Нестандартные приемы решения квадратных уравнений.

Тема урока: Нестандартные приемы решения квадратных уравнений.
Цели урока:
Образовательная – познакомить учащихся с нестандартными
приемами решения квадратных
уравнений.
Развивающая –
развитие логического мышления, памяти,
внимания, устной и письменной
математической речи, творческих и
организаторских способностей учащихся.
Воспитательная – воспитание нравственных качеств
личности, повышение интереса учащихся
к предмету, формирование умения
выступать перед аудиторией,
анализировать ответы товарищей.
Тип урока: урок – конференция
План урока:
1. Организационный момент
2. Вступительное слово учителя.
3. Сообщения учащихся
4. Домашнее задание.
5. Подведение итогов.
Ход урока.
1. Организационный момент: Здравствуйте, дорогие ребята и гости! Сегодня мы
проводим урок-конференцию, посвященный нестандартным приемам решения
квадратных уравнений. Эпиграфом к уроку мне бы хотелось взять слова
Альберта Эйнштейна. Он говорил: «Выбирая между политикой и уравнениями, я
выбираю уравнения, потому что политика существует только для данного
момента, а уравнения будут существовать вечно».
2. Вступительное слово учителя:
Квадратные уравнения – это фундамент, на котором покоится величественное
здание алгебры. Они находят широкое применение при решении
тригонометрических, показательных, логарифмических, иррациональных и
трансцендентных уравнений и неравенств, а также при решении многих
прикладных задач.
Мы изучили формулу нахождения корней квадратных уравнений, с помощью
которой можно решить любое квадратное уравнение; теорему Виета. Однако,
имеются и другие способы решения квадратных уравнений, которые позволяют
иногда быстро и рационально находить корни многих квадратных уравнений.
На конференции мы рассмотрим общие методы решения квадратных уравнений:
метод разложения на множители, метод введения новой переменной;
специальные методы, связанные с использованием свойств коэффициентов
квадратного уравнения, метод «переброски» старшего коэффициента;
графических способ решения, а также метод решения квадратного уравнения с
применением циркуля и линейки.
Ваша работа на уроке будет построена следующем образом: вы должны
внимательно слушать выступающих, делать необходимые записи в тетрадях,
задавать вопросы, если что-то непонятно. Ну, а начнем мы с того, что обратимся
к истории и послушаем доклад Козлова Александра о том, как решали
квадратные уравнения в древности.
3. Сообщения учащихся.
Содержания докладов.
Тема 1. Как решали квадратные уравнения в ревности.
Необходимость решать квадратные уравнения в древности была вызвана
потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных
участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием
астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет
до нашей веры вавилоняне. В их клинописных текстах встречаются, кроме неполных
и полные квадратные уравнения.
Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает
с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого
правила. Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилонии, в клинописных
текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения
квадратных уравнений.
В Древней Индии задачи на квадратные уравнения встречаются уже в 499 г. Там
были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из
старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: "Как
солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в
народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи.
Посмотрим, как решал квадратное уравнение Мухаммед Аль-Хорезми.
(видеофрагмент)
Формулы решения квадратных уравнений в Европе были впервые изложены в
1202 г. итальянским математиком Леонардом Фибоначчи.
Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому
каноническому виду х2 + bх + с = 0 , было сформулировано в Европе лишь в 1544 г.
Штифелем.
Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у
Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Лишь в 17 в. благодаря
трудам Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений
принимает современный вид.
Тема 2. Метод разложения на множители.
При решении квадратных уравнений часто применяется метод разложения на
множители (с помощью вынесения за скобки общего множителя, формул
сокращенного умножения, способа группировки).
Решите уравнение:
3𝑥 2 + 2𝑥 − 𝑥 − 𝑥 = 0.
Решение. Воспользуемся способом группировки, для чего представим 2х в виде
разности 3х и х.
3𝑥 2 + 3𝑥 − 𝑥 − 1 = 0,
3𝑥(𝑥 + 1) − (𝑥 + 1) = 0,
(𝑥 + 1)(3𝑥 − 1) = 0,
𝑥 + 1 = 0 или 3𝑥 − 1 = 0,
1
𝑥 = −1 𝑥 = .
3
1
Ответ: − 1; .
3
Тема 3. Метод введения новой переменной.
