Об использовании новых моделей гравитационного поля земли

ОБ ИСПОЛЬЗОВАНИИ НОВЫХ МОДЕЛЕЙ ГРАВИТАЦИОННОГО
ПОЛЯ ЗЕМЛИ В АВТОМАТИЗИРОВАННЫХ ТЕХНОЛОГИЯХ
ИЗЫСКАНИЙ И ПРОЕКТИРОВАНИЯ
В.Б. НЕПОКЛОНОВ, д.т.н.,
ФГУ «29 НИИ Минобороны России»,
г. Москва
Современные технологии изысканий и проектирования связаны с применением различных видов
геодезической информации, в том числе математических моделей внешнего гравитационного поля Земли
(ГПЗ). Прогресс в области инструментальных методов изучения гравитационного поля способствовал
созданию ряда новых глобальных и региональных моделей ГПЗ с улучшенными характеристиками по
точности и детальности. Естественно, они привлекают внимание разработчиков и пользователей
автоматизированных систем изысканий и проектирования (АСИП). Статья посвящена вопросу о том, как и
насколько новые модели ГПЗ могут способствовать развитию таких систем. Данная тема рассматривается
в разрезе типовых задач, которые решаются или могут решаться с использованием моделей ГПЗ,
возможных критериев эффективности решения этих задач и оценок влияния происходящего обновления
моделей гравитационного поля Земли на соответствующие показатели эффективности. В первой части
основное внимание уделяется анализу современного состояния моделей ГПЗ.
1. СОВРЕМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ МОДЕЛЕЙ ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ ЗЕМЛИ Возможная область применения моделей ГПЗ в автоматизированных технологиях изысканий и
проектирования в настоящее время охватывает такие направления, как обработка геодезических
измерений, обоснование различных проектных решений, отображение, преобразование и интерпретация
гравитационных аномалий. Первое из этих направлений, являющееся наиболее представительным, связано
с геодезическим обеспечением различных специальных работ (строительных, буровых,
горнопроходческих и т.п.). Это задачи прямого и обратного пересчета геодезических высот в нормальные
(ортометрические) высоты, редуцирования линейных и угловых геодезических измерений с поверхности
Земли на поверхность относимости (земной эллипсоид), вычисления поправок на переход от
астрономического азимута к геодезическому азимуту.
Второе направление связано с оценкой статистических характеристик, районированием и
определением оптимальной дискретности представления аномального гравитационного поля Земли
(АГПЗ), планированием гравиметрических съемок, обоснованием других проектных решений, зависящих
от аномальности гравитационного поля. Третье направление использования моделей ГПЗ в
автоматизированных технологиях изысканий и проектирования включает в себя такие задачи, как
построение карт, профилей и трехмерных изображений характеристик АГПЗ, фильтрация и сглаживание
гравитационных аномалий, пересчет их на различные высоты и трансформирование, исследование
плотностных неоднородностей земной коры, разведка полезных ископаемых, оценка сейсмологической
обстановки.
Решение большинства перечисленных задач, как правило, сводится к вычислению трансформант
аномального гравитационного потенциала Т. Традиционно в их число входят высота квазигеоида (ВКГ) –
аномалия высоты ζ или высота геоида, аномалия силы тяжести (АСТ) в свободном воздухе ∆g ,
составляющие уклонений отвесных линий (УОЛ) ξ, η в плоскости меридиана и первого вертикала.
Исходные соотношения для этих величин имеют вид [1]
ζ=
∂T 2
T
1 ∂T
1
∂T
− T, ξ = −
, η=−
,
, ∆g = −
∂r r
γ
γr ∂B
γr cos В ∂L
(1)
где B, L – геодезические координаты (широта, долгота) определяемой точки;
r – ee геоцентрический радиус-вектор;
γ – нормальное ускорение силы тяжести. При необходимости аномалия высоты может быть пересчитана в
высоту геоида путем введения поправки [2]
1
1
δζ ≈ ∆g B h = ( ∆g − 0,1119h ) h ,
(2)
γ
γ
где ∆g B – аномалия силы тяжести в простой редукции Буге;
∆g – аномалия силы тяжести в свободном воздухе;
h – нормальная высота определяемой точки. Значения АСТ для выполнения расчетов по формуле можно
задать с помощью гравиметрической карты или рассчитать по модели.
