пойя
Цикловым индексом конечной группы G называется многочлен PG ( x1 ,..., xn ) над
полем рациональных чисел, построенный следующим образом: каждой подстановке
  G , разложенной на независимые циклы:   1 2 ... K ( ) , сопоставляется
произведение
(мультипликативный
терм)
m j  0, j  1,...,.n, есть число всех циклов длины
t  x1m1 x2m2 ...xnmn ,
где
j в подстановке  (предполагается,
n
что
n
- наибольшая длина цикла в группе
G,
и, конечно,
m
j 1
PG ( x1 ,..., xn ) 
1
 t
| G |  G
j
 K ( ) );
тогда
.
Пример. Рассмотрим группу симметрий квадрата, или, что то же самое, группу
автоморфизмов графа, изображенного ниже:
1
2
3
4
Сведем построение циклового индекса этой группы в следующую таблицу:

=(1)(2)(3)(4)
(1234)
(13)(24)
(4321)
t
x14
x4
x22
x4
(12)(34)
x22
(13)(2)(4)
x12 x2
(24)(1)(3)
x12 x2
(14)(23)
x22
В итоге получаем цикловой индекс:
1
PG ( x1 , x2 , x3 , x4 )  ( x14  2 x12 x2  3x22  2 x4 ) .
8
Под структурным перечнем классов эквивалентности функций разметки (или
перечнем классов эквивалентности раскрасок, перечнем попарно неэквивалентых
раскрасок) будем называть сумму
Invt (C )   w w ,
w
где суммирование ведется по весам всех функций, причем коэффициент
w
показывает,
сколько имеется попарно неэквивалентных функций веса w (или, что то же самое,
сколько классов эквивалентности покрывают функции данного веса).
Основной результат (теорема Пойя) состоит в следующем:
Перечень классов эквивалентности раскрасок равен
PG ( w(r ), [ w(r )]2 ,..., [ w(r )]n ) .
rR
rR
rR
Число неэквивалентных раскрасок составляет
PG (| R |,| R |,...,| R |) .
Подробное доказательство не приводится, но сформулированный результат достаточно
ясно усматривается из леммы Бернсайда и соотношения (1).
Идея доказательства. Во-первых, заметим, что число всех функций (раскрасок), сохраняемых
K ( )
подстановкой
, и это число получается
1 2
K ( ) составляет
подстановкой
    ...
| R | на место каждой
 ( ) | R |
переменной в цикловом индексе группы
G.
Тогда остается
воспользоваться леммой Бернсайда.
Во-вторых,
подставляя
в
терм
t
веса
элементов
множества
R,
получим
выражение
tˆ  ( w1  ...  wk )m1 ( w12  ...  wk 2 ) m2 ...( w1n  ...  wk n ) mn ,
где для краткости мы обозначили через wi вес элемента ri  R,| R | k (при этом | S | n ). Это
выражение есть не что
подстановкой
.
иное, как перечень всех функций, сохраняемых (оставляемых неподвижными)
Заметим также, что если вместо каждого веса
1
1
ˆ
t
|

 ( ) ,
  w1...wk 1 | G | 
| G |  G
G
wi
подставить единицу, то число
(2)
tˆ
т.е. составит число всех классов эквивалентности (а первая сумма в (2) равна числу слагаемых в терме 
после раскрытия скобок).
tˆ
Рассмотрим подробнее структуру выражения  . Этот мультипликативный терм от переменных wi , как
было уже замечено, есть перечень всех функций (раскрасок), сохраняемых подстановкой
и
распределенных
по
весам
(после
приведения
подобных
членов).
Например,
если

  (13)(2)(4)  S4 ,
k  2, w1  r , w2  b ,
t  x12 x2 ,
то
а
tˆ  (r  b)2 (r 2  b2 )  r 4  2r 3b  2r 2b 2  2rb3  b 4 ,
что означает, что среди всех функций, сохраняемых  , по одной, принимающих постоянное значение, по
две, которые красят три элемента одним цветом, а четвертый – другим, и две функции, распределяющие
краски по две.
( )
( )
Следовательно, можно утверждать, что tˆ 
- сумма всех слагаемых одинакового
w , где w


wW
( )
w
( )
w
w для некоторого натурального числа w( ) , а W
функций, сохраняемых подстановкой  .
веса
w , т.е. 

- множество весов всех
Тогда
PG ( w(r ), [ w(r )]2 ,..., [ w( r )]n ) 
rR

где
rR
rR
1
1
1
tˆ 
w( ) w 
w w,




| G |  G
| G |  G wW
|G| w
w   w( ) , а суммирование ведется по всем весам функций разметки.
 G
Общее число слагаемых (с учетом деления на
|G|
и коэффициентов
эквивалентности – в силу соотношения (2). Осталось доказать, что частное
определенному выше числу
w )
w
|G|
равно числу классов
есть целое число, равное
w.
G только на множестве функций заданного веса w , то число
1
классов эквивалентности на этом множестве составит, согласно лемме Бернсайда,
 w ( ) , где
G  G
 w ( ) - число всех функций веса w , сохраняемых подстановкой  (это не что иное, как введенный
Если рассматривать действие группы
w( ) ).
 w ( ) есть как раз число всех функций веса w (где каждая
w
функция сохраняется какими-то подстановками ), т.е. это число равно w , а частное
есть не что
|G|
выше коэффициент
Но сумма всех
2
иное, как число попарно неэквивалентных функций веса
эквивалентности, покрываемых функциями веса
Итак,
w 
1
G