При решении более сложных квадратных уравнений нередко приходится
использовать метод введения новой переменной. Удачный выбор новой переменной
делает структуру уравнения более прозрачной и позволяет свести решение к более
простому случаю.
Решите уравнение
(5𝑥 + 3)2 = 3(5𝑥 + 3) − 2.
Решение. Пусть 5х + 3 = t . Произведем замену переменной:
𝑡 2 = 3𝑡 − 2,
𝑡 2 − 3𝑡 + 2 = 0.
Убеждаемся, что D > 0. По теореме, обратной теореме Виета, подбираем корни:
t1 = 1, t2 = 2.
Произведем обратную замену и вернемся к переменной х.
Если t = 1, то 5x + 3 = 1, x = -0,4. Если t = 2, то 5x + 3 = 2, x = -0,2.
Ответ: -0,4; -0,2.
Замечание. При решении квадратного уравнения не следует торопиться
выполнять преобразования. Сначала надо посмотреть, нельзя ли записать уравнение
проще, введя новую переменную.
Данное уравнение решите самостоятельно: (3х – 1)2 = 4 – 12x.
Тема 3. Специальные методы решения квадратных уравнений.
Рассмотрим решение квадратных уравнений, коэффициенты которых обладают
определенными свойствами. Установим связь между суммой коэффициентов
уравнения и его корнями.
1. х2 + 4х – 5 = 0,
а = 1, b = 4, c = - 5,
a + b + c = 0,
x1 = 1, x2 = -5.
2. х2 + 6х + 5 = 0,
а = 1, b = 6, c = 5,
a + c = b,
x1 = - 1, x2 = -5.
3. 2х2 - 5х + 3 = 0,
а = 2, b = -5, c = 3,
a + b + c = 0,
x1 = 1, x2 = 1,5.
4. 3х2 + 2х – 1 = 0,
а = 3, b = 2, c = - 1,
a + c = b,
1
x1 = - 1, x2 = .
3
При решений уравнений вида ах2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) можно пользоваться
следующими правилами:
с
1. Если a + b + c = 0, то х1 = 1, х2 = .
а
с
2. Если a + c = b, то х1 = - 1, х2 = - .
а
Докажем утверждение 1.
Разделим обе части уравнения на a ≠ 0:
𝑏
𝑐
х2 + 𝑥 + = 0.
а
𝑎
По теореме Виета
𝑏
x1 + x2 = − ,
𝑥1 ∙ 𝑥2 =
𝑎
𝑐
𝑎
с
𝑐
а
𝑎
Так как a + b + c = 0, то b = - a – c, тогда x1 + x2 = 1+ , 𝑥1 ∙ 𝑥2 = 1 ∙ ,
с
значит x1 = 1, x2 = .
а
Утверждение 2 доказывается аналогично.
Замечание. При решении полного квадратного уравнения полезно сначала
проверить, является ли число 1 (число -1) его корнем. И если является, то
воспользоваться правилом 1 (правилом 2).
Задание (устно). Найдите корни уравнения:
1. 3х2 – 8х + 5 = 0;
2. 2х2 + 3х + 1 = 0;
3. 5х2 – 9х – 14 = 0;
4. – х2 + 4х – 3 = 0.
Тема 4. Метод «переброски» старшего коэффициента.
Другой метод решения квадратных уравнений – метод «переброски» старшего
коэффициента. Умножим обе части уравнения ах2 + bx + c = 0 на
a ≠ 0:
2 2
𝑎 𝑦 + 𝑏𝑎𝑥 + 𝑐𝑎 = 0.
Пусть ах = у, тогда получим уравнение
𝑦 2 + 𝑏у + 𝑐𝑎 = 0.
Корни у1 и у2 уравнения найдем по теореме, обратной теореме Виета. Так как ах1
= у1, ах2 = у2, то
у1
у2
х1 = , х2 = .
а
а
Пример. Решите уравнение:
2х2 – 11х + 15 = 0.
Решение. Умножим обе части уравнения на 2:
22х2 – 2·11х + 30 = 0.
Пусть 2х = у, тогда у2 - 11у + 30 = 0. Корни уравнения: у1 = 5, у2 = 6.
откуда х1 = 2,5, х2 = 3.
Ответ: 2,5; 3.
Замечание. Данным метод подходит для квадратных уравнений с «удобными»
коэффициентами. В некоторых случаях он позволяет решить уравнение устно.