Критериями эффективности моделей ГПЗ в общем случае могут служить: соответствие модели
предъявляемым к ней требованиям (в первую очередь, по точности); трудоемкость разработки
программного обеспечения; вычислительные затраты (время счета, память). Наиболее существенными
факторами, влияющими на показатели эффективности, являются структура модели, исходные данные и
методы их обработки.
Математические модели гравитационного поля земли, используемые в автоматизированных
системах изыскания и проектирования, как правило, создаются на основе линейной аппроксимации
аномального потенциала и/или его трансформант по дискретным данным. Основным методом
моделирования был и остается традиционный метод разложения геопотенциала в ряд по сферическим
функциям. Процедура определения коэффициентов разложения (гармонических коэффициентов
геопотенциала) автором описана ранее [3]. В конечном итоге она базируется на комплексном
использовании различных видов измерительной информации, в том числе спутниковых траекторных
измерений, данных спутниковой альтиметрии и гравиметрии. Повышение точности и детальности
создаваемых моделей обеспечивается как за счет уточнения определяемых коэффициентов, так и за счет
увеличения предельной степени N учитываемых сферических гармоник.
Первые отечественные модели, появившиеся в 30-50-е годы прошлого века, содержали гармоники
до 6–8-й степени. В 60-е годы были созданы модели до N = 16; в 70-е годы – до N = 32 (ПЗ-77); в 80-е годы
– до N = 36 (ПЗ-85, ПЗ-90); в первой половине 90-х годов – до N = 180–200 (ГПЗ.200, ГАО-95); во второй
половине 90-х годов–начале 2000-х годов – до N = 360 (ГАО-98, ПЗ-2002/360) [4–6]. Модель П3-2002/360
вошла в модернизированную систему геодезических параметров Земли ПЗ-90.02 [7]. В настоящее время
практически завершен вывод новой модели ГПЗ ГАО-2008 до 360-й степени (ЦНИИГАиК, совместно с 29
НИИ МО РФ), при получении которой впервые в отечественной практике использовались данные
низкоорбитальных измерений на спутниках СНАМР и GRACE [8].
Аналогичные зарубежные модели вышли на уровень N = 180 к началу 80-х годов, достигли N = 360
во второй половине 80-х–начале 90-х годов с появлением моделей OSU-86, OSU-91А [9]. Во второй
половине 90-х годов были созданы новые, более точные модели этой серии, в том числе модель EGM96,
получившая международное признание и широкое распространение. Целью создания этой модели было
определение высот геоида по всей Земле со средней квадратичной погрешностью (СКП) 0,5–1,0 м.
Существенный вклад в решение этой задачи внесло использование при выводе модели новых данных
спутниковой альтиметрии (GEOSAT, TOPEX, ERS-1) [10]. В эти же годы за рубежом были созданы и
первые так называемые ультравысокостепенные модели ГПЗ, среди которых следует отметить модель
GPM98А до 1800-й степени, полученную путем гармонического анализа средних АСТ по трапециям 5' x 5'
[11].
В последние годы зарубежными специалистами создан ряд моделей гравитационного поля Земли с
улучшенными характеристиками по точности определения гармонических коэффициентов геопотенциала
(GGM02С, EIGEN-GLO4С, EIGEN-5C и др.). Это стало следствием, с одной стороны, общего улучшения
гравиметрической изученности земного шара в рамках реализации ряда международных проектов, с
другой стороны, осуществления новых проектов в области изучения ГПЗ с использованием измерений по
линии «спутник-спутник» (CHAMP, GRACE). Особое место в ряду этих моделей занимает модель EGM2008 до 2160-й степени [12], созданная при ведущей роли Национального агентства геопространственной
разведки США на замену модели EGM96.