G
w ( ) 
w
|G|
w,
или, что то же самое, число классов
w , т.е. это определенное выше число  w .
,
Заметим, что каждая функция фигурирует в этой сумме не один раз, а столько раз, сколькими
подстановками она сохраняется.
2
и указанная выше замена в цикловом индексе группы
эквивалентности, распределенных по весам функций.
G действительно
дает перечень классов
Пример. 1) Для перечня неэквивалентных двухцветных раскрасок квадрата тогда имеем:
1
[(r  b) 4  2(r  b) 2 (r 2  b 2 )  3(r 2  b 2 ) 2  2(r 4  b 4 )] 
8
 r 4  r 3b  2r 2b 2  rb3  b 4 .
Общее число таких раскрасок составит 6=1+1+2+1+1. Это число может быть получено и
подстановкой 2 на место каждой переменной циклового индекса.
2) Цикловой индекс группы автоморфизмов графа
2
3
4
1
6
5
будет иметь вид:
1 6
( x1  3 x14 x2  9 x12 x22  7 x23  6 x12 x4  8 x32  6 x2 x4  8 x6 ) .
48
Число неэквивалентных двухцветных раскрасок этого графа составит 10.
3) Пусть дано множество
A  {a1 ,..., an } и отображение f : A 
, сопоставляющее
каждому элементу его «кратность»3. Полагая в данном случае группу G тривиальной и
состоящей из одного тождественного преобразования, мы можем составить перечень всех
отображений такого вида, определяя вес w(k ) «кратности»
форме произведения
n

a x
i 1 k 0
k
i
k
k
элемента
ai
как
aik x k , в
 (1  a1 x  a12 x 2  ...  a1k x k  ...)...(1  an x  an2 x 2  ...  ank x k  ...)
n
1
. Мы получили производящую функцию

1

a
x
i 1
i
для всевозможных сочетаний с повторениями из n элементов. Если нам нужно только
число таких сочетаний, то, подставив вместо каждого ai единицу, получим
Это можно записать и в таком виде:
(1  x)
n

 C
k 0

x   Cnk x k .
k
k
n k 1
k 0
Это не что иное, как производящая функция для сочетаний с повторениями
(произвольными) из n элементов по k .
3
Это есть не что иное, как мультимножество над A.
Можно наложить ограничения на число повторений того или иного элемента множества
A . В частности, если считать, что каждый элемент может повторяться не более одного
раза, получим перечень подмножеств множества A (или перечень их характеристических
функций):
n
 (1  a x)
i
i 1
При
ai  1
n
(для каждого
i)
получим бином
(1  x)   Cnk x k
n
- производящую
k 0
функцию для числа сочетаний без повторений.
Другой пример: пусть A  {a1 , a2 , a3 } . Рассмотрим всевозможные сочетания этих
элементов, в которых первый элемент встречается не менее двух и не более четырех раз,
второй – один или два раза, третий – не более одного раза.
Имеем перечень:
(a12 x 2  a13 x3  a14 x 4 )(a2 x  a22 x 2 )(1  a3 x) .
Раскрывая скобки и приводя подобные члены, получим:
a14 a22 a3 x7  (a14 a22  a13a22 a3  a14 a2 a3 ) x 6  (a13a22  a14 a2  a12 a22 a3  a13a2 a3 ) x5 
(a12 a22  a13a2  a12 a2 a3 ) x 4  a12 a2 x3
Действуя таким же образом, можно решить, например, и такую задачу:
сколькими способами можно распределить m фишек между тремя игроками так,
чтобы двое из трех получили одинаковое количество фишек.
Здесь множество A  {a1 , a2 , a3 } есть множество игроков, а число фишек, получаемых
игроком, есть его «кратность». Нас интересуют все функции, принимающие постоянное
значение на подмножестве {a1 , a2 }. Используя соотношение (1), получаем такой
перечень («индивидуализация» игроков и фишек нас не интересует, поэтому вес числа
k полагается равным x k ):
(1  xx  x 2 x 2  ...  x m x m  ...)(1  x  x 2  ...  x m  ...) 
фишек
 (1  x 2  x 4  ...  x 2 m  ...)(1  x  x 2  ...  x m  ...) 
1
1

.
1  x2 1  x
Раскладывая последнюю дробь на элементарные, получим:
1
1
1
1
1
.



1  x 2 1  x 4(1  x) 2(1  x)2 4(1  x)
m
Нас интересует коэффициент при x . Он равен:
1 m 1
1 m 1 1

 (1) m 
 [1  (1) m ] ,
4
2
4
2
4
m 1
m 1 1 m
   1 при четном m .
при нечетном m , и
2
2
2 2
Так при m  9 имеем 5 способов: (4+4)+1, (3+3)+3, (2+2)+5, (1+1)+7, (0+0)+9;
при m  10 6 способов: (5+5)+0, (4+4)+2, (3+3)+4, (2+2)+6, (1+1)+8, (0+0)+10.
т.е.