Тема 5. Графический способ решения
Графический способ решения уравнения состоит в построении на одной
координатной плоскости графиков двух функций и нахождении абсцисс их точек
пересечения (если такие точки есть).
В случае квадратного уравнения строятся графики квадратичной и линейной
функций — парабола и прямая. Возможны следующие случаи:
1. прямая и парабола касаются (имеют единственную общую точку), абсцисса
точки касания - корень уравнения (рис. 1, а);
2. прямая и парабола пересекаются в двух точках, абсциссы этих точек являются
корнями уравнения (рис. 1, б);
3. прямая
и
парабола
не
имеют
общих
точек,
тогда уравнение не имеет корней (рис. 1, в).
Пример. Решите графически уравнение:
х2 + 1,5х − 2,5х = 0.
Решение. Перепишем уравнение в виде:
х2 = −1,5х + 2,5.
Рассмотрим функции у = х2 и у = -1,5х + 2,5. Построим в одной координатной
плоскости графики этих функций, найдем абсциссы их точек пересечения: х1 = - 2,5,
х2 = 1. Эти числа являются корнями исходного уравнения.
рис. 2
Задание на дом. Решите графически уравнение:
а) х2 = 0; б) 2 х2 + 7 = 0; в) х2 – 2х = 0.
Тема 6. Решение квадратных уравнений с применением циркуля и линейки
Корни квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0 (а ≠ 0) можно рассматривать как
𝑏 𝑎+𝑐
абсциссы точек переселения окружности с центром
Q (− ;
) проходящей
2𝑎 2𝑎
через точку A(0; 1), и оси Ох.
Решение уравнения сводится к построению на координатной плоскости
окружности с центром Q и радиусом QA (для этого и понадобятся инструменты) и
определению абсцисс точек пересечения окружности с осью Ох. Возможны три
случая:
𝑎+𝑐
1. если QA >
, то окружность
2𝑎
пересекает ось в двух точках М (х1; 0)
и
N (x2; 0) (рис. 3, a), уравнение
имеет корни x1 и х2.
𝑎+𝑐
2. если QA =
,
то окружность
2𝑎
касается оси Ох в точке М(х1; 0) (рис.
3,б), уравнение имеет корень х1.
𝑎+𝑐
3. Если QA <
, то окружность не
2𝑎
имеет общих точек с осью Ох (рис.
3,в), у уравнения нет корней.
Рассмотрим пример решения квадратного уравнения описанным способом.
Пример 1. Решите уравнение х2 − 2х + 1 = 0.
Решение показано на рис. 4.
Ответ: 1.
рис. 4
Замечание. Конечно, решать уравнения по формуле проще, чем выполнять
построения. Но нам сейчас интересно отметить важный факт: квадратные уравнения
могут быть решены с привлечением геометрии. Правда, этот способ не позволяет
получать точные решения в случае произвольных коэффициентов уравнения.
Задание на дом. Решите уравнение рассмотренным выше способом:
а) х2 + 6х + 9 = 0; б) х2 - 8х = 0.
Тема 7. Метод выделения полного квадрата.
4. Домашнее задание.
Учитель: дома вам необходимо решить примеры из распечаток на каждый
рассмотренный нами способ.
5. Подведение итогов.
Учитель: Давайте подведем итог конференции. Сегодня мы познакомились с
нестандартными методами решения квадратных уравнений. Вспомним еще раз, какие
это методы:
1. Общие методы решения квадратных уравнений:
метод разложения на множители;
метод введения новой переменной;
метод выделения полного квадрата.
2. Специальные методы решения квадратных уравнений:
использование свойства коэффициентов квадратного
уравнения;
метод «переброски» старшего коэффициента.
3. Графический способ решения квадратных уравнений.
4. Решение квадратных уравнений с применением циркуля и линейки.
«Человеку, изучающему алгебру, часто полезнее решить одну и ту же задачу
различными способами, чем решать три-четыре различные задачи. Решая одну задачу
различными способами, можно путем сравнения выяснить, какой из них короче и
эффективнее. Так вырабатывается опыт». Чем больше способов решения мы знаем,
тем мы сильнее. Этими словами, которые принадлежат У. У. Сойеру, мы заканчиваем
наш урок. Благодарим всех за внимание!