Целью создания этой новой ультравысокостепенной модели было доведение точности определения
высот геоида до уровня СКП 0,15 м, в несколько раз превышающего точностные характеристики модели
EGM96. Низкочастотная часть уточнялась с использованием новой спутниковой модели геопотенциала
ITG-GRACE03S до 180-й степени (2007 г.), полученной на основе измерительной информации системы
GRACE. Высокочастотная составляющая ГПЗ уточнялась за счет существенного обновления и дополнения
исходных аномалий силы тяжести по трапециям 5' x 5' и методического повышения точности их
обработки.
Для модернизации каталога средних АСТ по трапециям 5' x 5' были использованы, в частности,
ранее недоступные данные на территорию России, основанные на гравиметрических картах масштаба
1:1000000, данные Европейского, Азиатского, Арктического и других международных гравиметрических
проектов, в том числе данные конфиденциального характера. Последние применялись не напрямую, а с
определенными поправками, рассчитанными по специальной методике для защиты проприетарности
исходной информации. Кроме этого, использовались уточненные значения АСТ в Мировом океане,
полученные из обработки данных спутниковой альтиметрии с применением новой модели динамической
топографии морской поверхности. В итоге гравиметрическая изученность Земли по трапециям 5' x 5' была
повышена, по сравнению с моделью GPM98A, c 65% примерно до 90%. Не обеспеченными исходной
гравиметрической информацией остались только Антарктида и отдельные районы на территории Африки
и Южной Америки. Эти районы были заполнены с использованием статистического прогноза, а также, что
касается Антарктиды, данных обработки межспутниковых измерений в системе GRACE. Характеристики
сводного каталога средних аномалий силы тяжести по трапециям 5' x 5', служившего исходной основой
модели EGM2008, схематично представлены на рис. 1 [12]. Повышению точности обработки исходных
АСТ способствовало использование глобальной цифровой модели рельефа 30" x 30", уточненной с
использованием космической информации, особенно в проблемных районах Африки, Южной Америки и
Антарктиды.
В результате вывода модели EGM2008 получен полный набор гармонических коэффициентов
геопотенциала до 2160-й степени. В публикациях, посвященных анализу данной модели, отмечается, что
ее создание явилось значительным шагом вперед в плане уточнения глобальных моделей ГПЗ. Эта и
подобные ей модели практически не имеют ограничений по области действия и составу выходных
характеристик. Как следствие, одним из основных критериев эффективности таких моделей является их
точность, которая, в свою очередь, зависит от погрешностей определения гармонических коэффициентов и
от предельной степени учитываемых сферических гармоник.
Влияние погрешностей гармонических коэффициентов EGM2008 на точность вычисления,
например таких ключевых параметров аномального гравитационного поля Земли, как высота квазигеоида
и уклонения отвесных линий, в целом по Земле оценивается СКП на уровне 11 см и 1" соответственно.
Географическое распределение этих погрешностей показано на схемах (рис. 2) [12 ]. Для высоты
квазигеоида это основная составляющая погрешности модели EGM2008. Что касается эффекта усечения
разложения, то по оценкам степенных дисперсий [13], его влияние на точность вычисления ВКГ
характеризуется, в целом по земному шару, СКП 1-2 см. Аналогичная погрешность для моделей до 360-й
степени находится в диапазоне от 12 до 15 см, а для низкостепенных моделей типа ПЗ-90 до 36-й степени
характеризуется величиной около 1,5 м.
а
б
Рис. 1. Характеристики сводного каталога средних АСТ по трапециям 5' x 5':
а) категории доступности исходной информации; б) СКП определения АСТ
а
б
Рис. 2. Схема районирования влияния погрешностей гармонических коэффициентов
на СКП выходных данных модели EGM2008: а) ВКГ; б) составляющие УОЛ
Приведенные оценки показывают, что для ВКГ влияние погрешности усечения довольно быстро
уменьшается с увеличением степени учитываемых сферических гармоник. Аналогичная закономерность,
но с меньшей интенсивностью, имеет место для уклонений отвесных линий и аномалии силы тяжести.
Однако, с ростом N повышаются требования к ресурсам вычислительных средств. Во-первых,
увеличивается объем информации, подлежащие хранению в оперативной памяти ЭВМ, только для
хранения гармонических коэффициентов требуется память в объеме не менее величины порядка 8N 2 байт.
Во-вторых, растут затраты времени счета, требуемого для осуществления гармонического синтеза
параметров ГПЗ, особенно при произвольном расположении расчетных точек.
В связи с громоздкостью и трудоемкостью непосредственного использования высокостепенных
моделей сферических гармоник геопотенциала наиболее интересны альтернативные формы представления
ГПЗ, в том числе так называемые цифровые модели (ЦМ) [14]. Главным достоинством ЦМ ГПЗ является
сочетание достаточно высокой точности, детальности, простоты и удобства применения. В отличие от
сферических гармоник, получение выходных данных ЦМ ГПЗ не связано с необходимостью
использования каждый раз всех параметров модели. Как правило, достаточно оперировать только той их
частью, которая описывает поле в относительно малой окрестности определяемой точки. Основным видом
цифровой модели гравитационного поля Земли являются модели в виде значений определяемого
параметра АГПЗ (ВКГ, АСТ, УОЛ) в узлах равномерной сетки меридианов и параллелей, не требующие
хранения в памяти ЭВМ координат узлов и позволяющие использовать для пересчета узловых значений в
промежуточные точки достаточно простые методы интерполяции, в частности, известный метод
билинейной интерполяции, в соответствии с которым
f ( B, L ) = ∑ (1 − B − Bi / ∆B ) ∑ 1 − L − L j / ∆L fij ,
(3)
i =±1
j=±1
(
)
(4)
Bi = B0 + i∆B / 2; L j = L0 + j∆L / 2 ,
где f – определяемая величина;
B, L – координаты расчетной точки;
B0 , L0 и Bi , L j – координаты центра и узлов элемента интерполяционной сетки, содержащего данную
точку;
∆B ( ∆L ) – шаг сетки по широте (долготе);
(
)
fij – исходное значение определяемого параметра в узле Bi , L j .
Точностные характеристики цифровой модели в общем случае определяются суммарным влиянием
погрешностей ее узловых параметров и методической погрешностью интерполяции. Для априорной
оценки точности ЦМ ГПЗ может использоваться подход, описанный в работе В.Б. Непоклонова и В.В.
Орлова [15]. Согласно ему точность модели оценивается по формуле вида
(5)
m 2 = m2 ( d, r, ∆ ) + m 2 ( D, ρ, ∆ ) ,
1
2
где m – СКП выходных характеристик модели;
m1 – СКП, обусловленная погрешностями исходных данных (узловых параметров модели); m 2 – СКП
метода интерполяции;
∆ – шаг узлов;
d, r – дисперсия и радиус корреляции погрешностей узловых параметров;
D, ρ – дисперсия и радиус корреляции поля. Если точностные характеристики модели не отвечают
требованиям, необходимо уточнение узловых параметров, использование более точного метода
интерполяции, например, метода сплайн-интерполяции или сгущение сетки. При этом формула (5)
позволяет не только оценить точность модели при заданных σ, r, D, ρ, ∆ , но и рассчитать максимально
возможное значение шага ∆ max , для которого m ≤ m 0 , где m0 – предельно допустимое значение СКП
модели.
Таким образом, в настоящее время метод сферических гармоник и метод цифровых моделей
представляют собой два наиболее распространенных метода моделирования ГПЗ. Первый из этих методов
реализуется в глобальных моделях гравитационного поля Земли. Развитие второго метода было
обусловлено, в основном, потребностями решения региональных и локальных задач, но, как показывает
практика, этот метод может успешно использоваться и для представления АГПЗ в планетарном масштабе,
например, в виде средних значений аномалии силы тяжести по стандартным географическим трапециям.
Более того, цифровые модели могут служить удобной формой представления характеристик аномального
гравитационного поля Земли, первоначально задаваемых в виде разложения геопотенциала по
сферическим функциям, что использовано, в частности, разработчиками моделей ЕGM96 и EGM2008,
включившими в сводку результатов вывода моделей не только массив гармонических коэффициентов
геопотенциала, но и массив значений высот геоида на всю Землю с шагом 15' (EGM96), 2,5' и 1'
(EGM2008) [10, 12]. При этом шаг узлов ∆ должен быть согласован с детальностью исходной модели
ГПЗ. Обычно
(6)
∆ = λ 0 / 2n ,
где λ 0 – длина наиболее короткой волны геоида, представленной в исходной модели;
n – подходящий целочисленный параметр ( n ≥ 2 ) . В свою очередь, величина λ 0 определяется
максимальной степенью N учитываемых гармоник геопотенциала:
⎧360o / N
λ0 = ⎨
(7)
⎩2πR / N ≈ 40000 / N [км]
где R – средний радиус Земли (R = 6371 км). В соответствии с (7) при N = 360 λ 0 = 1° (111 км), при N =
1800 λ 0 = 12' (22 км), при N = 2160 λ 0 = 10' (18,5 км).
Точность и детальность данной категории цифровых моделей ограничивается точностью и
детальностью исходных сферических гармоник геопотенциала. Однако, как показывает практика,
подобные ограничения не всегда приемлемы в современных автоматизированных системах изысканий и
проектирования, что приводит к необходимости создания более точных и детальных ЦМ ГПЗ.
Узловые параметры таких моделей определяются на основе соотношений вида
(8)
f ( P ) = f 0 ( P ) + ∆f ( P ) ,
где f 0 – предварительное значение определяемого параметра, вычисляемое по глобальной модели ГПЗ в
виде сферических гармоник геопотенциала;
∆f – поправка к этому значению, учитывающая тонкую структуру аномального гравитационного поля
Земли и вычисляемая по высокоточным измерениям АГПЗ в окрестности определяемой точки (узла).
В качестве исходной измерительной информации для расчета поправок ∆f используются данные
площадной гравиметрической съемки (в виде АСТ), данные спутниковой радиолокационной альтиметрии
в океанах (в виде высот геоида) и, как результат применения технологий GPS/ ГЛОНАСС, данные
определения ВКГ (высот геоида) по измерениям геодезических высот нивелирных пунктов. Сводка
методов вычисления этих поправок приведена в таблице, где цифрами обозначены: 1 – методы
интерполяции (метод дифференциальных сплайнов, метод обратных расстояний и др.); 2,3 – методы
интегрирования АСТ соответственно по формуле Стокса и по формуле Венинг-Мейнеса (на суше – с
поправками Молоденского на разновысотность исходных АСТ); 4 – метод интегрирования ВКГ по
обратной формуле Стокса; 5 – методы численного дифференцирования; 6 – метод статистической
коллокации [1,16–18].
Методы вычисления поправок к выходным данным
глобальных моделей ГПЗ
Исходная
информация
АСТ
ВКГ
АСТ
1
4,6
Определяемый параметр
ВКГ
2,6
1
УОЛ
3,6
5,6
Цифровые модели являются наиболее удобной формой представления данных о гравитационном
поле Земли для использования в автоматизированных системах изысканий и проектирования. При этом с
точки зрения формулы (8) автоматизированные системы изысканий и проектирования, применяющие ЦМ
ГПЗ, могут быть разделены на две группы. В первую группу входят системы, для которых достаточным
является использование моделей « f 0 -типа». Вторая группа представлены системами, использующими
модели «f-типа». В эту группу могут входить как системы, ориентированные только на применение
моделей, выдаваемых специализированными центрами, так и системы, позволяющие автономно вычислять
поправки ∆f по измерительной информации. Что касается собственно ЦМ ГПЗ, используемых во всех
указанных системах, то в целом наиболее распространенным видом таких моделей на сегодняшний день
являются модели ВКГ (высот геоида). Потребность в них обусловлена, в частности, новыми
возможностями развития высотной основы с использованием спутниковых технологий [14, 19]. Как
известно, высоты геоида в значительной степени определяются планетарной частью АГПЗ. Тем не менее,
по имеющимся оценкам, точность ЦМ высоты квазигеоида, создававшихся в прежние годы на основе
только сферических гармоник геопотенциала, без привлечения детальных гравиметрических съемок
(масштаба 1:1000000 и крупнее), не всегда отвечала запросам потребителей. С появлением
ультравысокостепенных моделей ГПЗ (до 1800-й и более высоких значений предельной степени
учитываемых сферических гармоник), возник вопрос о том, насколько эти модели могут повысить
точность определения ЦМ ВКГ, вплоть до замены моделей «f-типа» моделями « f 0 -типа». В первую
очередь имеется в виду новейшая модель EGM2008, которая, по теоретическим оценкам, обладает
наиболее высокими точностными характеристиками. Однако окончательные выводы относительно ее
достоинств и целесообразности использования в различных приложениях могут быть сделаны только с
учетом результатов комплексного тестирования по реальным данным.
На основании проведенного анализа современного состояния математических моделей
гравитационного поля Земли могут быть сделаны следующие выводы:
1. В связи с повышением требований к точности обработки геодезической и гравиметрической
информации, используемой в автоматизированных системах изысканий и проектирования,
математические модели гравитационного поля Земли становятся все более важным элементом
современных технологий, особенно на фоне интенсивного развития спутниковых методов создания
координатной основы. Эти модели могут применятся в различных направлениях, основным из которых на
сегодняшний день может считаться геодезическое обеспечение строительных, буровых,
горнопроходческих и других специальных работ. Точность моделей ГПЗ определяется точностью,
полнотой и подробностью исходной информации, методическими погрешностями ее обработки при
получении параметров модели, а также методическими погрешностями синтеза выходных данных модели
в принятой системе базисных функций аппроксимации гравитационного поля.
2. Основным методом математического моделирования ГПЗ был и остается традиционный метод
разложения геопотенциала в ряд по сферическим функциям. Модели ГПЗ в виде сферических гармоник
геопотенциала глобальны по области действия и универсальны по своим возможностям. Высшим на
сегодняшний день достижением в области глобальных моделей гравитационного поля Земли явилось
создание новой ультравысокостепенной модели EGM2008 в виде сферических гармоник геопотенциала до
2160-й степени.
3. Повышение точности глобальных моделей ГПЗ связано с необходимостью не только уточнения
гармонических коэффициентов геопотенциала, но и увеличения предельной степени учитываемых
сферических гармоник. Все это, в комплексе с необходимостью обеспечения глобального покрытия
земного шара исходной информацией о гравитационных аномалиях, ведет к усложнению процессов
создания и применения таких моделей. Поэтому в дополнение к таким моделям все более широкое
распространение получает относительно новая разновидность моделей ГПЗ – так называемые цифровые
модели. Распространенным вариантом стало использование цифровых моделей в качестве удобной формы
представления характеристик АГПЗ, первоначально задаваемых в виде разложения геопотенциала по
сферическим функциям.
Литература
1. Мориц Г. Современная физическая геодезия. Пер. с англ. М., Недра, 1983.
2. Пеллинен Л.П. Высшая геодезия (Теоретическая геодезия). М., Недра, 1978.
3. Непоклонов В.Б. Использование методов космической геодезии для изучения планетарного геоида.
«Автоматизированные технологии изысканий и проектирования», 2007, № 2(25), с. 5–9.
4. Галазин В.Ф., Македонский Е.Л., Зуева А.Н. и др. Опыт создания планетарных моделей
гравитационного поля Земли с помощью ГЕО-ИК. «Геодезия и картография», 1993, № 11, с. 24–27.
5. Демьянов Г.В. и др. Модель гравитационного поля Земли ЦНИИГАиК, ГАО-98. Физическая геодезия.
Научно-технический сборник по геодезии, аэрокосмическим съемкам и картографии. ЦНИИГАиК. М.,
1999, с. 88–116.
6. Параметры общего земного эллипсоида и гравитационного поля Земли (Параметры Земли 1990 г.). М.,
РИО, 1991.
7. Параметры Земли 1990 года (ПЗ-90.02). Параметры общеземного эллипсоида и гравитационного поля
Земли (проект). М., РИО, 2005.
8. Демьянов Г.В. Геодезические системы координат, современное состояние и основные направления
развития. «Геодезия и картография», 2008, №9, с. 17–20.
9. Rapp R.H., Wang Y.M., Pavlis N.K. The Ohio State 1991 geopotential and sea surface topography harmonic
coefficients models. - Report No. 410. Department of Geodetic Science and Surveying, The Ohio State
University, Columbus,1991.
10. Lemoine F.G. et al. The Development of the Joint NASA GSFC and the National Imagery and Mapping
Agency (NIMA) Geopotential Model EGM96 /NASA Techical Paper ТP 1998. – NASA, 206861, 1998.
11. Wenzel H-G. Ultra high degree geopotential models GPM98A and GPM98B to degree 1800 // Submit. Proc.
Joint Meeting of the International Gravity Commission and International Geoid Commission, September 7–12,
Trieste 1998. 1998.
12. Pavlis N.K., Holmes S.A., Kenyon S.C., Factor J.K. An Earth Gravitational Model to Degree 2160: EGM2008/
EGU General Assembly 2008. Vienna, Austria, April 13–18, 2008.
13. Непоклонов В.Б. Компьютерные модели аномального гравитационного поля Земли. Изв. вузов.
Геодезия и аэрофотосъемка. 1998, № 6, с. 104–106.
14. Непоклонов В.Б. Определение высот с использованием моделей геоида «Автоматизированные технологии
изысканий и проектирования», 2007, № 3(26), с. 56–61.
15. Непоклонов В.Б., Орлов В.В. Вопросы оценки точности цифровых моделей гравитационного поля. Изв.
вузов. Геодезия и аэрофотосъемка, 1995, № 5-6, с. 102–109.
16. Македонский Е.Л., Непоклонов В.Б., Задорожко Л.И. Моделирование гравитационного поля Земли для
коррекции измерительных и навигационных средств. СПб., ЦНИИ «Электроприбор», 1992.
17. Непоклонов В.Б., Чугунов И.П., Яковенко П.Э. Комплексное исследование гравитационных аномалий
московского региона: Материалы юбилейной научно-технической конференции «Современное состояние и
перспективы развития геодезии, фототопографии, картографии и геоинформационных систем»,
посвященной 850-летию г. Москвы (Москва, ЦНИИГАиК, сент. 1997), Ч. 1. М., ЦНИИГАиК, 1998, с. 175–
183.
18. Непоклонов В.Б., Яковенко П.Э., Кузьмин Ю.А. и др. О создании цифровых карт уклонений отвесной
линии. «Геодезия и картография», 1996, № 9, с. 2–6.
19. Пигин А.П., Березина С.В. Глобальная модель геоида EGM2008. Предварительный анализ.
«Автоматизированные технологии изысканий и проектирования», 2008, № 3(31), с. 63–66.